相对套利的优化 - 外文文献专区

2022-5-6 12:42:34

相对套利的优化——KAM LEONARD WONGAbstract。在随机投资组合理论中，相对套利是一种等额投资组合，它保证在有限的期限内表现优于基准投资组合。当市场多样且波动剧烈，且基准是市场或买入并持有投资组合时，Fernholz引入的功能生成投资组合提供了构建相对套利的系统方法。在本文中，我们证明了如果用等权或熵权投资组合代替市场投资组合，在相同的条件下，不能用函数生成的投资组合构造相对论。我们还引入并研究了一个基于对数凹密度极大似然估计的函数生成投资组合形状约束优化问题。1.简介随机投资组合理论的一个主要目的（见[Fer02]和[FK09]的简介）是在股票市场行为的最小和现实假设下发现相对套利机会。以一个没有股票的股票市场为例。时间t时股票i的市场权重ui（t）是股票i的市值除以市场总市值。向量u（t）=（u（t）。。。，un（t））的市场权重取开放单位单纯形中的值（n）定义为（n） =（p=（p，…，pn）：pi>0，nXi=1pi=1）。对于每个t，投资组合经理在（n），在哪里（n）是关闭（n）。它的组成部分代表了当前归属于每只股票的资本金的比例。我们假设投资组合是自我融资的，且全部为多头，因此禁止卖空。市场投资组合是指t时投资组合权重为u（t）的投资组合。这是一个买入并持有的投资组合，因为分期付款后无需交易。

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2022-5-6 12:42:37

一般来说，交易需要维持targetportfolio权重。与地平线[0，t]上的市场投资组合相关的相对套利是一种投资组合，保证在时间t上表现优于市场投资组合。日期：2014年11月26日。关键词和短语。随机投资组合理论，相对套利，功能生成投资组合，形状约束优化，投资组合管理。作者要感谢Soumik Pal在论文准备过程中的不断指导和支持，Tatiana Toro对定理1.1的证明进行了有益的讨论，以及Jiashan Wang对数值优化的帮助。他还感谢匿名裁判，他发现了支持条件原始定义中的错误，并提出了当前定义。裁判的宝贵意见大大改进了论文的陈述。2 T.-K.L.WONGWe说，如果max1≤我≤nui（t）≤ 1.- 对于某些δ>0和所有t，或更一般地，如果u（t）∈ K表示所有t，其中K是（n）。如果市场权重的累积波动性在适当的意义上增长到一致性，则市场将充分波动。假设市场多样且波动性很大，就市场投资组合而言，在有限（但可能很长）的期限内构建相对套利是可能的；例如参见[FK09]、[PW13]及其参考文献。事实上，可以构造相对套利，其投资组合权重是当前市场权重的确定函数。特别是，不需要预测预期收益和协方差矩阵。这些投资组合在[Fer99]中首次引入，据说是功能性生成的。

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2022-5-6 12:42:41

这与许多学者和从业者的观察结果一致（例如参见[FGH98]、[DGU09]和[BNPS12]），即简单的投资组合规则，如平等和多样性加权投资组合，往往在长期内击败市场。直观地说，这些投资组合的工作原理是捕捉市场波动，同时控制相对于市场投资组合的最大下降（主要观点将在第3.1节中进行审查）。在[PW14]中，我们证明了相反的情况：依赖于当前市场权重的相对套利投资组合（更准确地说是伪套利，见下文）必须是函数生成的。我们强调，相对套利投资组合应该在满足多样性和有效性的市场权重过程的所有可能实现中表现良好。[PW14]中利用了这一观察结果，以便在不假设市场权重过程的任何随机模型的情况下，采用几何、路径方法。现有的理论没有完全解决两个重要问题。首先，如果市场投资组合被另一个基准所取代，会发生什么？在[Str12]中，功能生成投资组合的概念和关键的“主方程”（见下面的引理3.1）被扩展到任意基准投资组合。然而，人们对在多样性和有效波动性等一般条件下是否存在相对套利知之甚少。

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2022-5-6 12:42:44

例如，我们能否在一个多样化且高度波动的市场中，通过功能生成的投资组合击败同等权重的投资组合，就像功能生成的投资组合击败市场投资组合一样？更一般地说，是否存在一个相对论的有限层次？如果只假设多样性和充分的波动性，是否存在一个无法击败的“最大投资组合”？第二，对于相对套利和功能性生成的投资组合，是否有一个合理且适用的优化理论？这一理论显然引起了人们的极大兴趣，费恩霍尔茨的专著[Fer02，Problems 3.1.7-8]中已经提出了这个问题。据我们所知，功能生成投资组合的优化进展有限。参见[PW13]了解twoasset案例中的尝试，参见[PW14]了解使用最佳传输的方法。在理论方面，如果给出市场模型，有时可以描述相对于市场或给定交易策略的高回报率，这可以在给定的时间范围内使用非积极投资规则实现。参见[FK10]了解马尔可夫市场的情况，参见[FK11]了解更一般的设置，该设置允许不确定性考虑漂移和扩散系数，以及[Ruf11]，该设置将马尔可夫交易策略的最佳相对套利表示为三角洲对冲。对于功能生成投资组合的优化，一个主要困难在于功能生成投资组合的类别是一个函数空间，优化必须是非参数的。理想情况下，给定历史数据或相对套利3市场权重过程优化的随机模型，我们希望选择一个在适当约束下的最优功能生成的投资组合对象。本文试图回答这两个问题。

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2022-5-6 12:42:47

在本文中，我们用[PW13]中的伪套利来解释相对套利。这是一个无模型的概念，具体定义将在第2节中说明。我们只考虑当前市场权重的确定函数的投资组合，因此投资组合由一个映射π表示：（n）→ （n）。这意味着当当前市场权重为u（t）=p时，投资组合经理总是选择π（p）∈ （n），不论之前的价格变动。在[PW14]之后，本文中时间是离散的，市场由确定性序列{u（t）}表示∞t=0，带状态空间（n）。不需要潜在的概率空间。关于相对套利的层次结构，我们首先定义了投资组合之间的偏序。如果π是一个投资组合，我们将Vπ（t）设为投资组合中1美元的增长与市场投资组合中1美元的增长之比，并称为相对价值过程。设π，τ：（n）→ （n）做投资组合。我们说τ在紧集上支配π（写τ） π）对于任何紧集K （n）存在一个常数ε=ε（π，τ，K）>0，使得Vτ（t）/Vπ（t）≥ ε表示所有序列的市场权重{u（t）}∞t=0取K值。也就是说，τ相对于π的最大下降是一致有界的，与该区域的市场运动无关。由于紧集K是任意的，这是一个全局性质，定义了投资组合之间的偏序。如果S是一个投资组合族，我们说一个投资组合π∈ 如果不存在除π本身以外的投资组合，则S在S中是最大的，π本身在紧集上支配π，即τ∈ S和τ π意味着τ=π。在第2.1节中，我们将把这种偏序与伪套利联系起来。

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mingdashike22

2022-5-6 12:42:51

在此，我们注意到，如果τ在所有不同且波动剧烈的市场中是相对于π的相对套利或伪套利，则τ在π的影响中占主导地位的情况必然存在。设π：（n）→ （n）是一个投资组合，Φ是一个正凹函数（n）。我们说π是用生成函数Φif为allp函数生成的∈ （n），坐标比π（p）/p的向量定义了p处凹函数对数Φ的超梯度（严格定义见下文定义2.7）。如果Φ是C（两次连续可微分），那么π必然由（1.1）πi（p）=pi给出1+De（一）-plogΦ（p）, i=1。。。，n、 p∈ （n）。这里是德（一）-pis是e（i）方向上的方向导数-p、其中e（i）是（n）在第i个方向。例如，市场投资组合由常数函数Φ（p）生成≡ 1.我们说Φ是多样性的度量，如果它是C对称的（在坐标置换下不变）。删除=NN成为…的重心（n）。对于连续可微的投资组合，以下定理给出了投资组合最大的充分条件。定理1.1。设π为多样性度量Φ生成的投资组合。如果（1.2）ZΦ（te（1）+（1- t） e）dt=∞,那么π在投资组合τ类中是最大的：（n）→ （n）这些都是可以持续区分的。4 T.-K.L.Wong该有效条件由等熵加权投资组合（定义见第3节表1）和许多其他投资组合满足。对于市场投资组合，生成函数是常数，因此（1.2）中的积分收敛。在第3节中，我们将展示如果π是函数生成的，而τ在π的碰撞中占主导地位，那么τ必须是函数生成的。因此，我们可以重新表述理论1。1如果（1.2）成立，那么π在具有Cgenerating函数的函数生成投资组合族中是最大的。

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2022-5-6 12:42:55

定理1.1的结果如下。推论1.2。在定理1.1的设置下，假设τ是π的一个Cportfolio notequal。然后是一个紧凑的集合K （n）以及市场权重序列{u（t）}t≥0取K值，使得τ相对于π的投资组合值趋于零，因为t趋于完整。我们可以这样解释推论1.2：如果π是最大的，τ6=π，那么从长远来看，就有可能找到一个多样且高度波动的市场，其中π超过τ。从这个意义上说，对于一个满足π（1.2）的投资组合，不可能在所有多样且高度波动的市场中找到一个相对于π的（确定性）投资组合。定理1.1将通过比较投资组合生成函数的相对凹度来证明。关于函数生成投资组合的优化，我们根据对数凹密度的最大似然估计的精神，提出了一个形状约束优化问题。关于统计理论，我们请读者参考[DR09]、[CSS10]、[CS10]、[KM10]和[SW10]。[PW14]之后，我们将定义的L-散度函数T（·|·）与每个功能生成的投资组合相关联（n） ×（n）（见定义2.9）。直观地说，T（q | p）衡量的是当市场权重从p跃升到q时，从波动性中获得的潜在收益（n）。设P为跳跃（P，q）上的强度度量，可根据数据或agiven模型定义（第5节将给出示例）。我们在所有有约束或无约束的功能生成投资组合上最大化EZT（q | p）DPT。这个优化问题是形状约束的，因为函数生成的投资组合的母函数是凹的。我们证明了优化问题是适定的，当被解释为一个统计图像问题时，在适当的意义上是一致的。

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2022-5-6 12:42:58

在本文中，我们针对两种资产（类似于单变量密度估计）的情况实现了这种优化，并且一种通用算法将是未来研究的主题。我们用一个案例来说明港口组合管理中的一个典型应用。论文的结构如下。在第2节中，我们建立了符号，并称之为伪套利和功能生成投资组合的定义。第3节我们将[PW14]的框架扩展到功能生成的基准投资组合。利用[CDO07]中给出的相对凹引理，我们证明了第4节中的定理1.1和推论1.2。第5节研究了功能生成投资组合的优化，第6节给出了一个实证案例研究。附录a中收集了一些更具技术性的证据。相对套利优化52。伪套利和功能生成的投资组合2。1.投资组合和伪套利。我们在[PW14]的离散时间确定性设置下工作，我们在此简要回顾。让n≥ 2是市场上股票或资产的数量。我们授予开放单元单纯形（n）欧几里德度量。空位球（n）以p为中心，半径δ用B（p，δ）表示。向量的切向量（n）是向量v=（v，…，vn）∈ RnsatisfyingPni=1vi=0。我们表示向量的切向量的向量空间（n）作者：T（n）。对于i=1。。。，n、我们假设e（i）=（0，…，0，1，0，…，0）是（n）在第i方向。如果a和b是Rn中的向量，我们让ha，bi是欧氏内积。欧几里德范数用k·k表示。如果b有非零项，a/b是分量比率ai/bi的向量。在本文中，时间是离散的（t=0，1，2，…）。连续时间的延长将在第4.3节简要讨论。假设Xi（t）>0是时间t时股票i的市值。

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2022-5-6 12:43:01

市场的总资本为x（t）+··+Xn（t）。股票i的市场权重由ui（t）=Xi（t）X（t）+···+Xn（t），i=1。。。，n、向量u（t）=（u（t）。。。，un（t））取（n）代表企业的相对规模。随着股票价格的波动，市场权重也随之变化。如[PW14]中所述，股票市场被建模为一个确定性序列{u（t）}t≥0将价值带入（n），因此不需要潜在的概率空间。我们的方法类似于通用预测（例如参见[CBL06]），其中不假设数据由随机模型生成。只有多样性和充分的波动性等结构性特征才会施加在序列上。我们考虑这个市场上的一个小投资者，他关心他或她的投资组合相对于整个市场的价值。我们将自己局限于Portfolios，这是当前市场权重的确定函数。不允许卖空，我们假设没有交易成本。定义2.1（投资组合和相对价值过程）。投资组合是Borel可测图π：（n）→ （n）。市场组合u是身份图P7→ p我们没有将其与市场权重过程{u（t）}区分开来。给定的{t}tπ过程≥0由Vπ（0）=1和（2.1）Vπ（t+1）Vπ（t）=1定义+π（u（t））u（t），u（t+1）- u（t）, T≥ 0.投资组合在p∈ （n）是向量π（p）p=π（p）p。。。，πn（p）pn.相对值Vπ（t）可以解释为投资组合中1美元的增长与投资市场组合中1美元的增长之比。如果Vπ（t）>Vπ（t），投资组合在（离散）时间区间[t，t]内的表现优于市场投资组合。如[PW14]所述，考虑重量比Op 7是有帮助的→π（p）pas向量场（n）。

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nandehutu2022

2022-5-6 12:43:04

根据（2.1），如果位移u（t+1）之间的内积- ut是市场的重量比。这意味着，平均而言，投资组合对表现良好的资产的权重高于其他市场。6 T.-K.L.Won在本文的第一部分，我们将研究由“契约支配”关系定义的投资组合层次结构。定义2.2（对契约的支配）。设π和τ为。我们说τ在紧集上支配π（写τ） π）对于K的任一紧子集（n）存在一个常数C=C（π，τ，K）≥ 0使得对于任何路径{u（t）}t≥0 K、我们有（2.2）logVτ（t）Vπ（t）≥ -C、 t≥ 因此，如果τ π、在多样性条件u（t）下，π的增长速度不能快于τ的增长速度∈ K、对于任意紧致子集K，关系τ π定义投资组合图类中的偏序。我们在（2.2）中包含对数，因为当我们讨论函数生成的投资组合时，这个公式更方便。这种定义与[PW14]中引入的伪套利定义密切相关。下面给出的定义略微扩展，以允许任意基准投资组合。定义2.3（伪套利）。设π和τ为组合，K为子组合（n），不一定紧凑。如果下列性质成立，我们说τ是K上关于π的伪套利：（i）存在常数C=C（π，τ，K）≥ 0，使得（2.2）对任意序列{u（t）}t有效≥0 K.（ii）存在一个序列{u（t）}t≥0 K沿着哪个极限→∞对数V（t）=∞.我们请读者参考[PW14]了解更多关于定义的讨论。这里我们注意到要求{u（t）}t≥0 K在（i）中是一种多样性条件，是指特定的投资组合，以及（ii）指存在充分的波动性。以下是定义的简单结果。引理2.4。

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2022-5-6 12:43:07

设π和τ为。假设τ是相对于所有j的Kj上π的伪套利，其中{Kj}是（n）。然后τ在紧集上支配π。定义2.5（最大投资组合）。让我们成为一个投资组合和π的家族∈ 我们说，如果S中没有投资组合，π在S中是最大的，除了π本身，它在紧集上支配π。请注意，在给定类别中，最大投资组合可能不存在，也可能不唯一。在第四节中，我们将研究最大投资组合，其中S是具有生成函数的投资组合类。根据引理2.4，如果π是最大的，则在所有有效的大紧子集上不存在关于π的伪套利投资组合（n）。从这个意义上说，一个最大的投资组合是一个仅假设多样性和充分的波动性是不可能击败的投资组合。备注2.6。“紧集上的支配”关系指的是Portfolios的全局性质。即使π是最大的，对于固定子集K （n）只要{u（t）}，就有可能找到一个在长期内超过π的投资组合τ（取决于K） K.例如，当n=2时，如果{u（t）}是有效的可变的并且保持在某个区间，则可以证明熵加权投资组合在长期内优于等加权投资组合,. 然而，这需要事先知道thatK。π的极大性要求在所有紧致集K上没有一个τ能打败π （n）。相对套利优化72.2。功能生成的投资组合。功能生成的投资组合在[Fer99]中首次以一般形式引入。我们将遵循[PW14，第2节]中的内在处理，强调与凸分析的关系。在整篇论文中，我们将严重依赖凸分析的结果，标准参考文献为[Roc97]。定义2.7（功能生成的投资组合）。设π为投资组合，Φ：（n）→ (0, ∞) 这是一个凹函数。

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何人来此

2022-5-6 12:43:12

我们说π是由Φif theinequality（2.3）1生成的+π（p）p，q- P≥Φ（q）Φ（p）适用于所有p，q∈ （n）。我们称Φ为π的母函数。我们用fg表示所有函数生成的投资组合（π，Φ）的集合，其中π由凹函数Φ生成。众所周知（见[PW14，命题5]）生成函数在正乘法常数下是唯一的，因此在上述定义中使用“the”是合理的（在常数下）。另一方面，根据引理2.8（ii），非光滑凹函数Φ产生了多个投资组合，但它们仅在Φ不可微（即超差）的集合上有所不同对数Φ（p）有多个元素），该集合有勒贝格度量零（相对于（n）根据[Roc97，定理25.5]。请注意，这里的母函数定义为凹形，而在[Fer02]中，非凹形母函数是允许的。关于我们定义的合理性，请参见下面的定理2.10和命题3.3。设Φ为上的凹函数（n）和p∈ （n）。Φatp的超差是集合Φ（p）由（2.4）定义Φ（p）={ξ∈ T（n）：Φ（p）+hξ，q- 圆周率≥ Φ（q）Q∈ （n）哦。如果Φ是凹函数和正函数，则可以证明logΦ也是凹函数，和（2.5）对数Φ（p）=Φ（p）Φ（p）=Φ（p）ξ：ξ∈ Φ（p）.引理2.8。[PW14，命题6]设Φ为上的正凹函数（n）。（i）设π为Φ生成的投资组合。然后是p∈ （n），切线向量v=（v，…，vn）由（2.6）vi=πi（p）pi定义-nnXj=1πj（p）pj，i=1。。。，n、属于对数Φ（p）。（ii）相反，如果v∈ 对数Φ（p），然后向量π=（π，…，πn）由（2.7）πipi=vi+1定义-nXj=1Pvj，i=1。。。，n、是一种（n）。特别是，任何可测量的选择对数Φ（a波雷尔可测图ξ：（n）→ T（n）使得ξ（p）∈ 所有p的对数Φ（p）∈ （n））通过（2.7）一个由公司产生的投资组合进行定义。

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可人4

2022-5-6 12:43:15

（根据[RW98，定理14.56]，总有一个可测量的选择对数Φ）8 T.-K.L.WONGMoreover，操作π7→ v和v 7→ 由（2.6）和（2.7）定义的π彼此相反。从（2.7）可以看出，Fernholz的定义（见[Fer02，定理3.1.5]）与我们的定义一致。如果π由Φ生成，则权重比向量场π为π（n）其势函数由生成函数Φ的对数给出。这里有一个精确的陈述，细节可以在[PW14，定理8]的证明中找到。让π成为一个投资组合。Ifγ：[0,1]→ （n）是一条直线路径吗（n）我们让（2.8）Iπ（γ）：=Zγπ≡ZnXi=1πi（γ（t））pi（γ（t））γi（t）dt是重量比沿γ的线积分。如果π是函数生成的，则重量比πpis是保守的，即每当γ闭合时，该线积分为零，即γ（0）=γ（1）。此外，对于任何p，q∈ （n）我们有（2.9）对数Φ（q）- logΦ（p）=Iπ（γ），其中γ是从p到q的任何分段线性路径。在经典术语中，logΦ是权重比向量场的势函数。Fernholz的分解（见下面的引理3.1）表明，对数相对值logvπ（t）可以分解为对数Φ（u（t））增量和与市场波动性相关的非递减过程之和。生成函数的凹度将根据[PW14]中介绍的L收敛性进行测量。定义2.9（L-散度）。设π为凹函数Φ生成的投资组合：（n）→ (0, ∞). 这对（π，Φ）的L-散度泛函是函数T：（n） ×（n）→ [0, ∞) 定义为（2.10）T（q | p）=log1 +π（p）p，q- P- 对数Φ（q）Φ（p），p，q∈ （n）。利用（2.3），可以证明T（q | p）≥ 0和T（q | p）=0，仅当Φ是包含p和q的线段的一部分时。

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mingdashike22

2022-5-6 12:43:18

T（·|·）是信息几何中使用的伯格曼散度的对数版本（因此是“L”）（见[AC10]），应该被认为是Φ的凹度的度量。根据这些定义，[PW14]的主要结果可总结如下。定理2.10（相对于市场投资组合的伪套利）。[PW14，定理1，定理2]投资组合π是相对于凸子集K上的市场投资组合u的伪套利（n）当且仅当π由凹函数Φ生成：（n）→ (0, ∞) 在K上是有界的，T（·|·）在K×K上是不相同的。而且，这些组合对应于一个最优运输问题的解。在第4节中，我们将重点讨论带有Cgeneratingfunctions的功能生成投资组合。定义2.11。（i）我们用fg表示生成函数为Cand凹的函数生成投资组合的集合。FGis的一个要素由相对套利优化9表1表示。功能生成的PortfolioName投资组合权重示例生成功能Marketπi（p）=piΦ（p）=1多样性加权（0<r<1）πi（p）=priPnj=1prjΦ（p）=Pnj=1prj次数加权πi（p）=nΦ（p）=（pp··pn）熵加权πi（p）=-pilog piPnj=1-pjlog pjΦ（p）=pj=1-pjlog pjeitherπ，Φ或（π，Φ），其中π由Φ生成。在这种情况下，π必须由（1.1）决定。（ii）正余弦函数Φ（n）如果它是对称的，即Φ（p，…，pn）=Φ（pσ（1）。。。，pσ（n））对于所有p∈ （n）以及{1，…，n}的任何置换σ。多样性度量由Fernholz在[Fer99，第4节]中提出。表1给出了一些示例，更多示例见[Fer02，第3.4节]。多样性测量给出了资本分布u（t）=（u（t）。。。，un（t））并生成投资组合。3.

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何人来此

2022-5-6 12:43:23

基准测试功能生成的portfolioFix和凹函数Φ生成的投资组合π：（n）→ (0, ∞) 并称之为基准投资组合。表1给出了我们心目中的一些例子。所有这些投资组合都是通过多样性度量生成的。正如引言中提到的，可以证明，在多样性和有效波动性的假设下，许多功能生成的投资组合（包括上述三个非平凡的例子）在足够长的时间内表现优于市场。由于这些假设似乎在经验上成立，许多功能生成的投资组合在长期内表现优于市场。参见[Fer02，第6章]中使用美国股市数据的几个案例研究。由于这些Portfolio不包含专有的建模，表现合理且易于复制，因此它们也可以作为替代基准，如[FGH98]和[HCKL11]等从业者论文所述。人们很自然地会问，我们是否可以针对这些投资组合构造相对或伪套利。3.1. 费恩霍尔茨分解。功能生成投资组合的相对价值过程满足一个优雅的分解公式。这是（2.10）和（2.1）的直接结果，可以由第2.2节中讨论的向量场解释来驱动。引理3.1（费恩霍尔茨分解）。[Fer99，定理3.1][PW14，引理7]如果π是由凹函数Φ生成的，相对值过程Vπ有分解（3.1）logvπ（t）=logΦ（u（t））Φ（u（0））+a（t），10t.-K.L.WONGtlog Vπ（t）a（t）oscK（logΦ）图1。功能生成投资组合的假设绩效。如果市场重量u（t）保持在子集K内（n），相对值过程将保持在虚线曲线内，虚线曲线是漂移过程A（t）的垂直平移。

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2022-5-6 12:43:26

“香肠”的宽度由Osck（logΦ）=supp，q定义的K上对数Φ的振荡给出∈K |对数Φ（q）- 对数Φ（p）|。式中A（t）=Pt-1k=0T（u（k+1）|u（k））是非递减的。我们称A（t）为投资组合的漂移过程。分解的关键思想是，在对数Φ（u（t））和对数Φ（u（t））大致相等的任何时期[t，t]，投资组合的表现将超过市场相当于A（t）- A（t），参见图1中的说明。由于这个原因，漂移过程A（t）可以被认为是投资组合捕获的市场波动的累积量。充分挥发的条件要求A（t）作为t无限增长→ ∞. 实证研究（例如，参见[FK09，图11.2]）表明，根据投资组合和市场波动性，A以大致线性的速率增加。因此，只要对数Φ（u（t））的波动保持有界，长期来看，漂移过程将占主导地位，投资组合的表现将优于市场。对boundlogΦ（u（t））施加多样性假设。对于（比如）熵加权投资组合，logΦ（u（t））的有界长度为max1≤我≤nui（t）≤ 1.- 对于一些δ>0的情况，我们可以在定义2中取K。3和定理2.10是{p∈ （n）：max1≤我≤npi≤ 1.- δ} （这是[Fer99]和[FK09]中对多样性的定义）。对于其他投资组合，如等权投资组合，这个条件是不够的，我们要求u（t）保持在（n）。因此，集合K是特定于投资组合的。Fernholz的分解在作者编写的R包RelValAnalysis（可在CRAN上获得）中实现。3.2. 对契约的支配。在[PW14]中，关于市场投资组合的伪套利被描述为一种称为乘法循环单调性（MCM）的性质。

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2022-5-6 12:43:30

它是凸分析中循环单调性的一种变体（见[Roc97，第24节]），相当于特殊成本函数的非最佳运输中的c-循环单调性。直观地说，这种特性要求对相对套利进行再优化，即每当市场权重经过一个周期时，投资组合的表现都优于市场投资组合。很自然，我们可以将定义扩展如下。定义3.2（相对乘法循环单调性-RMCM）。设π和τ为。我们说τ满足与π相关的乘法循环单调性，如果在任何离散循环u（0），u（1）。。。，u（m），u（m+1）=u（0）英寸（n），我们有（3.2）Vτ（m+1）≥ Vπ（m+1）。在[PW14]中，我们证明了功能生成投资组合的特征是相对于市场投资组合的MCM属性。提议3.3。[PW14，命题4]相对于市场投资组合，投资组合满足MCM，当且仅当其由正凹函数生成时。对于任意函数生成的基准投资组合，我们可以将命题3.3概括如下。这个结果提供了partialorder的等价公式更容易合作。该证明类似于[PW14]的命题4和定理1。定理3.4。设π为凹函数Φ生成的投资组合：（n）→(0, ∞), 让τ成为一个投资组合。以下陈述是等效的。（i） τ在紧集上支配π，即τ π.（ii）τ满足相对于π的MCM。（iii）τ由凹函数ψ生成，且（τ，ψ）的L-散度Tτ（·|·）支配（π，Φ）的Tπ（·|·），即（3.3）Tτ（q | p）≥ Tπ（q | p）对于所有p，q∈ （n）。证据（一）=> （ii）：假设τ在紧集上支配π。如果τ相对于π不满足ymcm，我们可以找到一个离散循环{u（t）}m+1t=0，使得η：=Vτ（m+1）/Vπ（m+1）<1。

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2022-5-6 12:43:34

考虑在这个循环中反复出现的市场权重序列，即对于所有t，u（t）=u（t+（m+1））。对于所有k，则Vτ（k（m+1））Vπ（k（m+1））=ηkF≥ 当k为0时，比值趋于0→ ∞. 这与假设τ相矛盾 π. 因此，如果τ在紧集上支配π，那么τ满足相对于π的MCM。（二）=> （iii）：假设τ满足相对于π的MCM。自Vu（·）≡ 1和π满足相对于市场组合的MCM（根据命题3.3），τ满足相对于市场组合的MCM。根据命题3.3，τ有一个母函数ψ。为了证明（3.3），让p，q∈ （n）设{q=u（1），…，u（m），u（m+1）=p}是线段[q，p]的一个分区。如果u（0）=p，{u（k）}m+1k=0是一个循环，它从p开始，跳到q，然后沿着分区返回p。然后，12 T-K.L.WONGRMCM不等式（3.2）意味着1 +τ（p）p，q- PmYk=11 +τ（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）≥1 +π（p）p，q- PmYk=11 +π（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）.（3.4）两边都有圆木，我们有圆木1 +τ（p）p，q- P+mXk=1log1 +τ（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）≥ 日志1 +π（p）p，q- P+mXk=1log1 +π（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）.根据凹函数微积分的基本定理和泰勒近似，我们可以选择一个网格大小为零的分区序列，沿着这个序列，k=1log1 +π（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）→Zγπudu=logΦ（p）Φ（q），mXk=1log1 +τ（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）→Zγτudu=对数ψ（p）ψ（q），其中γ是从q到p的线段。取（3.4）中的相应极限，我们得到所需的不等式（3.3）。（三）=> （i）：设{u（t）}t≥0可以是任何市场权重序列。通过引理3.1我们可以写出gvτ（t）Vπ（t）=logψ（u（t））/ψ（u（0））Φ（u（t））/Φ（u（0））+（Aτ（t）- Aπ（t）），其中Aτ和Aπ分别是τ和π的漂移过程。通过（iii），Aτ（t）-π（t）在t中是不递减的。

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可人4

2022-5-6 12:43:37

由于logψ（u（t））/ψ（u（0））Φ（u（t））/Φ（u（0））是有界的，只要u（t）保持在（n），τ在紧集上支配π。定理3.4减少了对偏序τ的研究 π比较母函数的相对凹度，其中凹度是用散度来衡量的。在本文中，我们主要研究两次连续可微的母函数。然后（3.3）的极小版本会导致二阶微分不等式。定义3.5（漂移二次型）。Let（π，Φ）∈ 前景。其漂移二次型由Hπ和HΦ表示，由Hπ（p）（v，v）定义：=-12Φ（p）赫斯Φ（p）（v，v），p∈ （n），v∈ T（n）。这里的HessΦ是Φ的Hessian，被认为是二次型。定义为（3.5）赫斯Φ（p）（v，v）=滴滴涕Φ（p+tv）t=0。相对套利的优化13引理3.6。Let（π，Φ），（τ，ψ）∈ 设Tπ和Tτ为它们相应的发散量。Ifτ π，因此Tτ（q | p）≥ Tπ（q | p）对于所有p，q∈ （n），然后是hτ≥ Hπ的意义是（3.6）Hτ（p）（v，v）≥ 所有p的Hπ（p）（v，v）∈ （n）和v∈ T（n）。证据引理直接来自泰勒近似（3.7）Tπ（p+tv | p）=-12Φ（p）赫斯Φ（p）（电视，电视）+oT.p在哪里∈ （n），v是切向量，t∈ R很小。作为引理3.6的结果，为了证明投资组合π∈ FG在FG中是最大的，这足以表明它的漂移二次型Hπ不受其他投资组合的支配（在（3.6）的意义上）。这是我们在第4节中用来证明定理1.1的方法。然而，简单的例子表明，Hτ≥ Hπ并不意味着Tτ≥ Tπ。例3.7（多样性加权投资组合）。对于0<r<1，本节开头引入的多样性加权投资组合π由函数Φ（p）生成=nXj=1prjr、很容易证明Φ小于1。设τ是由ψ：=Φ生成的投资组合- 1.

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mingdashike22

2022-5-6 12:43:40

然后可以证明τ π. 为了看到这一点，将L-散度（2.10）写成（3.8）Tπ（q | p）=对数Φ（p）+Dq的形式-pΦ（p）Φ（q），p，q∈ （n）。ThenTτ（q | p）=对数（Φ（p）- 1） +Dq-pΦ（p）Φ（q）- 1.≥ Tπ（q | p）。对于Φ8，我们可以证明，从Φ8到Φ8的最大扩张（n）（根据[Roc97，定理10.3]存在）在所有顶点e（1）。。。，e（n）（因为我们可以从Φ中减去一个函数，使T变大）。然而，这个条件不足以使π在FG中最大。4.相对凹度和最大门叶4。1.两个资产案例。在本节中，我们研究了FG中的最大投资组合，并证明了定理1.1。为了说明所涉及的思想，我们首先证明了n=2的等权投资组合的最大性。这一结果是本文的出发点。提议4.1。对于n=2，等权投资组合π≡,由几何平均值Φ（p）生成=√在FG中PPD最大。14 T-K.L.WONGProof。Let（τ，ψ）∈ FGB应该是一个在契约上占主导地位（π，Φ）的投资组合。deneu（x）=Φ（x，1-x） =px（1）- x）设v（x）=ψ（x，1-x），x∈ (0, 1). 那么u和v是（0，1）上的正余弦函数。根据定理3.4和引理3.6，τ的位移二次型支配π的位移二次型。使用（3.5），我们有不同的质量（4.1）-v（x）v（x）≥-u（x）u（x）=4（x（1- x）），x∈ (0, 1).我们认为v也产生了等权投资组合，因此τ=π。我们将使用一个转换，该转换相当于使用y=logx1改变num’eraire-x、有关此转换的动机和相关结果，请参见[PW13，第4节]中的二叉树模型。定义函数τ：（0,1）→ [0,1]乘以（4.2）τ（x）=x+x（1）- x） v（x）v（x）=x[1+（1- x）（日志v）（x）]。通过（1.1），这是由v生成的股票1的投资组合权重，τ取[0,1]中的值。设y=logx1-x、所以x=ey1+ey。

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2022-5-6 12:43:43

定义q:R→ [0,1]byq（y）=τ（x）=ey1+ey+ey（1+ey）v（x）v（x），x=ey1+ey，y∈ R.对于等权投资组合，相应的投资组合权重函数相同。它由一个简单的计算得出：- q（y））- q（y）=-e2y（1+ey）v（x）v（x）。现在（4.1）可以改写为（4.3）q（y）（1）的形式- q（y））- q（y）≥, Y∈ R.然后通过以下基本结果完成证明。引理4.2。假设q:R→ [0,1]是可区分的，q（1-q）-Q≥ 右上1/4，然后是q≡ 1/2.证据从0开始≤ q（y）≤ 1.我们有≤ 问题（1）- q）-≤-= 所以q是不增加的。如果q（y）=q<对于某些y，那么在y上∈ [y]，∞], q必须满足微分不等式q（y）≤ 问题（1）- q）-< 0，这与q（y）相矛盾≥ 类似地，如果q（y）=q>对于某些y，同样的不等式是满足的(-∞, y] 这又是一个矛盾。因此我们得到q（y）≡尽管如此∈ R 命题4.1证明的主要思想是，对于一个在紧集上支配等权组合π的投资组合，它必须比单纯形上处处π更具攻击性。这意味着以足够快的速度（4.3）购买越来越多的表现不佳的股票，但这不可能持续到单纯形的边界。虽然微分不等式（4.3）（见[PW14，定理9]）有一个多维模拟，但我们无法将相对套利的优化15扩展到多资产情况，因为市场和投资组合权重可以向多个方向移动。相反，我们将使用投资组合生成函数，并使用简单但强大的凸分析工具。4.2. 主要结果。在证明定理1.1之前，我们注意到积分条件（1.2）足以捕捉许多重要的例子。证明是初等微积分的练习，留给读者。引理4.3。

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2022-5-6 12:43:46

以下投资组合满足（1.2）。（i）等权投资组合π≡NN由几何平均数Φ（p）=（p···pn）n生成。（ii）熵权投资组合πi=-香农熵Φ（p）产生的（pilog-pi）/Φ（p）=-Pnj=1pjlog pj。定理1.1证明的主要内容是从[CDO07]和[CDOS09，引理2]中获得的以下巧妙观察（在这些参考文献中称为相对凸引理）。这可以通过直接差异来证明。引理4.4（相对凹度引理）。[CDO07]让我们-∞ < a<b≤ ∞ andc，C:[a，b]→ R必须是连续的。假设u，v[a，b]→ (0, ∞) 能满足微分方程su（x）+c（x）u（x）=0，x吗∈ [a，b），v（x）+C（x）v（x）=0，x∈ [a，b]定义F:[a，b]→ [0, ∞) byF（x）=Zxau（t）dt，x∈ [a，b）.设G是[0，`]上定义的F的逆，其中`=limx↑bF（x）。然后定义在[0，`）上的函数w（y）：=v（G（y））u（G（y））满足微分方程w（y）=-（C（x）- c（x））u（x）w（y），0≤ y<`，x=G（y）。特别是，如果C（x）≥ [a，b]上的c（x），那么w在[0，`]上是凹的。我们还需要函数生成的投资组合的一些凸分析性质。引理4.5.设π（1），π（2）∈ FG分别由Φ（1）和Φ（2）生成，λ∈ [0, 1]. 然后由加权平均π：=λπ（1）+（1）给出的投资组合- λ） π（2）属于FG。实际上，π是由几何平均数Φ生成的：=Φ(1)λΦ(2)1.-两个母函数的λ。16 T-K.L.WONGProof。对于C生成函数，该结果在[Fer02，第50页]中说明。在生成函数不是必需的情况下也是如此。为了证明这一点，我们需要检查π=λπ（1）+（1）- λ） π（2）满足定义不等式（2.3）。这是AM-GM不等式的一个简单结果，并且省略了证明。引理4.6。L-散度和漂移二次型在Portfolio权重中是凹的，如下所示。

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2022-5-6 12:43:50

设（π（1），Φ（1）），（π（2），Φ（2））∈ 前景。对于λ∈ [0,1]，设π=λπ（1）+（1）-λ） π（2）和Φ=Φ(1)λΦ(2)1.-λ是π的生成函数。设T，T（1）和T（2）分别是（π，Φ），（π（1），Φ（1））和（π（2），Φ（2））的L-发散。然后（4.4）T（q | p）≥ λT（1）（q | p）+（1）- λ） T（2）（q | p），p，q∈ （n）。如果Φ（1）和Φ（2）是C，那么Hπ≥ λHπ（1）+（1）- λ） Hπ（2）的意义是（4.5）Hπ（p）（v，v）≥ λHπ（1）（p）（v，v）+（1）- λ）所有p的Hπ（2）（p）（v，v）∈ （n）和v∈ T（n）。证据为了证明（4.4），我们将函数生成投资组合（π，Φ）的L-散度T（q | p）写成形式T（q | p）=log1 +π（p）p，q- P- Iπ（γ），其中Iπ（γ）=Rγπpdp是沿从p到q的线段的重量比的线积分（见（2.8））。由于线积分在π中是线性的，对数是凹的，我们看到T（q | p）在π中是凹的。漂移二次型的表述来自泰勒近似（3.7）。我们现在准备证明定理1.1。定理1.1的证明。设τ：（n）→ （n）是一个在紧集上支配π的Cportfolio。我们想证明τ=π。根据定理3.4，τ由函数ψ生成：（n）→ (0, ∞). 因为τ是C，由[PW14，命题5（iii）]可知，ψ是C，所以τ∈ 前景。因此，我们可以重新表述定理1.1，称π为maximalin FG。设ψ为τ的母函数。通过缩放，我们可以假设ψ（e）=Φ（e）。我们将证明ψ等于Φ，所以ψ生成π，τ=π。我们把证据分为以下几个步骤。第一步（对称化）。设sn为{1，…，n}的置换集。对于σ∈ Sn，通过重新标记坐标来定义ψσ，即ψσ（p）=ψ（pσ（1）。。。，pσ（n））。自τ π、通过引理3.6（并重新标记坐标），我们得到了Hψσ≥ Hσ表示所有σ∈ Sn。但是Φ是多样性的度量，所以Φσ=Φ的对称性，我们有Hψσ≥ HΦ表示所有σ∈ Sn。Leteψ=Yσ∈Sn（ψσ）n！相对套利的优化是ψ的对称化。

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2022-5-6 12:43:54

通过引理4.5，eψ生成对称化的组合τ（p）=n！Xσ∈Snτ（pσ（1）。。。，pσ（n）），p∈ （n）。通过引理4.6，我们得到了（4.6）Heψ≥NXσ∈SnHψσ≥ HΦ。因此他ψ HΦ。Clearlyeψ是多样性的一种度量，通过对称性，它在e处达到最大值。步骤2（eψ≤ Φ). 我们声称eψ≤ Φon（n）。让p∈ （n）考虑一维凹函数su（t）=Φ（（1- t） e+tp）v（t）=eψ（（1）- t） e+tp）（4.7）定义于[0,1]。我们有u（0）=v（0）和u（0）=v（0）=0，因为Φ和ψ都在e处达到最大值≥ 我们有-v（t）v（t）≥-u（t）u（t），t∈ [0, 1].根据相对凹引理（引理4.4），（4.8）w（y）=v（G（y））u（G（y））是[0，`]上的一个正凹函数，其中`=Ru（t）dt，w（0）=1，w（0）=0（根据商规则）。注意`<∞ 因为Φ在线段[e，p]上是连续且正的（n）。此外，很容易看出，在这种情况下，相对凹度引理可以应用于[0，`]而不是[0，`）。这意味着w是不增加的，因此w（`）=eψ（p）/Φ（p）≤ 1.步骤3（eψ）≡ Φ). 设Z={p∈ （n）：eψ（p）=Φ（p）}我们声称Z=（n）。这里我们遵循[CDOS09，定理3]证明中的一个想法。将u和von[0,1]定义为（4.7），并将p替换为e（1）。那么（4.8）中定义的函数w在[0,2]上是正的和凹的，∞) 因为（1.2）中的积分（定义为`=Ru（t）dt）发散。同样，w满足w（0）=1，w（0）=0。但是，由于WI是在有限的时间间隔内定义的，如果某些y的w（y）<0，那么w必须达到零，因为WI不随凹度增加。这与w的积极性相矛盾，因此w在[0]上是一，∞). 在线段[e，e（1））上eψ=Φ。通过对称性，Z包含所有i的线段[e，e（i））。接下来我们证明集合Z是凸的∈ Z.我们再次考虑pairof函数su（t）=Φ（（1）- t） p+tq）v（t）=eψ（1- t） [0,1]上的p+tq）（4.9）。设ew（t）=v（t）u（t），t∈ [0, 1].

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2022-5-6 12:43:57

再次通过相对凹度引理，我们知道ew在重新参数化后是凹的。但是ew（t）≤ 1通过步骤2和eEquals在端点0和1处取一。根据凹度，ew在[0,1]上是相同的。18 T.-K.L.WONGHence如果Z包含p和q，它也包含线段[p，q]。现在Z是一个包含所有i的[e，e（i））的凸集。很容易看出，Z是单纯形（n）。Henceeψ等于Φ。第4步（去对称化）。我们已经证明了eψ≡ Φ，所以他ψ=HΦ。通过（4.6），我们得到了hΦ=Heψ≥NXσ∈SnHψσ≥ HΦ。自从H≥ 每个σ的HΦ∈ Sn，所有σ都有Hψσ=HΦ。特别是，以σ为恒等式，我们有Hψ=HΦ。仍然需要证明ψ等于Φ（回想一下，我们假设ψ（e）=Φ（e））。修好我∈ {1，…，n}和consideru（t）=Φ（（1）- t） e+te（i））v（t）=ψ（（1）- t） e+te（i））代表t∈ [0，1）。根据步骤3中的参数，如果似曾相识(0) ≤ 0，积分条件（1.2）意味着v/u等于1。所以似曾相识(0) ≤ 0意味着似曾相识(0) = 0. 对于σ∈ Snletvσ（t）=ψ（（1）- t） e+te（σ（i）））。因为ψ=Φ，我们有σ∈锡vσ（t）u（t）n！=1.取两边的对数和微分，我们可以看到导数的平均值似曾相识（0）超过i等于0（回想一下Φ是对称的）。因为所有的导数通过上述参数都是非负的，事实上它们都是0，所以对于所有i，ψ=Φ-e跨越与之平行的平面（n），ψ和Φ的图形在e处有相同的切面。由于Φ在e处达到最大值，我们看到ψ也在e处达到最大值。现在我们可以应用第2步和第3步中的论点，得出ψ等于Φ的结论（n）。因此τ=π，我们已经证明π在FG中是最大的。推论1.2的证明。设τ是不等于π的Cportfolio。根据π的最大值，τ不是 π. 根据定理3.4，τ不满足与π相关的条件。

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何人来此

2022-5-6 12:44:00

因此，存在一个循环{u（t）}m+1t=0（其中u（0）=u（m+1）），在该循环上（4.10）Vτ（m+1）Vπ（m+1）<1。就像定理3.4的证明一样，考虑一次又一次经历这个循环的市场权重序列。显然{u（t）}t≥0在紧凑的有限集合K中生成值。从（4.10）可以清楚地看出，Vτ（t）/Vπ（t）→ 0作为t→ ∞. 相对套利的优化194.3。延长到连续时间。我们简要地讨论了定理1.1如何被推广到连续时间。在连续时间内，我们让市场权重过程{u（t）}t≥0是具有状态空间的连续半鞅（n）。投资组合π的市场权重过程满足随机微分方程dvπ（t）Vπ（t）=nXi=1πi（u（t））dui（t）ui（t）。Let（π，Φ），（τ，ψ）∈ 前景。然后我们有分解logvτ（t）Vπ（t）=logψ（u（t））/ψ（u（0））Φ（u（t））/Φ（u（0））+A（t），其中漂移过程的形式为A（t）=Aτ（t）- Aπ（t），（4.11）Aτ（t）=ZtHτ（u（s））（du（s），du（s）），类似定义适用于Aπ。参见[Fer02，定理3.1.5]。在（4.11）中，我们使用[EM89]的内在符号表示{u（t）}相对于非负定义形式Hτ的二次变化。可以证明，对于所有连续半鞅{u（t）}当且仅当ifAτ，A（t）几乎肯定是非减量的≥ π。我们可以定义τ之间的关系 π（紧集上的支配）与定义2.2中的π（紧集上的支配）相同，但我们要求任何值为K的连续半鞅{u（t）}，（2.2）适用于所有t≥ 几乎可以肯定。利用所建立的结果，我们可以在连续时间内证明，如果π是由满足（1.2）的多样性度量生成的，那么它在fg中是最大的。此外，在连续时间内，[CDOS09，定理3]表明，当n=2时，积分条件（1.2）对于（π，Φ）在fg中最大也是必要的。Letu（x）=Φ（x，1- x）。

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2022-5-6 12:44:04

这个想法是，如果积分收敛，我们可以解决初值问题v（x）+-u（x）u（x）+s（x）v（x）=0，x∈ （0,1），v= U, 五、= U= 对于一些适当选择的函数s（x），s（x）≥ 0，s（x）6≡ 0是对称的。Sturm的比较定理表明，解v（x）在（0，1）上是正的（凹的）。设ψ（p）=v（p），τ是由ψ生成的组合。那么相应的投资组合τ不等于π，并且在紧集上支配π，因此π在FG中不是最大的。问题4.7。刻画FG的最大投资组合。5.优化功能生成的portfolios5。1.形状约束优化问题。考虑功能生成的投资组合的相对价值过程。如果我们有一个市场权重过程的模型{u（t）}t≥0，一个自然优化问题是使漂移过程在一定范围内的预期增长率最大化。为此，假设我们得到了一个增量（u（t），u（t+1））的强度度量P，作为Borel概率度量对其进行建模（n） ×（n）。我们假设P是离散的（具有可数质量）或绝对连续的，相对于被测物20 T.-K.L.WONGν：=m 我在（n） ×（n），其中m是（n）在Rn中（这应该被认为是Lebesgue测度）（n））。我们可以简单地说P是绝对连续的。出于技术原因，我们假设p在K×K上受K的某些紧子集的支持（n） ×（n）。给定强度测度P，我们考虑优化问题（5.1）max（π，Φ）∈FGZT（q | p）dP。首先，我们给出一些强度度量的例子。例5.1。假设{（u（t）}-1），u（t））}是K×K上的一个遍历马尔可夫链。我们可以取P为（u（t））的平稳分布-1），u（t））。

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可人4

2022-5-6 12:44:08

不难看出，（5.1）中的非最优投资组合使渐近增长率极限最大化→∞tlog Vπ（t）的相对值（tlogΦ（u（t））Φ（u（0））项随t消失→ ∞). 在功能生成的投资组合中，该投资组合可视为（相对于市场投资组合）增长最优的投资组合。例5.2。我们建立了{u（t）}t模型≥作为一个随机过程。设K是（n）含有u（0）。设τ为K的首次退出时间，即τ=inf{t≥ 0:u（t）/∈ K} 。考虑由G（A）：=E“τ定义的K×K上的度量G-1Xt=1{（u（t-1），u（t））∈A} #，A K×K可测量。如果过程{（u（t- 1），u（t））}是马尔可夫的，G是在时间τ时被杀死的进程的绿色内核。假设G（K×K）=E（τ）- 1) < ∞, i、例如，退出时间具有明确的预期。然后p（·）：=G（K×K）G（·）是K×K上的一个概率度量。这个强度度量将在第6节的示例中使用。请注意，示例5.1涉及有限期，而示例5.2涉及有限期（但随机）。优化问题（5.1）是形状约束的，因为生成函数定义为凹函数。我们将首先研究这个抽象（无约束）优化问题的一些理论性质，然后关注一个离散的特殊情况，其中数值解是可能的，并施加进一步的约束。与经典的投资组合选择理论（投资组合权重逐期优化）不同，在（5.1）中，我们在一个区域内同时优化投资组合权重。在整个开发过程中，记住（5.1）和对数凹密度的最大似然估计之间的类比是有帮助的。在这种情况下，我们得到一个随机样本X。。。，xN从原木凹面密度角（即原木凹面）。

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