在一个假设（H\'）下，存在一个解Φ∈ C1,2（[0，T）×R）∩C（[0，T]×R）在导数DyΦ上具有线性增长条件，在终端条件（5.30）下为半线性（5.29）。备注5.11。通常，不存在具有终端条件（5.30）的（5.29）的闭式解。但我们表明，对于一些随机波动率模型，当滤波器估计为高斯时，我们可以得到一个封闭形式，见第节。现在让我们来描述最优交易策略和最优对偶优化之间的关系。5.3特殊效用函数原始问题的解我们已经从定理5.3中证明，最优财富，以及由此产生的最优投资组合，取决于最优对偶优化因子ν。所以我们将在上面研究的效用函数的特殊情况下研究这种关系。根据定理5.3，我们得到：~Rt=EZ/TZ/tI（zxZ/nt）|Gt（5.39）式中，式中/ν是最优对偶最大化子，zxis是拉格朗日乘数，因此ZνTI（zxZνT）=x、 在给出我们关于最优财富和最优投资组合的结果之前，为了避免任何混淆，让我们用过程Yt:=（Vt，ut）描述财富rti的动态，如下所示：dRt=Rtπt（ψ（Yt）δ（Yt）dt+δ（Yt）dWt）（5.40），其中ψ（Yt）=utandδ（Yt）=g（Vt）。对数效用：U（x）=ln（x）。提案5.12。我们假设定理5.7和5的假设。8等一下。然后，最优财富过程由∧Rt=xZt给出。此外，最优投资组合π和初值函数由以下公式给出：πt=ψ（Yt）δ（Yt）：=utg（Vt）和J（x）=ln（x）- Φ（0，Y）。（5.41）式中，Φ是带边界条件（5.25）的半线性方程（5.24）的解。证据在这种情况下，我们有I（x）=x和定理？？，双优化器/ν=0。此外，拉格朗日乘数zx=x。因此，从（5.39）中，最佳财富由¨Rt=xZt给出。

（5.42）通过将其公式应用于（5.42）并从命题3.2中，我们得到：dRt=~Rtψ（Yt）dWt另一方面，我们从（5.40）中得到dRt=~Rtπtδ（Yt）dWt。因此，比较这两个关于Rt的表达式，我们得到最优投资组合π由（5.41）给出。最后，根据初值函数和（5.42）的定义，我们得到了J（x）=ln（x）- E[ln（ZT）]=ln（x）+1+~J（0，1，Y）=ln（x）- Φ（0，Y）。最后一个等式来自定理5.7。功率效用：U（x）=xp/p0<p<1。提议5。1 3 . 我们假设定理5.9和5.10的假设成立。那么最优性财富由以下公式给出：~Rt=xE[（Z~νT）q]（Z~νT）q）-1exp(-Φ（t，Yt））。相关的最优投资组合是由马尔可夫控制{πt={π（t，Yt）}和∧πt=1给出的- pψ（Yt）δ（Yt）-KT（Yt）δ（Yt）DyΦ（t，Yt）（5.43）和原始值函数由以下公式给出：J（x）=xppexp(-(1 - p） Φ（0，Y））。其中q=pp- 1，△ν由（5.33）给出，Φ是带边界条件（5.21）的半线性方程（5.29）的解。证据在这种情况下，我们有I（x）=x1/（p）-1） 从定理来看？？，双优化器/ν由（5.33）给出。拉格朗日乘数zx=xE[Zp/p-1T]！P-1.因此，从（5.39）中，最理想的财富是由Rt=E给出的Z/TZ/tI（zxZ/nt）|Gt= EZνTZνt（zx）1/（p-1） （Z/νT）1/（p-1） |Gt=xE[（ZāνT）q]ZātE（Z/νT）q | Gt因此，从定理5.9中，我们推导出：~Rt=xE[（Z~νT）q]（Z~νT）q）-1exp(-Φ（t，Yt））。（5.44）现在，就像在对数情况下一样，通过写d)Rt=)Rtπtδ（Vt）d)wt，并将其公式应用于（Z)νt）q-1exp(-Φ（t，Yt）），然后在比较了两个表达式之后，我们推导出：△πt=1- pψ（Yt）δ（Yt）-KT（Yt）δ（Yt）DyΦ（t，Yt）。最后，根据（5.44）和边界条件Φ（T，Yt）=0，我们得到：J（x）=xppE[（Z)νT）q]1-p=xppexp(-(1 - p） Φ（0，Y））。最后一个等式来自定理5.9。现在我们来推导一下原始控制函数和对偶控制函数之间的关系。推论5.14。

最优投资组合π由πT=1给出- pψ（Yt）δ（Yt）-1.- pKT（KT）-1δ（Yt）~νt（5.45）证明。这个证明可以很容易地从定理中推导出来？？以及5.13号提案。备注5.15。对于对数情况，我们注意到，在部分信息的情况下，可以通过将不可观测的风险溢价ut替换为其估计ut，从完全信息的情况下正式导出最优投资组合。但另一方面，在功率效用函数中，该属性不成立，并且无法通过将风险替换为取决于过滤器的最后一个附加条款，从而从完整信息案例中得出最佳策略。这个特性对应于所谓的分离原理。这在库瓦纳得到了证明[？]当且仅当效用函数为对数时，这种确定性等价性成立。备注5.16。使用鞅方法而不是动态规划方法（PDE方法）的优点是，我们不需要对可采投资组合控制施加任何约束，而在PDE方法的情况下这是必要的。事实上，使用PDEAP方法，我们需要对可接受的portf olio控件进行以下限制：∈[0，T]E[exp（c |δ（Yt）πT |）]∞, 对于一些c>0的人来说。（5.46）为了证明功率效用函数的验证定理，必须施加该约束。5.4应用这里我们给出一个随机波动率模型的例子，我们可以得到价值函数和最优投资组合的封闭形式。让我们考虑一下（4.11）、（4.12）和（4.13）中定义的Log Ornstein-Uhlenbeck模型。

我们还考虑了幂函数U（x）=xpp，0<p<1。首先，请注意，在完整的观测框架中，我们有以下动力学（Rπt，Vt，ut）：dRπt=RπtπtuteVtdt+eVtdWtdVt=λV（θ）- Vt）dt+σVρdWt+σVp1- ρdWtdut=(-λμut+λμθu）dt+ΘtdWt+ΘtdWt。其中，最后一个动力学由（4.14）推导而来。Θ和Θ是Riccati方程（4.15）的解。因此，原始值函数J（x）和相关的最优投资组合∧π皮重被精确地给出。提案5.17。最优投资组合由以下公式给出：△πt=p- 1uteVt-ρσVeVt[~A（t）+（t-t） ]+eVt（2A（t）ut+B（t））。原始值函数由：J（x）=xppexp给出- (1 - p）~A（0）V+~B（0）- 及物动词-微安（0）- B（0）u- C（0）.式中：~A（t）=-λVZTt（T- s） e-λV（s）-t） ds。~B（t）=ZTth-（σV）-qq- 1(1 - ρ） σV）A（s）+（σV）-qq- 1(1 - ρ） σV）+λVθ甲(s)-（σV）-qq-1(1 - ρ） σV）（T- （s）-λVθ（T）- s） 身份证。andA是下列Riccati方程的解：A′（t）=-2.Θ+ Θ-qq- 1ΘA（t）+2（λu+qΘ）A（t）-q（q）-1） ，其中A（T）=0和b（T）=ZTtB（s）A（s）exp-（λu+qΘ）（s）- t） +2（Θ+Θ）-qq- 1Θ）ZstA（u）duids。C（t）=zth（Θ+Θ）A（s）+Θ+ Θ-qq- 1Θ乙(s)- B（s）B（s）ID。其中b（s）=+2（ρσVΘ+p1）- ρσVΘ-qq- 1p1- ρσVΘ）（A（s）- （T）-s） )- λuθu在终端条件下：A（T）=B（T）=A（T）=B（T）=C（T）=0。证据参见附录A。附录A过滤器让我们考虑以下部分观测系统：dXt=A（Xt）dt+G（Xt）dMt+B（Xt）dWt（A.1）dYt=dWt+h（Xt）dt（A.2）。这里X是二维信号过程，Y是二维观测过程。A是2×1矩阵，G，B是2×2矩阵，h是2×1矩阵。W和M是二维布朗运动。现在，我们将对过滤问题感兴趣，它包括评估不可观测过程的条件观察。

在续集中，我们用αt（φ）=E表示这个条件期望φ（Xt）|FYt, 其中，Fy是观察过程产生的过滤。然后，得到αtis演化方程的方法之一是改变测度。利用（3.4）中给出的测度P的变化，我们可以定义一个新的测度P，使得观测过程成为一个独立于信号变量Xt的布朗运动。因此我们需要讨论过程L是鞅的一些条件：Lt=exp-Xi=1Zthi（Xs）dWis-Xi=1Zthi（Xs）ds！。（A.3）首先，经典条件是诺维科夫条件：E经验Zth（Xs）ds+Zth（Xs）ds< ∞.通常Novikov的条件很难直接验证，所以我们需要使用另一个条件，在这个条件下，过程L是鞅。根据[？]中的引理3.9，如果满足以下条件，我们可以推断L是鞅：EZt（| | h（Xs）| |）ds< ∞, EZtLs | | h（Xs）| | ds< ∞ t>0。（A.4）现在让我们用∧t表示~P，F-由∧t=Lt给出的鞅。然后我们有：dPdP | Ft=∧t，0≤ T≤ T=expXi=1Zthi（Xs）dWis-Xi=1Zthi（Xs）ds！。因此，αt（φ）的计算是通过所谓的Kallianpur-Striebel公式获得的，该公式与Bayes公式有关。每一天∈ B（Rd），我们有以下表示：αt（φ）：=Eφ（Xt）|FYt=~Eφ（Xt）∧t | GYt~E∧t | GYt :=ψt（φ）ψt（1），（A.5）与ψt（φ）：=~E[φ（Xt）∧t | GYt]是φ（Xt）的非正规条件分布，给定GYt，ψt（1）可以视为归一化因子，B（Rd）是有界可测函数R的空间→ R.在下文中，我们假设≥ 0，~PZt[ψs（| | h | |）]ds<∞= 1，对于所有t>0的情况。（A.6）现在让我们介绍以下符号，它们将在续集中使用。注释2。设K=（BBT+GGT）和da是与过程Xin相关联的生成器，即二阶微分算子：Aφ=Xi，j=1Kijxixjφ+Xi=1Aixiφ，用于φ∈ B（路）。

（A.7）及其伴随词A*由以下公式给出：A*φ=Xi=1xixj（Kijφ）-Xi=1xi（Aiφ）。（A.8）我们还引入了以下算子B=（Bk）k=1:Bkφ=Xi=1Bikxiφ，用于φ∈ B（路）。（A.9）算子B的伴随式由Bk给出，*= （Bk，*)k=1:B1，*φ = -Xi=1xi（Bi1φ），B2，*φ = -Xi=1xi（Bi2φ）。（A.10）以下两个命题表明，信号的非标准化条件分布（分别为条件分布）是一个线性随机偏微分方程的解，通常称为Zakai方程（分别为非线性随机偏微分方程和抛物型偏微分方程，通常称为Kushner-Stratonovich方程）。这些结果归因于贝恩和克里斯安[？]和Pardoux[？]。提议A.1。假设信号和观测过程满足（A.1）和（A.2）。如果满足条件（A.4）和（A.6），则非规范化条件al分布ψt满足以下Zakai方程：dψt（φ）=ψt（Aφ）dt+ψth+Bφd~Wt+ψth+Bφ任何φ的dWt.（A.11）∈ B（R）。提议A.2。假设信号和观测过程满足（A.1）和（A.2）。如果条件（A.4）和（A.6）满足，则条件分布αt满足以下Kushner-Stratonovich方程：dαt（φ）=αt（Aφ）dt+αth+Bφ- αt（h）αt（φ）dWt+αth+Bφ- αt（h）αt（φ）dWt。（A.12）对于任何∈ B（R）。引理5.5的证明来自等式（5.5）、条件期望的定义和Jensen不等式，它适用于任何ν∈ K:EhU（zZνT）i=EE~Uz exp-ZTusdWs-ZTusds-ZTνsdWs-ZTνsds|FWT≥ E~Uz exp-ZTusdWs-ZTusdsE经验-ZTνsdWs-ZTνsds|FWT.另一方面，E经验-ZTνsdWs-ZTνsds= 1 a.s。

事实上，从条件期望的定义来看，对于每一个正函数h，对于每一个，t。。。。。。tk∈ [0，T]，我们有：E经验-ZTνsdWs-ZTνsdsH~Wt。。。。。~Wtk= 呃~Wt。。。。。~Wtki、 由于ν是G-适应的，我们可以定义一个新的概率度量Pν，它等价于GTgivenby上的P:dPνdP=exp-ZTνudW-ZTνudu根据Girsanov定理，N是Pν下的G布朗运动。另一方面，根据由dW=dNt+utdt驱动的W的动力学，以及假设ut∈ 我们推导出，在P和Pν下，w的定律是相同的。因此：Eνhh~Wt。。。。。~Wtki:=E经验-ZTνsdWs-ZTνsdsH~Wt。。。。。~Wtk= 呃~Wt。。。。。~Wtki、 因此E经验-ZTνsdWs-ZTνsds= 1，然后得到：EhU（zZνT）i≥ E~Uz exp-ZtusdWs-Ztusds:= 呃?zZTi、 另一方面，从对偶问题的定义中，我们得到了△J（z）≤ 呃?zZTi、 所以我们得出结论：jdual（z）=Eh＠UzZTi、 命题5.17的证明利用（4.11）、（4.12）和（4.13）给出的Log Ornstein模型，假设H和H\'i）成立。因此，从命题5.13中，我们得到∧πt=p- 1uteVt-KT（Yt）eVtDyΦ（t，Yt），其中KT=（ρσVΘ）和Φ是（5.29）的解。

一般来说，方程（5.29）没有封闭形式，但在这个模型中，我们可以通过使用以下分离变换来推导Φ的封闭形式：对于y=（v，m），Φ（t，y）=Φ（t，v）-~f（t，v，m）。这种分离变换的一般思想已经被许多作者使用，比如Leming[？]Pham[？]，Rishel[？]。。，用半线性抛物方程的解来表示值函数。现在，将Φ的上述形式代入（5.29）得到：-~Φt+~fT-σV“~Φ五、-~f五#+ρσVΘ+p1- ρσVΘ~fv、 m+（Θ+Θ）~fm+（σV）-qq- 1(1 - ρ） σV）“(~Φv）-2.~Φ五、~fv+(~fv）#- （λV（θ）- v）- qmρ（σV）~Φ五、-~fv！+(-λum+λuθu- qmΘ）~fm+Θ+ Θ-qq- 1Θ(~fm） +q（q）-1） m-σp1+Vρ- ρσVΘ-qq- 1p1- ρσVΘ(~fM~Φ五、-~fM~fv） =0。因此，我们有一个耦合的偏微分方程，我们一般无法找到它的解。关键是将所考虑的偏微分方程分为Φ中的一个偏微分方程和Φf中的另一个偏微分方程，其中Φ（T，v）=0和Φf（T，v，m）=0。最后两个条件来自边界条件（5.21）。但是，要获得f的显式解还有另一个困难。这一困难来自于条件~fv、 曼德~f五、~fm、 为此，我们需要将以下分离形式强加给f:f（t，v，m）=v.（t- t） +f（t，m），其中f（t，m）=0。最后，我们有以下关于∧Φ和f的偏微分方程，我们可以推导出一个显式形式，如下所示：-~ΦT-σV~Φv+（σv）-qq-1(1 - ρ） σV）(~Φv）-（σV）-qq- 1(1 - ρ） σV）+λV（θ）- v）Φ五、- λV（T）- t） v+（σv）-qq- 1(1 - ρ） σV）（T- t） +λVθ（t）- t） 。（A.13）和Ft+（Θ+Θ）Fm+Θ+ Θ-qq- 1Θ(~fm） +”-（ρσVΘ+p1）- ρσVΘ-qq- 1p1- ρσVΘ）(~Φ五、- （T）-t） )- λum+λuθu- qmΘ#Fm+q（q）- 1） m+qmρσV~Φ五、- qmρσV（T）- t） （A.14）请注意，PDE forf取决于~Φv、 但我们在下文中展示了由Φ表示的PDFsatis的解是1次多项式，然后通过推导，我们得到了一个不依赖于v的项。

所以我们有一个只依赖于m的f的偏微分方程，因此可以推导出一个显式形式。边界条件为Φ（T，v）=0的（A.13）的解由以下公式给出：＠Φ（T，v）=＠A（T）v+＠B（T），其中：＠A和＠B（y）分别是下列微分方程的解：＠A′（T）=λv＠A（T）- λV（T）- t） ，其中A（t）=0，~B′（t）=（σV-qq-1(1 - ρ） σV）A（t）-（σV）-qq- 1(1 - ρ） σV）+λVθA（t）+（σV）-qq- 1(1 - ρ） σV）（T- t） +λVθ（t）- t） 当B（t）=0时，我们很容易验证命题5.17中给出的A（t），B（t）是上述微分方程的解。另一方面，边界条件f（T，m）=0的（A.14）的解由：f（T，m）=A（T）m+B（T）m+C（T）给出，其中：A′（T）=-2.Θ+ Θ-qq- 1ΘA（t）+2（λu+qΘ）A（t）-q（q）-1） ，B′（t）=-2(Θ+ Θ-qq- 1Θ）A（t）+（λu+qΘ）B（t）- qρσVA（t）+qρσV（t- t） +2（ρσVΘ+p1）- ρσVΘ-qq- 1p1- ρσVΘ）（A（t）- （T）-t） )- λuθuA（t），C′（t）=-（Θ+Θ）A（t）-Θ+ Θ-qq- 1ΘB（t）+（ρσVΘ+p1）- ρσVΘ-qq-1p1- ρσVΘ）（A（t）- （T）- t） )-λuθuB（t）。终端条件a（T）=B（T）=C（T）=0。满足A（t）的riccati方程的解可以从[？]推导得出。对于B（t）和C（t），很容易验证命题5.17中给出的表达式是上述微分方程的解。最后，从命题5.13和上述的∧Φ和f的解，我们可以推导出命题5.17中给出的值函数的显式形式。