非对称金融市场的马尔可夫纳什均衡

2022-5-6 10:48:53

《应用概率年鉴2016》，第26卷，第4期，1996-2029DOI:10.1214/15-AAP1138c数理统计研究所，2016年，信息不对称和相关前向-后向系统的金融市场中的阿尔科夫纳什均衡。Umut C,etin和Albina DanilovaLondon经济与政治科学学院本文提出了一种新方法，用于研究具有非对称信息代理的金融市场中的连续时间纳什均衡。目前，这种方法对市场庄家施加的风险限制得以解除。结果表明，当做市商规避风险时，代理人的最优策略是一个由部分微分方程和随机微分方程组成的前向-后向系统的解。特别是，做市商设定的价格解决了一个非标准的“二次”倒向随机微分方程。本文的主要结果是，通过绝对连续分布函数空间上的一个Exedpoint变元，在任意时间间隔上，该前向-后向系统存在马尔可夫解。此外，本文得到的均衡能够解释当前不对称信息模型无法捕捉的几个典型事实。1.导言。在本文中，我们讨论了一个长期存在的开放性问题，即在一个具有非对称信息的交易者和风险规避的做市商的金融市场中，在连续时间内，在有限的视野内，均衡的存在性。在这样的市场中，交易资产的价格是做市商和掌握高级信息的知情交易者之间博弈的均衡。做市商和知情的贸易商都会选择与其过滤相适应的控制措施。

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2022-5-6 10:48:56

我们假设，做市商通过与贸易商的互动获取信息，并有义务吸收对资产的总需求。因此，他们的过滤是由总需求过程Y产生的过滤。另一方面，知情交易者拥有2014年8月收到的共同产生的过滤；2015年7月修订。AMS 2000学科分类。初级60H30，60J60；中学91B44。关键词和短语。具有风险规避做市商的Kyle模型，Bertrand竞争，向前-向后随机和偏微分方程，马尔可夫桥。这是数理统计研究所在《应用概率年鉴》（2016年，第26卷，第4期，1996-2029年）中发表的原始文章的电子版。这本重印本与原版印刷和排版细节不同。这个问题由Subrahmanyam在[40]中提出。2 U.C,ETIN和A.DANILOVAmarket prices和她的私人信息。在这个博弈中，做市商的控制权是价格S，而知情交易者的控制权是她的交易策略X。因此，均衡价格应该满足以下条件：（i）知情交易者的优化问题有一个解，（ii）给定这个解，价格完全满足做市商的目标。对这一博弈的研究可以追溯到[29]，这是市场微观结构理论中的标准模型，用于分析私人信息存在下的战略交易（参见[3,14]和[37]对凯尔模型的回顾，以及对其与其他市场微观结构模型关系的讨论）。

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2022-5-6 10:48:59

文献中研究了原始模型的各种扩展；参见[2,4,5,8,15,17-19]和[28]。原始模型和所有这些扩展都假设市场制造商是风险中性的，并以伯特朗的方式竞争总需求（定义见[36]第12.C节）。这意味着，在均衡中，任何做市商的效用都是鞅。由于效用是线性的，这反过来意味着做市商的最佳策略是将价格设定为给定其过滤的资产基本价值的条件预期。特别是，在这些模型中，总是有一个独特的价格，以满足做市商对知情交易人的任何控制的目标。此外，价格的鞅性质导致知情交易者在均衡中采用最优策略；也就是说，Y自身的过滤定律与Y的过滤定律相同-X在其自身的过滤中。虽然做市商的风险中性使模型易于处理，但它与观察到的市场行为并不一致。的确有大量经验证据表明，做市商厌恶风险，并以一种方式行使其控制权，即总需求均值以其厌恶风险的速度回到目标水平附近（纽约证券交易所见[24]和[33]、伦敦证券交易所见[23]、外汇交易所见[12]；有关文献和结果的调查，见[10]第1.2和1.3节）。尽管放松做市商风险中性的假设是自然的，并且是由经验证据推动的，但文献中只有一次尝试调查这种扩展的影响。

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2022-5-6 10:49:02

Subrahmanyam在[40]中考虑了一个单周期模型，在该模型中，具有相同指数效用的市场庄家设定价格，使得他们的概率鞅。该假设与上文讨论的风险规避型做市商背景下的原始烷基模型直接类似。[40]中考虑的模型的可操作性取决于一个事实，即本文的重点是做市商和策略性交易者之间的平衡以及由此产生的价格。我们没有深入研究做市商在特定需求过程中的互动。读者可以参考Bank和Kramkov[6]最近的手册，对这种互动进行深入分析。非对称信息和FORWA RD–Backward D SYSTEMS 3一段时间内，市场决策者对内幕人士的任何策略都有最佳的反应。然而，在多个时期内，这种反应的存在是不确定的。事实上，苏布拉曼亚姆指出，由于特工们的战略意图，他的模型不可能扩展到多周期环境。上述困难在于做市商的最优响应持续存在。更准确地说，考虑到知情交易者的交易策略，通过求解反向随机微分方程（BSDE）dSt=Ztdβt，可以找到做市商的最优响应-cYtZtdt，（1.1）exp（cYS）=E[exp（cYV）|FY]，（1.2）其中c>0是一个常数，V是代表资产基本价值的有界随机变量，Y是给定的总需求过程，β是关于FY的布朗运动——由Y产生的市场做市商的过滤。该BSDE的一个解决方案是满足（1.1）和（1.2）的FY自适应过程对（Z，S）。

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2022-5-6 10:49:07

当BSDE承认一个解决方案时，Sis是使做市商效用鞅的价格。尽管终端条件是非常规的，如Y和V所示，（1.2）的右侧是一个固定的、可测量的随机变量。因此，我们可以将条件项改写为S=ξ，这是有界的，因为V是有界的。另一方面，驱动程序的形式带来了面积上的困难，因为Y乘Z的过程通常是无界的。这使得s y杆（1.1）–（1.2）超出了标准方形BSDE的范围。做市商的价格反应只是均衡的一面。为了描述一种均衡，我们还需要确定总需求水平Y，这是由知情代理人的最佳交易策略所暗示的。与文献一致，我们假设总需求由布朗运动驱动，并且有一个由informedtrader决定的漂移。因此，平衡由（α，S）组成，其中α是给定S的最佳漂移，S表示向前-向后随机微分方程（FBSDE）dYt=dβt+α（t，（Ys）S≤t） dt，（1.3）dSt=Ztdβt-cYtZtdt，（1.4）exp（cYS）=E[exp（cYV）|FY]，（1.5），其中^α是α的FY可选投影。众所周知，即使d河在全球范围内为Lipschitz河，且满足线性增长条件，FBSDE解的存在性也相当微妙。Antonelli[1]通过过程Banach空间上的定点算法，证明了4 U.C,ETIN和A.Danilovatha在s小时间间隔上解的存在唯一性。[22]和[20]通过粘贴针对小时间间隔获得的解，将该结果推广到任意时间间隔。

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2022-5-6 10:49:10

求解FBSDE的另一种方法是[31]引入的所谓四步方案，该方案要求系统系数具有很强的平滑性，并基于拟线性偏微分方程之间的边界。当驱动程序为二次型时，问题变得更加复杂，只能得到很少的结果。此外，由于可用结果源自二次BSDE的可解性，当前文献中的标准假设是，对于某些常数k，驱动程序的边界为k（1+z）（参见[25]）。然而，由于（1.4）不符合当前的定量BSDE范式，这些结果不适用于我们的环境。尽管存在这些困难，当α是给定S的信息交易者的最优漂移时，对于一些光滑函数H，我们得到了该系统的解，其中St=H（t，Yt）。该解为我们考虑的模型提供了马尔可夫平衡。我们证明，在这种情况下，系统（1.3）-（1.5）转化为HT+Hy y=0，（1.6）dYt=dβt-cYtHy（t，Yt）dt，（1.7）Vd=H（1，Y），（1.8）证明Y具有平滑的跃迁密度，其中最后一个等式是分布中的质量。这仍然是一个前向SDE和后向PDE的前向-后向系统，因此PDE的最终条件取决于SDE的解，而SDE的解又取决于H。SDE和PDE之间的这种耦合建议使用定点算法。事实上，如果我们得到Y的连续分布，（1.8）产生函数H（1，Y），它在Y中增加。这允许我们通过（1.6）获得H（T，Y），通过（1.7）获得Y。因此，该程序定义了从分布空间到自身的映射。

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2022-5-6 10:49:13

我们在理论4中展示。1，通过Schauder的不动点定理，该映射具有一个不动点，前提是对于满足一些微正则条件的某些递增和有界f，V=f（η），以及一个标准正态随机变量η。Schauder不动点定理在我们的设置中的有效性依赖于（1.7）对于满足（1.6）的任何给定函数H，在有界且递增的终端条件下解的巨大性质。Lemmata 4.1–4.3探讨了这些属性。特别是，我们得到了一个显著的不对称信息，以及布朗运动定律和正反两个系统之间的联系。也就是说，我们证明了-x） +]≥ E[（E-建行-x） +]>0，E[(-十、-Y） +]≥ E[(-十、-E-cCB）+]>0，对于所有x>0，其中C是一个常数，仅取决于H上的束缚。我们还表明Y具有平滑的跃迁密度。系统（1.6）-（1.8）的解的存在确保了价格过程的马尔可夫解的存在，这使得市场制造商马丁·盖尔斯的效用一旦总需求的漂移，Y具有等式（1.7）中给出的形式。然而，为了使这样的dr if t看起来不平衡，内部人员最好选择一个具有这种形式的漂移选项。为此，我们在命题3中确定。1第1条唯一的标准是，该策略满足桥接条件h（1，Y）=V。因此，如果存在马尔可夫平衡，平衡对（H，Y）求解系统（1.6）-（1.8）和s aties H（1，Y）=V。这样一对的存在正是理论的结果。这使得我们可以在理论中建立平衡的存在性。2.论文结构如下。

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2022-5-6 10:49:17

第2节描述了我们考虑的模型，而第3节则致力于系统（1.6）-（1.8）的（正式）推导和informedtrader最优策略的特征描述。第4节证明了系统（1.6）-（1.8）解的存在，第5节证明了平衡的存在。在第6节中，我们讨论了风险规避对均衡市场行为的影响，并探讨了与实证文献的联系。2.市场结构。让(Ohm, F、（Ft）t∈[0,1]，P）是一个满足右连续性和P-完备性通常条件的过滤概率空间。我们假设Fis不是平凡的，并且存在一个F-可测的标准范数al随机变量η。此外，过滤后的速度也支持标准的布朗运动B，B=0，因此，B独立于η。我们定义V:=f（η），对于一些有界且严格递增的函数f，其导数为连续导数。在σF=t的情况下，我们的模型只依赖于σF∈[0,1]是可测量的，且∧N={E:E F代表一些F∈~F与P（F）=0}。此外，鉴于v和B的独立性，我们可以假设存在一系列概率测度（Pv），使得分解公式P（E）=Zf（R）Pv（E）P（v∈ dv）6个U.C,ETIN和A.DANILOVAholds代表所有E∈ F、为了所有的v∈ f（R）测量pvsaties Pv（E）=P（E | V=V）。当我们考虑时，这样一个家庭的存在很容易得到证实Ohm = f（R）×C（[0,1]，R），其中C（[0,1]，R）是[0,1]上实值连续函数的空间。我们考虑一个市场，其中无风险利率设置为0，交易一项风险资产。

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2022-5-6 10:49:20

该资产的基本价值等于V，将在T=1时公布。在这个市场中有三种类型的代理人相互作用：（i）流动性交易者，他们的交易原因与模型无关，并且在时间t时，对于某些常数σ>0，其累积需求由σbt给出。（ii）单一知情交易者，从t=0开始就知道V，且风险中性。接下来，我们将通知知情交易员内幕人士，并用Xt表示她在时间t的累积需求。内部人士FI的过滤是通过观察风险资产和V的价格产生的。因此，在V=V时拥有信息的内幕人士拥有由V和价格过程产生的最小持续过滤权，并以零Pv集完成。（iii）做市商只观察风险资产的净需求，Y=X+σB，thu s，他们的过滤，FM，是由Y生成的最小右连续过滤，用P-空集完成。假设做市商的数量为N≥ 2.我们还假设做市商具有公共效用函数U（x）=-E-ρx，并以异常方式竞争风险资产的净需求。

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mingdashike22

2022-5-6 10:49:25

如果几家市场制造商的报价相同，我们采用总订单在他们之间平均分配的惯例。与[2]类似，我们假设做市商将风险证券S的价格设定为某些函数H的St=H（t，Yt）。为了理解后来得出的均衡的微妙之处，重要的是要观察一位内幕人士，他得到了V=V具有概率测度Pvon的信息(Ohm, F）虽然市场制造商的概率度量由P给出，但在我们的设置中，这些度量彼此之间是单数的，即Pv（V=V）=1，其中P（V=V）=0。我们现在定义做市商函数H的可接受性（下文称之为定价规则）和投资者交易策略的可接受性。我们施加的条件是文献中的标准条件，首次在[2]中介绍。可积条件（2.1）和（2.2）防止内部人员遵循加倍策略（讨论见[2]）。insider策略的绝对连续性不会失去任何普遍性，因为带有鞅分量和/或跳跃的策略是严格次优的，如[2]所示。非对称信息和FORWA RD–Backbar D SYSTEMS 7定义2.1。函数H:R+×r7→ R是一个定价规则，如果H∈C1,2，在y和满意度（1，σB）中严格增加∞ 和EZH（t，σBt）dt<∞.（2.1）此类函数的类用H表示。注意，在任何定价函数严格单调的情况下，B适用于FI。内幕人士可接受的策略定义如下。定义2.2。

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2022-5-6 10:49:29

对于给定的pricingrule，H，如果对于某些FI，Xt=Rtαsds，内部策略X是允许的，对于所有v∈f（R），我们有Pv（R |αs | ds<∞) = 1，EvZH（t，Xt+σBt）dt<∞,（2.2）和Ev[min{0，WX}]>-∞, 式中，WXis是由wx产生的内部财富：=ZXsdH（s，Ys）+X（V-H（1，Y））=Z（V-H（s，Ys））dXs。（2.3）给定定价规则H的容许策略类将由a（H）确定。观察到，对于任何X的有限变化，WXis自V起定义良好-H（s，Xs）是任何定价规则的一个连续过程，Pv-a.s.（2.3）中的第一项对应于风险集合中的连续交易，而第二项的存在是因为当价值在时间t=1时成为公共知识时，资产价格的潜在不连续性。财富的第二个表达来自于部分的整合。考虑到定价规则和可接受交易策略的定义，我们现在可以定义如下均衡。定义2.3。一对（H）*, 十、*) 是一个平衡点，如果H*∈ H、 X*∈A（H）*), 和（i）给定H*, 内幕人士的策略X*解决了她的优化问题：Ev[WX*] = 好的∈A（H）*)Ev[WX]五、∈ f（R）。（ii）给定X*, 定价规则*在做市商的财富满足零效用增益条件下，即U（G）是（FM，P）-鞅，其中gt=-NZtY*sdH*（s，Y）*s） +1t=1Y*N（H）*（Y）*, 1) - V）。（2.4）8 U.C,ETIN和A.DANILOVAThe以上是我们模型中马尔可夫纳什均衡的公式。insider策略最优性的条件是直接描述内部人员对给定价格的最佳反应。做市商的最优性条件遵循K-y勒姆模型的传统，其中由于做市商之间的伯特朗竞争，每个做市商的效用r都是鞅。

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2022-5-6 10:49:32

事实上，前提是其中一个市场庄家，比如MMi，决定在某个时候偏离这个定价规则，例如，以高于H的价格出售，以实现正效用收益。然而，其他做市商可能不愿意以略低的价格出售，这仍将使他们获得积极的效用收益。此外，由于这一较低的价格对交易方更有利，因此没有人会与MMI进行交易，从而消除任何获得效用的机会。出于类似的原因，以较低的价格购买也不符合零效用收益条件。显然，以更高（或更低）的价格购买（或出售）是次优的，因为这会导致公用事业的损失。因此，满足零效用收益条件的定价规则是做市商的最佳反应。零效用收益条件也是自给自足效用概念的一个直接连续时间模拟。自给自足效用定义了[40]研究做市商风险规避对均衡的影响的单周期Kyle模型中的均衡。回想一下，假设市场制造商是相同的，因此，他们在均衡状态下提供相同的报价，并且由于我们的订单分割约定，当有多个中标报价时，订单在他们之间平均分割。3.平衡的特征描述。在本节中，我们通过研究做市商对内幕人士给定策略的最优响应，然后描述投资者的利益最大化策略，证明了该博弈的马尔可夫均衡是由（1.6）-（1.8）给出的随机偏微分方程的前向-后向系统描述的。

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2022-5-6 10:49:35

下文中用于描述平衡的启发性参数将在后续章节中进行严格说明。假设X是内幕人士可接受的交易策略，因此其自身的过滤满足度DYT=σdBYt+^αtdt，其中By是FM布朗运动，^α是α的FM可选投影。做市商的最佳反应是选择一个满足零效用增益条件的价格。让价格S followdSt=ZtdBYt+utdt，对于一些可预测的过程Z和可选过程u，由市场制造商决定。由于对称信息与前-后D系统9和V之间存在潜在差异，因此做市商的财富可能在某个时间点出现巨大差异。更准确地说，G=YN（S）-V）。然而，零效用增益条件意味着1=E经验-ρYN（S）-V）调频,这相当于脚趾经验ρYNV调频= 经验ρYNS.（3.1）另一方面，如果我们用^o’s公式计算t<1时U（G）的动力学，我们得到du（Gt）=U（Gt）ρNYtσtdBYt+ut+ρ2NYtσtdt.重申t<1的零效用增益条件表明，我们必须有ut=-ρ2NYtZt。因此，零效用增益条件规定价格S遵循sdSt=ZtdBYt-ρ2nytzdt，（3.2）而做市商的问题是找到（Z，S）来解决（3.2），在给定总需求过程Y的情况下，最终条件（3.1）。（3.2）中的BSDE让人想起二次BSDE，二次BSDE已被广泛研究，并且与数学金融中出现的p问题之间的联系已得到充分证实（例如，参见[7,13,27]和其中的参考文献）。（3.2）与这些论文中考虑的BSDE的本质偏差是，Ztin（3.2）的系数为ρ2NYt，通常是无界的。

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2022-5-6 10:49:39

这使得直接将现有文献中的结果应用到（3.2）中是不可能的。然而，如果我们转向一个马尔可夫平衡，也就是说，考虑St=H（t，Yt），我们很自然地会期望，在平衡中，对于某些确定性函数，dyt=σdBYt+α（t，Yt，St，Zt）dt。（3.3）因此，如果可以达到马尔可夫平衡，它将为（3.1）-（3.3）定义的FBSDE提供马尔可夫解，其中α是内部人员选择的最佳漂移。10 U.C,ETIN和A.DANILOVAWe现在转向内部人的优化问题，当St=H（t，Yt）对于一个可接受的定价规则H.O观察到，从内部人的角度来看，对于给定内部人的策略Xt=Rtαsds，总需求过程遵循DYT=σdBt+αtdt。值函数ψ可以定义为ψ（t，y）=supX∈A（H）EvZt（V）-H（s，Ys））α-sdsYt=y.然后，形式化地应用动态规划原理得到HJB方程ψt+σψy+supα{α（ψy+V）-H） }=0。由于要最大化的项在α中是线性的，确保溶液完整性的唯一方法是设置ψy=H-五、从而得到ψt+σψy=0。然后，通过简单的计算，我们看到H必须满足一个反向热方程ht+σHy y=0，因此，它的公式将得出s应该满足σHy（t，Yt）dYt。将其与（3.2）和（3.3）相结合意味着zσ^α（t，y，s，z）=-ρ2Nyz，也就是α（t，y，s，z）=-ρσ2Nyz（3.4），只要我们注意到z=σHy（t，y）通过选择S。为了让做市商引用马尔可夫定价规则，上述形式的^α是必要的。然而，为了使这种^α出现在平衡状态，内部人士最好选择一个漂移，其fm可选投影具有这种形式。在命题3中。1，我们将证明，对于内部人来说，最优性的唯一标准是该策略满足桥接条件H（1，Y）=V。

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2022-5-6 10:49:42

因此，如果存在马尔可夫平衡，则dYt=σdBYt-σρ2NYtHy（t，Yt），（3.5）不对称信息和FORWA-WAR-BACKWAR D系统11和H求解上述反向热方程，并满足H（1，Y）=V。正如我们在第4节和第3节中所展示的，对于一些可容许的内幕交易策略，满足上述条件的一对（H，Y）存在，并且它构成了一个均衡。为了证明这种平衡是可行的，假设我们有一对（H，Y），它可以解以下方程组：Ht+σHy Y=0，（3.6）dYt=σdβt-σρ2NYtHy（t，Yt）dt，（3.7）Vd=H（1，Y），（3.8），Y=0，其中β是某个给定概率空间上的布朗运动，Y被理解为正向SDE的强解。进一步假设Y的跃迁概率具有光滑密度p。然后过滤放大理论给出（见[34]中的定理1.6]），Y解出SDEdYt=σdβt+σpyp（t，Yt；1，Y）-σρ2NYtHy（t，Yt）dt，（3.9），其中β是关于Y的自然过滤的布朗运动，最初用随机变量Yan放大，尤其是独立于Y。因此，如果V是一个随机变量，其分布与V相同，且β的凹痕小于，我们可以用H代替Y-1（1，~V）in（3.9）并获得固定的~Yt=σdβt+σpyp（t，~Yt；1，H）-1（1，V））-σρ2N~YtHy（t，~Yt）dt。现在，假设这个SDE的解在法律上是唯一的。那么，Y将具有与Y相同的定律，这特别产生了Y=H-1（1，V）并且在其自身的过滤中，dYt=σdBYt-σρ2NYtHy（t，~Yt）dt，对于某些布朗运动BY。上面的讨论清楚地表明了应该给投资者什么样的最优策略H。因为V独立于B，所以内幕人士在t时持有的风险资产的最优股数等于ztσpyp（s，Ys；1，H）-1（1，V））-σρ2NYsHy（s，Ys）ds。12 U.C,ETIN和A。

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2022-5-6 10:49:45

DANILOVAThis确保Y在其自己的过滤中遵循（3.5），H（1，Y）=为内部人员和市场制造商创造最优性条件。这些考虑意味着，平衡点的存在性问题可以归结为系统（3.6）-（3.8）的解的存在性问题，过程Y允许平滑过渡密度。尽管表面上很简单，但这个系统的解决方案的存在远不是一个历史性的问题。实际上，为了确定（3.6）中的基本偏微分方程的H v，我们首先需要知道它的边界条件。然而，如果我们知道下一个定理的存在条件，那么这一点是确定的。在本节结束时，我们将证明我们用于建立上述系统的内部人员的最优标准。提议3.1。假设H是一个满足ht+σHy=0的定价规则。（3.10）如果Xt=某些FI的Rtαsds可逐渐测量α，则∈f（R），我们有Pv（R |αs | ds<∞) = 1，电动汽车ZH（t，Xt+σBt）dt< ∞（3.11）和h（1，X+Z）=V，Pv-a.s.（3.12）然后X∈A（H），这是内部人士的最佳策略。证据我们将[2]和[41]中的论点改编为我们的案例。考虑函数ψ（t，y）：=Zyξ（t）{H（t，u）-V}du+σZtHy（s，ξ（s））ds，（3.13），其中ξ（t）是H（t，ξ（t））=V的唯一解。直接计算显示ψy（t，y）=H（t，y）-V（3.14）和ψt+σψy=0。不对称信息和FORWA-RD–BACKWAR D SYSTEMS 13因此，从（3.14）和It^o的公式可以得出ψ（1，Y）-ψ（0，0）=Z{H（t，Yt）-V}dYt（3.15）=-WX+Z{H（t，Yt）-V}σdbt对于任何X，使得Xt=Rtαsds和Pv（R |αs | ds<∞) = 1.

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2022-5-6 10:49:48

使用（3.15）和X的可容许性属性（见定义2.2），内幕人士的优化问题变成了问题∈A（H）Ev[WX]=supX∈A（H）EvZ（V）-H（t，Yt））dXt（3.16）=Ev[ψ（0,0）]- infX∈A（H）Ev[ψ（1，Y）]，（3.17），其中最后一个等式是due到（2.2）。因为ψ（1，Y）=RYξ（1）{H（1，u）-V}du是严格正的，除非Y=ξ（1）。当H（1，Y）严格增加时，只要X证明n是可容许的，就可以得出结论。考虑到（3.15），WX=ψ（0，0）+Z{H（t，Yt）-V}σdBt，因此，X的可容许性来自（3.11）。4.主要结果及其证明。在本节中，我们陈述并证明了本文的主要结果，即（3.6）-（3.8）给出的系统解的存在性。定理4.1。有一对（H，Y）解方程组（3.6）-（3.8）。此外，0<Hy（t，y）≤C√1.-t全部（t，y）∈ [0，1）×R，对于某些常数C.此外，Y是（3.7）的唯一强解，并且对于所有0≤ s≤ T≤ 1和（y，z）∈ r对于任何固定值（t，z），p（s，y；t，z）>0在[0，t）×R和isC1,2（[0，t）×R）上。我们将通过应用Schauder的定点定理来证明这个定理。注意，如果我们在完全支持的情况下，从R上的绝对连续概率测度开始，（3.8）产生一个递增函数H（1，·），它定义了一个H解（3.6）。如果我们将这个函数引入SDE，请参见第76页的最后一段[35]作为定义。14 U.C,ETIN和A.DANILOVAof（3.7），我们得出了与Y分布相关的R上的一个新概率测度。这个过程定义了从R上的概率测度空间到其自身的一个变换。

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2022-5-6 10:49:53

应用Schauder的定点定理需要在R上选择一个合适的概率测度的闭凸集D，从而使上述变换映射到自身，并满足Schauder定点定理的条件。在给出定点结果的p屋顶之前，我们收集了一些关于（3.7）解在下面的引理中的行为的有用事实。第一个引理观察到（3.7）解的时间1定律与Bσ的时间1定律之间存在显著关系。这个引理的一个直接结果是，Y定律，其中Y是给定H的（3.7）解，对R有充分的支持。这个性质允许我们使用B定律计算Yviaa-Girsanov变换定律，这是在第二个引理中实现的。引理4.1。假设H∈ C1,2（[0,1）×R）满意度0≤ Hy（t，y）≤C√1.-t全部（t，y）∈[0,1）×R和一些常数C≥0为常数，则随机微分方程Dyt=σdBt-cYtHy（t，Yt）dt（4.1）在[0，1]上有一个唯一的强解。此外，对于任何x>0，E[（Y-x） +]≥ E[（E-2cCBσ-x） +]>0，（4.2）E[(-十、-Y） +]≥ E[(-十、-E-2cCBσ）+]>0，（4.3），尤其是P（Y≤y）∈（0，1）为所有y∈R.证明。由于对于任何t<1，yHy（t，y）在[0，t]×R上是局部Lipschitz，所以上述方程在[0，t]上有一个唯一的强解，直到爆炸时间τ。由于T是任意的，这意味着[0,1]上存在唯一的连续强解∧ τ). 设τn:=inf{t∈ [0,1]：|Yt |>n}和观测τn↑τ，a.s.此外，对于任何t∈ [0,1]Yt∧τn=2Zt∧τnYsσdBs-2cZt∧τnYsHy（s，Ys）ds+σ（t∧τn）≤ 2Zt∧τnYsσdBs+σ（t∧τn）。因此，通过它^o的等距和初等不等式x≤ 1+x，E[Yt∧τn]≤ 1+σ+4σ中兴[Ys[s<τn]]ds≤ 1+σ+4σ中兴[Ys]∧τn]ds。因此，Gronwall不等式产生E[Yt]∧τn]≤ （1+σ）e4σ适用于所有t∈ [0,1]和n≥ 1.

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2022-5-6 10:49:56

因此，（Yt）∧τn）n≥1是一致可积的，因此P（τ<不对称信息和前-后D系统15t）=0和E[Yt]≤ （1+σ）e4σ适用于所有t∈ [0，1]，也就是说，Y永远不会爆炸，SDE有一个非扩张强解。为了获得估计值（4.2）和（4.3），让¨Yt=YtexpcZtHy（s，Ys）ds并观察到▽Yt=ZtexpcZsHy（右，右）博士dBsσ。因此，对于某些布朗运动W和时间变化ttt，y=wtt≤ Tt=σZtexp2cZsHy（r，Yr）博士ds≤ σexp（4cC）t。因此，根据可选抽样定理，对于任何K∈ 我们有-K） +]=E[（重量）-K） +]≥ E[（Wσ）-K） +]>0，E[（K-~Y）+]=E[（K）-WT）+]≥ E[（K）-Wσ）+]>0，这意味着（4.2）和（4.3）。引理4.2。设h是一个有界的、非减量的、绝对连续的函数，它不是常数。考虑（3.6）在终端条件H下的解H，然后| H（t，·）|≤ khk∞对于t≤ 1和0<Hy（t，·）≤C√1.-t对于t<1，其中C=qσπkhk∞. 因此，存在（4.1）的唯一强解Y，对于任何有界连续函数和T≤ 1，我们有e[g（YT）]=EQ[g（σWT）MT]，其中W是过滤概率空间上的布朗运动（~Ohm,~F，（~Ft）t∈[0,1]，Q）和（Mt）t∈[0,1]是由mt:=exp给出的严格正（~Ft），Q）-鞅-cZtWsHy（s，σWs）dWs-cZtWsHy（s，σWs）ds,（4.4）c是引理4中的常数。此外，Q-a.s.，M≤e2cC，以及ZτWsHy（s，σWs）dWs≤K（1+| Wτ|）≤K（1+W）*),（4.5）式中，τ是与自然过滤有关的任何停止时间，例如τ≤1，Q-a.s.，W*t=sups≤t | Ws |，K是依赖于σ和khk的常数∞.16 U.C,ETIN和A.DANILOVAProof。观察h（t，y）=ZRh（z）q（σ（1-t），z-y） dz，其中q（t，x）是均值为0且方差为t的正态随机变量的概率密度。然后，很明显，|H（T，y）|≤RR | h（z）| q（σ（1）- t），z-y） dz≤khk∞. 此外，当t<1时，Hy（t，y）是严格正的。

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nandehutu2022

2022-5-6 10:50:04

实际上，如上所述，我们有hy（t，y）=ZRh（z）qy（σ（1）-t），z-y） dz=ZRq（σ（1）-t），z-y） dh（z）>0。另一方面，Hy（t，y）=ZRh（z）z-yσ（1）-t） q（σ（1）-t），z-y） dz（4.6）≤ 苏普兹∈Rh（z）ZR | z- y |σ（1）-t） q（σ（1）-t），z-y） dz≤C√1.-t、其中C=kh（z）k∞qσπ。因此，外稃4。1意味着（4.1）强解的存在唯一性。接下来，我们将通过Girsanov变换构造（4.1）的弱解来刻画T<1时Y在[0，T]上的分布。为此，让我们在一些过滤概率空间上做一个布朗运动（~Ohm,~F，（~Ft）t∈[0,1]，Q）。那么M是[0，T]上的M artin gale，由[26]中的推论3.5.16得出。因此，如果我们定义Ohm,)F）通过)dP/dQ=MT，σW在[0，T]上的)P下求解（4.1）。由于（4.1）解的唯一性，对于任何连续的有界函数g，我们因此有eP[g（YT）]=EQ[g（σWT）MT]。我们接下来的目标是将上述等式推广到T=1，一旦我们证明M是富于鞅的，这将遵循支配收敛定理。直接计算导致toMT=expB（T，σWT）+cZTHy（s，σWs）-Hy（s，0）-cWsHy（s，σWs）ds,其中b（t，y）=-cσZyxHy（t，x）dx≤0（4.7）非对称信息和FORWA-RD-Backward系统，因为Hy为正。因此，对于任何t≤ T，Mt≤经验cZHy（s，σWs）ds≤e2cC（4.8）意味着eP[g（Y）]=EQ[g（σW）M]，其中M:=limT→1公吨。我们的下一个目标是证明（4.5）中的估计值，而这反过来又会使误判呈阳性。设τ为W的自然过滤的停止时间，由1决定。然后ZτWsHy（s，σWs）dWs≤ |B（τ，σWτ）|+cZτHy（s，σWs）-Hy（s，0）ds≤ |B（τ，σWτ）|+3cC，其中B（t，y）由（4.7）给出。partson B（t，y）y ields积分的一个简单应用|B（t，y）|≤2cσ| y | khk∞.

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nandehutu2022

2022-5-6 10:50:08

因此ZτWsHy（s，σWs）dWs≤K（1+| Wτ|）≤ K（1+W）*),对于一些依赖于σ和khk的K∞只有上述估计还表明，cRtWsHy（s，σWs）dws是[0,1]上的平方可积鞅，czeq[Ws（Hy（s，σWs））]ds≤ 2cK（1+EQ（W）*)) < ∞.As{ω：M（ω）=0} {ω：RWs（ω）（Hy（s，σWs（ω）））ds=∞}, 这意味着M在[0,1]上是严格正的，Q-a.s.和M=exp-cZWsHy（s，σWs）dWs-cZWsHy（s，σWs）ds.我们将在ord er中考虑的定点算法不需要下一个引理来证明系统（3.6）-（3.8）的解的存在性。另一方面，它表明（3.7）的任何解都有一个平滑的跃迁密度，这是在我们的模型中构造平衡所必需的。引理4.3。设h是一个非常数、有界、非减量、绝对连续函数，其导数在紧集上有界。考虑（3.6）的解H和终端条件H，然后（4.1）的唯一强解Y允许一个规则的跃迁密度p（s，Y；t，z）为0≤s≤ T≤1代表（y，z）∈ 此外，对于任何固定的（t，z），p（s，y；t，z）>0on[0，t）×R并且是C1,2（[0，t）×R）。18 U.C,ETIN和A.DANILOVAProof。由于引理4.2，我们有0<Hy（t，y）≤C√1.-t对于t<1和y∈ R、式中，H是（3.6）在终端条件H下的解，C=qσπkhk∞. 此外，解Y对于（3.7）和任何有界函数g和0都存在唯一性≤ t<u≤ 1，E[g（Yu）| Yt=y]=EQg（σWu）exp-cZutWsHy（s，σWs）dWs-cZtWsHy（s，σWs）dsWt=yσ.因此，Y的规则跃迁密度可以定义为asp（t，Y；u，z）=q（σ（u-t），z-y） r（t，y；u，z），0≤ t<u≤ 1，（4.9）式中（t，y；u，z）：=EQy→zt→U经验-cσZutYsHy（s，Ys）dYs（4.10）-c2σZutYsHy（s，Ys）ds,yσ是区间[t，u]上从yσ到zσ的布朗桥→zt→U

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2022-5-6 10:50:11

事实上，当我们证明ris是一个可测函数，而Chapman–Kolmogorov方程成立时，代表式（4.9）成立。事实上，正如我们在下面展示的，r对于其所有参数都是连续的，因此是可测量的（读者可以轻松地验证查普曼-科尔莫戈罗夫方程）。首先，观察It^o公式和PDE（3.6）满足H收益率[回想一下B（t，y）由（4.7）给出]、eB（t，y）-B（u，z）r（t，y；u，z）=EQy→zt→U经验库特Hy（s，Ys）-Hy（s，0）-c2σYsHy（s，Ys）ds（4.11）=exp-cZutHy（s，0）ds×EQy→zt→U经验库特Hy（s，Ys）-c2σYsHy（s，Ys）ds.此外，鉴于布朗桥的SDE表示（见[26]第5.6.B节），Qy下的Y定律→zt→与不对称信息下的Y和FORWA-RD-backward D SYSTEMS 19Q相同，其中Y:=yu-苏-t+Z-屠-t+σ（u）-s） ZstdWru-r、 s∈ [t，u]。因此，EQy→zt→U经验库特Hy（s，Ys）-c2σYsHy（s，Ys）ds= 情商经验库特Hy（s，~Ys）-c2σYsHy（s，~Ys）ds,期望的连续性来自于关于（t，Y，u，z）的∧Y的连续性，以及由于Hy上的界而应用的支配收敛定理。在order中，表明r（t，Y；u，z）>0≤ 1.必须证明这一点→zt→UZutYsHy（s，Ys）ds<∞= 1.（4.12）实际上，由于Hy的统一界，（4.11）中的条件期望中的非负随机变量仅在rutysy（s，Ys）ds中为零=∞. 为此，fix一ω，观察Kt，u:=su pt≤s≤uYssatis Fiesqy→zt→u（0<Kt，u<∞ ) = 1.因此，4Kt，uzutysy（s，Ys）ds≤ZutHy（s，Ys）ds=ZutZRh′（z）q（σ（1）-s），z-Ys）dzds≤祖特Z-1h′（z+Ys）q（σ（1）-s），z）dzds+ZutZ∞h′（z+Ys）q（σ（1）-s），z）dzds+ZutZ-1.-∞h′（z+Ys）q（σ（1）-s），z）dzds。注意，对于固定ω，Y是时间的连续函数，因此，d取紧集中的值，这意味着h′（z+Ys）是z的界∈ [-1,1]以及所有∈ [t，u]。

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2022-5-6 10:50:14

这意味着第一个积分是有限的-1q（σ（1）-s），z）dz<1。要查看第二个积分的完整性，请将部分积分应用到集合Zut中-~h（1+Ys）q（σ（1）-s），1）+Z∞~h（z+Ys）zσ（1）-s） q（σ（1）-s），z）dzds，20 U.C,ETIN和A.DANILOVAwhereh=h+khk∞. 请注意，h是正的，因此，ab-ove积分从上方以8KHK为界∞Zutq（σ（1）-s），1）ds<∞.第三个积分可以用同样的方式表示为有限积分。为了证明p（t，y；u，z）∈ C1,2（[0，u）×R）对于固定（u，z），其中u<1，我们将证明它是抛物微分方程的基本解（基本解的定义见[21]第3页）。鉴于偏微分方程的基本解与扩散过程的跃迁密度之间的关系（见[26]中定义5.7.9之后的讨论），让我们考虑偏微分方程组+σuy-cyHyuy=0（4.13），在区间[0，T]上，其中T<1。一旦我们证明[9]第28页上的条件（i）-（iii）满足，则该偏微分方程的基本解的存在将遵循[9]中的定理1。条件（i）对于σ为常数的f非常满足。而且,yyHy= |Hy+yHy |和Hy（t，y）≤ C√1.-t全部（t，y）∈ [0，T]×R，我们可以得出如下结论：当y属于有界区间时，如果可以证明y在（t，y）中有界，则yyy是局部有界的。实际上，通过直接区分H，我们得到了| Hy y |≤σ(1 -（t）ZR | H（1，z）| q（σ（1）-t），z-y） dz+ZR | H（1，z）|（z）-y） σ（1）-t） q（σ（1）-t），z-y） dz≤ 2kh（z）k∞σ(1 -也就是说，Hy在[0，T]×R.T hus上一致有界，我们已经证明了条件（ii）是满足的。由于常数函数解（4.13），条件（iii）也是满足的；因此，存在一个从Γ（t，y；s，z）到（4.13）的基本解。

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2022-5-6 10:50:18

特别地，如果考虑这个偏微分方程，对于某些有界的g，其边界条件为u（T，y）=g（y），则解由u（T，y）=ZRg（z）Γ（T，y；T，z）dz给出。另一方面，由于SDE（4.1）满足了[26]中关于时间间隔[0，T]的定理5.7.6的假设，u h是该定理的以下随机表示：u（T，y）=E[g（YT）|YT=y]=ZRg（z）p（T，y；T，z）dz。因此，ZRg（z）p（t，y；t，z）dz=ZRg（z）Γ（t，y；t，z）dz，并且由于g是任意的，并且Γ和p在其参数上都是连续的，我们推导出p（t，y；t，z）=Γ（t，y；t，z）对于所有0≤t<t<1，因此，对于t<1，它是C1,2on[0，t）×R。为了证明p（t，y；1，z）对于每个z是C1,2on[0，1）×R，考虑（4.13）的边界条件u（t，y）=p（t，y；1，z）。注意，u（t，y）是有界的，因为，由于（4.11），我们有R（t，y；u，z）≤ e2cCe-B（t，y）=e2cCe（c/σ）（yH（t，y）-RyH（t，x）dx）（4.14）≤ e2cCe（ckhk）∞/σ） |y |，其中第一个不等式是由Hy（t，y）的界引起的，最后一个不等式是由引理4中得到的H（t，y）的界引起的。2.因此，存在一个独特的经典解u（t，y）to（4.13），边界条件u（t，y）=p（t，y；1，z），由u（t，y）=ZRp（t，y；t，x）p（t，x；1，z）dx通过定义有趣的解给出。然而，通过查普曼-科尔莫戈罗夫方程，ZRp（t，y；t，x）p（t，x；1，z）dx=p（t，y；1，z），（4.15），这反过来又产生了p（t，y；1，z）处的th∈ C1,2（[0，T）×R）。由于T是任意的，我们有p（T，y；1，z）∈ C1,2（[0,1）×R）。收集了所有的先决条件之后，我们现在可以证明我们的主要定理了。理论证明4。1.在引理4.2的设置中，M定义了Y和σW定律之间的等效测量变化。因此，如果我们用[see（4.10）]r（y]定义r（y）：=r（0,0；1,y）=EQMW=yσ,（4.16）22 U.C,ETIN和A。

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2022-5-6 10:50:22

DANILOVAthenE[g（Y）]=ZRg（Y）q（σ，Y）r（Y）dy，因此，Yunder P的概率密度由q（σ，Y）r（Y）给出≤ q（σ，y）e2cC。（4.17）方程组（3.6）-（3.8）的解的存在将通过应用于某个算子的固定点参数显示n，该算子将R上的一组分布函数映射到自身。Schauder的不动点定理（见[21]中的定理7.1.2）表明ifD是Banach空间的闭凸子集，T:D7→D是一个连续算子，如果空间T D是预紧的，那么它有一个固定点，也就是说，T D中的每个序列都有一个子序列收敛到Banach空间的某个元素。为了应用这个定理，我们首先需要找到可测的Banach空间，它包含一类R上的p概率分布函数，该分布函数足够大，可以包含方程组（3.6）-（3.8）的解的其中一个分量Y的分布。鉴于上述讨论，Y的分布将是连续的，实际上它将允许密度。因此，我们可以将R上有界连续函数的空间Cb（R）作为Banach空间的基础，并将P设置为R上绝对连续分布函数的空间，即P∈ 如果P在增加，P(-∞) = 0，P(∞) = 存在一个可测函数P′，使得P（y）=Ry-∞P′（z）dz。然后我们可以定义setD=P∈ P:P′（z）≤ C*q（σ，z），Z∈R、 Z∞x（y）-x） P′（y）dy≥EC*Wσ-十、+, x>0，-Z-十、-∞（y+x）P′（y）dy≥ E-十、-C*Wσ+, x>0,Where C*:= 经验ρkf（z）k∞Nrπσ.明智地选择C的原因*将在我们确定操作员T时变得明显。我们将通过四个步骤验证固定点的存在性。第一步：D是一个闭凸集。很明显，D是凸的。

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2022-5-6 10:50:25

为了证明它也是封闭的，假设Pn是D中的一个元素序列，收敛到Banach空间的某个元素P，在sup范数中。很明显，P是对称信息，前-后D系统23随着P的增加而增加(-∞) = 0和P(∞) = 1.此外，对于任何x≤ y在R中，它来自于法图引理0≤ P（y）- P（x）=limn→∞ZyxP′n（z）dz≤Zyxlim s upn→∞P′n（z）dz，因为每个P′都由同一个可积函数从上面限定，而反过来又是正函数lim supn的上界→∞P′n.然而，这意味着P是绝对连续的，尤其是存在一个函数P′，其值为0≤P′（z）≤ 林尚→∞P′n（z）≤ C*所有z的q（σ，z）∈ R.为了证明D是闭合的，我们需要证明Z∞x（y）-x） P′（y）dy≥ 情商C*Wσ-十、+x>0。由于pnp弱收敛，存在一个支持随机变量（Yn）n的概率空间≥0和Y以至于→Y，a.s.，Y有分布Pn，Y有分布P。注意，可以直接验证Zr（y-x） Pn（dy）≤ C*E[（Wσ）-x） ]表示序列（Yn）的均匀可积性-x） +。因此，Z∞x（y）-x） P（dy）=limn→∞Z∞x（y）-x） Pn（dy）≥EC*Wσ-十、+.类似的论点显示了其他的不平等。因此，D是闭合的。第2步：定义操作员T。任何P∈ D、设H:[0,1]×r7→ R是唯一的函数，它解决了以下边值问题：Ht+σHy y=0，（4.18）H（1，y）=f（Φ）-1（P（y）），其中Φ是标准正态随机变量的累积分布函数。观察h（z）：=f（Φ-1（P（z））是一个有界的递增函数。此外，其导数由f′（Φ）给出-1（P（y））（Φ-1） “（P（y））P′（y）对于所有y都有很好的定义∈ R为P（y）∈ （0,1）对于所有P∈ D和y∈ 因此，h也是绝对连续的。

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nandehutu2022

2022-5-6 10:50:29

因此，通过引理4。2，对于所有t<1,0<Hy（t，y）≤ C√1.-t、其中C=qσπkfk∞取决于P的选择。对于这个H，我们可以将一个唯一的过程Y与概率密度q（σ，Y）r（Y）联系起来，当r在（4.16）中定义时，该过程求解（4.1）c=σρ2n，Y是一个连续的随机变量。因此，我们可以确定P（y）=Zy-∞q（σ，z）r（z）dz。24 U.C,ETIN和A.DANILOVANote，T P属于D du e to（4.2）、（4.3）和（4.17）。第三步：T是预紧的。由于T D是一个等连续函数族，由Ascoli–Arzela th eorem的一个版本（见[30]中的推论III.3.3]），如果Pn是T D中的一个序列，则它允许一个子序列逐点收敛到P∈ Cb（R）。此外，在R的一个非常紧的子集上，这种收敛是一致的。这意味着T D在Ce上是预紧的。我们证明了收敛在所有R上是一致的。为此，让我们假设Pn本身是收敛子序列，并且考虑ε>0。由于D的定义，存在x*还有x*例如Pn（x）≤ C*Zx-∞q（σ，y）dy≤ C*Zx*-∞q（σ，y）dy=C*Φ（x）*) ≤ε十、≤ 十、*;1.-Pn（x）≤ C*Z∞xq（σ，y）dy≤ C*Z∞十、*q（σ，y）dy=C*Φ(-十、*) ≤ε十、≥ 十、*.由于pnp在点上收敛到P，我们也有相同的x*还有x*thatP（x）≤ε十、≤ 十、*; 1.-P（x）≤ε十、≥十、*.因为在紧致[x]上收敛是一致的*, 十、*], 存在着一种对所有人来说≥ Ksupx∈[x]*,十、*]|Pn（x）-P（x）|≤ε.因此，对于任何n≥ 我们有SUPX∈R | Pn（x）-P（x）|≤ 好的∈[x]*,十、*]|Pn（x）-P（x）|+supx∈(-∞,十、*]（Pn（x）+P（x））+supx∈[x]*,∞)(1 -Pn（x）+1- P（x））≤ ε.因此，我们认为pnp的收敛性在R上是一致的，也就是说，td在具有sup范数的Cb（R）中是预紧的。因此，Schauder的Fix ed point定理给出了T有一个固定点，前提是T是一个连续算子，我们将在下面展示。第四步：T是连续的。为此，让（Pn）n≥1.D收敛到P∈喧闹。

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