无套利和使用流动美式期权进行套期保值

2022-5-11 06:54:04

使用LIQ UID美式期权进行无套利和套期保值Herhan BAYRAKTAR和ZHOU ZHOU Abstract。由于单只股票上的大多数交易期权都是美式期权，因此有兴趣将半静态t rad in g中得到的结果推广到允许静态交易美式期权的情况。然而，由于持有与卖空这类期权的头寸的不对称性质，到目前为止，这个问题被证明是难以解决的。在这里，我们提供了一个统一的框架，并将[5]中的资产定价基本定理（FTAP）和享乐二元论推广到投资者也可以做空美式期权的情况。在[5]之后，我们假设长期的美国期权是可分割的。至于做空的美式期权，我们认为，可分割性在套利资产和对冲价格方面不起作用。然后，利用[12]中提出的扩大概率空间的方法，我们将做空的美式期权转换为欧式期权，并在有模型不确定性和无模型不确定性的情况下，在大型sp空间中建立FTAP以及次级和超级对冲对偶。1.引言最近，在股票动态交易、流动期权静态交易（半静态策略）的金融市场中，有一些关于无套利和套期保值的基础性工作，参见[11,7,8,1]及其参考文献。尽管[3,16,15,6,12]考虑到在该框架下对冲美式期权的问题，但值得注意的是，在上述所有文件中，流动期权仅限于欧洲风格。但是，由于大多数单只股票的期权都是美式的，当人们可以使用美式期权进行套期保值时，考虑这些问题是很有实际意义的。

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2022-5-11 06:54:07

因此，目前只有三篇论文将美式期权视为套期保值工具：[9]研究了市场的完备性，其中美式看跌期权的所有执行价格都可用于半静态交易，[10]研究了美式看跌期权价格函数的无套利条件，其中欧洲和美国看跌期权可用，[5] 考虑FTAP和具有流动美国期权的对冲二元性。在半静态交易中使用美式期权的困难在于持有与卖空这一期权头寸的不对称性。本文的出发点是[5]，我们假设流动美式期权只能购买，不能出售，并且只考虑了被套期美式期权的次级套期保值价格，而不是超级套期保值价格。原因是，如果出售了流动的美国期权，或者考虑了超级对冲，那么投资者需要使用一种与日期持有人使用的停止策略相适应的交易策略：2018年1月29日。关键词和短语。半静态交易策略、流动美式期权、资产定价的基本原理、次级/超级对冲双重性。E.Bayraktar获得了国家科学基金会DMS-1613170拨款和SusanM的部分支持。史密斯教授职位。美国的选择。从这个角度来看，问题变得更加复杂。在本文中，我们解决了这些困难，并将FTAP和套期保值结果推广到允许做空美式期权的情况，从而对问题进行了统一处理。

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2022-5-11 06:54:11

特别是，我们假设存在可出售的流动美式期权，并且我们还考虑了美式期权的超级对冲风险。我们假设长期的美式期权是可分割的，如[5，第2节]所示，这是获得FTAP和分边二元性的关键假设。本文证明了在套利和套期保值方面，可分割性对做空美式期权不起作用。然后使用[12]中提出的扩大概率空间的方法（第二个版本参见[2]），我们将做空的美式期权转换为欧式期权。我们建立了美国期权的FTAP以及次级和超级套期保值对偶，适用于具有和不具有T模型不确定性的模型。本文的主要贡献在于，当美式期权可用于静态买入和卖出时，它为FTAP和对冲双重性提供了一个统一的框架。关于FTAP和欧洲流动期权套期保值二元性，有大量文献。另一方面，由于美式期权的灵活性，从概念上和技术上来说，考虑美式流动期权要困难得多。然而，市场上的大多数选择都是美国式的。据我们所知，在这篇论文之前，只有三篇论文[9,10,5]认为美国期权是流动期权，但没有一篇论文提供这样一个总体框架，更不用说FTAP和对冲二元性结果了。我们假设期权是有界的。这是因为，在弱星型拓扑（或Baxter-Chacon拓扑，参见[13]）下，证明的关键依赖于液化策略的紧性。

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2022-5-11 06:54:14

美式期权的有界性是必要的，以便使用这种弱星拓扑来证明带有模型不确定性的出局和边缘结果，以及应用一些极小极大参数来证明带有模型不确定性的套期保值对偶性。本文的一个创新之处在于引入了流动美式期权，美式期权的清算策略对FTAP和套期保值结果也很实用。我们认为这种有界性假设是没有限制的。首先，我们考虑的流动期权是有界的期权（例如，[10]考虑美国的看跌期权）。其次，我们处于一个有限的离散时间设置中，在有限的多个时间步内，甚至可以合理地假设股票价格是有界的，更不用说期权支付了。另一个假设是在模型不确定性的情况下期权的连续性。苏奇的假设是可以预料的。首先，d iscr etization参数用于证明对冲对偶性，连续性对于离散化至关重要。第二，对于每一个（长期的）美式期权，由于存在许多可能的清算策略，我们有许多可能的收益与该美式期权相关。从这个意义上说，我们可以把一个美国选项想象成许多欧洲选项（但只有一个价格）。对于FTAP和HEDGING的现有文献，在无模型或模型不确定性设置中，有许多欧洲期权，通常会强制进行一些期权的连续性消费。参见[12,1,7]。事实上，我们的连续性假设较弱，因为即使我们假设每个周期的美式期权在ω中是连续的，它们的收益在ω中可能仍然是不连续的，因为清算策略可能不是连续的。

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2022-5-11 06:54:18

我们再次认为，这种连续性假设没有限制性，因为在实践中，大多数选项是（半）连续的。论文的其余部分组织如下。在下一节中，我们首先表明，对于无风险和对冲价格的定义，做空的美式期权是否可分割没有区别。然后，我们在一个扩大的空间上工作，为给定的模型建立FTAP和对冲对偶。在第3节中，我们将FTAP和套期保值二重性扩展到模型不确定性的情况。2.无模型模糊的无套利和套期保值在本节中，我们首先描述了无模型模糊的财务模型的设置。我们证明，无论做空的（非长期的）美式期权是否可分割，它对套利和对冲价格没有区别。然后，我们在一个扩大的概率空间中重新描述了套利和套期保值问题，并建立了FTAP和套期保值二元论。定理2.1-2.4是本节的主要结果。2.1. 原始概率空间。让(Ohm, F、 F=（Ft）t=0,1，T、 P）是一个过滤概率空间，其中F被假定为可分离的，T∈ N表示离散时间内的时间范围。设S=（St）t=0，t这是一个经过调整的过程，采用代表股票价格的RDR值。让我们来看看菲：Ohm 7.→ R、 i=1，五十、可测量，代表欧洲期权的收益。设gj=（gjt）t=0，T、 j=1，Mhk=（hkt）t=0，T、 k=1，N、采用F-adapted流程，代表美国期权的支付流程。我们认为，我们只能在t=0时以α和βj的价格分别购买但不能出售每个f和Gj，我们只能在t=0时以γk的价格出售而不能购买每个HKT。表示f=（f，…，fL），α=（α，…，αL）和α- ε = (α- ε, . . . , αL- ε）对于标量ε∈ R.同样地，我们将使用g、h和β、γ作为（过程和价格的）决策向量。

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2022-5-11 06:54:21

为了简单起见，我们假设f，g，h是有界的。设φ=（φt）t=0，F-adapted，代表美式期权的支付，我们感兴趣的是通过S、F、g、h的半静态交易计算其次级/超边际价格。为简单起见，我们假设φ是有界的。我们称g和次套期保值φ长美式期权，h和超套期保值φ短美式期权。备注2.1。在这里，f、g、h可以代表其交易以买卖价差报价的期权。例如，对于买入价和卖出价为g的美国期权g，我们可以将其视为两种美国期权，一种只能以g价购买，另一种只能以g价出售。我们假设欧洲期权只能购买。这实际上并没有失去一般性，因为做空欧式期权f相当于做多欧式期权-f、另一方面，与欧洲期权不同，买卖美式期权的处理方式非常不同，这就是我们将美式期权分为g和h的原因。我们通常会考虑两种情况，n=n，n+1，其中n代表做空的美式期权的数量。更具体地说，对于n=n，将考虑FTAP或次级套期保值，其中包括h、，嗯。对于n=n+1，将考虑美式期权的超级套期保值，有n+1个做空的美式期权，包括h，h和超级h边美国选项。如果没有美式期权被做空（即h≡ 0，我们考虑次级套期保值φ），那么投资者可以观察到的唯一信息是F，因此她将在F适应的股票中使用动态交易策略。此外，受[5，第2节]的启发，我们假设美式期权g和φ（用于次级套期保值）是可分的。

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2022-5-11 06:54:24

也就是说，投资者可以将每个单位的美国期权分割成若干部分，并分别行使每一部分。我们用“清算策略”一词来描述这种行使策略。更准确的定义如下：定义2.1。F-适应过程η=（ηt）t=0，如果ηt≥ t=0时为0，T和ptt=1ηT=1。将L表示为所有F策略的集合。由于存在做空的美式期权h和φ（回想一下，当我们考虑超级套期保值问题时，φ是做空的），投资者对股票s的动态交易策略和长期美式期权GJ的清算策略也应该适应于h和φ持有人选择的停止/清算策略。此外，由于期权g和s ub对冲φ被假定为可整除的，因此很自然地假设期权h（和超级对冲φ）也可整除。这种假设具有实际意义：投资者可以将香港股票出售给多个代理人，或向同一代理人出售大量香港股票。然而，正如我们将展示的，在无套利和对冲价格方面（我们将在下一节中确定），实际上，让所有HK股票（和超级对冲φ）行使一次（即，香港使用证持有人停止g次）是足够的。2.2。关于无套利和对冲的做空美式期权可分割性的讨论。在本小节中，我们展示了无论做空的美式期权是否可分割，无套利和对冲价格的定义是一致的。2.2.1. 无套利和可分割对冲价格的定义。设H是以Rd.LetV:=（（v，…，vT）取值的F-适应过程的集合∈ RT+1+：TXt=0vt=1），代表每个做空美式期权的清算策略空间。设^Hn:={^H（·）：Vn7→ H：^Hr（v，…，vn）=^Hr（u，…，un），如果vkt=ukt或t=0，Rk=1。

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2022-5-11 06:54:28

，n}，和^Ln:={^η（·）：Vn7→ L：ηr（v，…，vn）=ηr（u，…，un），如果vkt=ukt或t=0，Rk=1，n} ，其中vk=（vk，…，vkT），uk=（uk，…，ukT）∈ V表示k=1，n、 VN是V的n倍笛卡尔乘积。表示半静态交易策略集^An:={（^H，a，b，^u，c）：（a，b，c）∈ RL+×RM+×RN+，^H∈^Hn，^u∈ （^Ln）M}。对于n=n，n+1，表示使用半静态交易策略（^H，a，b，^u，c）的支付∈^Anw。r、 t.p值α，β，γ，实现v=（v，…，vn）∈ 对于做空的美式期权，Φnα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）：=^H（v）·S+a（f）- α） +b（^u（v））（g）- β) -NXk=1ck（vk（香港）- γk），（2.1）其中H∈ H、 H·S:=T-1Xt=0Ht（St+1- 对于u=（u，…，uM）∈ （Ln）M，u（g）：=uG, . . . , uM转基因的带ujgj:=TXt=0gjtujt。在上面的等式中，我们用xy表示向量的内积，比如x和y。在（2.1）的右侧，第一项代表股票交易的收益，第二项代表欧洲期权交易的收益，第三项代表美国长期期权交易的收益。上个学期是美国期权卖空支付。定义2.2（无套利）。我们称之为NAholds w.r.t.如果有α，β，γ（^H，a，b，^u，c）∈^An^ΦNα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）≥ 0，任何v的P-a.s∈ VN，表示任意v的ΦNα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）=0，P-a.s∈ 越南。我们说SNA（SNA代表“严格无仲裁”）成立，如果存在ε>0，那么NAholds w.r.t.价格α- ε, β - ε, γ + ε.定义2.3（套期保值协议）。我们通过π（φ）定义φ的次级套期保值价格：=supnx∈ R:（^H，a，b，^u，c）∈^ANand^η∈^LN，s.t.^ΦNα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）+（^η（v））（φ）≥ x P-a.s。，五、∈ VNo，及其π（φ）的超级套期保值价格：=infnx∈ R:（^H，a，b，^u，c）∈^AN+1，s.t.x+^ΦN+1α，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）≥ vN+1（φ）P-a.s。， v=（v。

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nandehutu2022

2022-5-11 06:54:32

，vN+1）∈ VN+1o，对于欧式运算ψ：Ohm 7.→ R、将其次级套期保值价格定义为πe（ψ）：=supnx∈ R:（^H，a，b，^u，c）∈^AN，s.t.^ΦNα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）+ψ≥ x P-a.s。，五、∈ VNo。让我们澄清一下应该在在上述定义中。2.2.2. 无套利和无可分割对冲价格的定义。对于n=n，n+1，设Hn:={H（·）：Tn7→ H:~Hr（t，…，tn）=~Hr（s，…，sn）表示r<r*},和)Ln:={η（·）：Tn7→ L:)ηr（t，…，tn）=)ηr（s，…，sn）表示r<r*},其中T:={0，…，T}，andr*= infk∈我sk∧ tk用I={I∈ {1，…，n}:si6=ti}。表示半静态交易策略的集合，方法是+An:={（yenH，a，b，yenu，c）：（a，b，c）∈ RL+×RM+×RN+，~H∈~Hn，~u∈ （Ln）M}。以及使用半静态交易策略（H、a、b、u、c）的支付∈~Anw。r、 t.价格α，β，γ，实现t=（t，…，tn）∈ tn对于做空美国期权的Φnα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）：=H（t）·S+a（f）- α） +b（μu（t））（g）- β) -NXk=1ck（hktk）- γk）。定义2.4（无套利）。我们称之为NAholds w.r.t.如果有（~H，a，b，~u，c），则表示α，β，γ∈一个ΦNα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）≥ 0，任何t的P-a.s∈ 对于任何t，TN意味着ΦNα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）=0，P-a.s∈ 如果存在ε>0，那么我们说SNAholds w.r.t.价格α- ε, β - ε, γ + ε.定义2.5（套期保值协议）。我们将φ的次级套期保值价格定义为π（φ）：=supnx∈ R:（~H，a，b，~u，c）∈~ANand ~η∈~LN，s.t.~ΦNα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）+（η（t））（φ）≥ x P-a.s。， T∈ TNo，其超级套期保值价格为π（φ）：=infnx∈ R:（~H，a，b，~u，c）∈~AN+1，s.t.x+~ΦN+1α，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）≥ φtN+1P-a.s。， t=（t，…，tN+1）∈ TN+1o。对于欧式运算ψ：Ohm 7.→ R、将其次级套期保值价格定义为πe（ψ）：=supnx∈ R:（~H，a，b，~u，c）∈~AN，s.t.~ΦNα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）+ψ≥ x P-a.s。， T∈ TNo。2.2.3.

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2022-5-11 06:54:37

无套利定义和套期保值价格的等价性。定理2.1。我们有π（φ）=π（φ）和π（φ）=π（φ）和πe（ψ）=πe（ψ）。证据为了表示的简单性，我们将只显示πe（ψ）=πe（ψ），对于L=M=0和n=2。这个证明可以很容易地适用于更一般的情况。自πe（ψ）≤ πe（ψ）很清楚，我们关注的是逆不等式。设x<πe（ψ），则存在（~H，c，c）∈~H×R+×R+，对于任何（t，t）∈ T、 ~H（T，T）·S- c（ht）- γ) - c（ht）- γ) + ψ ≥ x、 P-a.s。。定义H:V7→ H、 ^Hr（u，v）=TXs=0TXt=0usvtHr（s，t），u=（u，…，uT），v=（v，…，vT）∈ V.对于任何u，V，u′，V′∈ V，如果r=0，T*, ur=u′rand vr=v′r，然后是^Ht*（u，v）=TXs=0TXt=0usvtHt*（s，t）=t*Xs=0t*Xt=0usvt~Ht*（s，t）+TXs=t*+1t*Xt=0usvt~Ht*（s，t）+t*Xs=0TXt=t*+1usvtHt*（s，t）+TXs=t*+1text=t*+1usvtHt*（s，t）=t*Xs=0t*Xt=0usvt~Ht*（s，t）+TXs=t*+1过去*Xt=0vtHt*（T，T）+TXt=T*+1vtt*Xs=0usHt*（s，T）+TXs=T*+1usTXt=t*+1vtHt*（T，T）=T*Xs=0t*Xt=0u′sv′tHt*（s，t）+TXs=t*+1u\'st*Xt=0v′tHt*（T，T）+TXt=T*+1v′tt*Xs=0u′sHt*（s，T）+TXs=T*+1u′sTXt=t*+1v′tHt*（T，T）=T*Xs=0t*Xt=0u′sv′tHt*（s，t）+TXs=t*+1t*Xt=0u′sv′tHt*（s，t）+t*Xs=0TXt=t*+1u′sv′tHt*（s，t）+TXs=t*+1text=t*+1u′sv′tHt*（s，t）=TXs=0TXt=0u′sv′tHt*（s，t）=^Ht*（u′，v′），其中，对于第三和第五个等式，我们使用了H的非预期性（参见H的定义）。这意味着^H∈^H.现在对于任何u，v∈ V，^H（u，V）·S- c（u（h）- γ) - c（v（h）- γ） +ψ=T-1Xr=0TXs=0TXt=0usvtHr（s，t）（Sr+1）- （高级）- cTXs=0us（hs- γ) - cTXt=0vt（高温）- γ） +ψ=TXs=0TXt=0usvthH（s，t）·s- c（hs）- γ) - c（ht）- γ） +ψi≥ x、 P-a.s。。这意味着x≤ πe（ψ）。通过x的任意性，我们得到了πe（ψ）≤ πe（ψ）。定理2.2。SNA和SNA是等价的。证据等一下。用π′e（fi）（resp。

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2022-5-11 06:54:39

π′（gj），π′（hk））。我们不会区分ty pe 1和类型2的套期保值价格，因为根据定理2.1，它们是相同的。根据SNA，存在ε>0，因此NAholds w.r.t.价格α- ε, β - ε, γ + ε.这意味着αi- ε ≥ π′e（fi），βj- ε ≥ π′（gj），γk+ε≤π′（hk）。（2.2）假设SNA失败，那么对于任何m∈ N存在（^Hm，am，bm，^um，cm）∈^ANsuch^ΦNα-m、 β-m、 γ+m（^Hm，am，bm，^um，cm）（v）≥ 0，P-a.s。五、∈ VN，（2.3）和vm∈ vn使得pn^ΦNα-m、 β-m、 γ+m（^Hm，am，bm，^um，cm）（vm）>0o>0。如果am=0，bm=0，cm=0，那么我们将得到^H（vm）·S≥ 0，P-a.s.，和P{^H（vm）·s>0}>0。（2.4）SNA意味着∈ H、如果H·S≥ 0 P-a.s.那么H·s=0 P-a.s。。这与（2.4）相矛盾。因此，ami、bmj、CMKI中至少有一个不是零。表示dm:=max{ami，bmj，cmk，i=1，…，L，j=1，…，M，k=1，…，N}>0。由（2.3），dm^ΦNα，β，γ（^Hm，am，bm，^um，cm）（v）+L+m+Nm≥ 0，P-a.s。五、∈ 越南。（2.5）对于每m，至少一个ami/dm、bmj/dm、cmk/DMI等于1。在不丧失通用性的情况下，（最多一个子序列）假设am/dm=1。然后通过（2.5），π′e（f）≥ α-L+M+Nm。因为m是任意的，所以我们有π′e（f）≥ α、这与（2.2）相矛盾。这表明SNA意味着SNA。我们可以用一个类似的论点来证明SNA。备注2.2。就套利和套利价格而言，如[5，第2节]所示，整除性对于g和次边φ是必要的，但对于定理2.1和2.2所示的h和超对冲φ不是必要的。因此，在剩下的文章中，我们将假设短美式期权h和超级对冲φ是不可分割的。2.3. 扩大了概率空间。我们将遵循[12]中的方法，在一个扩大的空间中重新表述套利和套期保值问题。在扩大的空间上工作的好处是，做空的美式期权变成了欧洲期权。我们将再次让n=n或n=n+1。

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2022-5-11 06:54:42

n=n时的情况是FTAP和次级套期保值φ，即φ不涉及或投资者多头φ。n=n+1的情况是超级对冲φ。允许Ohmn:=Ohm x Tn.这里Tn（resp.Tn+1）代表短期美国期权h（resp.h和φ用于超级对冲）的行使时间空间。对于k=1，n、设θk：Ohmn7→ T、 θk（ωn）=tk，ωn=（ω，T，…，tn）∈ Ohmn、（2.6）我们从Ohm 到Ohmn、例如，Snt（ωn）：=St（ω）表示ωn=（ω，t，…，tn）∈ Ohmn、我们同样扩展了dfi、gjn和φ（用于次级套期保值，即当n=n时），我们分别将扩展表示为fin、gjn和φn。对于k=1，N.我们从Ohm 到Ohmn、 hkn（ωn）：=hktk（ω），ωn=（ω，t，…，tn）∈ Ohmn、类似地，（对于超级对冲），我们从Ohm 到OhmN+1，φN+1ωN+1:= φtN+1（ω），ωN+1=（ω，t，…，tN+1）∈ OhmN+1。备注2.3。扩展φ和φN+1有不同的用途：φ是美式期权，将在s ub套期保值问题中考虑，而φN+1是欧式期权，将在超级套期保值问题中考虑。接下来，让我们来定义放大的过滤。对于t=0，T，Fnt:=σ（Ft×Tn，{θk≤ s} ，s=0，t、 k=1，n），式中Ft×Tn:={A×Tn:A∈ Ft}。表示fn：=Fntt=0，最后，对于n=n，n+1，设pn为（Tn，B（Tn））上的任何概率测度，且具有完全支持。也就是说，对于任何（t，…，tn）∈ TnPn（{t，…，tn}）>0。LetPn:=P 请注意。Mn:=(Ohmn、 FnT，Fn，Pn）将作为放大的过滤概率空间使用。设HN（分别为HN+1）是FN适应（分别为FN+1适应）过程的集合，代表基于信息F的股票动态交易策略集以及h的行使时间（分别为h和φ，用于超级对冲）。同样，让我们来看一组Fn清算策略。下面我们将在扩大的过滤概率空间中给出半静态交易策略的定义。定义2.6。

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kedemingshi

2022-5-11 06:54:46

对于n=n，n+1，如果（a，b，c），则称五元组（H，a，b，u，c）为Mn半静态交易策略∈ RL+×RM+×RN+，H∈ 嗯，还有∈ （Ln）M.表示Anas的一组MN半静态交易策略。使用半静态交易策略（H、a、b、u、c）进行支付∈ 嗯。r、 t.价格α，β，γ由Φnα，β，γ（H，a，b，u，c）给出：=H·Sn+a（fn- α） +b（u（gn）- β) - c（hn）- γ).我们用B来识别Borel-sigma代数。2.4. FTAP和对冲的双重性。定义2.7（无套利）。对于n=n，n+1，我们说不存在套利（NA）。r、 t.任何Mn半静态交易策略（H、a、b、u、c）的价格α、β、γ∈ AnΦnα，β，γ（H，a，b，u，c）≥ 0，Pn-a.s.，表示Φnα，β，γ（H，a，b，u，c）=0，Pn-a.s。。我们说严格无套利（SNA）在MN中成立，如果存在ε>0使得NA在Mnw中成立。r、 t.p.ricesα- ε, β - ε, γ + ε.显然，我们有以下几点。推论2.1。NA和SNA分别相当于NA和SNA inMN。对于n=n，n+1，我们将表示上的集合鞅测度(Ohmn、 FnT，Fn）由Mn提供。通过qn:=（Q）确定与Pn等价且满足分布约束（来自于必须正确定价给定期权价格）的MN子集~ Pn:Snis a Q-martin gale，EQhfni<α，EQhhni>γ，supτ∈TnEQ[gnτ]<β），（2.7），其中tn表示Fn停止时间集，supτ∈TnEQ[gnτ]：=supτ∈TnEQhgτni，supτ∈TnEQhgMτni！，上面的不等式是按分量理解的。定理2.3（FTAP）。对于n=n，n+1，SNA inMn<==> Qn6=.证据结果由[5，定理3.1]暗示。事实上，在[5，第3节]中引入的概率空间足够一般，可以将其应用于扩大的空间mn。备注2.4。让我们指出，[5，定理3.1]的证明使用了一个分离的超平面参数。选择项的有界性被用来证明某个集合的封闭性∞在弱星拓扑下。

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2022-5-11 06:54:51

特别是，清算策略的弱紧性对于证明封闭性是必要的。备注2.5。直觉上，MN中的SNA应等同于MN+1中的SNA，因为来自θN+1的额外信息在无套利方面不起作用。等价性也可以从定理2.3中得到证明。的确，如果SNA在MN中成立，那么就存在Q∈ QNby定理2.3。对于t=0，T，letQt:=Q δ{t}。那么就很容易看到Qt了∈ 用N=N+1满足（2.7）中的不等式。LetQ′：=T+1TXt=0Qt=T+1Qδ{0}+ . . . + δ{T}.然后∈QN+1。因此，根据定理2.3，SNA也适用于MN+1。相反，如果SNA保持inMN+1，则存在R′∈ QN+1由定理2.3得出。设R为R′on的限制OhmN、 FNT. 注意到supτ∈TNERhgMτNi≤ supτ∈TN+1ER′hgMτN+1i，我们有∈QN。这意味着SNA也适用于MN。备注2.6。如果在原概率空间上(Ohm, F、 F，P）存在一个鞅测度~ P使得等式[f]<α，supτ∈TEQ[gτ]<β和supτ∈TEQ[hτ]>γ（其中T是抵消停止时间），那么我们直观地预计SNA将保持inMN（因此MN+1byRemark 2.5）。这也可以从定理2.3中看出。实际上，对于k=1，N、让τk∈ 不要让EQ[hkτk]>γk。现在定义Q′onOhmN、 FNTbyQ′（A）：=ZOhmNA（ω，t，…，tN）Q（dω）dδ{（τ（ω），…，τN（ω））}，A∈FNT。然后可以证明Q′∈ mn满足（2.7）中的不等式，n=n。设P是（TN，B（TN））上的一个概率测度，具有完全支撑，且Q′：=Q P然后它可以显示在Q′~pn与Q′的关系∈ mneq′′[fn]<α和supτ∈TnEQ′′[gnτ]<β。对于λ∈ （0,1），letQλ：=（1）- λ） Q′+λQ′。然后我们可以知道Qλ∈qnNλ足够接近0。因此，SNA适用于MN。对于以下定义，回忆一下扩展φ和φN+1之间的差异会有所帮助（见备注2.3）。定义2.8。

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2022-5-11 06:54:55

我们通过π（φ）定义φ的次级套期保值价格：=supnx∈ R:（H，a，b，u，c）∈ 阿南德η∈ LN，s.t.ΦNα，β，γ（H，a，b，u，c）+η（φN）≥ x、 PN-a.s.o，（2.8）及其由π（φ）构成的超级套期保值价格：=infnx∈ R:（H，a，b，u，c）∈ AN+1，s.t.x+ΦN+1α，β，γ（H，a，b，u，c）≥ φN+1，PN+1-a.s.o.（2.9）显然，我们有以下几点。推论2.2。π（φ）=π（φ）和π（φ）=π（φ）。回想一下（2.7）中定义的鞅测度集。我们有以下子边和超边双重性，没有模型歧义。定理2.4（对冲二元论）。让SNA持有inMN（因此备注2.5中的MN+1）。那么π（φ）=infQ∈QNsupτ∈TNEQhφNτi和π（φ）=supQ∈QN+1EQhφN+1i。此外，存在最优的次级和超级对冲策略。证据结果由[5，定理3.2]所影响，因为[5，第3节]中引入的概率s空间足够一般，可以应用于扩大的空间mn。备注2.7。让我们指出，[5，Theorem 3.2]中的对冲二元论源自[5，Theorem 3.1]。至于最优套期保值策略的存在性，使用了流动策略的Bax-Chacon拓扑（参见[13]），这就是涉及期权有界性（或可积性）的地方。备注2.8。有可能∈QNsupτ∈TNEQhφNτi>supτ∈TNinfQ∈QNEQhφNτi.我们参考[3，示例2.1]了解此类示例。事实上，如果我们假设φ是不可除的（见[3，定理2.1]），则方程的右边将是φ的子套期保值价格。请注意，区分性对长期美式期权（包括次级套期保值期权）很重要。备注2.9。可以看出infq∈QNsupτ∈TNEQhφNτi≤ supQ∈QNsupτ∈TNEQhφNτi≤ supQ∈QN+1EQhφN+1i。（2.10）事实上，对于任何Q∈QN，设τε∈ TNbe是supτ的ε优化器∈TNEQhφNτi.定义Q′on的概率度量OhmN+1，FN+1TbyQ′（A）：=ZOhmN+1A（ω，t，…，tN，tN+1）dQ（ω，t，…，tN）dδ{τε（ω，t，。。。

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2022-5-11 06:54:58

，tN）}，A∈FN+1T。然后可以证明Q′∈ MN+1满足（2.7）中的不等式，n=n+1。此外，EQ′hφN+1i=EQhφNτεi≥ supτ∈TNEQhφNτi- ε.LetQ′：=T+1Qδ{0}+ . . . + δ{T}.然后可以证明Q′∈QN+1。LetQλ：=（1）- λ） Q′+λQ′。那么很容易看出Qλ∈任意λ的QN+1∈ (0, 1). 此外，通过选择足够接近0的λ，我们可以让Qλ为sup^Q∈QN+1E^QhφN+1i≥ 等式λhφN+1i≥ 等式\'hφN+1i- ε ≥ supτ∈TNEQhφNτi- 2ε.通过Q和ε的任意性，我们得到了（2.10）个保持。在f法中，（2.10）应该保持在一个直观的水平上，因为（2.10）中的第二项对应于φ的超级套期保值价格，而φ的持有者在开始时向套期保值者揭示了停止策略。详细讨论请参考[3，第3.1节]。我们还要指出，在（2.10）中，第三项可能严格大于第二项。对于此类示例，我们参考[3，示例3.1]、[15]和[12，示例2.9]。3.模型不确定性下的无套利和套期保值在本节中，我们将FTAP和h edging du ALITES扩展到模型不确定性的情况，模型不确定性由一系列不一定占主导地位的措施描述。我们将直接在扩大的空间上制定出规则和对冲。定理3.1和3.2是本节的主要结果。在本节中，我们的符号将稍微改变，以适应模型的不确定性。3.1. 原始空间。我们在[8]中跟进了s et。对于任何集合X，设B（X）是它的Borel-sigmaalgera，P（X）是（X，B（X））上的概率测度集。设Ξ为完全可分空间，T∈ N成为时间的地平线。设Ξt:=Ξt为t倍笛卡尔积，t为1，T（按惯例Ξ是一个独生子女）。标志Ohm := ΞT.我们用ftb表示B（ΞT）的普遍完成，F:=（Ft）T=0，T.每T∈ {0, . . .

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2022-5-11 06:55:02

T- 1} ω∈ Ξt，我们给出了（Ξ，B（Ξ））上概率测度Pt（ω）的非空凸集。我们假设，对于每一个t，Ptis的图是解析的，这确保pta接受一个普遍可测的选择器，即一个普遍可测的核Pt:Ξt→ P（Ξ）使得Pt（ω）∈ 所有ω的Pt（ω）∈ Ξt.LetP:={P . . . PT-1:Pt（·）∈ Pt（·），t=0，T- 1} ，（3.1）其中，每个PTI都是Pt的通用可测量选择器 . . . PT-1（A）=ZOhm. . .ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT）-1.dωT）。P（dω），A∈ B(Ohm).概念S、f、g、h、α、β、γ、φ的定义如第2节所述，但这里我们要求S、g、h、φ为（B（Ξt））t-适应，f为B(Ohm)-可测量的我们做出以下假设。假设3.1。（i）上的鞅测度集(Ohm, Ft，F）Q（α）：={Q<< P:S是Q-鞅，EQ[f]≤ α} 是弱紧的，其中Q<< P意味着存在一些P∈ P支配Q.（ii）f从下有界，h从上有界，ω上半连续∈ Ohm.（iii）g和φ在ω中有界且一致连续∈ Ohm.备注3.1。对于满足假设3.1的示例，我们参考[5，示例5.1和5.2]。备注3.2。如果φ被认为是超模糊的，那么φ只需要在ω中从上到上半连续有界∈ Ohm.3.2. 扩大了空间。对于n=n，n+1，如第2.3节所述(Ohmn、 FnT，Fn）是用于(Ohm, 英国《金融时报》，F）。所有变量fn，gn，hn，φn，hn，Ln，An，Φnα，β，γ（H，a，b，u，c）与之前一样，除了我们要求任何u=（u，…，uT）∈ Ln，这是可测量的。LetPn:={P R:P∈ P、 R是（Tn，B（Tn））}上的概率度量，表示Mn:=(Ohmn、 FnT，Fn，Pn）。FTAP和对冲的双重性。定义3.1（无套利）。

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2022-5-11 06:55:05

对于n=n，n+1，我们说Mnw中没有套利（NA）。r、 t.任何Mn半静态交易策略（H、a、b、u、c）的价格α、β、γ∈ AnΦnα，β，γ（H，a，b，u，c）≥ 0，Pn-q.s.，表示Φnα，β，γ（H，a，b，u，c）=0，Pn-q.s。。我们说严格无套利（SNA）在MN中成立，如果存在ε>0使得NA在Mnw中成立。r、 t.p.ricesα- ε, β - ε, γ + ε.定义3.2（套期保值协议）。我们通过π（φ）定义φ的次级套期保值价格：=supnx∈ R:（H，a，b，u，c）∈ 阿南德η∈ LN，s.t.ΦNα，β，γ（H，a，b，u，c）+η（φN）≥ x、 PN-q.s.o，（3.2）及其π（φ）的超套期保值价格：=infnx∈ R:（H，a，b，u，c）∈ AN+1，s.t.x+ΦN+1α，β，γ（H，a，b，u，c）≥ φN+1，PN+1-q.s.o.（3.3）对于N=N，N+1和（α′，β′，γ′）∈ RL×RM×RN，定义上的鞅测度集(Ohmn、 FnT，Fn），Qn（α′，β′，γ′）：<< 请注意：Snis a Q-martin gale，EQhfni≤ α、 EQhhni≥ γ、 supτ∈TnEQ[gnτ]≤ β).（3.4）定理3.1（对冲二元论）。让假设3.1保持不变。如果SNA在MN中成立，那么π（φ）=infQ∈QN（α，β，γ）supτ∈TNEQhφNτi和π（φ）=supQ∈QN+1（α，β，γ）EQhφN+1i。此外，还存在Q′∈QN（α，β，γ）和Q′∈ QN+1（α，β，γ）达到上述对偶的内确界和上确界。定理3.2（FTAP）。让假设3.1保持不变。那么sna在MNif中成立，并且仅当存在ε>0，使得对于任何P∈ PN，存在Q∈ QN（α）- ε, β - ε、 γ+ε）占主导地位。定理3.1和3.2的证明。在证明本节的主要结果之前，我们将得到一些初步结果。定理的证明在这一小节的末尾。在整个过程中，我们使用n，当我们的意思是一个语句同时适用于n=n和n=n+1时。定义3.3。我们说NA（Pn）成立，如果有H的话∈ 嗯，H·S≥ 0，Pn-q.s.，表示H·s=0，Pn-q.s。。定义上的鞅测度集(Ohmn、 FnT，Fn），Qn:={Q<< 请注意：Snis a Q-martin gale}。对于一组概率测度P，我们说一个属性保持P-q。s、，如果物业持有P-a.s。

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2022-5-11 06:55:09

任何P∈ 引理3.1。NA（Pn）成立的充要条件是∈ pnq存在∈ 令人讨厌的P。证据[8]的结果并不直接适用，因为它们是在正则空间中工作的。但扩大其结果并不困难。首先，请注意，与往常一样，这种效率是显而易见的。让我们关注必要性。如果NA（Pn）h变大，那么很容易看出NA（P）在原始空间中保持不变(Ohm, FT，F）（即，对于任何F适应过程H，如果H·S≥ 0 P-q.s.，那么H·s=0 P-q.s.）。那么对于任何P R∈ PNP∈ P和R是（Tn，B（Tn））上的概率测度，由[8，定理4.5]可知，Q是原空间上的鞅测度(Ohm, FT，F）和P′∈ 如此<< Q<< P′。然后Q R∈n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n R让ζ：Ohmn7→ R是可测量的。仅使用S作为π（ζ）：=inf{x的动态读取来定义ζ的超级套期保值p rice∈ R:H∈ Hn，s.t.x+H·Sn≥ ζ、 Pn-q.s.}。引理3.2。让NA（Pn）保持。那么π（ζ）=supQ∈QnEQ[ζ]。（3.5）此外，存在一个最优的超级套期保值策略。证据我们对[12，第3.1节]中的论点进行了修改，只绘制p屋顶。为了简化演示，我们假设n=2。对于t=0，T，设ΞT=ΞT×{0，…，T}和Gt:=Ft∨ σ(θ∧ （t）∨ σ(θ∧ t），其中θ和θ的定义如（2.6）所示。对于t=0，T- 1和ω∈ Ξt，letQt（ω）：={Q<< Pt（ω）：等式[y（St+1）（ω，·）- St（ω））]=0，Y∈ Rd}。我们将在以下四个步骤中提供证明的主要思想。第一步。让我们∈ {0，…，T- 1}. 对于上半解析函数χ：Ξt+17→定义地图（χ）：Ξt7→\'R byEt（χ）（ω）：=supQ∈Qt（ω）EQ[χ（ω，·s，s）]1{s<t，s<t}+EQ[χ（ω，·s，t）]∨ EQ[χ（ω，·s，t+1）]1{s<t，s=t}+EQ[χ（ω，·t，s）]∨ EQ[χ（ω，·t+1，s）]1{s=t，s<t}+EQ[χ（ω，·t，t）]∨ 等式[χ（ω，·t，t+1）]∨ 等式[χ（ω，·，t+1，t）]∨ 等式[χ（ω，·，t+1，t+1）]1{s=s=t},对于ω=（ω，s，s）∈ Ξt.从[8，引理4.10]，Et（χ）是上半解析的。

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nandehutu2022

2022-5-11 06:55:12

此外，还有许多可测函数yi:Ξt7→ Rd，i=1，2，3，4，这样的话，et（χ）（ω）+y（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ χ（ω，·，s，s），Et（χ）（ω）+y（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ χ（ω，·，s，t+1），Et（χ）（ω）+y（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ χ（ω，·，t+1，s），Et（χ）（ω）+y（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ χ（ω，·，t+1，t+1），P（ω）-q.s.对于任何ω=（ω，s，s）∈ NA（Pt（ω））持有的Ξtsuch。第二步。现在假设ζ从上方有界。然后按照[12，引理3.2]中的论点，我们可以证明supq∈QlocEQ[ζ]=Eo . . . o ET-1（ζ），（3.6），其中qlo c:={Q<<P:sisa（Q，F）-局部鞅}。的确，对于任何问题∈Qlo c，我们可以使用反向归纳来表示eq[ζ| Gt]≤ Eto . . . o ET-1（ζ）=:Et（ζ）（3.7）Q-a.s.对于t=0，T- 1.这意味着≤” 保持（3.6）。相反，我们可以执行一个可测量的选择参数，并构造一个ε优化器来显示“≥” 对于（3.6）。第三步。假设ζ从上方有界。回想（3.7）中定义的Et（ζ），并表示Et[ζ]=ζ。在步骤1中，对于t=0，T- 1存在普遍可测函数yit，i=1,2,3,4，比如t（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ Et+1（ζ）（ω，s，s）- Et（ζ）（ω），yt（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ Et+1（ζ）（ω，s，t+1）- Et（ζ）（ω），yt（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ Et+1（ζ）（ω，t+1，s）- Et（ζ）（ω），yt（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ Et+1（ζ）（ω，t+1，t+1）- Et（ζ）（ω），P（ω）-q.s.对于任何ω=（ω，s，s）∈ Ξtwith NA（Pt（ω））成立。因此，T-1Xt=0Ht（St+1-（圣）≥T-1Xt=0Et+1（ζ）- Et（ζ）= ζ - E[ζ]=ζ- supQ∈QlocEQ[ζ]，P-q.s.，其中ω=（（ω，…，ωT），s，s）∈ Ohm,Ht（ω）：=yt（[ω]t）1{s≤t、 s≤t} +yt（[ω]t）1{s≤t、 s>t}+yt（[ω]t）1{s>t，s≤t} +yt（[ω]t）1{s>t，s>t}，其中[ω]t:=（（ω，…，ωt），s，s）∈ Ξt对于t=0，T因此，π（ζ）≤ supQ∈QlocEQ[ζ]。利用[8，引理A.3]中的p屋顶，我们可以证明supQ∈QlocEQ[ζ]=supQ∈QEQ[ζ]。很容易显示弱d性，π（ζ）≥ supQ∈QEQ[ζ]。因此，当ζ从上方有界时，（3.5）成立。第四步。

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2022-5-11 06:55:15

一般来说，使用[8，定理2.2]我们可以证明limm→∞π(ζ ∧ m） =π（ζ）。也就是说，对于任何人来说∈ Rd，如果y（St+1（ω，·）- St（ω））≥ 0pt（ω）-qs，然后y（St+1（ω，·）- St（ω））=0 Pt（ω）-q.s。。此外，利用单调收敛定理，得到了线性矩阵不等式→∞supQ∈QEQ[ζ∧ m] =s upQ∈QEQ[ζ]。因此（3.5）小时。最优套期保值策略的存在性来自[8，定理2.3]。设ξ：=（ξ，…，ξe）：Ohmn7→ Rebe Borel m easurable，代表可用于静态购买的欧洲期权，价格为)ξ：=（)ξ，…，)ξe）∈ 控制空间(Ohmn、 FnT，Fn）。对于i=1，e、假设等式ξi<∞ 和等式|ζ|<∞ 任何问题∈ Qn。定义3.4。我们说NA（Pn）与空间中的（ξ，~ξ）保持一致(Ohmn、 FnT，Fn），如果有（H，a）∈Hn×Re+，H·Sn+a（ξ）-~ξ) ≥ 0，Pn-q.s.，然后H·Sn+a（ξ-ξ=0，Pn-q.s。。我们说SNA（Pn）与（ξ，ξ）保持一致，如果存在ε>0，那么NA（Pn）与（ξ，ξ）保持一致- ε).给定^ξ∈ Re，letQn^ξ：={Q<< Pn:Snis a Q-martin gale，EQ[ξ]≤^ξ}.用（ξ，^ξ）定义ζ的超h边缘价格为πe（ζ）：=inf{x∈ R:（H，a）∈ Hn×Re+，s.t.x+H·Sn+a（ξ）-^ξ) ≥ ζ、 Pn-q.s.}。引理3.3。（i） SNA（Pn）与（ξ，~ξ）成立，当且只有if存在ε>0，这样对于anyP∈ Pn，存在Q∈ Qnξ- ε支配P。（ii）让SNA（Pn）与（ξ，ξ）保持一致。那么πe（ζ）=supQ∈Qn~ξEQ[ζ]。（3.8）此外，存在一个最优的超级套期保值策略。证据我们对[4，定理2.1]的论点进行了修改，并将仅简要说明证明。在[4，定理2.1]的p屋顶的第1部分之后，我们可以证明setC:={H·Sn+a（ξ-~ξ) - W:H∈ 嗯，a∈ Re+，W≥ 0 Pn-q.s.}，已关闭。也就是说，如果Uj∈ C和Uj→ UPn-q.s.as j→ ∞, 然后你∈ C

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2022-5-11 06:55:19

Let（Hj，aj）∈ Hn×Re+使得πe（ζ）+j+Hj·Sn+aj（ξ）-~ξ) ≥ ζ、 Pn-q.s。。然后通过C的封闭性，存在（H，a）∈ Hn×Re+使得πe（ζ）+H·Sn+a（ξ）-~ξ)) ≥ ζ、 Pn-q.s。。这意味着最优对冲策略的存在。我们将使用归纳法来显示（i）和（3.8）。通过引理3.1和3.2，结果适用于e=0。假设e=k的结果成立，考虑e=k+1的情况。对于j=k，k+1，表示ξξj=（ξ，…，ξj），～ξξj=（～ξ，…，～ξj），πj（·）使用股票和期权的超级套期保值价格ξj，和qn^ξξj:={Q<<Pn:Snis a Q-martin gale，EQ[ξξj]≤^ξj}，^ξj∈ Rj。e=k+1时（i）的证明。必要性部分很容易展示，我们关注的是效率。由于SNA与（ξk+1，~ξk+1）保持一致，因此存在ε>0，使得SNA仍然与（ξk+1，~ξk+1）保持一致-ε).然后通过归纳假设，我们得到了infq∈Qn~ξξk-εEQ[ξk+1]=-πk(-ξk+1）≤ξk+1- ε.因此，存在Q*∈ Qn~ξξk-ε等于*[ξk+1]≤ξk+1-ε. （3.9）由于SNA也适用于（ξk，~ξk），根据归纳假设存在ε′>0，因此对于anyP∈pnq存在∈ Qn~ξξk-ε′支配P。现在让δ：=ε∧ε′. 对于任何P′∈Pn，letQ′∈Qn~ξξk-ε′ Qn~ξξk-δ支配P′。然后选择λ∈ （0，1）足够接近0，我们可以证明P′<< (1 - λ） Q*+ λQ′∈Qn~ξξk-δ.e=k+1时（3.8）的证明。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设ζ是从上而下的。否则，我们可以首先考虑ζ∧ 然后发送m→ ∞ 如引理3.2证明中的第4步。“很容易展示”≥” 对于（3.8），我们关注的是反向不平等。

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2022-5-11 06:55:23

必须证明存在Qj∈Qn)ξξξksuch thatlimj→∞EQj[ξk+1]≤ξk+1和limj→∞EQj[ζ]≥ πk+1（ζ）。事实上，如果这样的qj存在，那么我们可以取Qλ：=（1）- λ） Qj+λQ*, λ在哪里∈ （0,1）和Q*ischosen（3.9）；通过选择足够大的j和接近0的λ，我们可以证明Qλ∈任意接近πk+1（ζ）的Qn∧ξk+1和qλ[ζ]，这意味着≤” 对于（3.8）。假设这样的Qjdoes不存在，那么n（等式[ξk+1]，等式[ζ]）：Q∈QnSξξko∩ (-∞,ξk+1]×πk+1，∞) = .然后存在（y，z）∈ R\\{（0，0）}这样∈Qn∧ξkEQ[yξk+1+zζ]>sup（a，b）∈(-∞,ξk+1]×πk+1，∞)（ya+zb）≥ y~ξk+1+zπk+1（ζ）。很明显，这很令人沮丧≥ 0和z≤ 存在ε>0，使得y∧k+1+z（πk+1（ζ）- ε） <infQ∈QnξξkEQ[yξk+1+zζ]。现在考虑一下有期权（ξ，…，ξk，yξk+1+zζ）的市场，这些期权可用于静态购买，价格为（~ξ，…，~ξk，y~ξk+1+z）（πk+1（ζ）- ε)). 可以证明SNA是成立的。因此，y∧k+1+z（πk+1（ζ）- ε) ≥ infQ∈QnξξkEQ[yξk+1+zζ]。矛盾引理3.4。SNA与（（fN，-hN），（α，-γ））在太空中(OhmN、 FNT，FN）当且仅当SNA与（（FN+1，-hN+1），（α，-γ））在太空中(OhmN+1，FN+1T，FN+1）。证据该证明类似于备注2.5中的论点，我们在此省略。引理3.5。对于k=1，K、设gk=（gkt）t=0，t=1，….的有界适应过程一致连续，T，即对于T=1，T和k=1，Kgkt（ω，t）- gkt（ω，t）≤ ρmaxs=1，t |ωs- ωs|, ωi=（ωi，…，ωiT）∈ ΞT，i=1，2，T∈ Tn，其中ρ是连续性模量。设R是一个凸的弱紧概率测度集(Ohmn、 FnT）。然后是SUPuk∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#=infR∈Rsupuk∈Lnk=1，KER“KXk=1uk（gk）#=参考∈Rsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#（3.10）证明。我们修改了[5，引理6.1]的证明。

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2022-5-11 06:55:27

为了克服这两方面的困难，i）停止时间的不连续性，ii）集合R可能没有一个主要的度量，我们将首先离散化Ohmn、然后，我们将极小极大定理应用于（3.10）的离散化表达版本，并最终得出结论。为此，让我∈N B（Ξ）是Ohm, 这样，每根管子的直径小于1/m。以omi为例∈ Ami为每个i和m定义映射λm：Ohmn7→ Ohmn对于任何ω=（ω，…，ωT，T，…，tn）∈ Ohmn=ΞT×Tn，如果ωT∈ Amitfor t=1，然后λm（ω）=（oi，…，oiT，T，…，tn）。LetRm:={Ro （λm）-1:R∈ R} 。我们将分四步来展示（3.10）。第一步。我们向你展示Lim supm→∞超级微克∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#≤ 超级微克∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#（3.11）固定ε>0。让（um，…，uKm）∈自然对数例如：∈RmER“KXk=1ukm（gk）#≥ 超级微克∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#- ε.通过（uKm）t=（uKm）t定义（)um，…，)uKm）o λm，对于t=0，T和k=1，K.我们可以证明（~un，~uKn）∈ （Ln）K.对于任何∈ R、设~~Rm:=~Ro （λm）-1.∈ Rm。然后呢?Rm“KXk=1ukm（gk）#=E?R”KXk=1TXt=0（（ukm）to λm）（gkto λm）#=E＠R“KXk=1TXt=0（＠ukm）t（gkto λm）#。因此ERm“KXk=1ukm（gk）#- ER“KXk=1ukm（gk）#≤ ER“KXk=1TXt=0（)ukm）t（gkt）o λm）- gkt#≤ Kρ（1/m）。因此，我们有这个supuk∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#- ε ≤ 在fR中∈RmER“KXk=1ukm（gk）#≤ ERm“KXk=1ukm（gk）#≤ ER“KXk=1ukm（gk）#+Kρ（1/m）。通过R的任意性，我们得到了supuK∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#- ε ≤ infR∈RER“KXk=1)ukm（gk）#+Kρ（1/m）≤ 超级微克∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#+kρ（1/m）。在上方两侧取limsup，然后发送ε0，我们有（3.11）个保持。步骤2.我们显示supuk∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#=参考∈Rmsupuk∈Lnk=1，。。。

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2022-5-11 06:55:31

，KER“KXk=1uk（gk）#。作为λ不可数域，存在一个概率测度R*在λmthat支配Rm的域上。然后我们就有了这个supuk∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#=supuk∈Lnk=1，金佛∈RmER*“博士*KXk=1uk（gk）#=inf∈Rmsupuk∈Lnk=1，克尔*“博士*KXk=1uk（gk）#=inf∈Rmsupuk∈Lnk=1，KER“KXk=1uk（gk）#，其中我们应用极小极大定理（参见[17，推论2]）求第二等式，并使用Ln是紧的事实和映射：（u，…，uN）7→ 急诊室*“博士*NXk=1uk（gk）#在Baxter-Chacon拓扑下是连续的*（参见[13]）。第三步。我们展示了∈Rsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#≤ lim infm→∞infR∈Rmsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#（3.12）在不丧失一般性的情况下，我们假设∈Rmsupτk∈Tnk=1，KERhPKk=1gkτki）m∈不一致。固定ε>0。以Rm为例∈ RMSUPτk∈Tnk=1，KERm“KXk=1gkτk#≤ infR∈Rmsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#+ε∈ R应使Rm=~Rmo（λm）-1.由于R是弱紧的，所以存在R∈ R这样，直到一个子序列Rmw-→对于任何有界一致连续函数f∈ B(Ohmn） ,，ERmf- 电子射频≤ERmf- ERmf+ERmf- 电子射频=ERm（f）o λm）- ERmf+ERmf- 电子射频≤ ERm |（f）o λm）- f|+ERmf- 电子射频≤ ρf（1/m）+ERmf- 电子射频→ 0米→ ∞,式中，ρfis是f的连续模量。因此，Rmw-→自mapR 7以来→ supτk∈TnERhgkτki在弱拓扑下是下半连续的（参见[14，定理1.1]），mapR 7→KXk=1supτk∈TnERhgkτki=supτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#也是下半连续的→∞infR∈Rmsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#+ε≥ lim infm→∞supτk∈Tnk=1，KERm“KXk=1gkτk#≥ supτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#≥ infR∈Rsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#。让ε0我们得到（3.12）。步骤4。从步骤1-3我们得到了这个值∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#≤ infR∈Rsupuk∈Lnk=1，KER“KXk=1uk（gk）#=参考∈Rsupτk∈Tnk=1，。。。

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2022-5-11 06:55:34

，KER“KXk=1gkτk#≤ 林恩芬→∞infR∈Rmsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#=lim infm→∞infR∈Rmsupuk∈Lnk=1，KER“KXk=1uk（gk）#=lim infm→∞超级微克∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#≤ 林s upm→∞超级微克∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#≤ 超级微克∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#，其中第一个和第二个等式（从清算策略到停止时间，然后返回）遵循[13，命题1.5]。引理3.6。假设3.1（i）（ii）成立。对于n=n，n+1，setQn（α，γ）：=nQ<< Pn:Snis a Q-鞅，EQhfni≤ α、 EQhhni≥ γo是弱紧的。证据以ε>0为例。由于Q（α）是弱紧的，因此存在一个紧集K∈ B(Ohm) 这样的话Q（K）≥ 1.- 任意Q的ε∈ Q（α）。对于anyQ∈ Qn（α，γ），我们可以写成Q=Q′（·） Q′（·，t，…，tn），（3.13），其中Q′是Q的边际分布(Ohm, B(Ohm)), Q′是一个过渡核。此外，很容易看出Q′∈ Q（α）。然后我们得到Q（K×Tn）=Q′（K）>1- ε.这意味着集合Qn（α，γ）是紧的，因此pre紧。现在拿（气）∞i=1 Qn（α，γ）使得-→Q∞, 我们将展示Q∞∈ Qn（α，γ）。如（3.13）所示，Qi=Q′i（·） Q′i（·，t，…，tn），i=1，∞.显然是Q\'iw-→ Q′∞. 由于Q（α）是弱紧的，Q′∞∈ Q（α）。然后就有了P∈ Pdominating Q′∞. 这意味着∞<< 请注意，因为Q∞由P主导在TNR上进行任何概率测量，并提供全力支持。此外，S是Q′∞-鞅测度意味着snis aQ∞-鞅∞hfni=EQ′∞[fn]≤ α.最后，作为EQihhni≥ γ和qiw-→Q∞, 我们有情商∞hhni≥ 假设3.1（ii）中的γ。定理3.1的证明。我们修改了[5，定理5.1]的证明。当SNA持有inMN时，SNA（PN）持有（（fN，-hN），（α，-γ)). 那么π（φ）=supb∈RM+supu∈液态氮M、 η∈LNsupnx∈ R:（H、a、c）∈ HN×RL+×RN+，s.t.ΦNα，β，γ（H，a，b，u，c）+η（φN）≥ x、 PN-q.s.o=supb∈RM+supu∈液态氮M、 η∈LNinfQ∈QN（α，γ）EQhbugN- β+ηφNi=supb∈RM+infQ∈QN（α，γ）supτ，τj∈TNj=1，。。。

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2022-5-11 06:55:38

，MEQMXj=1bjgjτjN- βj+φNτ, （3.14）其中，第二个等式采用引理3.3（ii），第三个等式采用引理3.5和3.6。现在是b≥ 0地图7→ supτ，τj∈TNj=1，MEQMXj=1bjgjτjN- βj+φNτ是线性的，mapQ 7→ supτ，τj∈TNj=1，MEQMXj=1bjgjτjN- βj+φNτ在弱拓扑下是凸的和下半连续的，参见[14，定理1.1]。由于引理3.6给出了qn（α，γ）的弱紧性，我们可以将极大极小定理（见[17，推论2]）应用于（3.14）并得到π（φ）=infQ∈QN（α，γ）supb∈RM+supτ，τj∈TNj=1，MEQMXj=1bjgjτjN- βj+φNτ= infQ∈QN（α，β，γ）supτ∈TNEQhφNτi.Let（Qm）m∈NQN（α，β，γ） QN（α，γ）。由于QN（α，γ）是弱紧的，因此存在Q∈QN（α，γ）和（Qni）i∈N （Qn）n∈N、这样Qniw-→ 问：同样地，由[14，Th eorem 1.1]绘制的mapR 7→ supτ∈特纳gjτN对于j=1，…，为下半连续，M因此，supτ∈TNEQgjτN≤ 林英菲→∞supτ∈特涅克尼gjτN≤ βj，j=1，因此，Q∈QN（α，β，γ），这意味着QN（α，β，γ）是弱紧的。因此，自映射R7以来，π（φ）的对偶性的数量已达到→ supτ∈TNERhφNτ是下半连续的。正如SNA（PN）与（（fN，-hN），（α，-γ））SNA（PN）也适用于（（fN+1，-hN+1），（α，-γ））引理3.4。然后，超级套期保值价格的相应结果由类似但简单的论证得出。定理3.2的证明。我们很容易表现出这种能力，让我们把重点放在必要性上。我们将通过对长期美国选项数的归纳来证明，即M。对于M=0，结果来自引理3.3（i）。现在假设M=M的结果成立- 1.∈ N并证明它适用于M=M。适用于k=M- 1，m，表示NAk、SNAk、πk（·）和qn，表示定义3.1中定义的NAk、SNAk、πk（·）和qn，表示定义3.1中定义的SNA、定义（3.2）中定义的次级套期保值价格，以及（3.4）中定义的S、f、h和g等一组可分割度量，分别在明尼苏达州。

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2022-5-11 06:55:41

表示βk:=（β，…，βk）。让蜗牛来吧。然后存在δ>0，使得纳米线在MNw中保持不变。r、 t.α，（β，…，βm-1，βm- δ), γ. 因此πm-1（总经理）≤ βm- δ、（3.15）否则，人们会通过支付βm来进行套利- δ购买一个单位的gman并获得（πm）-1（gm）+βm- δ） /2通过一些交易策略。作为一个陷阱，陷阱-1同样适用。因此，根据定理3.1，我们得到了πm-1（gm）=infQ∈QN，m-1（α，βm）-1，γ）supτ∈TNEQhgmτNi。（3.16）此外，根据归纳假设，存在δ′>0，使得f或任何P∈请注意，确实存在∈ QN，m-1(α - δ′，βm-1.- δ′，γ+δ′）占主导地位。根据假设3.1（iii），存在C>0，使得t=0时|gmt |<C，T选择λ∈ （0，1）使β*:= λC+（1）- λ）（βm）- δ/2）<βm.Letα′：=λ（α- δ′) + (1 - λ)α = α - λδ′，γ′：=γ+λδ′和β′：=（β- λδ′, . . . , βm-1.- λδ′, β*).让P∈ 我们将证明存在一些Q∈QN，m（α′，β′，γ′） QN，m（α）- ε, β -ε、 γ+ε）支配P，其中ε：=（βm- β*) ∧ (λδ′). 通过（3.15）和（3.16），存在Q∈QN，m-1（α，βm）-1，γ），这样SUPτ∈TNEQhgmτNi<βm- δ/2.设Qλ：=λQ+（1）-λ） Q>> 显然，Qλ<< P、 Qλ是一个鞅测度，EQλhfNi≤ α′，EQλhhNi≥ γ′，和supτ∈TNEQλgjτN≤ βj- λδ′，j=1，M- 1.此外，supτ∈TNEQλhgmτNi=supτ∈TNλEQhgmτNi+（1）- λ） EQhgmτNi≤ λC+（1）-λ） supτ∈TNEQhgmτNi≤ β*.这意味着Qλ∈QN，m（α′，β′，γ′）。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer，《资产定价基本原理和超级复制定理》的无模型版本，数学金融，26（2016），第233-251页。[2] A.Aksamit、S.Deng、J.Ob l\'oj和X.Tan，《稳健定价——离散时间金融市场中美式期权的对冲双重性》，ArXiv e-prints，（2016年）。[3] E.Bayraktar，Y.-J.Huang和Z.Zhou，关于模型不确定性下的美国期权套期保值，暹罗J.金融数学。，6（2015），第425-447页。[4] E.Bayraktar、Y.Zhang和Z。

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