下一步我们将展示Zνn∧ζ∧t（ω）≤Et[Zνn∧ζ](ω).如果νn（ω）∧ζ(ω)≤t、 使用导致（6.31）的类似参数得到（Zνn∧ζ） t，ω（eω）=Zνn（ω）∧ζ(ω) ∧t、 ω,eω∈Ohmtand-thusEt[Zνn∧ζ] （ω）=Zνn∧ζ∧t（ω）。另一方面，假设νn（ω）∧ ζ（ω）>t。我们再次从引理A.1中看到ζn:=（νn∧ζ） t，ω∈Tt。设ε>0。应用（4.4）w，其中ν=ζn，可以找到一对（Pε，γε）=（Pnε，γnε）∈Pt×ttzt（ω）=sup（P，γ）∈Pt×TtEPh{γ<ζn}bYt，ωγ+1{γ≥ζn}Zt，ωζni≤EPεh{γε<ζn}bYt，ωγε+1{γε≥ζn}Zt，ωζni+ε。（6.32）6.2第4.17节中ny eω结果的证明∈ {γε<ζn}，因为γε（eω）<ζn（eω）=（νn∧ζ)(ω teω）≤ νn（ω）teω），ζn的定义表示n<Zγε（eω），ωteω-通过γε（eω），ωteω= Zt，ωγε（eω）-bYt，ωγε（eω）。由（6.32）可知zt（ω）≤EPεh{γε<ζn}bYt，ωγε+1{γε≥ζn}Zt，ωζni+ε≤EPεhZt，ωγε∧ζn-n{γε<ζn}i+ε。（6.33）自γε（πt）∈ttb根据[6]中的引理A.1，应用ζ=γε（πt）的（6.30）∧ νn∧ ζ产生zt（ω）=Zγε（πt）∧νn∧ζ∧t（ω）≥Et[Zγε（πt）∧νn∧ζ](ω) ≥ EPεhZγε（πt）∧νn∧ζt、 ωi=EPεhZt，ωγε∧ζni，（6.34），其中我们假设对于任何eω∈ OhmTZγε（πt）∧νn∧ζt、 ω（eω）=Zγεπt（ω）teω）∧νn（ω）teω）∧ζ(ωteω），ωteω=Zγε（eω）∧ζn（eω），ωteω=Zt，ωγε∧ζn（eω）。把（6.33）和（6.34）放在一起表明Pε{γε<ζn}≤nε。我们可以从（6.32）和（4.1）推导出∧ζ∧t（ω）=Zt（ω）≤EPεh{γε<ζn}（bYt，ωγε-Zt，ωζn）+Zt，ωζni+ε≤2MYPε{γε<ζn}+EPε[Zt，ωζn]+ε≤ ε（Zνn）∧ζ） t，ω+（1+2车型年款）ε≤Et[Zνn∧ζ] （ω）+（1+2nMY）ε。让ε→ 0产生Zνn∧ζ∧t（ω）≤Et[Zνn∧ζ](ω). 定理4.1的证明：Fix（Y，) ∈因为Z和B都是F-根据命题4.2，我们从（4.1）和（6.28）中看到，bν：=infT∈[0，T]：Zt=bYt是F-停车时间。给安∈N、 让我们来看看F-（6.29）中定义的停车时间。因为Z是一个-[0，νn]上的鞅根据命题4.3，可以找到Pn∈P（1.4）。

B y（P1），{Pn}∞n=2具有弱收敛子序列{Pmj}j∈英国石油公司∈P.当mj≥n、 （所以）≤我们从（1.4）中看到≤ EPmjZνmj+ 2.-乔丹≤ EPmjZνn+ 2.-乔丹。（6.35）1）将j发送至∞ 为了近似（6.35）中的分布bp，我们需要接近{νn}n∈Nby序列bθnN∈Nof Lipschitz连续随机变量。固定整数n≥ 2.存在λn>0，使得ρY（x）∨bρY（x）≤2n（n+1），十、∈ [0，λn]。让ω∈ Ohm, 设置δn（ω）：=λn2（1+κ）)∧（φωT）-1（λn/2）κ带（φωT）-1（x）：=inf{y>0:φωT（y）=x}，x>0，设ω′∈Oδn（ω）（ω）。赠品∈[0，T]，集s:=(ω)∧t和s′：=(ω′)∧t、 根据（2.5），|s-s′|≤(ω)-(ω′)≤κkω-ω′k0，T。那么（2.2）意味着bY（t，ω）-bY（t，ω′）=|Y（s，ω）- Y（s′，ω′）|≤ ρY|s- s′|+supr∈[0，T]ω（r）∧ （s）- ω′（r）∧ s′）≤ ρYκkω-ω′k0，T+supr∈[0，T]|ω（r）∧（s）-ω（r）∧s′）|+supr∈[0，T]ω（r）∧s′）-ω′（r）∧s′）≤ ρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωT|s′-s|≤ρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωTκkω-ω′k0，T≤2n（n+1）。（6.36）取t=νn（ω），我们从（4.2）中看到（Z）-bY）（νn（ω），ω）-（Z）-bY）（νn（ω），ω′）≤Z（νn（ω），ω）-Z（νn（ω），ω′）+bY（νn（ω），ω）-bY（νn（ω），ω′）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，νn（ω）+φωνn（ω）κkω-ω′k0，νn（ω）+2n（n+1）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωTκkω-ω′k0，T+2n（n+1）≤n（n+1）<（n-1） n.作为Z的连续性-通过显示Z-通过（νn（ω），ω）≤n、 （6.37）非线性期望下随机到期的最优停止18Z-bY）（νn（ω），ω′）≤n+（n-1） n=n-1，所以-1(ω′)≤νn（ω）。

类似地，在（6.36）中取t=νn+1（ω′）得到（Z）-bY）（νn+1（ω′），ω）-（Z）-bY）（νn+1（ω′），ω′）≤Z（νn+1（ω′），ω）-Z（νn+1（ω′），ω′）+通过（νn+1（ω′），ω）-通过（νn+1（ω′），ω′）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωTκkω-ω′k0，T+2n（n+1）≤n（n+1）和（Z-bY）（νn+1（ω′），ω）<（Z-bY）（νn+1（ω′），ω′）+n（n+1）≤n+1+n（n+1）=n，这表示νn（ω）≤νn+1（ω′）。现在，我们可以将引理A.4应用于(Ohm, θ、 θ，θ，I，δ（ω），ε）=(Ohm, νn-1，νn，νn+1，[0，T]，δn（ω），2-n） 找到opensubsetbOhm诺夫Ohm 和Lipschitz连续随机变量bθn：Ohm → [0，T]这样的支持∈聚丙烯BOhmcn≤ 2.-n、 νn-1.- 2.-n<bθn<νn+1+2-诺布Ohmn、 （6.38）2）接下来，让我们估计EPmj的预期差异Zbθn-Zνn.给定ω∈BOhmN-1.∩BOhmn+1，asbθn-1.-2.-n+1<νn<bθn+1+2-N-1，t:=bθn（ω）∧νn（ω）和s:=bθn（ω）∨νn（ω）满足-t=νn（ω）-bθn（ω）<（bθn）-1.-bθn-2.-n+1）-∨（bθn+1）-bθn+2-N-1)+≤|bθn-1.-bθn-2.-n+1|∨|bθn+1-bθn+2-N-1个|≤|bθn-1(ω)-bθn（ω）|+|bθn+1（ω）-bθn（ω）|+2-n+1:=bδn（ω）。（6.39）集φn（ω）：=（1+κ)bδn（ω）q+φωTbδn（ω）. 然后（4.5）表明Zbθn（ω）-Zνn（ω）=Z（t，ω）-Z（s，ω）≤2C我的bδn（ω）Q∨bδn（ω）Q-Q+ bρYbδn（ω）+ bρYφn（ω）∨bbρYφn（ω）:=ξn（ω）。让j∈N和mj≥n、 我们从（6.35），（4.1）和（6.38）中可以看出-2.-乔丹≤ EPmjZbθn+EPmjZbθn-Zνn≤EPmjZbθn+1bOhmN-1.∩BOhmn+1（ξn）∧2车型年款）+2MYPmjBOhmcn-1.∪BOhmcn+1≤ EPmjZbθn+（ξn∧2车型年款）+5车型年款-n、 （6.40）随机变量sbθn-1，bθn，bθn+1是Lipschitz连续的Ohm, 所以是bδn，那么我们可以推导出tω→φωTbδn（ω）是一个连续的随机变量Ohm, （6.41*）加上bδn的Lipschitz连续性，φn和ξn是Ohm. 此外，随机变量Bθ的Lipschitz连续性和过程Z的连续性意味着ZBθ也是一个连续的随机变量Ohm. （6.42*）让j→ ∞ 在（6.40）中，我们从随机变量Zbθ和ξnthatZ的连续性中看到≤ EbPZbθn+（ξn∧ 2车型年款）+5车型年款-NN≥ 2.

（6.43）3）最后，我们利用bθ的收敛性和Z的连续性来推导e-Z在[0，bν]上的鞅性。集bν′：=limn→∞↑ νn≤bν。Z的连续性-由（6.37）和（4.1）可知，Zbν′-bYbν′=0，因此bν=bν′=limn→∞↑ 那么我们可以从（6.38）推导出limn→∞bθn（ω）=bν（ω），ω ∈∞∪n=3∩K≥nbOhmk、 作为∞Xn=3bPBOhmcn≤∞Xn=3supP∈聚丙烯BOhmcn≤, Borel-Cantelli引理暗示了tbP∞∪n=3∩K≥nbOhmK= 1.Solimn→∞bθn=bν，bP- a、 因此，limn→∞bδn=0，bP-a、 s.a.和limn→∞ξn=0，bP-a、 最终，让n→ ∞ 在（6.43）中，我们可以从过程Z的连续性和有界支配收敛定理Z≤ EbPZbν≤EZbν=EbYbν≤ sup（P，γ）∈P×TEP由γ= Z.6.3第5节中结果的证明19因此，Z=EZbν=EbPZbν=EbPbYbν.接下来，让ζ∈ T任何P∈ P、 我们从引理A.3中看到，Z=EP[Z]≥ EPZbν∧ζ≥ EPZbν. （6.45）取P的上确界∈ P产生Z≥EZbν∧ζ≥EZbν= Z.特别是，取（6.45）中的P=bP表示Z≥ EbPZbν∧ζ≥ EbPZbν= Z6.3命题5.1第5节结果的证明：集合n:=1+十、-1.>十、-1.给定k∈ N∪{0}，因为X是F-具有所有连续路径且自X>n以来的自适应过程≥k+n，我们看到bτk:=infT∈[0，T]：Xt≤k+n∧T是F-停止时间满足0<bτk（ω）≤τ(ω), ω ∈ Ohm. 特别是r，如果{t∈[0，T]：Xt（ω′）≤对于某些ω′，0}不是空的∈ Ohm, 然后bτk（ω′）<τ（ω′）。Le t{δk}k∈Nbe一个递减到0的序列，使得ρX（δk）≤（k+n）（k+n+1），K∈ N.a）首先，我们构造一个辅助递增序列{θl}l∈Nof Lipschitz连续停车时间。修理k∈N.对于i=k-1，k，设ω，ω′∈Ohm 用kω′表示-ωk0，bτi+1（ω）≤δk（3.1）表明X（bτi+1（ω），ω′）-X（bτi+1（ω），ω）≤ρXkω′-ωk0，bτi+1（ω）≤ρX（δk）≤（k+n）（k+n+1）。如果所有t的Xt（ω）>i+n+1∈ [0，T]，然后bτi+1（ω）=T≥ bτi（ω′）。

另一方面，如果T∈ [0，T]：Xt（ω）≤i+n+1不是空的，X的连续性意味着X（bτi+1（ω），ω）=i+n+1，因此X（bτi+1（ω），ω′）≤i+n+1+（i+n）（i+n+1）=i+n，所以仍然有bτi（ω′）≤bτi+1（ω）。然后我们可以应用引理A.6和（θ，θ，θ，δ，κ）=bτk-1，bτk，bτk+1，δk，2T/δk找到a和bK∈T s uch thatbτk-1(ω)≤ Bk（ω）≤bτk+1（ω）≤τ(ω), ω ∈ Ohm, （6.46）（如果集合{t∈[0，T]：Xt（ω）≤0}不是空的）和给定的ω，ω∈ Ohm,Bk（ω）- Bk（ω）≤ 2Tδ-1kkΩ- ωk0，t（6.47）适用于任何t∈bbk，T∪T∈[bak，bbk]：t≥bak+2Tδ-1kkΩ-ωk0，t, 式中bak:=bk（ω）∧Bk（ω）和bbk:=bk（ω）∨Bk（ω）。允许l ∈ N.我们定义和F-停车时间θl:= maxk=1，···，lBk、 让ω，ω∈ N并设置一个l:= θl(ω) ∧θl（ω） ，bl:=θl(ω)∨θl(ω). 看到这一点θl(ω)-θl(ω)≤2Tδ-1.lkω-ωk0，t（6.48）适用于任何t∈[b]l, [T]∪T∈[a]l, Bl): T≥A.l+2Tδ-1.lkω- ωk0，t, 我们先让t∈ [b]l, [T]。对于任何k=1，··，l, 从那以后≤θl(ω)∨θl（ω） =bl≤t、 应用（6.47）得到Bk（ω）-Bk（ω）≤2Tδ-1kkΩ-ωk0，t≤2Tδ-1.lkω-ωk0，t.（6.49）可以得出k（ω）≤ Bk（ω）+2Tδ-1.lkω-ωk0，t≤θl（ω） +2Tδ-1.lkω-ωk0，t.在k=1上取最大值，l表明θl(ω)≤θl（ω） +2Tδ-1.lkω-ωk0，t。然后交换ω和ω的作用得到（6.48）。接下来我们假设T∈ [a]l, Bl) : T≥ A.l+ 2Tδ-1.lkω- ωk0，t不是空的，包含t.Givenk=1，··，l, 自从t∈[a]l, Bl)贝克，T从那时起k（ω）∧Bk（ω）+2Tδ-1kkΩ-ωk0，t≤θl(ω)∧θl（ω） +2Tδ-1.lkω-ωk0，t≤t、 施用（6.47）会产生（6.49）的产量，从而再次产生（6.48）。现在，fix n∈我们出发了l:=对数（n+2）≥2，j:=n+2-2.l-1和定义n:=（θ）l-1+j21-l（T）∧θl∈Tb） 在这一步中，我们展示了n’s是Lipschitz连续停车时间的增加顺序，例如n+1-nis以2tn+3为界。非线性期望下随机到期的最优停止l -1<对数（n+2）≤ l, 我们看到1≤ J≤ 2.l-1.

如果j<2l-1，当n+2=2时l-1+j≤ 2.l-1.一个人有l=对数（n+2）≤对数（n+3）≤l, 所以lo g（n+3）= l. 那么（2.5）意味着0≤n+1（ω）-n（ω）=θl-1（ω）+（j+1）21-lT∧θl(ω)-θl-1（ω）+j21-lT∧θl(ω)≤21-lT≤2Tn+3，ω ∈Ohm.另一方面，如果j=2l-1，即n+2=2l, 然后n=（θ）l-1+T）∧θl= θl和对数（n+3）= 日志（2）l+1)= l+1.再次应用（2.5）会产生0≤n+1（ω）-n（ω）=θl(ω)+2-lT∧θl+1(ω)-θl(ω)∧θl+1(ω)≤2.-lT=Tn+2<2Tn+3，ω ∈Ohm.自bτl-2=infT∈[0，T]：Xt≤l-2+n∧T=infT∈[0，T]：Xt≤(对数（n+2）+十、-1.-1)-1.∧T=τnby（3.2），我们可以从（6.46）推导出Tτn（ω）=bτl-2(ω)≤ Bl-1(ω)≤θl-1(ω)≤(θl-1（ω）+j21-l（T）∧θl(ω)=n（ω）≤θl（ω） =maxi=1，···，lBk（ω）≤τ(ω), ω ∈Ohm,其中最后一个不等式是严格的，如果集合{t∈[0，T]：Xt（ω）≤0}不是空的。c） 这仍然是为了证明李普希茨的连续性n、 集κn:=2Tδ-1.l= 2Tδ对数（n+2）-1，在n中增加，并收敛到∞. 让ω，ω∈ N和setan：=n（ω）∧n（ω）。我们在不失一般性的前提下假设=n（ω）≤n（ω）并通过两种情况进行讨论：i）当n（ω）=θl-1（ω）+j21-lT，有一个n（ω）-n（ω）=n（ω）-θl-1(ω)-j21-lT≤θl-1(ω)-θl-1(ω). （6.50）应用（6.48）t=t表明n（ω）-n（ω）≤ 2Tδ-1.l-1kΩ-ωk0，T≤ κnkω-ωk0，T。另一方面，假设T∈ [an，T]：T≥ an+κnkω-ωk0，t不是空的，包含t.因为θl-1(ω) =n（ω）-j21-lT≤n（ω）-j21-lT≤θl-1（ω），我们看到l-1= θl-1（ω）可以推断出≥an+κnkω-ωk0，t=θl-1（ω）+j21-lT+κnkω-ωk0，t>θl-1（ω）+2Tδ-1.l-1kΩ-ωk0，t=al-1+2Tδ-1.l-1kΩ-ωk0，t.那么（6.50）和（6.48）意味着n（ω）-n（ω）≤2Tδ-1.l-1kΩ-ωk0，t≤κnkω-ωk0，t.ii）当n（ω）=θl（ω） 用t=t应用（6.48）表明n（ω）-n（ω）≤ θl(ω)-θl(ω) ≤ 2Tδ-1.lkω-ωk0，T=κnkω-ωk0，T.下一步，我们将T∈[an，T]：T≥an+κnkω-ωk0，t不是空的，也不是空的。自从θl(ω)= n（ω）≤n（ω）≤θl(ω). 我们看到l= θl（ω） 可以推断出≥an+κnkω-ωk0，t=θl（ω） +κnkω-ωk0，t=al+2Tδ-1.lkω-ωk0，t。

再次应用（6.48）可以得到n（ω）-n（ω）≤ θl(ω)-θl(ω) ≤2Tδ-1.lkω-ωk0，t=κnkω-ωk0，t。引理5.1的证明：修正n，k∈ N.我们定义Ht:=1∧（2k（t）-n）-1） +和t:=Ut-中尉，t∈ [0，T]。设（t，ω），（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 我们设置d1,2:=d∞（t，ω），（t，ω）在不失普遍性的前提下≤t、 因为（2.5）表明Ht（ω）-Ht（ω）≤k（t）-n（ω））-1)+-k（t）-n（ω））-1.+≤ 2k | t-t |，（2.2）意味着Yn，kt（ω）-Yn，kt（ω）≤Lt（ω）- Lt（ω）+Ht（ω）- Ht（ω）|t（ω）|+Ht（ω）|t（ω）- t（ω）|≤ρD∞（t，ω），（t，ω）+21+kM | t-t |+2ρD∞（t，ω），（t，ω）. （6.51）Sincesupr∈[t，t]ω（r）-ω（t）≤ |ω（t）-ω（t）|+supr∈[t，t]|ω（r）-ω（t）|≤2.kω-ωk0，t∨ 苏普∈[t，t]|ω（t）-ω（r）|= 2kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t，可以推断出∞（t，ω），（t，ω）=|T-t |+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）≤2.|T-t |+kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t=2d1,2。然后根据（6.51）得出Yn，kt（ω）-Yn，kt（ω）≤3ρ2d1,2+21+kMd1,2。（6.52）6.3第5.21节中的结果证明因为（2.5），命题5.1（2）暗示Ht（ω）-Ht（ω）≤2kκnkω-ωk0，t，（6.53*）和自kω-ωk0，t≤kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t≤d1，2，我们可以进一步推断Yn，kt（ω）-Yn，kt（ω）≤Lt（ω）- Lt（ω）+Ht（ω）- Ht（ω）|t（ω）|+Ht（ω）|t（ω）- t（ω）|≤ ρkω-ωk0，t+21+kMκnkω-ωk0，t+2ρkω-ωk0，t≤3ρ（2d1,2）+21+kMκnd1,2，这与（6.52）一起导致Yn，kt（ω）-Yn，kt（ω）≤ 6ρ（2d1,2）+21+kM（1+κn）d1,2=ρn，k（d1,2）。（5.4）的证明：Fix（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 我们将简单地表示21-kbyδ并表示术语U(n（ω）+δ）∧ t、 ω-U(n（ω）∧ t、 ω）通过U.Let（P，γ，ν）∈Pt×Tt×t和定义γ，ν（eω）：=1{γ（eω）>n（ω）teω）}U(n（ω）teω）+δ）∧（ν（eω）∨n（ω）teω），ωteω-Un（ω）teω），ωteω, eω∈ Ohmt、 1）我们首先通过三个案例说明|Jγ，ν- U|≤ bρ（δ）。（6.54）（i）何时n（ω）<t-δ、 应用引理A.1，其中（t，s，τ）=（0，t，n） 产生tn:=n（ω）=n（ω）teω）， eω∈Ohmt、 因为U是F-通过（A1）和（2.3）调整工艺，其中一个具有Utn∈Ftnftan和Utn+δ∈Ftn+δ英尺。

设eω∈Ohmt、 分别用（2.6）和（t，s，η）=（0，t，Utn）和（t，s，η）=（0，t，Utn+δ）表示teω）=U（tn，ω）和Utn+δ，ωteω=Utn+δ，ω. As tn+δ<t≤γ（eω）∧ν（eω），一个hasJγ，ν（eω）=1{γ（eω）>tn}U（tn+δ）∧（ν（eω）∨tn），ωteω-U（tn，ω）teω）= Utn+δ，ω-U（tn，ω）=U.（ii）当t-δ ≤ n（ω）<t，我们还有tn=n（ω）=n（ω）teω）和U（tn，ω）teω）=U（tn，ω）， eω∈ Ohmt、 设置νn:=（tn+δ）∧ν ∈Tt。对于任意的eω∈Ohmt、 我们从tn<t中看到≤γ（eω）∧ν（eω）thatJγ，ν（eω）-U=1{γ（eω）>tn}U（tn+δ）∧（ν（eω）∨tn），ωteω-U（tn，ω）teω）-U（t，ω）+U（tn，ω）=Uνn（eω），ωteω-U（t，ω）。自从t≤νn（eω）≤（tn+δ）∧T≤（t+δ）∧T，我们可以进一步推断fr om（2.2）Jγ，ν（eω）-U≤ρ（νn（eω）-t） +supr∈[0，T](ωteω）R∧νn（eω）-ω（r）∧（t）≤ρδ+supr∈[t，（t+δ）∧T]| eω（r）|= ρδ+supr∈[t，（t+δ）∧[T]Btr（eω）-Btt（eω）.以期望值EP[]为例，我们从（3.5）中看到|Jγ，ν- U|≤ bρ（δ）。（iii）何时n（ω）≥t、 我们看到了U=U（t，ω）-U（t，ω）=0。引理A.1表明t、 ωn∈Tt，ζn:=(t、 ωn+δ）∧(ν ∨t、 ωn）也是一个Ft-停车时间。给定eω∈Ohmt、 我们设定sn：=t、 ωn（eω）≤ζn（eω）：=sn。自序号起≤t、 ωn（eω）+δ=sn+δ，再次应用（2.2）得到Jγ，ν（eω）-U=Jγ，ν（eω）= 1{γ（eω）>t、 ωn（eω）}U(t、 ωn（eω）+δ）∧（ν（eω）∨t、 ωn（eω）），ωteω-Ut、 ωn（eω），ωteω≤Usn，ωteω-Usn，ωteω≤ρ（序号-sn）+supr∈[0，T](ωteω）（r）∧sn）-(ωteω）（r）∧sn）= ρ（序号-sn）+supr∈[sn，sn]eω（r）-eω（sn）≤ρδ+s不饱和聚酯∈[t、 ωn（eω）(t、 ωn（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-英国电信t、 ωn（eω），eω.取期望EP[]并使用（3.5）得到该EP|Jγ，ν- U|≤ bρ（δ）。因此，我们证明了（6.54）。2）接下来，我们用（6.54）来验证（5.4）。2a）对于任何（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm, 因为（5.2）和（A2）意味着L（t′，ω′）≤Yn，k（t′，ω′）≤U（t′，ω′），bYn，k（t′，ω′）=1{t′≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）Yn，kn、 k（ω′）∧t′，ω′≤1{t′≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）U(n（ω′）+δ）∧t′，ω′.

（6.55）非线性期望下随机到期的最优停止（P，γ）∈Pt×t和eω∈Ohmt、 取（t′，ω′）=γ（eω），ωteω在（6.55）中得出拜恩，kt、 ωγ（eω）-（Yn）t，ωγ（eω）=bYn，kγ（eω），ωteω-伊恩γ（eω），ωteω≤1{γ（eω）>n（ω）teω）}U(n（ω）teω）+δ）∧（γ（eω）∨n（ω）teω），ωteω-Un（ω）teω），ωteω=Jγ，γ（eω）。然后，从（6.54）得出EPh拜恩，kt、 ωγi≤EP（Yn）t，ωγ+Jγ，γ≤Znt（ω）+U+bρ（δ）。取上确界（P，γ）∈左边的Pt×t导致Zn，kt（ω）≤Znt（ω）+U+bρ（δ）.2b）表示（5.4）的左侧，我们让（P，γ）∈Pt×t和集合eγ：=γ+δ∧T∈Tt。还有，让（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm,一个hasYn（t′，ω′）≤1{t′≤n（ω′）U（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）Un（ω′），ω′=Un（ω′）∧t′，ω′. （6.56）如果t′≤T-δ、 sincebYn，k（t′+δ，ω′）=1{t′≤n（ω′）-2.-k} L（t′＋δ，ω′＋1{t′）≥n（ω′）U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′+1{n（ω′）-2.-k<t′<n（ω′）}n1.-2k（t′+2）-K-n（ω′）L（t′+δ，ω′）+2k（t′+2）-K-n（ω′）U（t′+δ，ω′）o≥1{t′≤n（ω′）L（t′+δ，ω′）+1{t′>n（ω′）U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′,我们可以得到（t′，ω′）-bYn，k（t′+δ，ω′）≤1{t′≤n（ω′）}L（t′，ω′）-L（t′+δ，ω′）+1{t′>n（ω′）}U(n（ω′，ω′）-U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′. （6.57）同时，（5.3）和（A2）表示byn，k（T，ω′）=1{n（ω′）>T-δ} U（T，ω′）+1{n（ω′）≤T-δ} U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′=U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′. （6.58）设eω∈{γ>T-δ} 所以eγ（eω）=T。取（t′，ω′）=γ（eω），ωteω在（6.56）、（6.58）中，使用（2.2）y ie ld表示（Yn）t，ωγ（eω）-拜恩，kt、 ωeγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω-bYn，k（T，ω）teω）≤Un（ω）teω）∧γ（eω），ωteω-U(n（ω）teω）+δ）∧T、 ωteω=1{γ（eω）≤n（ω）teω）}Uγ（eω），ωteω-UT、 ωteω+1{γ（eω）>n（ω）teω）}Un（ω）teω），ωteω-U(n（ω）teω）+δ）∧T、 ωteω≤ ρT-γ（eω）+ 苏普∈[γ（eω），T]eω（r）-eω（γ（eω））-Jγ，T（eω）≤ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）-Jγ，T（eω）。（6.59）另一方面，让eω∈{γ ≤T-δ}.

用（t′，ω′）应用（6.57）=γ（eω），ωteω使用（2.2）得到（Yn）t，ωγ（eω）-拜恩，kt、 ωeγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω-拜恩，kγ（eω）+δ，ωteω≤ 1{γ（eω）≤n（ω）teω）}L（γ（eω），ωteω）-L（γ（eω）+δ，ωteω）+1{γ（eω）>n（ω）teω）}U(n（ω）teω），ωteω）-U(n（ω）teω）+δ）∧T、 ωteω≤ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]eω（r）-eω（γ（eω））-Jγ，T（eω）=ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）-Jγ，T（eω）。结合（6.59），我们可以从（6.54）和（3.5）中看到这一点（Yn）t，ωγ≤伊芙拜恩，kt、 ωeγ-Jγ，Ti+bρ（δ）≤Zn，kt（ω）-U+2bρ（δ）。然后取上确界（P，γ）∈左手边的Pt×t导致Znt（ω）≤Zn，kt（ω）-U+2bρ（δ）。（5.5）的证明：Fix（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 我们将简单地用δ表示2tn+3，并表示术语Un+1（ω）∧t、 ω-Un（ω）∧t、 ω再见U.Let（P，γ，ν）∈Pt×Tt×t和定义γ，ν（eω）：=1{γ（eω）>n（ω）teω）}Un+1（ω）teω）∧（ν（eω）∨n（ω）teω），ωteω-Un（ω）teω），ωteω, eω∈ Ohmt、 6.3第5.23节中的结果证明根据命题5.1（1），可以通过三种情况再次推断（6.54）：n+1（ω）<t，n（ω）<t≤n+1（ω）和n（ω）≥t、 1）让我们首先展示（5.5）的右侧。对于任意（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm, 因为（6.56）的类比表明Yn+1（t′，ω′）≤ Un+1（ω′）∧t′，ω′, 我们有+1（t′，ω′）=1{t′≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）Yn+1t′，ω′≤1{t′≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）Un+1（ω′）∧t′，ω′. （6.60）给定（P，γ）∈Pt×t和eω∈Ohmt、 取（t′，ω′）=γ（eω），ωteω在（6.60）中得出Yn+1t、 ωγ（eω）-（Yn）t，ωγ（eω）=Yn+1γ（eω），ωteω-伊恩γ（eω），ωteω≤1{γ（eω）>n（ω）teω）}Un+1（ω）teω）∧（γ（eω）∨n（ω）teω），ωteω-Un（ω）teω），ωteω=Jγ，γ（eω）。然后根据（6.54）得出Yn+1t、 ωγ≤EP（Yn）t，ωγ+Jγ，γ≤Znt（ω）+eU+bρ（δ）。取上确界（P，γ）∈左手边的Pt×t导致Zn+1t（ω）≤Znt（ω）+eU+bρ（δ）。2）为了表示（5.5）的左侧，我们让（P，γ）∈Pt×t和集合eγ：=γ+δ∧T∈Tt。

我们还讨论了t（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm.如果t′≤T-δ、 自从n+1（ω′）≤n（ω′）+δ通过命题5.1（1），可以推断出thatYn+1（t′+δ，ω′）=1{t′+δ≤n+1（ω′）L（t′+δ，ω′）+1{t′+δ>n+1（ω′）Un+1（ω′），ω′≥ 1{t′+δ≤n+1（ω′）L（t′+δ，ω′）+1{n+1（ω′）-δ<t′≤n（ω′）Ln+1（ω′），ω′+1{t′>n（ω′）Un+1（ω′），ω′,因此thatYn（t′，ω′）-Yn+1（t′+δ，ω′）≤1{t′+δ≤n+1（ω′）}L（t′，ω′）-L（t′+δ，ω′）+1{n+1（ω′）-δ<t′≤n（ω′）}L（t′，ω′）-Ln+1（ω′）∨t′，ω′+1{t′>n（ω′）}Un（ω′），ω′-Un+1（ω′），ω′. （6.61）同时，（A2）表示yn+1（T，ω′）=1{T=n+1（ω′）L（T，ω′）+1{T>n+1（ω′）Un+1（ω′），ω′= 1{T=n+1（ω′）U（T，ω′）+1{T>n+1（ω′）Un+1（ω′），ω′=Un+1（ω′），ω′. （6.62）设eω∈{γ>T-δ} 所以eγ（eω）=T。取（t′，ω′）=γ（eω），ωteω在（6.56）和（6.62）中得到（Yn）t，ωγ（eω）-Yn+1t、 ωeγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω-Yn+1（T，ω）teω）≤Un（ω）teω）∧γ（eω），ωteω-Un+1（ω）teω），ωteω= 1{γ（eω）≤n（ω）teω）}Uγ（eω），ωteω-Un+1（ω）teω）∨ γ（eω），ωteω+1{γ（eω）>n（ω）teω）}Un（ω）teω），ωteω-Un+1（ω）teω），ωteω≤ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）-Jγ，T（eω），（6.63），其中我们从（2.2）thatU得到γ（eω），ωteω-Un+1（ω）teω）∨ γ（eω），ωteω≤ ρn+1（ω）teω）∨ γ（eω）-γ（eω）+ 苏普∈[0，T](ωteω）R∧ (n+1（ω）teω）∨ γ（eω））-(ωteω）（r）∧ γ（eω））≤ ρT-γ（eω）+ 苏普∈[γ（eω），T]eω（r）-eω（γ（eω））≤ ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）.非线性期望下随机成熟度的最优停止，另一方面，设eω∈{γ ≤T-δ}.

用（t′，ω′）应用（6.61）=γ（eω），ωteω得到（Yn）t，ωγ（eω）-Yn+1t、 ωeγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω- Yn+1γ（eω）+δ，ωteω≤ 1{γ（eω）+δ≤n+1（ω）teω）}L（γ（eω），ωteω）-L（γ（eω）+δ，ωteω）+1{n+1（ω）teω）-δ<γ（eω）≤n（ω）teω）}L（γ（eω），ωteω）-Ln+1（ω）teω）∨γ（eω），ωteω+1{γ（eω）>n（ω）teω）}U(n（ω）teω），ωteω）-Un+1（ω）teω），ωteω≤ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）-Jγ，T（eω），（6.64），其中我们从m（2.2）推导出n+1（ω）eω）<γ（eω）+δ，Lγ（eω），ωteω-Ln+1（ω）teω）∨ γ（eω），ωteω≤ ρn+1（ω）teω）∨ γ（eω）-γ（eω）+ 苏普∈[0，T](ωteω）R∧ (n+1（ω）teω）∨ γ（eω））-(ωteω）（r）∧ γ（eω））≤ ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]eω（r）-eω（γ（eω））≤ ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）.结合（6.63）和（6.64），我们可以从（6.54）和（3.5）中看到这一点（Yn）t，ωγ≤伊芙Yn+1t、 ωeγ-Jγ，Ti+bρ（δ）≤Zn+1t（ω）-EU+2bρ（δ）。然后取上确界（P，γ）∈左手边的Pt×t导致Znt（ω）≤Zn+1t（ω）-EU+2bρ（δ）。命题5.3的证明：1）让n∈引理5.1和命题4.2表明Zn，k，k∈N是F-适应所有连续路径的流程。对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 作为k→∞ 在（5.4）中，U的连续性意味着thatlimk→∞Zn，kt（ω）=Znt（ω）。（6.65）然后是F-{Zn，k}k的适应性∈Nshows的工艺也是F- 改编。给定（s，ω）∈[0，T]×Ohm, 让t→在（5.4）中，我们可以从过程U，{Zn，k}k的连续性推导∈NthatZn，ks（ω）- bρ（21）-（k）- U(n（ω）+21-（k）∧ s、 ω+ U(n（ω）∧ s、 ω）≤ 极限→sZns（ω）≤极限→sZns（ω）≤ Zn，ks（ω）+2bρ（21）-（k）- U(n（ω）+21-（k）∧ s、 ω+ U(n（ω）∧ s，ω），K∈ N.作为k→∞, （6.65）U的连续性意味着limt→sZnt（ω）=limk→∞Zn，ks（ω）=Zns（ω）。因此，过程zns具有所有连续路径。2） Fix（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 对于任何n<m的整数，从i=n到i=m加（5.5）-1表明- 2米-1Xi=nbρ2Ti+3≤ Zmt（ω）-Znt（ω）-Um（ω）∧t、 ω+Un（ω）∧t、 ω≤M-1Xi=nbρ2Ti+3.

（6.66）由于bp>1，由（P2），（2.4）给出该值∞i=0bρ2Ti+3≤Pn-1i=0bρ2Ti+3+bCP∞i=n2Ti+3英国石油公司<∞, 式中n:=1+（2T）-3)+.然后我们从U的连续性中看到，并且（6.66）表示Znt（ω）N∈Nis是R的Cauchy序列。Let Zt（ω）bethe的极限Znt（ω）N∈N、 即Zt（ω）：=limn→∞Znt（ω）。作为林姆→∞↑ τm（ω）=τ（ω），命题5.1（1）表明→∞↑ m（ω）=τ（ω）。让我→∞ 在（6.66）中，使用U收益率的连续性（5.6）。3a）现在让我们展示（5.7）的第一个不等式。显然，F-{Zn}n的适应性∈n是Z和{Zn}n的唯一性的乘积∈Nby是Z的缩略语。与第1部分中使用的论点类似），让t→ 在（5.6）中，我们可以从过程{Zn}n的连续性推导∈N、 U和limn→∞↑ n=τ，表示过程Z具有所有连续路径。6.4定理3.1 25Let（t，ω）的证明∈[0，T]×Ohm. 给定ε>0，存在（Pε，γε）∈Pt×tt，使得sup（P，γ）∈Pt×TtEPhcYt，ωγi≤ EPεhcYt，ωγεi+ε。自从limn→∞↑ τn=τ，可以从U thatlimn的连续性推导出→∞Ynt′（ω′）=cYt′（ω′），（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm. （6.67*）因此limn→∞（Yn）t，ωγε（eω）=limn→∞伊恩γε（eω），ωteω=赛γε（eω），ωteω=cYt，ωγε（eω）， eω∈Ohmt、 由于Yn都有M的界，应用有界收敛定理得到thatsup（P，γ）∈Pt×TtEPhcYt，ωγi≤EPεhcYt，ωγεi+ε=limn→∞ε（Yn）t，ωγε+ε≤ 画→∞Znt（ω）+ε=Zt（ω）+ε。然后让ε→ 0导致Zt（ω）≥ sup（P，γ）∈Pt×TtEPhcYt，ωγi≥ 晚餐∈PtEPhcYt，ωti=cYt（ω），在这里我们使用了off-Y和（2.6）在最后一个等式中的适应性。3b）Let（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 我们通过两个例子验证了（5.7）的第三等式。如果τ（ω）=T，（6.62）和U的连续性意味着zt（ω）=limn→∞ZnT（ω）=limn→∞晚餐∈PtEP（Yn）T，ωT= 画→∞YnT（ω）=limn→∞Un（ω），ω=Uτ(ω), ω.假设接下来τ（ω）<T。通过定义τ（ω），se t{t∈ [0，T]：Xt（ω）≤ 0}不是空的。SoProposition 5.1显示n（ω）<τ（ω）。让我们∈[τ（ω），T]和n∈N

作为tn:=n（ω）<τ（ω）≤t、 引理A.1意味着n（ω）TOhmt） =n（ω）=tn.Letγ∈Tt。因为U是F-通过（A1）和（2.3）调整工艺，其中一个具有Utn∈FtnFt.给定eω∈Ohmt、 用（2.6）和（t，s，η）=（0，t，Utn）表示U（tn，ωteω=U（tn，ω）。然后我们可以从γ（eω）推导出≥t>tn=n（ω）teω）那（Yn）t，ωγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω= Un（ω）teω），ωteω= U（tn，ω）teω=U（tn，ω），这导致Zn（t，ω）=sup（P，γ）∈Pt×TtEP（Yn）t，ωγ= U（tn，ω）=Un（ω），ω. 让n→ ∞, 我们从U的连续性得到Zt、 ω= Uτ(ω), ω.4） 由（3.3）和在pa中得到的Z的连续性，Dt:=Zt-中青旅≥0，t∈ [0，T]是F-一个自适应过程，除了τ处可能出现的负跃迁外，所有这些过程都是连续的。特别地，D的每一条路径都是下半连续且右连续的。因此γ*是F-停止时间（请参阅[6]的ArXiv版本中的引理A.13了解一点）。当Zt=Uτ=cYt时，T∈[τ，T]通过（5.7），我们可以推断γ*= γ*∧τ=infT∈[0，τ）：Zt=cYt∧τ=infT∈[0，τ）：Zt=Yt∧τ=inf{t∈[0，τ）：Zt=Lt}∧τ. 6.4定理3.1对任意m的证明∈N、 应用定理4.1（Y，)= （Ym，m，m、 m）表明有一个Pm∈P使得zm，m=EPmhZm，mνm∧ζi，ζ ∈ T，（6.68），其中νm:=infT∈[0，T]：Zm，mt=bYm，mt∈T通过（P1），{Pm}m∈Nhas是弱收敛序列{Pmj}i∈NWITHP*.1） 首先，我们用（5.4），（5.6）和证明定理4.1的类似论点来证明z≤EP*赫利姆→∞里美→∞林l→∞Zζi，l∧ni，（6.69），其中ζi，l:=infT∈[0，T]：Zl,lT≤Lt+1/i∧ T这一部分相对较长，我们将其分为几个步骤。1a）我们从一个辅助不等式开始：对于任何n，k∈N和k≥ n和ω∈Ohm,Zk，kt（ω）-Zt（ω）≤εk:=2bρ1.-K+2.∞Xi=kbρ（2Ti+3），T∈ [0, n（ω）]。（6.70）非线性期望下随机到期的最优停止26Let n，k∈ N和k≥ n和ω∈ Ohm.

无论如何∈ [0，T]，我们从（5.4）和（5.6）中看到-2bρ1.-K≤Zk，kt（ω）-Zkt（ω）-U(k（ω）+21-（k）∧t、 ω+Uk（ω）∧t、 ω≤ bρ1.-K而且-P∞i=kbρ（2Ti+3）≤Zkt（ω）-Zt（ω）-Uk（ω）∧t、 ω+Uτ(ω)∧t、 ω≤2P∞i=kbρ（2Ti+3）。把它们加在一起就得到了-εk≤Zk，kt（ω）-Zt（ω）-U(k（ω）+21-（k）∧t、 ω+Uτ(ω)∧t、 ω≤ εk，T∈ [0，T]。（6.71）尤其是r，对于任何t∈[0, n（ω）]，自t≤n（ω）≤k（ω）≤τ（ω）根据命题5.1（1），我们有U(k（ω）+21-（k）∧t、 ω=Uτ(ω)∧t、 ω=U（t，ω）。然后（6.70）直接从（6.71）开始。现在，乘以整数s1≤n<i<l < α这样的thatεl≤2i和fix j∈N这样mj≥α. 引理5.1，命题4。2，（A1）和（2.3）表明l,l-L是n F-所有连续路径的适应过程ζαi，l:= infT∈ [0，T]：Zl,lT≤ Lt+1/i+1/α∧ 定义一个F-停车时间。（6.72）类似于νnin（6.29），bζαi，l:=infT∈[0，T]：Zl,lT≤通过l,lt+1/i+1/α也是一个n-F-停车时间s满足bζαi，l∧n=ζαi，l∧N≤νmj∧n、 （6.73*）然后用（k，t）=（mj，0），（k，t）应用（6.70）=mj，bζαi，l∧ N和（k，t）=l,bαi，l∧ N分别应用（6.68）和（m，ζ）=mj，bζαi，l∧N, 我们得到了-εmj≤Zmj，mj=EPmjhZmj，mjνmj∧bαi，l∧ni=EPmjhZmj，mjbζαi，l∧镍≤EPmjhZbζαi，l∧ni+εmj≤EPmjhZl,lbαi，l∧ni+εmj+εl. （6.74）1b）在将j发送到∞ 为了近似分布P*在（6.35）中，我们需要bαi，lα∈Nbya序列θi，lα∈Nof Lipschitz连续随机变量，并估计预期差异EPmjhZl,lbαi，l∧N-Zl,lθi，l∧Ni、 回想引理5.1和它后面的注释Yl,l在[0，T]×上是一致连续的Ohm 关于连续函数ρ的模l,l而且l,lLipschitz连续停车时间是否开启Ohm 具有系数κl.

将（Z，bY，νn）替换为Zl,l,通过l,l,bαi，l在导致（6.38）的论点中，我们可以找到一个开放子集Ohmαi，l属于Ohm 和一个L-ipschitz连续随机变量θαi，l: Ohm → [0，T]这样的支持∈聚丙烯(Ohmαi，l)C≤ 2.-α、 bζα-1i，l- 2.-α<θαi，l<bζα+1i，l+ 2.-αonOhmαi，l. （6.75）给定ω∈BOhmα-1i，l∩BOhmα+1i，l, 自θα-1i，l-2.-α+1<bζαi，l< θα+1i，l+ 2.-α-1，（2.5）和（6.39）的类比意味着t:=θαi，l(ω)∧bαi，l(ω)∧nand s：=θi，l(ω)∨bαi，l(ω)∧nsatisfys-t=bαi，l(ω)∧n（ω）-θi，l(ω)∧n（ω）≤bαi，l(ω)-θi，l(ω)<|θα-1i，l(ω)-θi，l（ω） |+|θα+1i，l(ω)-θi，l(ω)|+2-α+1:=Δαi，l(ω).设定我，l(ω):=(1+κl)Δαi，l(ω)q+φωTΔαi，l(ω). （4.5）对Z=Z的应用l,l表明Zl,lθi，l∧n（ω）-Zl,lbαi，l∧n（ω）=Zl,l（t，ω）-Zl,l（s，ω）≤2CMΔαi，l(ω)Q∨Δαi，l(ω)Q-Q+ bρl,lΔαi，l(ω)+ bρl,l我，l(ω)∨bbρl,l我，l(ω):= 我，l(ω).作为Zl,l以M为界，（6.74）和（6.75）表示z-2εmj-εl≤ EPmjhZl,lθi，l∧ni+EPmjhZl,lbαi，l∧N-Zl,lθi，l∧N我≤ EPmjhZl,lθi，l∧ni+EPmjhbOhmα-1i，l∩BOhmα+1i，l（i），l∧ 2M）i+2MPmjBOhmα-1i，lC∪BOhmα+1i，lC≤ EPmjhZl,lθi，l∧n+（ξαi），l∧ 2M）i+5M-α. （6.76）随机变量θα-1i，l, θi，l, θα+1i，lLipschitz在继续吗Ohm, 我也是，l. 与（6.41）类似，可以证明ω→ φωTΔαi，l(ω)也是一个连续的随机变量Ohm, 再加上Δαi的ipschitz连续性，l6.4定理3.1的证明意味着φαi，l因此，我，l也是连续的随机变量Ohm. 与（6.42）类似，我们可以从随机变量θαi的Lipschitz连续性，l∧ 和进程Z的连续性lθi，l∧这是一个连续的随机变量Ohm.正如命题5.3（2）所示，LIMM→∞↓εm=0，（6.77）j→ ∞ 在（6.76）中，我们从rando m变量Z的连续性中看到l,lθi，l∧与我，lthatZ≤ EP*赫兹l,lθi，l∧n+（ξαi），l∧ 2M）i+εl+5米-α.

（6.78）1c）接下来，我们将使用θαi的收敛性，ltobζi，l, Z的连续性l,l以及（6.70）推导（6.69）。因为Z的连续性l,l-通过l,l意味着thatlimα→∞↑bαi，l=bζi，l:= infT∈ [0，T]：Zl,lT≤通过l,lt+1/i∈T，（6.79*）通过与（6.44）的类比，我们可以从（6.75）和Borel-Cantelli引理推断出limα→∞θi，l=bζi，l, P*-a、 因此，limα→∞Δαi，l= 0，P*-a、 因此limα→∞我，l= 0，P*-a、 如命题4.2所示l,l是anF吗-以Mthat为界的自适应过程具有所有连续路径，让α→ ∞ 在（6.78）中，我们从有界支配收敛定理e m Thatz中看到≤ EP*赫兹l,lbζi，l∧ni+εl. （6.80）类似于ζαi，l在（6.72）中，ζi，l是F-停车时间满足ζi，l∧n=bζi，l∧n、 应用（6.70）和（k，t）=l, ζi，l∧N使用（6.80）得到Z≤EP*赫兹l,lζi，l∧ni+εl≤EP*hZζi，l∧ni+2εl. 既然命题5.3（3）表明Z以M为界l→∞, 使用Fatou引理和（6.77）得到Z≤林l→∞EP*hZζi，l∧镍≤EP*赫利姆l→∞Zζi，l∧镍。同样，让我→∞ 然后让n→∞, 我们再次从法头引理推导出（6.69）。2） 在第二部分中，我们展示了对于任何∈Nγi≤ 林l→∞ζi，l≤林l→∞ζi，l≤等一下Ohm, （6.81）式中γi:=infT∈[0，T]：Zt≤Lt+1/i∧T修好我∈N.因为提案N5.3（3）、（A1）和（2.3）表明-L是F-适用于所有连续路径的过程，γiis和F-满足γi=limh的停车时间→∞↑ γhi，（6.82*），其中γhi:=infT∈[0，T]：Zt≤Lt+1/i+1/h∧T∈T固定ω∈Ohm 定义φωU（x）：=sup|Ur′（ω）-Ur（ω）|：r，r′∈[0，T]，0≤|r′-r|≤十、, 十、∈[0，T]。任何l ∈N、 因为（2.5）意味着U(l(ω)+21-l)∧ζi，l(ω), ω-Uτ(ω)∧ζi，l(ω), ω≤φωU(l(ω)+21-l)∧ζi，l(ω)-τ(ω)∧ζi，l(ω)≤φωU(l(ω)+21-l)∧T-τ(ω), 应用（6.71）和（k，t）=l, ζi，l(ω)意味着Zl,lζi，l(ω), ω-Zζi，l(ω), ω≤εl+φωU(l(ω)+21-l)∧T-τ(ω), l ∈N

（6.83）作为liml→∞↑ l（ω） =τ（ω）根据命题5.1（1），路径U·（ω）的一致连续性意味着l→∞φωU(l(ω)+21-l)∧T-τ(ω)=0.（6.84）为了看到（6.81）的第一个不等式，我们假设liml→∞ζi，l（ω） <T。有一个顺序{lλ=lλ（i，ω）}λ∈使limλ→∞ζi，lλ（ω）=liml→∞ζi，l（ω） <T。非线性期望下随机到期的最优停止∈自从林l→∞↓ εl= 由于（6.84），存在abλh=bλh（i，ω）∈N使得对于任何整数λ≥bλh，一个有ζi，lλ（ω）<T和εlλ+φωU(lλ(ω)+21-lλ)∧T-τ(ω)≤1/h.给定λ∈N带λ≥bλh，作为ζi，lλ（ω）<T，集合T∈[0，T]：Zlλ,lλt（ω）≤Lt（ω）+1/i不是空的。所以路径Z的连续性lλ,lλ·(ω)-L·（ω）意味着zlλ,lλζi，lλ(ω), ω≤Lζi，lλ(ω), ω+1/我。应用（6.83）和l=lλ产生thatZζi，lλ(ω), ω≤Zlλ,lλζi，lλ(ω), ω+εlλ+φωU(lλ(ω)+21-lλ)∧T-τ(ω)≤Lζi，lλ(ω), ω+1/i+1/h，这表明γhi（ω）≤ ζi，lλ(ω). Asλ→∞, 我们得到γhi（ω）≤ limλ→∞ζi，lλ（ω）=liml→∞ζi，l(ω). 然后让h→ ∞使用（6.82）得到γi（ω）=limh→∞↑ γhi（ω）≤ 林l→∞ζi，l(ω).关于（6.81）中的第三个不等式，我们假定γ2i（ω）<T，或等价地，集合T∈[0，T]：Zt（ω）≤Lt（ω）+2i不是空的。然后我们可以从路径Z·（ω）的连续性推导出-L·（ω）thatZγ2i（ω），ω≤Lγ2i（ω），ω+2i。（6.85）使用（k，t）应用（6.71）=l, γ2i（ω）用一个类似于（6.83）的论点得出Zl,lγ2i（ω），ω-Zγ2i（ω），ω≤εl+φωU(l(ω)+21-l)∧T-τ(ω). （6.86）对于任何l ∈ N使得εl+ φωU(l(ω) + 21-l)∧T-τ(ω)≤2i，（6.85）和（6.86）表示Zl,lγ2i（ω），ω≤Zγ2i（ω），ω+2i≤Lγ2i（ω），ω+1/i，这表明ζi，l(ω)≤γ2i（ω）。像l → ∞, 我们得到了l→∞ζi，l(ω)≤γ2i（ω）。3）最后，我们证明了limn→∞里美→∞林l→∞Z（ζi，l(ω) ∧n（ω），ω）=Z（γ）*(ω), ω), ω ∈Ohm. 结论如下。让我≤n<i和ω∈Ohm.

我们在一起l=Tl（n，i，ω）：=ζi，l∧N(ω), l >i、 让telEl∈Nbe{t的子序列l}∞l=i+1如此之多l→∞Z（t）l, ω） =酸橙l→∞Z（te）l, ω). 序列telEl∈Nin turn有一个c收敛子序列tel′El′∈nWithT∈[0, n（ω）]。路径Z·（ω）的连续性表明Z（t，ω）=limel′→∞Z（te）l′, ω） =林l→∞Z（t）l, ω). 此外，（6.81）意味着γi∧N(ω)≤ 林l→∞ζi，l∧N（ω） =林l→∞Tl≤t=石灰l′→∞tel′≤林l→∞Tl= 林l→∞ζi，l∧N(ω)≤γ2i∧N(ω). 亨塞因夫特∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤ Z（t，ω）=liml→∞Zζi，l(ω) ∧ n（ω），ω≤ 监督∈Jn，i（ω）Z（t，ω），（6.87），其中Jn，i（ω）：=（i）∧n） （ω），（γ2i）∧n） （ω）.与（6.82）的类比表明γ（ω） ：=infT∈[0，T]：Zt（ω）≤Lt（ω）∧T=limi→∞↑ γi（ω）。SincecYt（ω）=Yt（ω）=Lt（ω）0, τ(ω)0, n（ω）通过命题5.1（1），我们可以从（5.7）推导出thatlimi→∞↑（i）∧n） （ω）=（γ）∧n） （ω）=inf{t∈[0, n（ω）：Zt（ω）≤Lt（ω）}∧n（ω）=infT∈[0, n（ω）：Zt（ω）≤cYt（ω）∧n（ω）=infT∈[0, n（ω）：Zt（ω）=cYt（ω）∧n（ω）=（γ）*∧n） （ω）。（6.88）它来自路径Z·（ω）thatlimi的连续性→∞输入∈Jn，i（ω）Z（t，ω）=limi→∞监督∈Jn，i（ω）Z（t，ω）=Zγ*(ω)∧n（ω），ω. （6.89*）然后让我→∞ 在（6.87）中，塔利米→∞林l→∞Z（ζi，l(ω)∧n（ω），ω）=limi→∞林l→∞Z（ζi，l(ω)∧n（ω），ω）=Z（γ）*(ω)∧n（ω），ω）。（6.90）既然命题5.1（1）和命题5.3（4）暗示limn→∞(γ*∧n） （ω）=（γ）*∧τ)(ω) = γ*（ω） ，让n→ ∞在（6.90）中，我们再次从路径Z·（ω）的连续性中看到→∞里美→∞林l→∞Z（ζi，l(ω) ∧ n（ω），ω）=limn→∞里美→∞林l→∞Z（ζi，l(ω) ∧ n（ω），ω）=Z（γ）*(ω), ω), ω ∈Ohm.把这个放回（6.69）中，用命题5.3（3）得到sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ] =sup（P，γ）∈P×TEPcYγ≤Z≤EP*Zγ*. 因为Z a的连续性和y的右连续性意味着Zγ*（ω） =cYγ*（ω） =Yγ*∧τ(ω), ω ∈Ohm,我们可以进一步推导出（1.8）和（1.1）。A.附录29A附录A。1.技术问题A.1。给定t∈[0，T]，设τ∈t和（s，ω）∈[t，t]×OhmT

如果τ（ω）≤s、 然后τ（ω）sOhm（s）≡τ(ω); 如果τ（ω）≥s（resp.>s），然后τ（ω）seω）≥s（分别>s），eω∈Ohm因此，τs，ω∈TSB提案2.1（2）。证据：让我们∈[0，T]，τ∈t和（s，ω）∈[t，t]×Ohmt、 当bs:=τ（ω）≤s、 自ω∈A:={τ=bs}∈FtbsFts引理2.1表示ωsOhmsA、 即τ（ω）sOhm（s）≡bs=τ（ω）。另一方面，当τ（ω）≥s（resp.>s），作为ω∈A′：={ ≥s} （分别为{>s} )∈Fts，再次应用引理2.1得到ωsOhms∈A′。Soτ（ω）seω）≥s（分别>s）， eω∈Ohms引理A.2。Ass ume（P2）。让我们， ) ∈S和（t，ω）∈[0，T]×Ohm . 它适用于任何ω′∈Ohm, P∈p和γ∈那是bYt，ωγ-bYt，ω′γ我≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+φωtκkω-ω′k0，t,其中t：=(ω)∧(ω′)∧t和t：=(ω)∨(ω′)∧t、 证明：1）固定ω′∈Ohm. 我们设定t：=(ω) ∧(ω′) ∧t、 t:=(ω) ∨(ω′)∧t和δ：=（1+κ）)kω-ω′k0，t+s upr∈[t，t]ω（r）-ω（t）. 也修复P∈p和γ∈Tt。设eω∈Ohmt、 有一个bYt，ωγ（eω），eω-bYt，ω′γ（eω），eω=通过γ（eω），ωteω-通过γ（eω），ω′teω=Ys（eω），ωteω-Ys（eω），ω′teω,其中s（eω）：=γ（eω）∧(ω teω）∧(ω′teω）和s（eω）：=γ（eω）∧(ω teω）∨(ω′teω）. 因为（2.5）意味着S（eω）- s（eω）≤(ω teω）- (ω′teω）≤ κkωteω- ω′teωk0，T=κkω- ω′k0，t<δ，（A.1）可以从（2.2）推导出bYt，ωγ（eω），eω-bYt，ω′γ（eω），eω≤ρYs（eω）-s（eω）+ 苏普∈[0，T](ω teω）R∧s（eω）- (ω′teω）R∧s（eω）≤ρYκkω-ω′k0，t+I（eω）+supr∈[0，T](ωteω）R∧s（eω）-(ω′teω）R∧s（eω）≤ρY（1+κ)kω-ω′k0，t+I（eω）, （A.2）式中I（eω）：=supr∈[0，T](ωteω）R∧s（eω）-(ωteω）R∧s（eω）= 苏普∈[s（eω），s（eω）](ωteω（r）-(ωteω）s（eω）.2） 接下来，我们通过三个案例讨论（ω） 及（ω′）（i）当(ω)∧(ω′) ≥ t、 引理A.1表明t、 ω和t、 ω′属于Tt，所以doesζ：=γ∧t、 ω∧t、 ω′。

对于anyeω∈Ohmt、 as s（eω）=ζ（eω）≥t、 （A.1）意味着I（ω）=s upr∈[s（eω），s（eω）]eω（r）-eω（s（eω））≤ 苏普∈[ζ（eω），（ζ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btζ（eω）.把它放回（A.2）中，然后取Expection EP[]，我们可以从（3.5）中看到bYt，ωγ-bYt，ω′γ我≤EPρYδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr-Btζ≤bρY（δ）。（A.3）（ii）何时(ω)∧（ω′）<t≤(ω)∨（ω′），设（ω，ω）是（ω，ω′）的一个可能置换，使得(ω)=(ω)∧（ω′）<tand(ω) = (ω)∨(ω′) ≥ t、 引理A.1，(ω TOhm（t）≡ （ω） 及(ω TOhm（t） [t，t]。对于任意的eω∈ Ohmt、 一个hass（eω）=γ（eω）∧(ωteω）∧(ωteω）=（ω） =t<t和s（eω）=γ（eω）∧(ωteω）∨(ωteω）=γ（eω）∧(ωteω）≥t、 Sinces（eω）<s（eω）+δ<t+δ由（A.1）和自t=(ω)∧t=t，我们可以推导出i（eω）=苏普∈[s（eω），t]ω（r）-ωs（eω）∨苏普∈[t，s（eω）]eω（r）+ω（t）-ωs（eω）≤苏普∈[t，t]ω（r）-ω（t）∨ω（t）-ω（t）+ 苏普∈[t，s（eω）]eω（r）-eω（t）≤ 苏普∈[t，t]ω（r）-ω（t）+ 苏普∈[t，（t+δ）∧[T]Btr（eω）-Btt（eω）.（A.3）的分析表明bYt，ωγ-bYt，ω′γ我≤EPρYδ+supr∈[t，（t+δ）∧[T]Btr-Btt≤bρY（δ）。（A.4）非线性期望下随机到期的最优停止30（iii）当(ω)∨（ω′）<t，我们从引理A.1再次得出：(ω TOhm（t）≡ （ω） <t和(ω′TOhm（t）≡ （ω′）<t.对于任何eω∈Ohmt、 asγ（eω）≥t、 一个人有s（eω）=(ω)∧（ω′）=t<t和s（eω）=(ω)∨（ω′）=t<t，因此i（ω）=supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）, 那么（A.4）仍然适用于本案。因此，我们证明了引理的第一个不等式。自从t-t=(ω)∧T- (ω′)∧T≤|(ω)-(ω′)|≤κkω-ω′k0，tby（2.5），第二个不等式很容易出现。引理A.3。假设（P2）-（P4）和（Y，) ∈S.P∈P、 Z是P-s超鞅与EP[Zτ]≥EP[Zγ]适用于任何τ，γ∈带τ的T≤γ、 P-a、 美国证据：修正，)∈标准普尔∈P.1）让t∈[0，T]和γ∈T

命题4.1和（4.1）表明Zγ是FT-可测有界随机变量。根据命题2.2，我们可以找到一个P-空集N使得EP[Zγ| Ft]（ω）=EPt，ω（Zγ）t，ω, ω ∈北卡罗来纳州。此外，（P3）显示了某些扩展的情况(Ohm, F′，P′）的(Ohm, 英国《金融时报》（FT，P）和一些Ohm′∈F′与P′的结合(Ohm′) = 1，Pt，ω∈对于任意ω∈ Ohm′. 命题4.3意味着EP[Zγ| Ft]（ω）=EPt，ω（Zγ）t，ω≤EtZγ(ω) ≤ Zγ∧t（ω），ω ∈ Ohm′∩ 北卡罗来纳州。使用导致（6.5）的类似参数，我们可以得到Ep[Zγ| Ft]≤ Zγ∧t、 P-a、 s.（a.5）2）设τ，γ∈带τ的T≤γ、 P-a、 s。还有，让n∈N和i=1，··，2n。我们设置tni:=i2-nT和Ani:={tni-1<τ ≤tni}∈Ftni，tn:=0。将（A.5）与t=tNiields一起应用，使EP[Zγ| Ftni]≤ Zγ∧tni，P-a、 美国1年乘以1年并对1年进行总结∈ {1，··，2n}，我们得到EP[Zγ| Fτn]≤ Zγ∧τn，P-a、 其中τn:=nXi=1Anitni∈ T然后取期望值EP[]得到EP[Zγ]≤ EP[Zγ∧τn]。自从limn→∞↓ τn=τ，由于命题4.2表明Zi是一个具有所有连续路径的有界过程，有界对流定理的应用导致Ep[Zγ]≤EP[Zγ∧τ] =EP[Zτ]。我们需要[19]中引理4.5的以下扩展来证明定理4.1和定理3.1。引理A.4。一个ssume（P1）。允许Ohm Ohm 设θ，θ，θ是三个实值随机变量Ohm 在紧致区间I中取值R的长度| I |>0。如果有ω∈ Ohm存在δ（ω）>0，使得θ（ω′）≤θ(ω)≤θ(ω′), ω′∈Oδ（ω）（ω）=ω′∈Ohm: kω′-ωk0，T≤δ(ω), （A.6）然后对于任何ε>0的情况，可以找到一个开放的子集TBOhm 属于Ohm 和Lipschitz连续随机变量bθ：Ohm →我喜欢吃晚饭∈聚丙烯BOhmC≤ε和θ-ε<bθ<θ+εonbOhm ∩Ohm.证明：因为正则空间Ohm 是一个可分的完备度量空间，因此Lindel¨o f，存在一个序列{ωj}j∈诺夫Ohm 以至于∪J∈诺伊=Ohm 其中Oj:=Oδ（ωj）（ωj）={ω∈Ohm: kω-ωjk0，T<δ（ωj）}。让n∈ N与N>|I|-1.根据（2.1），Ohmn:=n∪j=1是Ohm.

对于j=1，·，n，我们定义函数fn，j:[0，∞) → [0,1]作者：fn，j（x）：=1代表x∈0，δ（ωj）, fn，j（x）：=n-2 |我|-1对于x≥ δ（ωj）和fn，jis在δ（ωj），δ（ωj）. clearly，gn，j（ω）：=fn，j（kω）-ωjk0，T），ω∈ Ohm 是一个Lipschitz连续随机变量Ohm 系数<2/δ（ωj）。因此，gn:=Pnj=1gn，jis是一个Lipschitz连续随机变量Ohm 带值InN-1 |我|-1，nPnj=1θ（ωj）gn，是一个Lipschitz连续随机变量Ohm 谁的绝对值≤Pnj=1 |θ（ωj）|。然后我们可以推导出θn（ω）：=gn（ω）nXj=1θ（ωj）gn，j（ω），ω ∈ Ohm定义另一个Lipschitz连续r andom变量Ohm I.A.1技术引理31中的值给定ω∈ OhmN∩ Ohm, 当ω对于某些j=1，··，n时，我们看到索引集Jn（ω）：={1≤ J≤ n:kω- ωjk0，T≤δ（ωj）}不是空的，并且gn（ω）>1。然后我们可以从（A.6）推导出θn（ω）-θ（ω）=gn（ω）Xj∈Jn（ω）[θ（ωj）-θ（ω）]gn，j（ω）+Xj/∈Jn（ω）[θ（ωj）-θ（ω）]gn，j（ω）≤gn（ω）Xj/∈Jn（ω）|I | gn，j（ω）=gn（ω）Xj/∈Jn（ω）n<n，同样，θn（ω）-θ(ω) > -n、 因为P是Pby（P1）的弱紧子集∪N∈NOhmn=Ohm, [16]中的引理8表明limn→∞↓ 晚餐∈聚丙烯Ohmcn= 0 . 因此，对于任何ε>0，存在一个整数N>1/ε，使得对于anyn≥N，晚餐∈聚丙烯Ohmcn≤ε. 然后我们采取BOhm,bθ=OhmN、 θN. 我们可以找到F-局部L-ipschitz连续的停止时间如下。这个结果及其结论，引理A.6，对于我们用命题5.1中的Lipschitz连续停止时间来近似τ是至关重要的。引理A.5。Let（T，ω）∈（0，T）×Ohm R，κ>0。

存在一个F-停止时间ζ，取值为（0，T），使得ζ≡TonOTR（ω）={ω∈Ohm: kω-ωk0，T≤R} 给定ω，ω∈Ohm,|ζ(ω)-ζ(ω)|≤κkω-ωk0，t（A.7）对任何t都成立∈[b，T]∪T∈[a，b:t≥a+κkω-ωk0，t, 式中a:=ζ（ω）∧ζ（ω）和b:=ζ（ω）∨ζ(ω).证明：给定（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 路径ω（·），ω（·）的连续性意味着xt（ω）：=kω-ωk0，t=supr∈[0，t]| Br（ω）-ω（r）|=supr∈Q∩[0，t]| Br（ω）-ω（r）|∈[0, ∞).作为随机变量supr∈Q∩[0，t]| Br-ω（r）|是Ft-可测量的，我们看到X是F-适应了所有连续路径的过程。定义f（x）：=-x/κ+T/κ+R，十、∈[0，T]。自ζ：=inf{t∈[0，T]：f（T）∧ （T）-Xt≤0}∧T是F-停止时间ζ：=ζ∧T=inf{T∈[0，T]：Xt≥f（t）}∧这也是F-（0，T）中的停止时间取值：给定ω∈Ohm,自X（ω）-f（0）=0-（T/κ+R）<0且自路径X·（ω）-f（·）是连续的，存在一些tω∈（0，T）使得Xt（ω）-f（t）≤-（T/κ+R）<0，T∈[0，tω]。因此ζ（ω）>tω>0。让ω∈ Ohm. 如果kω-ωk0，T≤ R、 可以推断Xt（ω）=kω-ωk0，t≤ kω-ωk0，T≤ R=f（T）<f（T），T∈[0，T），因此ζ（ω）=T。接下来，让ω，ω∈ Ohm. 如果ζ（ω）=ζ（ω），（A.7）自动保持。因此，让我们假设a:=ζ（ω）<ζ（ω）：=b，而不丧失一般性。我们声称如果t∈[a，b]s aties t-A.≥κkω-ωk0，t，然后|ζ（ω）-ζ（ω）|=b-A.≤κkω-ωk0，t.（A.8）为了看到这一点，我们让t∈[a，b]t-A.≥κkω-ωk0，t和集δ：=kω-ωk0，t，bt:=a+κδ≤t、 当ζ（ω）<t时，过程X和函数f的连续性意味着kω-ωk0，a=kω-ωk0，ζ（ω）=f（ζ（ω））=f（a）。然后我们可以推导出kω-ωk0，bt≥kω-ωk0，bt-kω-ωk0，bt≥kω-ωk0，a-kω-ωk0，t=f（a）-δ=f英国电信.所以b=ζ（ω）≤它允许|ζ（ω）-ζ（ω）|=b-A.≤英国电信-a=κδ=κkω-ωk0，t，证明了这个说法。如果b-a>κkω-ωk0，bheld，在t=b的情况下应用（A.8）将产生b-a=|ζ（ω）-ζ(ω)|≤κkω-ωk0，b，a矛盾出现。因此，我们必须有|ζ（ω）-ζ（ω）|=b-A.≤κkω-ωk0，b≤κkω-ωk0，t，T∈[b，T]。引理A.6。

设θ，θ，θ是三个实值随机变量Ohm 满足：对于某些δ>0，它适用于i=1，2和任何ω∈Ohm θi（ω′）≤θi+1（ω），ω′∈Oθi+1（ω）δ（ω）=ω′∈Ohm: kω′-ωk0，θi+1（ω）≤δ. （A.9）非线性期望下随机到期的最优停止32如果θ取（0，T）中的值，那么对于任何κ>T/δ，都存在一个F-停车时间 这样θ≤ ≤ θonOhm .而且，给定ω，ω∈Ohm,(ω)-(ω)≤κkω-ωk0，t（A.10）对任何t都成立∈[b，T]∪T∈[a，b:t≥a+κkω-ωk0，t, 其中a：=(ω)∧（ω） b：=(ω)∨(ω).证明：我们fixκ>T/δ并设置δ：=δ-T/κ。自从正则空间Ohm 是一个可分完备度量空间，因此Lindel¨of，存在一个可数稠密子集ωjJ∈诺夫Ohm 在范数k0下，T.给定j∈ N、 我们设置tj:=θ（ωj）∈（0，T]和κj:=tjδ-δ. 将引理A.5与（ω，T，R，κ）=（ωj，tj，δ，κj）结合，得到一个F-停止时间ζj在（0，tj]中取值，使得ζj（ω）≡tj，ω ∈Otjδ（ωj）。（A.11）给定ω，ω∈Ohm, 它持续了一段时间∈[bj，tj]∪T∈[aj，bj]：t≥aj+κjkω-ωk0，t那个ζj（ω）-ζj（ω）≤κjkω-ωk0，t≤κkω-ωk0，t，（A.12），其中aj:=ζj（ω）∧ζj（ω）和bj:=ζj（ω）∨ζj（ω）。清晰地:= 苏普∈Nζjde定义为F-（0，T）中的停止时间取值。Le Tω，ω∈Ohm. 如果(ω)= （ω） ，其中一个自动生成（A.10）。因此，让我们在不失去普遍性的情况下假设a:=(ω)<（ω） 我们声称如果∈[a，b]满足感-A.≥κkω-ωk0，t，那么(ω)-(ω)≤κkω-ωk0，t.（A.13）为了看到这一点，我们让t∈[a，b]t-A.≥κkω-ωk0，t和letλ∈（0，b）-a]。存在一个j=j（λ）∈N使得ζj（ω）≥B-λ. Asζj（ω）≥a=(ω)≥ζj（ω），我们看到aj=ζj（ω）和bj=ζj（ω）。然后是[aj，T]和最满意的-aj≥T-A.≥κkω-ωk0，t≥κjkω-ωk0，t.So乘以（A.12），(ω)-(ω)=B-A.≤ζj（ω）+λ-ζj（ω）≤κkω-ωk0，t+λ。让λ→ 0会产生这样的结果(ω) - (ω)≤κkω-ωk0，t，证明了这个说法。如果b-a>κkω-ωk0，bheld，应用t=b的权利要求（A.13）将得到b-a=|(ω)-(ω)|≤κkω-ωk0，b，a矛盾。

因此，我们必须|(ω)-（ω） |=b-A.≤κkω-ωk0，b≤κkω-ωk0，t，T∈[b，T]。现在，让我们乘以ω∈ Ohm. 自Oδωj Otjδωj对于任何j∈ N、 有一个Ohm = ∪J∈无δωj ∪J∈NOtjδωj Ohm. 所以ω∈Otjδωj为了一些j∈N从（A.11）可以得出(ω)≥ζj（ω）=tj>0。自kω-ωjk0，θ（ωj）=kω-ωjk0，tj<δ<δ，取（A.9）中的（i，ω，ω′）=（1，ωj，ω）表示θ（ω）≤θ（ωj）=tj=ζj（ω）≤(ω).我们声称ζl(ω) ≤θ(ω), l ∈N：假设不是，即ζl（ω） >θ（ω）对于某些l ∈N.来自莱玛的证据。5，我们看到ζl（ω） =inf{t∈[0，tl] : kω- ωlk0，t≥Fl（t） }∧Tl, f在哪里l（x） ：=-x/κl+tj/κl+δ, 十、∈[0，tl]. 自切克ωl-ωk0，θ（ω）≤ kω-ωlk0，ζl(ω)≤ Flζl(ω)< Fl（0）=tl/κl+δ=δ，取（i，ω，ω′）=2, ω, ωlin（A.9）导致一个矛盾：θ（ω）≥θωl=Tl≥ ζl(ω) ! 因此，ζl(ω)≤θ(ω), l ∈因此（ω） =supl∈Nζl(ω)≤θ(ω). A.2第6节（6.12）证明中的星型不等式：让r∈[t，t]。如果r<t，as{γ<ν}∈Ftγ∧νFtγ，有{bγλ≤r} ={γ<ν}∩{γ ≤r}∈Ftr。否则，如果r≥t、 设k为最大整数，使得tk≤r、 自{γ≥ν}∩{γ ≤r}{ν ≤r}{ν6=ti}Ai=k+1··，自{γ≥ν}∩Aij={γ≥ti}∩{ν=ti}∩Otiδj（eωj）∪j′<jOtiδj′（eωj′）∈Ftti对于i=1，··，k和j=1，···，λ，可以推导出{bγλ≤r}={γ < ν}∩{γ ≤r}∪{γ ≥ν}∩{γ ≤r}∩K∩i=1Ai∪K∪i=1λ∪j=1{γ ≥ν}∩哎呀∩{γij（πtti）≤r}∈Ftr。因此，bγλ∈Tt。（6.41）的证明：我们假设bκnbe是bδn的Lipschitz系数∈Ohm ε>0，setbλn=bλn（ω，ε）：=ε∧（φωT）-1（ε/3）bκnand letω′∈Obλn（ω）。让0≤R≤r′≤带r′的T-R≤bδn（ω）。Ifbδn（ω）≤bδn（ω′），然后|ω（r′）-ω（r）|≤|ω（r′）-ω′（r′）|+|ω′（r′）-ω′（r）|+|ω′（r）-ω（r）|≤φω′Tbδn（ω）+2kω′-ωk0，T<φω′Tbδn（ω′）+ε. （A.14）A.2第6节中星型不等式的证明如果bδn（ω′）<bδn（ω），我们设置s′：=r′∧（r+bδn（ω′）。

因为（2.5）表明-s′=r′∧（r+bδn（ω））-r′∧（r+bδn（ω′）≤bδn（ω）-bδn（ω′）≤bκnkω-ω′k0，这是s′-r=r′∧（r+bδn（ω′）-r′∧R≤bδn（ω′），我们可以推断|ω（r′）-ω（r）|≤ |ω（r′）-ω（s′）|+|ω（s′）-ω（r）|≤φωTbκnkω-ω′k0，T+|ω（s′）-ω′（s′）|+|ω′（s′）-ω′（r）|+|ω′（r）-ω（r）|≤ φωTbκnkω-ω′k0，T+φω′Tbδn（ω′）+2kω′-ωk0，T<φω′Tbδn（ω′）+ε.将其与（A.14）结合，并对该对（r，r′）取上确界，得到φωTbδn（ω）≤ φω′Tbδn（ω′）+ ε.另一方面，让0≤呃≤呃’≤ T与er′结合-呃≤bδn（ω′）。Ifbδn（ω′）≤bδn（ω），与（A.14）的类比表明|ω′（er′）- ω′（er）|<φωTbδn（ω）+ε. （A.15）否则，如果bδn（ω）<bδn（ω′，则可以推断|ω′（er′）-ω′（er）|≤|ω′（er′）-ω（er′）|+|ω（er′）-ω（er）|+|ω（er）-ω′（er）|≤φωTbδn（ω′）+2kω-ω′k0，T≤φωTbδn（ω′）-bδn（ω）+φωTbδn（ω）+2kω-ω′k0，T<φωTbκnkω-ω′k0，T+φωTbδn（ω）+ε≤φωTbδn（ω）+ε.将其与（A.15）相结合，并将上确界置于二者之上呃，呃产生φω′Tbδn（ω′）≤ φωTbδn（ω）+ ε.因此ω→ φωTbδn（ω）是一个连续的随机变量Ohm. （6.42）的证明：设ω，ω′∈Ohm 设置t:=bθn（ω），s:=bθn（ω′）。我们从（4.2）和（4.5）中看到Zs（ω）-Zs（ω′）≤ bρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωTκkω-ω′k0，T, 和Zt（ω）-Zs（ω）=Zt∧s（ω）-Zt∨s（ω）≤2C我的|s-t|q∨|s-t|q-Q+ bρY|s-t|+ bρYδ′t，s（ω）∨bbρYδ′t，s（ω）,式中δ′t，s（ω）：=（1+κ）)|s-t | q+φωt|s-t|. 把它们加起来，我们可以从随机变量Bθn的Lipschitz连续性推断出Zbθn是一个连续的随机变量Ohm. 证明（6.53）：如果n（ω）∧n（ω）+2-k> t，一个有Ht（ω）=Ht（ω）=0。另一方面，假设n（ω）∧n（ω）+2-K≤ t、 当kω-ωk0，t≥ 2.-kκ-1n，我们自动拥有Ht（ω）-Ht（ω）≤ 1.≤kκnkω-ωk0，t；当kω-ωk0，t<2-kκ-1n，自从n（ω）∧n（ω）+κnkω-ωk0，t<n（ω）∧n（ω）+2-K≤t、 将位置5.1（2）与t=tyields一起应用n（ω）-n（ω）≤κnkω-ωk0，t.那么（2.5）意味着Ht（ω）-Ht（ω）≤k（t）-n（ω））-1.+-k（t）-n（ω））-1.+≤2kn（ω）-n（ω）≤2kκnkω-ωk0，t。（6.67）的证明：设ω′∈ Ohm.

如果集合{t′∈[0，T]：X（T′，ω′）≤ 0}不是空的，命题5.1（1）意味着limn→∞↑ n（ω′）=τ（ω′），然而，n（ω′）<τ（ω′）对于任意n∈ 然后我们可以推断出limn→∞[0,n（ω′）（t′）=[0，τ（ω′）（t′），t′∈[0，T]，路径U·（ω′）的连续性意味着limn→∞Ynt′（ω′）=limn→∞{t\'\'≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）U(n（ω′，ω′）= 1{t′<τ（ω′）}L（t′，ω′）+1{t′≥τ（ω′）U（τ（ω′），ω′）=Y（τ（ω′）∧ t′，ω′）=cYt′（ω′），t′∈[0，T]。另一方面，如果集合{t′∈ [0，T]：X（T′，ω′）≤ 0}为空，路径X·（ω′）的连续性意味着inft′∈[0，T]X（T′，ω′）>0。足够大的∈ N、 布景t′∈[0，T]：X（T′，ω′）≤对数（n+2）+十、-1.-1.-1.也是空的，因此T=τn（ω′）=n（ω′）=τ（ω′）由命题5.1（1）确定。然后（A2）表明，对于任何t′∈[0，T]limn→∞Ynt′（ω′）=limn→∞{t\'\'≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）U(n（ω′，ω′）=1{t′≤T}L（T′，ω′）=1{T′<T}L（T′，ω′）+1{T′=T}U（T，ω′）=1{T′<τ（ω′）L（T′，ω′）+1{T′≥τ（ω′）U（τ（ω′），ω′）=cYt′（ω′）。（6.73）的证明：设ω∈Ohm. 从那时起l,lt（ω）=Lt（ω）除以[0，l(ω)+2-l][0, n） ，一个hasbζαi，l∧n=infT∈[0, n） ：Zl,lT≤通过l,lt+1/i+1/α∧n=infT∈[0, n） ：Zl,lT≤Lt+1/i+1/α∧n=ζαi，l∧n、 （A.16）非线性期望下随机到期的最优停止34If Zmj，mjt（ω）=Lt（ω）对于某些t∈0, n（ω）, 应用（6.70），k=MJ，k=l 分别表示zt（ω）≤Zmj，mjt（ω）+εmj≤Lt（ω）+εl<Lt（ω）+2i+α，因此Zl,lt（ω）≤Zt（ω）+εl<Lt（ω）+i+α。所以inf{t∈[0, n（ω））：Zl,lt（ω）≤Lt（ω）+1/i+1/α}≤inf{t∈[0, n（ω））：Zmj，mjt（ω）=Lt（ω）}。AsbYmj，mjt（ω）=Lt（ω）除以[0，n（ω）），可以得出ζαi，l(ω)∧n（ω）=infT∈[0, n（ω））：Zl,lt（ω）≤Lt（ω）+1/i+1/α∧n（ω）≤inf{t∈[0, n（ω））：Zmj，mjt（ω）=Lt（ω）}∧n（ω）=inf{t∈[0, n（ω）：Zmj，mjt（ω）=bYmj，mjt（ω）}∧n（ω）=νmj（ω）∧n（ω）。另一方面，如果T∈ [0, n（ω）：Zmj，mjt（ω）=Lt（ω）如果是空的，我们可以推断出νmj（ω）≥ n（ω）。然后νmj（ω）∧n（ω）=n（ω）≥我，l(ω)∧n（ω）自动保持不变。

（6.79）的证明：Setbζ′i，l:= limα→∞↑bαi，l≤bζi，l. 作为Z的c连续性l,l-通过l,l显示Zl,lbαi，l-通过l,lbαi，l≤i+α，α > l, 让α→ ∞, 从Z的连续性可以看出l,l-通过l,l再说一遍，Zl,lbζ′i，l-通过l,lbζ′i，l≤ 1/i，这意味着bζi，l=bζ′i，l= limα→∞↑bαi，l. （6.82）的证明：设ω∈ Ohm. 如果集合I（ω）：=T∈ [0，T]：Zt（ω）≤ Lt（ω）+1/i是空的，路径Z·（ω）的连续性-L·（ω）意味着η（ω）：=inft∈[0，T]Zt（ω）-Lt（ω）> 1/i.对于任意整数h>（η（ω）-1/i）-1.自那以后∈[0，T]（Zt（ω）-Lt（ω））=η（ω）>1/i+1/h，集合Ih（ω）：=T∈[0，T]：Zt（ω）≤Lt（ω）+1/i+1/h也为空，因此γhi（ω）=T。因此，林→∞↑ γhi（ω）=T=γi（ω）。另一方面，如果I（ω）不是空的，我们设置γ′I（ω）：=limh→∞↑ γhi（ω）≤ γi（ω）=inf i（ω）。不管怎样∈ N、 Ih（ω）包含I（ω），因此不是空的。路径Z·（ω）的连续性-L·（ω）则意味着Zγhi（ω），ω-Lγhi（ω），ω≤i+h.让h→ ∞, 从路径Z·（ω）的连续性可以看出-L·（ω）再次表示Zγ′i（ω），ω-Lγ′i（ω），ω≤1/i，表明γi（ω）=inf i（ω）≤γ′i（ω）。因此，γi（ω）=γ′i（ω）=limh→∞↑ γhi（ω）。（6.89）的证明：集sn=sn（ω）：=（γ）*∧n） （ω）且ε>0。通过路径Z·（ω）的连续性，存在一个δn=δn（ω）>0，使得Zt（ω）-Zsn，ω≤ ε, T∈（序号-δn）+，sn. 我们看到fr om（6.88）足够大∈N、 两者（γi）∧n） （ω）和（γ2i）∧n） （ω）在（序号-δn）+，sn, 所以Jn，i（ω）（序号-δn）+，sn. 因此Zsn，ω-ε≤输入∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤ 监督∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤ Zsn，ω+ ε. 就像我→ ∞, 我们得到Zsn，ω-ε ≤ 里美→∞输入∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤里美→∞监督∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤Zsn，ω+ε. 让ε→0则为（6.89）。参考文献[1]E.Bayraktar a和Y.Huang，关于多维控制器和塞子游戏，暹罗J.ControlOptim。，51（2013），第1263-1297页。[2] E.Bayraktar，I.Karatzas和S.Yao，《动态凸风险度量的最优停止》，伊利诺伊州J.Math。，54（2010），第1025-1067页。[3] E.Bayraktar和S。

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