另一方面，τ（5.11）β^β（t）=-τδM^a（t）[br（·τ），br（·τ）]（t）- [br（·τ），br（·τ）]（t- δM）,（7.3）在Vasicek的情况下，β（t）=pα（t）τ[br（·τ），br（·τ）]（t）- [br（·τ），br（·τ）]（t- δM）δPM-1m=0^r（t- δm，τ）！-p^α（t）τ[br（·τ），br（·τ）]（t）- [br（·τ），br（·τ）]（t- δM）δPM-1m=0^r（t- δm，τ）！-,（7.4）在CIR案件中。估计的Vasiˇcek波动率的结果轨迹√而且√α回复-图7.5和7.6中绘制了两种模型的β。事实证明，对于大部分数据，A和α不太依赖于估计中使用的到期时间，而β依赖于。通常情况下，使用时间更短-β曲线完全准确地移动，因此校准程序中使用的成熟时间的选择可能会对结果产生影响。特别地，我们设置τ=0。τ=2（即3个月和2年）。估计参数β依赖于到期时间的选择，建议使用多因素模型作为CRC模型的构建块。在本文的实证部分，我们旨在详细了解单因素案例，并将其扩展到多因素以供未来研究。正如所指出的，准确的模型预测波动率的衰减速度要慢于指数。28 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W¨uthrich在CIR模型中的波动率（%）时间（t）α^（t）05 06 07 08 09 10 11 12 13 148.6 17.2 25.8 34.4 43τ1=0.083τ1=0.166τ1=0.25τ1=0.333（7.2），使用M=100收益率的时间窗，到期时间为τ。平均速度-Vasicek模型中的回归时间（t）-β^（t）05 06 07 08 09 10 11 12 13 140.4 0.8 1.2 1.6 2τ2=2τ2=3τ2=4τ2=5图7.5。

Vasiˇcek模型的平均回归参数的速度通过（7.3）使用m=100的时间窗口估计，到期时间τ=0.25和各种τ值。根据赫尔-怀特延伸理论，始终可以实现与初始屈服曲线的精确匹配，但相应的时间齐次模型通常与初始屈服曲线不匹配（图7.7和7.8）。这并不奇怪，因为它们是经过校准的，而初始校准实际上是我们方法的优势之一。a、 βα，β系数不变的假设，它隐含在一个有效因子模型中，而不需要对收益率曲线模型的平均速度进行一致的重新校准-CIR模型时间（t）中的反转-β^（t）05 06 07 08 09 10 11 12 13 140.2 0.4 0.6 0.8 1τ2=2τ2=3τ2=4τ2=5图7.6。CIR模型的平均回归参数的速度通过（7.4）使用时间窗M=100收益率，到期时间τ=0.25和各种τ值来估计。零-息票收益率（%）到期时间（τ）r（t，τ）1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 14 15 17 19 20 22 23 24 25 26 28 29 300.6 1.2 1.8 2.4 MarketVasicek 1 Hwe Vasicek 2 Hwe Vasicek 2 Hwe CIR 2 Hwe CIR 2 Hwe CIR 2 Hwe CIR 2使用τ=0的（7.1）（7.4）对收益率曲线动力学进行校准。τ=2。Vasiˇcek 2和CIR 2是通过最小二乘法根据主要产量曲线校准的均质模型。Hull White Extended模型与初始屈服曲线完全匹配。7.4.均值回归的负水平。一个有问题的方面是，通过对初始屈服曲线进行校准获得的时间相关漂移θ可以假设30个PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–UTHRICHTime-依赖漂移（%）成熟时间（τ）θ（t）（τ）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 22 24 25 26 28 29 30-0.4 0.2 0.8 1.4 Vasicek 1HWE Vasicek 1HWE Vasicek 2HWE Vasicek 2 CIR 1HWE CIR 2HWE CIR 2图7.8。

对应于图7.7中模型的船体白色延伸θ（t）。注意，θ（t）假设为负值，这在收益率曲线在短端反转的情况下是典型的。初始时间-CIR模型中的依赖漂移（%）时间（t）θ（t）（0）05 06 07 08 09 10 11 12 13 14-5 0 5 10τ2=2τ2=3τ2=4τ2=5θt使用图7.6中的β估计值。负值在2009年、2012年至2014年经常出现。由于第7.4节所述的原因，它们存在问题。相比之下，在Vasiˇcek模型中，θ的负值是允许的，甚至可以用于模拟负利率债券市场。由于只有θ的短（左）端与CRC模型相关，因此在模拟方案的每一步（参见算法5.1），有必要了解θ（0）如何依赖于当前的远期利率曲线和单因素过程的系数。屈服曲线模型的一致性重新校准θ（0）的一般公式是θ（0）=Cy（h，x）（0）=hλ，eih（0）- Fy（0）·λ-Ry（0）·λ，x,然后，根据τθh的时间微分h=Hy（θ，x）- β-yh-β尽管有这种修正，2009年和2012-2014年的大部分时间θ（0）仍为负值。在这段时间内，CIR模型不能同时适用于产量曲线及其波动性，必须予以拒绝。7.5.参数演化模型。对参数过程的选择几乎没有限制。它可以被外生选择用于基于情景的模拟或根据市场进行校准，并且不受初始期限结构的限制。在这里，我们考虑了Vasiˇcek和CIR参数演变的四个模型：市场。

在Vasiˇcek的情况下，这四个模型是：（V1）βyβaya（V2）βyβ由ay=ay，y（t）=1+3t给出的波动率的微小增加；（V3）βyβayydYt（4a- Y（t））dtσpY（t）dfWtY（0）=a，σ=3·10-3.（V4）一个Vasiˇcek CRC模型，其随机系数由几何布朗运动给出：βy=y，ay=y，dY=uy（t）+σy（t）dfW（t），dY=uy（t）+σYtdfWtu1,2σ1,2观察值，如第7.3节所述。短速率过程中的噪声在一年内翻了一番。事实上，在（V2）中，波动系数增加到其初始值的四倍，在（V3）中，a的平均回归水平增加到其初始值的四倍。模型（V2）和（V3）是第5.8节的特例。在（V2）中，对应于stom=3a、u=0和σ=0，短速率过程的力矩生成函数有一个明确的公式。通过等式（5.9）和（5.10），它由（7.5）Eheηr（t）i=eeβtηr+ηRteβ（t）给出-（s）h（s）-βh（s）+ξ（s）ds+ηξ（t），η∈ R、 t∈ R+，式中ξ（t）=ae2βt- 12β+3ae2βt- 2βt- 1.4β.型号（V3）对应于第5.8节，m=4a，u=-1和σ=3·10-3.定理5.4的半群方法暗示了（V2）和（V4）的模拟模式的收敛性，并用y代替+对一些人来说 >0.在我们的数值模拟中，我们观察到所有模型的收敛性（见第7.7节），包括刚才描述的模型的以下CIR对应物：32 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–UTHRICH（CIR1）βyβ和αy=α；（CIR2）βyβ和αy=αy，y（t）=1+3t给出的确定性增加波动率；（CIR3）βyβαyydYt（4α- Y（t））dtσpY（t）dfW（t），Y（0）=α，σ=5·10-2.（CIR4）一个Cox-Ingersoll-Ross CRC模型，其随机系数由几何布朗运动给出：βy=y，αy=y，dY=uy（t）+σy（t）dfW（t），dY=uy（t）+σy（t）dfW（t）。

系数u1,2和σ1,2是确定性的，并根据第7.3.7.6节中所述的M个观测值进行校准。实施模拟CRC模型需要对子处理器进行迭代采样，在Vasiˇcek情况下大约需要10分钟，在CIR情况下需要20分钟。7.7.收敛性分析。定理5.4预测了SIMUH的一阶收敛。参数β、a、α、θ的校准如第7.3节所述，时间窗口为m=100次观测。然后，通过10条样本路径的蒙特卡罗模拟，计算出短评分器（1）在一年后的矩母函数。在模型（V2）中，矩母函数的精确值已知，并根据定理5.4给出。我们观察到模型（V2）和（V4）的一阶收敛性。图7.12中的误差也表明了CIR对应项的收敛性。7.8.分配性质。表7.1中列出了CIR和Vasiˇcek模型中的参数。在具有确定性参数的模型（V1）和（V2）中，短速率过程是高斯过程（见第5.8节）。正如所料，r（1）的模拟也受到参数随机性的显著影响。7.9.产量的协变量。NCRC和非CRC模型之间的经验差异变得明显的另一个例子是产量的协变量矩阵。因此，债券期权的价格也随之上涨。在短时间间隔内，协变量与协方差密切相关，协方差是决定看涨期权和看跌期权价格的关键因素。收益率曲线模型的一致性重新校准33模型（V2）（对数标度）对数（δ）对数的蒙特卡罗MGF绝对误差。防抱死制动系统。错误-4-3.5-3-2.5-1.9-1.4-1.1-0.7-10-9.1-8.6-8.1-7.7-7.2-6.8-6.3η = 2η = 1η = 0.5η = -0.5η = -1η = -2LM坡度：0.99LM坡度：0.99LM坡度：0.99LM坡度：0.99LM坡度：0.99LM坡度：0.99LM坡度：0.99LM图7.10。

矩母函数蒙特卡罗估计的绝对误差（对数图）eηr（1）对于型号（V2）。这被计算为δ不同值的估计值和（7.5）之间的绝对差值。我们模拟了10条估计路径。模型（V4）（对数标度）对数（δ）对数的蒙特卡罗MGF绝对误差。防抱死制动系统。错误-4-3.5-3-2.5-1.9-1.4-1.1-0.7-10-9.1-8.6-8.2-7.7-7.2-6.8-6.3η = 2η = 1η = 0.5η = -0.5η = -1η = -2LM坡度：1.00LM坡度：1.00LM坡度：1.00LM坡度：1.00LM坡度：1.00LM坡度：1.00LM坡度：图7.11。矩母函数蒙特卡罗估计的绝对误差（对数图）eηr（1）对于第7.5节中定义的模型（V4）。真实值通过蒙特卡罗估计的线性变换的截距进行估计。计算了误差，并在仿真中使用了路径。×到期时间从3个月到30年的市场收益率通常在5到9之间，如图7.13所示。CRC模型34 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthrich产生的秩模型（CIR4）（对数刻度）对数（δ）对数的蒙特卡罗MGF绝对误差。防抱死制动系统。错误-4-3.5-3-2.5-1.9-1.4-1.1-0.7-9.9-9.5-9-8.6-8.1-7.6-7.2-6.7-6.3η = 2η = 1η = 0.5η = -0.5η = -1η = -2LM坡度：0.99LM坡度：0.99LM坡度：0.99LM坡度：0.98LM坡度：0.98LM坡度：0.98LM坡度：图7.12。矩母函数蒙特卡罗估计的绝对误差（对数图）eηr（1）对于模型（CIR4）。通过蒙特卡罗估计的线性外推截距来估计真实值。误差计算为截距和δ不同值估计值之间的绝对差值。

模拟中使用了10条路径。平均值（%）中位数（%）波动率（%）偏度峰度最小值（%）最大值（%）第一个四分位数（%）第三个四分位数（%）（V1）0.250.250.09-0.023.01-0.190.600.180.31（V2）0.240.240.150.002.99-0.360.820.140.34（V3）0.250.250.130.024.94-0.821.220.170.32（V4）0.240.240.070.003.21-0.220.610.200.29（CIR1）0.250.200.191.798.240.002.060.110.33（CIR2）0.250.120.332.7514.470.004.610.040.33（CIR3）0.250.140.302.6313.610.003.950.050.33（CIR4）0.240.190.201.909.060.002.210.100.33表7.1。在第7.5节中定义的模型中，通过蒙特卡罗模拟获得的短评级者（1）在时间1的统计数据。模拟中使用了10条路径和δ=0.02的步长。（V4）和（CIR4）通常介于3和5之间。因此，它们高于非CRC模型，但没有市场模型高。在数值上，协变量矩阵的计算如（5.11）所示，秩定义为显著偏离零的奇异值的数量。与参数的比较。收益率曲线模型的一致性重新校准35协变量矩阵秩时间（t）05 06 07 08 09 10 11 12 13 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10市场v4 CIR1CIR4图7.13。基于时间窗的经验协变量矩阵（5.11）的历史排名m=100市场收益率，33个不同的到期时间τi∈ {.,.,.,,,, . . . ,}. 为了进行比较，绘制（V4）和（CIR4）。这些模型在这些日期使用不允许的负均值回归水平的时间窗口进行校准，见第7.4节和图7.9。平均值取自10条模拟路径。

在秩的数值计算中，特征值-小于最大特征值的6次被舍入为零。β时间（t）σ105 06 07 08 09 10 11 12 13 140.33 0.67 1 1.33 1.67 2V4CIR4σ和（CIR4）的历史波动率在第7.5节中定义，使用m=100个观测值的时间窗口进行估计。36 PHILIPP HARMS、DAVID STEFANOVITS、JOSEF Teichman和MARIO V.W–uthricha和α时间（t）σ205 06 07 08 09 10 11 12 13 140.5 1.5 2 2.5 3V4CIR4σ和（CIR4）的历史波动性，使用M=100个观测值的时间窗口进行估计，见第7.5节。附录A.Cox-Ingersoll-Ross模型A的一致性重新校准。1.概述。我们描述了基于CIR短速率的CRC模型，详细介绍了CIR++模型及其CRC版本。设置和符号。XR+`λYx，y∈X×YAyxαyxByxβyxsomeαy∈(0, ∞) βy∈(-∞,0). 为了简单起见，我们再次选择等距网格fNNΔτnnδn∈ NδA.3。赫尔-怀特扩展考克斯-英格索尔-罗斯模型。对于每一组固定的参数（y，θ）∈ Y×C（R+），短速率过程的SDE为（A.1）dr（t）=θ（t）+βyr（t）dt+qαyr（t）dW（t），其中为一维（F（t））t≥0-布朗运动。因此，（y，θ）满足假设3.1当且仅当θ（t）≥0，全部∈ R+。

第3.4节中的功能特征（F，R）为fy（u）=0，Ry（u）=αyu+βyu，对于所有u∈ R.假设γy=qβy+2αy，相应Riccati方程的解为（A.2）Φy（t）=0，ψy（t）=-2（eγyt）- 1） γy（eγyt+1）- βy（eγyt）- 1） ，尽管如此≥ 0.屈服曲线模型的一致性重新校准37因此，根据定理3.3，具有固定参数（y，θ）的赫尔-怀特扩展CIR模型（A.1）中的远期利率由h（t）=Hy（S（t）θ，r（t）），其中Hy（θ，x）（τ）=-Zτθ（s）ψy（τ）- s） ds- ψy（τ）x，对于所有（x，τ）∈ R×R+。与Vasiˇcek模型相比，积分核ψy更复杂，ψy（τ）=-2γyeγyτγy（eγyτ+1）- βy（eγyτ）- 1） +2（eγyτ）- 1） γyeγyτ（γy- βy）（γy（eγyτ+1）- βy（eγyτ- 1） θ=Cy（h，x）似乎没有一个封闭形式的表达式。相反，必须按照第3.8节所述进行数值计算。HJM漂移和波动率为uHJMy（x）（τ）=ψy（τ）ψy（τ）αyx，σHJMy（x）（τ）=-√αyxψy（τ），（A.3）和用于远期利率的HJM方程读数为asdh（t）=啊（t）+我的h（t）（0）dt+σHJMyh（t）（0）dW（t）。（A.4）A.4。Cox Ingersoll-Ross CRC模型。由于因子过程是正向速率过程（即X（t）=r（t）=h（t，0））的函数，相应的CRC模型可以用过程（h，Y）而不是（h，X，Y）来表征。因此，根据定理4.5和定义4.6，如果h满足SPDEdh（t），则具有h×Y值的过程（h，Y）可以称为aCRC模型=Ah（t）+uHJMY（t）h（t）（0）dt+σHJMY（t）h（t）（0）dW（t），（A.5）uHJMY（t）σHJMY（t）和波动性都有很好的定义∈ R+，必须假设h（t）（0）≥0代表全部∈ R+。CIR模型中的最大容许集正是这个条件的特征。Cox-Ingersoll-Ross CRC模型的模拟。如算法4.2所述。时间离散化和到期时间离散化与Vasiˇcek模型一样。

然而，与Vasiˇcek模型相比，模拟短速率过程和校准船体白延伸是通过二阶的数值近似来完成的。产生的算法如下所示。算法A.1（模拟）。给定一条正向速率的初始曲线sh（0）和参数过程Y，对于每个n，迭代执行以下步骤∈ N：（i）应用引理3.8到g=-h（tn）- ψY（tn）r（tn）：θ（tn）（0）=Ah（tn）（0）- βY（tn）h（ti）（0），θ（tn）（δ）=δh（tn）（δ）+ψY（tn）（δ）r（tn）+ ψY（tn）（δ）θ（tn）（0）。（ii）具有参数nθtn38的CIR过程的随机抽取（tn+1）=Xtn，X（tn）Y（tn），θ（tn）（tn+1）PHILIPP HARMS，DAVID STEFANOVITS，JOSEF Teichman和MARIO V.W–UTHRICH（iii）h（tn+1），Ah（tn+1）是根据h（tn）、Ah（tn）、r（tn+1）使用引理4.3，用梯形规则近似积分：h（tn+1）（τ）=h（tn）（δ+τ）+ψY（tn）（δ+τ）r（tn）- ψY（tn）（τ）r（tn+1）+δθ（tn）（0）ψY（tn）（δ+τ）+θ（tn）（δ）ψY（tn）（τ）,Ah（tn+1）（τ）=Ah（tn）（δ+τ）+ψY（tn）（δ+τ）r（tn）- ψY（tn）（τ）r（tn+1）+δθ（tn）（0）ψY（tn）（δ+τ）+θ（tn）（δ）ψY（tn）（τ）.在这里，h（tn+1）必须一直计算到到期τi，而sah（tn+1）仅在τ=0时才需要。Cox-Ingersoll-Ross CRC模型的校准。第5.9节中描述的情况，等式（5.11）替换为[br（·τi），br（·τj）]（tn）- [br（·τi），br（·τj）]（tn-M） δPnm=n-M+1br（tm，τk）≈ αψ（τi）τiψ（τj）τj.（A.6）函数ψ依赖于α，β，如等式（A.2）所示。CRC框架中的CIR++模型。rtXtθtXθx前进速率曲线由h（t）=S（t）θ给出- 通过ψy- ψyX（t），yy和factorX，该方程允许将θ校准到给定的屈服曲线，而无需反转Volterra积分算子。

CIR++模型的HJM方程为（A.7）dh（t）=啊（t）+我的X（t）dt+σHJMyX（t）dW（t），dX（t）=（by+βyX（t））dt+qαyX（t）dW（t），其中uhjMy和σhjMy与CIR情况下相同，见方程式（A.3）。y（A.7）Ytt≥由于两个原因，0handle比它的CIR对应物更容易处理。首先，不存在不依赖于H的边界条件shθH×R+。因此，我们可以先解forX，然后通过随机卷积[13，第6.1节]：h（t）=S（t）h（0）+ZtSt构造amild解h-s.HJMY（s）十(s)ds+ZtSt-s.HJMY（s）十(s)dW（s）。SDE forXis有限维。所以，由于不涉及Volterra方程，Xcan-beYWYXREFERENCES的存在性和唯一性变得更容易。XXβY（t）、σY（t）和X（t）可以从瞬时协变量d[r（·，τi），r（·，τj）]（t）=αY（t）ψY（t）（τi）τiψY（t）（τj）τjX（t）dt中识别出来。随后，bY（t）可以通过最少的参考文献[1]A.阿方西进行校准。“CIR过程的高阶离散化方案：应用于（2010年），第209–237页。[2]W.阿伦特、C.J.巴蒂、M.希伯和F.纽布兰德。向量值拉普拉斯变换和柯西问题。第96卷。斯普林格科学与商业媒体，2011。[3]B.国际结算（BIS）。巴塞尔银行监管委员会（BCBS）巴塞尔协议II：资本计量和资本标准的国际趋同。修订后的框架综合版。2006.网址：http://www.bis.org/publ/bcbs128.htm（2016年5月访问）。[4] G.阿德西男爵、F.布尔金和K.詹诺普洛斯。“市场风险：不要回头看”。《风险11》（1998年8月），第100-103页。[5] F.Baudoin，J.Teichmann等，“有限维中的亚椭圆性和利率理论中的应用”。《应用概率年鉴》15.3（2005），第1765-1777页。[6] J.-P.Bouchaud等人，《利率曲线现象学》。摘自：应用数学金融6.3（1999），第209-232页。[7] D。

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