非线性期望下随机到期的最优停止

2022-5-8 06:25:55

非线性ar期望下随机到期的最优停止*+, 宋尧——我们分析了一个最优停车问题supγ∈TEγ∧τ非线性期望下的随机成熟度τ[·]：=supP∈PEP[·]，其中P是相互奇异概率的弱紧集。到期日τissp被定义为某个连续指数过程X达到0级的命中时间，在该时间点，支付过程Y甚至可以有正跳变。当P收集各种半鞅测度时，最优停止问题可以被视为一个任意停止问题，对于一个能够影响潜在随机流动态的漂移和波动的玩家来说。我们利用鞅方法构造一个最优对（P*, γ*) 对于sup（P，γ）∈P×TEPγ∧τ, 其中γ*是Y第一次满足其近似值E的极限Z-斯奈尔信封。为了克服P中概率的相互奇异性和Payoff过程的不连续性所引起的技术问题，我们通过增加Lipschitz连续停止时间序列来近似τ，通过一致连续过程序列来近似Y。关键词：任意停止，随机成熟度，弱公式中的控制，最优停止，非线性期望，粘贴下的弱稳定性，Lipschitz连续停止时间，动态规划原理，鞅方法。1.引言我们在非线性期望E[·]：=supP.下，解决了随机成熟度τ的连续时间最优停止问题∈PEP[·]，其中P是正则空间上相互奇异概率的弱紧集Ohm 连续的路径。更确切地说，让T收集关于标准过程B的自然过滤F的所有停止时间Ohm, 我们在定理3.1中构造了一个最优对（P*, γ*)∈P×T使得sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ] =支持∈PEP[Yγ*∧τ] =EP*γ*∧τ.

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2022-5-8 06:25:58

（1.1）在这里，支付过程的形式为Yt:=1{t<τ}Lt+1{t≥τ} Ut，t∈[0，T]对于两个有界过程L≤U在（2.2）的se中是一致连续的，而随机成熟度τ是某个连续索引进程X达到0级的命中时间，该进程X适用于F.书写（1.1）或assupγ∈TE[Yγ∧τ] =E[Yγ*∧τ] （1.2）我们看到γ*是非线性期望下具有随机成熟度τ的最优停止的最优停止时间。当P c集合测度，其中B是具有一致有界漂移和扩散系数的半鞅（在这种情况下，非线性期望是Peng意义上的G-期望[39]），则*密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡，48109；电子邮件：erhan@umich.edu.+E.Bayraktar部分由美国国家科学基金会资助，部分由苏珊·M·史密斯教授资助。本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点、发现、结论或建议，不一定反映国家科学基金会的观点宾夕法尼亚州匹兹堡匹兹堡大学数学系，邮编15260；电子邮件：songyao@pitt.edu.Optimal非线性期望下随机成熟度的停止2最优停止问题可以看作是一个对B动态的漂移和波动都能控制的游戏者的任意停止问题。Ekren、Touzi和Zhang[19]首次研究了非线性期望下随机成熟度的最优停止问题，他们也认为随机成熟度是B从凸开域O的第一个退出时间H，并认为奖励过程具有正跳跃，但不允许跳跃，这是我们感兴趣的情况。此外，O的凸性是应用的一个限制性假设，我们特别想在[7]中找到鲁棒Dynkin对策的最佳三元组。

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2022-5-8 06:26:01

我们通过以下两种方式扩展了[19]：首先，τ比H更一般，因此我们的结果至少可以用于识别鲁棒Dynkin对策的最佳三元组。参见例3.1中的τ，τ是某些非凸域中B的第一个e xit时间。其次，与[19]中使用的有限粘贴下的稳定性相比，我们对概率类施加了较弱的粘贴下的稳定性。自开创性工作[41]以来，鞅方法成为最优停止理论的主要工具（参见[35]，[22]，附录D，共[26]）。像[19]一样，我们将采用鞅方法，特别是非线性期望E。由于P中的概率是相互奇异的，我们无法确定E的条件期望，因此无法确定支付过程Y的斯奈尔包络，这是本质上的上确界意义。相反，我们使用移位过程和正则条件概率分布（详细信息见第2.1小节）来构造关于路径定义的非线性期望集[ξ]（ω）：=supP∈PtEP[ξt，ω]，（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 这里是移位正则空间上的一组概率Ohmt其中包括所有源自P的正则条件概率分布，参见（P3）。在证明Ξ关于非线性期望的鞅性质时，se={Et}t∈[0，T]中，我们遇到了两个主要的技术难题：首先，P均值中没有支配概率，非线性期望E没有有界收敛定理，然后不能遵循El Karoui[22]中最优停止的经典方法来获得E-Ξ的鞅性质。

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能者818

2022-5-8 06:26:05

其次，支付过程的跳跃是随机到期时间τ和每个到期时间的不连续性Ohm （由于τ的不连续性）在推导Ξ的动态编程原理时带来了技术问题，这是E-Ξ的鞅性质。为了解决优化问题（1.1），我们首先考虑Y=L=U的情况，但是，具有连续停止时间随着随机成熟。对于修改后的支付流程：∧t、 t∈ [0，T]，我们在orem 4.1中构造一个最优对（bP，bν）∈相应优化问题SUP（P，γ）的P×T∈P×TEPhbYγi=EbPhbYbνi（1.3），因此bν是第一次满足其要求-Snell包络Z.使用Y的一致连续性和, 我们首先得出每个Zton的连续性估计（4.2）Ohm, 这与Z的动态编程原理（4.4）有关，因此也与过程Z的路径连续性估计（4.5）有关。根据（4.4），我们在命题4中给出。3.Z是anE-supe rmartingale和Z都是E-子鞅直到每个近似停止时间νnof bν，后者o f表明对于某些Pn∈PZ=E[Zνn]≤ EPn[Zνn]+2-n、（1.4）直到一个子序列，{Pn}n∈Nhas是弱紧概率集P中的一个极限BP，然后作为n→∞ 在（1.4）中，我们可以通过利用Z的连续性估计（4.2），（4.5）以及[19，定理m 3.3]证明中使用的类似参数来推导出Z=EbP[Zbν]，从而推导出（1.3），该证明使用了一系列准连续随机变量，将序列减少到bν。为了近似问题（1.1）中的一般支付过程Y，我们在命题5.1中构造了一个递增序列{n} n∈收敛于τ和满足的Nof-Lipschitz连续停止时间n+1-N≤2Tn+3，n∈N.（1.5）这个结果及其前提引理A.5和引理A.6是本文的主要贡献之一。

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2022-5-8 06:26:09

考虑到n，k∈ N、在附近连接L和Un斜率为2k的直线产生一个均匀连续的过程，kt:=Lt+1.∧（2k（t）-n）-1)+（犹他州）-Lt），t∈[0，T]，见引理5.1。然后我们可以将定理4.1应用到Yn，作者要感谢张剑锋的有益讨论。1.简介3Lipschitz连续停车时间n、 k:=(n+21-（k）∧T查找Pn，k∈P使得-斯奈尔包络Zn，Koffrocesbyn，kt:=Yn，kn、 k∧t、 t∈[0，T]satieszn，k=EPn，khZn，kνn，k∧ζi，ζ ∈ T，（1.6）式中，νn，kis为第一次Byn，kmeets Zn，k.自Cebyn起，kdi来自过程Ynt:=limk→∞bYn，kt=1{t≤n} Lt+1{t>n} UNT∈ [0，T]仅在随机区间内[[Nn+21-k] [（两个进程都在n+21-k），L和U的一致连续性给出了一个不等式（5.4），关于BZn，k如何与E收敛-Snell包络Znof Ynin项为21-k、类似地，我们可以从（1.5）和L，U的一致连续性推导出Zn和Zn+1之间距离的估计值（5.5），这进一步意味着对于每个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, {Znt（ω）}n∈Nis是柯西序列，因此允许limitZt（ω），见（5.6）。然后我们在命题5.3中证明Z是F-适应了在你之上的连续过程-停止支付过程的斯奈尔包络Yτ，在到期τ后保持在Uτ，因此第一次γ*当Y在τ之前时。为了证明我们的主要结果，定理3.1，我们让n<i<l< 所以s打顶时间ζi，l:= infT∈[0，T]：Zl,lT≤Lt+1/i满足ζi，l∧N≤νm，m∧n、用（n，k，ζ）涂抹（5.4）、（5.5）和（1.6）=m、 m，ζi，l∧ NyieldsZ≤Zm，m+εm≤EPm，mhZm，mζi，l∧ni+εm≤EPm，兆赫l,lζi，l∧ni+εm+εl. （1.7）让P*是{Pm，m}m的极限∈弱紧概率集P中的N（直到一个子序列）。

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kedemingshi

2022-5-8 06:26:12

作为m→∞ 在（1.7）中，我们可以推导出Z≤EP*赫兹l,lζi，l∧ni+εl≤ EP*Zζi，l∧N+εl从（5.4），（5.5），Z的连续性估计（4.2），（4.5）l,l以及类似于[19，定理3.3]证明中使用的近似ζi的公式，l通过准连续随机变量的递减序列。然后发送l, i、 n to∞ lea ds toZ≤EP*Zγ*=EP*γ*∧τ≤晚餐∈PEP[Yγ*∧τ]≤ sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ]≤Z、（1.8）因此（1.1）成立。在我们关于概率类{Pt}t的假设中∈[0，T]，（P2）是移位正则过程bt的一个连续性条件，它在e ach Ft处是一致的-停止时间（FTP表示Bt的自然过滤）和每个P∈Pt。这个条件加上L，U的一致连续性意味着E的路径连续性（4.5）-任何一致连续过程的包络以及上述关于近似Snellenvelopes Zn和Zn的估计（5.4），（5.5），都是定理3.1证明的关键。我们对概率类{Pt}t施加的另一个重要假设∈[0，T]是“帕斯亭下的弱稳定性”（P4），这是动态规划原理（4.4）中的上解部分的关键-任何均匀连续过程的包络。更准确地说，（P4）允许我们组装lo calε-电子的最优控制-包络形成近似的氧化策略。在例3.3中，我们表明，这两个假设以及（P3）在弱公式化的控制下得到了满足。e、 P包含所有的半鞅测度s，其中B具有一致有界的漂移和扩散系数。相关文献。作者在[3,4]中分析了非线性期望下的最优停止问题∈过滤概率空间上的IEi[·]EOhm,英孚，英孚，英孚=eFtT∈[0，T], 其中{Ei[·Ft]}t∈[0，T]是aeF-每个指数i在EP下的一致（非线性）表达式∈ 我

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何人来此

2022-5-8 06:26:15

一个值得注意的例子是ofeF-共同预期是[37]引入的“g-exp-ctations”，它代表了一个相当大的凸风险度量类别，这要归功于[14,38]。如果Ei是带控制的条件期望值，则supi下的最优停止问题∈IEi[·]正是具有任意停止的经典控制问题，其一般存在性/特征化结果可在[17,31,22,8,24,32,33,10,15,29]中找到。（对于此类控制问题应用的明确解决方案，可酌情停止，例如目标t跟踪模型和约束条件下美国包含索赔的上限套期保值价格的计算，请参考[29]中的文献。）另见[9,25,13]，了解椎间盘视网膜停止的相关最佳消耗量选择问题。当非线性的期望值变为零时∈IEi[·]，在[3,4]中考虑的最优停车问题转化为Knightian不确定性下的ro-bus t最优停车或密切相关的控制器-stopper-g ame，在过去的几十年中，也对其进行了广泛的研究[28、30、23、12、15、40、2、3、4、5、11、34]等。非线性期望下随机成熟度的最优停止4最后一段图中引用的所有工作都假设概率集P由单一概率控制，或者控制器只允许影响漂移。当P包含相互奇异的概率，或者控制器不仅可以影响漂移，还可以影响波动性时，由于P的相互奇异性所导致的技术微妙性，研究取得了一些进展，例如有界/支配收敛理论在这个框架中通常失败。

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2022-5-8 06:26:18

Krylov[31]解决了具有一致非退化扩散的一维马尔可夫模型中任意停止的控制问题，然而，他的方法严重依赖（确定性）值函数的光滑性，在一般情况下不起作用。为了将粘性解的概念推广到完全非线性的路径依赖型偏微分方程，E kren、Touzi和Zhang[19]研究了非线性期望下随机成熟度H的最优停止问题。然而，我们的论文分析了一个类似的pr问题，考虑到τ的更一般形式，如上所述。尽管遵循了它的技术设置，我们还是采用了一种与[19]截然不同的方法：估计t-沿两条路径ω，ω′的时间斯奈尔包络值∈ Ohm 满足t<H（ω）∧H（ω′），即。t（ω，ω′）=sup（P，γ）∈Pt×TtEPhYt，ωγi- sup（P，γ）∈Pt×TtEPhYt，ω′γiwithYs:=YH∧s、 s∈[0，T]，[19]关注在短时间[T，T+δ]内沿直线l从ω′（T）到ω（T）移动的所有轨迹。在概率类{Ps}上使用“有限粘贴的稳定性”假设∈[0，T]这意味着（P4），见备注3.1（3）假设Pt |[t，t-δ] Pt+δ，[19]沿着这些轨迹将分布P从时间t移动到时间t+δ。当l仍然在凸开域内时，停止时间H可以沿这些轨迹以δ的延迟传递。然后用Y的统一连续性来估计t（ω，ω′）.

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kedemingshi

2022-5-8 06:26:23

另一方面，如上所述，我们首先解决具有连续随机成熟度的最优停止问题然后通过Lipschitz连续停止时间来近似命中时间τ。对于鲁棒最优停止问题，或相关的控制器-停止博弈，关于相互奇异概率集P，Nutz和Zhang[36]以及Bayraktar和Yao[6]使用不同的方法来获得非线性期望Et[ξ]（ω）：=infP下博弈值的存在性及其鞅性质∈PtEP[ξt，ω]，（t，ω）∈ [0，T]×Ohm （与[36]的比较见[6]的引言。）。例如[27]和[1]在某些特定情况下也考虑了这种最佳停止问题（参见[6]的摘要）。此外，Bayraktar和Yao[7]分析了一个关于相互奇异概率的鲁棒Dynkin对策，他们证明了Dynkin对策有一个值，并刻画了它的E-鞅性质。应用本文的主要结果，定理3.1，[7]也得到了鲁棒Dynkin对策的最优三元组。最近，Ekren和Zhang[21]发现，我们的结果有助于定义fullynon线性简并路径依赖型偏微分方程的粘度解。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了一些符号和初步结果，如正则条件概率分布。在第三节中，我们在对支付过程和类{Pt}t施加一些假设之后，陈述了非线性期望下具有随机成熟度τ的最优停止问题的主要结果∈[0，T]的相互奇异概率。

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能者818

2022-5-8 06:26:26

在第4节中，我们首先在非线性预期下解决了一个具有一致连续Payoff过程和Lipschitz连续随机成熟度的辅助最优停止问题，研究了相应的E-Snell包络，如它所满足的动态编程原理、路径规则性特性以及-鞅特征。在第5节中，我们通过Lipschitz连续停止时间来近似指数过程X的命中时间τ，并通过统一连续过程es来近似τ处不连续的一般支付过程。然后，我们证明了近似一致连续过程的斯奈尔包络的收敛性，并导出了其极限的正则性，这对于证明我们的主要结果是必要的。第6节包含我们结果的证明，而这些证明中带有星号标签的一些辅助陈述的说明则推迟到附录中。附录中还包括两个技术问题。2符号和P r省略通过本文，我们∈N和时间范围T∈(0, ∞). 让我们∈[0，T]。我们开始Ohmt:=ω ∈ C[t，t]；研发部: ω（t）=0作为周期[t，t]上的正则空间。给定ω∈ Ohm, φωt（x）：=sup|ω（r′）-ω（r）|：r，r′∈ [0，t]，0≤ |r′-r|≤ 十、, 十、∈ [0，t]显然是满足2的连续性函数的模。1移位过程与正则条件概率分布5limx→0+↓ φωt（x）=0。对于任何人来说∈[t，t]，kωkt，s:=supr∈[t，s]|ω（r）|，ω ∈Ohmtde定义了一个关于Ohmt、特别是，k·kt是Ohmt、下面Ohm这是一个可分的完备度量空间。Btof的规范过程Ohm这是一个d-Wiener测度Ptof下的二维标准布朗运动Ohmt、 FtT. 设Ft={Fts}s∈[t，t]，含Fts:=σBtr；R∈ [t，s], 成为BTF的自然过滤，让TTF收集所有信息-停车时间。另外，让我们收集所有的概率Ohmt、 FtT.

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2022-5-8 06:26:29

任何P∈P对于FtT的任何子西格玛域G，我们用L（G，P）表示所有实值空间G-可测随机变量ξ与kξkL（G，P）：=EP|ξ|< ∞.考虑到∈[t，t]，我们设置Tts:={τ∈Tt：τ（ω）≥sω ∈Ohmt} 并定义截断映射∏tsfromOhmttoOhm斯比πts（ω）（r）：=ω（r）-ω（s），（r，ω）∈[s，T]×Ohmt、根据[6]中的引理A.1，τ（πts）=τoπts∈Tts，τ ∈对于任何δ>0和ω∈Ohmt、 Osδ（ω）：=ω′∈ Ohmt:kω′- ωkt，s<δ这是Fts-可测操作集Ohmt、（2.1）andOsδ（ω）：=ω′∈Ohmt:kω′-ωkt，s≤δ这是Fts-可测闭集OhmT参见[6]中的例（2.1）. 特别地，我们将分别用Oδ（ω）和Oδ（ω）简单地表示OTδ（ω）和OTδ（ω）。如果上标t为0，我们将从上述符号中删除它。比如(Ohm, F）=(Ohm, F）。我们说ξ是一个连续的随机变量Ohm 如果有ω∈Ohm ε>0时，存在一个δ=δ（ω，ε）>0，如|ξ（ω′）-ξ（ω）|<ε对于任何ω′∈Oδ（ω）。此外，ξ被称为L-ipschitz连续随机变量Ohm 如果对于某些κ>0，|ξ（ω′）-ξ(ω)|≤κkω′-ωk0，任意ω，ω′的Tholds∈Ohm.如果| Xt（ω）|，我们说一个过程X被一些C>0所限定≤ C表示任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 此外，实值过程X在[0，T]×上是一致连续的Ohm 关于连续函数的某些模ρif | Xt（ω）-Xt（ω）|≤ρD∞（t，ω），（t，ω）, （t，ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, （2.2）其中d∞（t，ω），（t，ω）:= |T-t |+kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t.对于任何t∈[0，T]，在（2.2）中取T=T=T表示Xt（ω）-Xt（ω）≤ρkω-ωk0，t, ω, ω∈Ohm, 这意味着英国《金融时报》-Xt的可测性。SoX确实是一个F- 适应所有连续路径的过程。（2.3）此外，设M表示连续函数ρ的所有模，对于某些C>0和0<p≤p、 ρ（x）≤C（xp∨xp），十、∈[0, ∞). （2.4）在本文件中，我们将经常使用公约inf := ∞ 以及| x∧ A.- Y∧ a|≤ |十、- y |和| x∨ A.- Y∨ a|≤ |十、- y |，a、 x，y∈ R

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2022-5-8 06:26:33

（2.5）2.1移位过程和正则条件概率分布在本小节中，我们定义为0≤T≤s≤Tnω的级联ω的seω∈Ohmtand和eω∈Ohm周六时间：ω seω（r）：=ω（r）1{r∈[t，s）]+ω（s）+eω（r）{r∈[s，T]}，R∈ [t，t]定义了另一条道路Ohmt、集合ωs= ω海：=ωseω：eω∈eA对于任何非空的茶Ohms、引理2.1。如果∈ Fts，然后ωsOhms A表示任何ω∈ A.对于任何Fts-可测随机变量η，自{ω′起∈Ohmt：η（ω′）=η（ω）}∈Fts引理2.1意味着ωsOhms {ω′∈Ohmt：η（ω′）=η（ω）}即η（ω）seω）=η（ω）， eω∈Ohms、（2.6）也就是说，η（ω）仅取决于ω|[t，s]。让ω∈Ohmt、对于任何一个Ohmtwe集为，ω：={eω∈Ohms:ωseω∈A} 作为一个Ohm沙龙ω。特别地，s、 ω=. 给定一个随机变量ξonOhmt、通过ξs，ω（eω）：=ξ（ω），确定ξ沿ω|[t，s]的位移ξs，ωseω）， eω∈Ohms、相应地，对于进程X={Xr}r∈[t，t]打开Ohmt、它的移位过程Xs，ωisXs，ω（r，eω）：=（Xr）s，ω（eω）=Xr（ω）seω），（r，eω）∈ [s，T]×Ohms、移位随机变量和移位过程“继承”了原始变量的可测性：非线性期望下随机成熟度的最优停止6命题2.1。让0≤T≤s≤T和ω∈ Ohmt、（1）如果实值随机变量ξOhm这是Ftr-对某些人来说是可测量的∈ [s，T]，那么ξs，ω是Fsr-可测量的（2）对于任何τ∈Tt，如果τ（ω）sOhm（s）[r，T]对于一些r∈[s，T]，然后τs，ω∈Tsr。（3）如果实值进程{Xr}r∈[t，t]是英尺-适应（分别为英尺）-然后x，ω是Fs-改编（分别为Fs）-逐步测量）。让P∈Pt。根据规则的条件概率分布（参见[43]），我们可以按照[6]的第2.2节来引入移位概率{Ps，ω}ω族∈OhmTPs，对应的移位随机变量继承了原始变量的P可积性：命题2.2。如果ξ∈LFtT，P为了一些P∈Pt，那么它适用于P-a、美国。

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kedemingshi

2022-5-8 06:26:37

ω ∈Ohmtξs，ω∈LFsT，Ps，ω安第普斯，ωξs，ω= EPξFts(ω) ∈ R.（2.7）本小节在[6]中给出了更多细节和证据。3本节的主要结果，在对支付过程和{Pt}t类进行了一些假设之后∈[0，T]对于相互奇异的概率，我们将给出我们的主要结果，定理3.1，关于非线性期望下的最优停止问题[·]：=supP∈PEP[·]，其随机成熟度以某种连续指数过程X的击中时间τ到0级的形式存在。更精确地说，设X是一个X>0的过程，使得它的所有路径都是连续的，并且对于某些连续函数的模ρX | Xt（ω）- Xt（ω′）|≤ ρX（kω）- ω′k0，t），T∈ [0，T]，ω, ω′∈ Ohm. （3.1）显然，（3.1）意味着-X的适应性。然后τ：=inf{t∈[0，T]：Xt≤0}∧T∈（0，T]是F-停止时间和τn:=infT∈[0，T]：Xt≤对数（n+2）+十、-1.-1.-1.∧T∈（0，τ），n∈N（3.2）是F的递增序列-收敛于τ的停止时间。下面的例子表明，τ可能是B从某个非凸域的首次退出时间。例3.1。1）设d=2。显然，Xt=1+B（2）t+B（1）t, T∈ [0，T]定义一个X=1的过程，使其所有路径都是连续的，并且对于任何T∈ [0，T]和ω，ω′∈ Ohm, |Xt（ω）-Xt（ω′）|≤B（1）t（ω）-B（1）t（ω′）+B（2）t（ω）-B（2）t（ω′）≤ 2 | Bt（ω）-Bt（ω′）|≤ 2kω-ω′k0，t。然而，τ=inf{t∈ [0，T]：Xt≤ 0}∧T=inf{T∈ [0，T]：Bt/∈ Υ}∧这是B从Υ开始的第一次退出时间：={（x，y）∈ R:y>-1.- |x |}，R.2）的一个非凸子集，设d=2，设Γ：={（R cosθ，R sinθ）：R∈ [0, 1], θ ∈ [0，π]}是以原点（0，0）为中心的3/4单位磁盘。显然，Xt:=1/2- 地区（Bt，Γ），t∈ [0，T]是一个X=1/2的过程，因此它的所有路径都是连续的，对于任何T∈ [0，T]和ω，ω′∈ Ohm, |Xt（ω）- Xt（ω′）|≤ |dist（Bt（ω），Γ）- dist（Bt（ω′），Γ）|≤ |Bt（ω）- Bt（ω′）|≤kω- ω′k0，t。

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2022-5-8 06:26:41

然而，τ=inf{t∈ [0，T]：Xt≤ 0}∧ T=inf{T∈ [0，T]：Bt/∈eΓ}∧ T是B从eΓ开始的第一次退出时间：={（x，y）∈ R:dist（（x，y），Γ）<1/2}，R.3.1支付过程的一致连续性的另一个非凸子集，支持支付过程（L，U）的假设。设L和U是两个实值过程，有界于某个M>0，使得（A1）在[0，T]×上一致连续Ohm 用r表示ρ∈ M使得ρ满足（2.4），其中有些c>0，有些c<p≤ P（A2）Lt（ω）≤ Ut（ω），（t，ω）∈ [0，T）×Ohm LT（ω）=UT（ω），ω ∈ Ohm.我们考虑以下支付过程：=1{t<τ}Lt+1{t≥τ} Ut，t∈ [0，T]，（3.3）很明显，Y是F-由Mw路径限定的适应过程都是连续的，除了在τ3.2处可能出现的正跳变外，粘贴7例3.2下的弱稳定性。1）（针对控制者的美式或有索赔）考虑针对能够通过某些控制影响概率模型的代理人的美式或有索赔（例如内部人）：当某些基本指数过程I上升到一定水平a（TakingXt=a）时，索赔第一次向代理人支付捐赠UτIat-是的，t∈[0，T]表明τ=τI）。如果代理人选择在比τI更早的时间γ运动，她将接受γ。那么这种美式未定权益的价格是sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ] .2）（鲁棒Dynkin博弈）[7]分析了robus t Dynkin博弈关于相互奇异概率集P的情况：玩家1（保守地认为性质不利于她）将从玩家2处获得报酬（τ，γ）：=1{τ≤γ} Lτ+1{γ<τ}Uγ，如果他们选择在τ退出游戏∈ T和γ∈ 分别是T。本文证明了玩家1在鲁棒Dynkin博弈中有一个价值，即。

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2022-5-8 06:26:44

V=infP∈Pinfγ∈Tsupτ∈泰普R（τ，γ）= supτ∈Tinfγ∈TinfP∈打气R（τ，γ）并确定最佳停止时间τ*对于玩家1，这是玩家1的价值过程首次满足L（见其中的定理5.1）。然后将鲁棒Dynkin对策归结为具有随机成熟度τ的最优停止问题*在非线性预期下：=supP∈PEP[]，即sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ*], 其中L：=-U和U：=-L.3.2所有对（Y，) 因此，（i）Y是一个以MY>0为界的真值过程，且在[0，T]×上一致连续Ohm 关于ρY∈M（二） ∈ T是一个Lipschitz连续停车时间Ohm 具有系数κ> 0: |(ω) -(ω′)| ≤ κkω-ω′k0，T，ω, ω′∈Ohm.对任何人来说，) ∈ S、我们定义为：=Y∧t、 t∈ [0，T]，（3.4）这显然是一个F- 以神话为界的适应过程具有所有连续路径。关于概率类的假设。我们考虑一个家庭{Pt}t∈Pt，T子集的[0，T]∈ [0，T]使得（P1）P:=P是P.（P2）的弱紧子集，对于任何ρ∈ M、存在M的另一个bρ，即sup（P，ζ）∈Pt×TtEPρδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr- Btζ≤ bρ（δ），T∈ [0，T），δ ∈ (0, ∞). （3.5）特别是，我们要求bρ满足（2.4），其中某些bc>0，而1<bp≤英国石油公司。（P3）对于任何0≤ t<s≤ T，ω∈ Ohm 和P∈Pt，存在一个扩展(Ohmt、 F′，P′）的(Ohmt、 FtT，P）i、 e.FtTF′和P′|FtT=P和Ohm′∈ F′与P′的结合(Ohm′) = 1使得对于任何eω，Ps，eω都属于Ps∈ Ohm′.（P4）对于任何（Y），) ∈S、存在一个连续性函数的模ρYsuch，下面的语句对任何0都适用≤t<s≤T，ω∈ Ohm 和P∈Pt：给定δ∈Q+和λ∈N、 le t{Aj}λj=0be a Fts-分割Ohm对于j=1，··，λ，Aj 某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪ {δ} 和eωj∈ OhmT

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2022-5-8 06:26:48

那么对于任意{Pj}λj=1 Ps，这里有abP=bP（Y，)∈Pt使（i）bP（A）∩ A） =P（A）∩ A） ,，A.∈ FtT；（ii）对于任何j=1、·、λ和A∈ 英国石油公司金融时报∩ Aj）=P（A）∩ Aj）安第布帕∩AjbYt，ωγ（πts）i≥EPh{eω∈A.∩Aj}EPj比，ωteωγ-ρY（δ）我γ ∈ Ts.（3.6）以下是本文关于优化问题（1.1）可解性的主要结果。定理3.1。假设（3.1）、（A1）、（A2）和（P1）-（P4）。然后优化问题（1.1）允许一个最优对（P*, γ*)∈P×T，其中γ的形式*将在提案5.3（4）中详细说明。任何英国《金融时报》-可测随机变量ξ在某些C>0的范围内，我们用概率类{Pt}t定义其非线性期望∈[0，T]byEt[ξ]（ω）：=supP∈PtEP[ξt，ω]，（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.非线性期望下具有随机成熟度的最优停止，则（1.1）可替换地表示为（1.2），即γ*对于非线性期望下的最优停车，单独停车是最优停车时间。备注3.1。（1）显然，（x）：=x，十、∈ [0, ∞) 是M中连续函数的模。设b 在M in（P2）中是它的对应元素，并假设b 对某些C类的满意度（2.4）>0和0<q≤q、（2）基于（P2），（3.6）右侧的期望值定义得很好，因为映射eω→EeP比，ωteωγ在范数k kt，t下对任何EP都是连续的∈Psandγ∈Ts.（3）与[6]中的假设（P2）类似，条件（P4）可被视为一种弱形式的st能力下传，因为它由“固定粘贴下的稳定性”所暗示参见[42]中的例（4.18）: 对于任何0≤t<s≤T，ω∈Ohm,P∈Pt，δ∈ Q+和λ∈ N、设{Aj}λj=0为Fts-分割Ohm对于j=1，··，λ，Aj 某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪ {δ} 和eωj∈ Ohmt、那么对于任意{Pj}λj=1Ps，由bp（A）=P（A）定义的概率∩ A.+λXj=1EPh{eω∈Aj}PjAs，eω我A.∈ FtT（3.7）在Pt中。例3.3。

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2022-5-8 06:26:51

（弱配方的控制）给定l > 0，设{Plt} t∈[0，T]是[19]中考虑的半鞅测度族，如Plt收集上的所有连续半鞅测度(Ohmt、 FtT），其漂移和差异特征以l 和√2.l 分别地根据其中的引理2.3，{Plt} t∈[0，T]满足度（P1）、（P3）和在有限粘贴下的稳定性因此（P4）在备注3.1（3）中. 此外，我们可以从Bu r Kholder-Davis-Gundy不等式推断{Plt} t∈[0，T]满意度（P2），详见第6节。4 Lipschitz连续随机成熟度的最优停止为了解决优化问题（1.1），我们在本节中首先分析了非线性期望下具有一致连续Payoff过程和Lipschitz连续随机成熟度的辅助最优停止问题。让概率类{Pt}t∈[0，T]满足（p2）-（P4）。为了解决（1.1），我们首先考虑Y=L=U的随机到期情况对一些人来说，)∈对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, definezt（ω）：=sup（P，γ）∈Pt×TtEPhbYt，ωγ是支付过程的斯奈尔包络，对应于非线性预期se={Et}t∈[0，T]给定历史路径ω|[0，T]。我们只把Z称为你-斯内尔·恩弗洛比。自从F-BY和（2.6）的ada属性意味着bYt，ωt（eω）=bYt（ωteω）=bYt（ω）， eω∈Ohmt、一个哈斯米≥ Zt（ω）≥ 晚餐∈PtEPhbYt，ωti=bYt（ω）≥ -我的（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. （4.1）给定t∈[0，T]，我们对每个ω处随机变量zt的连续性有如下估计∈ Ohm, 这不仅是k0下ω的距离，而且是ω到时间t的路径信息。命题4.1。假设（P2）。让我们，)∈S和（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 它适用于任何ω′∈Ohm|Zt（ω）-Zt（ω′）|≤bρY(1+κ)kω-ω′k0，t+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+φωtκkω-ω′k0，t, （4.2）式中t:=(ω) ∧ (ω′) ∧ t和t：=(ω) ∨ (ω′)∧ T

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2022-5-8 06:26:56

因此，Zt（ω）在规范k0，t下在ω中是连续的：即对于任何ε>0，存在δ=δ（t，ω）>0，使得|Zt（ω′）- Zt（ω）|<ε，ω′∈ Otδ（ω），（4.3），因此zt是Ft-可测量的5.随机成熟度的最优停止τ带支付过程Y和随机成熟度的辅助优化问题（1.3）的求解基于以下动态规划原理-斯奈尔包络Z及其结果，过程Z的连续性估计：命题4.2。假设（P2）-（P4）。让我们，) ∈ 它适用于任何（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和ν∈ TtthatZt（ω）=sup（P，γ）∈Pt×TtEPh{γ<ν}bYt，ωγ+1{γ≥ν} 因此，Z是F-以神话为界的适应过程具有所有连续路径。更准确地说，对于任何ω∈Ohm 和0≤T≤s≤TZt（ω）-Zs（ω）≤ 2C我的（s）-t） q∨（s）-t） q-Q+ bρY（s）-t） +bρYδt，s（ω）∨bbρYδt，s（ω）, （4.5）式中δt，s（ω）：=（1+κ)（s）-t） q+支持≤r<r′≤sω（r′）-ω（r）andbbρY∈M是对应于bρYin（P2）的连续性函数的模。注释C见备注3.1（1）, QandQhere。根据4.2号提案-斯内尔·e·恩弗洛普·Z有以下e-鞅性质：命题4.3。As s ume（P2）-（P4）。让我们，) ∈ S和n∈ N.那么Z是anE-超级马丁格尔，Z是一个-[0，νn]上的次鞅，对于任何ζ∈ TZζ∧t（ω）≥Et[Zζ]（ω）和Zνn∧ζ∧t（ω）≤ Et[Zνn∧ζ](ω), （t，ω）∈ [0，T]×Ohm,式中，νn:=infT∈[0，T]：Zt-比亚特≤N∈T剥削你-将Z的ale子划分到νnas，以及Z的连续性估计（4.2），（4.5），我们可以通过采用与[19，定理3.3]的proo f中使用的参数类似的参数来解决优化问题（1.3）。定理4.1。假设（P1）-（P4）和（Y，)∈美国存在abP∈P使得Z=EZbν=EbPZbν=EbPbYbν,式中bν：=infT∈[0，T]：Zt=bYt∈T也就是说，bν，bP使用Payoff processbY解决优化问题（1.3）。

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能者818

2022-5-8 06:26:58

此外，它适用于任何ζ∈ T表示Z=EZbν∧ζ= EbPZbν∧ζ.5随机成熟度的最优停止τ在本节中，我们用Lipschitz连续停止时间近似指数过程X的击中时间τ，并用一致连续过程近似（3.3）中的一般支付过程Y。我们证明了近似一致连续过程的Snell包络的收敛性，并导出了其极限的正则性，这对于证明我们的主要结果定理3.1至关重要。为了应用定理3.1，我们首先用递增序列近似τ{n} n∈Nof Lipschitz连续停止时间n+1-随着n的增加，nuniformly减小到0→∞:提议5.1。假设（3.1）。存在一个递增序列{n} n∈nint和一个递增序列{κn}n∈带limn的Nof正数→∞↑ κn=∞ 这样对于任何一个n∈N（1）τN（ω）≤n（ω）≤τ（ω）和0≤ n+1（ω）- n（ω）≤2Tn+3，ω ∈ Ohm. 特别是，如果{t∈[0，T]：Xt（ω′）≤对于某些ω′，0}不是空的∈ Ohm, 然后n（ω′）<τ（ω′）。（2）给定ω，ω∈Ohm,n（ω）-n（ω）≤κnkω-ωk0，任意t的tholds∈T∈[an，T]：T≥an+κnkω-ωk0，t∪{T}，其中：=n（ω）∧n（ω）。让n，k∈ 让我们美国国家广播公司-提案5.1中规定的停车时间。我们用斜坡线连接附近的土地Unas如下：对于任何t∈ [0，T]，Yn，kt:=Lt+1.∧ （2k（t）- n）- 1)+（犹他州）- Lt）（5.1）=1{t≤n+2-k} Lt+1{n+2-k<t<n+21-k} n1.-2k（t）-N-2.-（k）Lt+2k（t）-N-2.-k） Uto+1{t≥n+21-k} Ut，（5.2）非线性期望下随机到期的最优停止{n（ω）+2-k<t<n（ω）+21-k}响应。{t≥n（ω）+21-k}可能是空的，如果n（ω）+2-K≥T响应。n（ω）+21-k> T对于某些ω∈Ohm.显然，过程Yn，kis也以M为界，并且在[0，T]×上是一致连续的Ohm 关于某些ρn，k∈ M：引理5.1。假设（3.1）和（A1）。

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2022-5-8 06:27:02

任何n，k∈N、 [0，T]×上的Yn，kis一致连续Ohm 关于连续模ρn，k（x）：=6ρ（2x）+21+kM（1+κn）x≤ Cn，kxp∧1.∨xp∨1., 十、∈[0, ∞), 式中，cn，k:=6·2pC+21+kM（1+κn）和{κn}n∈Nis命题5.1中正n数的递增序列。应用命题5.1（2）和t=t表明是Lipschitz连续停车时间吗Ohm 有足够的κn，它也是n、 k:=(n+21-（k）∧T比（2.5）。然后我们定义nebYn，kt:=Yn，kn、 k∧t=Yn，k(n+21-（k）∧t=1{t≤n+2-k} Lt+1{n+2-k<t<n+21-k} n1.-2k（t）-N-2.-（k）Lt+2k（t）-N-2.-k） Uto+1{t≥n+21-k} U(n+21-（k）∧TT∈[0，T]，（5.3）和itsE-Snell e-nvelope:Zn，kt（ω）：=sup（P，γ）∈Pt×TtEPh拜恩，kt、 ωi，（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.当L和U以M为界时，Yn、kand、Zn、kby（4.1）也是如此。在引理5.1中，我们可以将第4节的结果应用于每一个Zn，k，n，k∈N.给定∈[0，T]，（5.1）表明limk→∞↑ Yn，kt=1{t≤n} Lt+1{t>n} Ut。辛塞尔→∞拜恩，kt- 伊恩，kt= 林克→∞{t≥n+21-k} （U）(n+21-（k）∧T- Ut）=1{t>n} （U）N- 通过U的连续性，我们可以看到Ynt:=limk→∞bYn，kt=1{t≤n} Lt+1{t>n} UNT∈[0，T]，这是一个F-所有c`agl`ad路径的适配流程。对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 命题2.1（3）表明（Yn）t，ω是Ft-采用所有c`agl`ad路径的自适应流程，从而实现Ft-逐步可测量的过程。然后我们可以考虑以下内容-Yn:Znt（ω）：=sup（P，γ）∈Pt×TtEP（Yn）t，ωγ, （t，ω）∈ [0，T]×Ohm.同样，Yn和znb是由M建立的。接下来的两个不等式是关于Zn，kc如何在21的条件下收敛到znb-而锌与锌+1的区别，也取决于过程U的历史路径。提议5.2。假设（3.1），（A1），（A2），（P2）并设n，k∈ N.它适用于任何（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 那个- 2bρ1.-K≤ Zn，kt（ω）- Znt（ω）- U(n（ω）+21-（k）∧ t、 ω+ U(n（ω）∧t、 ω）≤ bρ1.-K（5.4）和- 2bρ2Tn+3≤ Zn+1t（ω）-Znt（ω）-Un+1（ω）∧t、 ω+Un（ω）∧t、 ω≤ bρ2Tn+3.

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2022-5-8 06:27:05

（5.5）当bρ满足（2.4）时，某些bc>0和1<bp≤bpby（P2），我们从（5.5）中看到每个（t，ω）∈[0，T]×Ohm,{Znt（ω）}n∈Nis是柯西序列，因此dmits是极限Zt（ω）。下面的结果表明Z是anF-在停止的支付过程Yτ的斯奈尔包络线以上的自适应连续过程，且第一时间z满足Y正是定理3.1中预期的最佳停止时间。提议5.3。假设（3.1）、（A1）、（A2）和（P2）-（P4）。（1）对任何人来说∈N、这是一个F-以Mthat为界的自适应过程具有所有连续路径。（2）对于任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 极限Zt（ω）：=limn→∞Znt（ω）存在并满足- 2εn≤ Zt（ω）-Znt（ω）-Uτ(ω)∧t、 ω+Un（ω）∧t、 ω≤ εn，N∈ N、（5.6）式中εN:=P∞i=nbρ2Ti+3随着n的增加减少到0→ ∞.6.证明11（3）Z是F-以Mthat为界的自适应过程具有所有连续路径。SetcYt:=Yτ∧t、 t∈[0，T]。它适用于任何ω∈Ohm thatcYt（ω）≤ sup（P，γ）∈Pt×TtEPhcYt，ωγi≤Zt（ω），T∈[0，T]和Zt、 ω=Uτ(ω), ω, T∈[τ（ω），T]。(5.7)(4) γ*:=infT∈[0，T]：Zt=cYt=inf{t∈[0，τ）：Zt=Lt}∧τ是F-停车时间。6.校对。1备注3.1第3节中的结果证明：2）Let（Y，)∈S、 eP∈Psandγ∈t.给定eω∈Ohmt、引理A.2表明比，ωteωγ-比，ωteω′γ我≤ bρY（1+κ)kωteω-ωteω′k0，s+φωteωsκkωteω- ωteω′k0，s≤ bρY（1+κ)keω-eω′kt，T+φωteωsκkeω-eω′kt，T, eω′∈Ohmt、因此，映射eω→ EePhbYs，ωteωγiis在范数kkT下连续，因此为FtT-可测量的3）与[6]中备注3.3（2）的证明类似，一项证据表明，（3.7）中定义的概率bP满足（P4）（i）和（P4）（ii）的第一部分：即bP（A∩A） =P（A）∩A） ,，A.∈FtT和BP（A∩Aj）=P（A）∩Aj），j=1，··，λ，A.∈Fts。看到BP满意（3.6）的一些（Y，)∈S、 we fix j=1，··，λ，A∈Fts和γ∈t.引理2.1，（A∩Aj）s，eω=Ohms（分别=), 当eω∈ A.∩ Aj（分别为/∈ A.∩ Aj）。

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2022-5-8 06:27:09

然后我们就可以推断出这一点∩AjbYt，ωγ（πts）i=λXj′=1EP{eω∈Aj′}EPj′A.∩AjbYt，ωγ（πts）s、 eω=λXj′=1EP{eω∈A.∩Aj}{eω∈Aj′}EPj′bYt，ωγ（πts）s、 eω= EP{eω∈A.∩Aj}EPjhbYs，ωteωγi,我们使用了一个事实，对于任何bω∈OhmsbYt，ωγ（πts）s、 eω（bω）=bYt，ωγ（πts）（eω）sbω）=bYγπts（eω）sbω）, ω t（eω）sbω）=通过γ（bω），（ω）teω）sbω=比，ωteωγ（bω）。例3.3的证明：设ρ∈部分C>0和0<p的满意度（2.4）≤p、修正t∈[0，T）和δ∈(0, ∞). 我们考虑一个扩大的正则空间Ohmt:=Ohmt×Ohmt×Ohm两个标准过程sbt（ω）=Xt（ω），At（ω），Mt（ω）=x（t），a（t），m（t）, ω=（x，a，m）∈ OhmTT∈ [0，T]。给定P∈Plt、上存在一个P的扩展Ohmtsuch那（i）Pω ∈Ohmt:X（ω）∈A.=P（A）表示任何A∈FtT；（ii）X=K+M，P-a、其中K是一个绝对连续过程，具有dKtdt≤l,P-a、 M是P-带迹鞅德米特特≤2.l,P-a、让ζ∈t和设置η：=supr∈[ζ（X），（ζ（X）+δ）∧[T]先生-Mζ（X）= 苏普∈[t，t]M（ζ（X）+δ）∧R-Mζ（X）∧R. 假设p>0，因为1.∧ NP-1.nXi=1api≤nXi=1aiP≤1.∨ NP-1.nXi=1api，N∈ N{ai}ni=1 [0, ∞), （6.1）我们可以从伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不等式中推断出ηp≤1.∨数据处理-1.dXi=1EP苏普∈[t，t]Mi（ζ（X）+δ）∧R-Miζ（X）∧RP≤内容提供商1.∨数据处理-1.dXi=1EPZTt{ζ（X）≤R≤ζ（X）+δ}dhMi，MiirP≤cp1∨数据处理-11∧数据处理-1EPZTt{ζ（X）≤R≤ζ（X）+δ}迹线dhMirdr博士P≤ cp1∨数据处理-11∧数据处理-1(2lδ） p，非线性期望下随机到期的最优停止12，其中cpi是一个常数，取决于p。然后我们从（i）、（ii）和（6.1）中看到ρδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr- Btζ= EPρδ+supr∈[ζ（X），（ζ（X）+δ）∧[T]Xr- Xζ（X）≤ CXi=1EPh(1+l)δ + ηpii≤ CXi=1（1∨2pi-1)(1+l)piδpi+EP[ηpi]≤C（1）∨2p-1） Xi=1(1+l)πδπ+δπ/2+δ-1/2EP{η≥√δ} η1+pi≤bCXi=1（δpi+δpi/2）≤公元前δp/2∨δp对于一些依赖于C，d的常数，l, p、因此，对于bρ（δ）：=bC，（3.5）成立δp/2∨ δp. 6.2命题4.1第4节：修正（Y，) ∈ S和（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 让ω′∈ Ohm.

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2022-5-8 06:27:12

我们认为：(ω) ∧(ω′) ∧t、 t:=((ω)∨(ω′))∧t、给定（P，γ）∈Pt×Tt，我们从引理A.2中看到bYt，ωγ-Zt（ω′）≤EPbYt，ωγ-bYt，ω′γ≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）,还有EPbYt，ω′γ-Zt（ω）≤EPbYt，ω′γ-bYt，ωγ≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）.取上确界（P，γ）∈两个不等式左侧的Pt×t导致（4.2）。对于任何ε>0，存在λ>0，使得bρY（x）<ε，十、∈ [0，λ）。也可以发现aeλ（t，ω）>0，使得φωt（y）<λ/2，Y∈0，eλ（t，ω）. 现在，取δ（t，ω）：=λ2（1+κ）)∧eλ（t，ω）κ, 我们将获得（4.3）。命题4.2的证明：Fix（Y，)∈S.1）我们首先展示了（4.4）中包含很多值的填充时间。Fix（t，ω）∈[0，T]×Ohm 让我们∈t在[t，t]的某些有限子集{t<·t<tm}中取值。我们简单地表示yr:=bYt，ωrand Zr:=Zt，ωr，R∈ [t，t]。（6.2）命题2.1（3）和（3.4）表明Y是Ft-具有所有连续路径的自适应有界过程。1a）在第一步中，我们展示zt（ω）≤ sup（P，γ）∈Pt×TtEP{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zν（6.3）英国《金融时报》-停止时间ν取很多值。Let（P，γ）∈Pt×t，设i=1，··，m。根据（2.7），存在一个P-空集Nisuch thatEPγ∨钛Ftti（eω）=EPti，eωh（Yγ）∨ti）ti，eωi=EPti，eωhbYti，ωteω（γ）∨ti）ti，eωi，eω∈ Nci，（6.4）在这里我们得到了一个事实，对于任何eω∈ Ohmtand bω∈ Ohmti（Yγ）∨ti）ti，eω（bω）=Yγ∨ti（eω）tibω）=bY(γ∨ti）（eωtibω），ωt（eω）tibω）=通过(γ∨ti）ti，eω（bω），（ωteω）tibω=拜蒂，ωteω（γ）∨ti）ti，eω（bω）。通过（P3），存在一个扩展(Ohmt、 F（i），P（i））的(Ohmt、 FtT，P）和Ohm（一）∈F（i）与P（i）(Ohm（i））=1，这样对于任何eω∈Ohm（i），Pti，eω∈Pti。给定eω∈Ohm（一）∩Nci，自（γ）∨ ti）ti，eω∈根据建议2.1（2），我们从（6.4）中看到γ∨钛Ftti（eω）=EPti，eωhbYti，ωteω（γ）∨ti）ti，eωi≤ Z（ti，ω）teω）=Zti（eω）。所以Ohm（一）∩Nci Ai:={EPγ∨钛Ftti≤Zti}。

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何人来此

2022-5-8 06:27:16

F-Pro位置4.1和命题2.1（3）对Z的适应性意味着Ztiis Ftti-可测量的人工智能∈Ftti。因此P（Ai）=P（i）（Ai）≥P（一）Ohm（一）∩Nci=1.即EPγ∨钛Ftti≤ Zti，P-a、 s.（6.5）6.2第4节中结果的证明13设定Ai:={ν=ti}∈ Ftti，as{γ<ti}Yγ=1{γ<ti}Yγ∧钛∈ Ftγ∧钛 Ftti，（6.6）我们可以从（6.5）中推断出EP[1AiYγ]=EPEP[1Ai{γ<ti}Yγ+1Ai{γ≥ti}Yγ∨ti | Ftti]=EPAi{γ<ti}Yγ+1Ai{γ≥ti}EP[Yγ∨ti | Ftti]≤ EPAi{γ<ti}Yγ+1Ai{γ≥ti}Zti= EPAi{γ<ν}Yγ+1Ai{γ≥ν} Zν,同样，EP[1AiYγ]=EPAi{γ≤ti}Yγ+1Ai{γ>ti}EP[Yγ∨ti | Ftti]≤EPAi{γ≤ν} Yγ+1Ai{γ>ν}Zν. 总结一下我∈ {1，··，m}产生的是Ep[Yγ]≤EP{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zν和EP[Yγ]≤EP{γ≤ν} Yγ+1{γ>ν}Zν. （6.7）取前者的上确界（P，γ）∈为了证明（6.3）的逆不等式，我们将粘贴局部逼近P-根据（P4）求Zt，ωti’s的最大化子，然后进行一些估计。Fix（P，γ）∈Pt×Tt，ε>0，letδ∈Q+满足ρY（δ）<ε/4。对于任意的eω∈Ohmt、设δ（eω）∈(0, δ]∩Q∪{δ} 这是bρY（1+κ)δ（eω）+φωteωTκδ（eω）< ε/4. （6.8）由于正则空间Ohm它是可分离的，因此林德尔¨of，存在一个序列{eωj}j∈诺夫Ohm查克∪J∈NOδj（eωj）=Ohmtwithδj:=δ（eωj）。设i=1，m和j∈ N.By（2.1），Aij:={ν=ti}∩Otiδj（eωj）∪j′<jOtiδj′eωj′∈ Ftti。我们可以找到一对（Pij，γij）∈Pti×tti，使zti（ω）teωj）≤ EPijhbYti，ωteωjγiji+ε/4。

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2022-5-8 06:27:21

（6.9）给定eω∈ Otiδj（eωj），应用lemma A.2和（t，ω，ω′，P，γ）=ti，ωteωj，ωteω，Pij，γij, 我们从（6.8）中看到Epijhbyti，ωteωjγij-拜蒂，ω特伊吉≤ bρY（1+κ)kωteωj-ωteωk0，ti+φωteωjtiκkωteωj-ωteωk0，ti= bρY（1+κ)keωj-eωkt，ti+φωteωjtiκkeωj-eωkt，ti≤bρY（1+κ)δj+φωteωjTκδj<ε/4.然后用（t，ω，ω′）应用（4.2）=ti，ωteωj，ωteω, 我们可以从（6.9）和（6.8）中再次推断出Zti（eω）=Zti（ω）teω）≤ Ztiωteωj+ bρY（1+κ)kωteωj-ωteωk0，ti+φωteωjtiκkωteωj-ωteωk0，ti= Zti（ω）teωj）+bρY（1+κ)keωj-eωkt，ti+φωteωjtiκkeωj-eωkt，ti≤Zti（ω）teωj）+bρY（1+κ)δj+φωteωjTκδj< EPijhbYti，ωteωjγiji+ε/2<EPijhbYti，ωteωγiji+ε。（6.10）现在，fixλ∈ N.设置Pλm+1:=P，我们递归地从ptp中提取Pλi，i=m，·1，这样（P4）保持s、英国石油公司，（Aj，δj，eωj，Pj）λj=1=ti，Pλi，Pλi+1，（Aij，δj，eωj，Pij）λj=1A=Ai：=λ∪j=1AijC∈ Ftti。然后EPλi[ξ]=EPλi+1[ξ]，ξ ∈L（Ftti，Pλi）∩LFtti，Pλi+1和EPλi[1Aiξ]=EPλi+1[1Aiξ]，ξ ∈L（FtT，Pλi）∩LFtT，Pλi+1. （6.11）对于任何i=1，··，m，如[6]中的引理A.1所示，γij（πtti）∈ Ttti，将γ与γij（tti）缝合形成一个新的ft-停止时间bγλ：=1{γ<ν}γ+1{γ≥ν}M∩i=1Aiγ+mXi=1λXj=1Aijγij（πtti）. （6.12*）非线性期望下随机到期的最优停止14我们从（6.11）中可以看到epλhm∩i=1AiYbγλi=EPλhm∩i=1AiYbγλi=···=EPλmhm∩i=1AiYbγλi=EPλm+1hm∩i=1AiYbγλi=EPhm∩i=1AiYγi。

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2022-5-8 06:27:25

（6.13）另一方面，对于任何（i，j）∈ {1，···，m}×{1，···，λ}，作为AijAi\'代表我\'∈ {1，··，m}{i}，我们可以从（6.6），（6.11），（3.6）和（6.10）推导出AijYbγλ=EPλhAijYbγλi=····=EPλi-1.AijYbγλ= EPλiAijYbγλ=EPλih{γ<ν}∩AijYγ+1{γ≥ν}∩AijYγij（tti）i=EPλih{γ<ti}∩AijYγ+1{γ≥ti}∩AijYγij（πtti）i≥EPλi+1{γ<ti}∩AijYγ+1{γ（eω）≥ti}∩{eω∈哎呀}EPijhbYti，ω特伊吉-ρY（δ）≥EPλi+1{γ<ti}∩AijYγ+1{γ≥ti}∩Aij（Zti- ε)= ··· = EPλm+1{γ<ν}∩AijYγ+1{γ≥ν}∩哎呀Zν- ε= EP{γ<ν}∩AijYγ+1{γ≥ν}∩哎呀Zν- ε.求和（i，j）∈ {1，···，m}×{1，···，λ}，然后与（6.13）结合，得到zt（ω）≥ EPλYbγλ≥ EP{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zν+ EPh{γ≥ν} m∩i=1Ai（Yγ）- Zν）i- ε≥ EPh{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zνi-2MYPM∩i=1Ai-ε、（6.14）其中∩i=1Ai=M∪i=1λ∪j=1Aijc、自从∪J∈NOtiδj（eωj） ∪J∈NOδj（eωj）=Ohmt每一个我∈{1，··，m}，我们看到了∪i=1∪J∈NAij=m∪i=1{ν=ti}∩∪J∈NOtiδj（eωj）=M∪i=1{ν=ti}=Ohmt、让λ→∞ 然后让ε→0英寸（6.14）的产量（ω）≥EPh{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zνi（6.15）取上确界（P，γ）∈Pt×t并结合（6.3）证明（4.4）停止时间ν取很多值。2）接下来，让我们展示（4.5）以及过程Z.Fixω的连续性∈Ohm 和0≤T≤s≤T如果t=s，则（4.5）基本成立。所以我们假设t<s.2a）让我们从证明一个辅助不等式开始：EPhZt，ωs-Zs（ω）我≤ 2C我的（s）-t） q∨（s）-t） q-Q+ bρYδt，s（ω）∨bbρYδt，s（ω）:=bφt，s（ω）。（6.16）对于任何eω∈ Ohmt、用（t，ω，ω′）=（s，ω）应用（4.2）teω，ω）得出Z（s，ω）teω）-Zs（ω）≤bρY（1+κ)kωteω-ωk0，s+supr∈[s（eω），s（eω）](ωteω（r）-(ωteω）（s（eω））, （6.17）式中s（eω）：=(ωteω）∧(ω)∧s和s（eω）：=(ωteω）∨(ω)∧s、让P∈ P和设置A:=nsupr∈[t，s]| Btr|≤（s）- t） qo。当Btt=0时，可以从（4.1）和（3.5）中推断出Ac | Zt，ωs-Zs（ω）|≤2MYP（交流）≤2MY（s）-（t）-量化宽松政策苏普∈[t，s]| Btr-Btt|≤2MY（s）-（t）-qEPh（s）-t） +supr∈[t，s]| Btr-Btt|我≤2MY（s）-（t）-qb（s）-（t）≤2 C我的（s）-t） q∨（s）-t） q-Q.

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2022-5-8 06:27:29

（6.18）关于EPA | Zt，ωs-Zs（ω）|, 我们将通过两个例子来估计（ω）：（一）什么时候(ω) ≤ t、设eω∈ A.应用引理A.1，其中（t，s，τ）=（0，t，) 结果就是(ω teω=（ω），thuss（eω）=s（eω）=(ω)∧s=(ω). 自切克ωteω-ωk0，s=supr∈[t，s]eω（r）+ω（t）-ω（r）≤ 苏普∈[t，s]eω（r）+ 苏普∈[t，s]ω（r）-ω（t）≤（s）-t） q+supr∈[t，s]ω（r）-ω（t）, （6.19）6.2第4节中结果的证明15我们可以从（6.17）tha tEPhA推断Zt，ωs-Zs（ω）我≤ bρYδt，s（ω）. （6.20）（ii）何时（ω） >t，再次应用引理A.1表明(ωTOhm（t）（t，t]和ζ：=t、 ω∧(ω)∧s∈Tt。删除ω∈A.自ζ（eω）=(ωteω）∧(ω)∧s=s（eω）>t，我们有supr∈[s（eω），s（eω）](ω teω（r）-(ω teω）（s（eω））= 苏普∈[s（eω），s（eω）]eω（r）-eω（s（eω））= 苏普∈[ζ（eω），s（eω）]Btr（eω）-Btζ（eω）.通过（2.5）和（6.19），s（eω）-ζ（eω）=s（eω）-s（eω）≤(ω teω）∨(ω)-(ω teω）∧(ω) = |(ω teω）-(ω)|≤κkωteω-ωk0，s<δt，s（ω）。太好了∈[s（eω），s（eω）](ωteω（r）-(ω teω）（s（eω））≤ 苏普∈[ζ（eω），（ζ（eω）+δt，s（ω））∧[T]Btr（eω）-Btζ（eω）. 然后（6.17），（6.19）和（3.5）暗示EPhAZt，ωs-Zs（ω）我≤ EPAbρYδt，s（ω）+supr∈[ζ，（ζ+δt，s（ω））∧[T]Btr-Btζ≤bbρYδt，s（ω）,这与（6.18）和（6.20）一起导致（6.16）。2b）现在，我们将使用（6.15），（6.16），（6.7）以及（3.5）来推导（4.5）。任何P∈Pt，应用（6.15）和ν=s和γ=s，我们从（6.16）中看到zt（ω）-Zs（ω）≥EPZt，ωs-Zs（ω）≥ -bφt，s（ω）。（6.21）至于逆不等式，让我们Fixε>0。存在一对（P，γ）∈ Pt×ttzt（ω）≤ EPbYt，ωγ+ε.应用（6.7）的第一个不等式，用ν=s得到thatZt（ω）≤EPbYt，ωγ+ε ≤ EP{γ<s}bYt，ωγ+1{γ≥s} Zt，ωs+ε. （6.22）对于任何eω∈ Ohmt、 bYt，ωγ（eω）-bYt，ωs（eω）=bYγ（eω），ωteω-通过s、 ωteω= Ys（eω），ωteω-Ys（eω），ωteω, 式中（eω）：=γ（eω）∧(ωteω）和s（eω）：=s∧(ωteω）。让我们用两个例子来说明eph{γ<s}bYt，ωγ（eω）-bYt，ωs（eω）我≤bρY（s）-t）。

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