ThenZRdf（x）bXik（dx）=EbQhfbXiti（id）|bFki≥ EbQhfEbQ[bXiti（id）| bFtj]|bFki=EbQhfbXitj（id）|bFki=EbQhfbXjtj（id）|bFki=ZRdf（x）bXjk（dx），其中，第一个和最后一个等式后跟（a），倒数第二个等式是由于一致性yOfBq，而不等式后跟条件Jensen不等式。让我们用bycM表示动态扩张（b）的鞅测度集Ohm,bF，bF，i，Y）的(Ohm, F、 F、P、S、g）（有关动态扩展的定义，请参见第1.3节）。引理3.6。（a） 在anybQ下∈cMu，过程S和Yλ，对于λ∈ ∧，是（bQ，bF）鞅。特别是，其中一个是hascMu厘米（b） 映射I:cMu→ Mu，由I（bQ）=bQ定义o 我-1，是满射的。证据（a） 过程S=bXM（id）是（bQ，bF）-鞅，因为bQ是MVM度量。证明Yλ是任意λ的（bQ，bF）-鞅∈ ∧，这足以证明，对于任何一个≤ 曼德λ∈ 对于任何k<ti的情况，都有EbQhλ（bXMti（id））|bFki=bXik（λ）。后者持有自EbQhλ（bXMti（id））| bFki=EbQhλ（bXiti（id））| bFki=EbQhbXiti（λ）| bFki=bXik（λ），其中第一个等式后面跟着bq的一致性，第二个sincebQ终止，最后一个asbQ是MVM度量。（b） 让Q∈ Mu并定义过程η=（ηk，…，ηMk）k≤Nbyηik=LQ（Sti | Fk）。注意，通过定义，存在一个终止的、一致的MVM测量值Bq，使得Bq[bX=η]=1。对于bω∈BOhm, 我们在（1.19）中定义了一组[bω]bgKa，并用cMku（bω）表示以下一组测量值：cMku（bω）：=nbQ∈ P（b）Ohm) :bQ是终止的和一致的，bQ（[bω]bGk）=1和（bXl）k≤L≤Nis a（bQ，bF）-MVMo。让我们定义一系列运算符bEk等，如例1.11所示：bEk（bξ）（bω）=supQ∈cMku（bω）EQhbξi，bξ∈bΥ，然后是延伸部分Bek，以及第1.2节中放大的空间上的Be。然后我们有：定理3.7。对于所有上半解析函数sbξ：bOhm → RN，bEk（bξ）也是上半解析的和上半解析的∈cMuEbQ[bξ]=bE（bξ）。

（3.34）尤其是定价-对冲二元性（1.22）在本MOT上下文中适用于所有功能：Ohm → Rn是上半连续的，从上面有界。证据请注意，定价–对冲二元性Ohm 定理3.2成立。然后根据推论1.13，建立动态规划原理onb就足够了Ohm 证明定价对冲二元性（1.22）。使用与Bouchard和Nutz（2015）的（4.12）中完全相同的参数，建立B上的动态规划原理Ohm, 没有理由认为cmu满足{（bω，bQ）:bQ∈cMku（bω）}是解析的。为了证明上述分析性质，我们首先观察thatbEko ... o本-1（bξ）（bω）=bEk，k+1o ... o本-1，N（bξ）（bω），bξ∈其中Ek，k+1（bξ）（ω）=supMk，k+1u（ω）EQhbξiandcMk，k+1u（bω）：=nbQ∈ P（b）Ohm) :bQ是终止且一致的，bQ（[bω]bGk）=1bωk（f）=EbQ[bXk+1（f）]，F∈ 接下来，让Cdenote在一致收敛拓扑下成为C的一个可数稠密子集。那么很明显，对于每个k∈ T、 布景（bω，bQ）∈BOhm ×P（b）Ohm) :bQ公司∈cMk，k+1u（bω）=（bω，bQ）∈BOhm ×P（b）Ohm) :bQ（[bω]bGk）=1bQ终止且一致，bωk（f）=EbQ[bXk+1（f）]，F∈ C这是一套Borel套装。4第1节命题1.8的证明。首先，我们证明（1.13）意味着（1.9）。对于给定的ξonOhm 让我们来定义ψOhm 通过ψ（（ω，k））=-∞ 如果k∈ {1，…，N- 1} ψ（（ω，N））=ξ（ω）。ψ与（1.13）结合的定义意味着SUPQ∈MEQ[ψ]=Eo Eo ... o EN-1(ξ) .此外，还有一个问题∈MEQ[ψ]=supQ∈MEQ[ψN]=supQ∈MEQ[ξ]对于测量∈ 我是这样的(Ohm ×{1，…，N- 1} ）>0预期值降至-∞.现在让我们证明（1.9）和（1.14）意味着（1.13）。定义F-停止时间τ*按τ*（ω） ：=infnk≥ 1:Ek（ψ（·k））（ω）=Ek（ψ）（ω，k）o（4.35）=infnk≥ 1:Ek（ψ（·k））（ω）≥ 埃克Ek+1（ψ）（·，k+1）（ω） o.注意{k<τ*} 一个hasEk（ψ（·k））（ω）<Ek（ψ）（ω，k）=EkEk+1（ψ）（·，k+1）(ω). （4.36）那么o ...

o EN-1（ψ）==E{τ*=1} EE（ψ）（·，1）+ 11{τ*>1} EE（ψ）（·，2）= ... == Eo Eo ... o EN-1(Ψτ*)= supQ∈MEQ[ψτ*]民进党的最后一个平等是什么Ohm (1.9). 也请注意这一点o ... o EN-1（ψ）=supQ∈MEQ[ψτ*] ≤ supQ∈Msupτ∈T（F）EQ[ψτ]≤ supQ∈MEQ[ψ]。（4.37）结合（1.14），我们得出结论。提议4.1。例1.11（1.14）中给出的族（Ek）。证据在例1.11中，族（Ek）采用以下形式：E（ψ）：=supQ∈MEQ[ψ（·，1）]（4.38）Ek（ψ）（ω）：=（supQ）∈如果θ<ksupQ，则Mk（ω）EQ[ψ（·θ）]∈Mk（ω）EQ[ψ（·k）]∨ supQ∈如果θ≥ k、 为了证明（1.14）的正确性，以一种稍微不同的方式重写Ein是很有见地的，aseEbelow。让-k:=Gk σ（T）∧ （k） Gk:=Gk σ（T）∧ （k+1）） Fk σ（T）∧ （k+1））=：Fk，Mk，-（ω） ：={Q<< P:Qh[ω]G-ki=1和EQ[Sn | Fn-1] = 0 N∈ {k+1，…，N}，其中[ω]G-kis定义如（1.19）所示。接下来是ψ∈Υ，让我们介绍一下运算符see（ψ）：=supQ∈MEQ[ψ（·，1）]，eEk（ψ）（ω）：=supQ∈Mk，-（ω） 等式[ψ]，k≤ N- 1.表示Ek（·）：=Eko · · · o EN-1（·）andeEk（·）：=eEko · · · o伊恩-1（·），我们声称Ek（ψ）（ω）=Ek（ψ）（ω），0≤ k<N，ψ∈ Υ. （4.39）注意任何Q的条件正则概率∈M w.r.t.G-k、 表示为Qω，满足qh{ω：Qω∈Mk，-（ω） }i=1，一个有等式[ψ| F-k]≤eEk（ψ），Q-a.s.，这意味着（1.14）由条件期望的塔属性和Ee的定义。那么就足以证明这一主张（4.39）。注意，对于ω=（ω，θ）和θ≤ K- 1.测量∈ Mk，-（ω） 满足感Q|Ohm∈ Mk（ω）和Q(Ohm × {θ}) = 1; 还有一个量度Q∈Mk（ω）满足Q δθ∈Mk，-(ω). 因此很明显，在这种情况下，Ek（f）（ω）=eEk（f）（ω）。作为第二步，对于ω=（ω，θ）和θ≥ k、 我们证明了Ek（f）（ω）≤eEk（f）（ω）。Takeany Q∈ Mk（ω）。那么，对于n∈ {k，…，N}，Q δn∈Mk，-（ω） Q δn(Ohm ×{n}=1。因此，Ek（f）（ω）≤eEk（f）（ω）。在最后一步中，我们证明了，对于ω=（ω，θ）和θ≥ k、 Ek（f）（ω）≥eEk（f）（ω）成立。

让我们从k=N开始- 1.随便吃∈ 锰-1.-（ω） 以其r.c.p w.r.t.GN为例-1（原子{ω}×{N- 1，N}被分成{ω}×{N个原子- 1} 和{ω}×{N}）表示为QNand QN-1.那么，很明显，QN|Ohm和qn-1|Ohm属于MN-1（ω）和QN（{ω}×{N}）=1和QN-1（{ω}×{N- 1}) = 1. 因此，可以得出以下结论：-1（f）（ω）≥伊恩-1（f）（ω）。最后，为了完成证明，我们需要证明ek+1（f）（ω）=eEk+1（f）（ω）impliesEk（f）（ω）≥ω=（ω，θ）与θ的eEk（f）（ω）≥ k、 首先注意，Ek+1（f）（ω）=Ek+1（f）（ω）在θ上是常数∈ {k，…，N}，即所有ω的Ek+1（f）（（ω，θ））=Ek+1（f）（（ω，θ））∈ Ohm θ，θ∈ {k，…，N}。（4.40）取任意Q∈ Mk，-考虑它的r.c.p w.r.t.θN（原子{ω}×{k，…，N}被分成原子{ω}×{N}，N=k，…，N）表示为qnN=k。。。，那么，很明显，Qn|Ohm∈ Mk（ω）和qn（[ω]k×{n}）=1，其中[ω]kdenotes是包含ω的gk原子。因此，结合（4.40），可以得出Ek（f）（ω）≥eEk（f）（ω）。5第2节的证明我们现在在第2节的上下文中，其中Ohm:= {ω} 是单身汉，Ohm是一个非空荡荡的空间Ohm := Ohm× OhmN.出于技术原因，我们引入了Ohm-有值规范过程X=（Xk）0≤K≤在扩大的空间里没有Ohm 通过Xk（ω）：=ωkforallω：=（ω，θ）∈ Ohm,放大的过滤系数=（Gk）0≤K≤NbyG:={, Ohm} 和Gk:=σXi，{T≤ i} ，i=1，··，k,普遍完成的过滤F=（Fk）0≤K≤通过定义Fkas，实现了GK的普遍实现。因此，随机时间T：Ohm → T是G停止时间。我们还可以定义一个受限的放大空间，每k=1，·N，Ohmk:=Ohmk×{1，··，k}=Ohmk×{1，···，k}。引理5.1。放松∈ P是一个概率度量(Ohm, GN）和（Pω）ω∈Ohm是Pw.r.t.Gk的正则条件概率分布族。那么对于每k=0，1，··，N-1，一个有Pωo 十、-1k+1∈ p-a.e.的Pk（ω）。

ω = (ω, θ) ∈ Ohm.让我们介绍以下一组度量值：<< P、 EQ[gi]=0，i∈ {1，··，e}，S是（F，Q）-局部鞅}。引理5.2。设Φ为上半解析andQ∈ Mlocg。那么对于任何x∈ R和（H，H）∈ H×结果x+（Ho S） N（ω）+hg（ω）≥ Φ（ω），Q-a.s.一个有等式Φ≤ x、 证据。在证明之后，使用Bouchard和Nutz（2015）引理A.1中的离散时间局部鞅特征，给出了与Bouchard和Nutz（2015）引理A.2完全相同的论点。给定Q∈ Mlocand~n：Ohm → [0, ∞), 我们表示m~n，Q:={Q′~ Q:EQ′[~n]<∞, S是（F，Q′）-鞅。然后通过引理5.2，我们可以很容易地得到弱对偶：supQ∈MgEQ[Φ]≤ supQ∈MlocgEQ[Φ]≤πEg（Φ）。（5.41）引理5.3。设Φ是上半解析的，Q∈ Mlocand~n：Ohm → [1, ∞) 使|Φ（ω，k）|≤ 对于所有ω=（ω，k）∈ Ohm. 那么Mа，Q6=, 此外，EQ[Φ]≤ supQ′∈M~n，QEQ′[Φ]。证据首先，根据Bouchard和Nutz（2015）的引理3.2，存在概率P*相当于(Ohm, FN）使EP*[~n（X）]<∞. 关于过滤概率空间(Ohm, FN，F，P*), 一个定义Mloc*作为所有概率测度Q′的集合~ Q~ P*其中S是局部鞅。表示πE，Q（Φ）：=infx:H∈ H s.t.x+（Ho S） N≥ Φ，Q-a.s。,然后是主导离散时间市场的经典论点（如Kabanov（2008）；Kabanov和Stricker（2001），参见Bouchard和Nutz（2015）的引理A.3，可以很容易地得到不等式eq[Φ]≤ supQ′∈Mloc*EQ′[Φ]≤πE，Q（Φ）≤ supQ′∈M~n，QEQ′[Φ]，这是证明的结论。使用Bouchard和Nutz（2015）的定理2.2，我们可以很容易地获得所有支付集合的封闭结果，在我们的上下文中，这些支付集合可以从初始资本x=0超级复制。让我们用L+表示上所有正随机变量的集合Ohm, 和定义：=（H）o S） N+hg:H∈ H、 H∈ 重新- L+。引理5.4。设Φ为上半解析的NA（P）。

然后集合C在以下意义下闭合：Let（Wn）n≥1. C和W是一个随机变量，使得Wn→ W，P-q.s.，然后是W∈ C.证据。这是Bouchard和Nutz（2015）定理2.2的直接结果，其中的结果是在一般抽象上下文中给出的。5.1定理2.2的证明：情况e=0，等价∧=每1个≤ 我≤ J≤ N、 我们介绍一个来自OhmjtoOhm我（分别）。OhmjtoOhmi） 由[ω]i:=（ω，···，ωi），对于所有ω∈ Ohmj（resp.[ω]i:=（[ω]i，θ）∧ i） ，对于所有ω=（ω，θ）∈ Ohmj） 。注意-kis是最小的σ场Ohm 生成人[·]k：Ohm → OhmK或者相当于anF-定义在上的k-可测随机变量Ohm 可以被识别为Borel可测函数Ohmk、 正则过程X和S自然地定义在受限空间上Ohm坎德Ohmk、 接下来，我们回顾Bouchard和Nutz（2015）在第4.2节开始时引入的局部无套利条件NA（Pk（ω））的概念。给定一个固定ω∈ Ohmk、 我们可以考虑Sk+1（ω，·）：=Sk+1（ω，·）- Sk（ω）作为随机变量Ohm, 这决定了aone–市场上的一段时间(Ohm, B(Ohm)) 被赋予一类概率测度Pk（ω）。ThenNA（Pk（ω））表示在这个单周期市场中相应的无套利条件，即NA（Pk（ω））对所有H持有if∈ RdHSk+1（ω，·）≥ 0 Pk（ω）-q.s==> HSk+1（ω，·）=0pk（ω）-q.s引理5.5。在第2节中，让f：Ohmk+1→ R是上半解析的，thenEk（f）：OhmK→ R仍然是上半解析的。此外，存在两个普遍可测函数（y，y）：OhmK→ Rd×rdek（f）（ω）+y（ω）Sk+1（ω，·）≥ f（ω，·，θ）Pk（ω）-q.s.Ek（f）（ω）+y（ω）Sk+1（ω，·）≥ f（ω，·，k+1）Pk（ω）-q.s.对于所有ω=（ω，θ）∈ Ohmk如NA（Pk（ω））保持，f（ω，·θ）>-∞, Pk（ω）-q.s.f（ω，·k+1）>-∞, Pk（ω）－q.s.证明。注意f∨无论何时，fis都是上半分析的。

那么，上述引理是Bouchard和Nutz（2015）引理4.10以及Ek定义的直接结果。回想一下，在e=0的情况下，M（分别为Mloc）表示Mg（分别为Mlocg）。定理2.2的证明（e=0）。首先，一个具有（5.41）supQ中的弱对偶性∈MgEQ[Φ≤πEg（Φ）。接下来，对于逆不等式，我们可以假设Φ是从上面有界的，而不丧失一般性。的确，根据引理5.4，我们得到了limn→∞πEg（Φ）∧n） =πEg（Φ）（另请参见Bouchard和Nutz（2015）第3.4条的证明）。此外，近似limn→∞supQ∈MgEQ[Φ∧n] =supQ∈MgEQ[Φ]是单调收敛定理的一个简单推论。当Φ被引理2.3从上方限定时，就足以证明∈ H使得e[Φ]+（Ho S） N≥ ΦP-q.s.（5.42）根据引理5.3，我们知道Ek（Φ）（ω）>-∞ 总而言之ω∈ Ohmk、 此外，根据引理5.5，存在两个普遍可测的函数（yk，yk）：OhmK→ Rd×rdyk（ω）Sk+1（ω，·）≥ Ek+1（Φ）（ω，·θ）- Ek（Φ）（ω）Pk（ω）-q.s.yk（ω）Sk+1（ω，·）≥ Ek+1（Φ）（ω，·k+1）- Ek（Φ）（ω）Pk（ω）-q.s.对于所有ω=（ω，θ）∈ OhmkNa（Pk（ω））所持有的。由于根据Bouchard和Nutz（2015）的定理4.5，Nk:={ωk:NA（Pk（ω））是P-极的，因此，对于hk+1（ω）：=yk（[ω]k）1{θ≤k} +yk（[ω]k）1{θ>k}，一个-1Xk=0Hk+1Sk+1≥N-1Xk=0Ek+1（Φ）- 埃克（Φ）= Φ - E（Φ），P-q.s.总之，注意到对于Φ从上方有界的情况，上述h是一个最优对偶策略就足够了。

一般Φ的最优对偶策略的存在性是引理5.4.5.2定理2.2证明的一个结果：情形e≥ 1，相当于∧6=我们将修改Bouchard和Nutz（2015）第5节中的论点，以证明定理2。2在有很多选择的情况下e≥ 1.出于技术原因，我们引入了φ（ω，θ）：=1+|g（ω）|+·ge（ω）|+max1≤K≤N |Φk（ω）|，它只依赖于ω，而m|g:={Q∈ M:EQ[~n]<∞ 对于i=1，··，e}，等式[gi]=0。（5.43）此外，鉴于引理5.3，一个hassupQ∈MgEQ[Φ]=supQ∈M~ngEQ[Φ]。定理2.2的证明（案例e）≥ 1). someQ的存在∈ MG是Bouchard和Nutz（2015）在NA（P）下定理5.1的一个简单推论。此外，与Bouchard和Nutz（2015）类似，引理5.4存在一个最优对偶策略。然后我们将关注二元性结果。首先，对偶πEg（Φ）=supQ∈MgEQ[Φ]在（2.30）中已经证明了当e=0时，我们将使用归纳引理：假设对偶性（2.30）对e的情况成立≥ 0，我们的目的是证明e+1选项的对偶性：πe（g，f）（Φ）=supQ∈M~n（g，f）等式[Φ]，其中附加选项具有Borel–可测量的支付函数f≡ ge+1这样的| f |≤ 和初始价格f=0。根据（5.41）和引理5.3中的弱对偶性≥” 不平等的一面是正确的，我们将关注≤” 不等式的边：πE（g，f）（Φ）≤ supQ∈M~n（f，g）等式[Φ]。（5.44）如果f可以通过某种半静态策略进行复制，并且具有基础S和期权（g，···，ge），则H∈ H、 H∈ Re，s.t.f=（Ho S） N+hg，P-q.S.（或等效，H∈ H、 H∈Re，s.t.f=（Ho S） N+hg，P-q.S.），然后将问题简化为带有e选项的情况，结果很小。假设f是不可复制的，并且我们声称存在一个序列（Qn）n≥1. M~ngsuch thatEQn[f]-→ 扇方程[Φ]-→πE（g，f）（Φ），as n-→ ∞.

（5.45）接下来，用πEg（f）表示使用S和（g，···，ge）的欧式期权f的最小超边际成本，即πEg（f）=πEg（f）=inf{x：H∈ H、 H∈ Re，s.t.x+（Ho S） N+hg≥ f、 P-q.s.}。因为f是不可复制的，根据定理5.1中的第二个基本定理。（c） 在Bouchard and Nutz（2015）中，我们有一个问题7→ 等式[f]在Mаg上不是常数。那么，在无套利条件下，0=f<πEg（f）。因此，0=f<πEg（f）=supQ∈M~ngEQ[f（]）。因此存在一些+∈ μg，s.t.0<EQ+[f]<πEg（f）。用同样的理由-f、 我们可以找到另一个-∈ 我要这么说-πEg(-f） <EQ-[f] <f<EQ+[f]<πEg（f）那么我们可以选择一个合适的权重序列（λn）-, λn，λn+）∈ R+，使得λn-+λn+λn+=1，λn±→ 0和q′n:=λn-Q-+ λnQn+λn+Q+∈ Mg，且等式\'n[f]=f=0，即Q\'n∈ M~n（g，f）。此外，由于λn±→ 0，因此等式n[Φ]→ πE（g，f）（Φ）和不等式（5.44）。这足以证明索赔（5.45），我们假设πE（g，f）（Φ）=0，但不失普遍性。假设（5.45）失败，那么一个有0/∈ {EQ[（f，Φ）]：Q∈ M~ng} R.通过上述集合的凸性和分离参数，存在（y，z）∈ Rwith |（y，z）|=1，使得0>supQ∈M~ngEQ[yf+zΦ]=πEg（yf+zΦ）≥ πE（g，f）（zΦ）。（5.46）严格不等式πE（g，f）（zΦ）<0意味着z 6=0。如果z>0，那么πE（g，f）（Φ）<0，这与πE（f，g）（Φ）=0相矛盾。如果z<0，那么通过（5.46），对于某些Q′，有0>EQ′[yf+zΦ]=EQ′[zΦ]∈ M（g，f） 因为在e+1期权的情况下，在NA（P）假设下，M（f，g）是非空的。然后，在z<0的情况下，一个hasEQ′[Φ]>0=πE（f，g）（Φ），这与弱对偶结果（5.41）相矛盾，并且我们总结了对偶性的证明。6第3A节的证明——如何证明定理3.2的第一个想法——可以是inGuo等人（2016a）提出的以下两步论证。

首先，在Φ从上半连续有界的条件下，可以证明Φ∈ P（（Rd）M）7→ supQ∈MuEQΦ∈ Ris凹的和上半连续的，我们在P（（Rd）M）上装备了一个Wasserstein拓扑。其次，使用芬切尔-莫罗定理，它遵循了SUPQ∈MuEQΦ=πEu，0（Φ）：=infλ∈∧nu（λ）+supQ∈MEQΦ - λo、 （6.47）利用定理2.2求解最大化问题（6.47），得出定理3.2的证明。然而，在下面，我们将提供另一个基于近似参数的证明。为了简单起见，我们假设T={N}，其中相同的论点适用于更一般的T。在准备中，让我们提供一个技术引理。在鞅最优运输问题的背景下，我们引入了一系列支付函数（gi）i≥1bygi（ω）：=fi（ωN）- ci与ci:=ZRdfi（x）u（dx），其中fi:Rd→ R是Lipschitz和（fi）i≥在一致收敛拓扑下，1在所有Lipschitz函数的空间中是稠密的，而且它包含形式为（xj）的所有函数- Kn）+(-千牛- xj）+对于j=1、·d和n≥ 1，其中（Kn）n≥1. R是这样一个序列，Kn→ ∞. 请注意，u具有有限的一阶，因此定义了所有有限常数。接下来，让我们通过πAu，m（Φ）：=infnx引入一个近似对偶问题：（H，H）∈ H×Rms。t、 尽管如此，k∈ T、 ω∈ Ohm,x+mXi=1higi（ωN）+（Hko S） N（ω）≥ Φk（ω）o.类似地，Mu，M：=Q∈ M:EQ[gi]=0表示i=1，··，M,和pu，m:=supQ∈Mu，mEQΦ.引理6.1。让（Qm）m≥1. M是一系列鞅测度，使得Qm∈Mu，mF每M≥ 1.然后，（a）（Qm）m≥1在弱收敛拓扑下是相对紧凑的。（b） 序列（SN，Qm）m≥1是一致可积的，任何（Qm）m的累积点≥1至Mu。证据（a） 在不丧失一般性的情况下，我们假设f（x）=Pdi=1 | xi |因此supm≥1EQmdXi=1 | SiN|<ZRDXi=1|xi|u（dx）<∞.让我们首先证明（Qm）m的相对紧性≥1.

根据普罗霍罗夫定理，对于每一个ε>0，就足以找到一个紧集Dε rdqm[Sk/∈ Dε]≤ ε对于allk=1，···，N.那么，对于每一个ε>0，就足够找到一个常数Kε>0，这样qm|锡克|≥ Kε≤ ε对于所有i=1，··，d和k=1，··，N。接下来，根据鞅性质，我们有EQm[|Sik |]≤ EQm[|SiN |]。然后，对于每一个ε>0，我们可以选择Kε>0，这样SUPM≥1EQmPdi=1 | SiN|≤ Kε。因此Qm|锡克|≥ Kε≤EQm[| Sik |]Kε≤ ε、 因此（Qm）m≥它相对紧凑。（b） 看看序列（SN，Qm）m≥1是一致可积的，注意| xi | 1 | xi就足够了|≥2Kn≤ 2 | xi |- Kn）1 | xi|≥Kn，其中后者是序列（fk）k中包含的支付函数≥1.（c）设为（Qm）m的累积点≥1.自序列（fk）k≥假设Rd1上所有Lipschtiz函数的空间都是稠密的，在一致收敛拓扑下，很容易得到o s-1N=u。（d） 最后，证明极限测度的鞅性质是保持不变的就足够了。通过抽象一个子序列，我们假设Qm→ 我们将证明，对于所有1≤ k<k≤ N、 对于任何有界连续函数φ：（Rd）k×T→ R、 一个哈塞克φS、 ···，Sk，T∧ （k+1）（Sk）- （Sk）= 0.（6.48）设K>0，且χK:Rd→ 当kxk满足χK（x）=x时，由K一致有界的Rda连续函数≤ K、 当kxk时，χK（x）=0≥ K+1。那么每m=0≥ 1.一个人有EQm~n（S，T）（Sk）- （Sk）≤EQm~n（S，T）χK（Sk）- χK（Sk）+|^1|∞EQm|Sk | 1 | Sk|≥K+| Sk | 1 | Sk|≥K, （6.49）在这里我们简化了φ（S，··，Sk，T）∧ （k+1）至а（S，T）。对于每一个ε>0，通过（SN，Qm）m的一致可积性≥1，存在Kε>0，使得|∞EQm|Sk | 1 | Sk|≥Kε+| Sk | 1 | Sk|≥Kε≤ ε、 对于所有m=0，1，··（6.50），此外，对于m≥ qm是鞅测度，然后是EQm~n（S，T）（Sk）- （Sk）= 0，因此EQm~n（S，T）χK（Sk）-χK（Sk）≤ ε.

然后以m为极限→ ∞, 接下来情商~n（S，T）χK（Sk）- χK（Sk）≤ ε. （6.51）结合（6.49），（6.50）和（6.51），通过ε>0的任意性，可以得出（6.48）成立，因此我们得出结论。定理3.2的证明。我们注意到，根据定理2.2，supQ∈Mu，mEQΦ= πAu，m（Φ）≥ πAu（Φ）。让（Qm）m≥1是一系列概率度量，如Qm∈ Mu，mF每M≥ 1.和Lim supm→∞EQmΦT（S）= 林苏普→∞supQ∈Mu，mEQΦ.根据引理6.1，这里有someQ∈ Mu和子序列Qmk→qunder弱收敛拓扑。利用Φ的上半连续性和Fatou引理，得出ΦT（S）≥ 林苏普→∞EQmΦT（S）. 它导致了不平等的SUPQ∈MuEQΦ≥ 情商Φ≥ 林苏普→∞supQ∈Mu，mEQΦ= 林苏普→∞πAu，m（Φ）≥ πAu（Φ），因此我们通过弱对偶性（5.41）得出结论。参考文献：萨基奥，B.，贝格尔博克，M.，彭克纳，F.，沙切迈耶，W.（2016）。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学《金融》，26（2）：233-251。阿齐亚奥，B.和佩纳，I.（2011）。动态风险度量。《金融高级数学方法》，迪努诺和Oksendal主编，斯普林格，第1-34页。Aksamit，A.和Li，L.（2016）。投影、伪停止时间和浸入特性。在S\'eminaire de Probabilit\'es XLVIII中，第459-467页。斯普林格。Bayraktar，E.，Huang，Y.-J.，和Zhou，Z.（2015）。在模型不确定性下对美式期权进行套期保值。暹罗金融数学杂志，6（1）：425-447。Bayraktar，E.和Zhou，Z.（2016）。模型不确定性下半静态交易策略的超套期保值美式期权。贝格尔博克，M.，亨利·劳德埃，P.，和彭克纳，F.（2013）。期权价格的模型独立边界：一种大众运输方法。《金融与圣奥喀斯特》，17（3）：477-501。Blanchet Scalliet，C.、Jeanblanc，M.和Romero，R.R.（2016）。在离散时间内扩大过滤。布查德，B。

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