考虑到定理3.5不是直接应用于U，而是应用于UX，其扩散特性γx的形式与随机场G的扩散特性相同，其中σy被σ所取代，因此，强对偶解的存在非常重要*t、 σXbyσ*t（x）=κ*t（x）。除了一致性，在这个HJB约束下，我们证明了这样的效用系统可以用封闭形式表示。为了接近定理3.5的符号，我们回顾了与原问题和对偶问题相关的最优SDE的所有系数，~σ*t（y）：=y（ν）*t（y）- ηRt），μ*t（y）：=-rty，σ*t（x）：=xκ*t（x）u*,ct（x）：=rtx+xκ*t（x）。ηRt- ζ*（t，x），bL（u）*,σ*,c） t，x：=x（kσ）*t（x）k十）- u*,ct（x）x、 L（~u）*,σ*)t、 x=kσ*t（x）kxx+~u*t（x）x（4.9）提案4.7。设U为K2，δloc正则（δ>0）累进效用U，其局部特征（β，γ）满足HJB约束（γx（t，x）：=-Uxx（t，x）xκ*t（x）+σ*t（Ux（t，x）），γ⊥x（t，-eUy（t，y））=yν*t（y）β（t，x）：=-Ux（t，x）xrt-eV（t，Ux（t，x））+Uxx（t，x）kxκ*t（x）k（4.10）（i）边际效用是SPDE（3.4）的递减解，其系数（u）*,c、 σ*) 和（√u）*, ~σ*)dUx（t，x）=σ*t（Ux（t，x））。dWt+~u*t（Ux（t，x））dt- xUx（t，x）σ*t（x）。dWt+~σ*y（t，Ux（t，x））dt）+bL*,ct，x（U）dt（4.11）（ii）表示SDE（u*,c、 σ*t） 和SDE(-rty，~σ*（t，y））承认单调解2021 06月28日19/38（X*t（x），Y*t（y））。然后，t时刻的边际远期效用是0时刻边际效用通过最优对偶过程Ux（t，x）=Y的非线性传输*t（ux（（X*（t）-1（x）证明。

首先，假设U是K2，δloc∩ C-正则，K1类的Uxis，δloc及其局部特征（βx，γx）为cinx类；然后向量σ*t（x）=-（γRx（t，x）+ηRtUx（t，x））/Uxx（t，x）和∑*t（y）=γ⊥x（t，-eUy（t，y））- yηr也属于C类，是定义的必要条件*,c、 通过推导正则累进效用U的局部特征，我们可以看到βx（t，x）=-x（Ux（t，x）xrt）- Uxx（t，x）eVy（t，Ux（t，x））+十、Uxx（t，x）kσ*t（x）k.观察到evy（t，Ux（t，x））=-（Vc）-1（t，Ux（t，x））=-ζ*（t，x），那么-x（Ux（t，x）xrt）- Uxx（t，x）eVy（t，Ux（t，x））=-x（Ux（t，x）xrt+Uxx（t，x）ζ*（t，x）=-xUx（t，x）u*,c（t，x）- rtUx（t，x）。它仍然需要对漂移特性进行一些细微的改变：βx（t，x）=-xUx（t，x）u*,c（t，x）- rtUx（t，x）+十、Uxx（t，x）kσ*t（x）k=bL*,ct，x（U）- rtUx（t，x）+xUx（t，x）σ*t（x）。ηRt=bL*,电流互感器，x（U）+u*t（Ux（t，x））+xUx（t，x）σ*t（x）。ηr让我们给出σ的另一种解释*t（x）。ηRt.自∑*（t，y）+ηRty属于向量空间R⊥t空间导数∑*y（t，y）+ηRtis也在R中⊥t、 屈服于标度积上的关系- σ*t（x）。ηRt=σ*t（x）。~σ*y（t，y）。那么，我认为dentity（4.11）是正确的。（ii）如果我们知道SDE（u）的单调解的存在性*,c、 σ*t） 和SDE(-rty，~σ*（t，y）），根据与Ux相关的SPDE的形式和定理3.5的断言（ii），我们很容易得到Ux（t，x）=y的表示*t（ux（（X*（t）-1（x）））。下一个定理给出了优化问题（单调）最优解存在的充分条件。定理4.8。

让你成为K2，δloc∩ C-正则（δ>0）累进效用U，其局部特征（β，γ）满足HJB约束4.10。主要结果假设存在两个适应界（K，K）∈ L（dt）使得正则随机场γ⊥xsatisfykγ⊥x（t，x）k≤ Kt | Ux（t，x）|，kγ⊥xx（t，x）k≤ Kt | Uxx（t，x）|，a.s.（4.13）（i）As yν*t（y）=γ⊥x（t，U）-1x（t，y）），和∑*t（y）：=y（ν）*t（y）- ηRt），SDE(-rty，~σ*（t，y））一致Lipschitz及其唯一强解y*t（y）i在增加，范围为[0，∞).（ii）此外，假设存在一个处理Vc（t，Kx）的适配界Ksuch≥Ux（t，x）a.s.对于任何x.使用符号σ*t（x）：=xκ*t（x）和u*,ct（x）：=rtx+xκ*t（x）。ηRt- ζ*（t，x），a）SDE（u*,c、 σ*) 是局部Lipschitz且允许最大正单调解X*这样Ux（，X*.（x） ）与溶液Y不同*.（ux（x））。b） 最佳财富过程中的最佳消费是2021 6月28日20/38摄氏度*t（x）=ζ*（t，X*t（x））=-eVy（t，Ux（t，X*t（x））=-埃维（t，Y）*t（ux（x））。用u表示的反向溶液*（t，x）=rtx+xκ*t（x）。ηrT一些没有消耗的Portfolio的漂移，通过ζ（t，x）一些增加的适应正随机场，以及通过u（t，x）=u*（t，x）- ζ（t，x）。假设存在（`X，Y*) 关于des的两个单调解（°u，σ）*) 和SDE（μ）*, ~σ*) 范围为（0，∞).a） 对于任何确定的效用函数（u，v），使得vc（ζ（0，x））=ux（x），ux（t，x）=Y*t（ux（\'X-1t（x）），Vc（t，c）=Ux（t，ζ）*,-1（t，c））b）此外，如果Y*t（u（x））x′Xt（x）在0的邻域内是勒贝格可积的，那么u（t，\'Xt（x））=ZxY*t（ux（z））x′Xt（z）dz，V（t，ζ）*（t，c））=ZcUx（t，z）dzζ*（t，z）（4.14）然后，在这些额外的可积性假设下，（Ux，Vc）是具有消费的一致效用系统的边际效用。证据

鉴于之前的结果，证明主要结果很容易。（i） 这一断言是对正交差异特征的假设的简单结果。（ii）a）我们首先用系数σ求解财富SDE*t（x）和u*,ct（x）。这些系数为局部Lipschitz，自ζ起呈线性增长*（t，x）=（Vc）-1（t，Ux（t，x））≤Ktx。然后是一个强解X*在爆炸时间τ（x）内存在。但是，通过SPDE的验证，Ux（t，X*t（x））=Y*[0，τ（x））上的t（ux）。自Y*t（ux）定义良好，τ（x）=+∞ a、 s。。由于我们必须考虑增量函数ζ，消耗的反向问题的公式更为复杂。断言a）由与之前使用定理3.5相同的论点证明。断言b）通过应用变量公式的变化，为正向效用本身的构造提供了一个直观的形式。4.5向后经典效用最大化问题的价值函数作为一致渐进效用本小节指出了一致渐进效用和向后经典价值函数之间的相似性和差异，以及它们相应的投资组合/消费优化问题。经典的投资组合/消费优化问题及其共轭问题经典的消费和终端财富优化问题是由一个固定的视界和两个确定的效用函数u（.）和v（t，.）直到这个地平线。使用与第4节相同的符号，经典优化问题被表述为以下最大化问题sup（κ，c）∈XcEu（Xκ，cTH）+ZTHv（t，ct）dt. （4.15）2021 6月28日21/38对于任何[0，TH]值F-停止τ和任何正随机变量Fτ-可测量ξτ，Xc（τ，ξτ）表示从时间τ开始的容许策略集，初始正财富ξτ，在财富过程达到0时停止。

相应的值系统（即由（τ，ξτ）索引的随机变量族）定义为，U（τ，ξτ）=ess sup（κ，c）∈Xc（τ，ξτ）Eu（Xκ，cTH（τ，ξτ））+ZTHτv（s，cs）ds | Fτ, a、 s.（4.16），终端条件U（TH，x）=U（x）。我们假设存在一个累进效用（仍然表示为U（t，x））聚集这些系统：这个结果或多或少隐含在文献中，并已被Englezos和Karatzas[30]在完全市场的情况下证明。不完全市场的证明将在未来的工作中完成。由于它在此类随机控制问题中是经典的（[18]），并由W.Schachermayerin[37]为无消耗问题所示，动态规划原理如下：对于任意对τ≤ [0，TH]的θ值停止时间u（τ，ξτ）=ess sup（X，c）∈Xc（τ，ξτ）EU（θ，Xθ（τ，ξτ）+Rθτv（s，cs）ds | Fτa、 在效用函数（u，v）的渐近弹性的温和假设下，[23]和[37]也证明了最优解（投资组合，消费）的任何初始财富的存在性。那么，（U（t，x），v（t，c））在定义4.3的意义上是一个Xc一致的动态效用系统，直到时间。Mania和Tevzadze[26]在价值函数U的强正则性假设下，利用反向SDPE证明了一个无消耗问题的相同性质。类似地，设（eU（t，y），~v（t，y））是（U（t，x），v（t，c））的凸共轭效用。eU（t，y）聚合了定义的等效后向对偶问题（KaratzasLehoczky-Shreve[16]）的动态版本，用于任何F-s顶部时间τ≤ 对于任何正态变量Fτ-可测ψτ，来自状态价格密度过程es{Yν，ν的族Yc（τ，ψτ）∈ R⊥} （见（4.2））动力学dYνt（y）=yνt（y）[-rtdt+（νt-ηRt）。dWt]，νt∈ R⊥t、 从时间τ的ψτ开始。

对偶后向优化问题的值函数为theneU（τ，ψτ）=ess infYν∈Yc（τ，ψτ）E~u（YνTH）+ZTHτv（s，Yνs）ds | Fτ, a、 s.（4.17）优化过程Yt（y）与ν=0相关联的变量在y中是线性的，为了简单起见，表示为Yt（y）=yYt（1）=yYt。我们还经常使用缩写符号Ys，t=Yt/Ys，s<t.（i）在完整市场中，yYt是唯一的状态价格密度过程，值函数由eu（τ，ψτ）=E给出~u（ψτYτ，TH）+RTHτv（s，ψτYτ，s）ds | Fτ, 然后最优状态价格密度Y*不依赖于效用函数u和v，以及在地平线TH上的最优过程的差异（X*, C*).2021 6月28日22/38（ii）在不完全市场中，我们参考[23]以确保存在最优状态价格密度Yν*,t使标准（4.17）最小化（注意，这可以在比远期情况更弱的假设下实现）。现在，最佳选择取决于视界，显然取决于效用函数（u，v）。由于我们本质上对地平线深度感兴趣，我们不记得效用标准的影响。为了避免过于繁琐的公式，Yν*,这通常表示Y*,H.由于（eU，~v）是一个渐进共轭效用系统，定理4.7的结果（在上述工作中通过最大值原理直接获得），我们知道Ux（t，X）*,Ht（x）），Y*,Ht（y）和最佳消耗率c*.Ht（c）由它们的初始条件连接：Ux（0，x）=y=vc（0，c）（c）*,Ht（c）=-~vy（t，Y）*,Ht（y））即。

vc（t，c）*,Ht（y））=y*,Ht（y），Ux（t，X）*,Ht（x））=Y*,Ht（Ux（0，x））=vc（t，c）*,Ht(-~vy（0，y）））Ux（0，x）=y=vc（0，c）（4.18），但经典优化问题的提出方式与渐进效用问题完全不同：U的初始值是通过后向分析计算的，从其给定的终值开始，而渐进效用的初始值是给定的。此外，最优财富仅从其终端价值X来表征*,嗯。为了计算它在任何时间t的价值，我们必须使用基于（X）的定价技术*香港电台+香港电台*sds）是一项可复制资产，其在t时的市场价值≤ 这是byX给的*,Ht（x）=EY*,HTH（y）X*,HTH+ZTtY*,Hs（y）c*,Hs（c）ds |英尺. （4.19）另一个主要区别是，从落后的角度来看，没有注意到最优策略的单调性。与渐进效用框架相比，经典环境下的最优解高度依赖于地平线TH，这导致了跨时性问题。为了说明这种时间不一致性，让我们考虑一个介于0和之间的中间地平线T，以及以下两种情况。- 在第一种情况下，投资者计算其对地平线T和效用函数（u，v）的最优策略，然后在时间T对其财富X进行再投资*实现最佳战略政策（X*,HTH（T，X）*T） ，c*,Ht（T，X）*T） ，对于效用函数（uH，v）的问题，在日期（T，TH）之间是最优的。- 在第二种情况下，投资者直接计算其最优策略，表示为（^XTH，^cHt），用于地平线和效用函数（呃，v）。由于偏好的唯一性（通常由投资者隐式假设），两种情况的最终价值必须一致，即X*TH（T，X）*T） =^XTHa。s对于任何T和（T<TH）。一般来说，这是不可能的。

事实上，在（T，TH）之间，投资者使用相同的效用函数（呃，v），应用于T，X时不同的初始财富*2021 6月28日，第一个战略为38/23，以及*T对于第二种策略，因为^XTH（T，^XT）=^XTHa。s、 特别是，如果^X对于初始财富是单调的，则当且仅当^XT=X时，才能实现最终时间一致性*T、 P- a、 s。。如果我们在任何时间T寻找相同的财产，财富过程^X和X*都一样。另一方面，动态规划原理意味着，对于地平线为T，但效用为随机效用（Ux（T，x），v）的类问题，^x是最优财富。在任何情况下，最优策略都不尽相同。因此，渐进效用过程是经典效用函数的一种替代方法，它给出了时间一致性属性，并激励人们根据跨期一致性重新考虑经典效用框架提出的问题。第5节重点介绍长期贴现率和收益率曲线的例子。但在此之前，作为效用最大化的一个应用，我们回顾了一些关于金融定价的结果。4.6风险中性定价和边际效用（含消费）差异定价从后向角度来看，我们通过所谓的定价规则（4.19）找到了最优财富的市场价值。这个问题与一个更一般的财务问题有关，该问题包括在T，T日支付的有界或有权ζT的定价≤ 第。可对冲收益的风险中性定价（i）在4.5中对最优状态价格密度的研究中，我们看到了所谓的最小密度过程Yt（y）=yYt发挥的“普遍”规则。特别是，由于RTI是一个向量空间，货币市场策略（κ≡ 0）是可容许的，且Lt=eRtrsdsYtis是局部鞅。

我们现在假设书信电报是[0，TH]上的一致可积鞅，它允许我们引入一个极小值，也称为风险中性鞅测度，dQ=LTH。σ场FTH上的dP。更一般地说，对于任何可容许的ν∈ R⊥t、 Lνt（y）=eRtrsdsYνt（y）：=LtL⊥,νt（y）也是局部鞅，鞅与正交局部鞅的乘积⊥,ν.（y） 。所以，我⊥,ν.（y） 是一个Q-局部鞅，Q-期望s比y.WhenE小LνTH（y）= y、 那么LνTH（y）/y是概率测度Qν相对于P的密度，L⊥,νTH（y）/y是在完全市场中，或更一般地在没有套利机会的不完全市场中，相对于Q.（ii）的Qν的密度，可由可容许的自融资投资组合复制的任何有界偶然目标ζTpaid在T日的市场价格pm（ζT）（在不含糊的情况下为pm）在任何可容许的状态价格密度，尤其是对于yy和Y，都是一个局部鞅*t（y）。因为Lis是真鞅，ζ有界，Ytpmt也是由其终值的条件期望给出的真鞅；2021 6月28日24/38此观察结果与经典定价公式（在完整市场中）一致，作为t和t之间贴现索赔的最小风险中性条件期望，pmt=EYT（y）YT（y）ζT英尺= 情商E-RTtrsdsζT英尺. （4.20）此外，对于任何可接受的过程∈ R⊥,L⊥,νt（y）e-RTtrsdspmt也是一个正的EQ局部鞅，然后是一个Q-超鞅，下面的不等式（如果⊥,ν是Q-鞅）成立YνT（Y）YνT（Y）ζT英尺= 情商L⊥,νT（y）L⊥,νt（y）e-RTtrsdsζT英尺≤ pmt，P- a、 s.（4.21）相同的定价公式可用于定价有界可套期支付。

最小风险中性定价规则给出了有界可对冲或有权益的最大卖方价格。（iii）从远期观点来看，我们知道，从规律性假设来看，最优状态价格Y*允许以下分解*t（y）=yYtL⊥,*t（y），其中⊥,*t（y）是Q-一致可积鞅。然后，所有之前的不等式都是等式，尤其是对于可对冲的支付fζT，EYT（y）YT（y）ζT英尺= 情商E-RTtrsdsζT英尺= pmt。P- a、 在后向案件中，同样的财产适用，前提是⊥,*,Ht（y）是Q-一致可积鞅。边际效用差异定价当收益ζ在不完全市场上不可复制时，有不同的方法来评估来自不可对冲部分的风险，从而产生买卖价差。一种方法是按差异定价。当投资者意识到他们对不可规避的风险的敏感性时，他们可以尝试在风险合约中仅以少量金额进行交易。在这种情况下，买方希望以买方的“公平价格”（也称为戴维斯价格或边际效用价格[4]）进行交易，该价格对应于零边际替代率看跌期权。换句话说，考虑以下两个反向最大化问题（有和没有权利要求ζTH）：Uζ（t，x，q）：=sup（κ，c）∈Xc（t，x）E[U（TH，xκTH+qζTH）+RTHtV（s，cs）ds | Ft]，（4.22）U（t，x）：=sup（κ，c）∈Xc（t，x）E[U（TH，xκTH）+RTHtV（s，cs）ds | Ft]，t≤ TH（4.23）边际效用差异价格是指投资者不参与或有权益投资的价格：这是金融时报调整的过程（看跌期权（x））t∈[0，TH]由非线性关系在任意时间t确定qUζ（t，x，q）|q=0=qU（t，x+qput（x）| q=0，f或全部t∈ [0，TH]。（4.24）边际效用价格是一个线性定价规则。

使用这一定价规则意味着对这一价格存在共识，但投资者不确定2021 6月28日25/38是否有此价格的流动性。在后向情况下，边际效用价格，如最优状态价格密度，取决于视界。特别是，如果意外目标ζ在时间T<TH时交付，则ζT可以在时间T和thin之间投资于任何可接受的投资组合X.（T，ζT）（Y下的鞅）*) 如以下建议所述，通过终端支付ζTH=XTH（T，ζT）计算边际效用价格，得出相同的价格。需要时，我们使用符号Y*,H.和pu，H（x，ζT）强调了反向优化问题的时间范围依赖性。提案4.9。设（U，V）是与具有最优状态价格密度过程Y的消费一致性优化问题相关联的渐进效用*.（y） 。（i） 对于在时间TH交付的负未定权益ζTH上的任何n，边际效用价格（也称为戴维斯价格）通过双参数化yput（x，ζTH）=E给出ζ*TH（t，y）/y | Ft, y=Ux（t，x）。（4.25）（ii）在远期情况下，可针对任何到期日定义定价规则≤ 同样的方法。然后，定价规则是时间一致的，put（x，ζTH）=put（x，ζT（T，x）），其中ζT（T，x）=put（x*T（T，x），ζTH）。（iii）在后向情况下，边际效用差异价格仅针对地平线TH支付的现金流确定。当索赔ζ在TH之前的时间T交付时，ζT可被视为从ζTat T开始的任何可接受投资组合在T处的（差异）价格，终端财富XTH（T，ζT）=ζTH。ζT的边际效用价格，表示dpu，H（x，ζT）来回忆它在这里的依赖性，然后，pu，Ht（x，ζT）=pu，Ht（x，ζTH）=Eζ*,HTH（t，y）/y | Ft= EζTY*,HT（t，y）/y |英尺.

（4.26）（iv）反向边际效用定价是一个适定的定价规则，因为它不取决于ζT上可容许扩展的选择。此外，该规则也是有时一致的。证据根据Davis[4]，我们计算任意目标的边际差异，如下所示。用（X）表示*,q（z），c*,q（z））优化程序（4.22）的最优策略（索赔数量ζTH），即U（TH，X）*,qTH（x）+qζTH）+RTHtV（s，c*,qs（x））ds= Uζ（t，x，q）。形式上，我们可以在期望下推导关于q的导数，并在q=0时取导数的值（经济学中称为包络定理）qUζ（0，x，q）|q=0=EhUx（TH，X）*,qTH（x））(qX*,qTH（x）+ζTH）|q=0+RTHVc（s，c）*,qs（x））质量控制*,qs（x）| q=0dsi。（4.27）在正则性假设下，如[4]所示，最优过程（X*,qTH，c*,qs（x））对于满足limq的量q是连续可微的→0X*,qTH=X*2021 6月28日26/38和林克→0qX*,qTH=0，a.s。；林克→0c*,qs（x）=c*s（x）和limq→0质量控制*,qs（x）=0，a.s。。这意味着边际差异价格令人满意ζTHUx（TH，X*TH（x））= pu（x）Ux（0，x）。在向前和向后的情况下，最优财富在地平线TH，Ux（TH，X）处的边际效用*TH（x）），是最优状态价格密度Y*初始条件为Ux（0，x）的TH（y）。主要区别在于，在远期情况下，过程是*不依赖于对比度较低的反向设置。在正向情况下，pu（x）=Ux（0，x）EUx（TH，X）*TH（x））ζTH= Eζ*TH（y）/y.

（4.28）在反向情况下，如果索赔的到期日为T≤ 然后将ζT投资于任何可接受的投资组合X.（T，ζT），使得（Xt（T，ζT）Y*,Ht（y））t≥通过计算ζTH=XTH（T，ζT），可以得出在任何情况下，pu，H（x，ζT）=pu，H（x，ζTH）=EE（XTH（T，ζT）Y*,HTH（y）/y |英尺）= EζTY*,HT（y）/y, y=Ux（0，x）（4.29），证明了反向边际效用定价是一个适定定价规则。在任何日期t，都可以使用相同的参数来确定边际效用价格，使用过滤Ft，put（z）=Ux（t，z）E的条件分布Ux（TH，X）*TH（z））ζTH英尺, z=X*t（x）=Eζ*TH（φt）/φt英尺, φ=Ux（t，X）*t（x））=Y*t（Ux（0，x））.5为产生曲线动态，为减少全球变暖的生态项目融资，为长寿问题或任何其他具有长期影响的投资，有必要精确地建模长期利率。答案无法在金融市场找到，因为对于更长期限（30年及以上）的债券市场，债券市场变得高度缺乏流动性，标准金融利率模型无法轻易扩展。5.1一般宏观经济学考虑一般来说，这些问题是在宏观经济层面上解决的，长期利率的含义不一定与金融市场相同。它们被称为社会效率或经济利率，因为它们只受经济结构特征的影响，而且对货币政策的敏感性较低。然而，对这些比率的正确估计对长期决策是有用的，了解它们的决定因素是重要的。2021 6月28日拉姆齐规则和均衡利率宏观经济学文献通常将经济均衡利率与时间偏好率和生产率增长平均率联系起来。

一个典型的例子是1928年拉姆齐[35]的开创性论文中提出的拉姆齐规则，其中经济利率与经济均衡时总消费的边际效用相联系。更准确地说，经济是由一个规避风险的代表性代理人的策略来表示的，其对t日消费率的效用函数是函数v（t，c）。从非平衡的角度来看，时间为0时的拉姆齐规则将平衡率形成率T与随机最优消费率（c）的边际效用vc（T，c）联系起来*t） 拜尔（t）=-TlnE[vc（T，c*T） ]vc（0，c）。（5.1）通常的设置是假设时间效用函数是可分离的，指数衰减率β>0，风险规避率α为常数（0<α<1），即v（t，c）=Ke-βtc1-α1-α. β是纯粹的时间偏好参数，即β量化了当前和未来的代理人偏好。然后将最优消费率外生建模为几何布朗运动，c*t=cexp（（g-σ） t+σWt）与g表示经济增长率。拉姆齐规则导致曲线（T）=β+αg-α(α + 1)σ. （5.2）拉姆齐规则仍然是参考方程，即使考虑的框架更现实，正如许多经济学家所讨论的那样，如戈利尔[9,13,8,12,11,7,10]和魏茨曼[39,40]。然后，利用最大值原理，通过拉姆齐法则计算时间0时的均衡收益率曲线，而不讨论这种方法的时间一致性。动态效用函数似乎非常适合于建模和研究长期收益率曲线及其动力学，因为它可以消除经典反向优化问题对成熟度的依赖，从而为最优选择提供时间一致性。

此外，由于动态效用函数考虑到投资者的偏好和风险规避可能会随时间而变化，因此它们也更准确。事实上，在存在广义长期不确定性的情况下，决策方案必须不断演变：经济学家们一致认为，有必要制定一个顺序决策方案，以便根据知识的演变修改最初的决策，并指导经验，见Lecocq和Hourcade[24]。此外，顺序决策允许我们应对有不同观点或预期的合作伙伴之间找到协议核心的情况，以便有时间解决他们的争议。5.2金融框架Cox Ingersoll-Ross[3]采用均衡方法，在金融市场存在的情况下，内生性地确定利率的期限结构。在他们的模型中，2021 6月28日28/38存在一种单一的消费品，生产过程遵循一种差异，其效率取决于某种程度上影响经济的外生随机因素。无风险利率是由内生性决定的，因此投资者在货币市场交易时不会表现得更好，也就是说，她在生产机会投资和无风险工具之间没有区别。现在提出的金融观点与前一种观点非常接近，但该机构可以在货币市场之外投资金融市场。我们考虑的是一种具有外生给定利率的套利方法，而不是一种内生决定它们的均衡-均衡方法（关于这两种方法之间的比较，请参见比约克[2]的课堂讲稿）。

金融市场是一个不完整的It金融市场：符号如第4.1节所述，具有n标准布朗运动、a（外源）金融短期利率（rt）和n维风险溢价（ηrt）。经典优化问题（4.16）中的（后向）经典优化问题在第4.5小节中研究了给定视界TH的经典优化问题，终端财富和消费率的效用函数都是确定性的，然后用小字母u和v设计；它们的芬切尔结合物用（~u，~v）表示。由于我们主要关注拉姆齐法则和收益率曲线动力学，因此我们关注等价对偶公式（4.17）。最优消费率*,通过最优状态价格密度过程y，H（y）依赖于时间范围th*,H（4.18）（c）*,Ht（c）=-~vy（t，Y）*,Ht（y））即vc（t，c*,Ht（y））=y*,Ht（y），0≤ T≤ THc=-■vy（0，y）即vc（0，c）=yAs由于拉格朗日乘数y没有明显的财务解释，我们在经济文献中采用了初始消费c的参数化，基于一对一对应的vc（0，c）=y。方程（4.18）可以解释为路径拉姆齐规则，最优消费边际效用与最优状态价格密度过程：vc（t，c）*,Ht（c））vc（0，c）=Y*,Ht（y）y，0≤ T≤ 对于vc（0，c）=y.（5.3）动态问题，我们采用第4节的符号，用大写字母表示渐进式实用程序。路径关系（4.18）仍然适用于累进效用函数，使用最优消费的特征（见定理4.7），其中参数化通过初始财富x完成，或等效于自c=-~vy（ux（x））=-■vy（y），Vc（t，c*t（c））=Y*t（y），t≥ 0与vc（0，c）=y。

（5.4）前沿观点强调了在渐进效用的正则性条件下，Y相对于初始条件Y的单调性所起的关键规则（2021 06月28日29/38定理4.7）。然后作为y的函数，顺式递减，和c*t（c）是c的一个递增函数。这个单调的问题经常被避免，可能是因为对于幂函数（Litteration中经常使用的例子）Y*t（y）在y中是线性的*不依赖于y。最优状态价格密度过程y*总结了经典向后和动态向前方法之间的所有差异。特别是，渐进式效用可以消除对成熟度的依赖，从而为最佳选择提供时间一致性。注：这一次，拉姆齐规则（5.1）在经济环境中也存在不一致性。实际上，他们所考虑的优化问题通常是通过时间可分离的效用v（t，x）=e公式化的-βtv（x）具有一个有限视界，这相当于（预期）考虑效用v和一个随机视界τhexponentially分布参数β。在拉姆齐规则（5.1）中，最优消费过程*本质上依赖于β，这对应于四个经典向后公式对地平线的依赖。5.3均衡和金融收益率曲线动态正如之前观察到的，正向和反向优化问题导致最优消费和最优状态价格密度之间存在相同的纵向关系（5.4）。主要区别在于对后向情况下最优数量范围的依赖性。

因此，通常使用正向情况的符号，但使用附加符号H（Y）*,H、 c*,H、 X*,H） 要解决对瘦的依赖，需要解决经典的落后问题。（i） 由于路径关系式（5.4），拉姆齐规则y将均衡利率描述为最优状态价格密度过程y的函数*,Re（T）（y）=-Tln E[Y*T（y）/y]，这允许从债券零政变的角度给出财务解释。在时间上更加动态，Ret（T）（y）：=-T- tln EVc（T，c）*T（c）*))Vc（t，c）*t（c））英尺= -T- tln EY*T（y）y*t（y）英尺t<t.（5.5）由于流动特性，{Y*T（y）=y*T（Y）*t（y）），c*T（c）*) = C*T（c*t（c）*)), t<t}，初始条件为c时，从时间t开始的平衡屈服曲线*t（c）=-埃维（t，Y）*t（y））是吉文比Ret（T）（Y）*t（y）），t<t.（ii）将问题简化为从零息债券的价格、EhY的数量给出财务解释*T（y）y*t（y）Ftit<t。允许Bm（t，t），t≤ T, （m formarket），是指到期时支付一单位现金的零息债券在t时的价格。在金融方面，市场收益率曲线由Bm（t，t）=exp通过零息债券的价格确定(-Rmt（T）（T）- t） ）。我们使用第4.6小节关于未定权益定价的结果：零息债券Bm（t，t）的情况对应于ζt=1。如果τHis呈独立指数律分布，参数为β，E（R+∞E-βtv（ct）dt=E（RτHv（ct）dt）。2021 6月28日30/38边际效用收益率曲线（i）在完整市场中，或者如果零耦合债券是可对冲的，则Bm（t，t）由最小风险中性定价规则Bm（t，t）=E计算Yt，T英尺= 情商E-RTtrsds英尺.然后，对于可复制债券，均衡利率和市场利率重合。（ii）对于不可对冲的零息债券，我们可以应用边际差异定价（与消费）。

所以我们用Bu（t，t）（u代表效用）来表示，在到期日t支付一个现金单位的零息债券在t时的边际效用价格，也就是Bu（t，t）=但是（t，y）=EhY*T（y）y*t（y）Fti。根据最优状态价格密度和最优消费之间的联系，我们可以看到but（T，y）：=Bu（T，T）（y）=EhY*T（y）y*t（y）Fti=EhVc（T，c*T（c））Vc（T，c*t（c））Fti。（5.6）根据拉姆齐规则（5.5），均衡利率和边际效用利率是sam e。然而，最后一条曲线仅适用于小型交易。Y的鞅性质*对于在时间t到期的零息债券，t（y）But（t，y）收益率为以下动力学，波动向量Γt（t，y）dBut（t，y）But（t，y）=rtdt+Γt（t，y）。（dWt+（ηRt）- ν*t（y））dt）。（5.7）使用指数鞅的经典表示法，Et（θ）=expRtθs.dWs-Rtkθsk。ds,鞅Y*t（y）但是（t，y）可以写成具有波动性的指数鞅ν*.（y）- ηR.+Γ。（T，y）. 特别是，使用BuT（T，y）=1，y*T（y）=Bu（T，y）ETν*.（y）- ηR.+Γ。（T，y）= y-e-RTrsdsETν*.（y）- ηR。.取对数givesZTrsds=T Ru（T）-ZTΓt（t，y）。（dWt+（ηt- ν*t（y））dt）+kΓt（t，y）kdt。

（5.8）当f族Γt（t，y）被假定为与成熟度t不同时，我们恢复了经典的Heath-Jarrow-Morton框架[14]，其短期利率rt=f（t，y）的动态表示如下：-ZtTΓs（T，y）。（dWs+（ηs）- ν*s（y））ds）+tkΓs（t，y））kds（5.9），其中f（，y）为远期空头利率。o收益率曲线动力学和有限期限零息债券的边际效用价格的计算则直接使用（5.6）得出收益率曲线动力学（Rut（T，y）=-T-tln但是（T，y））Rut（T，y）=TT- tRu（T，y）-T- tZtrsds-ZtΓs（T，y）T- tdWs+Zt||Γs（T，y）|2（T）- t） ds+Zt<Γs（t，y）t- t、 ν*s- ηRs>ds。2021 6月28日31/38，沿着Dybvig【33】和El Karoui和alii的相同路线。[31]我们研究了有限成熟期收益率曲线的动力学行为，当成熟期变为有限（y）：=limT→+∞发情期（T，y）。（5.10）如果限制→+∞Γt（t，y）t-它不等于零 dP a.s.然后limT→+∞||Γt（t，y）|t-t=+∞ a、 沙子lt（y）是固定的。否则，lt=l+RtlimT→+∞||Γs（T，y）|2（T）-（s）ds-ltis常数iflimT→+∞||Γt（t，y）|t-t=0，如果limT→+∞||Γt（t，y）|t-t> 0。备注5.1。当对冲策略无法实施时，交易的名义金额成为一个重要的风险因素，边际效用价格不再准确，尤其是当市场高度缺乏流动性时。面对这个问题，基于效用的差异定价方法似乎更合适。效用差异价格是指投资者在以最佳管理的投资组合（初始财富x+p）中的价格bp出售或购买一定数量q的积极主张ζTH（在时间TH支付）或在没有主张ζTH的市场上投资其初始财富时，其现金量bp。如果q>0（分别为q<0）-p=：PBS是积极的购买（分别为。

p=：销售）差异价格。换句话说，考虑（4.22）中提到的两个反向最大化问题：Uζ（t，x+bpt，q）=U（t，x），对于所有t∈ [0，TH]。（5.11）定价规则现在是非线性的，提供了买卖价差。由于不可能在这里发展这一观点，我们建议感兴趣的读者阅读卡莫纳[34]编辑的《差异定价》一书。5.4具有消耗和收益曲线属性的电力公用事业为了能够给出更精确的边际效用收益曲线属性，我们研究进步和落后的电力公用事业作为经济学最重要的经典例子，由于一些计算的简化。消费一致性渐进式电力效用让我们考虑与这对电力渐进式电力效用相关的消费一致性渐进式电力效用（具有风险规避系数α）U（α）（t，x）=bZ（α）tx1-α1-α、 V（α）（t，x）=（^ψt）αU（α）（t，x）. 根据推论4.6，最优过程与其初始条件（即bX）是线性的*t（x）=xbX*t、 Y*t（y）=yY*t、 c*t（z）=zbψt>0。通过bz（α）t=Y确定最佳工艺的效率*t（bX*t） α。此外，dbX*t=bX*T（rt）-bψt）dt+κ*t、 （dWt+ηRt）还有迪迪*t=Y*T- rtdt+（ν）*T- ηRt）dWs只有Bx的动力学*受消费率bψt的影响。2021 6月28日32/38功率反向效用和收益率曲线（i）对于反向效用函数，时间范围TH起着至关重要的作用。

对于到期日为T<TH的零息票，在T时的支付按照时间T到时间TH的无风险利率进行资本重组，导致零息票的边际效用价格（如（4.29）所述）Bu，Ht（T，y）=EhY*,HT（y）y*,Ht（y）Fti。由于功率反向效用问题的值函数是一个一致的功率效用过程，在成熟度TH时具有确定性值，因此第4.3节中之前的系统（I）表示，我们正在寻找最优过程X*还有Y*以至于*TH=Y*TH（X）*TH）α是常数C。因此，与正向情况相比，对时间范围的依赖性在时间TH的最优财富和最优对偶过程之间具有确定性约束。这个约束等价于最优投资组合的价值泛函的鞅性质，等于鞅1-αY*德克萨斯州*t=1-αEtκ*- ηR+ν*.为了理解短期利率不确定性的影响，最好编写constraintasX*THYTH=K YTHY*谢谢*真实航向1/1-α因为两个过程都是X*雅迪*十、*具有已知波动率的指数鞅分别由κ*+ ηRandν*+ κ*- ηR，和Yt=exp(-Rtrsds），其中LTI是具有波动性的指数鞅-ηR.为了表征所有这些过程的参数，我们可以在考虑即期汇率R或风险溢价ηR的随机性后，使用分解的唯一性作为某个指数鞅的终值，以及*. 在任何情况下，这个条件意味着随机变量RTHRSD和波动率ν上的一些联系*T- ηRtandκ*tof最优过程Y*还有X*.

但要概括地描述这种联系并不容易。在对数正态市场中，边际效用的例子产生了反向电力效用的曲线。我们假设一个对数正态市场：（i）ηR.是一个确定性过程（RTC包含确定性过程）（ii）（Rtrsds）0≤T≤这是一个高斯过程，具有确定性波动向量Γ。（t） 因此，Yi的对数是一个高斯过程，方程（5.8）可以写成-Ztrsds=Cst（t）+ZtΓs（t）。dWs，t∈ [0，TH]。（5.12）（iii）进一步假设*,他的决定论，最优财富Ln（X）的对数*,H） 最优状态价格密度ln（Y*,H） 是高斯过程。特别是在时间THln（Y*,HTH）=Cst-ZTHrtdt+ZTH（ν）*,Ht- ηRt）。dWtln（X）*,HTH）=Cst+ZTHrtdt+ZTHκ*tdWt，从Y开始*,HTH（X）*,HTH）α是一个常数，高斯变量（1- α） RTHΓt（TH）。dWt+RTH（ν）*,Ht- ηRt）dWt+RTHακ*,HTDWTHA的方差为0。因此，使用2021 6月28日33/38Γt（TH）分解为两个正交向量ΓRt（TH）和⊥t（TH），我们有*,Ht=-(1 - α)Γ⊥t（TH），ακ*,Ht+（1）- α） ΓRt（TH）=ηRt.（5.13）注意*,他总是与Γ成正比⊥（TH）和κ*,H仅通过ΓR（TH）到期。因此，关于确定性风险溢价ηR和最优确定性参数ν的知识*,Ht，κ*,Ht允许我们识别到期日为TH的边际效用零息票债券的波动性，即Γt（TH）=（ηRt- ν*,（1）- α)-α1 - ακ*,Ht（5.14）相反，考虑到到期日为TH的零息票债券的确定性波动率，以及风险规避系数α，我们可以很容易地从方程（5.13）中恢复最优波动率*,Htandκ*,嗯。短期利率动态的经典模型是Vasicek模型，其中短期利率由Ornstein-Uhlenbeck过程drt=A（b）给出- rt）dt- σdWt。

TRSDS的计算得出零息债券Γs（t）=（1）的波动率- E-a（t）-s） ）σa（参见示例[25]命题2.6.1.6了解这种经典高斯计算的细节）。经典框架由一个一维布朗运动驱动的完整市场构成。在一个不完全市场的框架中，噪声驱动即期汇率与驱动风险资产的噪声正交，则Γ⊥s（t）=（1）- E-a（t）-s） ）σa和ΓR=0。因此在这个例子中κ*,Ht=ηRtα不依赖于成熟度*,Ht=（α）- 1)(1 - E-a（第-t） ）σ依赖于到期时间（第- t） .o在后向情况下，无限期到期的收益率曲线*,Hdepends于到期日TH，即到期日lt=limT的收益率曲线→+∞车辙（T）不同于前车（5.10）中的车辙→+∞||Γt（t）|t-t> 0和α<。

当我们看到渐近线T时→ +∞ 和T≤ 我们设置TH=T→ +∞ （请注意，如果TH>T，类似的结果也成立。）→ +∞) andlt=l+ZtlimT→+∞||Γs（T）|2（T）- （s）- (1 - α)||Γ⊥s（T）| |（T）- （s）dslt=l+ZtlimT→+∞(2α - 1)||Γ⊥s（T）| | 2（T）- s） +| |ΓRs（T）| | 2（T）- （s）如果限制→+∞||Γt（t）|t-t> 0，LTI是风险规避α的非递减函数：如果α≥, LTI是一个非递减过程，如正向情况；如果α<1/2，根据limT的标志，LTT可能会降低或升高→+∞((2α-1)||Γ⊥s（T）| | 2（T）-s） +| |ΓRs（T）| | 2（T）-s） ）。特别是limT→+∞||Γt（t）|t-t> 0，α<和limT→+∞||ΓRt（T）|2（T）-t） =0意味着在对数正常市场的落后电力设施框架下，有限成熟度的收益率曲线下降。2021 6月28日34/38一个有效的单因素模型可以将以前的对数正态模型扩展到一个更随机的框架，同时产生易于处理的定价公式，请参见【22】。结论：在本文中，我们有意保持对经济环境的封闭，更精确地研究了幂效用函数，并使用边际效用指数（Davis price）对不可复制零息债券进行定价，这使我们能够在金融框架中解释拉姆齐规则。这些简化意味着避免了初始经济财富的影响：一方面，电力效用意味着最优过程相对于初始条件是线性的，另一方面，Davis price是一个线性定价规则，而对于不可复制的索赔，交易规模是必须考虑的重要风险源。这一重要问题涉及对初始财富的依赖及其对产量曲线的影响，将在未来的工作中讨论。参考文献[1]F。P.Berrier和M。R.Tehranchi。投资和消费的远期效用。预印本，2011年。[2] T.比约克。

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