仿射多收益率曲线模型

2022-5-10 23:07:28

作者感谢两位匿名推荐人的宝贵意见，这些意见有助于论文的显著改进。与[5,28]类似，我们用Xibor表示无担保定期贷款的通用银行间同业拆借利率，如伦敦银行间市场的Liborrate和欧元区的Euribor利率。虽然本文中开发的理论框架适用于一般的Xibor利率，但第6节中报告的实证结果指的是欧元银行同业拆借利率。2克里斯塔·库奇耶罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺瓦托在一个非常好的环境下，承认在远期外汇溢价方面的自然解释。我们考虑一个一般利率市场，在该市场中，OIS零息票债券和FRA合同在一组固定期限和所有到期日内进行交易，并假设存在一个数鞅测度偶，从而确保在下文精确规定的意义上不存在套利。然后将乘法利差和num’eraire过程的对数建模为基础a’ne过程的函数。在特殊情况下，如果选择num’eraire作为OIS银行账户，我们的框架可以被视为经典有效短期利率模型对多曲线设置的自然延伸。在特殊情况下，如果选择最低利率作为具有最终到期日的OIS债券，我们可以恢复[32]的有效伦敦银行同业拆借利率市场模型的扩展。提出的框架充分利用了一个有效流程的分析可处理性，展示了一些理想的建模功能。

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2022-5-10 23:07:32

事实上，除了通用性之外，它还允许o对初始观察到的OIS债券价格和价差的期限结构进行自动拟合对与不同期限相关的价差之间的顺序关系进行透明描述在多曲线环境中，有效的caplet和swoptions估值公式。驱动过程可以在一般的凸状态空间中取值。特别是，我们分析了一个基于Wishart过程的规范，推导了一个新的caplet价格的封闭式公式，用独立非中心卡方分布随机变量加权和的分布函数表示。除此之外，我们还测试了我们设置的两个简单规格的实证性能，并表明它们实现了令人满意的市场数据。参考[19]的导论部分和专著[33,35]了解相关文献的更详细概述，我们在这里提到，通过采用短期利率方法[25,30,31,45,46,52]，以及最近在[32]中通过扩展最初在[43]中引入的有效伦敦银行同业拆借利率模型，一个有效的过程已被用于对多个收益率曲线进行建模。如前所述，据我们所知，所有现有的多曲线模型都可以作为我们框架的特例恢复，这一事实突显了我们方法的灵活性。因此，正如之前文献中所考虑的那样，目前的工作在结构上不同于关于特定建模方法的论文。除此之外，它还提供了基于[19]中提出的一般it^o半鞅的抽象HJM方法的一大类易于处理的规范，用于OIS债券的期限结构和乘法利差的无套利建模。论文的结构如下。

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2022-5-10 23:07:35

第二节首先介绍了主要的市场利率和乘数利差，然后介绍了一种抽象的方法来建立一般多曲线利率市场的无套利模型。在第3节中，我们开发了一个由有效流程驱动的通用框架，以及基于短期利率方法的可能规范。此外，我们将我们的设置与文献中最近提出的几种有效的多曲线模型联系起来。在第4节中，我们推导了caplet的一般半封闭估值公式和互换期权价格的近似公式。第5节详细分析了基于WishartProcesss的易处理规范，推导了caplet的分析定价公式。第6节给出了框架两种规格的校准结果。最后，附录A给出了我们框架中所用数量的一般定价公式，附录B包含命题2.4.2的证明。模拟危机后的利率市场2。1.Xibor利率、OIS利率和即期乘数利差。大多数利率产品的基本数量由锡伯利率表示。我们用Lt（t，t+δ）表示时间间隔[t，t+δ]内t日的Xibor汇率，其中δ>0的期限通常为一天（1D）、一周（1W）或几个月（1M、2M、3M、6M或12M）。参考[33，第1章]对危机后利率市场的更为近似的多重收益率曲线模型3详细介绍，我们只提到，Xibor利率是由一组主要金融机构为无担保贷款确定的参考利率，并非基于实际交易。在危机后的固定收益市场中，与不同参与者相关的Xibor利率开始表现出不同的行为，例如导致不可忽略的基差（见附录A.1）。

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2022-5-10 23:07:39

在本文中，我们将考虑一组广义的{δ，…，δm}的Xibor率，δ<…<δm，对于某些m∈ N.隔夜借款的参考利率（即1D的最短期限）对应于欧元区的欧元隔夜指数平均利率和美国市场的联邦基金利率。与Xibor利率不同，Eonia和联邦基金利率是由一个银行小组根据银行间市场的实际隔夜交易确定的（就欧联利率而言，这是确定欧洲银行间同业拆借利率的同一个小组）。隔夜利率代表隔夜指数掉期（OIS）的基础，其市场掉期利率被称为OIS利率（见附录A.1），通常被认为是市场实践中无风险利率的最佳代表。通过自举技术（见[2]），OIS比率允许恢复OIS期限结构t7→ B（t，t），其中B（t，t）表示到期日为t的OIS零息债券在t日的价格。我们通过OIST（t，t+δ）定义隐含复合（无风险）OIS即期利率：=δB（t，t+δ）- 1.,对于δ>0。特别要注意的是，上述公式的右侧对应于危机前的Xibor利率定义。我们的主要建模量如下：（2.1）Sδi（t，t）：=1+δiLt（t，t+δi）1+δiLOISt（t，t+δi），对于i=1，m、对应于（标准化）Xibor汇率和（标准化）简单复合OIS即期汇率之间的乘法价差。乘法利差Sδi（t，t）可以直接从所引用的Xibor和OIS利率推断出来。事实上，（2.1）的分子是由市场上报价的锡伯利率决定的，而分母中出现的数量可以从报价的锡伯利率中自举，如上所述。

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2022-5-10 23:07:42

在后危机环境中，Sδi（t，t）的数量通常大于1，并且随着期限δi的增加而增加。忽略流动性问题，这与以下事实有关：Xibor利率嵌入了一个风险，即在贷款期限内，包含在Xibor面板中的银行的平均信贷质量恶化，而OIS利率反映了新更新的Xibor面板的平均信用质量（参见[14,25]）。如下所示，我们的建模框架的一个关键特性是能够生成满足这些要求的乘法价差。与加性价差（如[49,50]中所述）相比，乘性价差是多曲线环境下的一种自然经济解释，如以下各节所示，它代表了一种与有效过程相关的方便建模量。参考[19，附录B]了解详细信息，Xibor利率可以与艺术风险债券价格Bδi（t，t）相关联，因此1+δiLt（t，t+δi）=1/Bδi（t，t+δi），对于i=1，m、如果风险债券被解释为外国经济体的债券，其中Bδi（t，t）代表外国零息债券的价格（以外币为单位），而OIS债券被解释为国内债券，那么数量sδi（t，t）对应于[t，t+δi]期间国内外经济体之间的远期外汇溢价。从这个意义上说，乘法利差Sδi（t，t）可以被视为一种市场票据，除了基于实际的银行间无担保交易之外，Eonia和联邦基金利率的结算期也不同于1D Xibor利率。

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2022-5-10 23:07:46

关于伦敦银行同业拆借利率/欧洲银行同业拆借利率和Eonia利率的不同市场惯例的详细介绍，请参考[4]。4 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto对Xibor小组在[t，t+δi]期间的风险预期（在日期t）。[5]和[53]中提出了相关的外汇类比。基本交易资产和基本资产。现在，让我们对本文中考虑的金融市场进行精确分析。在所有以Xibor利率为基础的金融合同中，远期利率协议（FRA）可以被合理地视为基本组成部分，因为其支付方式简单，而且所有线性利率衍生品（如利率互换和基础互换）都可以表示为FRA的投资组合。正如文献中通常所做的那样，我们考虑标准的“教科书式”远期利率协议，而不是在市场上交易的现金结算远期利率协议（与[33，备注1.3]相比）。虽然市场FRA的收益是非线性的，但就实际目的而言，两个版本的FRA之间的差异通常可以忽略不计，如[49]所述。基于上述观察，我们将考虑由以下基本交易资产系列组成的一般金融市场，其中T<+∞ 表示固定的时间范围：（i）所有到期日的OIS零息票债券∈ [0，T]；（ii）所有到期日的FRA合同∈ [0，T]和所有的{δ，…，δm}。请注意，与危机前的单曲线设置不同，FRA合同必须在OIS债券的顶部考虑，因为由于Xibor利率Lt（t，t+δi）和简单复合OIS利率LOISt（t，t+δi）之间的差异，后者无法再完美复制FRA合同。此外，OIS债券在担保交易中发挥着特别重要的作用。

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2022-5-10 23:07:50

事实上，在利率市场的抵押交易中采用的抵押利率通常被指定为OIS短期利率，因此，OIS债券代表利率产品估值的自然贴现因子（例如，参见[25]和[19，附录A]）。我们用∏F RA（t；t，t+δi，K）表示到期日t+δi，利率K>0且为0的单一名义利率的FRA合同在t日的价格≤ T≤ T≤ T和i=1，m、我们用Lt（T，T+δi）表示相应的公平FRA利率，即在T日确定的利率K满足∏F RA（T；T，T+δi，K）=0。我们认为，如果利率K等于Lt（t，t+δi），也就是说，如果起始日期t的FRA合同价格为零，则以t书写的FRA合同是公平的。扩展即期乘法价差的定义（2.1），我们定义（正向）乘法价差Sδi（t，t），为0≤ T≤ T≤ T和i=1，m、由（2.2）Sδi（t，t）：=1+δiLt（t，t+δi）1+δiLOISt（t，t+δi）=1+δiLt（T，T+δi）B（t，t+δi）B（t，t）。[34]中首次引入了形式（2.2）的乘法扩散，并在[19]中进一步将其视为主要建模量（另见[53]）。根据第2.1节末尾介绍的外汇类比，我们参考[19，附录B]对前向乘法价差Sδi（t，t）的解释。第一个也是最基本的问题是，在由上述基本交易资产构成的金融市场中，没有套利。为此，我们让(Ohm, F）是一个具有正确连续过滤（Ft）0的可测量空间≤T≤并制定以下定义。定义2.1。设Q是一个概率测度(Ohm, F） B=（Bt）0≤T≤Ta严格正适应过程，B=1。

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2022-5-10 23:07:53

我们说（B，Q）是一个数鞅测度偶，如果每个基本交易资产的B贴现价格是一个鞅(Ohm, （英尺）0≤T≤T、 Q）。换句话说，如果（B，Q）是一个num’eraire-鞅测度偶，那么每一个OIS零息债券和FRA合同的价格在关于num’eraire过程B贴现时都是一个Q-鞅。定义2.1符合[23]的精神，作者考虑了num’eraire-鞅测度偶在上述意义下生成的期限结构模型。请注意，我们不假设仿射多收益率曲线模型5b是交易资产，因此当qc对应于物理概率度量时，它可以被解释为状态价格密度过程（与[26,57]相比）。在本文中，我们将在以下假设下工作。假设2.2。存在一个数鞅测度偶（B，Q）。特别是，假设2.2有助于排除在由所有基本交易资产（即所有OIS零息票债券和FRA合同）构成的大型金融市场中存在的套利利益，即风险为零的无症状免费午餐（NAFLVR，见[20]）。备注2.3（OIS银行账户为num’eraire）。在关于多条曲线的文献中，通常选择num’eraire作为OIS银行账户，Q是相应的（点）鞅度量。虽然（B，Q）的选择将在第3.3节中详细讨论，但我们想指出，我们的框架不限于此规范，并允许考虑几种替代设置，具体取决于数值-鞅度量偶的选择（见下文第3.2节）。

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2022-5-10 23:07:58

目前，我们只是从抽象和一般的角度来考虑这对夫妇（B，Q）。假设2.2意味着，每个基本交易资产的无套利价格可以通过对其B贴现支付的条件Q预期来计算，类似于经典的风险中性估值范式。在整篇论文中，除非明确指出，否则在测量Q下进行预期，而测量qt表示T的密度dqt/dQ=1/（BTB（0，T）），对于T∈ [0，T]。我们现在可以陈述以下命题，这是定义2.1的一个简单结果（为了完整性，证明见附录B）。提议2.4。假设假设2.2成立。然后是以下情况：（i）OIS零息债券价格满足（2.3）B（t，t）=EBtBT英尺, 对于所有0≤ T≤ T≤ T（ii）每i=1，m、公平FRA利率满足（2.4）Lt（T，T+δi）=EQT+δi[Lt（T，T+δi）| Ft]，所有0≤ T≤ T≤ T（iii）每i=1，m、乘法扩散满足（2.5）Sδi（t，t）=EQT[Sδi（t，t）| Ft]，所有0≤ T≤ T≤ T.从建模角度来看，命题2.4和表述（2.2）意味着，为了对由所有OIS零耦合债券和FRA合约组成的金融市场进行无套利描述，必须对数字过程B和即期乘法利差{（Sδi（T，T））0进行建模≤T≤T、 i=1，m} 在下一节中，这将以一种灵活且易于处理的方式实现，即让num’eraire过程和Spot乘法利差由一个共同的基本过程驱动。3.基于仿射过程的多曲线模型在本节中，我们开发了一个基于有效过程的通用框架，用于建模多曲线。

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2022-5-10 23:08:01

我们首先在第3.1节中回顾了一些关于有效过程的一般结果，主要依赖于在典型情况下，B是OIS银行账户，Q是相应的鞅测度，如备注2.3所述，通过将B贴现支付的条件Q预期与计算其清洁价格相对应来计算衍生工具的价格，即。，忽略交易对手风险，并假设融资利率等于OIS利率（与[19，附录a]中的讨论进行比较）。6 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTO[18,21,42]。在第3.2节中，我们提供了关于抽象数鞅测度偶的有效多曲线模型的一般定义，并推导了其基本性质。然后，在第3.3节中，将这种一般设置专门化为典型设置，其中，通过短期利率建模的OIS银行账户给出了金额。第3.4节显示了我们的设置与现有多曲线模型之间的关系，这些模型由一个有效的过程驱动。3.1. 一个有效流程的初步研究。设V是一个有限维实向量空间，具有相关的标量积h·，·i。我们用D表示V的一个非空闭凸子集，它将作为下面引入的随机过程的状态空间，具有Borelσ-代数B。状态空间的典型选择用D表示∈ {Rd，Rd+，Sd+}或其组合，对于某些d∈ N、其中，Sd+表示对称d×d正半限定矩阵的锥。关于过滤概率空间(Ohm, F、（英尺）0≤T≤T、 Q）在满足通常条件的情况下，我们引入了astochastic过程X=（Xt）0≤T≤T、从属于ofD内部的初始值X=X开始。假设过程X是一个适应的、时间齐次的、保守的马尔可夫过程，取D中的值，我们用{pt:D×BD表示→ [0, 1]; T∈ [0，T]}它的传递核族。

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2022-5-10 23:08:04

我们将setsUT与流程X相关联：=ζ ∈ V+iV:E呃ζ，Xti< +∞, 尽管如此，t∈ [0，T]U:=UT。（3.1）让D:={（t，ζ）∈ [0，T]×（V+iV）：ζ∈ 首先，我们定义如下一类有效流程。定义3.1。马尔可夫过程X=（Xt）0≤T≤如果（i）它是随机连续的，即过渡核满足lims，则称为有效→tps（x，·）=pt（x，·）弱于D，对于每（t，x）∈ [0，T]×D；（ii）其傅里叶-拉普拉斯变换对初始状态具有指数依赖性，即存在函数φ：D→ C和ψ：D→ V+iV，对于每个初始值x∈ D和for every（t，u）∈ D、它认为e[ehu，Xti]=ZDehu，ξipt（x，Dξ）=eφ（t，u）+hψ（t，u），xi。（3.2）备注3.2。（i）定义3.1与通常对一个函数过程的定义略有不同，在这个过程中，假设指数函数形式（3.2）仅适用于一组有界指数。事实上，在大多数理论工作中，一个函数过程的定义仅指特征函数或拉普拉斯变换（对于圆锥中的值过程）。然后出现了一个自然的问题，即在我们对D的表示法中，指数函数形式是否可以扩展到特征函数或拉普拉斯变换之外。在[42]中，在一般假设下，这一重要问题得到了肯定的回答，因此，我们修改了经典定义。特别是，鉴于[42，引理4.2]，它认为=ζ ∈ V+iV:E呃ζ，XTi< +∞, 尽管如此，T∈ [0，T]。（ii）以牺牲更大的技术性为代价，我们的设置可以扩展到在一般（可能是非凸）状态空间中取值的有效过程。

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2022-5-10 23:08:07

然而，定义3.1中考虑的一类过程非常丰富，足以涵盖任何实际兴趣的多曲线模型。affine性质（3.2）和查普曼-科尔莫戈罗夫方程意味着函数φ和ψ具有半流动性质，即对于每一个u∈ U和t，s∈ [0，T]与s+T≤ T、如果D=Sd+和x，y∈ Sd+，标量积由hx给出，yi=Tr[xy]，Tr[·]是跟踪算子。仿射多收益率曲线模型φ（t+s，u）=φ（t，u）+φs、 ψ（t，u）,ψ（t+s，u）=ψs、 ψ（t，u）.（3.3）根据[21，定理7]（参见[44，定理4.3]，在D=Rn+×Rd的情况下，有效过程X的随机连续性也意味着其规律性-n、对一些人来说∈ 在d=Sd+的情况下，{0,1，…，d}和[18，命题3.4]，在导数（3.4）F（u）的意义下：=φ（t，u）Tt=0+和R（u）：=ψ（t，u）Tt=0+存在，并且在u=0时是连续的。规律性意味着可以区分关于t的半流关系（3.3），并在t=0时对其进行评估，从而获得以下广义Riccati方程组φ（t，u）t=Fψ（t，u）, φ（0，u）=0；ψ（t，u）t=Rψ（t，u）, ψ（0，u）=u∈ U.我们陈述了以下结果（见[41，定理4.10]），这将对我们设置的某些特定情况有用。我们参考[38]了解有效过程和Vand Vtwo实向量空间的不同特征的概念。引理3.3。设X=（X，X）是一个有效的过程，在形式为D=D×D的状态空间中取值 V×V，初始值X=（X，X），使得微分特性几乎依赖于X。

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2022-5-10 23:08:11

然后就有函数∧φ：D→ C和|ψ：D→ V+V，这样，将来（t，u，u）∈ D、它认为Ehehu，Xti+hu，Xtii=e|φ（t，u，u）+h|ψ（t，u，u），xi+hu，xi。采用满足引理3.3假设的有效过程的典型例子有短期利率模型（见第3.3节）和有效随机波动率模型（见[17，第5章]）。3.2。多曲线模型的定义和一般性质。如第2.2节所述，我们的一般设置假设存在一个num’eraire鞅测度偶（B，Q），这意味着每个交易资产的B-贴现价格是一个Q-鞅。还记得我们将OIS零息债券和FRA合同视为所有最到期债券的基本交易资产∈ [0，T]对于一组有限的基音{δ，…，δm}，δ<…<δm，对于某些m∈ N.让X=（Xt）0≤T≤t在状态空间D中取值的有效过程 V根据测量，我们现在可以给出一个有效的多曲线模型的一般定义。定义3.4。设u=（u，u，…，um）是一系列函数ui:[0，T]→ V，i=0，1，m、这样的u（t）∈ Utand用户界面（t）+u（t）∈ Ut，对于每一个i=1，m和t∈ [0，T]和v=（v，v，…，vm）函数族vi:[0，T]→ R、 i=0，1，m、如果（i）数值过程满足度（3.5）对数Bt=-v（t）- 胡（t），Xti，为了所有的t∈ [0，T]；（ii）所有t的点乘法价差的对数{Sδi（t，t）；i=1，…，m}满足度（3.6）对数Sδi（t，t）=vi（t）+hui（t），Xti∈ [0，T]和i=1，m、 8 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto根据num’eraire鞅测度偶（B，Q）和三元组（X，u，v）的选择，可以从当前的一般设置中获得不同的建模方法。

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2022-5-10 23:08:14

例如：o如果选择num’eraire资产B作为OIS银行账户，Q是相应的（即期）鞅度量，B通过OIS短期利率r=（rt）0建模≤T≤T、然后，定义3.4嵌入了一个有效的框架，用于建模OIS短期利率和乘法利差。本规范将在第3.3节中详细分析（与第3.4.1节进行比较）如果将到期日为T的OIS零息票债券选择为num'eraire，而Q是T-ForwardMeasures，则定义3.4将产生最近引入[32]的多曲线伦敦银行同业拆借利率模型的扩展（见第3.4.2节）如果Q是物理概率度量，B被选为增长最优投资组合（根据利率建模基准方法的精神，参见[8,56]和[55]），或者更一般地说，作为一种状态价格密度（最近在rational多曲线模型[16,24,53]中考虑），然后，定义3.4引入了多条曲线的真实建模方法。一个有效的多曲线模型可以为OIS债券价格和乘法读数提供一个易于处理的结构。更准确地说，一个有效的多曲线模型可以通过OIS债券价格和利差的指数形式来描述。为此，让我们给出以下定义。定义3.5。如果（i）OIS零息票债券的B贴现价格满足（3.7）B（t，t）Bt=exp，那么a fiffine过程X可以生成指数形式的OIS债券价格和价差A（t，t）+hB（t，t），Xti, 对于所有0≤ T≤ T≤ T、对于某些函数A:[0，T]×[0，T]→ R和B:[0，T]×[0，T]→ V和（ii）乘法扩散满足（3.8）Sδi（t，t）=expAi（t，t）+hBi（t，t），Xti, 对于所有0≤ T≤ T≤ T、对于某些函数Ai:[0，T]×[0，T]→ R和Bi:[0，T]×[0，T]→ V，对于所有i=1。

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2022-5-10 23:08:17

，m.以下命题提供了一个有效的多曲线模型的特征，从而表明定义3.4等同于定义3.5。提议3.6。让X成为一个有效的过程。如果（X，u，v）是一个有效的多曲线模型，那么X以指数形式生成一个有效的OIS债券价格和价差，以及函数Ai，Bi，i=0，1，m、出现在（3.7）-（3.8）中的是（3.9）A（t，t）=v（t）+φT- t、 u（t）,B（t，t）=ψT- t、 u（t）,Ai（t，t）=vi（t）+φT- t、 ui（t）+u（t）- φT- t、 u（t）,Bi（t，t）=ψT- t、 ui（t）+u（t）- ψT- t、 u（t）,对于所有0≤ T≤ T≤ T和i=1，m、其中φ和ψ表示定义3.1中x的特征指数；仿射多收益率曲线模型9（ii）相反，如果X以指数形式生成OIS债券价格和价差，那么（X，u，v）是一个有效的多曲线模型，其中函数ui，vi，i=0，1，m、由（3.10）v（t）=A（t，t），u（t）=B（t，t），vi（t）=Ai（t，t），ui（t）=Bi（t，t）给出∈ [0，T]和i=1，m、证据。首先假设（X，u，v）是一个有效的多曲线模型。然后，根据命题2.4，OIS债券价格由B（t，t）Bt=E给出英国电信英尺= Ehev（T）+hu（T），XTiFti=ev（T）+φ（T-t、 u（t））+hψ（t）-t、 u（t）），Xti，其中最后一个等式来自（3.2）以及假设u（t）∈ UT（另见第3.2节）。这证明了表示法（3.7）适用于给定asin（3.9）的函数A和Bbeing。同样地，命题2.4和假设ui（T）+u（T）∈ UT，为了每个人∈ [0，T]和i=1。

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2022-5-10 23:08:20

表示乘法扩散满足δi（t，t）=EQT[Sδi（t，t）Ft]=EQThevi（T）+hui（T），XTiFti=BtB（t，t）Ehevi（t）+v（t）+hui（t）+u（t），XTiFti=evi（T）+φ（T-t、 ui（t）+u（t））-φ（T）-t、 u（t））+hψ（t）-t、 ui（t）+u（t））-ψ（T）-t、 u（t）），Xti，从而表明表示（3.8）与函数A和Bi保持一致，如（3.9）所示。相反，假设X以指数形式生成了一个有效的OIS债券价格和价差。然后，永远∈ [0，T]，让T=T在（3.7）-（3.8）中，并回顾B（T，T）=1，它紧跟着log Bt=-A（t，t）- hB（t，t），Xti和logsδi（t，t）=Ai（t，t）+hBi（t，t），Xti。定义（3.10）中的功能和过孔，这证明了表述（3.5）-（3.6）是正确的。还有待证明u（T）=B（T，T）∈ UTand ui（T）+u（T）=Bi（T，T）+B（T，T）∈ 永远∈ [0，T]和i=1，m、这源于命题2.4，因为Ehehu（T），XTii=e-v（T）E英国电信= E-v（T）B（0，T）<+∞,鄂合会（T）+u（T），XTii=e-vi（T）-v（T）ESδi（T，T）BT= E-vi（T）-v（T）B（0，T）EQT[Sδi（T，T）]=e-vi（T）-v（T）B（0，T）Sδi（0，T）<+∞.连同备注3.2，这意味着u（T）∈ UTand用户界面（T）+u（T）∈ UT，尽管如此∈ [0，T]和i=1，m、从而证明（X，u，v）是一个有效的多曲线模型。特别是，命题3.6意味着一个有效的多曲线模型允许所有线性利率衍生品（即FRA合约、利率掉期、隔夜掉期和基础掉期）的明确估值公式，因为它们的价格总是可以用OIS债券价格和乘数来表示，详见附录a.1。对多条曲线建模时的一个主要问题在于，当乘法读数大于1时，以及在典型的市场情景中，乘法读数的顺序与期限长度有关时，对其进行表征。

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2022-5-10 23:08:25

为此，我们可以得出以下结果（与[19，推论3.17]进行比较）。提案3.7。设（X，u，v）为一个有效的多曲线模型。假设进程X的形式为X=（X，Z），取状态空间D=DX×CZ中的值，其中CZ为锥。假设克里斯塔·库奇罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺阿托维（t）≥ 0，尽管如此∈ [0，T]以及函数ui的形式为ui=（0，wi）和wi:[0，T]→ C*Z、 C在哪里*Zdenotes CZ的双锥，对于所有i=1，m、然后Sδi（t，t）≥ 1代表所有人0≤ T≤ T≤ 坦迪∈ {1，…，m}。此外，如果加上v（t）≤ v（t）≤ . . . ≤ vm（t）和w（t） w（t） . . . wm（t），对于所有t∈ [0，T]，带有表示C上的偏序*Z、然后它认为是δ（t，t）≤ Sδ（t，t）≤ . . . ≤ Sδm（t，t），对于所有0≤ T≤ T≤ T.证明。该断言是命题2.4的直接结果，指出过程（Sδi（t，t））为0≤T≤这是一个QT鞅，对于每一个i=1，m和T∈ [0，T]。因此，对于所有t，它满足δi（t，t）=EQT[Sδi（t，t）| Ft]=EQT[evi（t）+hwi（t），ZTi | Ft]∈ [0，T]。除了通过有效流程确保的建模灵活性和可处理性外，这种生成大于1且按期限长度排序的排列的功能代表了通过（3.6）指定乘法排列的主要优势之一。定义3.4中出现的函数族v=（v，v，…，vm）总是可以通过一种方式进行选择，以自动实现对初始观察到的OIS债券价格和乘数利差的期限结构的精确拟合。我们用BM（0，T）表示初始日期T=0时在市场上观察到的到期日为T的OIS零息债券的价格，同样地，用SM表示，δi（0，T）表示在T=0时在市场上观察到的期限δi的倍数价差，对于i=1，m和T∈ [0，T]。

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2022-5-10 23:08:28

我们认为，对于所有的t，如果b（0，t）=BM（0，t）和Sδi（0，t）=SM，δi（0，t），则达到了与最初观察到的术语结构的精确fit∈ [0，T]和i=1，m、以下命题提供了一个必要且充分的条件，以保持精确的fit。如果（X，u，v）是一个有效的多曲线模型，我们用B（t，t）和S0，δi（t，t）表示0≤ T≤ T≤ T andi=1，m、根据模型（X，u，0）通过（3.7）-（3.9）计算的理论债券价格和价差，即所有函数vi，i=0，1，m、设置为零。提案3.8。当且仅当函数族v=（v，v，…，vm）满足v（t）=log BM（0，t）时，一个有效的多曲线模型（X，u，v）实现了对初始观测项结构的精确拟合- 日志B（0，t），用于所有t∈ [0，T]，vi（T）=对数SM，δi（0，T）- 对数S0，δi（0，t），对于所有t∈ [0，T]和i=1，m、 B（0，t）和S0，δi（0，t）表示理论债券价格和利差，根据（3.7）-（3.9）的有效多曲线模型（X，u，0）计算，对于t∈ [0，T]和i=1，m、证据。该声明随后指出，尽管如此∈ [0，T]和i=1，m、 B（0，t）=E英国电信= ev（t）E[ehu（t），Xti]=ev（t）B（0，t），Sδi（0，t）=EQt[Sδi（t，t）]=evi（t）EQt[ehui（t），Xti]=evi（t）S0，δi（0，t），在上一个等式中，我们使用了两个模型（X，u，v）和（X，u，0）的t正向测量密度相同的事实。事实上，对于每一个t∈ [0，T]，它认为BtB（0，T）=ev（T）+hu（T），XtiE[ev（T）+hu（T），Xti]=ehu（T），XtiE[ehu（T），Xti]=BtB（0，T），用B=（Bt）0仿射多收益率曲线模型11≤T≤t指定与模型（X，u，0）对应的数值过程。3.3. 一个有效的短期多曲线模型。到目前为止，我们已经介绍了一种基于多曲线建模的通用设置。

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2022-5-10 23:08:32

如前一小节所述，根据数值鞅测度偶（B，Q）的选择，可以从定义3.4中获得不同的建模方法。我们现在将上述一般框架专门化为一个经典设置，其中数值由OIS银行账户给出，定义为（无风险）OIS短期利率过程r=（rt）0≤T≤T、 Q是相关的（点）鞅测度。更具体地说，在本小节中，我们将在以下假设下工作。假设3.9。数字B=（Bt）0≤T≤Tsatis fies Bt=exp（Rtrudu），适用于所有∈ [0，T]，其中r=（rt）0≤T≤这是一个实值适应过程，表示OIS短期利率。概率测度qi使得每个基本交易资产的B-贴现价格为Q-鞅。在本小节中，设X=（Xt）0≤T≤t以DX表示值的有效过程 VX。我们还将介绍辅助流程Y=（Yt）0≤T≤由Yt定义的Tde:=（Xt，RtXudu），用于t∈ [0，T]，取DY中的值：=DX×DX。关于Y，集合定义如（3.1）所示。我们将定义3.4具体化如下。定义3.10。让λ∈ VX，`[0，T]→ R以至于rt | `（u）|du<+∞, γ=（γ，…，γm）∈ vmx和c=（c，…，cm）一系列函数ci:[0，T]→ R、 i=1，m、如果（Y，u，v）在定义3.4的意义上是一个有效的多曲线模型，则元组（X，`，λ，c，γ）被称为一个有效的短速率多曲线模型，其中v（t）：=-Zt`（u）du和u（t）：=（0，-λ），尽管如此∈ [0，T]，vi（T）：=ci（T）和ui（T）：=（γi，0），对于所有T∈ [0，T]和i=1。

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mingdashike22

2022-5-10 23:08:35

如果假设3.9成立，那么B=exp（R·rudu），假设一个元组（X，`，λ，c，γ）在定义意义上是一个有效的短速率多曲线模型，3.10相当于让OIS短速率和即期乘法价差Sδi（t，t）具体如下：rt=`（t）+hλXti，对于所有t∈ [0，T]，（3.11）对数Sδi（T，T）=ci（T）+hγi，Xti，对于所有T∈ [0，T]和i=1，m、（3.12）注意，定义3.10隐含要求（通过定义3.4）参数λ和γ=（γ，…，γm）满足（γi，-λ) ∈ UY，对于所有i=0，1，m、 γ：=0。备注3.11。如果函数`被选择为常数，c和γ被设置为0，定义3.10将简化为经典（即单曲线）时间齐次a ffine短期利率模型。另外，通过允许`和c是确定性函数，我们引入了时间不均匀性，这反过来使初始项结构变得完美（见下面的命题3.15）。因此，定义3.10将[7]中首次在单曲线设置中引入的确定性移位扩展模型与[30]中在多曲线设置中引入的确定性移位扩展模型结合起来（参见第3.4.1节，了解[30]与当前设置之间的关系）。备注3.12。在定义3.10中，OIS银行账户是通过（3.11）中建模的短期利率指定的。通过类比，乘法利差也可以通过瞬时短利差率来确定，类似于[19，备注3.19]。这可以通过让有效过程X的形式为X=（X，Z，…，Zm）来实现，其中Xis是一些状态空间DX上的有效过程，Zi:=R·qi（Xs）ds，其中qi:DX→ R是一个有效函数，对于所有i=1，m、系数c=（c，…，cm）和12 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTOγ=（γ，…，γm）被选为ci:=0和γi:=（0，ei），对于所有i=1，m、以{e，…，em}为Rm的规范基。

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大多数88

2022-5-10 23:08:38

对于所有的t，spot乘法表示δi（t，t）=eZit=eRtqi（Xs）ds∈ [0，T]和i=1，m、其中过程（qi（Xt））0≤T≤t可以解释为短扩散率，对于i=1，m、与一般多曲线模型的情况类似，短期利率多曲线模型在OIS债券价格和利差结构方面具有同等的特征。更具体地说，我们可以得出以下结果，即命题3.6。提案3.13。设X为一个有效过程，假设假设假设3.9成立。然后是以下持有：（i）如果（X，`，λ，c，γ）是一个有效的短期利率多曲线模型，那么X以指数形式生成有效的债券价格和利差，即（3.13）B（t，t）=expeA（t，t）+heB（t- t），Xti, 对于所有0≤ T≤ T≤ T、 Sδi（T，T）=exp（eAi（t，t）+鹤壁（t）- t），Xti, 对于所有0≤ T≤ T≤ T和i=1，m、其中函数seai，eBi，i=0，1，m、由ea（t，t）给出-ZTt`（u）du+~φ（T）- t、 0，-λ），eB（T）- t） =ψ（t）- t、 0，-λ），eAi（t，t）=ci（t）+φ（t）- t、 γi，-λ) -■φ（T）- t、 0，-λ），息税前利润（T）- t） =ψ（t）- t、 γi，-λ) -ψ（T）- t、 0，-λ），对于所有0≤ T≤ T≤ T和i=1，m、如引理3.3中所示，用△φ和△ψ表示有效过程Y=（X，R·Xudu）的特征指数；（ii）相反，如果OIS债券价格和价差承认某些函数的代表性（3.13），eBi，i=0，1，m、用T7→eA（t，t）和t7→eB（T）可区分，对于所有T∈ [0，T]，那么（X，`，λ，c，γ）是一个有效的短期利率模型，其中，对于所有i=1，m、 `（t）=-TeA（t，t）| t=t，λ=-电子束（0），ci（t）=eAi（t，t）和γi=eBi（0）。证据注意到有效过程Y=（X，R·Xudu）满足引理3.3的假设，第（i）部分很容易遵循定义3.10和命题3.6。

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何人来此

2022-5-10 23:08:41

相反，如果OIS债券价格和价差允许代表（3.13）关于一些可微分函数seaandebi，i=0，1，m、然后，瞬时OIS正向速率由ft（T）给出：-Tlog B（t，t）=-T（eA）（T，T）- h（eB）（T）- t），Xti，所有0≤ T≤ T≤ T、因此，OIS短期利率rtsatis fi esrt=ft（T）=-T（eA）（T，T）|T=T- h（eB）（0），Xti=：`（t）+hλ，Xti，对于所有t∈ [0，T]。表示式（3.11）-（3.12）之后，让ci（t）：=eAi（t，t）和γi:=eBi（0），对于所有i=1，m、最后，条件（γi，-λ) ∈ UY，对于所有i=0，1，m、 γ：=0，后面是命题3.6证明的最后部分中使用的相同参数。根据命题3.7，一个简单的短利率多曲线模型可以很容易地生成大于1的乘法价差，并按thetenor长度排序。备注3.14（关于负OIS短期利率和利差大于1的可能性）。在当前的市场环境中，观察到负利率与利差共存，利差是严格大于1的多收益率曲线模型，并且按照期限长度排序。通过让一个有效过程X的形式为X=（X，Z），并在形式为Rn×CZ的状态空间中取值，对于某些n∈ 其中Czn是一个圆锥体。If`取R中的值，λ∈ r如果满足命题3.7的假设，则利差将大于1且有序，而OIS短期利率将不限于正值。与命题3.8类似，我们可以获得一个必要且充分的条件，以实现对最初观察到的术语结构的精确拟合。让我们用B（t，t）和S0，δi（t，t）表示根据模型（X，0，λ，0，γ）计算的债券价格和价差。此外，我们用t7表示→ BM（0，T）和{t7→ SM，δi（0，T）；i=1。

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mingdashike22

2022-5-10 23:08:45

最初观察到的OIS债券价格和价差的期限结构。我们还通过Fmt（T）定义了相应的OIS远期利率：-Tlog BM（t，t）和ft（t）：=-Tlog B（t，t），对于所有0≤ T≤ T≤ T.以下结果是上述定义和命题3.8的直接结果。提案3.15。假设假设3.9成立。然后，一个有效的短率多曲线模型（X，`，λ，c，γ）在且仅当`（t）=fM（t）时，实现了对初始观测项结构的精确拟合- f（t），对于所有t∈ [0，T]，ci（T）=对数SM，δi（0，T）- 对数S0，δi（0，t），对于所有t∈ [0，T]和i=1，m、备注3.16。根据命题3.15，假设由模型（X，0，λ，0，γ）生成的扩散S0，δi（t，t）大于1且有序，那么对于任何i∈ {1，…，m}，如果SM，δi（0，t）≥ S0，δi（0，t），对于所有t∈ [0，T]，然后Sδi（T，T）≥ 1，全部0≤ T≤ T≤ T（ii）对于任何i，j∈ i<j的{1，…，m}，iflog SM，δi（0，t）- 对数SM，δj（0，t）≤ 对数S0，δi（0，t）- 对数S0，δj（0，t），对于所有t∈ [0，T]，然后Sδi（T，T）≤ Sδj（t，t），对于所有0≤ T≤ T≤ T.3.4。与现有基于有效流程的多曲线模型的关系。在本节中，我们将讨论我们的设置如何与基于文献中最近提出的有效过程的多曲线模型相关联。我们表明，我们知道的所有现有方法都可以作为我们框架的特例恢复。3.4.1. 短期利率模型。如引言所述，基于有效流程的短期利率模型已被提出用于建模多条曲线，请参见[25,30,31,45,46,52]。[33，第2章]最近提供了一个包含这些论文中介绍的所有模型的总体框架。

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2022-5-10 23:08:48

在这项工作中，作者们假设，数字是由OIS银行账户照常给出的，通过短期利率r=（rt）0进行建模≤T≤T、利用相应的鞅测度Q。考虑到单一期限δ>0的呈现的不确定性，即期伦敦银行同业拆借利率Lt（T，T+δ）由T（T，T+δ）=δ指定Bδ（t，t+δ）- 1., 对于所有0≤ T≤ T、其中，Bδ（T，T+δ）表示到期日为T+δ的艺术风险债券在T日的价格。请注意，风险债券只是作为一种建模工具引入的，其风险性是指银行间市场，并不代表实际交易资产。与经典的CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto单曲线设置中的短期利率法类似，假定OIS债券价格和风险债券价格由b（t，t）=Ehe给出-特鲁杜fti和Bδ（t，t）=Ehe-RTt（ru+su）duFti，所有0≤ T≤ T≤ T、其中s=（st）0≤T≤t瞬间传播。OIS短速率RTA和扩展凝视被建模为一个公共过程X=（Xt）0的函数≤T≤某些状态空间D上的值 V:=Rn+×Rd-n（[30]还考虑Wishart过程X和确定性移位扩展的情况，这意味着函数的常数部分实际上是时间上的非确定性函数）。该框架可视为我们在第3.3节中介绍的有效短期利率设置的特例。事实上，有必要观察到，在当前设置中，点乘性价差可以表示为logsδ（t，t）=logB（t，t+δ）Bδ（t，t+δ）=logEhe-Rt+δtrudu福提赫-Rt+δt（ru+su）duFti=cδ（t）+hγδ，Xti，其中cδ：[0，t]→ R和γδ∈ V是根据X的特征指数以及RTA和st的函数特性确定的。这表明表示（3.11）-（3.12）适用于基本的函数过程X。

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mingdashike22

2022-5-10 23:08:51

类似的考虑允许恢复[31]中最近提出的高斯二次模型。由于我们的即期乘法利差是一个可观测的量，与瞬时利差st不同，在我们看来，直接定义即期乘法利差的短率多曲线模型更为自然，如定义3.10.3.4.2所示。伦敦银行同业拆借利率模型。第3.2节的一般有效多曲线设置允许恢复[32]中最近引入的模型的通用化，该模型扩展到[43]中最初提出的有效伦敦银行同业拆借利率模型的多曲线设置。在该设置中，num’eraire-鞅度量耦合（B，Q）由到期日为T的OIS零息债券和相应的T-前向度量给出，即（B，Q）=（B（·T），QT）。我们在下面的期望中明确指出了这一措施。如第3.2节所述，考虑一个有效过程X=（Xt）0≤T≤T（在QT下）取Rd+中的值，并用Mu=（Mut）0表示≤T≤t由Mut定义的QT鞅：=EQT[exp（hu，XTi）| Ft]，对于t∈ [0，T]。对于市场上交易的每一个期限δ>0，[32]考虑一个有序到期δ的有限集合：={0=Tδ，Tδ，…，TδNδ=T}。对于δ>0和k的任何期限∈ {0，…，Nδ- 1} 对于所有t，乘法读数Sδ（t，tδk）由（3.14）Sδ（t，tδk）=1+δLt（tδk，tδk+1）1+δLOISt（tδk，tδk+1）=MvδktMuδkt给出∈ [0，Tδk]，其中{uδ，…，uδNδ}是u中的一个序列，使得uδk≥ uδk+1，对于所有k，为了确保非负的正向速率，{vδ，…，vδNδ}是u中的一个序列，使得vδk≥ uδk，对于所有k，以确保利差大于1。就其自身性质而言，[32]的模型是针对有限的到期日集合而制定的。然而，可以通过考虑函数u:[0，T]获得连续扩展→ 使得U（Tδk）=Uδk和函数v:[0，T]×R+→ U使得v（Tδk，δ）=vδk，对于所有k和δ>0。

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何人来此

2022-5-10 23:08:54

连续延伸的概念首先出现在未发表的注释[40]中（在单曲线设置中），在本论文发表后，在多曲线设置中得到进一步发展[54]。与[43，第6节]类似，让OIS债券价格如下所示：（3.15）B（t，t）/B（t，t）=Mu（t）t，对于所有0≤ T≤ T≤ T、仿射多产量曲线模型，其中Mu（T）T=EQT[exp（hu（T），XTi）| Ft]。根据方程（3.14），我们通过（3.16）Sδ（t，t）=Mv（t，δ）t/Mu（t）t对Sδ（t，t）进行建模≤ T≤ T≤ T和δ>0，其中Mv（T，δ）T=EQT[exp（hv（T，δ），XTi）| Ft]。观察，以确保Sδ（t，t）≥ 1，全部0≤ T≤ T≤ T和δ>0时，必须要求v（T，δ）≥ u（T）代表所有T∈ [0，T]和δ>0。类似地，通过对函数δ7施加适当的要求，可以获得与不同基调相关的乘法排列Sδ（t，t）之间的顺序关系→ v（T，δ）。回顾B（t，t）=1，对于所有t∈ [0，T]，表示（3.15）以及X的有效属性意味着数值过程满足log Bt:=log B（T，T）=-对数μ（t）t=-φT- t、 u（t）-ψT- t、 u（t）, Xt, 尽管如此，t∈ [0，T]，其中φ和ψ表示X的特征指数。类似地，表示法（3.16）意味着，对于所有T∈ [0，T]和δ>0，logsδ（T，T）=logMv（T，δ）tMu（T）T=φT- t、 v（t，δ）- φT- t、 u（t）+ψT- t、 v（t，δ）- ψT- t、 u（t）, Xt.因此，模型（3.15）-（3.16）代表了我们的通用多曲线框架的一个特例。事实上，陈述（3.5）-（3.6）之后是出租，尽管如此∈ [0，T]和i=1，m、（3.17）v（t）=φT- t、 u（t）, u（t）=ψT- t、 u（t）,vi（t）=φT- t、 v（t，δi）- φT- t、 u（t）, ui（t）=ψT- t、 v（t，δi）- ψT- t、 u（t）.此外，根据[42，引理4.3]，它认为u（T）∈ UTand用户界面（T）+u（T）∈ 但无论如何∈ [0，T]和i=1。

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