首次价格拍卖模型的半参数估计

2022-5-6 12:00:46

首次价格拍卖模型的半参数估计*高拉布阿拉大学Chicagoaryalg@uchicago.eduMariaFlorencia Gabrielli+科尼塞特和国家大学Cuyoflorgabrielli@gmail.comQuangVuong纽约Universityqvuong@nyu.eduJune2015年12月23日摘要我们提出了一种半参数方法来估计首次价格拍卖中的私人价值密度。具体而言，我们通过一组条件力矩限制对私有值进行建模，并使用两步程序。在第一步中，我们使用局部多项式估计器恢复伪私有值样本。在第二步中，我们使用GMM程序来估计感兴趣的参数。我们证明了所提出的半参数估计是一致的，具有渐近正态分布，并且达到了参数（“根-n”）的收敛速度。关键词：经验拍卖，半参数估计，局部多项式，GMM。JEL代码：C14，C71，D44。*我们感谢Stéphane Bonhome、Han Hong（合编）、Isabelle Perrigne和三位匿名推荐人，感谢他们富有洞察力的评论和建议，改进了论文的内容和阐述。通常情况下适用。+Krishna（2002）指出，从理论角度来看，拍卖被建模为不完全信息的博弈，其中参与者（卖方/买方和投标人）之间的对称信息是一个关键特征；McAfee和McMillan（1987）；威尔逊（1992）。从应用的角度来看，由于拍卖被广泛用于分配商品和服务，许多数据集可用于实证研究。通过假设观察到的出价是考虑中的潜在拍卖模型的均衡结果，结构化方法提供了一个分析拍卖数据的框架，其中理论模型和经验模型密切相关。

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mingdashike22

2022-5-6 12:00:49

这种方法的主要目的是恢复拍卖模型的结构元素。在过去的五年里，这一研究领域得到了长足的发展。估算模型的困难很多。首先，拍卖模型通过均衡策略导致非线性经济计量模型。第二，拍卖模型可能不会导致封闭形式的解决方案，这使得计量经济学模型的推导更加困难。第三，拍卖模型的估计需要对均衡策略进行数值计算。Perrigne和Vuong（1999）记录了这方面的一些重要工作；Paarsch和Hong（2006）；Athey和Haile（2007）；Perrigne和Vuong（2008）等。我们区分了两种估计结构拍卖模型的方法：直接法和间接法。直接法是首先发展起来的，它们依赖于参数经济计量模型。从私人价值的潜在分布的具体情况开始，直接方法的目标是估计表征这种分布的参数向量。在这类方法中，有两种主要的估算程序。第一种方法，由Paarsch（1992）提出；Donald和Paarsch（1993）是一个全参数设置，使用基于最大似然的估计程序，需要计算均衡策略。由于计算要求很高（见Donald和Paarsch，1993），在实践中只考虑非常简单的分布。

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2022-5-6 12:00:53

此外，由于投标分布的支持取决于估计的参数，因此它具有非标准的限制分布（见平野和波特，2003）。鉴于此，Donald和Paarsch（1993）开发了一种分段伪极大似然估计，需要计算均衡策略，该策略可以使用特定参数分布获得。La offont、Ossard和Vuong（1995）介绍了第二种方法，这种方法在计算上更方便。根据收入等价定理，作者提出了一种基于模拟的方法，避免了eq uilibrium策略的计算，因此允许对价值分布进行更一般的参数说明。最近，Guerre、Perrigne和Vuong（2000）（以下简称GPV（2000））开发了另一种完全非参数的间接方法。这种方法依赖于一种简单但至关重要的观察，即利用投标人优化问题的一阶条件，该值可以表示为（相应）投标的函数，以及观察到的投标的分布和密度。该函数是均衡策略的逆函数，以非参数方式识别模型。因此，与直接法相比，该方法从观测投标的分布开始，以估计未观测私人价值的分布，而无需计算贝叶斯纳什均衡策略或其逆。这自然需要两步程序。在第一步中，使用（比如）对观察到的投标的分布和密度进行核估计时，获得了伪私有值的样本。在第二步中，该伪值样本用于非参数估计其密度。尽管完全非参数（核）估计器灵活且对误判具有鲁棒性，但它几乎没有缺点。

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2022-5-6 12:00:57

它的收敛速度很慢，这使得它很难适应多维拍卖协变量（维度诅咒），并且在支持的边界处表现不佳。为了解决这些问题，我们提出了一种半参数方法，其中第一步是完全非参数的，因为我们使用Fan和Gijbels（1996）的局部多项式估计（LPE），而不是核来获得投标密度和分布，在第二步中，我们通过一组条件矩限制对私有值进行建模，并使用广义矩法（GMM）估计（有限）参数。然后我们得到了估计量的渐近性质。使用LPE的优点是，它在边界上表现良好，通过使用条件矩限制，我们可以容纳大量的协变量，这使得我们的方法对PV（2000）也很有用，它还建立了一致的一致性，并使用Ibragimov和Has’minskii（1981）提出的极小极大理论，确定了这种估计的最佳收敛速度。应用性工作。例如，见Jofre Bonet和Pesendorfer（2003年）；Rezende（2008）；李和郑（2009）；Athey、Levin和Seira（2011年）；Krasnokutskaya和Seim（2011）；Athey、Coey和Levin（2013年）；Groeger（2014）使用了类似的、全参数或半参数的、基于间接矩的程序来容纳大量协变量。然而，它们都没有为估计量提供任何渐近性质。我们通过证明我们的程序是一致的，渐近正态的，并且达到了参数收敛速度，为这篇文献做出了贡献。对于符号可处理性和相对清晰的阐述，我们主要关注具有独立私人价值和非约束保留价格的对称首价密封投标拍卖模型。

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nandehutu2022

2022-5-6 12:01:01

一旦这个简单情况的渐近性质得到描述，扩展估计程序以适应更一般的拍卖环境是乏味的，但在概念上是直截了当的——只有渐近方差会改变，而不是收敛速度。更一般地说，我们的方法扩展到使用非参数间接过程估计的模型，包括不对称投标人的拍卖。让副总统l, p=1，我l, l = 1.L表示第三方投标人对该项目的私人价值l这是一个幻化的物体。让Zl≡ （十）l, 我l) ∈ Rd+1表示外生变量的向量，它包括协变量Xl以及我看到的投标人数量l. 为了对私有值进行建模，我们假设存在一些已知且有效的s光滑函数M（·，·；θ）：Rd+2→ Rqand参数向量θ∈ 这样，q≥ 在某些真参数θ下，这些值满足以下条件动量约束集[M（V，Z；θ）| Z]=0，（1），其中期望值与值分布F（·| Z；θ，γ）有关，γ作为（可能的有限维）干扰参数。然而，这些时刻条件是不可行的，因为它们是不可观测的。但是，在平衡状态下，投标B=s（V，Z；θ，γ），其中s（·）是投标策略，它直接通过B依赖于参数向量θ，因为~ G（·| Z；θ，γ）（say），并间接通过V，因为V~ F（·Z；θ，γ）。这意味着（1）可以通过asE自然表达M[s-1（B，Z；θ，γ），Z；θ]Z= 0，这需要计算平衡策略及其逆。由于两个不同的原因，这可能需要计算。首先，必须对参数（θ，γ）的任何试验值进行此类计算。

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2022-5-6 12:01:04

第二，在更一般的拍卖模型中，例如当价值有关联或投标人对称时，均衡策略s（·，·；θ，γ）及其逆的计算更复杂且成本更高。因此，我们建议用非参数（局部多项式）估计器^V=^ξ（B，Z）（而非逆策略）替换方程（1）中的V，以使矩条件可行且可操作。因此，可行的条件矩约束成为可能M[^ξ（B，Z），Z；θ]Z≈ 0.我们提出了一个两步半参数过程：首先，我们使用LPE获得^V=^ξ（B，Z）值的非参数估计；其次，我们使用GMM程序获得θ的估计。与最广泛使用的基于Parzen-Rosenblatt核的估计器不同，LPE在接近支持边界时不会表现出不良行为（seeFan和Gijbels，1996），因此我们不必调整任何出价。这为我们的程序提供了一个显著的优势，因为否则我们将不得不削减投标，这是内生变量，这将意味着自动削减私人价值，从而影响时刻。Lavergne和Vuong（1996）在标准的计量经济学框架中，只对外生变量进行了调整；罗宾逊（1988）。我们证明了我们的估计是一致的，渐近正态的，并且在参数点一致收敛√我很喜欢。众所周知，非参数估计器的收敛速度比传统的估计慢√它们的比率与外生变量向量的维数负相关，即所谓的维数灾难。这使得这些估计器在应用中不太理想，尤其是当观测值数量有限和/或外生变量数量相对较大时。我们的估计器没有这个缺点，因为它的收敛性与外生变量的维数无关。

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mingdashike22

2022-5-6 12:01:07

我们的估计过程的第二个主要优点是，尽管我们关注的是符号度量，但半参数估计的私人价值例子却非常丰富√L比率可在纽维和麦克法登（1994）中找到；鲍威尔（1994年）。Campo、Guerre、Perrigne和Vuong（2011）给出了一个半参数估计器的例子，该估计器收敛速度慢于参数率，但不受维数诅咒的影响——其速度与d无关。在没有保留价格的拍卖中，我们的方法为（基于矩的）半参数过程提供了一个框架，该过程可用于估计更一般的拍卖，如Li和Perrigne（2003年）、对称和非对称关联值、Li、Perrigne和Vuong（2002年）的有约束力或随机保留价格的拍卖；Campo、Perrigne和Vuong（2003），只要时刻条件足够平稳（稍后定义）。这排除了基于分位数的力矩条件。在简短的扩展中，我们展示了半参数过程如何应用于这些拍卖，包括具有未观察到的异质性的拍卖。显而易见，允许这些特征将影响渐近方差，但不会影响收敛速度，除非拍卖具有未观察到的异质性。这是因为为了适应未观察到的异质性，我们需要一个三步半参数过程——新的步骤是使用经验特征函数估计未观察到的异质性的密度。因此，我们是否能够实现这一目标尚不清楚√L一致性，但对这种半参数估计的渐近性质的适当分析超出了本文的范围，留待将来研究。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了理论模型，从中导出了s结构计量经济模型和我们的半参数估计。

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2022-5-6 12:01:11

第四节建立了估计量的渐近性质，第四节给出了一些蒙特卡罗实验来说明我们过程的性质。第5节提出了一些张力，我们在第6节中得出结论。附录收集了我们结果的证据。2.模型2。1对称IPV模型我们提出了结构计量经济模型的基准理论模型，即具有非约束储备价格的对称IPV模型。虽然这在某种程度上限制了应用，但它允许我们以更透明的方式开发计量经济学程序。A关于在经验拍卖中使用分位数的例子，seeHaile、Hong和Shum（2003）；Marmer、Shneyerov和Xu（2013）；吉梅内斯（2014）。一件不可分割的物品被拍卖给我l风险中性的投标人被认为是事先相同的。竞标者的总数可能因拍卖而异。私人价值以V表示，我们假设每个估值Vpl, l = 1.五十、 p=1，我l, 根据F（·| Z）分布l; θ、 γ），其中θ∈ Rp是感兴趣的参数，γ是一个讨厌的参数，可以是有限维的，也可以是有限维的，甚至是一个空集。F（·|·）的支持度为[V]l,五、l], 用0≤ 五、l= V（Z）l) < 五、l= V（Z）l) < ∞. 其中，莱利和萨缪尔森（1981年）已经证明了这一点l, 我l≥ 2均衡出价Bpl在l此次拍卖由英国石油公司进行l= s（副总裁）l, Zl) = 副总裁l-F（副总裁）l|Zl; θ、 γ）我l-1ZVpl五、lF（v|Z）l; θ、 γ）我l-1dv，（2）其中s（·，·）是唯一的对称Bayes-Nash均衡策略，该策略是单调的和可微分的。设G（·| Z）l; θ, γ) ≡ G（·Z）l) 和g（·| Z）l; θ, γ) ≡ g（·Z）l) 观察到的投标文件的分布和密度l分别是thauction。根据GPV（2000），V值可以被识别为VPl= ξ（Bp）l, Zl) = 英国石油公司l+我l- 1G（Bpl|Zl)g（Bpl|Zl), p=1，我l; l = 1.L

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2022-5-6 12:01:15

（3） 2.2与GPV（2000），（3）类似的两步估计构成了我们计量经济模型的基础。与GPV（2000）的不同之处在于，将私人价值作为一组时刻条件进行建模。因此，对G（·|·）和G（·|·）的了解将引导我们建立一个GMM框架。然而，这些功能在实践中是未知的，但可以很容易地根据观察到的投标进行估计。这建议采用以下两步程序。在第一步中，我们使用非参数LPE恢复伪私有值样本。第二步与GPV（2000）的非参数第二步不同，因为我们使用（参数）GMM过程来获得θ的估计量。在介绍我们的两步估计之前，值得一提的是，我们的一些假设与GPV（2000）中的假设相似甚至完全相同。这并不奇怪，因为我们的方法学与他们的方法学密切相关。特别是，我们关注GPV（2000），并指出何时需要进行一些修改。我们的前两个假设与数据生成过程和（Vp）潜在联合分布的平滑度有关l, Zl).假设A1：（i）Zl= （十）l, 我l) ∈ Rd+1，l = 1, 2, . . . , L是独立且相同地分布为Fm（·，·）和密度Fm（·，·）。（ii）每个l, 副总裁l, p=1，我l在z上独立且相同分布l作为密度为F（·|·；θ，γ）的F（·|·；θ，γ），其中θ∈ Rp和γ可以是有限的、有限的或空的。设I为I的一组可能值l. 我们使用(*) 表示支持*, 并使用SI(*) 在有投标人时取消支持。假设A2:I是{2，3。

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nandehutu2022

2022-5-6 12:01:18

和（i）对于每个∈ 一、 Si（F）={（v，x）：x∈ [x，x]，v∈ [v（x），v（x）]}，其中x<x，（ii）表示（v，x，I）∈ S（F），F（v | x，I；θ，γ）≥ cf>0，对于（x，I）∈ S（Fm），Fm（x，I）≥ cf>0，（iii）对于每个I∈ 一、 F（·|·，I；θ，γ）和fm（·，I）允许SI（F）和SI（fm）上的R+1连续有界部分导数，R>d+1。这些假设也可以在GPV（2000）中找到，尽管A2-（iii）在我们的案例中更强。也就是说，我们要求R相对于X的维数足够大，即R>d+1，这在半参数文献中常用，s eePowell、Stock和Stoker（1989）等。接下来的两个问题是第一阶段使用的内核和带宽。假设A3：（i）核KG（·）、K1g（·）和K2g（·）具有有界超立方体支撑和两次连续有界导数。（ii）RKG（x）dx=1，RK1g（x）dx=1，RK2g（b）db=1。我们使用符号Il（带下标）l) 表示有我l-许多竞标者lthauction和I（不带下标）l) 表示竞拍者众多。例如，假设有L=3个拍卖，拍卖中有2个、3个和2个投标人l = 分别为1、2和3。在这里l ∈ {1,2,3}，I=2，I=3和I=2，simplyI=2指的是有两个竞拍者的拍卖，即拍卖1或拍卖3。（iii）KG（·）、K1g（·）和K2g（·）的顺序为（R- 1).假设A4：带宽hG、H1和H2G满足：（i）hG→ 0和lhdglog→ ∞, 就像我→ ∞,（ii）h1g→ 0，h2g→ 0和LHD1GH2GLog L→ ∞, 就像我→ ∞.为了表示的简单性和符号的可处理性，在本文的其余部分中，我们将只考虑单变量X，即d=1，但在蒙特卡罗部分，当我们考虑d=2时，除外。

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2022-5-6 12:01:23

由于我们证明了收敛速度与d（命题2）无关，所以除了渐近方差的形式外，所有的渐近结果都适用于d>0，因为当我们从d=1移动到d>1时，我们只需要调整回归子的维数、多项式的阶数和渐近方差。参见（Ruppert and Wand，1994年，第3节），了解如何指定d=2的多项式的示例。为了描述我们的两步估计器，我们首先观察到，我们的目标是使用LPE对每个函数估计比率ψ（···）＝G（···）／G（··）／G（··）／G（···）／（见等式（3））。根据GPV（2000）中的命题1，我们知道G（·|·）在其整个支撑上是R+1次连续可微的，因此G（·|·）在其整个支撑上是R次连续可微的。考虑到每个函数的光滑性，我们建议使用一个LPE（R），即度R的LPE，用于G（·|·）和一个LPE（R）-1）对于g（·|·）。为了保证第一步的一致性，可以选择la Stone（1982）的最佳带宽。然而，与GPV（2000）不同，我们不需要指定“边界带宽”，因为局部多项式方法不需要知道支撑端点的位置。因此，没有必要估计投标分布的支持边界。观察到，通过GPV（2000）中的命题1，我们也知道条件密度g（·|·）在支撑内部的一个封闭子集上是R+1次连续可微的。因此，靠近边界和支架边界的平滑度不是R+1。设Pρ（X；β）表示参数为β的X中ρ次多项式。然后对于每个I，^G（b | x）=arg minβGLX{l:我l=一} IXp=1nYGpl- PR（X）l- 十、βG）ohGKG十、l- xhG^g（b | x）=arg minβgLX{l:我l=一} IXp=1nYgpl- 公共关系-1（X）l- 十、βg）oh1gK1g十、l- xh1g,YGp在哪里l=（Bpl）≤ b）安第格普l=h2gK2g英国石油公司l-bh2g.

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2022-5-6 12:01:26

更准确地说，我们有，G（b | x，I）=hGLX{l:我l=一} IXp=1eT（XTI，R+1WG2XI，R+1）-1XR+1，l公斤十、l- xhG（英国石油公司）l≤ b） =LhGLnILX{l:我l=一} IXp=1eTXTI，R+1WGxXI，R+1nI！-1XR+1，l公斤十、l- xhG（英国石油公司）l≤ b） )；（4） ^g（b | x，I）=h1gh2gLX{l:我l=一} IXp=1eT（XTI，RWG2XI，R）-1XR，lK1g十、l- xh1gK2g英国石油公司l- bh2g=Lh1gh2gLnILX{l:我l=一} IXp=1eTXTI，RWgxXI，RnI！-1XR，lK1g十、l- xh1gK2g英国石油公司l- bh2g,（5）去哪里∈ {R，R+1}，eis是Rι中的单位向量，第一个条目中包含一个1，nI=ILI，LI=#{l : 我l= 一} ，Xι，l= [1（X）l- x）。（十）l- x） ι-1] Tis aι×1向量，XI，ι=1（X）- x）。（十）- x） ι-1.1（XnI- x）。（XnI）- x） ι-1.第一行和第二行的回归系数的nI×ι矩阵是否相同，其他行是否相似，WGx=diaghGKG十、l- xhG; Wgx=诊断h1gK1g十、l- xh1g,其中，KG（·）、K1g（·）和K2g（·）是一些有界支撑的核，hG、h1g、H2G是一些带宽（见假设A3和A4）。给定（4）和（5），（伪）私有值是givenby^Vpl= 英国石油公司l+我l- 1^ψ（Bp）l|Zl). （6）与GPV（2000）不同，^ψ不受所谓的边界效应的影响，这是核估计中遇到的一个典型问题，因此我们不需要剔除与（Bp）联合分布的支持边界“太接近”的观测值l, Zl). 我们估算程序的第二步如下。我们建议在以下条件矩限制中使用伪私有值样本，即M（^V，Z；θ）Z≈ 对于某些已知函数M（·，·；θ）：R→ Rqandθ∈ RPQ≥ p、例如，我们可以使用e[ln（Vpl) | Zl] = θ′0,1Zl. （7） V ar[ln（Vpl) | Zl] = [exp（θ′0,2Zl)]. （8）正如inKrasnokutskaya和Seim（2011年）所说的那样；巴贾里、霍顿和塔代利斯（2014年）。这组条件力矩限制转化为以下一组非条件力矩限制，Em（^V，Z；θ）≈ 0，（9）式中m（·，·；θ）：R→ RQI是已知的。

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能者818

2022-5-6 12:01:29

鉴于（9），我们建议通过θ来估计θ，其中θ=arg minθ∈Θ^STL（θ）Ohm^SL（θ），（10）式中^SL（θ）=1/LPLl=11/Il圆周率lp=1m（^Vp）l, Zl; θ）及Ohm 是q阶的正定义矩阵。理想情况下，我们希望指定以下一组条件力矩限制E[M（V，Z；θ）|Z]=0，这将导致无条件力矩限制E[M（V，Z；θ）]=0。因此，ifSL（θ）=1/LPLl=11/Il圆周率lp=1m（Vpl, Zl; θ）不可行估计器θ是这样的，即θ=arg minθ∈ΘSTL（θ）OhmSL（θ）。备注：可行估计量^θ和不可行估计量^θ的渐近分布密切相关，但不相同，见命题2。3渐近性质在这一节中，我们证明了θ的两步半参数估计^θ是一致的和渐近正态分布的。此外，我们还证明，如果在第一步中选择适当的带宽来估计G（·|·）和G（·|·），我们的估计器可以达到参数一致的收敛速度。正如我们将在下文中讨论的那样，鉴于byStone（1982），不能选择最佳带宽，即一步带宽，相反，我们的选择意味着在实践中，任何人都需要欠平滑。我们还讨论了我们的结果所依据的假设。3.1一致性你的第一个结果表明，θ是θ的（强）一致估计量。此外，即使在第一步中使用最佳带宽估计G（·|·）和G（·|·），也会出现这种情况，即Stone（1982）提出的带宽。为了看到这一点，我们注意到“最佳一步”带宽满足我们上面的假设A4（d=1），因为它们的形式为hG=λG日志LL1/（2R+3）；h1g=λ1g日志LL1/（2R+1）；h2g=λ2g日志LL1/（2R+1），其中λG、λ1g和λ2g是严格的正常数。

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2022-5-6 12:01:32

正如GPV（2000）所观察到的，如上所述，hG、H1和H2G是在该论文中给定命题1和A2-（iii）时估计G（·|·）和G（·|·）的最佳带宽选择。因此，A4意味着我们的一致性结果可以在第一阶段使用以最佳可能速率收敛的LPE时建立。假设A5：（i）参数s paceΘ Rpis紧且θ在Θ的内部，（ii）识别假设：E[m（V，Z；θ）]=0当且仅当θ=θ，（iii）supθ∈ΘLLXl=1Il我lXp=1公里（Vp）l, Zl; θ） k- ekm（V，Z；θ）k= oas（1），（iv）m（V，Z；θ）是V–t中的Lipschitz，这里存在一个可测函数K（Z），E[K]<∞ 以至于五、 V′∈ [V，V]，θ ∈ Θ,m（V，Z；θ）- m（V′，Z；θ）≤ K（Z）五、-V′.设mk（·，·）是m（·，·）对其k电荷的偏导数。假设A6：（i）m（V，Z；θ）是V中的Lipschitz：存在一个可测函数K（Z），E[K]<∞, 以至于五、 V′∈ [V，V]，θ ∈ Θ,m（V，Z；θ）- m（V′，Z；θ）≤ K（Z）|V- V′|。（ii）m（V，Z；θ）是θ中的Lipschitz：存在一个可测函数K（Z），E[K]<∞ 以至于θ, θ′∈ Θ，V∈ [V，V]，V，θ- m（V，Z；θ′）≤ K（Z）θ - θ′.（iii）supθ∈ΘLLXl=1Il我lXp=1m（Vp）l, Zl; θ) -E[m（V，Z；θ）]= oas（1）和E[m′（V，Z；θ）]OhmE[m（V，Z；θ）]是非正弦的。（iv）su pθ∈920km（V，Z；θ）k≤ K（V，Z）与E[K（V，Z）]<∞,如前所述，在我们的案例中，A2-（iii）比GPV（2000）中的A2-（iii）更强。因此，他们的命题1也适用于我们的框架。（v） m（v，Z；θ）是v中的Lipschitz：存在一个可测函数K（Z），E[K]<∞ 以至于五、 V′∈ [V，V]，θ∈ Θ,m（V，Z；θ）- m（V′，Z；θ）≤ K（Z）|V- V′|。（vi）su pθ∈920km（V，Z；θ）k≤ K（V，Z）与E[K（V，Z）]<∞.（vii）E[m（V，Z；θ）]<∞, 其中，期望值与（V，Z）的联合cdf有关。假设5和6由GMM估计中使用的正则性条件暗示（seeNewey和McFadden，1994）。

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能者818

2022-5-6 12:01:36

这些规则性条件对力矩函数施加了适当的微分限制，排除了某些类型的力矩条件。例如，这些假设排除了定义分位数的矩条件。设ρτ（s）=| s |+（2τ）- 1） τ在哪里∈ (0, 1). 然后，在这种情况下，Koenker（2005）分别给出了条件和无条件力矩条件[ρ（V，Z；θ（τ））]=E[|V]- Z′θ（τ）|+（2τ）- 1） ]=0，E[Zρ（V，Z；θ（τ））]=E[Z（|V-Z′θ（τ）|+（2τ）- 1))].相应的样本力矩条件为lxl=1Il我lXp=1Zl（| Vp）l- Z′lθ(τ) | +(2τ - 1)).由于函数| s |并非处处可微，我们的方法不适用，因为我们使用泰勒级数展开。现在，我们证明了估计量是一致的。提议1。将^θ定义为（10）。然后，在A1-A5^θa.s-→ θ.证据在附录中。这是建立渐近性的第一步，但是，可以使用经验过程的结果来考虑非光滑力矩条件。通常，这些条件使分布函数F（···；·）和随机等连续性具有充分的可微性。由于矩条件的一个参数是非参数估计的，因此在我们的框架中验证随机等连续性可能很困难。我们要感谢其中一位裁判的观察。估计量的分布。此外，为了使^θ一致，无需在第一步中对分布和密度函数进行平滑处理。3.2渐近正态假设^θ是θ的（强）一致估计，在命题2中，我们在一些额外的正则性条件下建立了它的渐近分布和一致收敛速度。

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能者818

2022-5-6 12:01:41

由于最佳带宽选择需要在半参数过程中进行欠平滑，因此我们必须修改带宽选择。因此，为了使^θ达到参数一致的收敛速度，我们需要为我们的第一步指定带宽，排除最佳选择，而且这意味着对^G（·|·）和^G（·|·）进行了欠平滑的估计，如A4所示。下面是一张照片。假设A4。安：带宽hG、H1和H2G满足（i）√LhR+1G→ 0和log L√LhG→ 0，就像我→ ∞,（二）√LhR1g→ 0,√LhR2g→ 0和log L√Lh1gh2g→ 0，就像我→ ∞ ,（iii）h1g=h2g。假设H1和h2gvanish的速率相同，是为了简化证明中的符号。事实上，选择任何一对严格小于最佳带宽的带宽就足够了。提议2。将^θ定义为（10）。然后，在A1-A3，A4下。A和A5-A6，我们有√L（^θ）- θ） d-→ N（0，∑），通常遇到的另一个典型特性与外生变量的维数相关的足够大的平滑度有关，如A2-（iii）所示。对于多变量情况（d>1），这些条件变成：（i）√LhR+dG→ 0和log L√LhdG→ 0，就像我→ ∞.（二）√LhR+d-11g→ 0,√LhR2g→ 0和log L√Lhd1gh2g→ 0，就像我→ ∞.我每个人在哪里∈ 一、 ∑=Var（ψ），其中ψ=-1/IIXp=1（（CT）OhmC）-1COhmm（Vp1，X，I；θ）+2“XII（I- 1） N（Yp1，I）f-1m（X，I）g（Yp1，I）- EhXII（I）- 1） N（Yp1，I）f-1m（X，I）g（Yp1，I）I#），C=E[m（V，X，I；θ）/θ] ，Ypl≡ （英国石油公司）l, 十、l)N（Yp1，I）=[m（Vp1，X，I；θ）/g（Bp1 | X，I）]g（Bp1 | X，I）。命题2之所以重要，有几个原因。首先，它建立了我们的半参数估计有一个标准的极限分布。由于大多数经济计量测试都依赖于它，所以非正态性是基本的。第二，虽然在我们的估计过程的第一步中使用了慢估计量来恢复伪私有值，但利息参数的估计量以尽可能最好的速率收敛。

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2022-5-6 12:01:44

第三，我们的半参数估计不受维数灾难的影响。最后，命题2可用于对θ进行推理。文献中已经有一些实证论文符合我们的框架。例如，Krasnokutskaya和Seim（2011年）；Athey、Levin和Seira（2011）使用半参数或全参数过程估计拍卖模型，如果我们忽略未观察到的异质性，这两个pap都满足我们的所有假设。在本节结束时，我们对我们的程序，尤其是LPE的程序，提出了几点值得一提的观点。首先，LPE回归在计算上比标准最小二乘法更复杂，因为模型必须适用于每个观测数据点。使用“蛮力”方法，大约需要L×Il建立局部线性回归比建立“全局”线性回归需要更长的时间；seeSeifert、Brockmann、Engel和Gasser（1994年）。这不需要考虑内核计算和带宽选择中的所有计算。许多选择带宽h的方法依赖交叉验证，Fan和Gijbels（1995）；Prewitt和Lohr（2006年）。这就需要反复求解LPE最小化问题。复杂度随着d的增加而增加，因为我们需要更高次的多项式，这很难计算。因此，必须注意使用“更快”的方法来解决最小化问题。范和马伦（1994）；Hall and Wand（1996）建议使用“更新”和线性“装箱”来实现此目的。第二，在平衡状态下，正如引言中提到的，G（b | Z）≡ F（s）-1（b；θ，Z）| Z），感兴趣的参数θ通过ψ（·）的第一阶段非参数估计直接或间接地进入力矩条件。

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2022-5-6 12:01:47

这使得我们的估计程序不同于广泛研究的半参数方法，例如Chamberlain（1992），其中感兴趣的参数不进入讨厌的（非参数）第一阶段估计，因此我们失去了一些效率。如果第一步也是参数化的，那么对于候选θ，将计算干扰函数，然后在最小化步骤中，θ将两次输入力矩条件。然而，对于非参数的第一步，我们不必确定θ，而是以更高的方差或更低的效率为代价。但确定效率的确切损失需要我们确定非常规情况下的半参数效率，这被认为是一个难题，Ibragimov和Has\'minskii（1981）；纽伊（1990）；张伯伦（1992）；Bickel、Klaassen、Ritov和Wellner（1993），这超出了本文的范围。4.蒙特卡罗实验，我们想通过两组蒙特卡罗实验来观察我们提出的估计器的性能。在第一组中，我们考虑一维拍卖特征，即d=1，在第二组中，我们考虑d=2。在这两种情况下，我们确定了投标人数量Il= 共5人l = 1.五十、当d=1时，L=200，但当d=2时，我们让L为200，100或50。我们使用两个标准来评估估计器的性能。第一种是可视化方法，我们使用我们的程序呈现估计的密度，为了便于比较，我们还使用GPV（2000）方法呈现真实密度和估计的密度。第二种方法是比较卖方的最佳事前预期收入。

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2022-5-6 12:01:50

为了计算所有这些方法，现在可以很容易地使用统计编程语言（如R）实现。我们要感谢其中一位评审。收入我们首先使用插件法选择最优保留价，r=1-^F（r）^F（r），Myerson（1981），然后计算相应的（最大化的）预期收入Krishna（2002）∏（r）=Ir（1）-^F（r））I-1+Zvr（1-^F（t））t（I- 1） ^F（t））（I-2） ^f（t）dt. （11）与图表一样，我们计算了与半参数估计、GPV（2000）估计和真实密度相对应的收入。由于估计价值密度的最终目标是选择最佳拍卖，比较不同估值器的收入是判断估值器性能的一种好方法——收入越接近真实值，估值就越好。我们展示了所有这些结果，同时将X计算为其中值，并发现根据这两个指标，我们的估计器表现良好。4.1一维C波~ ln（0，1）在0.055和30处截断以满足A2-（i）和V | X~ F（·| Z；θ，γ）=ln（1+X，1）在0.055和30处截断，因此θ=（1，1）和γ={}. 在估算时，我们假设R=3。根据假设A3，我们选择了三重核（35/32）（1）- u）（|u |≤ 1）对于我们第一步估计中涉及的三个核。我们根据A4选择带宽。一特别地，我们认为e hG=2.978×1.06^σx（IL）-1/6.5，h1g=2.978×1.06^σx（IL）-1/4.5，h2g=2.978×1.06^σb（IL）-1/4.5，其中^σ带^σx分别是观测投标和对象异质性的估计标准偏差。系数2.978×1.06源自所谓的经验法则（见H"ardle，1991）。

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2022-5-6 12:01:53

之所以使用I，是因为每次拍卖都有I个投标人。为了复制GPV（2000）es激励器，我们根据最佳速率选择带宽。因此，带宽的顺序是L-1/9用于HGX和第二步带宽HX和L-1/10用于HGX频段，第二步带宽为HF和hfx。具体而言，我们使用hG=1.06^σx（IL）-1/9，hgx=1.06^σx（IL）-1/10，hgb=1.06^σb（IL）-1/10其中^σ带^σx如上文所定义。第二步带宽为hfv=1.06^σ^v（nt）-1/10，hfx=1.06^σx（nt）-1/10和hx=1.06^σx（L）-1/9，其中是修剪后剩余的观察数。所有带宽见表1。对于GPV（2000），我们还需要计算boun-dary带宽。符号常量比率pPEHG2。978×1.06×σx（IL）-1/6.5h1g2。978×1.06×^σx（IL）1/4.5h2g2。978×1.06×σb（IL）-1/4.5GPV 1/1。06×σx（IL）-1/9hgb1。06×σb（IL）-1/10hgx1。06×σx（IL）-1/10GPV第二Stefff^v1。06×σ^vn-1/10thfx1。06×σxn-1/10thx1。06×^σxL-1/9边界hδλδ>0 n-1/2表1：d=1时的带宽。我们使用1000个复制进行估计，其中在每个复制中，我们：（i）使用截断正态分布随机生成私有值；（ii）计算相应的投标Bpl使用（2）；（iii）使用（4）和（5）估算分布和密度函数；（iii）确定伪私有值^Vpl对应于Bpl; （iv）使用此伪私有值样本，使用样本矩条件Illx获得^θl=1IXp=1θlnf（^Vp）l|一、 X；θ) = 0. （12）现在，我们快速验证该数据生成过程是否满足假设A1–A6。由于我们设计实验的方式，立即验证假设A1-A4是否满足。在我们的估计中，我们将限制我们从紧集中查找参数的注意力，因为对数似然是凹的，并且满足假设A5（i）-（iii）。

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2022-5-6 12:01:57

虽然我们没有给出推导过程，但我们可以使用中值定理来限制动量条件相对于V的斜率。该斜率最高，但在V=0.055时有界，满足5（iv）。尽管繁琐，我们仍然可以使用中值定理来验证A6（i）、（ii）和（v）。同样，A6（iii）的第一部分遵循正则条件和大数定律，第二部分和A6的其余部分通过设计得到满足。我们介绍了我们的估计器（lab eled SP）以及GPV（2000）估计密度和true0 5 10 15 20 25 3000.020.040.060.080.10.12伪私有价值概率密度函数TRUEGPVSPFigure 1：估值密度。TRUE指的是真实密度，而SP和GPV分别指的是半参数和GPV（2000）估计量。垂直线对应于仅GPV估计器所需的试验。密度，均在图1中的中值X处进行评估。很明显，我们的估计器非常接近真实密度，这表明它的性能相当好。接下来，我们用v=30计算（11）中的预期收益。实际预期收入为∏T rue=5.9，使用我们的估计得出的收入为∏SP=5.8，而使用GPV得出的收入为∏GP V=4.6，这意味着我们的估计更接近真实值。4.2二维C子房网X=（X，X）T~ 日志N,1 0.80.8 1, 和V | X~ 对数N（uv（X），σv（X）），两者均位于0.055和30。与之前一样，我们在所有拍卖中确定I=5名投标人，但考虑（uv（x），σv（x））的三种不同规格：（I）（1+x/x，1）；（ii）（1+X+X，1）；和（iii）（1+X/X，exp（0.01（X+X）））。

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2022-5-6 12:02:00

为了比较估计器的性能，我们使用了L=200、100、50拍卖的模拟数据。根据假设A3，我们选择了三重核（35/32）（1）的乘积-符号恒定速率LPEHGJ2。978×1.06×σxj（IL）-1/8.5h1gj2。978×1.06×^σxj（IL）1/9.5h2g2。978×1.06×σb（IL）-1/9.5GJ1。06×σxj（IL）-1/12hgb1。06×σb（IL）-1/13hgxj1。06×σxj（IL）-1/13GPV第二Stefff^v1。06×σ^vn-1/13thfxj1。06×σxjn-1/13thxj1。06×σxjL-1/12边界hΔλδ>0 n-1/3表2：d=2时的带宽。u）（|u |≤ 1）在我们的第一步中。像以前一样，我们根据A4选择两个带宽，每个协变量一个。与GPV估计器相比，在确保欠平滑的同时。为了复制GPV（2000）估计器，我们根据最佳速率选择带宽。因此，带宽的顺序是L-1/12用于HG和第二步带宽hxjand L-1/13对于HgxJan和第二步带宽hfvand hfxj，对于j=1,2，见表2。我们遵循与d=1完全相同的步骤来估计参数，只是现在我们有三个不同的样本大小，n=L×I∈ {250,500,1000}和三种不同的均值和方差规格，我们使用Θ=[0.055,30]×[0.001,2]。总共有9种不同的病例，因此有9种不同的密度。下面的图2显示了私人价值相对于我们的估值器（虚线）和GPV估值器（虚线）的真实密度。如图2所示，即使只有50次拍卖，我们的估计器也表现得非常好，而GPV（2000）是不可行的，因为在修剪之后，我们只剩下很少的观察结果。每种密度的估计收入如表3所示。

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2022-5-6 12:02:04

和以前一样，我们的估计器仍然表现相对较好。（u（X），σ（X））1 2罗菲特200 100 50 200 50 200 50∏t rue6。2.6.1 6.0 5.9 5.7 5.7 6.9 7.0 7.0∏SP5。5.2 4.8 5.4 5.5 5.5 6.6 6.5 6.5 6.5∏GP V4。2.3.6–4.8 2.9–4.6 4.0–表3：最佳收入：每列对应三组均值和方差，每个单元格包含（11）中定义的最佳收入，图2.5扩展中每种密度一个。在本节中，我们说明了如何将我们的程序扩展到更一般的拍卖模型。5.1约束保留价第2节中考虑的模型的第一个自然扩展是对称IPV First price拍卖模型，具有约束保留价，无论是公布的还是随机的。5.1.1公布的保留价公布的约束性保留价（r>V）构成参与制作的筛选装置。正如GPV（2000）所指出的，在这种设置中，贝叶斯纳什均衡策略仍然由（2）给出，但潜在投标人的数量I变得不可观察，并且通常与观察到的数量I不同*, 已提交投标书的实际投标人的(≥ r）。因此，除了投标人私有价值的潜在分布之外，该模型还有一个新的结构元素，即I。如GPV（2000）所示，定义均衡策略的微分方程可以写成Vp=ξ（Bp，G*, F（r），I）=Bp+I-1.G*（Bp）g*（Bp）+F（r）1-F（r）g*（英国石油公司）,对于p=1，我*G在哪里*（·）是观察到的投标的截断分布，条件是相应的私有值大于或等于r。如果可以估计i和F（r），该等式是类似于第2节的两步程序的基础。特别是l = 1.L和p=1。

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2022-5-6 12:02:07

如果英国石油公司l≥ r0l上面的方程式变成了SVPl= 英国石油公司l+我l- 1.G*（英国石油公司）l|我l, Zl, θ） g*（英国石油公司）l|我l, Zl, θ） +F（r | Z）l, θ))1 - F（r | Il, Zl, θ））g*（英国石油公司）l|我l, Zl, θ)),Z在哪里l= （r0l, 十、l) θ是未知的真参数向量。设h（·| X）l, γ）是潜在投标人数量的概率质量函数，Il, 已知一个有限参数γ。在l-在第次拍卖中，只有当a的私人估价高于服务价格时，潜在投标人p才会出价。因此，在这次拍卖会上，实际竞拍者的数量是I*l= 1/Il圆周率lp=1（Vpl≥ r0l),这是一个带参数的二项式随机变量（Il, 1.- F（r0l|十、l, θ)). 鉴于此，我们建议使用以下力矩条件进行投标，以及观察到的投标人数量[Vpl|副总裁l≥ ξ（r0）l), 十、l; γ] =XIl≥2m（I）l, r0l, 十、l; θ） h（I）l|十、l; γ），E[I]*l|我l, Zl] =xil≥2Il[1 -F（r0l|十、l; θ） ]h（I）l|十、l; γ），E[I]*2.l|我l, Zl] =xil≥2[1 -F（r0l|十、l; θ） [F（r0l|十、l; θ） +Il(1 -F（r0l|十、l; θ））]，其中矩函数m（·，·，·，·；·）可以类似于（8）中的函数。5.1.2在某些情况下，如在木材和葡萄酒拍卖中，卖方可能会决定在拍卖时不公布保留价格。因此，底价被认为是秘密的或随机的。由于投标人在提交标书时并不知道这一点，这一事实给模型带来了一种必须考虑的新的不确定性。为了在这个模型中展示我们两步程序的基本方程，我们首先需要引入额外的符号。为了使旋转尽可能简单，我们考虑了没有观察到的对象异质性的模型。这不是限制性的，因为放松这一假设意味着分布和密度函数将被它们的条件对应物所取代。让Vbe评估风险中性卖家对拍卖对象的私人价值。

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2022-5-6 12:02:11

此外，我们假设Vis根据H（·）分布，定义在与F（·）相同的支持度上，H（·）是常识。Elyakime、La Aff ont、Loisel和Vuong（1994）发现，在首次密封投标拍卖中，r=V。此外，投标人的均衡策略是一个微分方程的解，通常无法明确求解。见李和佩里恩（2003）。我们感谢匿名推荐人建议我们给出该模型的即时条件。然而，这个微分方程可以改写为f ollowsVp=ξ（Bp，H，G，I）=Bp+（I- 1)g（Bp）g（Bp）+h（Bp）h（Bp）,对于p=1，I.如Perrigne和Vuong（1999）所述，由于底价是保密的，所有潜在投标人都会提交投标书。因此，我经常被人观察。上述方程式可作为两步程序的基础，类似于第2节所述的程序。也就是说，在第一步中，观察到的投标和底价可用于非参数估计分布（·）、其密度g（·）以及分布H（·）及其密度H（·）。接下来，可以使用上述等式恢复伪私有值，以确定一组力矩条件，在第二步中预先设定感兴趣的参数θ。我们在结束这一部分时指出，由于收入等值原则，Myerson（1981）；Riley和Samuelson（1981），我们的方法也被用于研究其他标准拍卖，如第三价格拍卖，Kagel和Levin（1993），全付费拍卖。5.2对称关联私人价值（APV）模型假设私人价值之间存在独立性，这可能是有限制的，因为人们可以预期私人价值之间存在一定程度的关联或正相关。

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2022-5-6 12:02:14

因此，我们框架的另一个自然扩展是考虑对称APV模型所包含的更一般的模型类。责任意味着，如果一个投标人对拍卖对象的估价较高，那么其他投标人也可能会对拍卖对象的估价较高。La offont和Vuong（1996）在一般框架内，即在关联价值（AV）模型中研究了识别和理论限制的问题。特别是，它们表明，任何对称AV模型在观测上都等价于某些对称APV模型，因为效用函数仅与观测到的投标值不同。因此，当只有观察到的投标数据可用时，Inlaffont和Vuong（1996）的结果表明，如果我们有识别，可以考虑APV模型。我们感谢其中一位裁判的建议。这些结果可根据要求提供。我们在此简要说明，当观察到所有投标且底价不具约束力时，如何使我们的估算程序适应此类模型。设Yp=maxp′6=pVj。定义APV模型中均衡策略的微分方程可以写成如下Vp=ξ（Bp，G）≡ Bp+G0，B | B（Bp | Bp）G0，B | B（Bp | Bp），受边界条件s（V）=V的约束，其中G0，B | B（X | X）=FY |V（s-1（X）），B=s（Y）。指数“1”指任何投标人，因为投标人被认为是事先对称的。该方程也是识别结果和估计程序的基础。详情请参见Errigne和Vuong（1999）。Li、Perrigne和Vuong（2002）所示的理论限制表明，投标文件G（·）的联合分布可以通过对称APV模型合理化，当且仅当（i）G（·）是对称且有关联的，且（ii）函数ξ（·，G）在其支持下严格增加。此外，如果这两个条件都满足，那么私人价值的联合分配F（·）就被确定。

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2022-5-6 12:02:18

鉴于他们的结果，Li、Perrigne和Vuong（2002）在与GPV（2000）相同的sprite中提出了两步完全非参数过程。然而，对于有效的模型，必须对每个尺寸I（即每个给定数量的投标人）执行程序。关于估算，上述方程式建议了一个两步程序，类似于第2节中描述的针对每个I类投标人的程序。在第一步中，可以非参数地估计比率GB | B（··）／GB | B（···）／然后可以恢复伪私有值。在第二步中，可以使用GMM程序来估计给定I的初始值的潜在分布参数。众所周知，在有关联的情况下，收敛速度比独立的情况下慢；这源于Li、Perrigne和Vuong（2002）中的命题2。特别是，该提议给出了可以在我们的框架中使用的带宽的明确形式，因为这些选择满足我们的假设A4。一他们认为同质拍卖；参见inLi、Perrigne和Vuong（2002）的脚注10。5.3不对称模型假设投标人事先相同可能构成限制，在某些情况下，需要放松这一假设。然而，不对称拍卖模型导致了没有封闭形式解的微分方程系统。因此，直接方法变得极难实施。然而，使用我们的间接程序，参数可以在结构上进行估计，而无需求解平衡策略或其逆解。5.3.1不对称IPV模型根据Perrigne和Vuong（2008）的论述，我们假设所有投标人都事先知道不对称性。设F（·），FI（·）是观察到身份的I bidders的私有值分布，设G（·），G0I（·）为相应的投标分配；参见Flambard和Perrigne（2006）。

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2022-5-6 12:02:22

然后我们可以将微分方程组表示为vp=Bp+Pp′6=pg0p′（Bp）G0p′（Bp），p，p′=1，一、这自然会导致一个两步程序，与之前类似。5.3.2不对称APV模型为简单起见，我们只考虑两种类型的投标人。也就是说，该模型假设一维向量（V，…，V1I，V，…，V2I）作为F（·）共同分布，F（·）在其第一个和最后一个变量中可交换。我们可以这样解释这个结构。每个子群都是对称的，由于F（·）是有关联的，所以私有值之间存在普遍的正相关性。Perrigne和Vuong（1999）表明，特定类型均衡竞价策略的特征是以下微分方程组的解，V1p=ξ（B1p，G）≡ B1p+G0B*,B | B（B1p，B1p | B1p）G0B*1p，B | B（B1p，B1p | B1p）/（B）*, B），p=1，2，IV2p=ξ（B2p，G）≡ B2p+G0B，B*|B（B2p，B2p | B2p）G0B，B*|B（B2p，B2p | B2p）/（B，B）*), p=1，2，一、 B在哪里*t=maxp6=1，p∈ItBtp，Bt=maxp∈ItBtp，对于t=1，2。Campo、Perrigne和Vuong（2003）表明，该识别F（·，…，·），并使用非参数两步程序来估计模型。与上文类似，两步半参数程序将涉及在获得G0B的非参数估计值后，使用上述方程组恢复伪私有值*,B | B（·，···）和G0B，B*|然后通过一组动量条件估计θ的参数。AsCampo、Perrigne和Vuong（2003）已经表明，不对称APV的带宽选择与对称情况下的带宽相似，likeLi、Perrigne和Vuong（2002）。这意味着我们可以按照对称APV中相同的步骤来选择带宽。5.4未观察到的H不确定性在一些拍卖中，即使在对拍卖协变量Z进行调节后，也有可能l, 出价仍然相互关联。

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