“如果”部分来自第（i）部分，因为在本例中ρ∨A=ρ∧Aby提案6.7。证明假设的“只有当”部分 A（ρ）∧A） 。因此，对于任何X∈我们有ρA(-十、-) = ρ∧A（X）=0。这个小鬼撒谎说-十、-∈所以A是引理3.3的剩余不变量。例6.18。让我们 L∞成为一个被接受的人。1.假设A是闭合且敏感的，ρA（0）=0。然后A（ρ∧A） =L∞+. 在这种情况下，ρ从6.15开始计算∧人工智能很敏感。2.假设A是σ（L）∞, 五十） 闭且相干，ρA（0）=0。然后A（ρ∧A） =s omeA的跨度（A）∈ F这是定理4.9的直接结果，因为接受集a（ρ∧A） 很容易成为自己σ（L）∞, 五十） 封闭而连贯。操作意义设ρ为正风险度量。在资本充足率背景下，数量ρ（X）被解释为使X可接受的成本。因此，为了使ρ具有操作意义，我们需要指定使X可接受的行动是ρ（X）的成本。在没有此类规定的情况下，ρ（X）不能以任何实际方式解释为资本要求。考虑一个验收集 L∞. 如前所述，现金加成风险度量ρ的定义是一个明确的操作性含义：对于任何X∈ L∞, 数量ρA（X）是必须筹集并添加到X中以达到可接受性的“最小”资本量（直到A的结束）。在这个意义上，所有X的恒等式ρA（X+ρA（X））=0∈ L∞（6.16）可被视为关键运营财产。以下属性（也在[6]第1.1节中强调）是（6.16）对积极风险度量的自然概括。定义6.19。正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞) 如果所有X的ρ（X+ρ（X））=0，则称为现金兼容∈ L∞. （6.17）备注6.20。

现金兼容性有以下操作解释：如果ρ：L∞→ [0, ∞) isa现金兼容正风险度量和X∈ L∞一个任意的资本头寸，然后我们可以通过添加ρ（X）使X可接受。因此，被理解为资本要求的风险度量与向头寸中添加现金以使其可接受的管理行为是一致的。备注6.21。让我们 L∞成为一个被接受的人。（i） 由于ρAis与现金兼容，因此ρ∨A始终满足6.17。因此，6.9号提案意味着，每一个受正性影响的现金加成的正风险度量都是自动现金兼容的。（ii）风险度量ρ∧阿多并不总是满足6.17。例如，样本6.5中定义的看跌期权溢价很容易被视为不具有该属性。我们还记得El Karoui和Ravanelli在[9]中提出的现金次可加性的概念。关于在ρa形式的风险度量中对该公理的讨论，请参考[11]。定义6.22。风险度量ρ：L∞→ 如果ρ（X+α），R称为现金次可加≥ ρ（X）- 所有的α都大于0。（6.18）备注6.23。让我们 L∞成为一个被接受的人。（i） 风险度量ρ∨Ais始终是现金附加的，如[19]中的命题4.3所示。正如命题6.9中的一个序列，每一个正的、盈余不变的风险度量都是现金子度量和二次度量，只要它是服从正性的现金加法。（ii）风险度量ρ∧人工智能总是以现金为次加法。的确，对于X∈ L∞α>0-（X+α）-≤-十、-+ α意味着ρ∧A（X+α）=ρA(-（X+α）-) ≥ ρA(-十、-+ α) = ρ∧A（X）- α .

（6.19）根据命题6.12，每一个现金损失为正的盈余不变风险度量都自动为现金次加。（iii）[6]中考虑的基于损失的风险度量是现金次加性的，如[6]中的第2.1节所示。下面的定理表明，在现金兼容的操作相关假设下，每一个现金次可加的正盈余不变风险度量都可以用ρ的形式表示∨A对于某些su rplus不变量接受集A L∞.定理6.24。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个积极的、盈余不变的、现金兼容的风险度量。那么，以下语句是等价的：（a）ρ=ρ∨A对于一些剩余的库存，请设置A L∞;（b） ρ是现金的次加性。（a）中设置的验收值始终可以选择为a（ρ）。证据我们只需要证明（b）意味着（a），正如Remark6的相反含义。23.为了达到这一目的，采取X∈ L∞. 我们认为ρ=ρ∨A（ρ）。因为ρ是现金兼容的，所以ρ（X+ρ（X））=0，所以X+ρ（X）∈ A（ρ）和ρ∨A（ρ）（X）≤ ρ（X）。如果ρ（X）=0，我们立即得到ρ∨A（ρ）（X）=ρ（X），因此假设ρ（X）>0。取任意的0<α<ρ（X）。通过现金次可加性，我们得到ρ（X+α）≥ ρ（X）- α>0，因此X+α/∈ A（ρ）。因此，ρ∨A（ρ）（X）≥ 对于所有这些α，意味着ρ∨A（ρ）（X）≥ ρ（X）。我们得出结论（b）适用于A:=A（ρ）。上述定理的直接结果是[6]中研究的所有凸的、基于损失的风险度量可以用ρ的形式表示∨Aas，只要它们与现金兼容。这再次强调了ρ形式的风险度量的相关性∨a关于剩余不变接受集a L∞.推论6.25。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是一个基于凸损失的风险度量。

如果ρ与现金兼容，则ρ=ρ∨A（ρ）。参考文献[1]Acerbi，C.：风险的光谱度量：主观风险规避的一致表示，银行与金融杂志，26（7），1505–1518（2002）[2]Alipr antis，Ch.D.，Border，K.C.：有限维分析。