收益率曲线模型的一致性重新校准

2022-5-7 11:53:04

收益率曲线模型的一致性重新校准菲利普·哈姆斯、戴维·斯特凡诺维茨、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W¨乌思里希摘要。利率动态。然而，为了正确地解释真实数据的动态，这些模型需要显示与时间相关甚至随机的参数。1.介绍1。1.收益率曲线建模原理。对收益率的随机演化进行建模（金融工具）：我们当然要求交易资产价格的所有模型都不存在套利；因此，我们不将此列为主要要求。o稳健校准：从时间序列中同时选择模型，在等效测量下，应通过统计程序对时间序列数据进行估计。其余参数通过求解ANS进行校准，ANS应在模型寿命期内保持不变；只有状态变量可能会改变一致性：收益率曲线的一致性不会留下预先设定的可能市场观察值（见[16]由于任何新到达的市场配置都是一种可能的模型状态，因此SETI被假定为具有正概率的曲线NI的有限维子流形。因此，模型可以根据新的市场配置进行重新校准，而不会失去与旧参数模型选择的一致性；我们认为，该模型满足一致的再校准特性。日期：2016年9月2010年数学科目分类。91G30，60J25，60J60。部分由SNF资助149879。我们衷心感谢ETH基金会的支持。arXiv:1502.02926v2[q-fin.MF]20162年9月7日PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–UTHRICHo分析可处理性：可以快速准确地计算模型的相关量。

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2022-5-7 11:53:12

特别是，人们应该能够模拟状态变量条件。我们对其中一些原则进行了简要的评论我总是考虑一类参数化模型，包括一个完全特定的模型，用于I中的每个初始状态和每个参数值在实践中，利率模型会定期（例如每天）根据市场数据进行重新校准。假设一致性重新校准属性不适用于今天的模型。那么，明天的市场收益率曲线可能不在今天模型的可能实现范围之内。如果发生这种情况，那么明天的重新校准必然意味着拒绝今天的模型。另一方面，如果重新校准是模型状态变量的更新，且不涉及模型参数的变化，则不会出现不一致稳健校准原则将估算挥发率的简单任务与时间序列（即在等效测量变化下不变的参数）分离开来。在[22]中，我们使用我们的结果对风险的市场价格进行建模和过滤。一致的重新校准模型。满足曲线空间所有三个主要要求的屈服曲线演化类）。从数学上讲，我们寻找完全或大量支持的收益率曲线模型，此外，这些模型在分析上是可处理的。通常情况下，全支撑特性不符合超椭圆模型的分析可处理性，超椭圆模型在有限维上限制太多。我们用一个例子来说明这一点。以赫尔-怀特扩展考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）模型为例。

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2022-5-7 11:53:15

在该模型中，短期利率由SDEdr（t）给出=θ（t）+βr（t）dt+pαr（t）dW（t），其中θ（t）≥0决定均值回归的时间依赖性水平，β<0决定均值回归的速度，α>0决定波动性水平。通过选择合适的壳白延伸θ，该模型可以从大的子空间曲线校准到任何初始屈服曲线。对于任何固定的初始收益率曲线，收益率曲线在某个大于0的未来的分布集中在模型的一维上，且一致的再校准特性不适用于toI。此外，该模型的低维性在实际水平上是明显的，这与市场观察结果形成了鲜明对比（见图7.13）。最后，如图7.4和7.6所示，经过校准的模型参数随时间显著变化，这与稳健校准的要求相矛盾。状态变量。例如，可以使α=α和β=β依赖于收益率曲线模型3y的参数一致性重新校准，并写入formdr（t）的动力学=θ（t）+βY（t）r（t）dt+qαY（t）r（t）dW（t），dY（t）=uY（t）dt+σY（t）dfW（t）。零息票债券价格无法再通过分析计算。一致性再校准（CRC）模型的关键思想是将短期利率模型提升为HJM模型，并在该水平上引入随机参数。Leth（t）表示Musiela参数化时的远期利率曲线（即，作为到期时间的函数）。然后，CRC模型由联合动态CSDH（t）定义=Ah（t）+uHJMY（t）r（t）dt+σHJMY（t）r（t）dW（t），dY（t）=uY（t）dt+σY（t）dfW（t），rthtAuHJMy，σHJMyHJM漂移和常参数短期利率模型的波动性。该模型，以及更普遍的CRC模型类别，具有以下特性：o它是一个全边缘HJM模型，提供了稳健校准的好处。全白延伸θ因子模型。

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2022-5-7 11:53:19

结构如图4.2所示。连接的模型允许有不同的静态参数。对不同成熟期的产量协变量矩阵进行参数排序。事实上，我们的实证分析表明，它们更接近可以使用的o[1]中观察到的结果。对于非Lipschitz向量场的一般HJM方程，没有类似的方案可用。在我们的数值实现中，我们在Vasiˇcek情况下实现了一阶收敛。这些属性在风险管理和当前监管4 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–UTHRICHprocess中非常重要。[22]中提供了改进的第一个证据。结构动力学。例如，它可以应用于多曲线利率模型和期权价格的期限结构模型[29]。论文的组织。建模方法。在第3节中，我们介绍了Hull-White扩展的短波率数值实现，并给出了一些实证结果。2.与其他收益率曲线模型的关系这些模型大致可分为因子、HJM、主成分分析（PCA）和过滤历史模拟模型。我们根据我们的要求对这些模型进行简要分析，并将其与新的CRC模型进行比较。因子模型。可以派生（有关概述，请参见[17]）。LetX=（X（t））t≥0be a factor Markov processyBgXg–关于定价度量P–关系P（t，t）=EB（t）B（t）F（t）= G（t，t，X（t）），对于某些函数G也取决于参数向量y。市场数据以日收益率曲线的形式到达。通过校准，选择初始状态X和参数向量来解释今天的市场数据。TXA另一个参数向量。由于状态可能随机变化，XtoxTy的变化将切换到Y指定的模型。

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2022-5-7 11:53:22

通过结合使用过滤和校准技术来稳定Y，II的选择，可以在一定程度上缓解这个问题。从积极的一面来看，因子模型通常在分析上是可处理的，例如，在一个有效的类别内（参见[17,15]）。HJM模型。收益率曲线本身被视为状态变量（可能与一些隐藏的状态变量一起）。对每日收益率曲线的校准现在是一个根据市场数据的时间序列进行统计估计的问题。瞬时CO方差、跳跃结构和漂移的适当参数化将导致一个统计推断问题，尽管这是一个有限维的问题。因此，稳健校准的范例，包括收益率曲线模型5的一致性重新校准。然而，在这个模型类中，人们通常会遇到严重缺乏分析可处理性的问题。Euler和高阶格式（通常）需要对向量场进行强有力的假设（c.f.[14]）。与CRC模型相比，通常没有精确或高阶的微小增量模拟，CRC模型通常是这样。2.3.PCA-或局部PCA模型。主成分分析（PCA）或局部PCA将收益率曲线作为统计模型的结果，该模型通过标准估计，相当于具有恒定向量场的HJM模型（如[23]）。但从分析的角度来看，它们通常不是很容易处理的。2.4.过滤（历史）模拟。历史模拟是未知分布的标准行业相关样本，参见[19,4]。当然，在没有套利的情况下，这种假设可能会导致困难，但这可以通过[28,32]解决。最重要的问题是分配的国家独立性。同样，经过过滤的历史模拟也可以嵌入HJM模型领域。

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2022-5-7 11:53:27

然后，这些模型允许进行稳健的校准和一致的重新校准，但从分析的角度来看，通常不太容易处理。3.赫尔-怀特扩展仿射短速率模型。初始远期利率曲线。介绍的一维短期利率模型是YSetup和notation。(Ohm, F、（F（t））t≥0，P）PAll过程定义于Ohm, 适应于（F（t））t≥0和c\'adl\'ag。W=（W（t））t≥0是三维的（F（t））t≥0-布朗运动。rrtt≥0XXtt≥0XYYtt≥0YYt≡ 下面。空间X和Y都是某些有限维向量空间的子集。Xis，upRd+×Rdddd≥规范基向量表示为bye，ed和H·IDE注意到了欧几里得积。当然，我们可以在这里考虑更一般的有效过程，例如，在正半无限矩阵的锥和实线（如Shart-Heston模型）的乘积中获取值。6菲利普·哈姆斯、大卫·斯特凡诺维茨、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W¨乌思里克斯，y∈ X×YAyx∈ Rd×D与矢量比（x）∈ 确定x的波动性和漂移。表达式Ay（x）和By（x）在x中是有效的，即Ay（x）=Ay+dXi=1αiyxi，By（x）=By+dXi=1βiyxi，对于所有（x，y）∈ X×Y，Y，αY，αdy∈ Rd×dby，βy，βdy∈ RdWe表示bypAy（x）的对称正半限定平方根。注：可以选择其他平方根，下面的假设3.1不取决于[30，第V.19-20章]对平方根的选择。此外，一个函数θ∈ 给出了使X时间漂移不均匀的C（R+）表达式。3.3.因素过程和短期利率。因子过程是SDEdX（t）=qAy的连续X值解X（t）dW（t）+θ（t）e+ByX（t）初始条件为X（0）=X的dt（3.1）∈ 十、

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2022-5-7 11:53:31

对于所有t，短速率由（3.2）r（t）=`+hλ，X（t）i给出≥ 0，对于一些固定的∈ R和λ∈ Rdhλ，ei 6=0。假设3.1。（3.1）XXXsxs，x∈ R+×Xy，θX（3.3）Ehe-Rt（`+hλ，X（s）i）dsi<∞, 尽管如此，t≥ 0.3.4.指数矩和Riccati方程。processX，或者更确切地说是通过改变SDE（3.1）中的初始条件获得的过程家族，是时间不均匀的。SDE（3.1）中的所有系数都与时间无关，除了θXθ过程[18]。y、 y∈ C∞R+×C∞R+Rd（带参数y）∈ Y）如果ΦY=Fyo ψy，Φy（0）=0，（3.4a）ψy=Ryo ψy- λ、 ψy（0）=0（3.4b）成立，其中（Fy，Ry）∈ C（Rd）×C（Rd；Rd）由fy（u）=hu，ayui+hu，byi，Riy（u）=hu，αiyui+hu，βiyi给出∈ 我和我∈ {1，…，d}。引理3.2。对于一些容许参数（y，θ），我们给出了SDE（3.1）的一个解。当且仅当Riccati方程（3.4）的解（Φy，ψy）存在于所有时间t时，则X满足力矩条件（3.3）≥此外，如果存在Riccati方程的解，即使是局部解，它也是唯一的。屈服曲线模型的一致性重新校准7注意，Riccati方程（3.4）仅取决于ony，而不取决于赫尔白延伸θ的选择。证据LetZbe的X值过程Z（t）=（Z（t），Z（t））=（X（t），RtX（s）ds）。

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nandehutu2022

2022-5-7 11:53:35

ThenZ是一种It分歧，其在时间t的漂移和波动性≥ 0由θ（t）e+By（Z（t）），Z（t）∈ R2d，Ay（Z（t））00∈ R2d×2d，ZtθtetZZt，u，u∈ R+×Rd×RdZF（t，u，u）=θ（t）hu，ei+Fy（u）∈ R、 R（t，u，u）=（Ry（u）+u，0）∈ Rd×Rd.力矩条件（3.3），用Z表示，如下所示：-hλ，Z（T）ii<∞, 尽管如此，T≥ 0.根据[21]，力矩条件等价于与Z相关的下列Riccati系统的解（φ，ψ，ψ）的存在：-tφ（t，t）=θ（t）hψ（t，t），ei+Fy（ψ（t，t）），φ（t，t）=0，-tψ（t，t）=Ry（ψ（t，t））+ψ（t，t），ψ（t，t）=0，-tψ（t，t）=0，ψ（t，t）=-λ.等价地，关系ψ（t，t）=-λ和φ（t，t）=ZTtθ（s）hψy（t- s），eids+Φy（T- t），ψ（t，t）=ψy（t）- t）保持相同，其中（Φy，ψy）是Riccati方程（3.4）的解。这些方程的唯一性是成立的，因为向量场是局部Lipschitz。3.5.债券价格和远期利率。根据无套利论点，第3.3节短期利率模型中的零息票债券价格由p（t，t）=Ehe给出-RTtr（s）dsF（t）i=Ehe-RTt（`+hλ，X（s）i）dsF（t）i，t≥ T≥ 0.远期利率byh（t，τ）=h（t）（τ）=-τlogP（t，t+τ）, t、 τ≥ 0.远期利率的参数化作为和τ的函数称为MusielParameterisation。这在本文中特别有用，因为（h（t））t≥0将被解释为一个随机过程，在R+上合适的函数空间中取值。通过求解ODE（3.4）的Riccati系统，8 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthrich定理3.3（零息票债券价格和远期利率）可以得到。Letx满足力矩条件（3.3），并将（Φy，ψy）设为引理3.2给出的带参数的Riccati方程的唯一解。

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2022-5-7 11:53:38

那么短期利率模型（3.1）-（3.2）中的债券价格满足（3.5）log（P（t，t））=-`（T）- t） +ZTtθ（s）hψy（t- s），eids+Φy（T- t） +hψy（t）- t），X（t）i≥ T≥ 由（3.6）h（t，τ）=`-Zτθ（t+s）hψy（τ）- s），艾兹- Φy（τ）- hψy（τ），X（t）i，对于所有t，τ≥ 0.证明。（3.3）等价于与过程z=（X，RX）相关的Riccati系统解（φ，ψ，ψ）的存在性。此外，（φ，ψ，ψ）与Riccati系统（3.4）的解（Φy，ψy）密切相关。根据[21]中的主要定理及其条件版本，a ffine变换公式-hλ，Z（T）iF（t）i=eφ（t，t）+hψ（t，t），Z（t）i+hψ（t，t），Z（t）i，对于所有t≥ T≥ 0，保持。直接计算表明，该公式相当于债券价格的公式（3.5）。远期利率的公式（3.6）通过取对数并对τ进行微分得到。3.6.希思·贾罗·莫顿方程。远期利率曲线的演变是dex，y∈ X×YuHJMyxσHJMyxuhjmyy（X）=hψY，Ay（X）ψyi∈ C∞（R+，σHJMy（x）=-qAy（x）ψy∈ C∞（R+；Rd）。注意，熟悉的HJM漂移条件为：（3.7）uHJMy（x）（τ）=σHJMy（x）（τ），ZτσHJMy（x）（s）ds, 总之τ≥ 0.使用符号表示远期汇率过程中的一个要素。假设3.4。H是具有以下性质的Hilbert空间：（i）H C（R+）与评价mapevalτ：h7→ 对于每个τ，h（τ）是连续的∈ R+；（ii）对于每个（x，y，z）∈ X×Y×Rd，uHJMy（X）和hσHJMy（X），zi是h的元素；（iii）短期租约≥0hht·on H，在域（A）中具有小型生成器A H∩ C（R+）（C.f。

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2022-5-7 11:53:41

[16，引理4.2.2]）我们可以用下面的方法描述这个过程（h，X）。收益率曲线模型的一致性重新校准定理3.5（HJM方程）。让（h，X）由定理3.3给出，并假设∈ DAt≥h、 h×X：（3.8）dh（t）上的XSPDE=啊（t）+我的X（t）dt+σHJMyX（t）dW（t），dX（t）=qAyX（t）dW（t）+θ（t）e+ByX（t）dt。在该领域之外，远期利率过程可以被描述为mildwe，参见[13，第6.1节]。Xtt≥0级。然后，方程（3.8）可以重写为仅用于正向速率过程的演化方程（c.f.方程（5.4））。这在多因素情况下也是可能的，但方程式的形式为（3.8）。证据关于totandτ的远期利率微分公式（3.6），使用ψy（0）=-λ、每个τ都有一个结果≥ 0dh（t，τ）=-Zt+τtθ（s）hψy（t+τ）- s），eids+θ（t+τ）hλ，ei+θ（t）hψy（τ），eidt- hψy（τ），dX（t）i，Ah（t，τ）=-Zt+τtθ（s）hψy（t+τ）- s），eids+θ（t+τ）hλ，ei- Φy（τ）- hψy（τ），X（t）i.dh（t，τ）=Ah（t，τ）+Φy（τ）+hψy（τ），X（t）i+θ（t）hψy（τ），eidt- hψy（τ），dX（t）i。当ndx（t）被SDE（3.1）的右侧替换时，θ（t）项被抵消，每个τ得到一个≥ 0dh（t，τ）=Ah（t，τ）+Φy（τ）+hψy（τ），X（t）i- hψy（τ），由（X（t））idt-ψy（τ），qAy（X（t））dW（t）.对称矩阵pay（X（t））可以移动到标量积的另一侧，人们可以立即识别出波动率σHJMy（X（t））。直接计算表明，漂移等于uHJMy（X（t））。的确，是的+ψy，x-ψy，乘以（x）= Fyo ψy·ψy+hRyo ψy·ψy，xi- hψy，By（x）i=hψy，Ay（x）ψyi=uHJMy（x），根据关系式fy（u）·v=hu，ayvi+hv，byi，（Riy）（u）·v=hu，αiyvi+hv，βiyi。10菲利普·哈姆斯、大卫·斯特凡诺维奇、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W·乌思里奇的远期运价和赫尔-怀特续航。（3.6）模型的htθ。

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何人来此

2022-5-7 11:53:44

它可以简洁地表示为ash（t）=HyS（t）θ，X（t）, S（t）θ=Cyh（t），X（t）, 尽管如此，t≥ 0，其中（t）是右移运算符，参见假设3.4（iii），计算将船体白延伸校准到初始前进速率曲线的初始Y反向操作。形式上，对于每个（t，x，θ）∈ R+×X×C（R+），这些算子由s（t）θ=θ（t+·）给出∈ C（R+），Hy（θ，x）=`- Iy（θ）- Φy-ψy，x∈ C（R+），Iy（θ）=Z·θ（s）hψy（·- s），艾兹∈ C（R+）。校准用的HyIyCyCing）定义为以下定理给出的HYG的部分逆。定理3.6。h、 x∈ CR+×Xh（0）=`+hλ，xi。那么Volterra积分方程h=Hy（θ，x）有唯一的解θ∈ C（R+），我们用Cy（h，x）表示。这个定理是下列引理的直接结果。引理3.7。每一天∈ Y、 Volterra积分算子：C（R+）→H∈ C（R+）：h（0）=0是双射的。证据这源于[8，定理2.1.8]，注意到积分核（3.9）Ky（s，t）=ψy（t）- s），e, 尽管如此，t≥ s≥ 0，满足度| Ky（t，t）|=|hλ，ei |>0，且均为Kyand它们是连续的。注意，赫尔白延伸θ的校准需要沃尔特拉积分算子Iy的反演。这里需要假设hλ，ei 6=0。Volterra方程的数值解。Volterra方程必须用数值方法求解。我们的目标是第二步，我们用梯形法则近似Volterra积分算子，它产生一个由biy（θ）（τn）=δhψy（τn），eiθ（0）+n给出的算子-1Xi=1hψy（τn）- τi），eiθ（τi）+hψy（0），eiθ（τn）！，N∈ N+τnnΔδ>解bθ可以通过求解连续分段线性（即。

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2022-5-7 11:53:48

线性oneach区间[τn，τn+1]）函数bθ满足（3.10）bθ（0）=g（0）hψy（0），ei，bIy（bθ）（τn）=g（τn），对于所有n∈ N+。收益率曲线模型的一致性重新校准11因为B是Iy的二阶近似值，所以Bθ是θ的二阶近似值也就不足为奇了。引理3.8。让（x，y）∈ X×Yandg:R+→ 具有连续二阶导数的Rpiecewise。如果g（0）=0，则存在唯一的分段线性函数bθ∈ C（R+）满足（3.10）。此外，bθ是Volterra方程Iy（θ）=g的精确解θ的二阶近似，即对于每个T∈ R+，支持∈[0，T]| bθ（T）- θ（t）|≤ Cδ，其中C是一个常数，仅取决于T和g。引理将用于显示校准运算符hy（·，x）的数值可逆性。在这种情况下，如果对产量进行充分平滑的插值，则满足Volterra方程右侧的平滑性假设。证据注意到积分核（3.9）是严格有界的，沿着我们的假设hψy（0），ei=hλ，ei 6=0，沿着对角线远离零。bθ（3.10）对于（bθ（τ），下三角形式的bθ（τn））。对效率的估计。关于估计量构造的考虑。设r（t，τ）表示从t到t+τ持有的零息债券的收益率，即（3.11）r（t，τ）=-τlog P（t，t+τ），对于所有t，τ∈ R+。τiτj（3.12）ddt[r（·τi），r（·τj）]（t）=τiτjψy（τi）>ay+dXk=1αkyXk（t）！ψy（τj）。假设（3.12）的左侧是τi和τj的函数，且ψ的分量在功能上是独立的。然后可以确定ψ和矩阵（X（t））的成分。函数ψ通常决定系数α和β（参见方程（3.4b））。

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2022-5-7 11:53:51

此外，考虑到矩阵ay和αky的容许条件（见[15，定义2.6]），可以确定X（t）和矩阵ay的其他+值成分。请注意，（3.12）仅来自产量动态的扩散系数，因此在Girsanov的度量变化下是不变的。因此，系数αy和βy可以根据真实世界的观察结果进行估计，而无需指定风险的市场价格。当然，风险的市场价格在估计中是作为偏差输入的，但估计者并不依赖于它。此外，在模型假设下，估计值不依赖于τi、τj的选择，这为拒绝不适合的模型提供了一种方法。x（t）的剩余值分量和系数都不出现在二次协变量中（3.12）。我们现在讨论如何估算它们。首先，请注意，对于单因素模型，由于船体白色延伸，它是冗余的，可以标准化为零。在多因素情况下，只有12个菲利普伤害中的第一个部分是多余的，大卫·斯特凡诺维奇、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W·乌瑟里奇·维克托比。其次，请注意，远期利率曲线的短端给出了一个标量条件onX（t），这允许我们完全识别x（t），如果x（t）只有一个单值分量。然而，在一般的多因素情况下，ByandX（t）的某些成分仍不确定。可以通过回归方法将它们校准到当前的市场收益率曲线。或者，也可以通过计量经济学方法进行估算。然而，这些要求风险规格的市场价格。

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2022-5-7 11:53:55

我们在这里不讨论这个话题，更多细节请参考[22]。在实践中，二次协变量（3.12）必须根据yieldsbr（tn，τi）tnnΔτi化协变量进行估计，其定义为[br（·τi），br（·τj）]（tn）=nXk=1br（tk，τi）- br（tk）-1，τi）br（tk，τj）- br（tk）-1，τj）.玛丽亚·埃尔维拉·曼奇诺（Maria Elvila Mancino）也可以使用，参见[12]了解最近的一些发展。固定长度为M的时间窗口和时间tn，则有（3.13）[br（·τi），br（·τj）]（tn）- [br（·τi），br（·τj）]（tn-M） tn- tn-M≈τiτjψy（τi）>ayψy（τj）+Δτiτj（tn- tn-M） dXk=1ψy（τi）>αkyψy（τj）nXm=n-M+1Xk（tm）。因此，对于任何时间和任何到期时间选择τi，τj，估计器bay，bαy，bβybXtnbXdtn4。仿射短期利率模型的一致性重新校准。yby a随机过程Y=（Y（t））t≥0.当每次参数过程发生变化时都有屈服曲线（即模型给出的带有旧参数的屈服曲线）时，情况尤其简单。之后，对于更一般的CRC模型，这些概念被推广到关于时间网格的任意参数yyy。4.2.设置和符号。我们回顾了假设3.1中可容许参数的概念。所有人（s，x）∈ R+×x和所有容许参数（y，θ）∈ Y×C（R+），weXXs，xy，θs，∞（3.1）θtθt- 对于ally，同时满足假设3.4的Sxhrate曲线∈ Y

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2022-5-7 11:53:58

我们定义了严格递增的非负确定性时间序列（tn）∈N.具有分段常数参数过程的CRC模型。Yt∈tn，tn+1年收益率曲线模型的一致性重新校准13定义4.1年。h、 C（R+）中的X，YH×X×Yθ值，每n满足以下条件∈ N：（i）通过校准h（tn）：h（tn）（0）=`+hλ，X（tn）i，θ（tn）=CY（tn）（h（tn），X（tn））和t来确定[tn，tn+1]上的船体白延伸θ∈ [tn，tn+1]θ（t）=S（t- tn）θ（tn）。（ii）由参数（Y（tn），θ（tn））确定的Xtn，tn+1:X（t）=Xtn，X（tn）Y（tn），θ（tn）（t），t∈ [tn，tn+1]，其中xs，xy，θ是第4.2节定义的SDE（3.1）的解算子。这里，假设3.1适用于参数（Y（tn），θ（tn））∈ Y×C（R+）。（iii）HON[tn，tn+1]的演变由X根据流行的霍尔-怀特扩展有效模型确定：h（t）=HY（tn）θ（t），X（t）, T∈ [tn，tn+1]。我们使用等式（3.8）中相同的符号来表示CRC模型。h，Xtn，tn+1（3.8）Ytn，θtnXtn，tn+1步骤（i）在离散时间尺度上发生，因为参数过程是常数[tn，tn+1]。通过构造，过程（h，X）在每次tn模拟时都是连续的。过程是特定的，可以在时间网格（tn）n上取样∈N.然后，定义4.1中的CRC模型可以通过反复应用步骤（i）-（iii）进行模拟。算法4.2（模拟）。给定nh（t）和过程，计算（h，X，Y，θ）ontnn∈N（i）（iii）如果步骤（ii）中的假设不满足，对于任何N∈ N.算法如图4.1所示。

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2022-5-7 11:54:01

请注意，远期利率增量是根据有效因子processX的增量计算的，通常可以通过高精度和适当处理边界条件来模拟。这些优势得益于CRC增量的有效结构，对于一般HJM模型来说是不可用的。有效更新远期利率曲线。（iii），ττ仅涉及长度δ=tn+1的时间间隔上的积分- tn.14菲利普·哈姆斯、大卫·斯特凡诺维茨、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W·乌思里希o更新hh（tn），X（tn+1），Y（tn），θ（tn）o更新X//h（tn）、X（tn）、Y（tn）、θ（tn）o更新Yooh（tn+1）、X（tn+1）、Y（tn）、θ（tn）o更新θ增加nOOh（tn+1）、X（tn+1）、Y（tn+1）、θ（tn）定义4.1中的θXh（i）、（ii）、（iii）。更新是使用外生给定的Y模型完成的。引理4.3。（iii）as（4.1）h（tn+1）=S（δ）h（tn）+S（δ）ΦY（tn）- ΦY（tn）+DS（δ）ψY（tn），X（tn）E-DψY（tn），X（tn+1）E+ZΔθ（tn）（s）DS（δ）-s） ψY（tn），eEds，其中δ=tn+1- 证明。根据定义4.1的条件（i）和（iii），h（tn+1）- S（δ）h（tn）=HY（tn）S（δ）θ（tn），X（tn+1）- S（δ）HY（tn）θ（tn），X（tn）= ` - IY（田纳西州）S（δ）θ（tn）- ΦY（tn）- hψY（tn），X（tn+1）i- ` + S（δ）IY（tn）θ（tn）+ S（δ）ΦY（tn）hS（δ）ψY（tn），X（tn）i.现在引理的断言来自关系ss（δ）Iy（θ）- Iy（S（δ）θ）=Zδθ（S）hS（δ）-s） ψy，eids，表示所有（δ，θ）∈ R+×C（R+），可通过定义轻松验证。4.6. 债券价格和远期利率。定理4.4。h、定义4.1中的X，Yas以及相应的过程θ。定义（t，t）=e-RTth（t，s）-t） ds，r（t）=h（t，0）=`+hλ，X（t）i，B（t）=eRtr（s）ds。t 7→ Pt，T/BtPT≥从这个意义上说，债券市场没有套利。

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2022-5-7 11:54:09

此外，收益率曲线模型和定价公式的一致性重新校准如下：log（P（t，t））=-`（T）- t） +ZT-tθ（t）（s）hψY（t）（t）- T- s），eids+ΦY（t）（t）- t） +hψY（t）（t）- t），X（t）i，h（t，τ）=`-Zτθ（t）（s）hψY（t）（τ）- s），艾兹- ΦY（t）（τ）- hψY（t）（τ），X（t）i.注：以下证明更有力地证明了贴现债券价格是真鞅。证据在每个区间[tn，tn+1]上，远期汇率曲线h（t）的演变源自赫尔-怀特扩展的有效短期汇率模型。因此，每个≥0，折扣价格流程7→ P（t，t）/B（t）是每个区间[tn，tn+1]上的鞅。此外，该过程在间隔的最边界处连续连接。因此，∞h（t）=HY（t）（θ（t），X（t）），通过定义4.1（iii）保持不变。4.7. 希思·贾罗·莫顿方程。定理4.5。h、 X，Yθht∈ DAt≥性质如下：（i）对于所有t，表达式CY（t）（h（t），X（t））定义良好，等于θ（t）≥ 0;（ii）对于所有t，参数（Y（t），θ（t））是容许的≥ 0; （iii）过程（h，X）是以下SPDE在h×X上的强解：（4.2）dh（t）=Ah（t）+uHJMY（t）X（t）dt+σHJMY（t）X（t）dW（t），dX（t）=qAY（t）X（t）dW（t）+CY（t）h（t），X（t）（0）e+BY（t）X（t）dt。证据这源自定义4.1和定理3.5。几何解释。ric口译。Hull-White扩展的有效短速率模型的正向速率曲线保持在有限维流形内，边界如下所示：-Zτθ（t+s）hψy（τ）- s），eids+`- Φy（τ）- hψy（τ），xi（t，x）∈ R+×Rd,从定理3.3可以看出。这些子流形叶化了正向速率曲线或其大部分的空间。让我们看看远期利率曲线。然后，对于每一个功能特性的选择（Fy，Ry），最多有一个叶。然而，如果（Fy，Ry）允许变化，通常会有许多叶子穿过。

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2022-5-7 11:54:13

选择leafFy，RyA CRC模型是通过连接属于不同叶片的叶片上的正向速率进化来构建的。这使得其他常数系数（Fy，Ry）能够适用于短期利率模型。如图4.2.16所示，菲利普·哈姆斯、大卫·斯特凡诺维茨、约瑟夫·泰奇曼和马里奥·V·W·乌瑟里奇将曲线转化为不变叶。CRC模型是前向速率演化的串联，属于不同的叶系或此类关联的限制。4.9.CRC模型。我们将第4.3节的CRC模型推广到任意参数的过程。在本节中，I不需要像前几节中那样是分段常数。为了描述此类模型的特征，我们使用定理4.5中导出的SPDE。定义4.6。h、 X，YH×X×y满足定理4.5中θ（t）=CY（t）的条件（i）–（iii）h（t），X（t）每个t≥ 第4.8节中的0。注意，这些模型满足定理4.4的所有结论：它们没有套利，因为贴现债券价格sp（t，t）/B（t）是局部鞅，r（t）=h（t）（0）=`+hλ，X（t）i.4.10。半群解释。假设参数过程是Markov-onY（4.2）h，X，YH×X×Y[13，c.f.定理9.14]。LetP=（P（t））t≥0表示有界连续函数的banach空间Cb（H×X×Y）上相应的半群，即P（t）f（H，X，Y）=eFh（t），X（t），Y（t）h（0），X（0），Y（0）=h、 x，y.QQtt≥0CbH×X×Y参数过程Y（t）≡ y固定，即Q（t）f（h，x，y）=eFh（t），X（t），yh（0），X（0）=h、 x,其中（h，X）如定理3.5所示，y=y。最后，letR=（R（t））t≥0表示Cb（H×X×Y）上描述Y演化的半群，即R（t）f（H，X，Y）=eFh、 x，Y（t）Y（0）=Y.然后，半群的级联（R（δ）Q（δ））nfof描述了CRC模型，其具有定义4.1中的逐点常数参数过程。

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2022-5-7 11:54:17

实际上，（R（δ）Q（δ））nf（h，x，y）=E[h（tn），x（tn），y（tn）]，对于所有n∈ N、产量曲线模型17δtn+1的一致性重新校准-通过在该时间网格上对马尔可夫过程Y进行采样，得出第4.4节的tnhtn、Xtnscheme和Y（tn）。通过拆分方案模拟CRC模型。第4.10节的定义允许我们将算法4.2视为定义4.6中一般CRC模型的指数Euler拆分方案。要看到这一点，letf:H×X×Y→ 有界集上导数一致连续的Rbe二次可微半群P，Q，R的生成元GP，GQ，GRof，如果Y独立于W，则GPf=GQf+GRf。关于这种分裂的指数欧拉分裂方案定义为asP（nδ）f≈exp（δGR）exp（δGQ）nf=R（δ）Q（δ）nf，所有n∈ N.在第2.2节和第4.13.4.12节中。CRC模型的校准。为了校准CRC模型，我们需要估计y的估计时间序列。这就完成了风险中性概率测度下的模型规范。本文不讨论风险规格的市场价格，但更多细节请参考[22]。稳健的校准、一致性和分析可处理性。prHH×X×YH定义4.7。设（h（t），X（t），Y（t））t≥0成为CRC模型和 H×X×Y。那么这个模型被称为与iif（H（t），X（t），Y（t））一致∈ 对于任意大于0且初始条件（h，x，y）的概率为1的情况∈ I.此外，该模型满足任何t>0和初始条件（h，x，y）下的HTPRH（I）∈ I.一致性重新校准属性相当于第3节中所述的任何H（I）beingt>属性的任何开放子集，不适用于任何合理大的Hull White扩展有效因子模型集。事实上，如第4.8节所述，对于任何给定的初始值，processhremains在有限维子流形ofH内。

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2022-5-7 11:54:20

另一方面，CRC模型具有以下特性：18 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–UTHRICHo稳健校准：选择模型的收益率市场数据。只要有可能，参数都是根据产量的实际协变量来估计的，这使得人们可以绕过校准中常见的反问题。此外，要求参数在整个生命周期模型中保持不变。原因是，基础a ffine模型的参数被转化为CRC模型的状态变量一致性：IH×X×有效因子模型（见假设3.1）。在单因素模型的合理规定下，我∩（H×{x}×{y}）足够大，可以包含所有的实性x，y∈ X×Y嵌入有限公司（R+），则在拓扑意义上具有非空内部。在这种设置中，通过构造保持一致性，因为CRC模型的状态过程（h、X、Y）不会离开setI。一致的重新校准HT、Xt、YT，一般来说，只要参数过程中有噪声，这些向量场及其括号就会跨越H的密集子空间。Vasiˇcek案件的具体条件见第5.7节分析可处理性：CRC模型的模拟方案（算法4.2）将采样状态变量增量的任务转换为有限维设置。也就是说，与其从有限维空间模拟远期利率增量，不如模拟有限维XY方案的增量，以模拟单一过程。请注意，算法4.2中涉及有限维对象的所有操作都是确定性的。当高阶方法用于高斯过程时，模拟的复杂性大大降低。5.

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2022-5-7 11:54:23

Vasiˇcek模型5的持续重新校准。1.概述。我们描述了基于Hull White扩展Vasiˇcekof的CRC模型，第4.4节在连续时间限制内收敛于定义4.6的CRC模型。5.2.设置和符号。我们使用第3.2节和第4.2节的设置，设置x=R，`=0，λ=1。我们还没有指定参数spaceY，但是我们假设forx，y∈ X×YAyxay∈, ∞andBy（x）=带βy的βyx∈(-∞,0). 为了简单起见，我们选择时间tn=nδ和成熟时间τn=nδ的等距网格，用于所有n∈ N、其中δ是一个正常数。产量曲线模型的一致性重新校准19 Hull White extended Vasiˇcek模型。y、 θ∈ Y×CR+短速率过程的SDE为（5.1）dr（t）=（θ（t）+βyr（t））dt+√aydW（t），WFtt≥0每个参数（y，θ）。第3.4节中的功能特征（F，R）为Fy（u）=ayu，Ry（u）=βyu，对于所有u∈ R、相应Riccati方程的解（Φy，ψy）为Φy（t）=ay4βy2βyt- 4eβyt+3+e2βyt, ψy（t）=βy1.- eβyt, 尽管如此，t≥ 0.根据定理3.3，具有固定参数（y，θ）的Hull-White扩展Vasiˇcek模型（5.1）的远期汇率由h（t）=Hy（S（t）θ，r（t））给出∈ C（R+），其中hy（θ，x）（τ）=Zτθ（s）eβy（τ）-s） ds-ay2βy1.- eβyτ+ eβyτx，对于所有（x，θ，τ）∈ R×C（R+）×R+。由于积分核βy（τ）的简单结构-s），有一个用于校准运算符的闭合形式表达式，（5.2）Cy（h）（τ）=h（τ）- βyh（τ）-ay2βy1.- e2βyτ, 对于所有（h，τ）∈ C（R+）×R+。这可以使用定义进行验证。请注意，校准操作员不依赖于x。

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2022-5-7 11:54:26

因此，我们从符号Cy（h，x）中删除了x。第3.6节中的HJM漂移和波动率为（5.3）uHJMy（τ）=-ayβyeβyτ1.- eβyτ, σHJMy（τ）=√是βyτ，对于所有τ∈ R+。xxuHJMyxτ，σHJMyxτ读数为（5.4）dh（t）=啊（t）+我的dt+σHJMydW（t）。Vasiˇcek CRC模型。由于因子过程是远期汇率xtrtht的函数，因此由过程（h，Y）代替（h，X，Y）。因此，根据定理4.5和定义4.6，如果SPDEdh（t）满足，则值为h×Y的过程（h，Y）可以称为CRC模型=Ah（t）+uHJMY（t）dt+σHJMY（t）dW（t），（5.5）uHJMY（t）σHJMY（t）（5.3）t∈ R+字，Vasiˇcek情形中的最大容许集I是整个希尔伯特空间H.20 PHILIPP HARMS，DAVID STEFANOVITS，JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthrich Vasiˇcek CRC模型的模拟。Yny，CRC模型的模拟如算法4.2所述。以下观察结果使该算法特别有效。首先，状态过程是远期利率的函数，可以作为状态变量消除。第二，可以准确地模拟短期利率过程。事实上，在常参数模型中，r（t）是正态分布的，r（t）~ Neβytr+Zteβy（t-s） θ（s）ds，ay2βye2βyt- 1..第三，通过使用标定算子的闭式表达式（5.2），可以避免对Volterra积分算子进行逆变换。离散化是在均匀网格tn=τn=δ上进行的，用于选择数量众多的τn，从而导致一阶全局误差（见第5.6节和第7.7节）。

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2022-5-7 11:54:31

结果方案如下所示。算法5.1。h、 a针对每个n，重复执行以下步骤∈ N：（i）θtnCY（tn）htnδ（5.2），θ（tn）（0）=Ah（tn）（0）- βY（tn）h（tn）（0），θ（tn）（δ）=Ah（tn）（δ）- βY（tn）h（tn）（δ）-aY（tn）2βY（tn）1.- e2βY（tn）δ,IY（tn）（θ（tn））（δ）用梯形法则近似如下：bIY（tn）θ（tn）(δ) = -δeβY（tn）Δθ（tn）（0）+θ（tn）（δ）.（ii）取样器（tn+1）的绘制应确保有条件地onF（tn），r（tn+1）具有正态分布r（tn+1）~ NeβY（tn）δh（tn）（0）-bIY（田纳西州）θ（tn）（δ），aY（tn））2βY（tn）e2βY（tn）δ- 1..（三）h（tn+1），Ah（tn+1）是根据h（tn）、Ah（tn）、r（tn+1）使用引理4.3:h（tn+1）（τ）=h（tn）（δ+τ）+aY（tn）2βY（tn）1.- eβY（tn）（δ+τ）-1.- eβY（tn）τ+ eβY（tn）τ-eβY（tn）δr（tn）+r（tn+1）+bIY（tn）θ（tn）(δ),Ah（tn+1）（τ）=Ah（ti）（δ+τ）+aY（tn）βY（tn）eβY（tn）τ+e2βY（tn）（τ+δ）- e2βY（tn）τ- eβY（tn）（δ+τ）+ βY（tn）eβY（tn）τ-eβY（tn）δr（tn）+r（tn+1）+bIY（tn）θ（tn）(δ).这里，h（tn+1）必须始终计算到成熟度τi，而sah（tn+1）仅在τ=0和τ=δ时才需要。收益率曲线模型的一致性重新校准和模拟方案的收敛性。（5.5）δ标准半群理论。假设5.2。

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2022-5-7 11:54:34

参数过程Y取Y=Rp和Satifiesdy（t）中的值=AY（t）+u（Y（t））dt+σ（Y（t））dfW（t），（5.6）ARp→ RpRpu∈C∞bRpRpσ∈ C∞bRp，Rp×qfWqFtWC∞比西，比西∈ R+×YasConsumption 5.3。地图7→√阿扬迪7号→ c类的βyare∞b（Rp）和Supy∈YβY<0成立。h、第4.10节中的Yh、X、Y半群SP、Q和R现在假定定义为B（h×Y）CbH×X×YPh，YQ定义为h随Y固定的演化，R定义为Y随h固定的演化。定理5.4。在r+BH×YPQRBT上存在一个可分离的Hilbert空间hof连续函数∈ R+CkP（t）f- （R（t/n）Q（t/n））nfkB≤ Cn-1kfkB，所有f∈ B、 t∈ [0，T]，n∈ N+，其中Bis是密集且连续嵌入B.BCH×B的Banach空间，其中H H在下面的证明中定义。证据γⅡ∈n数字严格大于3。每一次我∈ N、定义一个可分离的Hilbert空间HibyHi=（h∈ Lloc:h（j）∈ 洛坎兹（0，∞)h（j）（τ）（1+τ）γidτ<∞, j=1，i+1），其中，在（0，∞). 每个函数都是连续的、有界的，并且有一个明确的界限(∞) =limτ→∞h（τ）。hiHi上的scalarproduct由hh定义，hiHi=h(∞)h(∞) +iXj=1Z（0，∞)h（j）（τ）h（j）（τ）（1+τ）γidτ。ζ>k，i∈ NBζkHi×YCkbHi×yun在标准kfkbζk（Hi×Y）=kXj=0sup（h，Y）下∈嗨，Ycosh（ζkhkHi）+kykY-1kDjf（h，y）kL（（Hi×y）j）。连同假设5.2和5.3，这意味着[14，第3.1.1节和第3.1.2节]的条件对于表征（h，Y）演化的SPDE（5.5）、（5.6）是满足的。（注意，对于μhjMy和σhjMy，βy需要远离零进行界定22 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthrichi×yh，具有固定的y，对于y，SDE具有固定的h。固定ζ>ζ>0，定义h=h，B=Bζ（h×y）和B=Bζ（h×y）。然后（P（t））t≥0，（Q（t））t≥0和（R（t））t≥0是BBY[14，引理13]上的强连续半群和[14，引理7]上的拟自洽半群。它们的生成器由GP、GQ和GR表示。

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2022-5-7 11:54:38

通过同样的引理，Bis在（P（t））t下是稳定的≥与[14，定理11]一起，这意味着对于每个f∈ B、表达式gpp（t）f，GQP（t）f，GRP（t）f，GQGQP（t）f，GQGRP（t）f，GRGQP（t）f用B范数一致有界定义∈[0，T]和GPF=GQf+GRf。因此，分裂是一阶形式的，其结果来自[20，定理2.3和第4.4节]。5.7.一致的重新校准属性。如果HJM波动率中的系数β√具有正概率的aeβτHilbert空间，即一致的重新校准性质成立。这在这里是精确的。假设5.5。Yy∈ YT>的YTis都是Y。而且，{βY:Y∈ Y} 包含一个区间[β，∞) 对一些人来说。假设5.6。Hilbert空间包含InLoc（R+）和∈ Hhas a fite横坐标Saabs（h）=infβ ∈ R:Z∞h（τ）eβτdτ<∞< ∞.假设5.6中的条件比较温和；加权Sobolev spacesin[16]尤其是spaceHof定理5.4满足了这一点。如下面的定理所示，上述假设意味着一致的重新校准特性。定理5.7。Vasiˇcek CRCmodel（5.5），（5.6）在状态空间I=H×Y的证明下，一致性再校准特性得到满足。h、 Y（5.5）（5.6）h，YT≥hT，ytltt（5.5）（5.6）^h，^Y（5.5）（5.6）^Y{^hT}×Y LTh{^hT}span{σHJMyy∈ Y} ×Y LTspan{σHJMyy∈ Y} HH×Y 书信电报5.8.实例我们给出了一个基于[10]的Vasiˇcek CRC模型的例子。在该模型中，波动率是随机的，但均值回归的速度不是随机的。因此，一个有限维的实现。

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2022-5-7 11:54:43

该模型中债券价格的显式公式适用于连续时间限制下的模型。收益率曲线模型23的一致性重新校准参数过程是一个CIR过程，其值inY=R+由SDE（5.6）给出，具有可能相关的布朗运动fw和系数u（y）=m+uyandσyσym≥, u ≤σ ≥βyβ<ayyuHJMy（τ）=-yβeβτ1.- eβτ, σHJMy（τ）=√yeβτ，对于所有τ∈ R+。如果h（0）∈ C（R+），CRC方程（5.5）有一个封闭形式的解，h（t，τ）=h（0，t+τ）-ZtY（s）βeβ（τ+t）-（s）1.- eβ（τ+t）-（s）ds+ZtpY（s）eβ（τ+t-s） dW（s）。设置ξ（t）=RtY（s）e2β（t-s） ds和r（t）=h（t，0），这可以重写为ash（t，τ）=h（0，t+τ）+eβτ（r（t）- h（0，t））+βe2βτ- eβτξ（t）。（5.7）在方程（5.5）中设置τ=0，并在方程（5.7）中插入yieldsdr（t）=（Ah（0，t）- βh（0，t）+βr（t）+ξ（t））dt+pY（t）dW（t）。总之，过程X=（r，ξ，Y）由SDE给出博士（t）=Hτ（0，t）- βh（0，t）+βr（t）+ξ（t）dt+pY（t）dW（t），dξ（t）=2βξ（t）+Y（t）dt，dY（t）=m+μY（t））dt+σpY（t）dfW（t），其中h（0）∈ C（R+）是给定的初始远期利率曲线。因此，xis一个有效的`λ，，>σ公式特别简单：债券价格由p（t，t）=eRTt（eβ（s）给出-t） h（0，t）-h（0，s））ds+β-1(1-eβt）r（t）-β-2(1-eβt）ξ（t），其中ξ（t）是确定性的，满足（5.8）ξ（t）=Y（0）e2βt- eut2β-u+m（2β）-u - 2βeut+ue2βt）2βu（2β- u），如果u<0，Y（0）e2βt- 12β+me2βt- 2βt- 1.4β，如果u=0，r（t）正态分布，平均值为（5.9）eβtr（0）+Zteβ（t-（s）啊（0，s）- βh（0，s）+ξ（s）ds和方差（5.10）Y（0）2βe2βt- 1.+m4β-2βt+e2βt- 1..24 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthrich校准Vasiˇcek CRC模型。Sidery修复并抑制符号中的依赖性。

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2022-5-7 11:54:46

对于到期时间τi，τj的任何选择，可通过求解（3.13）中达到最佳效果的ba，bβ，即（5.11）[br（·τi），br（·τj）]（tn），如第3.9节所述，获得a，β的估计值- [br（·τi），br（·τj）]（tn-M） tn- tn-M≈ aeβτi- 1βτieβτj- 1βτj≈ aβτi+βτi/2βτiβτj+βτj/2βτj。改变校准时间tn会产生一个系数ba（tn）、bβ（tn）的时间序列，其系数为6。Cox-Ingersoll-Ross模型6的持续重新校准。1.概述。我们简要介绍了基于CIR短速率的CRC模型。概述足以为第7节中的经验主义设置符号。本文的在线附录中提供了详细说明。为了进行比较，我们简化了CIR++模型及其CRC版本。6.2.赫尔-怀特扩展考克斯-英格索尔-罗斯模型。我们使用SecXR+`λY的设置，但是我们假设每个（x，Y）∈ X×Y，对于某些αY，波动率和漂移系数由ay（X）=αyx和by（X）=βyx给出∈(0, ∞) βy∈(-∞,0).为了简单起见，我们再次选择时间tn=nδ和成熟时间τn=nδ的等距网格∈ N、其中δ是一个正常数。CRC算法类似于Vasiˇcek模型，具有以下重要区别：o假设3.1中的可容许条件满足当且仅当θ（t）≥0，全部∈ R+。这个条件在实践中可能会有问题，正如在THY（θ（t），X（t））中讨论的那样，代替赫尔白扩展θ（t），很明显很难得出类似于Vasiˇcek情况下的收敛结果与Vasiˇcek模型相比，这里似乎没有一个封闭形式exθCyh，xhys更复杂。

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2022-5-7 11:54:51

因此，Volterra方程是通过二阶数值逼近，在成熟期内使用离散化来求解的。CRC框架中的CIR++模型。短速率过程也称为确定性移位扩展CIR模型，定义为RTxtθtXθ。注意，这是一种不同于第6.2节所述的时间不均匀性。特别是，该因子的处理时间是均匀的，与短速率不一致。CIR++模型的HJM方程为（6.1）dh（t）=啊（t）+我的X（t）dt+σHJMyX（t）dW（t），dX（t）=（by+βyX（t））dt+qαyX（t）dW（t），收益率曲线模型的一致性重新校准，其中uhjMy和σhjMy与CIR情况相同。在该模型的CRC扩展中，Yi被随机过程代替。与持续重新校准的CIR模型相比，该模型既有优点也有缺点：oSDE不依赖于H。所以，XC的存在性和唯一性可以用标准方法来证明。然后可以通过随机卷积[13，第6.1节]：h（t）=S（t）h（0）+ZtSt构造一个温和的解-s.HJMY（s）十(s)ds+ZtSt-s.HJMY（s）十(s)dW（s）。o函数θ可以假定为负值，并且可以校准为阿吉文屈服曲线，而无需反转Volterra积分算子。然而，这种校准需要知道X的当前值。这可以从远期利率曲线H（t）=S（t）θ的方程中看出- 通过ψy- ψyX（t），yXture。因此，X（t）和参数α和βy必须使用与一般多因素模型相同的方法进行联合估计（见第3.7节）。实证结果概述。因此，CRC模型提供的额外灵活性是更好地捕获数据描述的有用工具。（惠誉评级）市场上交易活跃的欧元区中央政府债券。欧洲央行使用斯文森曲线族进行估算，见[31,33]。

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