长期收益率曲线建模中具有渐进效用的拉姆齐规则

2022-5-6 14:57:14

长期收益率曲线建模中具有渐进效用的拉姆齐规则*El Karoui Nicole，+Hillairet Caroline，Mrad Mohamed§2021年6月28日摘要本文的目的在于研究长期收益率曲线建模。受经济增长的启发，它提供了拉姆齐规则的财务解释，该规则将贴现率和总最优消费的边际效用联系起来。对于这种长期模型化，根据新的经济信息调整偏好的可能性至关重要。因此，在回顾了累进效用的一些重要性质之后，本文首先将一致累进效用的概念扩展为投资和消费的一对一致累进效用。一个最佳条件是，来自财富的效用满足HJB类型的二阶SPDE，包括来自消费的效用的芬切尔-勒让德变换。解决这个问题是为了给出这类一致渐进pairof效用的完整特征。这个结果的一个应用是根据渐进效用理论重新审视经典的后向优化问题，强调跨期一致性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:57:17

然后，我们研究了边际效用-收益率曲线的动力学，并以落后和进步电力公司为例。关键词：投资和消费的市场一致性渐进效用、随机偏微分方程、跨期一致性、远期/远期投资组合优化、拉姆齐规则、收益率曲线。MSC 2010:60H15、91B18、91B70、91G10、91G30。*在“Risque基金会主席Risque金融家”的财务支持下+LPMA、UMR CNRS 6632、皮埃尔和玛丽·居里大学、CMAP、UMR CNRS 7641、埃科尔理工大学、CMAP、UMR CNRS 7641、埃科尔理工大学、拉加大学、UMR CNRS 7539、巴黎大学13简介本论文重点关注长期收益率曲线的建模。对于生态项目的融资，对于长寿相关证券或任何其他具有长期影响的投资的定价，建模长期利率至关重要。在金融市场上找不到答案，因为对于较长期限的债券，债券市场流动性很差，标准金融利率模型不容易扩展。然而，关于长期政策制定的经济方面（即50至200年的时间范围）的大量文献已经形成。这一问题是在宏观经济层面上解决的，长期利率的含义不一定与金融市场相同。拉姆齐法则由拉姆齐在其开创性著作[35]中提出，并由戈利尔[9,13,8,12,11,7,10]和魏茨曼[39,40]等众多经济学家进一步讨论，它是计算贴现率的参考方程，允许我们通过给出当前等价值来评估投资的未来价值。TheRamsey规则将贴现率与经济均衡状态下总消费的边际效用联系起来。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:57:19

即使这条规则非常简单，但对于应该考虑的参数，经济学家们没有达成共识，这导致了非常不同的贴现率。但经济学家一致认为，有必要制定一个顺序决策方案，允许根据新知识和直接经验修改最初的决策：效用标准必须是适应性的，并根据信息流进行调整。在v视图的经典优化点中，这种适应性标准称为一致性。从这个意义上讲，El Karoui和Mrad[21,20]中研究的市场一致性渐进效用是研究长期收益率曲线的合适工具。事实上，在一个动态和随机的环境中，效用函数的经典概念不够灵活，不足以帮助我们在长期做出正确的选择。M.Musiela和T.Zariphopoulou[29,28,27]是第一个建议使用渐进式动态效用概念来代替经典标准的人，这一概念提供了一种适应性的方式来模拟代理人个人偏好随时间的可能变化。显然，动态效用必须与给定的投资领域一致；[21]从偏微分方程的角度研究了这个问题。受拉姆齐规则（其中消费率是一个关键过程）的激励，我们扩展了市场一致性渐进效用与消费的概念：代理人投资于金融市场，并在每一瞬间消费她的一部分财富。Berrier和Tehranchi[1]首先在零波动的特殊情况下考虑了这种投资和消费的渐进效用。本文采用不同的方法研究一般情况。在金融框架下，将收益率曲线和零息票联系起来是很自然的，不完全市场中的零息票定价是一个复杂的问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-6 14:57:22

效用函数也是效用差异定价方法的基石，用于不可复制或有目标的定价。对于少量交易，这种定价方法会产生一种线性定价（见[4]），称为戴维斯价格或边际效用价格。由于零息票债券市场对于长期到期而言流动性极低，因此研究效用差异定价法（2021第28期第2/38条）对于消费的渐进效用是相关的。本文还指出了渐进效用与后向古典效用最大化问题的价值函数之间的相似性和差异。尽管后向经典值函数是一种渐进效用（对于没有消耗的情况，参见Mania和Tevzadze[26]），但经典优化问题的提出方式与渐进效用问题非常不同。在课堂教学法中，通过逆向分析计算最优过程，强调它们对优化问题视界的依赖性，并导致跨时性问题。在渐进方法中，我们对效用特性提出了正则条件，以确保一致效用和最优解的存在。我们以长期贴现率和收益率曲线为例来说明这些问题。根据拉姆齐规则，我们证明了均衡利率和边际效用利率是一致的，但要注意的是，最后一条曲线只适用于小交易。对于可复制债券，均衡利率和市场利率是相同的。最后，我们在进步和落后电力公司（因为电力公司是经济文献中最常用的）的框架内研究边际效用收益率曲线的动态。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:57:25

特别注意潜在优化问题的自然性对收益率曲线的影响。本文的组织结构如下，关注的是在直觉和技术结果之间找到一个可行的调节。有关更多技术细节，感兴趣的读者可参考[21]。第2节从It领域的定义开始，并将这些It领域的随机领域描述为SDE的原语。特别关注芬切尔共轭效用随机场的动力学，得出边际共轭效用的非常直观的SPE。第3节是一个技术节，如H中所示。Kunita[15]介绍了过程的“Sobolev空间”，以便深入研究随机场和SDE解的单调性、可微性和凹性的性质。然后，详细描述了非线性SPDE和SDE之间的联系，给出了SDE解的路径表示。第4节介绍了投资领域，并研究了投资和消费的市场一致性进步效用。从一致性性质出发，我们导出了一个由投资和消费的动态效用满足的SPDE ofHJB类型。基于第3节中开发的SDE和SPDE之间的联系，并使用与[21]中相同的随机流动技术，给出了这些正向一致性实用程序的封闭公式，其中包括最优财富的反向流动。特别注意电力一致性效用的例子。本节最后给出了边际效用独立定价的一些结果，作为效用最大化的一个应用。第5节给出了屈服曲线动力学的应用。在介绍了计算长期贴现率的经济框架后，我们对拉姆齐规则进行了财务解释，并研究了边际效用收益曲线的动力学。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

kedemingshi

2022-5-6 14:57:28

2021 3/38电力公司和对数正态市场的框架中给出了收益率曲线的更精确特性，特别是对终端水平的影响。1渐进式效用由于宇宙的不确定性需要更灵活的标准，我们引入了渐进式效用的概念。所有随机过程都定义在标准的过滤概率空间上(Ohm, F、 P），其中过滤F=（Ft）t≥假设0是正确连续且完整的。概率测度P是一种参考概率，通常是历史概率。渐进效用及其芬切尔共轭我们首先将渐进效用定义为R上的渐进随机场*+凹形，并随参数增加。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:57:33

鉴于它在凸分析中的重要性，我们一起介绍它的凸共轭效用（也称为共轭累进效用（CPU））。定义1.1（渐进效用）。（i） a）累进实用程序是R上的连续累进随机字段*+, U={U（t，x）；t≥ 0，x>0}这样，f或每（t，ω），x7→ U（ω，t，x）是一个严格凹的、严格递增的非负效用函数。b）假设INDA条件U为C-随机场，满足INDA条件：对于每一个（t，ω），当x为0时，U（t，ω，x）为0，导数Ux（t，ω，x）（也称边际效用）从∞ 0。（ii）渐进效用U的渐进凸共轭（也称为芬切尔共轭）是定义在R上的渐进随机函数*+byeU={eU（t，y）；t≥ 0，y>0}，其中eu（t，y）def=maxx>0，x∈Q+U（t，x）- x y.在Inada条件下，eU是两次连续可微分的，严格凸的，严格递减的，eU（，0+）=U(+∞),欧盟（+∞) = U（0+），a.s.（iii）边际效用随机场Ux是边际共轭效用随机场Ux的反比，即Ux（t，.）-1（y）=-eUy（t，y），带eUy（，0+）=-∞,eUy（+∞) = 0，在Inada条件下。在双关系中，x>y=0∈Q+eU（t，y）+xy.moreovereau（t，y）=UT-尤伊（t，y）+eUy（t，y）y和U（t，x）=eUt、 Ux（t，x）+ x-Ux（t，x）。累进效用是一个依赖于实参数x（也称为累进随机场x）的随机过程的例子。从某种意义上讲，当考虑这个附加参数x时，指定一些必须考虑的属性是有用的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:57:37

特别是，我们说随机场X∈ F∞ B（R+） B（R+）满足一个属性，如果存在N∈ F∞当P（N）=0时，该性质满足Nc。例如，如果存在随机字段X，则称其为渐进式（可预测、可选）∈ F∞这样每ω∈ Nc，每x∈ R+，过程t7→ Xt（ω，x）2021 6月28日4/38是逐步可测量的。对于ω-tot的另一个族，给出了ω-tot的相对性质的例子∈ Nc，每t>0，x 7→ X（t，X）（ω）满足性质。特别是，所有以前的性质，如凹性、可导性等，都可以从这个意义上理解。符号P a.s.用于表示可忽略集不依赖于x。为了突出直觉，第2节介绍了将指导我们完成本工作其余部分的关键思想，几乎不考虑假设。第3节通过关注满足我们假设的条件来完成研究。2 It的渐进效用本节使用了[21]中开发的工具，并回顾了一些关于It渐进效用的重要结果，这些结果将对这项工作有用。2.1 It^o’s progressive Utility and SDE我们关注的是连续渐进效用U，它是It^o的半鞅的集合，取决于由概率空间上定义的n维布朗运动W=（W，…，Wn）驱动的参数(Ohm, F、 P）。从H.Kunita[15]可以看出，存在两个渐进的随机场（β（t，x），γ（t，x）），称为U的局部特征- a、 s，dU（t，x）=β（t，x）dt+γ（t，x）。dWt（2.1）通常，随机场β称为漂移特性，随机场γ称为扩散特性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:57:41

对于t=0，确定性效用U（0，.）和V（0，.）表示为u（.）和v（.）以下小写字母u和v表示实用程序，大写字母表示渐进式实用程序。第一步是给出局部特征（β，γ）的条件，使得（2.1）定义的累进随机域是一个累进效用，相对于x是单调的和凹的。通常更容易证明累进边际效用是严格正的，且范围为（0，∞).提议2.1。（i）我们假设U是足够规则的，因此一阶和二阶导数随机场ux和ux也是随机场，具有局部特征（βx，γx）和（βxx，γxx）。我们记得-Ux等于共轭优度的导数。（ii）内在SDE边际随机效用Ux（直到初始条件x的变化=-是强解z（z）=Ux（。，-以下一维随机微分方程SDE（u，σ）的uy（z）），即P a.s。，dZt=u（t，Zt）dt+σ（t，Zt）dWt，Z=Zu（t，Z）：=βxT-尤伊（t，z）, u（t，0）=0σ（t，z）：=γxT-尤伊（t，z）, σ（t，0）=0（2.2）2021 6月28日5/38溶液Z相对于其初始条件是单调的，范围为（0，∞).（iii）作为SDE原语的随机效用特征让我们考虑aSDE（^u，^σ），dZt=^u（t，Zt）dt+^σ（t，Zt）dWt，Z=Z，并假设存在一个强全局解Z（Z），在Z范围（0，∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:57:44

然后，对于任意效用函数u，使得Z（ux（x））在x=0的邻域内是勒贝格可积的，本原u={u（t，x）=RxZt（ux（Z））dz，t≥ 0，x>0}是一个渐进的实用程序。注释（i）使用与确定性情况下相同的参数证明了SDE（u，σ）强整体解的存在性，当系数为统一的线性线性规划，且（随机）时间依赖于Lipschitz界时（Protter[32]，或更详尽的研究，见Kunita[15]）。常数Lipschitz界C对应于Lipschitz SDE的经典框架，其射程性质是众所周知的。（ii）“全局解”的概念表示解（Zt（z））存在于所有t≥ 0.在较弱的假设下，在爆炸之前，溶液可能仅定义为有限寿命ζ（z）。更多细节将在下一节中给出。（iii）可以展示一个IT^o的随机油田的局部特征（β，γ）成为渐进效用的充分条件：特别是，如果存在随机Lipschitzbounds和KitwithRTCitdt<+∞ andRT|Kit|dt<+∞ 对于任何T，例如P a.s.（|βx（T，x）≤ Ct | Ux（t，x）|，kγx（t，x）k≤ Kt | Ux（t，x）|βxx（t，x）|≤ Ct | Uxx（t，x）|，kγxx（t，x）k≤ Kt | Uxx（t，x）|（2.3）内禀SDE（u，σ）的系数均为Lipschitz，U为渐进效用。2.2凸共轭渐进效用的动力学对渐进效用U的凸共轭效用U的研究基于众所周知的实体（定义1.1）eU（t，y）=U（t，-eUy（t，y））+yeUy（t，y），并要求了解C-半鞅U（t，x）在这个过程中的动力学-尤伊（t，y）。计算基于It^o-Ventzel公式，这是经典It^o公式的扩展。我们参考Ventzel[38]和Kunita[15]（定理3.3.1）了解该公式的不同变体。命题2.2（I^o-Ventzel公式）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:57:53

考虑一个具有局部特征（φ，ψ）的C-It^o半鞅F，这样fx也是一个具有局部特征（φx，ψx）的It^o半鞅。对于任何连续的It^o半鞅X，F（，X.）是It^o半鞅，F（t，Xt）=F（0，X）+Ztφ（s，Xs）ds+Ztψ（s，Xs）。dWs（2.4）+ZtFx（s，Xs）dXs+ZtFxx（s，Xs）hdXsi+ZthdFx（s，x），dXsi | x=XsComment方程右侧的第一行对应于过程的动力学（F（t，x））t≥0taken on（Xt）t≥0，当在第二行时，2021 6月28日前的两个术语来自经典的It^o’s公式。最后一项表示dFx（t，x）和dXt之间的二次协变量，x=Xt，可以写成ψx（t，Xt）。σxtdt当X的扩散系数为向量σXt时。它-Ventzel公式和变量的单调变化将有助于我们建立随机场U的局部特征与定理2.3之间的关系。假设U是一个渐进效用，U是一个渐进凸共轭效用，U是具有局部特征（β，γ）和（～β，～γ）的C-It^o半鞅。我们还假设它们的边际效用Ux和Uy是具有局部特征的emi鞅（βx，γx）和（～βy，～γy）。（i） Eu的动力学由非线性二阶SPDE驱动，deU（t，y）=γ（t，-eUy（t，y））。dWt+β（t，-eUy（t，y））dt+eUyy（t，y）kγxT-尤伊（t，y）kdt。（2.5）（ii）假设（u，σ）（与Ux相关的SDE的随机系数）对于散度形式的伴随椭圆算子是公平规则的，定义良好，bLσ，ut，y（f）=y（kσ（t，y）kyf（t，y））- u（t，y）yf（t，y）。（2.6）那么边际共轭效用Eu是前向spdeduy（t，y）的单调解-y（eUy）（t，y）σ（t，y）。dWt+bLσ，ut，y（eUy）dt，eUy（0，y）=uy（y）。（2.7）观察到，局部特征（～β，～γ）的可导性要求存在一个三阶导数foreU，因此对于U。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:57:56

还应注意（ii）描述了SDE的倒数。证据将其应用于正则随机场F（t，x）=U（t，x）-y x与半鞅Xt=-尤伊（t，y）。以下标识将用于ul、F（t、，-eUy（t，y））=eU（t，y），Uxx（t，-eUy（t，y））=-1/eUyy（t，y）。（i） a）观察Fx（t，-eUy（t，y））=Ux(-eUy（t，y））- Y≡ 0，因此术语inFx（s，Xs）dxsd出现在It^oVentzel公式中；然后，扩散随机场γof Eu是γ（t，y）=γ（t，-eUy（t，y））。其导数γy（t，y）=-γx（t，-假设eUy（t，y））eUyy（t，y）是eUy的扩散特征。因此，协变量项由hdfx（t，x）驱动，-deUy（t，y）i=-hγx（t，x），～γy（t，y）idt。b）然后，将其简化为Deutzy-Ventzy公式- β（t，-eUy（t，y））dt- γ（t，-eUy（t，y））。dWt=UxxT-尤伊（t，y）hdeUy（t，y）i- hγx（t，-eUy（t，y））。γy（t，y）idt=Uxx（t，-eUy（t，y））kγy（t，y）kdt- Uxx（t，-eUy（t，y））kγy（t，y）kdtUxx-公式=-Uxx（t，-eUy（t，y））kγy（t，y）kdteUyy公式=eUyy（t，y）kγxT-尤伊（t，y）kdt。2021 6月28日7月38日（ii）通过对上一个方程中的项进行逐项微分，获得了（通过假设和定理3.1）Eyuy的动力学。系数σ（t，y）=γx的使用T-尤伊（t，y）和u（t，y）=βxT-尤伊（t，y）通过与UX相关的SDE，我们可以表达由操作员tbLσ，ut，y驱动的SPDE的解决方案=y（kσ（t，y）ky）- u（t，y）y、平分球（t，y）=-eUyy（t，y）[u（t，y）dt+σ（t，y）.dWt]+y（eUyy（t，y）kσ（t，y）k）dt=-yeUy（t，y）σ（t，y）。dWt+bLσ，ut，y（eUy）dt证明成立。备注2.1。显然，我们也对与单调随机变量y相关的SDE（～u，～σ）的性质感兴趣，～u（t，z）=～βy（t，（eUy）-1（t，z））和∑（t，z）=γy（t，（eUy）-1（t，z））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:01

鉴于此（尤伊）-1（t，z）=-Ux（t，z），Uxx（t，z）~σ（t，z）=γx（t，-z）和Uxx（t，-z） u（t，-z）=βx（t，z）-十、kγx（t，z）kUxx（t，z）.很明显，这些系数在全球范围内并不是Lipschitz。直接研究SDE（＠σ，＠u）的问题是可能的爆炸时间τ（x）的存在，如下一节3.1定理3.1所示。让我们首先介绍一下关于规则性问题的其他工具。3 It^o随机场和Spdes在本节中，我们关注It^o随机场局部特征的规律性，以证明流动特性的合理性，尤其是在导数、单调性等方面。。。。我还建立了SDE和SPD之间的联系，这将有助于从动态角度描述市场一致性渐进公用事业。3.1正则性问题我们将讨论半鞅随机场F（t，x）=F（0，x）+Rtφ（s，x）ds+Rtψ（s，x）的正则性。dWsin与其局部特征（φ，ψ）的规律性有关，反之亦然。我们也关心同样的关于SDesolutions的问题，其中空间参数是初始条件。在确定性的情况下，有必要引入一些非常类似于索波列夫规范的空间规范。范数和空间的定义让φ是一个连续的Rk值进行随机域，让m是一个非负整数，δ是（0，1）中的一个数。我们需要控制0和1中的渐近行为∞ φ，以及存在时其H"older导数的正则性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:04

更精确地说，让φ在Cm类中，δ（]0+∞[），即（m，δ）-对于任何t，x中连续可微的次数，对于任何子集K，a.s.（i）]0, +∞[，我们定义了随机（H"older）K-半范数族kφkm:k（t，ω）=supx∈Kkφ（t，x，ω）kx+P1≤J≤msupx∈Kkjxφ（t，x，ω）kkφkm，δ：K（t，ω）=Kφkm:K（t，ω）+supx，y∈Kkmxφ（t，x，ω）- mxφ（t，y，ω）k | x- y |δ。（3.1）2021 6月28日8/38案例（m=0，δ=1）对应于第1节中使用的Lipschitz案例的本地版本。当K是所有域]0时+∞[，我们简单地写k.km（t，ω），或k.km，δ（t，ω）。（ii）之前的半范数与空间参数有关。我们加上时间维度，作为这些半范数（或半范数的平方）的和，在时间上可积于[0，t]上的勒贝格测度。然后，正如在Lebesgue\'sTheorem中，我们可以区分、传递到极限、通勤极限和随机领域的积分。书法符号提醒我们，这些s emi规范是随机的。a）对于任意一个这样的紧集，δk表示]0, +∞[，和任何T，RTkφkm，δ：K（T，ω）dt<∞, （分别为RTkψkm，δ：K（t，ω）dt<∞ ).b）当这些不同的规范在整个空间中得到明确定义时]0+∞[，导数（高达某一阶）在空间参数中有界，在时间随机界中可积（分别为平方可积）。在这种情况下，我们使用符号Kmb、KmborKm、δb、Km、δb。随机场和SDE的正则性性质以下命题是Kunita[15]中技术结果的简短介绍。命题3.1（随机领域的差异规则）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:08

设F是具有局部特征（φ，ψ）的It^o半鞅随机域，F（t，x）=F（0，x）+Rtφ（s，x）ds+Rtψ（s，x）。dWs（i）如果F是Km，则某些m的δloc半鞅≥ 0, δ ∈ （0，1），其局部特征（φ，ψ）为Km类，εloc×Km，εloc对于任何ε<δ。（ii）相反地，如果局部特征（φ，ψ）是类Km，δloc×Km，δloc，那么F是任意ε<δ的aKm，εloc半鞅。（iii）在任何情况下≥ 1, δ ∈ （0,1），导数随机场FX是一个具有局部特征（φx，ψx）的It随机场。SDEs解决方案的特殊情况对于应用程序来说非常重要。陈述如下[21]。定理3.2（SDE的流动特性）。a）强溶液考虑S DE（u，σ），具有均匀的Lipschitz系数（u，σ）∈ K0,1b×K0,1b。存在一个独特的强解X，使得dxt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）。dWt，X=X.（i）如果u∈ Km，δ带σ∈ Km，δb对于某些m≥ 1, δ ∈ （0，1），解X=（Xxt，X>0）是任意ε<δ的一个Km，ε半鞅。逆X-X的1也属于Cm类。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:11

那么，导数xxx和1/xxkm是Km-1，εloc半鞅。（ii）X，λX（t，X）=u（t，Xxt）和θX（t，X）=σ（t，Xxt）的局部特征仅具有局部性质，并且对于任何ε<δ，都属于Km，εloc×Km，εloc。b）局部SDE仅假设系数（u，σ）的局部性质∈ K0,1loc×K0,1loc。（i）然后，对于任何初始条件x，SDE具有唯一的最大m单调解2021 6月28日9/38（Xxt），直到爆炸时间τ（x），并且（Xxt）是全局解，当且仅当爆炸时间τ（x）等于∞ 对于所有x>0 a.s。。（ii）如果（u，σ）∈ Km，δloc×Km，δloc，m≥ 1, 0 < δ ≤ 1，Xt（.）属于Cm类，ε，ε<δon{τ（x）>t}。3.2通过SDEssion可解的SPD Es我们只关心SDEs的非爆炸性溶液，我们给这个特殊类别起了一个名字。Sm类，δ：具有（u，σ）的SDE（u，σ）∈ Km，δloc×Km，δloc，其局部解为非爆炸解的称为Sm，δ类。Smδ中SDE的典型例子是与边际共轭性相关的SDE，该边际共轭性被视为SDE（u，σ）解的逆解，如定理2.3所示，其中aSPDE在定理2.3中以一种非常自然的方式关联，前提是逆流-eUyof是一个半鞅。这似乎很明显，但一般来说，半鞅的逆不一定是半鞅。确定系数（u，σ）所需规律性的一种方法是将SPDEI正式转换为SDE，并将之前的结果应用于SDE。我们还指出，逆流比逆流本身更不规则。SPDE的观点更能有效地计算解或其逆的斯托克斯变换，并允许我们在SDE和SPDE之间建立精确的联系。最后一个观点非常适合本文中发展的渐进实用程序的研究。提议3.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:15

设（X（t，X））为Sm，δ，m类SDE（u，σ）的单调解≥2, δ ∈]因此，作为随机场（X（t，X））及其局部特征（λ（t，X）=u（t，X（t，X））和（θ（t，X）=σ（t，X（t，X）））属于Km类，εloc和Lm类，εloc×Km，εloc对于任意0<ε<1。我们关心的是SDE（＠u，＠σ）dξt=-Xx（t，ξt）hλ（t，ξt）-十、kθkXx（t，ξt）dt+θ（t，ξt）。dWti，ξ=z，（3.2），其中∑（t，z）=-θ（t，z）Xx（t，z）和)u（t，z）=Xx（t，z）十、kθkXx（t，z）- λ（t，z）.（i） σSm的类是-ε（0<ε<δ）及其唯一单调解ξzis逆流X-因此，逆X-1of X是一个半鞅，属于类别KM-2，εloc∩ 厘米证据（i）根据定理2.3，X可以被视为一个边际累进效用Ux，其初始变量的变化。从备注2.1中，如果其逆ξXis是“正则的”，则ξXis是具有Xx（t，z）～σ（t，z）=σx（t，x（t，z））和Xx（t，z）～u（t，z）的SDE（～u，～σ）的解=十、kσ（t，X（t，X））kXx（t，X）（t，z）- u（t，X（t，z））局部SDE的系数（~u，~σ）为Km级-2，εloc×Km-1，εloc。然后，SDE有一个唯一的最大解ξ（t，z）直到一个寿命τ（z）。有待证明的是，到2021 10月28日，It^o-Ventzel公式X（t，ξ（t，z））=z on[0，τ（z））。假设这一点已得到证明。那么连续（时间）过程X（t，ξzt）在[0，τ（z）]上是常数a.s。在时间t=τ（z）<∞,ξ（t，z）=∞ 和X（t，∞) = ∞. 另一方面，通过连续性，X（t，ξ（t，z））=z-ift=τ（z）<∞. 为了避免矛盾，必须τ（z）=∞, a、 s。。所以ξ是X的逆流ξXof X。X（t，ξ（t，z））=z的证明与下一个证明非常相似，所以我们在这里省略它。现在我们回到第2节EOREM 3.4中的SPDE观点。让我们考虑Sm类的SDE（u，σ），δ和m≥ 2, δ ∈ （0,1]及其伴随算子blσ，ut，z=z（kσ（t，z）kz）- u（t，z）Z

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:18

用X表示其唯一解。（i）逆流X-1=ξXof X是Km类的严格单调解-2，δloc∩ Cmof SPDE（bLσ，u，-σz）初始条件ξ（z）=z，dξ（t，z）=-ξz（t，z）σ（t，z）。dWt+bLσ，ut，z（ξ）dt。（3.3）（ii）相反≥ 2）设ξ为K1，δloc∩ C-SPDE的正规溶液（bLσ，u，-σz）（3.3）。那么，ξ（t，X（t，X））≡ x和ξ是严格单调的逆流x-1:=ξXof X。此外，SPDE（bLσ，u，-σz）在K1类中，δloc∩C-正则解。证据（i）我们从K1类的单调解ξ开始，δloc∩ SPDE的Cof:dξ（t，z）=-ξz（t，z）σ（t，z）。dWt+bLσ，ut，z（ξ）dt。（ii）根据定理3.1，ξ足够规则，可以使用它的-Ventzel公式和SDE（u，σ）的解x（t，x）=Xxtof来计算H（t，x）=ξ（t，x（t，x））的动力学。在下一个等式中，我们不记得参数x.dHt=- ξz（t，Xt）σ（t，Xt）- ξz（t，Xt）σ（t，Xt）.dWt+bLσ，u（ξ）+ξzzkσk+uξz+z(-ξzσ）。σ（t，Xt）dt=ξzzkσk+ξz(zkσk）- z（ξz）kσk-ξz(zkσk）（t，Xt）dt=0随机场H（t，x）=ξ（t，x（t，x））在时间上是恒定的，并且等于其初始条件x。这就证明了x是ξ的逆流。Sm，δ-SDE（u，σ）只有一个解X。那么，SPDE的任何“正则”解ξ都是X的倒数，并且是唯一的。下一个结果对应用程序很有用，是前一个结果的略微扩展。它在更一般的二阶SPDE和两个SDE之间建立了联系。这是基于观察到的，如果ξ是SDE（uX，σX）的单调解X的逆，如果φ∈ 在正则单调函数中，过程X（，φ（X））满足相同的条件（uX，σX），因此其逆φ-1（ξ（z））满足与ξ相同的SPDE。扩展描述了与复合过程Y（t，ξ（t，z））相关的SPDE，确定为唯一的解决方案。2021 6月28日，38年11月定理3.5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:21

设X是SDE（uX，σX）和ξa K1，δloc的解∩ SPDE（bLX，-σXz），wherebLXt，z=z（kσX（t，z）kz）- uX（t，z）z、（i）设Y是K1类的解，δloc∩ cofsde（uY，σY）和φC中的任何函数。然后，随机场Y（t，φ（ξ（t，z））=G（t，z）演变为dG（t，z）=σY（t，G（t，z））。dWt+uY（t，G（t，z））dt- zG（t，z）σX（t，z）dWt+σYy（t，G（t，z））dt]+bLXt，z（G）（t，z））dt（3.4），初始条件为G（0，z）=φ（z）。（ii）可解的SPDE：相反，设G是K1类的解，δloc∩ SPDE（3.4）；然后，初始条件为φ（z）：=G（0，z）的过程G（t，Xt（z））是de（uY，σY）的解。如果这个方程的唯一性成立，那么G（t，z）=Yt（t，φ（ξ（t，z）），而SPDE（3.4）的唯一性也成立。注意这个定理的断言中假设（可能是等价的）的不同性质。在（i）中，我们假设系数具有足够的正则性，使得Y满足It^o-Ventzel假设，并且X的逆ξ是It^o半鞅，而在（ii）中，我们只假设X的存在（没有正则性），但作为回报，我们假设存在SPDE（3.4）的平滑解决方案G。4投资和消费的市场一致性渐进效用渐进效用渐进效用的概念非常普遍，应该加以具体说明，以便更真实地反映给定金融市场中投资者个人偏好的动态演变。与统计学习一样，效用准则也会根据市场过去的信息进行动态调整，以达到最佳效果。因此，市场投入可以被视为一个校准宇宙，并给出了一个测试类的过程，在这个过程中，效用是可以提供最佳满意度的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-6 14:58:24

市场投入由投资组合和消费的向量空间描述，结合可行性和交易约束以及高流动性。鞅属性定义4.3解释了一种可接受的策略的存在，该策略将为投资者带来最大的满意度，并将在未来的任何时候都予以保留。另一方面，如果XC的战略未能达到最优，那么最好不要进行投资。最优策略可以被视为投资者使用累进效用U的基准。一旦确定了其一致的累进效用，投资者就可以在更大的金融市场中转向投资组合优化问题，或计算差异价格。在扩展[21、20、19]中介绍的一致动态效用的定义之前，在消费的框架中，我们首先定义了投资领域和一组测试过程，然后是Musiela和Zariphopoulo[29、27]。2021 6月28日12/384.1消费投资领域。我们考虑一个不完整的It^o市场，定义在过滤概率空间上(Ohm, 由n-标准布朗运动W驱动。与往常一样，市场的特点是短期利率（rt）和n维风险溢价向量（ηt）。代理人可以在这个金融市场上投资，并被允许以累进利率消费其部分财富≥ 0.简而言之，我们给出了可接受策略类（κt，ct）的数学定义，但没有具体说明风险资产。市场的不完全性通过限制风险投资组合κt约束在给定的累进向量空间（Rt）中来表示。为了避免技术问题，我们始终假设所有过程都满足必要的可测性和可积性条件，因此以下形式化操作和陈述是有意义的。定义4.1（测试过程）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:28

（i）具有风险投资组合κ和消费率c的财富过程的自我融资动力学由dxκ给出，ct=Xκ，ct[rtdt+κt（dWt+ηtdt）]- ctdt，κt∈ Rt.（4.1）其中c是一个正适应过程，κ是一个渐进的n维向量，测量财富Xκ，c，s的波动向量，如RTCT+kκtkdt<∞, a、 s。。（ii）如果自我融资策略（κt，ct）随着投资者破产而停止（当财富过程达到0时），并且如果投资组合κ生活在向量s空间（Rt）A.s.的给定推进家族中，则自我融资策略（κt，ct）是可接受的。。（iii）具有可容许（κt，ct）的财富过程集，也称为测试过程，由Xc命名。当投资组合在时间t从x开始时，我们使用符号Xct（x）。以下简短符号将被广泛使用。设R是Rn的向量子空间。对于任何x∈ Rn，xRis向量x在R和x上的正交投影⊥是R上的正交投影吗⊥.风险溢价η的存在可能是缺乏任意性的一种表述。从（4.1）开始，风险溢价对财富动态的影响仅通过κt.ηt或κt来体现∈ Rt，存在一个“最小”风险溢价（ηRt），即ηt在空间Rt上的投影（κt.ηt=κt.ηRt），我们在这个问题中提到了它。此外，ηRis的存在不足以确保等价鞅测度的存在，因为通常我们不知道指数局部鞅ηRt=exp(-RtηRs.dWs-Rt | |ηRs | | ds）是一致可积鞅，是等价鞅测度的密度。在下面的定义中，我们感兴趣的是所谓的状态价格密度过程Yν（考虑折扣因素），它对渐进共轭效用的作用与对渐进效用的测试过程Xκ，Cf的作用相同。2021 6月28日13/38定义4.2（州价格密度过程）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:31

（i）如果对于任何可容许的检验过程Xκc，（c≥ 0κ ∈ R），Yν。Xκ，c.+R.Yνscsds是一个局部鞅。因此，Yνsaties，dYνt=Yνt[-rtdt+（νt- ηRt）。dWt]，νt∈ R⊥t、表示所有态密度过程的凸族，其中∈ R⊥并观察到Yν是Y（ν=0）与密度鞅Lνt=exp的乘积Rtνs.dWs-Rt||νs|ds.关于这些假设与市场计算值Nt=（Y）之间联系的有趣讨论-在D.Heath&E.Platen[5]和D.Filipov ic&E.Platen[6]的书中可以找到1t，也称为GOP（增长最优投资组合）。然而，为了限制论文的篇幅，我们报告了在我们的框架中使用数字的变化。4.2 Xc与消费一致的效用和投资组合优化由于我们对优化终端财富和消费率感兴趣，我们引入了两个渐进效用：第一个是U，用于终端财富，第二个是V，用于消费率。从动态的角度来看，U和V将扮演不同的角色，只有U需要成为一个It实用程序。为了表明适应性标准（U，V）很好地适应投资领域，我们引入以下条件：定义4.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:34

Xc一致的投资和消费累进公用事业系统是一对U型和V型累进公用事业系统Ohm × [0, +∞) 具有以下附加属性的X R+（i）与测试类的一致性：对于任何可容许的财富过程Xκ，c∈ Xc和任意两个日期t<t，EU（T，Xκ，cT）+ZTtV（s，cs）ds/Ft≤ U（t，Xκ，ct），也就是说，价值过程Gκ，ct=U（t，Xκ，ct）+RtV（s，cs）ds这是一个积极的超级电影。（ii）最优策略的存在性：对于任何初始值x>0的情况，都存在一个最优策略（κ*, C*) 这样，相关的非负财富过程X*= Xκ*,C*∈XC由x satis发布G*t=U（t，X*t） +RtV（南、中）*s） ds是一个局部鞅。Xc consistent It^oprogressive utilities和HJB constraint Thermory 2.1根据其局部特征（β，γ）以及Ux满足的内在SDE（2.2）的参数（u，σ）来描述It^oprogressive utilities。在2021 6月28日14/38节中，我们关注的是Xcconsistence属性对UB特性（β，γ）的约束。过程Gκ的超鞅/鞅性质，对于所有κ，C意味着这些过程的负漂移∈ R、 c≥ 0和0漂移（κ*, C*). 这一性质对U的漂移β（t，x）产生Hamilton-Jacobi-Bellman型约束。我们通过引入非标准Hamilton-JacobiBellman随机偏微分方程，一如既往地进行验证。观察消费优化仅对动态效用V定理4.4（效用SPDE）的芬切尔-勒让德随机场V有贡献。设（U，V）是一个效用系统，其中U是正则的，足以应用它的Ventzel公式。用ζ（t，x）=（Vc）定义单调随机场ζ（t，x）-1（t，Ux（t，x））=-~Vy（t，Ux（t，x）），d a“策略”随机字段x′κt（x）x′κt（x）=-Uxx（t，x）Ux（t，x）ηRt+γRx（t，x）.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:38

（4.3）那么（U，V）的Xc-一致性属性由以下两个断言暗示：a）dri ftβ满足以下HJB约束β（t，x）=-Ux（t，x）xrt+Uxx（t，x）kx′κt（x）k-~V（t，Ux（t，x））。（4.4）b）SDE（‘uc，’σ），其中‘uct（x）：=rtx+x’κT（x）。ηRt-ζ（t，x）和σ（t，x）：=xκt（x）允许非负解≥ 此外，（x′κ（x），\'ct=\'ζ（t，\'Xt））是投资和消费的最佳策略（通常用a表示）(*)) 具有单调最优性*=“X.证明。（i）根据-Ventzel公式（定理2.2），对于任何测试过程Xκ，c，dU（t，Xκ，ct）+V（t，ct）dt=Ux（t，Xκ，ct）Xκ，ctκt+γ（t，Xκ，ct）.dWt+β（t，Xκ，ct）+Ux（t，Xκ，ct）rtXκ，ct+Uxx（t，Xκ，ct）Q（t，Xκ，ct，κt）dt+V（t，ct）- Ux（t，Xκ，ct）ct其中Q（t，x，κ）=kxκk+2xκ。Ux（t，x）ηRt+γx（t，x）Uxx（t，x）.自从κ∈ R、 Q（t，x，κ）仅取决于γRx（t，x），即γx（t，x）在Rt上的正交投影*（t，x）=infκ∈二次型Q（t，x，κ）的RQ（t，x，κ）是在下列条件下得到的x′κt（x）=-Uxx（t，x）Ux（t，x）ηRt+γRx（t，x）Q*（t，x）=-Uxx（t，x）kUx（t，x）ηRt+γRx（t，x））k=-kx′κt（x）k.（4.5）（ii）根据芬切尔凸性不等式，第三条直线上的项以V（t，ct）为界- Ux（t，Xκ，ct）ct≤~V（t，-Ux（t，Xκ，ct））。对于第二行，因为Q（t，x，κt）≥ Q*（t，x）=-kx′κt（x）和Uxx≤ 0，该项可能以（β（t，Xκ，ct）+Ux（t，Xκ，ct）rtXκ，ct为界-Uxx（t，Xκ，ct）kXκ，ct？κt（Xκ，ct）k。2021 6月28日15/38，如果β满足HJB约束（4.4），则任何κ的漂移项都是非正的∈ R和c≥ 0，以及过程U（t，Xκ，ct）+RtV（s，cs）ds是一个超鞅。（iii）假设与（‘κ，’ζ）相关的财富SDE允许正解‘X。那么，前面等式中的非正漂移等于0，因此U（t，\'Xt）+RtV（s，\'ζ（s，\'Xs））ds是一个局部鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:41

这个等式证明了最优策略xκ和ζ的存在，并且x是一个最优过程。因此，我们没有理由区分具有-以及与*.不断进步的效用与消费的结合。设（U，V）是一对具有最优策略（κ）的随机Xc相容效用*, C*) 导致非负财富过程X*= Xκ*,C*. 凸分析表明，人们有兴趣研究凸共轭效用U和V。事实上，在温和的正则性假设下，我们得到了以下结果（Karatzas Shreve[17]，Rogers[36]）。（i）对于任何容许的状态价格密度过程Yν∈ 带ν的Y∈ R⊥,eU（t，Yνt）+RteV（s，Yνs）ds是一个子鞅，且存在唯一的最优过程Y*:=Yν*用ν*∈ R⊥以至于欧盟（t，Y）*t） +RteV（s，Y）*s） ds是一个局部鞅。总结U（s，Y）=ess supY∈耶eU（t，Yνt）+RteV（α，Yνα）dα/财政司司长, a、在正则性假设下，一阶条件意味着最优过程之间的一些联系，包括它们的初始条件，Y*t（y）=Ux（t，X*t（x））=Vc（t，c*t（c）），y=ux（x）=vc（c）。（4.6）使用偏微分方程方法，也可以直接从定理2.3计算具有消耗的一致共轭累进效用Eu的特性。考虑到漂移β与优化程序有关，很容易证明新变量中的HJB型关系也约束了β，凸共轭效用系统（eU，eV）与一系列状态价格密度过程（定义4.2）一致（在某种意义上要精确）。定理4.5。设（U，V）一个具有消费的一致渐进效用系统，使得U为K3，δloc正则（δ>0），局部特征（β，γ）满足第4.4条的假设。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:44

然后（i）渐进凸共轭效用Eu及其边缘共轭效用Euyareit^o随机场分别具有局部特征（~β，~γ）和（~βy，~γy）。（ii）凸共轭Eeu的局部特征由下式给出：γ（t，y）：=γ（t，-eUy（t，y）），γy（t，y）：=-γx（t，-eUy（t，y））。eUyy（y）~β（t，y）=yeUy（t，y）rt+eUyy（t，y）k~σ*（t，y）k- σ*t(-eUy（t，y））。yηRt-eV（t，y）（4.7）（iii）对于任何容许的状态价格密度过程yν∈ 带ν的Y∈ R⊥,eU（t，Yνt）+RteV（s，Yνs）ds是一个子鞅，是任意解Y的局部鞅*（如果2021 6月28日16/38ists）方程式dY*t=Y*t[-rtdt+（ν）*（t，Y）*（t）-ηRt）。dWt]=μ*（t，Y）*t） dt-~σ*（t，Y）*t）。dWt，带∑*（t，y）=y（ν）*t（y）- ηRt）和|u*（t，y）=-蒂蒂。证据在[21]中可以找到在没有消费的框架中的类似证明。从现在起，无论是符号σ*t（y）或σ*（t，y）将被使用。为了验证这一观点，我们现在给出了一致性幂函数的例子，我们证明了在没有任何额外正则性条件的情况下最优过程的存在性。4.3始终如一的电力设施具有持续的风险规避的电力设施在经济学中被广泛使用，特别是在下一节中建立的拉姆齐规则中。由于其简单性和对系数的容易解释，它也是正向实用程序框架中的一个有用示例。为了描述这些公用事业，我们从一个没有消费的问题开始。无需消耗的持续渐进式功率实用程序更多详细信息，请参见[20]f。（i）让我们考虑一致的功率效用U（α）（t，x）=Z（α）tx1-α1-α其中α∈ （0，1）是风险规避系数，Z（α）是半鞅，允许满足一致性性质。然后，共轭函数eu（α）（t，y）满足eu（α）（t，y）=Z（α）ty1-αα-1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 14:58:49

既然给出了风险规避系数，如果没有必要，我们就不记得了。（ii）由于一致性性质，存在一个最优财富过程X*（x）比如U（α）（t，x*t（x））=1-αZt十、*t（x）1.-α是鞅，因此U（α）x（t，x*t（x））=Y*t（x）-α）是一个初始条件为x的状态价格密度过程-α.（iii）尤其是使用直观的因子分解Zt=ZRt。Z⊥这里是⊥这是一个指数鞅Et（δ⊥.W）带δ⊥∈ R⊥,我们看到ZRt（X*t（x））-α=x-αYt，其中yti是最小状态价格密度。最优财富X*t（x）与最优对偶过程Y*t（y）=yY*皮重与初始条件呈线性关系。所以，（我）Zt=Z⊥tYt（X）*t） α，~Zt=X*TY*TαX*t（x）=xX*t、 Y*t（y）=yY*t=yZ⊥tYtU（α）（t，x）=Y*德克萨斯州*t1- αxX*T1.-α、 eU（α）（t，y）=y*德克萨斯州*tα- 1.yY*T1.-α，因为电力设施的特性U（α）（t，x）=Ztx1-α1-α=Ztu（α）（x）仅依赖于Z的特征（βZ，γZ），γ（α）（t，x）=γZtu（α）（x），β（α）（t，x）=βZtu（α）（x），其中dZt=βZtdt+γZt。dWt。定理4.4的方程式（4.3）和（4.4）很容易通过公式Zt=Y进行验证（V=~V=0）*X（t）*t） α的不同特征是γZt=Zt（ακ*t+（ν）*T- ηRt）和βZt=（1- α） Zt(-rt+αkκ*tk）。2021 6月28日17/38当问题还包括优化消费过程时，我们必须精确确定当U（α）t（x）=bZtu（α）（x）是一个功率累进效用，bz是一个具有局部特征的半鞅（γ，β）时，我们必须为消费选择什么随机效用来满足效用系统（U（α），V）的一致性。一个有用的工具是方程组（4.10），因为描述过程γx（t，x）=bγtu（α）x（x）的方程并不明确依赖于v。为了区分这两个问题，我们引入符号^。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-6 14:58:52

与消费问题相关的数量。（i）方程式（4.3）将这两个ide除以u（α）x（x）后，得到tobγt=bZtαx-1bσ*t（x）+（bν*t（Ux（t，x））- ηRt）。由于bγtdoes不依赖于x，这个等式意味着与x相同-1bσ*t（x）=bκ*t（x）和bν*t（Ux（t，x））不依赖于x，因此在没有消耗bγt=bZt（αbκ）的情况下*t+（bν）*T- ηRt）。（ii）漂移方程（4.4）变为bβt=bZt(-(1 - α） rt+α（1）- α） kbκ*（tk）-eV（t，bZtu（α）x（x））/u（α）（x）。因此，通过与前面相同的论证，渐进共轭效用ev（t，y）必须是这样的，即ev（t，bZtu（α）x（x））=αbψtbZtu（α）（x），其中bψ是具有良好可积性的正适应过程。因此，eV（t，y）=bψt（bZt）1/αu（α）（y）。因此，eV是电力公司V（t，x）=（bψt）αbZtu（α）（x）=（bψt）αU（α）（t，x）的芬切尔变换。（iii）然后，过程bz是随机微分方程dbzt=bZt的解（αbκ*t+（bν）*T- ηRt）。dWt+- (1 - α） rt+α（1）- α） kbκ*tk- αbψtdt其中最优策略与无消耗情况下相同（bκ*≡κ*, bν*≡ ν*),bZt=Zte-αRtbψsds。过程bψt在这个公式中显示了对财富而非国家价格密度的利率的附加利差的作用。最优消费c的封闭形式证明了这种解释*t（x）=-在c进行了一些繁琐的计算之后，给出了eVy（t，bZtu（α）x（x））*t（z）=zbψt.推论4.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝