很明显，his是有界的（因为f是），非常数的，非减量的（因为f，Φ和P是）。此外，h′（y）=f′（Φ-1（P（y））（Φ-1） \'P（y））P′（y），对于ally是很好的定义∈ R为P（y）∈ （0,1）对于所有P∈D和y∈在这之前，h是绝对连续的。让KR是紧的，那么既然P是连续的，P（z）∈KforAll z∈ K、 K在哪里（0，1）也是一个紧凑型。作为Φ-1.∈C（（0，1）），这意味着（Φ-1） ′（P（y））对所有y都有界∈ K.类似地，f′（Φ-1（P（y））对所有y都有界∈ K.因为P′的有界性来自于P∈ D、 这使得h′在紧上有界，因此满足引理4的条件。3.5.均衡的构建。假设H是定理4中确定的函数。1.如第3节所述，如果我们能够识别一个可容许的策略X，那么：（i）bα由-σρ2NYtHy（t，Yt）和（ii）Xsatis fies（3.12），那么（H，X）将是命题3.1中的候选均衡，一旦我们证明U（G）是真正的FM鞅。下面的定理给出了这样一个X。定理5.1。设H和p为定理4中定义的函数。1.然后存在一个独特的过程（Yt）∈[0,1）哪个解Yt=σdBt+-σρ2NYtHy（t，Yt）+σpyp（t，Yt；1，H）-1（1，V））dt，（5.1）t∈ [0，T]，对于所有T<1。此外，Y是一个带Pv（limt）的（Pv，FI）-半鞅→1Yt=H-1（1，V））=1每V∈ f（R）和dyt=σdBYt-σρ2NYtHy（t，Yt）dt，t∈ [0,1]在FM下。证据我们将首先证明，对于任何T<1，在[0，T]上存在（5.1）的唯一弱解。[39]中的命题IX.3.2将暗示强解的唯一性，因为如果Yan和Yar是两个强解，那么Y-伊萨蒂斯-Yt=Ztb（s，Ys，Ys，V）ds28 U.C,ETIN和A.Danilovafo对于某些确定性函数b和d，其在0级的局部时间过程同样为0。

强唯一性与弱解相结合，将通过Yamada和Watanabe的结果（见[26]中的推论5.3.23]）导致唯一强解的存在。为了证明弱解的存在性，fix T<1，让Nt:=p（T，ζT；1，H-1（1，v））代表t≤ T在哪里∈ Randζ是dζt=σdβt的唯一强解-σρ2NζtHy（t，ζt）dton[0，1]在概率测度＠P下，其中β是理论4中建立的＠P-布朗运动。1.同样的定理也给出了p作为ζ的传递度。然后（Nt）t∈[0，T]是一个严格正且有界的鞅，关于ζ的自然过滤，由其^o公式和（4.14）中获得的p估计得出。因此，NTNhas期望值1在P下，并定义了σ-代数FζT上的等价度量变化。SincedNt=σNtpyp（T，ζT；1，H-1（1，v））dβt，那么根据Girsanov定理，在新的测度下，QT，dζt=σdWt+-σρ2NζtHy（t，ζt）+σpyp（t，ζt；1，H）-1（1，v））一些QT布朗运动。因此，作为上述qt下的解，ζ是[0，T]上（5.1）的弱解。此外，弱唯一性保持了ζ在qt下的分布与ζ在原始测量下的分布通过测量变量p（t，ζt；1，H）的变化一一对应-1（1，v））。更精确地说，对于任何有界函数和点0=t<···<tn=t，EQT[F（ζt，…，ζtn）]=EPF（ζt，…，ζtn）p（t，ζt；1，H）-1（1，v））p（0，0；1，H-1（1，v））（5.2）=ZR··ZRF（y，…，yn）×p（0，0；t，y）··p（tn）-1.yn-1.tn，yn）p（T，yn；1，H-1（1，v））p（0，0；1，H-1（1，v）dy··dyn。因此，我们得出结论，在Pv下，区间[0，T]上存在唯一的强解YT（5.1）。

根据Yt确定Y=YTtt≤并观察到，由于强解的唯一性，Y得到了很好的定义，是唯一的求解过程（5.1）。非对称信息和FORWA RD–Backbar D SYSTEMS 29下一步，我们希望通过考虑其限制，将流程Y扩展到time-1。根据[16]中的定理2.2，该极限存在。请注意[16]中的假设2.2已经满足，因为（t，y）7→p（t，y；u，z）是C1,2on[0，u）×R，p（t，y；u，z）=q（σ（u）- t） ，z-y） r（t，y；u，z），其中q是标准布朗运动的转移密度，r是一个严格正函数，其指数界由（4.14）给出，这特别意味着p生成了一个非齐次Feller半群。此外，同样的结果也适用于SPV（limt）→1Yt=H-1（1，V））=1。为了证明Y的半鞅性质，设z=H-1（1，v）和重新调用（4.10）thatr（t，y；1，z）=EQy→zt→1.经验-ρ2NZtXsHy（s，Xs）dXs-σρ8nztxsy（s，Xs）ds.考虑到布朗桥的马尔可夫性，我们得到了（t，Xt；1，z）=EQ0→z0→1.经验-ρ2NZtXsHy（s，Xs）dXs-σρ8nztxsy（s，Xs）dsFXt,式中（FX）是X的自然过滤的通常增强，因为txsy（s，Xs）dx和rtxshy（s，Xs）ds都是相对于σ（Xu；u）可测量的∈ [t，1]）。因此，Lt:=r（t，Xt；1，z）exp-ρ2NZtXsHy（s，Xs）dXs-σρ8nztxsy（s，Xs）ds这是一个Q0→z0→1-鞅。此外，由于（4.12）的原因，它是严格正的。因此，我们可以定义P0、ZN FXviadP0、zdQ0→z0→1=L。回想一下Q0下的情况→z0→1X解出以下S DE:Xt=σWzt+Ztz-Xs1-sds，WZI是Q0→z0→1-布朗运动。因此，直接应用Girsanov定理可以得出，一旦B被Girsanov变换sincedLtLt定义的0，z-布朗运动取代，X就会解（5.1）=rx（t，Xt；1，z）r（t，Xt；1，z）-σρ2NXtHy（t，Xt）dWzt。30 U.C,ETIN和A。

DANILOVASince半鞅性质在等价测度变化下保持不变，且（5.1）的解具有强唯一性，我们得到了其唯一解的期望半鞅性质。在证明了半鞅性质之后，还需要证明Y在FM下的广义表示。假设ξ是ξt=σβt的解-Ztσρ2NξsHy（s，ξs）ds。（5.3）然后ξ具有过渡密度p。如果用ξ放大ξ的过滤，那么在放大的过滤下，ξ具有以下分解：dξt=σdWt+-σρ2NξtHy（t，ξt）+σpyp（t，ξt；1，ξ）dt，（5.4）t∈ [0,1），其中（Wt）t∈[0,1]是一个布朗运动，与ξ的放大过滤无关（见[34]中的定理1.6]）。另一方面，由于t<1的E[ξt | Fξt]=ξt，我们必须有σβt-Ztσρ2NξsHy（s，ξs）ds=E[σWt|Fξt]+EZtσpyp（s，ξs；1，ξ）dsFξt-Ztσρ2NξsHy（s，ξs）ds。由于一个鞅投影到一个较小的滤波上仍然是一个鞅，从上面的方程我们可以得出结论，E[Rtσpyp（s，ξs；1，ξ）ds | Fξt]是一个Fξ-鞅，它是等价的Zutσpyp（s，ξs；1，ξ）dsFξt= 0U∈ [t，1）。（5.5）通过定理4.1观察ξ和H的分布-1（1，V）重合。由于我们已经建立了（5.1）解的唯一性定律，并且V独立于B，我们可以得出结论，过程Y和ξ具有相同的分布。因此，从（5.5）可以看出，对于u<1EZutσpyp（s，Ys；1，H）-1（1，V））dsFYt= EZutσpyp（s，Ys；1，Y）dsFYt= 0.以上表明E[Rtσpyp（s，Ys；1，H-1（1，V））ds |FYt]是FY鞅。因此，Y具有以下关于FY的分解：Yt=Mt-Ztσρ2NYsHy（s，Ys）ds，t∈ [0,1]、不对称信息和FORWA-RD–Backward D系统，其中M是FY鞅。另一方面，[M，M]t=[Y，Y]t=σt。因此，根据L’evy的特征，Mt=σBYt。

请注意（BYt）t∈[0,1]是一致可积鞅；因此，我们可以通过=limt来定义→1因此（BYt）t∈[0,1]是布朗运动。当Y收敛到一个有限的极限t时，这就建立了所需的分解[0，1]→ 1.理论5。1结合命题3.1，在我们的模型中建立均衡的存在性。定理5.2。让H*p是理论4中定义的函数。1，andX*t=Zt-σρ2NY*嘘*y（s，y）*s） +σpyp（s，Y）*s1，H*-1（1，V））ds。然后（H*, 十、*) 这是一种平衡。此外，在平等需求的情况下*t=σBYt-σρ2NZtY*嘘*y（s，y）*s） ds。证据注意，H*是一个有界函数，它是具有有界终端条件的热传导方程的解。因此，条件（2.1）和（2.2）自动满足。此外，定理5.1得出X*是a（Pv，FI）-半鞅和Pv（H）*（1，Y）*) = v） =1。因此，命题3。1得出X是可容许的，且对于给定的H，X是最优策略*.因此，仍然需要验证做市商的零效用增益条件，即证明U（G）是FM鞅。从理论上回顾。1.选择X*, Y*solvesdYt=σdBYt-σρ2NYtH*y（t，Yt）dt。（5.6）因此，它是^o的公式和H的条件*yieldsU（Gt）=-经验σρNZtY*嘘*y（s，y）*s） 德比-σρ2NZt（Y）*嘘*y（s，y）*s） ）ds.清晰地-U（G）是一个指数局部鞅。接下来，根据引理4中建立的Y和σW定律之间的绝对连续性关系来观察。2（M）*t） t∈[0,1]是严格正的P-鞅，其中m*t=exp-ρ2NZtY*害羞的*s） 戴斯-σρ8NZt（Y）*害羞的*s） ）ds.32 U.C,ETIN和A.DANILOVATherefore，如果我们在FY上定义一个等效的度量值Q*bydPdQ=M*, 然后：=Y*σ是Q-布朗运动。

因此，U（G）是P-鞅当且仅当U（G）M*是Q-鞅。另一方面，partsformula yieldsd直接应用了集成(-U（Gt）M*t） =-U（Gt）M*tσρ2NYtHy（t，Yt）dWYt，也就是说，- U（G）M*是r·∑ρ2NYtHy（t，Yt）dWYt的随机指数。此外ZYtHy（t，Yt）dWYt≤K（1+| WY |）乘以（4.5）。由于| WY |具有所有指数矩，我们得出结论：-U（G）M*是一个使用Kazamaki准则的Q-鞅（参见[38]中的定理III.44）。上述定理表明，均衡需求过程h在其自身的过滤中是一个漂移过程。这与文献中发现的[29]和[2]的原始模型中的其他可能的普遍性（关于私人信息到达模式的变化，见[5]，对于厌恶风险的内部人士，见[8]，对于投资者之间的竞争，见[4]）形成对比，导致总需求在其自身过滤中是鞅的均衡。此外，当Hy>0时，平衡总需求过程是均值回复的。这就为专家库存中出现的均值回归提供了理论解释，这有很强的实证支持（参见[12,23,24]和[33]）：均值回归是内部人士对做市商风险分担要求的反应的结果。均值回归的速度不是恒定的，取决于市场庄家的有效风险规避水平ρN，以及信息不对称水平σ，由于Hy的定义，这一理论应用与[23]的经验发现一致，他们观察到均值回归的速度取决于伦敦证券交易所做市商的库存水平。与观测密切相关的是，在总阶上，th有一个漂移，在均衡价格下，th不再是物理测度下的鞅。

此外，Y*因此，H*（t，Y）*t） 是均值回复过程。这是Y的均值回归性质*这也意味着凯尔关于市场深度不变的结论，即价格变动一个单位所需的订单量，在这个模型中并不成立。印第安纳州*y（t，y）*t） =H*y（t，y）*t） σdBYt-σρ2NY*tH*y（t，y）*t） H*y（t，y）*t） 数据传输不对称信息和FORWA RD–Backbar D SYSTEMS 33H*y（t，y）*t） 从H开始就不是鞅*它不是线性的。特别是，如果H*是这样的*y（1，y）=-H*y（1，-y） 和H*y（1，y）≤ 0代表y≥ 0，然后yH*y（t，y）≤ 0，因此H*y（t，y）*t） 是次鞅。因此，E[H]*y（t，y）*t） ]有一个向上的斜率，也就是说，在我们的模型中，执行成本在一段时间内会增加。这与纽约证券交易所（NYSE）执行成本U型模式的实证结果一致（见[32]）。结论和进一步评论。我们已经解决了S ubrahmanyam在[40]中首次提出的一个长期存在的开放性问题，即在Kyle[29]首次引入的模型的连续S时间版本中，存在一个均衡的金融市场，其中信息不对称的交易者和风险规避的市场庄家。这个平衡结果是非标准FBSDE的解。我们通过将其转化为随机和偏微分方程的前向-后向系统，并采用Schauder不动点定理的新应用，解决了这一FBSDE问题。与做市商库存的实证研究一致，我们发现做市商的风险规避导致平衡总需求（即做市商的集体库存）的均值回归。因此，在这个例子中，第一类交易者的均衡并不意味着不引人注目。

这一结果背后的驱动力是，做市商的风险厌恶使他们不愿承担风险。知情交易者没有为投资风险支付额外补偿，而是选择吸收做市商库存中的一部分大额流动，即参与风险分担。我们还表明，对于某些模型参数，价格对总订单的敏感性（即市场深度的倒数）可以是一个子鞅。这意味着，平均而言，执行成本在交易期结束时增加，这与[32]中获得的经验结果一致。然而，对于一般的参数集，市场深度的倒数不是一个子鞅，也不是一个鞅。这一理论结论与[29]和[8]中得出的结果不一致，后者研究了厌恶风险的内部人士对均衡的影响，并在[5]中将凯尔的模型推广到知情交易者随着时间的推移收到波动信号的情况。事实上，Kyle在[29]中提出了一个猜想：[··]深度的增加或减少都与信息交易者的行为不一致，信息交易者的行为“稳定”到足以维持平衡。如果深度增加，内幕人士希望（在深度增加之前）稳定价格，以产生无限的利润。如果深度减少，内幕人士将立即将其所有私人信息纳入价格。34 U.C,ETIN和A.DANILOVAThus，从我们的模型中获得的结果表明，知情交易者和做市商之间风险分担的必要性，使得对知情交易者来说，对市场深度的系统运动的探索是不可预测的。

事实上，如果交易者试图遵循凯尔概述的策略，即在深度较低时获得大量头寸，以便在深度较高时以更容易避免的价格进行清算，那么她将使总订单偏离其均值，使做市商暴露于大额订单的风险。违反风险分担将导致做市商调整价格，从而消除对知情交易者有利的液化机会。因此，与K y le相反，这种策略不会带来无限的利润。此外，由于做市商的风险规避，市场深度出现系统性变化，这表明，如[4]中所述，非固定交易对手的竞争不是唯一可能的机制，可以使Kyle u npro提出的策略成为可能，从而导致市场深度的反向漂移。这些观察结果表明，仅仅将规避风险的做市商引入[29]的设定，就从根本上改变了均衡结果。参考文献[1]Antonelli，F.（1993）。向后-向前随机微分方程。安。阿普尔。Probab。3 777–793. MR1233625[2]Back，K.（1992）。连续时间的内幕交易。金融研究回顾5 387–409。[3] Back，K.（2010）。资产定价和投资组合选择理论。牛津大学出版社，伦敦。[4] Back，K.，Cao，C.H.and Willard，G.A.（2000）。信息交易者之间的不完全竞争。J.财务55 2117–2155。[5] 回来，K.和佩德森，H。(1998). 长期信息和日内模式。《金融市场杂志》1385–402。[6] Bank，P.和Kramkov，D.（2015年）。大型投资者以不同市场价格进行交易的模型。二：持续s时间案例。安。阿普尔。Probab。25 2708–2742.MR3375887[7]Barrieu，P.和El Karoui，N.（2013年）。二次半鞅的单调稳定性及其在无界广义二次BSDE中的应用。安。

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