条件（4.4）意味着supQ∈QEQZ<+∞ 和supQ∈QEQ[Z1{Z>Z}]→ 0代表z→ +∞. 所以它跟引理A.3的证明一样，Q是σ（PZ，CZ）-紧的。因此，通过传递到一个子序列，我们可以假设qn相对于σ（PZ，CZ）收敛到Q中的Q。ThenEPX=limnEPnX≤λlimnEQnX=所有X的λEQX∈ C+Z（A.11）作为R（J+1）T上的概率测度，P和Q是正则的。因此，从（A.11）中可以看出dp/dQ≤ 1/λ，表明MAisσ（PZ，CZ）-闭合。通过一个分离的超平面参数，我们得到了每一个^P∈ PZ\\MA，一个X∈ 使E^PX<infP∈MAEPX=0，意味着X∈ A和φ*（^P）=supX∈CZ∩（G）-A） E^PX=+∞. 所以^M MA，因此^M=M。这表明φ*（P） =supX∈乌兹∩（G）-A） EPX=如果P∈ M+∞ 否则，根据命题2.3（2.2）得出结论。因此，定理2.1的所有条件（i）-（vi）都是等价的，这意味着命题4.2的条件（i）-（iv）是等价的。命题4.4EntQλ的证明是对应于损失函数lQ（x）=exp（λx）的转换损失风险度量- 1)/λ.因此，引理4.1适用于条件（4.5）。所以我们知道条件（2.1）成立。在命题4.2的证明中，我们有φ*（P）≤ 好的∈乌兹∩（G）-A） EPX≤ 好的∈G、 EPX>-∞EPX- infX∈AEPX适用于所有P∈ PZ，（A.12）和supX∈G、 EPX>-∞在满足条件a）–b）的情况下，PZM中所有测量值的集合中，P的EPX=0。此外，sinceEntQλ（X）=supP∈PZ（EP[-X]- ηQ（P））对于所有X∈ BZ，式中ηQ（P）=（等式dPdQlogdPdQ/λ如果P<< Q+∞ 否则，将获得一个sinfq∈QηQ（P）≥ 好的∈BZEP[-X]- supQ∈QEntQλ（X）！≥ 好的∈AEP[-X]≥ φ*（P） 对于P∈ MG。根据假设，存在一个连续函数▽[1+∞) → R就是这样→+∞~n（x）x=+∞ 还有limx→+∞~n（x）~~n（x）=+∞.表示▽Z=exp（yen~n（Z））。然后，根据条件（4.5），supQ∈QEQ~Z<+∞ andsupQ∈QEQ[~Z1{Z>Z}]→ 0代表z→ +∞.

因此，我们可以在引理A.3的证明中得到，Q在拓扑σ（P~Z，C~Z）中是相对紧的。但由于Q被假定为σ（PZ，CZ）-闭合的，且σ（P~Z，C~Z）比σ（PZ，CZ）强，因此Q是σ（P~Z，C~Z）-紧的。此外，对于所有X∈ CZ，exp（X）属于C ~ZandEntQλ（X）=λlog EQexp(-λX）是凹的，且σ（PZ，CZ）在Q中是连续的。因此，可以从极小极大结果中得出，例如Ky Fan[26]的结果，即对于所有P∈ PZ，infQ∈QηQ（P）=infQ∈QsupX∈CZEP[-X]- EntQλ（X）= 好的∈捷普[-X]- supQ∈QEntQλ（X）！=好的∈CZ∩AEP[-X]≤ φ*（P） 。自φ*（P） =+∞ 为了P∈ PZ\\MG，这表明η（P）=infQ∈QηQ（P）如果P∈ 镁+∞ 否则= φ*（P） ，在（A.12）中，意味着φ*（P） =supX∈乌兹∩（G）-A） 埃普斯。所以命题2.3给出了条件（2.2）成立的条件。命题4.4是定理2.1的结果。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb–ock、F.Penkner和W.Schachermayer（2016）。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学财务26（2），233–251。[2] C.D.Aliprantis和K.C.Border（2006年）。有限维分析：搭便车指南。第三条。施普林格柏林，海德堡，纽约。[3] P.Bank、Y.Dolinsky和S.G–okay（2016年）。具有非线性交易成本和波动不确定性的超级复制。应用概率年鉴26（3），1698-1726。[4] D.Bartl、P.Cheridito、M.Kupper和L.Tangpi（2017年）。具有可数个边际约束的增凸泛函的对偶性。班纳赫数学分析杂志11（1），72-89。[5] M.Beiglb–ock、P.Henry Labord\'ere和F.Penkner（2011）。期权价格的模型独立界限——一种大众运输方法。《金融与随机》，17（3），477-501。[6] A.Ben Tal和M.Teboulle（2007年）。凸风险度量的一个古老的新概念：优化确定性等价物。数学金融，17（3），449-476。[7] J.比昂·纳达尔和G.D。

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