如果我们用G（·| Z，U）和G（·| Z）分别表示给定B（Z，U）的条件分布和给定Z的B的条件分布，那么l=~Bpl×Ul意味着<<G（b | Z）=pr（<<b≤ b | Z）=Pr（b≤ b×U | Z，U）=G（b×U | Z，U）；~g（b | Z）=g（b×U | Z，U）×U。为了简化符号，我们抑制了Z，除非另有说明，否则一切都应理解为以Z为条件。第一步是识别FU（·）。拍卖l = 1.L选择任意两个出价并调用它们（B1l, 地下二层l), 设F（lnb，lnb）（·，·）是（lnb，lnb）的联合特征函数。然后在标准化E[lnB]=0的情况下，Krasnokutskaya（2011）证明了我们可以使用Kotlarski（1966）来识别ln U asFln U（t）=exp的特征函数ZtF（lnb，lnb）（0，c）/ ln BF（ln B，ln B）（0，c）dc,将Fln U（·）识别为Fln U（t）的傅里叶逆。对于剩下的，我们把FU（·）当作已知的。第二步包括从ln Bp估算＠B的＠G（·）和＠G（·）l= lnBpl+ 在你l, p=1，我l, l = 1.L.自从在美国l如果未观察到，则（4）和（5）中定义的估计值不可行。然而，我们可以替换未观察到的（lnBj）- b） ρKh（ln~Bj）- b） 在（4）和（5）中，与（ln Bj）- b） ρ~Kh（ln-Bj）- b） 范和张（1993）；Delaigle、Fan和Carroll（2009年），其中Kh（b）=h-1K（b/h）和satis fiesen（ln Bj- b） ρ~Kh（ln-Bj）- b） |ln)Bjo=（ln)Bj- b） ρKh（ln~b）- b） ，ρ=0，1。Delaigle、Fan和Carroll（2009）建议使用上述方程的傅里叶变换来确定Kh（·），并表明l只影响估计值的方差。这给我们提供了B的分布和密度的估计值。尽管我们无法恢复LnBpl, 来自英国石油公司l, 我们从~G（·| Z）模拟前者l) 并测定Vιpl=ιBιpl+我l- 1克（Bιpl|Zl)~g（~Bιpl|Zl), p=1，我l, l = 1.五十、 ι=1，S、 其中S很大。

然后在第三步中，我们使用适当的经验动量条件来估计^θ：SSXι=1lxl=1Il我lXp=1m（~Vιpl, Zl; θ) ≈ 0.我们猜想估计量是一致且渐近正态的。由于第一步中估计量的收敛速度在很大程度上取决于fU的平滑度（密度越平滑，收敛速度越慢，Fan（1991年）），并且由于第1步和第2步中的误差影响^θ的协方差，因此命题2在这里不适用。^θ的渐近性质的完整表征需要仔细考虑，并留待未来研究。6结论在本文中，我们开发了一个间接程序来估计第一价格密封投标拍卖模型，以这种方式有助于对拍卖数据进行结构分析，最终结果还取决于未观察到的异质性密度的平滑度，seeDelaigle、Hall和Meister（2008）；德莱格尔、范和卡罗尔（2009）。过去的五年。按照GPV（2000），我们的程序分为两步。与GPV（2000）的不同之处在于，我们的第二步是使用GMM程序实现的，因此我们的结果模型是半参数的。我们证明了我们的半参数估计在参数点一致收敛√而GPV（2000）中的非参数估计根据比参数估计慢的极大极小理论被证明收敛于最佳可能速率。此外，我们的程序不受制于所谓的维数灾难，或者换句话说，收敛速度与生成变量的维数无关。我们建立了估计量的相合性和渐近正态性。鉴于我们程序的性质，不必显式求解平衡策略或其逆。

与直接方法相比，这是一个有价值的优势，特别是在模拟导致难以解决的一阶条件的模型时，如不对称拍卖模型。更一般地说，我们的方法扩展到使用非参数直接过程估计的模型。在这方面，我们简要地概述了如何在具有约束保留价（公布或随机）、约束私人价值模型和不对称模型的模型中实现这一点。最后，我们进行了一系列蒙特卡罗模拟。这项研究的主要目的是评估我们的估计量在有限样本中相对于GPV（2000）提出的非参数估计量的性能。我们的半参数估计在匹配真实密度方面做得很好。通过与非参数GPV（2000）估计量的比较，我们可以看出本文中的估计量不受边界效应的影响。此外，如果我们使用真实密度，使用我们的估计器会产生比使用GPV（2000）估计器更接近收入的最佳收入。自Krasnokutskaya（2011）以来，未观察到的拍卖异质性在实证拍卖中变得非常重要——忽视它可能会导致严重的误判错误。此外，众所周知，非参数估计是不可靠的，更重要的是，拍卖没有未观测到的异质性。虽然我们在本文中讨论了这个问题，但我们认为确定EMIS参数估计的渐近性和有效性是很重要的。我们希望我们的论文能为人们探索这个问题提供必要的动力和动机。附录渐近性质的证明本附录给出了我们的渐近结果（命题1和命题2）的证明。

首先，我们给出了两个重要的结果。结果：在A4下，我们有，（i）sup（b，x，i）| g（b | x，i）-g（b | x，I）|=OashR1g+hR2g+slog LLh1gh2g！（ii）辅助（b、x、I）^G（b | x，I）- G（b | x，I）= OashR+1G+rlog LLhG！关于上述结果，我们参考了读者托科罗斯特列夫和齐巴科夫（1993）。我们观察到，上述结果表明l|^Vpl- 副总裁l| = 美洲国家组织（1）。命题证明。必须证明supθ∈Θk SL（θ）-^SL（θ）k=oas（1）。根据三角形不等式，A5-（iv）它遵循SUPθ∈ΘkSL（θ）-^SL（θ）k=supθ∈ΘLLXl=1Il我lXp=1m（Vp）l, Zl; θ) -LLXl=1Il我lXp=1m（^Vp）l, Zl; θ)= supθ∈ΘLLXl=1Il我lXp=1[m（Vpl, Zl; θ) - m（^Vp）l, Zl; θ)]≤LLXl=1Il我lXp=1supθ∈Θm（副总裁）l, Zl; θ) - m（^Vp）l, Zl; θ)≤LLXl=1Il我lXp=1K（Z）l)|^Vpl- 副总裁l|= {E[K（Z）]+oas（1）}l|^Vpl- 副总裁l|= oas（1）（A.1）中，我们使用^Vpl是Vp的一致估计量l, i、 e.我们使用本附录开头所述的两个结果。因此，预期结果如下。建议2屋顶。回想一下，^θ是可行估计，而^θ是不可行估计。我们想展示：√L（^θ）- θ) =√L（°θ）- θ) -L（L）- 1） L√LLX{l:我l=一} IIXp=1（XII（I- 1） N（Yp）l, 一） f-1m（Xl, 一） g（Ypl, 一） +E“十二（一）-1） N（Yp）l, 一） f-1m（Xl, 一） g（Ypl, 一） #）+作品（1）=-√LLX{l:我l=一} IIXp=1（（CT）OhmC）-1COhmm（副总裁）l, 十、l, 我θ） +2升（升）- 1） LXII（I）- 1） N（Yp）l, 一） f-1m（Xl, 一） g（Ypl, （一）-E“十二（一）- 1） N（Yp）l, 一） f-1m（Xl, 一） g（Ypl, 一） #）+op（1），其中C=E[m（V，X，I；θ）/θ] ，Ypl≡ （英国石油公司）l, 十、l), Ohm 是p.d加权矩阵和n（Ypl, 一） =[m（Vp）l, 十、l, 我θ） /g（Bp）l|十、l, 一） ]G（血压l|十、l, 一） 。第二个等式中{}内的项是影响函数。一旦我们将其表示为符号线性表示，结果就遵循中心极限定理。对于分别表征^θ和^θ的foc，我们有QLθ(~θ) =STLθ(~θ)OhmSL（θ）=0（A.2）^QLθ(^θ) =^STLθ(^θ)Ohm^SL（^θ）=0。（A.3）这背后的想法是以下观察结果。

假设泰勒展开后：(√n（^θ）- θ) =√nPni=1ψ（zi）+op（1）E（ψ（z））=0，var（ψ（z））<∞其中ψ（·）是影响函数，则渐近方差为V=var（ψ（z））。另一种方法是followNewey（1994）和使用路径导数方法。我们可以使用围绕θ的泰勒展开式来获得SL（＠θ）=SL（θ）+SLθT（θ）（θθ）- θ） （A.4）^SL（^θ）=^SL（θ）+^SLθT（θ）*)(^θ - θ） ，（A.5）式中θ和θ*分别是介于θ和θ之间的向量，以及θ和θ之间的向量。因此，在（A.2）中使用（A.4）我们得到STLθ(~θ)OhmSL（θ）+SLθT（θ）（θθ）- θ)=STLθ(~θ)OhmSL（θ）+STLθ(~θ)OhmSLθT（θ）（θθ）- θ) = 0.因此，我们有√L（°θ）- θ) = -STLθ(~θ)OhmSLθT（θ）-1.STLθ(~θ)Ohm√LSL（θ）=-~A-1~B√LSL（θ）。（**）在（A.3）中同样使用（A.5）收益率√L（^θ）- θ) = -\"^STLθ(^θ)Ohm^SLθT（θ）*)#-1.^STLθ(^θ)Ohm√L^SL（θ）=-^A-1^B√L^SL（θ）。接下来，我们展示：（i）~B-^B=oas（1）（步骤1）；（ii）A-^A=OA（1），与A6-（iii）一起表示A-1.-^A-1=oas（1）（步骤2）；最后（iii）√L[SL（θ）-^SL（θ）=Op（1）（步骤3）。步骤1我们证明-^B=oas（1）。术语B-^B可以写成^B-^B=STLθ(~θ)Ohm -^STLθ(^θ)Ohm =STLθ(~θ) -^STLθ(^θ)!Ohm=LLXl=1Il我lXp=1mT（副总裁）l, Zl,~θ) - mT（^Vp）l, Zl;^θ)!Ohm.必须证明括号内术语的规范是oas（1），因为Ohm 是一个积极的细节矩阵。娜梅莉LLXl=1Il我lXp=1mT（Vpl, Zl,~θ) -mT（^Vp）l, Zl;^θ))=LLXl=1Il我lXp=1h（mT（Vp）l, Zl,~θ) -mT（^Vp）l, Zl;§θ）+mT（^Vpl, Zl;~θ) -mT（^Vp）l, Zl;^θ）i≤LLXl=1Il我lXp=1h（mT（Vp）l, Zl;~θ) -mT（^Vp）l, Zl;θ）i+LLXl=1Il我lXp=1mT（^Vp）l, Zl;~θ) -mT（^Vp）l, Zl;^θ))= C+D，（A.6），其中最后一行来自三角形不等式。

（A.6）isC中的术语C=LLXl=1Il我lXp=1h（mT（Vp）l, Zl;~θ) -mT（^Vp）l, Zl;θ）i≤LLXl=1Il我lXp=1hmT（副总裁）l, Zl;~θ) -mT（^Vp）l, Zl;~θ）i≤LLXl=1Il我lXp=1K（Z）l)|副总裁l-^Vpl| ≤ {E[K（Z）]+oas（1）}l|^Vpl- 副总裁l| = oas（1），其中我们使用假设A6-（i）和^Vpl一致性——这些结果在本应用程序e ndix的开头说明。我们现在考虑（A.6）中的术语D:D=LLXl=1Il我lXp=1hmT（^Vp）l, Zl;~θ) -mT（^Vp）l, Zl;^θ）i≤LLXl=1Il我lXp=1mT（^Vp）l, Zl;~θ) -mT（^Vp）l, Zl;^θ)≤LLXl=1Il我lXp=1K（Z）l)k~θ-^θk={E[k（Z）]+oas（1）}×oas（1），其中我们使用了A6-（ii）以及^θ和^θ是rθ的一致估计量这一事实。2步骤2我们证明^A-^A=oas（1）。术语A-^A是^A-^A=STLθ(~θ)OhmSLθT（θ）-^STLθ(^θ)Ohm^SLθT（θ）*)!=STLθ(~θ)OhmSLθT（～θ）+oas（1）-\"^STLθ(^θ)Ohm^SLθT（^θ）+oas（1）#=STLθ(~θ)OhmSLθT（°θ）-^STLθ(^θ)Ohm^SLθT（^θ）！+美洲国家组织（1）=”STLθ(~θ) -^STLθ(^θ)!Ohm#SLθT（°θ）+^SLθT（^θ）！。（A.7）如果第二个等式来自以下等式：SLθT（θ）-SLθT（°θ）≤LLXl=1Il我lXp=1公里（Vp）l, Zl;θ) -m（副总裁）l, Zl;~θ）k≤LLXl=1Il我lXp=1K（Z）l)kθ-ηθk={E[k（Z）]+oas（1）}oas（1）=oas（1），其中我们使用A6-（ii），事实上≤θ ≤ θ和θa.s-→ θ. 同样，我们可以证明这一点^SLθT（θ）*) =^SLθT（θ）+oas（1），因为θθ≤θ*≤ θ和^θa.s-→ θ.

现在，对于（A.7）中的最后一行，我们观察到，在步骤1中，（A.7）中的第一个因子是oas（1），第二个因子可以表示为：SLθT（°θ）+^SLθT（^θ）！=LLXl=1Il我lXp=1[m（Vpl, Zl;~θ）+m（^Vp）l, Zl;^θ)]≤LLXl=1Il我lXp=1k[m（Vp）l, Zl;~θ）+m（^Vp）l, Zl;^θ）]k≤LLXl=1Il我lXp=1公里（Vp）l, Zl;~θ）k+LLXl=1Il我lXp=1km（^Vp）l, Zl;^θ）k≤LLXl=1Il我lXp=1supθ∈Θkm（Vp）l, Zl; θ） k+LLXl=1Il我lXp=1km（^Vp）l, Zl;^θ) -m（^Vp）l, Zl; θ） +m（^Vp）l, Zl; θ） k≤LLXl=1Il我lXp=1K（Vp）l, Zl) +LLXl=1Il我lXp=1km（^Vp）l, Zl;^θ) -m（^Vp）l, Zl; θ） k+LLXl=1Il我lXp=1km（^Vp）l, Zl; θ) - m（副总裁）l, Zl; θ） +m（副总裁）l, Zl; θ） k≤ {E[K（V，Z）]+oas（1）}+LLXl=1Il我lXp=1K（Z）l)k^θ- θk+LLXl=1Il我lXp=1km（^Vp）l, Zl; θ) - m（副总裁）l, Zl; θ） k+LLXl=1Il我lXp=1公里（Vp）l, Zl; θ） k≤ {E[K（V，Z）]+oas（1）}+{E[K（Z）]+oas（1）}oas（1）+LLXl=1Il我lXp=1K（Z）l)|^Vpl- 副总裁l|+LLXl=1Il我lXp=1supθ∈Θkm（Vp）l, Zl; θ） k≤ {E[K（V，Z）]+oas（1）}+{E[K（Z）]+oas（1）}oas（1）+{E[K（Z）]+oas（1）}l|^Vpl- 副总裁l|+{E[K（V，Z）]+oas（1）}=2{E[K（V，Z）]+oas（1）}∞其中，我们使用假设A6-（ii）、（iv）、（v）和本附录开头所述的两个结果。因此，（A.7）最后一行中的第二个因子收敛到一个有限的极限，由于第一个因子为（1），因此期望的结果如下。3步骤3最后一步是证明√L（SL（θ）-^SL（θ））=Op（1）。由于这一步最长，最乏味，为了便于阅读，我们将这一步进一步分为两个步骤：步骤3.1和步骤3.2，在提供正式证据之前，我们对所有涉及的步骤进行了详细描述。让B=√L[SL（θ）-^SL（θ）]=B+B。在步骤3.1中，我们显示B=Op（1）+oas（1），在步骤3.2中，我们显示B=oas（1），见等式（B-19）。

在这两个步骤中，步骤3.1更为复杂，但我们可以将证明分解为以下步骤：≤ B+B（见方程式（B-2））=B+B+B（见方程式（B-10））≤ CD+B+B(∵ C<∞, D=op（1））≤ o（1）+B+B+B（见等式（B-13）和B=op（1））≤ o（1）+op（1）+A+B+B（见方程式（B-15）和B=A+B）≤ o（1）+op（1）+A- A+B+B（见方程式（B-16），A≤ A+A和A+E美洲国家组织（1）/√五十） )≤ o（1）+op（1）+oas（1）/√L）- A+B+B(∵ A.≤ A+A和A+E美洲国家组织（1）/√五十） )≤ o（1）+op（1）+oas（1）/√L）- 美洲国家组织（1）/√五十） +B+B(∵ B=B×B）≤ o（1）+op（1）+oas（1）/√L）- 美洲国家组织（1）/√五十） +B+B+B(∵ B<∞, B=o（1）=> B=o（1））≤ o（1）+op（1）+oas（1）/√L）- 美洲国家组织（1）/√五十） +B+o（1）(∵ B=Op（1））=o（1）+Op（1）+oas（1）/√L）- 美洲国家组织（1）/√五十） +Op（1）+o（1）（见方程式（B-15））。我们将下面的证明形式化。