随机奇异控制问题的凸对偶性

nandehutu2022

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Convex duality for stochastic singular control problems》
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作者：
Peter Bank and Helena Kauppila
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We develop a general theory of convex duality for certain singular control problems, taking the abstract results by Kramkov and Schachermayer (1999) for optimal expected utility from nonnegative random variables to the level of optimal expected utility from increasing, adapted controls. The main contributions are the formulation of a suitable duality framework, the identification of the problem\'s dual functional as well as the full duality for the primal and dual value functions and their optimizers. The scope of our results is illustrated by an irreversible investment problem and the Hindy-Huang-Kreps utility maximization problem for incomplete financial markets.
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中文摘要：
我们发展了一个关于某些奇异控制问题的凸对偶的一般理论，将Kramkov和Schachermayer（1999）关于非负随机变量的最优期望效用的抽象结果，转化为递增自适应控制的最优期望效用水平。主要贡献是制定了一个合适的对偶框架，确定了问题的对偶函数，以及原始和对偶值函数及其优化器的完全对偶性。不完全金融市场下的一个不可逆投资问题和Hindy Huang Kreps效用最大化问题说明了我们结果的范围。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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Convex_duality_for_stochastic_singular_control_problems.pdf
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kedemingshi

2022-5-6 12:26:11

随机奇异控制问题的凸对偶。柏林理工大学第17数学研究所。Juni 136，10623柏林，德国。Kauppila哥伦比亚大学纽约市数学系990纽约百老汇NY 1002 2018年8月28日摘要针对某些奇异控制问题，我们发展了凸对偶的一般理论，将Kramkov和Schachermayer[20]关于非负随机变量的最优预期效用的抽象结果，转化为增加、调整控制的最优预期效用水平。主要贡献是制定了可测量的对偶框架，确定了问题的对偶函数，以及原始值函数和对偶值函数及其优化器的完全对偶性。不完全金融市场的不可逆投资问题和Hindy Huang Krepusity最大化问题说明了我们结果的范围。关键词：凸对偶，奇异控制，效用最大化，不完全市场，不可逆投资。JEL分类：G11、G12、C61。AMS学科分类（2010）：93E20、91G80、46N10、91B08。1简介一个典型的随机最优控制问题是通过指定控制器如何影响给定系统的动力学，从而优化性能标准而形成的。在经典随机控制中，控制器直接影响控制系统动力学的系数，但对系统状态本身没有直接影响。

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大多数88

2022-5-6 12:26:14

相比之下，在奇异控制问题中，控制器可以在任何时候以完全可伸缩的方式直接改变受控系统的状态，从微小到大的跳跃。自Beneˇs等人[6]对此类奇异问题进行开创性研究以来，最常用的方法是考虑马尔可夫系统，并使用动态规划推导并求解问题的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程，该方程以自由边值问题的形式出现。或者，我们可以使用Cadenilas和Haussmann[9]首次讨论的Pontryagin的最大原理。在这两种情况下，导出的数学概念都不会立即解决问题，而只是有助于描述解决方案的一些特性。然后，一个关键的挑战是尽可能简洁地写出这个描述。显然，当我们假设控制只能在一个方向上进行时，这项任务会变得更容易。这类问题包括单调跟随者，例如Karatzas和Shreve[17]，第4.1节讨论的一些不可逆投资问题，以及第4节讨论的所谓Hindy Huang Kreps公用事业的最优投资和消费问题。2.所有这些问题都可以归结为for mU（C）=EZ的泛函U的最大化问题∞Ut（Ct）dut其中C是非负、递增、左连续自适应控制的C类，Ut（Ct）描述了在时间t获得的可预测效用≥ 0，其中可选随机测量u描述了在不同时间分配给公用设施的权重。本文的目的是发展具有上述类型目标泛函的奇异控制问题的凸对偶理论。

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大多数88

2022-5-6 12:26:17

事实上，在U和u的自然假设下，我们的第一个主要理论3。1建立了函数U的Legendre-Fenchel对偶性。为此，我们引入了非负、递减、右连续过程D类，作为对偶变量，pairingE hC，Di=EZ[0，∞)我们证明了Legendre-Fenchel变换v（D）=supC∈C{U（C）- ehc，Di}与函数lv（D）=infδ一致∈˙D（D）EZ∞Vt（δt）dut，其中˙d（d）是与d相关的一类可选过程，其中Vt表示Ut的经典Legendre-Fenchel变换。此外，我们还证明了V（D）的极小值∞ 可以用D=R形式的特定包络过程来构造∞.U′（CD）du与CD∈ 它的独特特征是ehDtFti≤ E[Dt | Ft]表示所有t≥ 0，且每当Cd增加时，“=”保持为真。因此，我们得到了u（C）的最大化子的完整刻画- E-hC，Di=EZ∞Ut（Ct）dut- 简单∞DtdCt，一种不可逆投资问题的一般形式，如第4节所述。1.用于处理约束问题，如第4节的Hindy HuangKreps最优投资和消费问题。2.我们用值函数u（x）=supC建立了抽象效用最大化问题∈C（x）U（C），其中，对于x>0，控件被约束为位于C（x）中 C这是一类凸的f可行控制，其极性关系为setsD（y） D，y>0，可以建立。这导致ValueV（y）=infD出现双重问题∈D（y）V（D）表示y>0。Kramkov和Schachermayer[20,21]的著名论文发展了类似抽象效用最大化问题的凸对偶性，其中效用是在一个时间点上获得的，在我们的设置中，这相当于在某个点T>0时选择μ作为Dirac测度。这导致了一个明显的挑战，即为我们的工作开发一个类似的凸对偶理论。

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nandehutu2022

2022-5-6 12:26:21

我们的第二个主要结果Theorem3接受了这一挑战。2.虽然我们对这一结果的证明在某种程度上遵循了克拉姆科夫和沙切迈耶[20]提出的非常有用的方案，但在这一过程中有许多新的障碍需要克服。这些是我们增加适应性控制的中心约束序列，在Kramkov和Schachermayer的设置中，对应于对非负FT可测量随机变量的相当简单的约束。这也使我们的工作与卡拉扎斯和ˇZitkovièc[18]的工作有所不同，他们认为效用是以非负速率消耗的，也就是说，没有我们单一控制集的单调约束。具体而言，第一个关键区别在于考虑中的效用函数的LegendreFenchel变换的结构：Kramkovand Schachermayer的C7→ EUT（CT）双功能仅为D7→EVT（DT），而我们的函数U的双V涉及一个极限。因此，对偶值V（D）和对偶变量D之间的联系不像[20]中那样直接，而是必须用包络过程D来描述。此外，在勒让德-芬切尔对偶中，与D共轭的过程Cd不能直接用D来写，而[20]中只需反转U′T（CDT）=DT即可。此外，对偶问题不再是严格凸的，Kramkov和Schachermayer[20]中的一些论点需要这个性质。作为补救措施，我们引入了D（y）的一个子类，它足够大，可以包含对偶问题的解，但足够小，可以确保V在这个子类上的严格凸性。这使我们能够在拉格朗日参数y上建立对偶问题某些解的连续依赖关系。

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可人4

2022-5-6 12:26:24

最后的挑战是证明原始问题的相应候选解确实适用于更大类别的所有对偶变量D（y）。在这里，我们必须求助于在我们的第一个主要结果中发展的U和V之间的一般Legendre-Fenchel二元性。最后，作为效用最大化问题的一般适定性的一个关键假设，由[20]确定的合理渐近弹性的概念必须适应，以解释在不同时间点可能非常不同的效用函数≥ 0.事实上，根据Bouchard和Pham[8]和ˇZitkovi\'c[25]等，我们确实允许时间和情景相关的效用函数和一个随机时钟，它允许我们以简单的方式将有限时间范围内的情况包括在有限时间范围内；参见第4节的结尾。2.论文的组织如下。在第2节中，我们介绍了控制类C和对偶变量D的空间，以及效用函数U及其对偶V的假设和定义。第3节介绍了我们的主要对偶结果，定理3.1和3.2。第4节通过一般的不可逆投资问题和Hindy、Huang和Kreps的最优消费问题说明了这些发现。第二节包含我们主要定理的证明。附录A给出了我们的包络过程D的构造。附录B讨论了Zitkovi\'c[26]在我们的控制类c的新背景下的凸紧性概念，并提供了一个与这个广义紧性概念兼容的极大极小定理。2控件及其性能测量我们首先描述控件集C及其双D，以及我们的目标实用程序功能U和双功能V。

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nandehutu2022

2022-5-6 12:26:27

像往常一样，韦莱特(Ohm, F，F，P）表示在一个经过过滤的概率空间中，描述了控制者对未来事件F的信念P以及他的信息流F=（Ft）t≥0，一个完整的、正确的连续过滤，其中Fis由P-null集生成。2.1控制及其对偶可预测过程C类将给出一组可想象的控制：Ohm × [0, ∞] → [0, ∞] 递减=从左开始的连续路径，从0开始。像往常一样，行使控制权会产生成本，这将由双变量来描述。一组方便的对偶变量将被证明是所有F的D类 B（[0，∞])-可测量的过程D：Ohm × [0, ∞] → [0, ∞] 以非递增右连续路径结束∞= 0.事实上，对于任何C∈ C和D∈ D我们可以定义HC，Di，Z[0，∞)DtdCt=-Z（0，∞]CtdDt，它产生配对（1）E hC，Di=EZ[0，∞)DtdCt=-EZ（0，∞]滴滴涕∈ [0, ∞].注意，要理解上述身份，并遵守以下关于C集成的约定∈ C和D∈ D:odC和dD不给间隔充电（inf{t≥ 0:Ct=∞} , ∞] 和[0，sup{t≥ 0：Dt=∞}), 分别考虑到尺寸为C0+的点质量limt，对dC进行积分↓0tat 0，与dD有关的积分假定为点质量D∞-, 极限↑∞Dtat∞;o 我们让0·∞ , 如果积分器计算有限点质量，则被积函数应为零。最后，我们注意到C和D都可以赋予两个F的度量 B（[0，∞])-可测过程A，B A分配距离（2）距离（A，B），EZ∞|h（At）- h（Bt）| dutwh是任何同胚[-∞, ∞] → [0, 1].

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kedemingshi

2022-5-6 12:26:32

关于这个距离，配对（1）的每个因子都是下半连续的；希勒马布。1.2.2公用设施及其控制装置控制装置的性能将通过其每次提供的公用设施进行测量，并与控制器的时间偏好进行加权。假设2.1。控制器的时间首选项由[0]上的可选r和OM度量值u描述，∞) 没有原子，完全支持最终确定的总质量Eu（[0，∞)) < ∞.控制器的实用程序由mappingU指定：Ohm × [0, ∞) × [0, ∞) → [0, ∞)（ω，t，c）7→ 具有以下性质的Ut（ω，c）：1。对于任意（ω，t）∈ Ohm × [0, ∞), Ut（ω，）是连续的，严格凹的，从Ut（ω，0）=0到Ut（ω，∞) , 极限↑∞Ut（ω，c）∈[0, ∞]. 此外，Ut（ω，）是连续可微且满足其纳达条件su′t（ω，0），limc↓0U′t（ω，c）=∞ U′t（ω，∞) , 极限↑∞U′t（ω，c）=0.2。对于任何c≥ 0，（ω，t）7→ Ut（ω，c）可以用ER预测∞Ut（c）dut<∞.3.U的渐近弹性一致小于1，即存在常数γ∈ （0,1）和一个可预测的过程Cγ≥ 0与ER∞Ut（Cγt）dut<∞ 对于ny（ω，t）∈ Ohm × [0, ∞) 对于所有的c>cγt（ω），我们有（3）cU′t（ω，c）Ut（ω，c）<γ<1。控件将提供形式（4）U（C），EZ的预期用途∞Ut（Ct）dut∈ [0, ∞], C∈ C请注意，在我们的设置中，与更常见的假设相反，每个时间t的效用ut（Ct）≥ 0是从累积控制率中获得的，而不是当前控制率。这将优化问题很快转化为一个奇异的随机控制问题。我们参考第4节的插图了解此类实用功能的用途和范围。备注2.2。让我们简略地评论一下我们的偏好假设。1:1.

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mingdashike22

2022-5-6 12:26:35

第一项只是要求时间和情景方面的效用函数是标准的，但要求效用在零时消失。事实上，如果∞|Ut（0）| dut<∞从那时起，我们就可以传递给U，U- U（0）不改变（4）的效用最大化问题。第二项中的可预测性要求基本上没有失去普遍性，因为我们可以对任何无n-可预测场（U（c），c）进行可预测预测预测∈ [0, ∞ ) ) 没有改变（4）。这是因为控制是可预测的，而且时间偏好是无原子的可选随机度量。3.从Kramkov和Schachermayer[20]的工作中，众所周知，为了避免不适序性最大化问题，需要渐近弹性小于1。他们的引理6.3表明，对于任何（ω，t）∈ Ohm × [0, ∞) , 对于所有λ>1和所有c>cγt（ω），条件（3）等价于（5）Ut（ω，λc）<λγUt（ω，c）。我们的结果还将允许我们处理一些停止时间τ给出的可能有限时间范围的情况；见备注4。下文1。本文的主要结果之一是（4）的泛函U的凸对偶性，它将在下面的定理3.1中建立。为此，我们需要在D上引入一个双功能V。

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何人来此

2022-5-6 12:26:39

该函数将在经典的勒让德-芬切尔变换V的U:（6）Vt（ω，d），sup0中具体化≤c<∞{Ut（ω，c）- cd}，d>0。众所周知，在假设2.1的条件下，Vt（ω，.）是严格凸的，并且是n（0，∞) 对于vt（ω，0），limd↓0Vt（ω，d）=Ut（ω，∞) 和Vt（ω，∞) , 利姆↑∞Vt（ω，d）=Ut（ω，0）=0。此外，Vt（ω，）在（0，∞) 并满足纳达条件sv′t（ω，0），limd↓0V′t（ω，d）=-∞ 和V′t（ω，∞) , 利姆↑∞V′t（ω，d）=0。渐近弹性条件（3）和（5）可以用V as（7）（1）来表示- γ)(-V′（d））d≤ γV（d）对于所有0<d<dγ和（8）V（（1- ε） d）<（1）- ε)γ1-γV（d）对于所有0<ε<1，0<d<dγ，具有相同的γ∈ （0,1）与之前一样，Dγ，U′（Cγ）；参见Kramkov和Schachermayer[20]中的引理6.3。最后，V和U也是可预测的，我们有以下共轭关系：1。除了（6），我们还有（9）Ut（ω，c）=inf0≤d<∞{Vt（ω，d）+cd}，c>0.2。（6）中的最大值在c=-V′t（ω，d）。（9）中的最大值是在d=U′t（ω，c）时获得的。事实上，第2项中的身份。和3。

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kedemingshi

2022-5-6 12:26:42

它们是等价的。现在我们可以介绍双函数（10）V（D），infδ∈˙D（D）EZ∞Vt（δt）dut∈ [0, ∞], D∈ D，带（11）˙D（D），δ ≥ 0可选：oZ∞.δdu≤oD,我们用notationoX表示任意F的可选投影B（[0，∞])-可测量过程X≥ 0.3主要结果3。1效用函数的Legendre-Fenchel对偶关于（4）a和（10）的U和V的对偶定理的陈述，我们必须为任何对偶过程D引入∈ D一种特殊的包络过程Dof形式（12）Dt=Z∞tU′（CD）Du，t≥ 0，f或一些CD∈ 几乎可以肯定的是，这一点是令人满意的≤ODT适用于任何t≥ 0，如果dCDt>0，则带“=”。在这里，我们遵循的惯例是∈ C，我们写dCt>0，这是C的一个增长点，在这个意义上，任何s>0的Ct<Cs+Tf。我们指的是伦马。附录A f第1条的存在性和唯一性，以表明此类包络过程的可区分性。请注意，这种包络过程D的路径相对于u是绝对连续的。我们选择（14）˙D，-对应密度的U′（CD），然后唯一确定，直到不可区分，因为过程CD也是如此∈ C带（12）和（13）。相反，我们可以写出CD=-V′(-˙D）通过上述U和V之间的魔法关系。现在我们可以将我们的第一个主要结果陈述如下：定理3.1。在假设下2。以下断言成立：1。（4）的泛函U和（10）的泛函V是共轭的，即（15）U（^C）=infV（D）<∞nV（D）+ED^C，任何^C∈ Cand（16）V（^D）=supU（C）<∞nU（C）- EDC，任何∈ D.2。如果确定，则精确地获得了这些D的最大值（15）∈ D带（12）和（13）的管道（接头）环境过程D由（17）给出D=-U′（^C）。

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能者818

2022-5-6 12:26:46

如果确定，则（16）中的上确界为（18）^C=-V′(-˙D）∈ CwhereD是^D的envelo-pe过程，其特征是（12）和（13）与D，^D.3.2一个抽象效用最大化问题的凸对偶让我们现在以类似于Kramkov和Schachermayer[20]提出的从终端财富中获取效用的方法来描述一个抽象效用最大化问题。为此，我们考虑C（1） C和D（1）在某种意义上说，D是相互的极性。对于任何C∈ C，我们有C∈ C（1）提供hC和Di≤ 任何D都是1∈ D（1）。2。对于任何D∈ D，我们有D∈ D（1）我提供hC，Di≤ 1对于任何C∈ C（1）。为了避免琐事，我们也假设。C（1） {1} 其中1∈ C表示带有1（ω）、0和t（ω）、1、t的控制∈ (0, ∞], ω ∈ Ohm.4.D（1）6={0}其中0∈ D是由t（ω），0，t给出的生活状态价格偏差∈ [0, ∞], ω ∈ Ohm.集合C（1）将扮演财富x=1的预算集合的角色，而D（1）可以被视为一组州价格指标D∈ D（由金融市场模型等诱发），尤其是ED=e h1，Di≤ y=1。建立了抽象效用最大化问题及其对偶letus-putC（x），xC（1）对x>0和D（y），yD（1）对y>0。很明显，对于任何x，y>0，C（x）和D（y）都继承了C（1）和D（1）的极性关系。通过这种关系，也很明显，这些集合是凸的和实心的（例如，带有C∈ C（x），任意C∈ C带▄C≤ C（x）中也含有C。此外，pairingE hC，Di的下半连续性（见引理B.1）确保了C（x）和D（y）在度量（2）中的收敛性是闭合的。最后，让我们介绍值函数（19）u（x），supC∈C（x）U（C），x>0，和（20）v（y），infD∈D（y）V（D），y>0。定理3.2。假设假设2.1成立，假设u（x）<∞ 对于somex>0。然后我们有：1。

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nandehutu2022

2022-5-6 12:26:49

（19）的值函数u和（20）的值函数v是实值的，并且在（21）u（x）=infy>0{v（y）+xy}的意义下相互共轭，对于任何x>0和（22）v（y）=supx>0{u（x）- xy}表示任何y>0。此外，u和v在（0，∞) 满足Inada条件（23）u′（0）=∞, u′(∞) = 0，v′（0）=-∞, v′(∞) = 0.此外，u和v分别是严格凹的和严格凸的，y在（21）中达到最大值，i ffx在（22）中达到最大值，这反过来相当于（24）u′（x）=y和v′（y）=-x.2。对于任何y>0的情况，都可以得到对偶问题（20）的极值。（20）的所有极小化子D都有相同的包络过程Dy∈ D（y）加上（12）和（13），以及（24）、（25）Cx=-V′(-˙Dy）∈ C（x）在原问题（19）中达到上确界。原始问题（19）中的上确界是针对任何x>0的情形获得的∈ C（x）和，对于y，由（24），（26）Dy=-U′（Cx）产生via（12）aDy∈ D（y）在对偶问题（20）中达到了最佳状态。4插图让我们来说明理论3的有用性。1和3.2展示了如何将它们应用于不可逆投资和最优消费与投资的经典问题。4.1不可逆转的投资考虑一家公司的经理，他可以在任何时间点做出决定≥ 0是否扩大productionCt的当前装机容量。假设装机容量不能以可预测的方式减少，等于假设C∈ C如第2节所述。1.假设企业生产的收入RCT是装机容量的一个增长函数，规模收益率呈下降趋势。显然，假设收入也取决于产品的价格波动，以及其他可能随机演变的市场条件，这是完全合理的。

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可人4

2022-5-6 12:26:52

因此，假设在时间t≥ 0，来自容量扩展策略C∈ 对于某些函数U，C被给出为rct（ω）=Ut（ω，Ct（ω））：Ohm × [0, ∞) × [0, ∞) → [0, ∞) 如假设2所述。1.经理以某种比率r=（rt）t贴现未来现金流≥0，带有RT|rs|ds<∞, T≥ 0，我们假设随机测度u（dt），e-RTRSDSDT有明确的预期质量Eu（0，∞) < ∞.预期的总折扣收入由EZ给出∞E-RtrsdsRCtdt=EZ∞Ut（Ct）dut=U（C），与（4）中的考虑完全相同。如果我们现在假设一次扩大一个单位生产能力的（贴现）成本由一个（D）类超鞅Z描述≥ 0带Z∞= 我们考虑了经理的优化问题：（27）最大化U（C）- 简单∞以C为准∈ C这种奇异控制问题在经济学中具有重要意义。我们参考了阿尔瓦雷斯[1]对相关文献的更广泛描述。回顾Doob Meyer分解Z=M- 将A转化为一个统一可积鞅M和一个A=0的可预测增长过程A，我们发现^D，M∞- A包含在D和satis fiesez中∞ZtdCt=EZ∞o（M）∞- At）dCt=EDC，^DE，C∈ C根据定理3.1，问题（27）的值由此由（16）的对偶函数V（^D）给出，如果它是有限的，我们得到最优电容扩张计划是^C和（18）。特别是，只要与^D相关联的包络过程D可以显式计算，就可以给出（27）的n显式解。我们参考了Chiarolla和Ferrari[10]、Ferrari[13]、Bankand Riedel[5]、Bank和Baumgarten[2]的例子。4.2 Hindy Huang Kreps效用继Merton[22]的开创性工作之后，连续时间内的最优投资和消费问题主要针对效用函数进行研究，效用函数依赖于当前的消费率。

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能者818

2022-5-6 12:26:55

Hindy、Huang和Kreps（见[16、14、15]）表明，这种建模方法未能展示跨期替代的经济可取性：在默顿的案例中，消费计划时间的轻微变化可能会导致与这些计划相关的效用发生重大变化。作为补救措施，这些作者建议考虑效用来源于满意度水平的函数，即过去消费的加权平均值，如asY＠Ct、中兴通讯-RtsβududCs，t≥ 0，其中C∈ C描述了累积消耗量和局部莱贝格可积过程β的位置≥ 0表示满意度的衰减率。然后，要最大化的效用函数是U（C），EZ∞~U（Y ~Ct）dut此处~U:[0，∞) → R是C类的严格凹增效用函数，满足Inada条件U′（0）=∞ 和U\'(∞) = 0; u与之前一样，描述了一个代理的时间偏好，例如，可以指定为u（dt）=e-δ大于0的δtdt。与往常一样，代理人可支配的一套消费计划取决于他的投资机会。

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kedemingshi

2022-5-6 12:27:00

假设没有免费午餐且风险消失的温和假设，我们从著名的Delbaen和Schachermayer的资产定价基础理论[11,12]中获得，该集合可以用（28）~C（x）形式描述=~C∈ C:EZ[0，∞)ZtdCt≤ x代表全部Z∈ Z,其中x表示可用初始资本，Z表示一组非空的局部鞅函数，即P-超鞅函数Z>0，Z=1，对于可接受投资策略的任何财富过程V，过程ZV是P-超鞅。然后，代理的优化问题是（29）最大化U（C），EZ∞~U（Y ~Ct）dut对象为~C∈~C（x）。为了将NSM转化为第3节中我们的主要结果所处理的效用最大化类型，考虑双射（30）C~C 7→ CZteRsβududCsT≥0∈ c（ω，c），~U（e）-Rtβu（ω）duc）。然后（4）的效用函数U满足（C）=U（~C）。让我们也来计算C（1），nC∈ C:~C和（30）包含在~C（1）o中，并考虑其极性（1），{D∈ D:E-hC，Di≤ 1所有C∈ C（1）}。后者不同于{0}。事实上，以任何局部鞅定义Z为例∈ 设Z=M~D是它的乘法Doob-Meyer分解，分解为局部鞅M和可预测的递减过程dw，其中D=1。设（Tn）n=1,2，。。。是一个停止时间的局部化序列，使得每个停止的超鞅ZTn（因此，每个停止的局部鞅MTn），n=1，2，属于D类。然后观察Dnt，（MTnDt）e-Rtβudu[0，Tn）（t），t≥ 0，包含在D和（31）E hC中，Dni=EZ[0，Tn）o（MTnDe-R.βudu）tdCt=EZ[0，Tn）Ztd~Ct≤ 1对于任何C∈ C（1）。因此，Dn∈ D（1）对于每个n=1，2。

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可人4

2022-5-6 12:27:04

事实上，莱廷↑ ∞ 在（31）中，我们结合（28）发现：C（1）={C∈ C:E hC，Di≤ 任何D都是1∈ D（1）}。因此，C（1）和D（1）表现出第3节开头所假设的极性关系。2.因此，对于Hindy-Huang-K r eps效用最大化问题（29），我们得到了定理3.2的凸对偶结果。这将[5]中对完全市场情况的处理推广到由一般半鞅驱动的不完全市场模型，从而也补充了Benth等人[7]对指数Levy模型的动态规划方法，该模型具有常数相对风险厌恶。特别是，本文发展了具有Hindy Huang Kreps偏好的最优消费的凸对偶性，其一般性水平类似于Kramkov和Schachermayer[20]对于终端财富的效用，以及Karatzas和_Zitkovi\'c[18]对于消费国家的效用。备注4.1。值得注意的是，我们的结果也掩盖了有限时间范围的情况，其中u对某些可能的有限停止时间T>0有支持[0，T]。实际上，在这种情况下，我们可以考虑“u（dt），u（dt）+1（T，∞)（t） e-tdt，Ut（c），1[0，T]（T）U（c）+1（T，∞)（t） U*（c），你在哪里*: [0, ∞) → R是任何满足附加条件且上界为U的确定性效用函数*(∞) < ∞. 设定的预算将由“D（1）”描述，D1[0，T）：D∈ D（1）和“C（1），C∈ C:E hC，Di≤ 所有人1个D∈\'D（1）= {C∈ C:（Ct）∧T） T≥0∈ C（1）}。然后“U”，满足假设2。1如果你做了，如果你*具有比1更大的渐近弹性。

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大多数88

2022-5-6 12:27:07

此外，\'C（1），\'D（1）按照第3节的要求彼此是极性的。2和消费计划C，\'C∈ C分别最大化EzTu（Ct）dut∞\'U（\'Ct）dut受C影响∈ C（x）分别为∈“C（x）实际上在T之前是相同的（当所有的最佳”C跳到+∞).5.主要结果的证明。1.理论证明3。定理3.1很容易从下面的引理5.2和5.3中推导出来。这些结果在很大程度上依赖于以下观察：引理5.1。假设假设2.1成立。对于D∈ D让D用（12）和（13）表示它的包络，回顾（14），考虑δD∈˙D（D）of（11）与（32）CD，-V′（δD）∈ C然后δ数据得到V（D）定义（10）的最大值，如果V（D）<∞, δDis实际上是˙D（D）中唯一的极小值，直到对aP进行修改 u-空集。证据直接从（13）开始，δD∈˙D（D）。（10）的极小值的唯一性是由于V的严格凸性。从而证明δDfor（10）的最优性。对于这一点，必须显示f=1，2，（33）EZ∞Vn（δ）du≥ 简单∞对于任何δ，Vn（δD）Du∈˙D（D）其中（34）Vn（D），sup0≤C≤n{U（c）- cd}=（U（n）- nd，0≤ D≤ U′（n），V（d），d≥ U′（n）。事实上，很容易检查到Vn≥ 0在（0，∞) 以VnV为n↑ ∞. 因此，由于tomonotone积分，δDin（10）的最优性将跟随n↑ ∞在（33）中。为了证明这个不等式，我们首先通过定义和凸性Vn，U（n）=Vn（0）来观察它≥ Vn（δD）- V′n（δD）δD。1，U（n）是P u-可积。因为Vn，δDand-V′narenonnegative，因此它也遵循（35）- V′n（δD）δD=（CD∧ n） δD∈ L（P u），其中身份是由于CD的定义（32）。同样通过Vn的凸性，我们得到了（36）Vn（δ）- Vn（δD）≥ V′n（δD）（δ- δD）=（CD∧ n） δD- （CD）∧ n） δ。为了得到（33），我们必须证明（36）的rig ht边相对于P的积分 u为非负。

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mingdashike22

2022-5-6 12:27:10

为此，请注意∞（CD）∧ n） δdu=E光盘∧ n、奥兹∞.δdu≤ E光盘∧ n、 D,其中，最后一次估计是直接从δ开始的∈˙D（D）。当重复计算δ而不是δ时，由于（13）和d（CD）∧ n） >0dCD>0.与（35）连用后，indeedEZ∞（CD）∧ n） δdu≤ 简单∞（CD）∧ n） δDdu<∞.这就完成了我们的证明。引理5.2。假设假设2.1成立。然后，夫妻关系（15）成立。此外，i f U（^C）<∞, 第（15）项中的最大值为D∈ D当且仅当（12）和（13）的包络过程实际上是D=R∞.U′（^C）du。证据证明“≤” 在（15）中，取D∈ D带V（D）<∞ 和ED^C，DE<∞. 通过外稃5。1有δD∈˙D（D）使得V（D）=ER∞V（δD）Du。塞内兹∞^CδDdu=E^C，oZ∞.δDdu≤ ED^C，DE<∞.因此，我们可以将不等式0积分≤ U（^C）≤ V（δD）+^CδD关于P u来推断指数0≤ U（^C）=EZ∞U（^C）du≤ 简单∞V（δD）Du+EZ∞^CδDdu≤ V（D）+ED^C，DEFor“≥” 在（15）中，我们可以假设U（^C）=ER∞U（^C）du<∞ 不失概括性。让^δ，U′（^C）注意，因为U在C中是凹的，U（0）=0，所以我们有（37）0≤^C^δ=^CU′（^C）≤ U（^C）∈ L（P u).此外，^D，R∞.δdu∈ D满意度（^D）≤ 简单∞V（δ）du=EZ∞C（d）uU+710∞^C^δdu<∞.我是外星生物。1现在可以得出，实际上V（^D）=ER∞V（δ）du<∞ . Wethus可以整合身份（^C）=V（^δ）-^C^δ关于P u至获得u（^C）=V（^D）- 简单∞^C^δdu=V（^d）- ED^C，^DE.这让≥” 在（15）中。前面的论点已经确定了“如果”这一部分。对于“仅当”-部分，假设D∈ D满意度U（^C）=V（D）+ED^C，DE<∞. 显然，我们有V（D）<∞ 然后因此，通过引理5。1，有δD∈˙D（D）与V（D）=ER∞V（δD）Du<∞. 此外，D的选择需要∞^CδDdu≤ ED^C，DE<∞.

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能者818

2022-5-6 12:27:14

现在，积分（38）U（^C）≤ V（δD）+^CδDwe发现（39）U（^C）≤ V（D）+E^C，oZ∞.δDdu≤ V（D）+ED^C，DE=U（^C）<∞.因此，上述所有估计都必须是平等的。由此可知，平等拥有P u-几乎在（38）中的所有地方，这意味着δD=U′（^C）P u-几乎无处不在，因此∞.U′（^C）du=或∞.δDdu≤oD。此外，（39）还产生ED^C，或∞.U′（^C）duE=ED^C，常微分方程，即系数∞.U′（^C）du=oD on nd^C>0o。通过外稃5。1、此标识∞.U′（^C）du作为d与（12）和（13）的包络过程。这就完成了我们的证明。引理5.3。假设假设2。1保持。这种联合关系（16）成立。此外，如果V（^D）<∞, （16）中的上确界是C的精确定义，C^d在引理5中定义了C^。1.证据。让我们首先应用外稃5。1获得^δ，Δ^D∈˙D（^D）与V（^D）=ER∞V（δ）du。看到这个“≥” 保持（16），取C∈ C与U（C）=ER∞U（C）du<∞. 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设V（^D）<∞ 和EDC，^DE<∞.然后不等式v（δ）中的所有项≥ U（C）- C^δ是Pu-可积。积分得到V（^D）≥ U（C）-EDC，R∞.^δduE。这意味着期望的估计值R∞.δdu≤o^D.为证明“≤” 在（16）中考虑^C，-V′（δ）∈ C其中^δ为上述选择。如果V（^D）=∞, 我们考虑Cn，^C∧ N∈ {U<∞}, n=1，2，在（16）到（Cn）-EDCn，^DE=EZ∞（U（^C）∧n）-（^C）∧n） U′（^C）∧n） du=EZ∞Vn（δ）du其中Vn如（34）所示。由于VnV，它遵循单调积分↑ ∞ 上述表达式收敛于ER∞V（δ）du≥ V（^D）我们得到“≤” 在（16）中，在第V（D）种情况下=∞.对于剩下的情况∞V（δ）du<∞, 首先让我们证明u（^C）=ER∞U（^C）du<∞. 事实上，据推测。1.U的渐近弹性一致小于one，即c>cγ时cU′（c）<γU（c），其中γ∈ [0, 1).

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何人来此

2022-5-6 12:27:17

因此，我们有（P u) V（^δ）=U（^C）-^CU′（^C）≥ (1 - γ） U（^C）≥ 0 onn^C>Cγo∞U（Cγ）du<∞, 因此，U（^C）∈ L（Pu），即U（^C）<∞.现在，回顾一下估计值（37），我们从U（^C）推断出∞ 这是一个lsoED^C，^DE=ER∞^C^δdu<∞. \"≤”-现在，根据V（^δ）=U（^C）的积分，提出索赔-^C^δ，与P对应 u. 这也建立了引理的“如果”部分。“仅当”-部分紧随其后，并且U在{U<∞} 这意味着最优化者^C.5.2定理3.2的证明的唯一性定理3.2的证明由以下引理5.4–5.9准备。引理5.4。在理论的假设下。2，我们有（40）v（y）=infδ∈˙D（y）EZ∞V（δ）du，y>0，其中（41）˙d（y），[d∈D（y）˙D（D）。此外，对于任何y>0且v（y）<∞, （40）中的最大值为δy∈˙D（y）除此之外，-V′（δy）包含在C中。最后，v在{v<∞}.证据恒等式（40）直接来自（41）和引理5.1。现在假设v（y）<∞ 考虑一个最小化序列δn∈˙D（y）代表（40）。引理A1。Delbaen和Schachermayer[11]的第1部分中，有一个序列δn，δn+1。它收敛于P u几乎所有地方都有一个可选的δy，取值为[0，∞]. 事实上，δy∈˙D（y）因为Dy，R∞.δydu∈ D（y），由Fatou的lemmaE hC持有，Dyi=EZ∞Cδydu≤ 林因弗内斯∞Cδndu=lim infnEC、 Z∞.△ndu≤ 对于任何C∈ C（x），x>0。这里的la st不等式如下，因为△n∈˙D（y）的凸性。Fatou引理的另一个应用∞V（δy）du≤ 林因弗内斯∞V（△n）du≤ 林因弗内斯∞V（δn）du=V（y）由V的凸性和（δn）n=1,2，。。。作为一个最小化序列。这证明了（40）存在一个极小值。P的唯一性 unull集源自V的严格凸性。

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nandehutu2022

2022-5-6 12:27:21

事实上，应用引理5。1对于D，Dy表明δyH是可预测的P u-如果我们需要，修改是唯一的，直到无法区分-V′（δy）∈ Cv在{v<∞} 现在是V的严格凸性和严格单调性。引理5.5。在T h eorem 3.2的假设下，（19）的初值函数u是实值函数，并且在（21）和（22）为真的意义上与（20）的对偶值函数v共轭。证据根据假设，原始值函数u在某个点X>0时是有限的。它的凹度表示它是有限的，因此在allof（0，∞). 因此，根据经典对偶结果（参见，例如，Rockafellar[23]中的定理12.2），（21）来自（22）。首先，让我们争论一下“≥” 持有（22）。以C为例∈ C（x）和D∈D（y）。然后E-hC，Di≤ 根据定理3.1的方程式（15）：U（C）- xy≤ V（D）+E hC，Di- xy≤ V（D）。在C上取上确界∈ C（x）a和D上的最小值∈ D（y）在这个关系中产生“≥” 在第22页。也要得到这个“≤” 在（22）中，我们将使用附录中的极小极大定理B.3和oA，Cn，{C∈ C:C∞≤ n} n在哪里∈ {1, 2, . . .}, 具有有界tot变量的左连续过程空间的一个凸紧子集，其度量距离为（2）；见引理B.2.oB，D（y），它可以看作是右连续过程空间的一个凸闭子集，P-可积到总变分，关于（2）的距离有收敛性，因为ED=E h1，Di≤ 假设D（y）=yD（1）；和oH（C，D），U（C）- E hC，Di，在D中是凸的（甚至是线性的）∈ B=D（y）和C中的凹上半连续∈ A=Cn，因为关于度量距离，U在Cnby支配收敛上是连续的，而eh，Di由于LemmaB是下半连续的。1.因此我们得到，对于n=1，2。

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能者818

2022-5-6 12:27:25

，supC∈CninfD∈D（y）{U（C）- E hC，Di}=infD∈D（y）supC∈Cn{U（C）- 接下来让我们证明，作为n↑ ∞, （42）的左侧收敛到0≤x<∞{u（x）- xy}。显然，对于π（C），supD∈D（1）E hC，Di（42）左侧的极限可以写为∈C边界FD∈D（y）{U（C）- π（C）y}=sup0≤x<∞supC∈C（x）有界{U（C）- xy}=sup0≤x<∞{u（x）- xy}其中最后一个恒等式成立，因为通过单调收敛U（C）=limnU（C∧ n），C∈ 因此，任何C的效用都可以用有界控制的效用来近似。现在，只要我们证明了，现在引理的证明就完成了↑ ∞, （42）的右边趋向于一个不小于v（y）的极限。为此，我们首先观察到（43）supC∈Cn{U（C）- ehc，Di}=EZ∞越南(-˙D）Du对于任何D∈ D（y），其中vn由（34）给出。的确，因为≥oD，我们有（C）- E hC，Di≤ U（C）- EDC，DE=EZ∞U（C）- C(-˙D）Du，其中C∈ la st被积函数不大于Vn(-˙D）。这证明了“≤” 第43页。为了“≥” 我们只需要观察C，-维恩(-˙D）=-V′(-˙D）∧ N∈ CNC将给出上述两个估计值的相等值。由于（43），我们可以采取行动∈ D（y）带0≤ δn，-˙这样∞Vn（δn）du收敛到（42）右侧的极限为n↑ ∞.根据[11]中的引理A1.1，有∑δn∈ conv{δn，δn+1，…}，n=1，2，哪个收敛于P u-几乎所有地方都有δ*≥ 因为所有的δn都包含在˙D（y）中，所以，通过这个集合的凸性，所有的˙δn都包含在˙D（y）中。事实上，δ*∈˙D（y）因为D*,R∞.δ*du∈ D（y）由Fatou的lemmaE hC，D*i=EZ∞Cδ*du≤ 林因弗内斯∞Cδndu=lim infnEC、奥兹∞.△ndu≤ 对于任何C∈ C（x）。因此，对于N=1，2，…：林宁夫∈D（y）supC∈Cn{U（C）- E hC，Di}=limnEZ∞Vn（δn）du≥ 林因弗内斯∞VN（δn）du≥ 林因弗内斯∞VN（△n）du≥ 简单∞VN（δ）*) du-→N↑∞简单∞V（δ）*) du≥ v（y）式中，第一次估计和收敛遵循Vn≥ VNV forn≥ N↑ ∞.

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nandehutu2022

2022-5-6 12:27:31

第二个估计是由于Vnt的凸性，第三个估计是由于Fatou引理。最后一次估算是从Emmal 5开始的。1和δ*∈˙D（y）。引理5.6。在Th eorem 3.2的假设下，（20）的v是重新估值的，严格凸的，并且在（0，∞). 此外，（19）的u在（0，∞) 和你在一起(∞) = 0.证明。让我们首先展示一下，即使是（44）limx↑∞u（x）/x=0。事实上，因为u通过引理5取实值。5，对于ε>0和x>0，我们可以找到一个Cx，ε∈ C（x）使得u（x）≤ U（Cx，ε）+ε。然后，通过渐近弹性条件（3）的等价公式（5），U（Cx，ε）≤ {Cx，ε上的xγU（Cx，ε/x）≥ Cγ}。关于P的积分 u我们由此获得u（x）≤ xγEZ∞U（Cx，ε/x）du+EZ∞U（Cγ）du+ε≤ xγu（1）+EZ∞U（Cγ）du+ε，其中我们使用了Cx，ε/x∈ C（1）。自从γ∈ [0,1]，我们的索赔（44）现在被x除法↑ ∞.结合（44），u和v之间的二元性在5中建立。5产生v（y）<∞ 对于y>0。根据引理5.1，v是严格的凸n（0，∞). 这立即意味着v是严格递减的，通过经典的凸对偶结果（例如Rockafellar[23]），vimplies的严格凸性（0，∞). 通过凹性和单调性，0≤ u′（x）≤ u（x）/x.So（44）lso产生u′(∞) = 以下引理是Kramkovand Schachermayer[20]中引理3.6和3.7的一个小修改：引理5.7。在理论3的假设下。2.极小值δy∈˙D（y）来自外稃5。4在映射（0，∞) y 7→ （δy，V（δy），-V′（δy）δy）∈ L（P u）×L（P u）×L（P u）是连续的。证据上述映射确实在所有（0，∞) 是由于v在（0，∞) 建立于Lemma5。6.我们首先证明δyn→ δyinl（P u）适用于任何情况→ Y∈ (0, ∞).

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大多数88

2022-5-6 12:27:35

如果δyn不收敛于δyin，则ε>0，使得lim supnP u[|δyn- δy |>ε，δyn+δy<1/ε]>ε，我们记得（δyn）n=1,2，。。。在L（P）中有界因为∞δyndu≤伊恩→ y>0，定义为f˙D（yn）。现在，通过v的严格凸性，δn，（δyn+δy）满足v（δn）≤（V（δyn）+V（δy））以及，对于一些非常小的η>0，还包括 uV（δn）≤（V（δyn）+V（δy））- η> η.关于P的积分 u它遵循thatlim supnEZ∞V（δn）du≤ 林苏佩兹∞（V（δyn）+V（δy））du- η=lim supn（v（yn）+v（y））- η=v（y）- η其中最后一个恒等式是由于凸函数v的连续性。另一方面，通过集合D（y）=yD（1）的标度性质和凸性，我们得到δn∈˙D（y）∨ 因此，由Lemma5。4，v（y）=limnv（y）∨ （伊恩）≤ 林因弗内斯∞V（δn）du。这显然与前面的不平等相矛盾，因此我们必须确定这一点→ δyinl（P u).V（δyn）的收敛性≥ 0英寸长（P u）现在来自收敛inL（P u）安第斯∞V（δyn）du=V（yn）-→N↑∞v（y）=EZ∞V（δy）du。此外，L（P u）-收敛(-V′（δyn）δyn）n=1,2，。。。一旦我们建立了统一的u-该序列的可积性。我们的同构弹性条件（7）给出了（45）（1）- γ)(-V′（δyn））δyn≤ 在{δyn<Dγ}上的γV（δyn），其中γ∈ 其中Dγ，U′（Cγ）。此外，我们有Cn，-V′（δyn），即（46）0≤ (-V′（δyn））δyn=CnU′（Cn）≤ 美国（中国）≤ {δyn上的U（Cγ）≥ Dγ}={Cn≤ Cγ}。与已经成立的L（P （V（δyn））n=1,2，。。。我们假设U（Cγ）isP u-可积，估计值（45）和（46）的组合产生所需的均匀可积性。现在我们可以使用Kramkov和Schachermayer[20]引理3.8中的一个变量来推导：引理5.8。

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