部分信息下的非线性滤波与最优投资

2022-5-6 10:34:38

随机波动率模型的非线性滤波和部分信息下的最优投资；弗里德里克·阿伯格尔*;2015年7月28日摘要本文研究了部分信息随机波动率模型中，从经验效用中过滤和最大化最终财富的问题。其特殊之处在于，投资者唯一可用的信息是资产价格产生的信息，不可观测的过程将由一个随机微分方程建模。利用测量技术的变化，可以将部分观测环境转化为完整的信息环境，从而使系数仅取决于观测价格的过去历史（过滤过程）。通过调整随机非线性滤波，我们表明，在一些关于模型系数的假设下，滤波器的估计取决于趋势和随机波动性的先验模型。此外，这些滤波器满足一个名为“Kushner Strato-novich方程”的随机偏微分方程。在这个部分观测的不完全模型中，利用鞅对偶方法，我们可以刻画价值函数和最优投资组合。这里的主要结果是，与鞅方法相关的对偶值函数可以通过动态规划方法表示为半线性微分方程的解。我们用金融文献中流行的随机波动率模型的一些例子来说明我们的结果。关键词s0.1。

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2022-5-6 10:34:41

部分信息、随机波动性、效用最大化、鞅对偶方法、非线性滤波、Kushner-Stratonovich方程、半线性部分微分方程。1引言数学金融的基本问题是经济主体在金融市场上进行投资，以最大化其最终财富的预期效用的问题。在连续时间模型的框架中，Merton（1971）首次通过Hamilton-JaccobiBellman方程和动态规划在Black-Scholes环境（完全信息）中研究了效用最大化问题。与金融市场模型一样，我们通常不完全了解所有参数，这些参数可能由不可观察的随机因素驱动。因此，我们正处于局部观测的效用最大化问题的情况下，Detemple[？]在文献中对其进行了广泛的研究，多坦和费尔德曼[？]，莱克纳[？]，[?], 默顿的环境有很多概括。自然的概括是通过随机过程对波动性进行建模。在本文中，我们考虑了一个金融市场，其中风险资产的价格过程遵循波动率模型，我们要求投资者只观察股票价格。所以我们是*巴黎中央经济学院，数学研究实验室，维涅斯大道，92290号，法国马拉布里，部分观察不完全市场框架，我们的目标是解决这一背景下的效用最大化问题。为了解决部分观测的问题，常用的方法是使用随机非线性滤波和测量值变化技术，以便将部分观测上下文转换为完整的信息上下文。

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2022-5-6 10:34:44

然后可以用鞅方法或动态规划方法来解决这个问题。Dothan和Feldman研究了具有不完全信息的模型[？]在线性高斯滤波中使用动态编程方法，Lakner[？]，[?] 通过鞅方法解决了部分优化问题，并给出了线性高斯滤波的特例。Pham和Quenez[？]处理了部分信息随机波动率模型的情况，其中他们结合了随机过滤技术和鞅对偶方法来描述效用最大化问题的价值函数和最优投资组合。他们研究了两种情况：假设模型的风险是独立的高斯过程的情况和Karatzas Zhao[？]研究的贝叶斯情况。在本文中，我们处于Pham和Quenez[？]研究的相同框架中，但这里我们假设不可观测的过程是由随机微分方程模拟的。更准确地说，股票的不可观测漂移和随机波动率的不可观测漂移由随机微分方程建模。这种情况下的主要结果是，过滤器对风险的估计取决于趋势和随机波动性的先验模型。这一结果有两个原因：首先，我们需要选择趋势和随机波动的模型，这样风险动态只能用它们来描述。其次，我们需要选择这些模型，使风险动力学的系数满足一些规律性假设，如全局Lip*****z条件，并引入一些有限阶矩。我们证明，过滤器对风险的估计满足一个名为“Kushner Stratonovich方程”的随机偏微分方程。

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2022-5-6 10:34:48

但这些方程是在有限维空间中取值的，无法显式求解，因此可以使用数值逼近来求解它们。此外，我们还研究了有限维滤波器（如Kalman-Bucy滤波器）的情况。我们用几个流行的随机波动率模型的例子来说明我们的结果。在将原来的部分信息问题替换为完全信息问题（仅限于观察价格的过去历史）之后，就可以使用经典理论来解决随机控制问题。在这里，我们将感兴趣的鞅方法来解决我们的效用优化问题。由于不完全的约化市场，我们利用随机控制理论补充鞅方法来解决相关的对偶优化问题。在[？]中，他们也使用了鞅方法，但他们研究了对偶优化器消失的情况。本文的主要结果是，相关对偶问题的解可以表示为半线性部分微分方程的解，该方程也依赖于滤波器和随机波动率。本文的组织结构如下：在第二节中，我们描述了模型并提出了最优化问题。在第3节中，我们使用非线性过滤技术和测量技术的变化，以便将部分观测环境转换为完整的信息环境，从而使系数仅取决于观测价格的过去历史（过滤过程）。在第4节中，我们展示了滤波器估计依赖于趋势和随机波动性的先验模型。我们用金融文献中流行的随机波动率模型的例子来说明我们的结果。最后，在第5节中，我们使用鞅对偶方法来解决效用最大化问题。

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2022-5-6 10:34:51

我们证明了对偶值函数和对偶优化器可以用半线性偏微分方程的解来表示。因此，原始值函数和最优端口也依赖于此解。研究了幂函数和对数效用函数的特殊情况，并以随机波动率模型为例说明了我们的结果，我们可以给出线性方程的一个封闭形式。2.问题的表述(Ohm, F、 P）是一个具有过滤F={Ft，0的完全概率空间≤ T≤ T}满足通常条件，其中T>0是固定的时间范围。金融市场由一项风险资产和一个银行账户（绑定）组成。在整个连续时间范围[0，T]内，假设界的价格为1，风险资产具有动态性：dStSt=utdt+g（Vt）dWt，（2.1）dVt=f（βT，Vt）dt+k（Vt）（ρdWt+p1）- ρdWt，（2.2）dut=ζ（ut）dt+θ（ut）dWt。（2.3）过程Wand Ware定义了两个独立的布朗运动(Ohm, F、 P）和-1.≤ ρ ≤ 1是相关系数。这是一个标准的布朗运动，与W无关。漂移u={ut，0≤ T≤ T}是不可观测的，遵循高斯过程。过程βtca可以被视为另一个不可观测过程的函数，该过程也有一个随机微分方程。我们假设函数g、f、k、ζ和θ确保上述随机微分方程解的存在唯一性。Lipschitz条件是有效的，但我们在这个阶段不会对参数施加这些条件，因为我们不希望从一开始就排除一些众所周知的随机波动模型。

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2022-5-6 10:34:54

此外，我们可以假设漂移utca由utg（Vt）代替，也就是说，我们有一个因子模型。此外，我们假设g（x），k（x）>0，并且（2.2）的解不会爆炸，也就是说，解不会触及0或0∞ 在有限的时间内。最后一个条件可以从费勒的爆炸试验中得到验证，见[？，第348页]。在续集中，我们用FS={FSt，0表示≤ T≤ T}（分别为FV={FVt，0≤ T≤ T}）由价格过程S（分别由随机波动率V）产生的过滤。我们也用byG={Gt，0表示≤ T≤ T}价格过程产生的市场过滤的自然P-增强S.2.1优化问题πT是交易者在时间T决定投资于风险资产的财富的分数，1-π是投资于边界的财富的一部分。我们假设交易策略是自我融资的，那么与投资组合π对应的财富过程由Rπ=X定义，并满足以下SDE：dRπt=Rπtπtutdt+πtg（Vt）dWt.函数U:R→ 如果R是C类严格递增、严格凹的函数，则称为效用函数。我们假设投资者希望最大化其最终财富的预期效用。因此，优化问题是asJ（x）=supπ∈AE[U（RπT）]，x>0，（2.4），其中A表示容许控制集（πT，0）≤ T≤ T）哪些是FS适应的，并且满足可积条件：ZTtg（Vs）πsds<∞ P- a、 s.（2.5）我们所处的环境是，当投资者希望最大化terminalwealth的预期效用时，投资者可获得的唯一信息是资产定价产生的信息，因此在部分观测不完全模型中会导致效用最大化问题。

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2022-5-6 10:34:59

为了解决这个问题，我们的目标是将其简化为一个具有完整信息的最大化问题。为此，利用来自市场本身的所有信息来不断更新不完全已知数量的知识变得非常重要，而这正是随机过滤技术有用的地方。3.还原到完整的观察环境让我们考虑以下过程：＠ut:=utg（Vt），（3.1）＠βt：=p1- ρk（Vt）-1（f（βt，Vt）- ρk（Vt）|ut），（3.2）我们假设他们验证了可积性条件：ZT | |ut |+| |βt | dt<∞ a、在这里，μ和β皮重是不可观察的过程，可以解释风险的市场价格。这些信息与资产的布朗成分有关。其次是随机波动的布朗运动。我们还介绍了以下过程：Lt=1-ZtLsh)usdWs+)βsdWsi。（3.3）我们将采用过滤理论的常规假设。假设1。过程L是一个鞅，即E[LT]=1。在这个假设下，我们现在可以定义一个新的概率度量P，相当于P on(Ohm, F）其特征为：dPdP | Ft=Lt，0≤ T≤ T.（3.4）然后Girsanov的变换确保了Wt=Wt+Ztusds是（~P，F）-布朗运动，（3.5）~Wt=Wt+Ztβsds是（~P，F）-布朗运动。（3.6）（3.7）此外，我们还发现（~ut，~βt）与布朗运动无关~Wt，~Wt.因此，P下（S，V）的动力学变为：dStSt=g（Vt）dWt，（3.8）dVt=ρk（Vt）dWt+p1- ρk（Vt）dWt.（3.9）我们现在陈述一个引理，它将在下面高度相关。这个引理的证明类似于Pham和Quenez[？]中的引理3.1。引理3.1。在假设1下，过滤G是（~W，~W）的放大过滤。证据该证明的草图概括为两个步骤：首先，我们证明过滤G等于放大的渐进过滤FS∨FV。

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2022-5-6 10:35:03

第一个包裹体很明显，另一个包裹体很明显∨ FV G是根据vt可以由log（St）的二次变化来估计这一事实推导出来的。其次，从（3.8）、（3.9）和g（x），k（x）>0的事实来看，我们得到了由（~W，~W）产生的过滤，我们现在对风险过程做出以下假设~u,~β.T∈ [0，T]，E||uT|+E|βT|<∞ （3.10）在这个假设下，我们可以引入~u,~β:ut:=E[t|Gt]，（3.11）βt:=E[βt|Gt]。（3.12）让我们用H表示定义为Ht=Lt的（~P，F）鞅。现在，我们的目标是构造P等价于~P的限制(Ohm, G）。首先，让我们考虑Baye\'s公式的条件版本：对于任意P可积随机变量X（X∈ L（P）），我们有：E[X | Gt]=~E[XHt |Gt]~E[Ht |Gt]。（3.13）然后通过取X=Lt，我们得到：~Lt:=E[Lt | Gt]=E[Ht | Gt]。（3.14）因此，从（3.4）（3.14）中，我们对G有以下限制：dPdP | Gt=Lt。最后，从Bain和Crisan（命题2.30）和Pardoux（命题2.2.7）中，我们得到以下结果：命题3.2。以下过程与Wand Ware无关（P，G）-布朗运动。Wt=Wt+Zt（)us- us）ds:=~Wt-Ztusds，Wt=Wt+Ztβs-βsds:=~Wt-Ztβ-sds。这些过程在过滤理论中被称为创新过程。它们包括μ和β的真实值与其估计值之间的距离：然后，通过创新过程，我们可以在全观测模型的框架内描述（S，V，R）的动力学：（Q）=dStSt=g（Vt）utdt+g（Vt）dWt，dVt=ρk（Vt）ut+p1- ρk（Vt）βtdt+ρk（Vt）dWt+p1- ρk（Vt）dWt，dRπt=Rπtπtg（Vt）utdt+g（Vt）dWt.4 filteringw我们已经证明，条件参数可以用来将最初的部分信息问题替换为完全信息问题，而完全信息问题只依赖于观察价格的过去历史。

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2022-5-6 10:35:07

但是简化过程涉及滤波器的估计u和βt。我们的滤波问题可以总结如下：根据引理3.1，我们有G=FW∨然后向量（~W，~W）对应于观测过程。另一方面，我们的信号处理是由（∑ut，∑βt）给出的。因此，过滤问题是在给定观测数据G=FWWW的情况下，表征（~ut，~βt）的条件分布。我们在本节中展示了过滤估计如何依赖于漂移和随机波动性的模型。利用非线性滤波理论（见附录），我们可以推断滤波器估计满足一些随机偏微分方程，称为“Kushner-Stratonovich方程”。通常，这些方程是有限维的，因此很难显式求解。因此，为了简化情况并获得最优投资组合的封闭形式，我们将对一些模型案例感兴趣，当我们可以推导出有限维滤波器时。4.1一般情况：假设该过程是以下随机微分方程的|uand|β皮重解：utβt=aadt+ggggDWTWTWT+bbbbDWTWTWT（4.1）其中，我们表示f或简化函数a:=a（~ut，~βt），a:=a（~ut，~βt）。。。。。。。b=b（～ut，～βt），布朗运动（Wt，Wt）与（Wt，Wt）无关。另一方面，观察过程的动力学（~W，~W）由以下公式给出：~Wt~Wt= DWTWTWT+utβtdt（4.2）备注4.1。为了避免在续集中出现混淆，我们有：G=FWWW=FY。注释1。让我们用：Xt来表示=utβt, Yt=~Wt~Wt, A=aa, G=gggg, B=bbbbMt=WTWTWTWt=WTWTWT, h=啊K=（BBT+GGT）。

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2022-5-6 10:35:10

（4.3）其中，对于x=（m，b），h（x）=m，h（x）=b，T表示转置算子。有了这些符号，信号观测过程（Xt，Yt）满足（A.1）和（A.2）：dXt=A（Xt）dt+G（Xt）dMt+B（Xt）dWt（4.4）dYt=dWt+h（Xt）dt（4.5）4.1.1估计u和βt我们现在做出一些假设，这些假设将有助于展示我们的结果。假设oi）函数A、G和B是全局Lipschitzii）Xhas fine second moment.oiii）最后一刻。引理4.2。设（X，Y）为（4.4）和（4.5）的解，并假设h具有线性增长条件。如果假设i）和ii）满足，则（A.4）满足。此外，如果假设ii）满足，则（A.6）满足。证据在[？]中给出（参见引理4.1.1和引理4.1.5）。下面的结果表明，我们需要引入趋势和随机波动性的先验模型，以便描述（4.1）中（~ut，~βt）的动力学，因此我们可以从命题a.2中推导滤波器估计（ut，βt）的动力学，从而推导出（ut，βt）的动力学。更准确地说，我们表明，这些估计基本上取决于波动率Vt的模型。我们需要选择Vt的动力学，以便验证以下两个步骤。o第一步：如（4.1）中所述描述（~ut，~βt）的动力学。我们表明，这种描述主要取决于Vt的模型。事实上，如果我们用t^o的公式来描述它们的动力学，我们仍然有vt^o的应用，因此我们只需要用vt^ot^o的公式来描述vt，以便从它们的动力学中消失。这可以通过定义βt来实现，但要考虑变量β的选择，更精确地选择f（βt，Vt）。

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2022-5-6 10:35:13

我们将在第4.1.1.段中举例说明这一点第二步：验证一些规律性假设。我们在（4.1）中描述了（~ut，~βt）的动力学，我们必须进一步检查动力学的系数是否验证了一些规律性假设，以便使用非线性滤波理论的上述结果。现在，我们给出关于过滤问题的结果：命题4.3。我们认为存在一个函数：R→ R使得Vt=Υ（Υut，Υβt）。如果有了这个函数，Xt=（ut，βt）的动力学可以在（4.4）和假设i）、ii）和iii）中描述，那么条件分布αt:E[φ（Xt | FYt）]满足以下库什纳-斯特拉托诺维奇方程：dαt（φ）=αt（Aφ）dt+αth+Bφ- αt（h）αt（φ）dWt+αth+Bφ- αt（h）αt（φ）dWt。（4.6）对于任何φ∈ B（R）（有界可测函数的空间R）→ R）。运算符在（A.9）中给出。此外，（ut，βt）的动力学满足以下随机微分方程：dut=αt（a）dt+[αt]hφ+b- αt（h）αt（φ）]dWt+[αthφ+b- αt（h）αt（φ）]dWt，dβt=αt（a）dt+[αthφ+b- αt（h）αt（φ）]dWt+[αthφ+b- αt（h）αt（φ）]dWt。证据根据μtandβt的模型，我们从μtandβt的定义中得出，Vt仍然出现在μtandβt的动力学中。当Vt=Υ（Υut，Υβt）时，我们可以描述（A.1）中的信号过程Xt=（*u，*βt）的动力学。另一方面，根据（4.5）给出的观测过程定义，我们发现传感器函数h=（h，h）具有线性增长条件。因此，当假设i）、ii）和iii）得到验证时，我们可以从引理4.2中推断出条件（A.4）和（A.6）得到了证明。

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2022-5-6 10:35:18

因此，（4.6）中αt的动力学是从命题A.2推导出来的。（ut，βt）的动力学仍有待推导。让我们如下考虑函数φ和φ：对于x=（m，b），φ（x）=m和φ（x）=b。然后，可以通过用φ（分别φ）替换φ，从（4.6）推导滤波器ut（分别βt）。这里的问题是Kushner-Stratonovich方程（4.6）适用于任何有界Borel可测φ。但由于φ（resp.φ）没有界，我们继续在一个固定的水平上截断φ（resp.φ），使其趋于一致。为此，让我们引入函数（ψk）k>0，定义为ψk（x）=ψ（x/k），R中的x，其中ψ（x）=1如果| x |≤ 1exp（|x|-1 | x|-4）如果1<|x |<22如果|x |≥ 2.然后使用中给出的下列关系式：→∞φψk（x）=φ（x），|φ（x）ψk（x）|≤ |φ（x）|，limk→∞As（φψk）（x）=Asφ（x）。然后，通过将等式（4.6）中的φ替换为φψ和支配收敛定理中的k，我们可以将极限传递为k→ ∞ 然后我们推导出ut:=αt（φ）（分别为βt:=αt（φ））满足上述动力学。4.1.2方程（4.6）解的存在性和唯一性我们现在充分考虑信号观测系统的系数，以证明方程（4.6）有唯一解，见Bain和Crisan[？，第4章]。我们定义了以下空间，在其中我们证明了独特性。让我们定义测度值随机过程的空间，在这个空间中我们证明方程（4.6）解的唯一性。必须选择该空间，使其仅包含任何线性增长函数的积分为有限的度量。

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2022-5-6 10:35:21

这种选择的原因是，我们希望允许信号和观测过程的系数是无界的。设ψ：R→ R是任意x的函数ψ（x）=1+| | x | |∈ 将Cl（R）定义为连续函数φ的空间，使得φ/ψ∈ Cb（R）（有界连续函数的空间）。让我们用Ml（R）表示有限测度M的空间，使得M（ψ）<∞. 特别是，这意味着u（φ）<∞ 无论如何∈ Cl（R）。此外，我们赋予Ml（R）相应的弱拓扑：Ml（R）中的测度序列（un）收敛到u∈ Ml（R）当且仅当iflimn→∞un（φ）=u（φ），适用于所有φ∈ Cl（R）。定义4.4.o类U是所有Yt适应的Ml（R）值随机过程（u）t>0的空间，具有cádlág路径，因此，对于所有t>0，我们有EZt（us（ψ））ds< ∞.o 类U是所有Yt适应的Ml（R）值随机过程（u）t>0的s步，具有cádlág路径，使得过程mu属于类U，其中过程mu定义为：mut=exp（Ztus（hT）dYs-Ztus（hT）us（h）ds）现在我们陈述方程（4.6）解的唯一性结果，参见本章定理4.19和Crisan[？，第4章]命题4.5。假设（4.3）中定义的函数A、K和h具有两个连续可微分分量，且其一阶和二阶导数都有界。那么方程（4.6）在类U.4.6中有唯一的解。滤波器满足的方程是有限维的，无法精确求解。这些滤波器必须进行数值求解，但在具体应用中，滤波器永远无法精确实现，因此为了避免这种困难，提出了一些近似方案。例如，扩展卡尔曼滤波器基于当前估计值周围状态方程的非线性化，参见例如Pardoux[？]。这种方法在数学上并不合理，但在实践中得到了广泛应用。

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2022-5-6 10:35:26

偏微分方程方法，其基于信号的非正规条件分布的密度是偏微分方程的解这一事实，参见例如Bensoussan[？]和Pardoux[？]。此外，我们还可以使用Gobet el al[？]使用的近似方案其中包括离散线性Zakai方程，然后从Kllianpur-Striebel公式（A.5）推导条件分布αt的近似值。4.1.3应用在本节中，我们将介绍两种类型的模型：一种是我们无法应用命题4.3中的结果来推导出滤波器估计的模型，另一种是命题4.3中的模型。3.可以申请吗。让我们考虑以下情况：dstst=utdt+eVtdWt（4.7）dVt=λV（θ- Vt）dt+σVρdWt+σVp1- ρdWt（4.8）dut=λu（θu）- ut）dt+σudWt，uN（m，σ），（4.9）这里，模型的风险由以下公式给出：△ut=uteVt△βt=λV（θ）- Vt）σVp1- ρ-ρp1- ρut把它的公式放在∧ut和βt上，我们有以下动力学：∧ut=~u+Ztλuθe-Vsds+~usσV- λu-λV（θ）- V）+σVds+ZtσVe-VsdWs-Ztρ∑V|usdWs-Ztp1- ρ∑V|usdWs。βt=-ZtλV（θ）- Vs）σVp1- ρds-ZtλVρp1- ρdWs-ZtλVdWs-ρp1- ρdus。另一方面，从*βt的定义来看，我们可以用*和*βt表示Vt，如下所示：Vt=-σVp1- ρλVβt-σVρλV|ut+θ。（4.10）如果我们在上述动力学中替换vt，我们可以推导出（～ut，～βt）可以如（A.1）中所述，其中：A（m，b）=λ|θuexpσVp1- ρλVb+σVρλVm- θ!+σV-λu- σVp1- ρb- σVρmMb（m，b）=- ρσVm；b（m，b）=-σVmp1- ρ; g（m，b）=σVexpσVp1- ρλVb+σVρλVm- θ!.安达（m，b）=-λVb-λVρp1- ρm-ρp1- ρa（m，b）；b（m，b）=-λVρp1- ρ-ρσVp1- ρmb（m，b）=-λV+ρσVm；g（m，b）=-ρp1- ρexpσVp1- ρλVb+σVρλVm- θ!; g=g=0。在（4.10）中，（μt，~βt）的动力学如（A.1）所述，但关于全球Lipschitz条件的假设i不满足，则无法应用命题4.3。备注4.7。

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2022-5-6 10:35:30

注意这里有一个常数函数。我们也可以选择例如βt=ut，在这种情况下，我们仍然可以仅用*和*βt来描述VT。但是如果我们采用βt另一个过程，在这种情况下，我们不清楚VT是否只能用*和*βt来描述。现在让我们考虑另一个例子：Hes ton ModeldStt=utdt+pVtdWt，dVt=λV（θ）- Vt）dt+σVpVtρdWt+p1- ρdWt,dut=λu（θu- ut）dt+σudWt，uN（m，σ），这里的风险由¨ut=ut给出√vt和∧βt=λV（θ）- Vt）σV√Vtp1- ρ-ρp1- ρut。同样，在上述情况下，我们可以描述（4.3）中的|u和|βtas的动力学，但假设i）不满足。现在我们给出一些例子，说明命题（4.3）可以应用，因此我们可以推导出滤波器估计。我们将对随机因素Garch模型和随机因素Log Ornstein-Uhlenbeck模型感兴趣。随机因素Garch模型：让我们考虑以下Garch模型：dStSt=pVtutdt+dWt,dVt=βt（θ）- Vt）dt+σVVtρdWt+p1- ρdWt,dut=λu（θu- ut）dt+σudWt，uN（m，σ），dβt=λββtdt+σβdWtβN（m，σ）。其中，Wand Ware独立于Wand Ww，其中u和β分别遵循均值m（分别为m）和方差σ（分别为σ）的正态分布。在这里，模型的风险由以下公式给出：△ut=utand△βt=βt（θ- Vt）p1- ρVt-ρp1- ρut.为了计算模型中的滤波器估计值，我们将使用命题4.3。为此，我们需要取θ=0。因为，如果我们把它的公式应用于θ6=0的情况下，我们得到了一个系数不是Lipschitz的动力学，也就是说，假设i）没有得到验证，因此命题4.3不能应用。为此，我们取θ=0。

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2022-5-6 10:35:34

假设θ=0，那么根据它的公式，我们得到：dutβt= A.utβtdt+GutβtdMt。其中函数A、G和B如下所示：兆字节=λu(θu- m） λβb+ρ（λβ+λu）ρm-ρλuθuρ, G兆字节=-ρσuρ0σβ（b+ρρm）.式中ρ=p1- ρ且函数B为空，因此我们处于信号过程xt:=（)ut，)βt）和观测过程Yt:=（)Wt，)Wt相互独立的情况。这意味着算子带B将在Zakai和Kushner-Stratonovich方程中消失。对于这个模型，命题4.3的假设是满足的，那么任意φ的条件分布α由：dαt（φ）=αt（Aφ）dt给出+αthφ- αt（h）αt（φ）dWt+αthφ- αt（h）αt（φ）dWt。这里算符A由（A.7）给出，其中K=GGT。因此，滤波器估计的动态如下所示：dut=λu（θu- ut）dt+αt（hφ）- utdWt+αt（hφ）- βtutdWt，dβt=λββt+ρ（λβ+λu）ρut-ρλuθuρdt+αt（hφ）-utβtdWt+αt（hφ）- βtdWt。在数值上，为了模拟αt，我们可以使用Gobetet al[？]开发的近似格式或Pardoux研究的扩展卡尔曼滤波器[？，第6章]。此外，我们还考虑了另一个可以应用命题（4.3）的例子：

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2022-5-6 10:35:38

该过滤器是根据一般的Kushner Stratonovich方程（A.2）推导出来的，但该过滤器的优点是它是一个有限维过滤器。有限维滤波器：随机因子Log Ornstein-Uhlenbeck模型让我们考虑以下Log Ornstein-Uhlenbeck模型：dStSt=eVtutdt+dWt（4.11）dVt=λV（θ）- Vt）dt+σVρdWt+σVp1- ρdWt（4.12）dut=λu（θu）-ut）dt+σudWt。（4.13）然后从|utand|βtand It^o的公式的定义来看，系统的风险具有以下动态性：dutβt=A（t）utβt+ b（t）dt+G（t）dWtWt！+B（t）WtWt！。这里是A=-λuρ[λu-λV]ρ-λV, b=λθu-ρρλuθu!, G=σu-ρρσu!B=0-ρλV-λV！。式中ρ=p1- ρ.因此，使用[？]中的定理10.5.1，我们可以推导出滤波器的以下随机微分方程：dutβt=A（t）utβt+ b（t）dt+（B（t）+Θt）dWtWt！。（4.14）其中Θ是信号的条件协方差矩阵（2×2），满足以下确定性矩阵Ricatti方程：dΘt=AΘt+ΘtAT+GGT- ΘtΘTt-ΘtBT- BΘt.（4.15）我们还可以考虑随机波动率Vt的平均θ是ut的线性函数的情况。例如，假设θ=ut时（St，Vt，ut）的上述动力学。因此，滤波器估计（ut，βt）验证（4.14）。这里G和B是上面给出的同一个矩阵，但A和B由A给出=-λuρ[λu- λV]ρ-λμλVσVρ-λV, b=λμθμλVσVρ-ρρλuθu.备注4.8。

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2022-5-6 10:35:41

此外，如果我们考虑斯蒂恩斯坦模型，我们有关于过滤器估计的上述结果，其中股票具有动态性：dStSt=|Vt|utdt+dWt以及（4.12）和（4.13）给出的s t ochasticvolatility vt和漂移utare。5组合优化的应用在展示我们的结果之前，让我们回顾一下交易者的目标是解决以下优化问题：J（x）=supπ∈AtE[U（RπT）]x>0，（5.1），其中Rπ在完整信息上下文中的动力学由以下公式给出：dRπT=RπTπTg（Vt）utdt+g（Vt）dWt.这里是一组允许的控制πt，这些控制πt是FS适应的过程，取它们的值为紧U R、满足可积条件：ZTtg（Vs）πs<∞ P.a.s.（5.2）我们已经证明，利用非线性滤波理论，部分观测组合问题转化为完全观测问题，并在财富动态中加入额外的滤波器，可以应用鞅或偏微分方程方法。在这里，我们将感兴趣的鞅方法，以解决我们的优化问题。使用鞅方法代替偏微分方程方法的动机是，我们不需要对容许控制施加任何约束（见备注5.16）。由于约化市场模型的不完全性，由于随机因子V的存在，我们不得不求解相关的对偶优化问题。为此，我们通过使用偏微分方程方法来补充鞅方法，以明确地解决对偶问题。

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2022-5-6 10:35:44

对于CARA的效用函数，验证结果表明，在市场系数的某些假设下，对偶值函数和对偶优化器与半线性偏微分方程的解有关。5.1鞅方法在给出关于对偶问题解的结果之前，让我们先提醒一下关于鞅方法的一些一般结果。不完全市场中的鞅方法基于一个（P，G）-局部鞅族的对偶优化问题。对偶公式的重要结果是[？]中给出的鞅表示定理对于（P，G）-关于创新过程的局部鞅，Wand W.引理5.1（鞅表示定理）。设A为任意（P，G）-局部鞅。然后，存在一个G-适应过程φ和ψ，pa.s.平方可积且at=ZtφsdWs+ZtψsdWs。（5.3）现在，我们的目标是描述优化问题的对偶形式。我们现在做出以下假设，这将在续集中有用：ZTutdt<∞,ZTνtdt<∞ P- a、 s.（5.4）对于任何G-适应过程，ν={νt，0≤ T≤ T}，满足（5.4），我们引入（P，G）局部鞅严格正：ZνT=exp-ZtusdWs-ZtνsdWs-Ztusds-Ztνsds（5.5）当E[ZνT]=1时，过程Z是一个鞅，然后存在一个与P等价的概率测度qe：dQdP | Gt=ZνT。这里u是与资产布朗运动W相关的风险，该风险的选择使得Q是一个等价的鞅测度，即过程ZνR是一个（P，G）-局部鞅。另一方面，ν是与随机波动的布朗运动相关的风险，该风险将被确定为下面定义的对偶问题的最优解。因此，从它的公式来看，过程Zν满足：dZνt=-νt ZusdWs+νsdWs.

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2022-5-6 10:35:48

（5.6）如Karatzas等人[？]所示，原始问题（5.1）的解决依赖于对偶优化问题的解决：Jdual（z）=in fQ∈量化宽松~U（zdQdP）:= infν∈KEh∧U（zZνT）i，z>0（5.7），其中：oQ是由以下公式给出的等价鞅测度集：Q={Q~ P | R是局部（Q，G）- 鞅}。（5.8）o~U是U的凸对偶，由以下公式给出：~U（y）=supm>0[U（m）- ym]，m>0。（5.9）oK是G-适应过程ν的希尔伯特空间，使得EZT |νt | dt< ∞.因此，我们对效用函数施加以下假设，以确保对偶问题有解∈ K：假设2.o为了一些p∈ (0, 1), γ ∈ (1, ∞), 我们有pu′（x）≥ U′（γx）十、∈ (0, ∞).o 十、→ xU′（x）在（0，∞ ).o 每一个z∈ (0, ∞), 存在ν∈ K使得J（z）<∞.根据与Karatzas等人[？]中定理12.1相同的论点，二元问题（5.7）的存在性。提议5.2。在假设2下，对于所有z>0的情况，对偶问题（5.7）允许一个解∧ν（z）∈ 在续集中，我们用I:]0表示，∞[→]0, ∞[U′on的反函数]0，∞[.这是一个递减函数和验证极限→0I（x）=∞ 还有limx→∞I（x）=0。现在来自Karatzas等人[？]还有欧文[？]，关于原始效用最大化问题（2.4）的解，我们有以下结果。定理5.3。效用最大化问题（2.4）的最优财富由~Rt=E给出Z/TZ/tI（zxZ/nt）|Gt式中，式中|ν=|ν（zx）是对偶问题的解，zxis是拉格朗日乘子，因此ZνTI（zxZνT）= x、此外，最优投资组合π由方程dRt=πtg（Vt）dWt（5.10）注释5.4隐式确定。约束EZνTI（zxZνT）= x选择ZX满足的ifzx∈ argminz>0{Jdual（z）+xz}。

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可人4

2022-5-6 10:35:51

（5.11）现在我们开始介绍关于对偶问题解决方案的结果。5.1.1对偶问题的解（5.7）我们从定理5.3中注意到，最优财富取决于ν的最优选择。因此，我们感兴趣的是通过找到最优风险ν（5.7）的解来进行以下研究。这里我们介绍两个案例。首先，我们证明了当价格风险的滤波估计ut∈ FWt，对偶问题的极限为ν=0。其次，对于一般情况，我们的想法是推导对偶问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，该方程将波动风险作为控制过程。引理5.5。假设ut∈ FWt，则对偶问题的极限为ν=0，即：Jdual（z）=in fQ∈量化宽松~U（zdQdP）= 呃?zZTi、（5.12）证据。见附录A。一般来说，价格风险的过滤估计不满足引理5.5，因此很难得出对偶问题解决方案的明确特征，从而得出最优财富和投资组合。为此，我们需要将对偶问题表示为一个随机控制问题，控制过程Zν和控制过程v。首先，从Zνt的基本动力学出发，我们注意到我们的优化问题5.7有三个状态变量，这三个状态变量将被用来描述相关的Hamilton-Jaccobellman方程：Zνt的动力学（5.6）、系统（Q）中给出的随机波动率（Vt）的动力学和价格风险ut的滤波估计的动力学。我们在过滤部分已经表明，过滤估计是一个随机微分方程，通常是有限维的，不是马尔可夫过程。因此，我们不能用它来描述HJB。

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2022-5-6 10:35:54

另一方面，我们还表明，对于一些随机波动率模型，我们可以得到ut的有限维随机微分方程，这也是一个马尔可夫过程。所以在续集中，我们假设过滤器是马尔可夫的。另一方面，我们通常需要考虑u和βt的动力学。但为了简化，我们将βt视为u或常数的线性函数。同样对于βt的选择，由于命题（5.17）中使用的分离技术，我们可以得到价值函数和最优投资组合的封闭形式。在下文中，我们假设这是马尔科夫。所以对于初始时间t∈ [0，T]对于固定z，对偶值函数由以下随机控制问题定义：~J（z，T，z，v，m）：=infν∈KEhU（zZνT）| ZνT=Z，Vt=v，uT=mi。（5.13）式中（Zνt，Vt，ut）的动力学如下：-ZνtusdWs- ZνtνsdWsdVt=f（ut，Vt）dt+ρk（Vt）dWt+p1- ρk（Vt）dWtdut=τ（ut）dt+θ（ut）dWt+Υ（ut）dWt。其中f是一个线性函数。注意，（5.7）中的双值函数是从Jdual（z）=Jdual（z，0，z，v，m）简单推导出来的。如果我们假设Yt=（Vt，ut）是一个二维过程，那么受控过程（Zνt，Yt）满足以下动力学：dZνt=-Zνtψ（Ys）dWs- ZνtνsdWs（5.14）dYt=Γ（Yt）dt+∑（Yt）dWt（5.15），其中Wt=（Wt，Wt）是一个二维布朗运动，对于y=（v，m），我们有：ψ（y）=m，Γ（y）=f（m，v）τ（m）和∑（y）=ρk（v）p1- ρk（v）θ（m）Υ（m）.然后我们得到了上述随机问题（？）的新形式它的hjbe方程如下：Jdual（z，t，z，y）：=infν∈KEhU（zZνT）| ZνT=Z，Yt=yi。（5.16）现在假设U满足以下性质：~U（λx）=g（λ）~U（x）+g（λ），（5.17）对于λ>0和任何函数和g。这种假设的特殊优点是：我们可以独立地解决z的对偶问题（5.7）。

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2022-5-6 10:35:58

一般来说，对偶问题（5.7）的解依赖于z，但对于这种类型的U，这种依赖性消失。然后（5.7）的内容如下：Jdual（z）=g（z）infν∈KEh~U（ZνT）|ZνT=Z，Yt=yi+g（Z）。现在，让我们表示∧J（t，z，y）=infν∈KEh~U（ZνT）|ZνT=Z，Yt=yi。（5.18）注意对偶问题（5.7）的解由以下公式给出：Jdual（z）：=Jdual（z，0，z，v，m）=g（z）~J（0，z，y）+g（z）。（5.19）形式上，与上述随机控制问题（5.18）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程是以下非线性偏微分方程：~Jt+TR∑（y）∑T（y）DyJ+ ΓT（y）Dy~J+infν∈K（ψ（y）+ν）zDz~J-z[ψ（y）KT（y）+νKT]Dz，y＠J= 0.（5.20），且边界条件为J（T，x，y）=U（x）。

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2022-5-6 10:36:01

（5.21）相关的最优对偶优化器ν由以下公式给出：νt=KTDz，yJz DzJ。这里，Dy和Dy表示关于变量y的梯度和Hessian算子。Dz，Yi是关于变量z和y的二阶导数向量，对于y=（v，m），K（y）=ρk（v）θ（m）和K（y）=p1- ρk（v）Υ（m）.ab ove HJB是非线性的，但如果我们考虑CARA效用函数的情况，通过可测变换，我们可以使该方程半线性，然后通过该半线性方程的经典解来刻画对偶值函数J，它比通常的完全非线性HJB方程更简单。5.2效用函数的特殊情况让我们考虑两个更标准的效用函数：对数和幂，定义为：U（x）=ln（x）x∈ R+xppx∈ R+，p∈ （0，1）对于这些函数，相关联的凸对偶函数由以下公式给出：~U（z）=-（1+ln（z））z∈ R+-zqqz∈ R、 q=pp- 1这些效用函数特别有趣：首先，它们满足性质（5.17）；其次，由于凸对偶函数的同质性，以及过程Zν和控制ν呈线性的事实，我们可以建议适当的变换，对于这一点，我们可以通过一个半线性半线性偏微分方程的经典解来刻画对偶值函数J，下面将对其进行描述。现在让我们做一些假设，这些假设将有助于证明我们的验证结果。假设（H）i）Γ和∑是有界导数的Lipscitz和cw。ii）∑∑是一致椭圆的，也就是说，存在c>0的表达式，对于y，ξ∈ R:Xi，j=1（∑T（y））ijξiξj≥ c |ξ|。iii）∑有界或是确定性矩阵。iv）存在一个正常数，例如expZT（ψ（Yt）+νt）dt∈ L（P）。注意，关于Γ和∑的Lipschitz假设确保了（5.15）解的存在唯一性。

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何人来此

2022-5-6 10:36:05

此外，我们有：E[sup0≤s≤t|Ys|]<∞. （5.22）5.2.1对数效用：对于对数效用情况，我们可以寻找（？？）的候选解然后（？？）形式为：~J（t，z，y）=-（1+ln（z））- Φ（t，y）（5.23）然后直接替换（5.20）和（5.21）中的（5.23）得到Φ的以下半线性偏微分方程：-ΦT-TR∑（y）∑T（y）DyΦ+ H（y，DyΦ）=0，（5.24），边界条件为Φ（T，y）=0。（5.25）其中哈密顿量H定义为：H（y，Q）=-ΓT（y）Q+infν（ψ（y）+ν）.我们现在陈述对数情况下的验证结果，将上述半线性（5.24）和（5.25）的解与随机控制问题（5.18）联系起来。定理5.7（验证定理）。让假设保持不变。假设存在一个解Φ∈ C1,2（[0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）到具有终端条件（5.25）的半线性（5.24）。我们还假设Φ满足多项式增长条件，即：|Φ（t，y）|≤ C（1+| y | k）对于某些k∈ N.然后，为了所有人（t，z，y）∈ [O，T]×R+×R＠J（T，z，y）≤ -1.- ln（z）- Φ（t，y），对于最优风险，我们有J（t，x，y）=-1.- ln（x）- t（Φy）。证据设Jν（t，z，y）=Eh~U（zνt）|zνt=z，Yt=yi。从（5.18）到U（z）=-1.-ln（z），我们有以下表达式来表示Jν：~Jν（t，z，y）=-1.- ln（z）+EZTt（ψ（Ys）+νs）ds. （5.26）设ν为任意控制过程，Y为与Yt=Y相关的过程，并定义停止时间θn:=T∧ inf{s>t:|Ys- y|≥ n} 。现在，让Φ成为（5.24）的C1，2解。然后，通过它的公式，我们得到：Φ（θn，Yθn）=Φ（t，Y）+ZθntΦt+tr（∑∑TDyΦ）+ΓTDyΦ（s，Ys）ds+Zθnt（（DyΦ）T∑）（s，Ys）dWs≤ Φ（t，y）+Zθnt（ψ（Ys）+νs）ds+Zθnt（（DyΦ）t∑）（s，Ys）dWs（5.27）根据θn的定义，随机积分中的被积函数在[t，θn]上有界，这是DyΦ的连续性和假设H i）的结果。

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nandehutu2022

2022-5-6 10:36:08

然后，通过期望，我们得到：E[Φ（θn，Yθn）]≤ Φ（t，y）+EZθnt（ψ（Ys）+νs）ds.我们现在取极限，当n增加到单位时，则取θn→ 根据Φ和（？）满足的生长条件，我们可以推导出（Φ（θn，Yθn））n的一致可积性。因此，它遵循支配收敛定理和边界条件（5.25），对于所有的ν∈ K:-Φ（t，y）≤ EZTt（ψ（Ys）+νs）ds从（5.23）开始，我们有：~Jν（t，z，y）≤ -1.- ln（z）- Φ（t，y）。现在，通过重复上述论点，将ν替换为最佳风险ν=0，我们最终可以推断：Jν（t，z，y）=-1.- ln（z）- Φ（t，y）。这就结束了这个证明，因为J（t，z，y）=infν∈现在让我们研究在终端条件（5.25）下半线性（5.24）的解Φ的正则性。提议5.8。在假设H i）和ii）下，存在一个解Φ∈ C1,2（[0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）与y中的多项式qrowth条件，到具有终止条件（5.25）的半线性耳（5.24）。证据在假设i）和ii）以及哈密顿量H满足DyΦ上的全局普希茨条件的事实下，我们可以从Fleming和soner[？，p.163]中的定理4.3推导出半线性方程（5.24）的经典解的存在唯一性。5.2.2幂效用：如对数情况下给出的上述原因，我们可以建议值函数的形式为：~J（t，z，y）=-zqqexp(-Φ（t，y））。（5.28）那么，如果我们替换（5.20）和（5.21）中的公式，我们可以推导出以下半线性。D.E对于Φ：-ΦT-TR∑∑TDyΦ+ H（y，DyΦ）=0，（5.29）Φ（T，y）=0。（5.30）哈密顿量H定义为：H（y，Q）=QT∑（y）∑T（y）Q- QTΓ（y）+infν∈Kq（q）-1）（ψ（y）+ν）+qψ（y）KT+νKTQ（5.31）=QT∑（y）∑T（y）- G（y）Q- QTF（y）+ψ（y）。

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nandehutu2022

2022-5-6 10:36:13

（5.32）其中y:=（v，m）：G（y）=qq-1K（y）KT（y）F（y）=Γ（y）- qψ（y）Kψ（y）=q（q）-1） ψ（y）。我们现在陈述功率情况下的验证结果，该结果将上述半线性（5.29）和（5.30）的解与随机控制问题（5.18）联系起来。定理5.9（验证定理）。让假设H i）、iii）和iv）保持不变。假设存在一个解决方案∈ C1,2（[0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）在导数DyΦ上具有线性增长条件，到具有终端条件（5.30）的半线性（5.29）。然后，对于所有（t，x，y）∈ [O，T]×R+×Ri）~J（T，z，y）≤ -zqqexp(-Φ（t，y））。现在，假设存在一个极小值-→q（q）-1） ν+qνK（y）TDyΦ-ΦT-TRΣΣ*DyΦ+ H（y，DyΦ）=0。Thenii）~J（t，z，y）=-zqqexp(-Φ（t，y））。与之相关的最优∧ν由马尔可夫控制{νt=~ν（t，Yt）}给出，其中∧νt=-Q- 1KT（YT）DyΦ（t，YT）。（5.33）证据。让我们如下介绍新的概率Qν：dQνdP=exp-Ztqψ（Yu）dWu-ZtqνudWu-Ztq（ψ（Yu）+νu）du,根据假设iv）密度处理的概率度量qνdp得到了很好的定义，见Liptser和Shiryaev[？，第233页]。设Jν（t，z，y）=Eh~U（zνt）|zνt=z，Yt=yi。从（5.18）到U（z）=-zqq，从它的公式中，我们得到了以下关于＠Jν的表达式：＠Jν（t，z，y）=-zqqEν经验ZTtq（q）-1）（ψ（Yu）+ν）du|Yt=y.

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2022-5-6 10:36:16

（5.34）同样根据Girsanov定理，Y在Qν下的动力学由：dYt=（Γ（Yt）- qψ（Yt）K（Yt）- qνtK（Yt））dt+∑（Yt）dWνt，（5.35），其中Wν是qν下的二维布朗运动。现在，让Φ是（5.29）的一个C1，2解，然后通过它的公式应用于Qν下的Φ（t，Yt），我们得到：Φ（θn，Yt）=Φ（t，y）+ZTtΦt+（Γ）- qψK-qνtK）TDyΦ+tr（∑∑TDyΦ）（u，Yu）du+ZTt（DTyΦ∑）（u，Yu）dWνuOrΦ是（5.29）的解，那么我们得到：Φ（T，YT）=Φ（T，y）+ZTtH（y，DyΦ）+（Γ- qψK- qνtK）TDyΦ（u，Yu）du+ZTt（DTyΦ∑）（u，Yu）dWνu（5.36）≤ Φ（t，y）+ZTtq（q）-1）（ψ（Yu）+ν）du+ZTtDTyΦ∑∑TDyΦ（u，Yu）du+ZTt（DTyΦ∑）（u，Yu）dWνu，（5.37），其中不等式来自哈密顿量的表示（5.31）。因此，我们有：exp(-Φ（t，y））Eν经验-ZTtDTyΦ∑∑TDyΦ（u，Yu）du-ZTt（DTyΦ∑）（u，Yu）dWνu≤ εZTtq（q）-1）（ψ（Yu）+ν）du.现在让我们考虑指数Qν-局部鞅：πt=exp-Zt（DTyΦ∑）（u，Yu）dWνu-ZtDTyΦ∑∑TDyΦ（u，Yu）du.根据i）和iii）中的Lipschitz条件，我们可以从G ronwall的引理中推断出存在一个正常数C，即：|Yt |≤ C1+Zt | Wνu | du+| Wνt|然后我们推断出存在一些>0这样的支持∈[0，T]Eν[exp（Yt|）]∞.

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