事实上，定义3.4意义上的有效多曲线模型属于[19]中考虑的风险中性HJM型多收益曲线模型家族，只有iflog BTM是绝对连续的。更具体地说，在[19]中考虑的定义（见[19，定义5.3]）代表了我们定义3.10的一个特例，当`和c被选择为常数时。为了清楚起见，让我们用Fractur16 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto字母来表示[19，定义5.3]中出现的所有成分。然后[19，定义5.3]可以通过设置X:=（X，Y），ci=0和γi=（0，ui）嵌入定义3.10，对于所有i=1，m、 相反，在`和c为常数的特殊情况下，定义3.10可以嵌入[19，定义5.3]，方法是让X=X，Y=（1，X），ui=cianduj+1i=γji，对于所有j=1，尺寸（VX）和i=1，m、 四,。Caplet和Swapption的一般定价公式我们现在表明，在定义3.4的意义上，一个有效的多曲线模型会导致Caplet和Swapption的易于处理的一般估值公式。我们计算净价格，并遵循[19，附录A]中概述的定价方法，尤其是假设抵押账户由拜纳姆埃莱尔资产提供。为便于表述，我们将考虑固定到期日T>0，并假设（X，u，v）是定义3.4.4.1意义上的一个有效多曲线模型。披肩。在目前的情况下，可以通过傅立叶技术轻松地对小卷进行定价。作为预备，让我∈ {1，…，m}并定义随机过程（Yt）t∈[0，T+δi]乘以（4.1）Yt:=logSδi（t，t）B（t，t+δi）= vi（t）+v（t）- v（T+δi）- φ（T+δi）- t、 u（t+δi））+hui（t）+u（t）- ψ（T+δi）- t、 u（t+δi）），Xti，其中第二个等式来自命题3.6。

我们用Ayt表示setAYT：=ν ∈ R:EB（T，T+δi）BTeνYT< +∞o,引入复数条∧YT={ζ∈ C:-Im（ζ）∈ 哎呀。ζ∈ λYT，我们可以计算以下期望值，我们称之为修正的力矩生成函数YT:~nYT（ζ）：=EB（T，T+δi）BTeiζYT英尺= exp（（1）- iζ（v（T+δi）+φ（δi，u（T+δi））+iζ（vi（T）+v（T））×ehh（1）-iζ）ψ（δi，u（T+δi））+iζ（ui（T）+u（T）），XTiFti=exp（1- iζ（v（T+δi）+φ（δi，u（T+δi））+iζ（vi（T）+v（T）））×exp（φ（T- t、 （1）- iζ）ψ（δi，u（T+δi））+iζ（ui（T）+u（T）））×exp（hψ（T）- t、 （1）- iζ）ψ（δi，u（T+δi））+iζ（ui（T）+u（T）），Xti）。（4.2）备注4.1。对于定义为3.10的有效短期多曲线模型，表达式（4.1）变为t=ci（t）+ZT+δit`（u）du-■φ（T+δi）- t、 0，-λ） +hγi-ψ（T+δi）- t、 0，-λ） ，Xti。类似地，表达式（4.2）变为φYT（ζ）=exp(1 - iζ）-ZT+δ`（u）du+φ（δi，0，-λ)+ iζ（ci（T）-ZT`（u）du）x exp（～φ（T）- t、 （1）- iζ）~ψ（δi，0，-λ） +iζγi，-iζλ）×exph~ψ（T）- t、 （1）- iζ）~ψ（δi，0，-λ） +iζγi，-iζλ），Xti- hλ，ZtXsdsi.仿射多收益率曲线模型17集合a和∧Y取决于驱动过程X的具体选择。根据[48，定理5.1]，我们现在提供了一个通用的caplet定价公式，该公式适用于基础过程X的任何选择和积分轮廓的不同选择。特别是，下一个结果强调了我们框架的可操作性：可以通过单变量的富里埃积分来定价。反过来，这意味着可以通过合理的计算效率（可以通过应用FFT算法进一步降低计算效率）获得校准。提议4.2。让ζ∈ C ∈ R、 \'K:=1+δK，并假设1+ ∈ 艾特。

然后是名义N、重置日期t和支付Nδi（LT（t，t+δi）的caplet在t日的价格-K） +在沉降日期T+δiis由（4.3）给出∏CP LT（T；T，T+δi，K，N）=NBtRY、 “K，+πZ∞-我0-我重新E-iζlog（`K）~nYT（ζ- （一）-ζ(ζ -（一）dζ,式中（4.2）和R中给出了Y、 “K，是拜尔给的Y、 “K，=~nYT(-（一）-\'K K YT（0），如果 < -1，~nYT(-（一）-\'K K YT（0），如果 = -1，~nYT(-i） 如果- 1 <  < 0，~nYT(-i） 如果 = 0,0如果 > 0.证明。如附录A.2所示，caplet的价格可以表示为∏CP LT（t；t，t+δi，K，N）=neBtBTSδi（T，T）- （1+δiK）B（T，T+δi）+英尺= N Ebtb（T，T+δi）Sδi（T，T）B（T，T+δi）-1.- （1+δiK）+英尺= N Ebtb（T，T+δi）艾特- （1+δiK）+英尺由于YT的修正矩母函数可以如（4.2）中所示显式计算，因此，caplet的定价被简化为特征函数为显式已知的资产上的看涨期权的定价。此时，直接应用[48，定理5.1]可以得到结果。注意，在[48，定理5.1]的术语中，本例对应于G=Gand b=1，这是AYTby定义3.4的一个元素。4.2. 交换。在目前的一般情况下，互换期权不接受封闭式定价公式。事实上，一方面，我们考虑一般的多因素模型，因此“Jamshidian把戏”（见[36]）不适用；另一方面，在多曲线设置中，付款人（或接收人）互换期权不能表示为息票债券的看跌期权（或看涨期权）。在这一小节中，通过使用傅里叶方法，并遵循[9,10]的思路，我们提供了一个通用的分析近似值，它揭示了我们框架的一个有效性质。

我们在第3.2节的一般设置下工作，但所有公式都允许在一个有效的短期多曲线模型的情况下进行适当的简化。我们考虑到期日为T的欧洲付款人互换期权，以T=T的（付款人）利率互换开始，支付日期为T，TN，带Tj+1- Tj=δ如果j=1，N- 1安迪∈ {1，…，m}，名义N.如附录A.2所示，此类索赔在日期t的价值为18 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto，由∏SW P t N（t；t，TN，K，N）=NE给出BtBTNXj=1B（T，Tj-1） Sδi（T，Tj）-1) - （1+δiK）B（T，Tj）+英尺.我们近似的基本思想是通过一个根据XT的一个函数定义的事件来近似运动区域。更具体地说，我们有∏SW P T N（T；T，TN，K，N）≥ 氖BtBTNXj=1B（T，Tj-1） Sδi（T，Tj）-1) - （1+δiK）B（T，Tj）+G英尺≥ 氖BtBTNXj=1B（T，Tj-1） Sδi（T，Tj）-1) - （1+δiK）B（T，Tj）G英尺=:e∏SW P T N（α，β），其中G:={ω∈ Ohm| hβ，XTi>α}和β∈ VX，α∈ R.让我们通过介绍Gwi，j来简化符号：=1，j=1，N-（1+δiK），j=N+1，2N，ui，j（T）：=ui（T），j=1，N、 0，j=N+1，2N，vi，j（T）：=vi（T），j=1，N、 0，j=N+1，2N，l：=J- 1，j=1，N、 j，j=N+1，2N，因此，鉴于命题3.6，e∏SW P T N（α，β）允许代表e∏SW P T N（α，β）=NBt2NXj=1wi，jEev（Tl）+vi，j（Tl）+φ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+hψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl）），XTiG英尺.（4.4）回顾定义3.4中的ui（T）+u（T）∈ 所以φ（Tl- T、 ui，j（Tl）+u（Tl））和ψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））定义良好。如下面的命题所示，可以显式计算数量e∏SW P T N（α，β），类似于命题4.2。提案4.3。假设ψ（Tl）- T、 ui，j（Tl）+u（Tl））∈ 美国犹他州j=1，2N。

允许 ∈ R使得ψ（Tl）- T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+β ∈ 美国犹他州，j=1，2N。然后是付款人互换期权的α，β的下界，名义N，到期日T，支付日期T。。。，TN，带Tj+1- Tj=δ如果所有j=1，N- 1由∏SW P T N（α，β）=NBt2NXj=1wi，j给出R+πZ∞-我0-我重新E-iζαiζEev（Tl）+vi，j（Tl）+φ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+hψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+iβζ，XTi英尺dζ,（4.5）其中R是拜尔给的=Eev（Tl）+vi，j（Tl）+φ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+hψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl）），XTi英尺, 如果 < 0，Eev（Tl）+vi，j（Tl）+φ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl））+hψ（Tl）-T、 ui，j（Tl）+u（Tl）），XTi英尺, 如果 = 0,0，如果 > 0.仿射多收益率曲线模型。该主张是[48，定理5.1]的直接结果，注意到每一个和的出现（4.4）在[48]的符号中对应于G=G，b=ψ（Tl-T、 ui，j（Tl）+u（Tl）），b=β，k=α。命题4.3给出了互换期权价格的一般下界，用（α，β）参数化。这些参数的确定方式应确保下限尽可能紧密，同时确保XT的适当指数矩的精确性。如[9]所指出的，关于数值实现的更多细节，我们可以通过两种方式选择（α，β）的值：（i）通过最大化（4.5）关于α，β，从而提供下限∏SW P T NLB:=maxα，βe∏SW P T N（α，β）。请注意，此解决方案可能需要计算，尤其是对于高维模型。此外，对于给定的选择, 优化过程应受到约束，以确保XT的联合指数矩的一致性。（ii）通过考虑类似超平面的近似，并预先确定α、β的最佳可能值（著名的单态Umantsev近似就是这个意义上的一个例子，参见[58]，并与[47]进行比较）。

一个基于Wishart过程的易于处理的规范为了简化符号，我们在这里考虑一个单阶δ的情况，并假设驱动过程X是一个Wishart过程(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 Q）使用状态空间S+dof格式DXT=κQ>Q+MXt+XtM>dt+pXtdWtQ+Q>dW>tpXt，X=X，（5.1），其中W是布朗运动的d×d矩阵，κ≥ D- 1和Q，M是d×d矩阵。Wishart过程特别吸引人的特点是矩阵中非负对角元素之间的随机相关性。在经典正则态空间Rn×Rm+上，正因子不能得到这个性质。然而，当涉及高度相关的差价时，这种可能性是一个关键因素。我们考虑第3.3节中的一个有效的短速率多曲线模型，其中短速率r（t）=`（t）+hλ，Xti和扩展对数Sδ（t，t）=c（t）+hγ，Xti，其中c（t）∈ R+和γ∈ S+D以保证利差的积极性。回想一下，标量积h·，·i就是这个轨迹。备注5.1。通过选择λ和γ作为对角矩阵，上述模型代表了经典CIR模型对多曲线环境的自然张力，因为aWishart过程的对角元素是随机相关的CIR过程。本节的目标是研究这一特定模型的上限定价。

如第A.2节所示，具有酉名义的caplet的价格可以通过∏CP LT（t；t，t+δ，K，1）=Sδ（t，t）B（t，t）eQhSδ（t，t）来计算≥ （1+δK）B（T，T+δ）|Fti- （1+δK）B（t，t+δ）QT+δhSδ（t，t）≥ （1+δK）B（T，T+δ）|Fti，（5.2）我们还想提到，在最近的论文[32]中，单态Umantsev近似的性能已经过经验测试，并与多曲线模型中的蒙特卡罗模拟进行了比较。20 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoattoq~ Q是通过dqdq定义的：=Sδ（T，T）B（T，T）BTSδ（0，T）B（0，T）。在上述模型的情况下，可以很容易地表明，过程X遵循measureseQ和QT+δa非中心Wishart分布，具有时间相关参数，这在下面的引理5.3中说明。由于密度（直到ODE的解）是明确已知的，因此可以获得（半）分析性的caplet定价公式，类似于CIR模型。首先，让我们根据[39，定义A.4]介绍以下定义。定义5.2。假设κ≥ D-1, Σ ∈ S+dandΘ是一个d×d矩阵，使得∑Θ是对称正半定义。如果对称正有限随机矩阵U的拉普拉斯变换满足[e]，则称其为非中心分布，具有κ自由度、协方差矩阵∑和非中心参数矩阵Θ-hu，Ui]=det（Id- 2u∑）-δe-hu（Id+2u∑）-1，∑i.在这种情况下，我们写U~ Wd（κ，∑，Θ）。引理5.3。

设X是Q.（i）下形式为（5.1）的惠斯哈特过程，X具有非中心惠斯哈特分布wd（κ，eV（0），eV（0）-1eψ（0）>xeψ（0）），其中ev（t）和ψ（t）是以下普通微分方程组的解（5.3）teψ（t）=-M> +2Q>Q¨ψ（T）- t、 γ，-λ)eψ（t），eψ（t）=I，teV（t）=-eψ（t）>Q>Qeψ（t），eV（t）=0，其中∧φ和∧ψ表示过程的特征指数Y=（X，R·Xsds）。（5.3）的解由ψ（0）=exp显式给出ZTM> +2Q>Q¨ψ（T）- t、 γ，-λ)dtIeV（0）=ZTexpZTtAsdsQ> Q expZTtA>sds带As的dt:=M+2∏ψ（T）- s、 γ，-λ） Q>Q.（ii）在QT+δ下，XT具有非中心Wishart分布Wd（κ，V（0），V（0）-1ψ（0）>xψ（0）），其中V（t）和ψ（t）是以下常微分方程组的解（5.4）tψ（t）=-（M>+2Q>Q¨ψ（T）- t） ，0，-λ） ψ（t），ψ（t）=I，电视（t）=-ψ（t）>Q>Qψ（t），V（t）=0，其中∧φ和∧ψ表示过程的特征指数Y=（X，R·Xsds）。上面明确给出了（5.4）的解。证据关于（i），注意密度过程（Nt）为0≤T≤给出的TOFDEqDq为：E“deQdQFt#=Sδ（0，T）B（0，T）ESδ（T，T）B（T，T）BT英尺=Sδ（0，T）B（0，T）Ehec（T）+hγ，XTi-RT`（s）ds-hλ，RTXsdsiFTI仿射多屈服曲线模型21=Sδ（0，T）B（0，T）expc（T）-ZT`（s）ds+~φ（T）- t、 γ，-λ） +D~ψ（T）- t、 γ，-λ） ，XtE- hλ，ZtXsdsi,式中，φ和ψ表示Y=（X，R·Xsds）的特征指数。请注意，Ntis的扩散部分由ztnsdq¨ψ（T）给出- s、 γ，-λ)√Xs，dWsE，这样我们就可以写=E了Z·DQ¨ψ（T）- s、 γ，-λ)√Xs，dWsEt、 根据Girsanov定理，在被测q下，X的线性漂移改变toM+2~ψ（t- t、 γ，-λ） Q>Q，所以X变成了一个Wishart过程，在EQ下具有时变线性漂移。根据[39，命题A.6]，XT具有非中心Wishart分布Wd（κ，eV（0），eV（0）-1eψ（0）>xeψ（0）），其中ev（t）和ψ（t）是（5.3）的解。

关于（ii），我们得到了qt+δdQE的密度过程dQT+δdQ英尺=B（t，t）BtB（0，t）=B（0，t）exp-ZT`（u）du+~φ（T）- t、 0，-λ） +D~ψ（T）- t、 0，-λ） ，XtE- hλ，ZtXsdsi.随后的断言与foreQ类似。5.1. 计算非中心Wishart分布中线性泛函的某些概率。鉴于（5.2），我们在这里重点讨论Qhsδ（T，T）的计算≥ （1+δK）B（T，T+δ）和QT+δhSδ（T，T）≥ （1+δK）B（T，T+δ）i.根据我们模型的规定，上述两个量中的第一个变为：hγ-~ψ(δ, 0, -λ） ，XTi≥ 对数（1+δK）-ZT+δT`（u）du+φ（δ，0，-λ) - c（T）对于QT+δ-概率也是如此。因此，它相当于计算类型eq[hA，XTi]的表达式≥ C] ，对于一些矩阵A∈ Sd（注意|ψ（δ，0，-λ） 可以对称化为位于Sd）和某些常数C中。以下命题涉及非中心Wishart分布矩阵元素与χ分布随机变量的线性组合。提议5.4。让X~ Wd（κ，∑，∑）-1x）带∑∈ S++d.ThenhA，Xi~dXi=1λiVi，其中λi是√∑A√∑=O∧O>和Vi，i∈ {1，…，d}是具有Vi的独立随机变量~ χ（κ，yii），其中y=O>∑-x∑-O.证明。根据[1，命题6]，X的分布与√∑Z√∑其中Z~ Wd（κ，Id，∑）-x∑-).因此，Xi~ 哈√∑Z√∑i=h√∑A√∑，Zi=hO∧O>，Zi=h∧，O>ZOi=：h∧，yi=dXi=1λiYii22 CHRISTA CUCHIERO，CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto其中Y:=O>ZO~ Wd（κ，Id，O>∑）-x∑-O） =Wd（κ，Id，y）。现在让我们计算动量母函数Pfdi=1λiYii，它由（例如，见[39，命题A.5]）EheuPdi=1λiYii=dYi=1（1）给出- 2uλi）-κeuλiyii1-2uλi。然而，这对应于力矩母函数pPDI=1λiVi，其中Vi~ χ（κ，yii）是独立的随机变量。事实上，它认为eheu（Pdi=1λiVi）i=dYi=1EheuλiVii=dYi=1（1- 2uλi）-κeuλiyii1-2λiu。这证明了Pdi=1λiYii~Pdi=1λiVi。

自从哈，XTi~Pdi=1λiYii，证明了该断言。推论5.5。让我们∈ SDA和X形式的Wishart流程（5.1）。然后在QT+δ下，它保持thathA，XTi~dXi=1λi，TVi，T，其中λi，是pv（0）ApV（0）=O∧TO>和Vi，T，i的特征值∈ {1，…，d}是具有Vi，T的独立变量~ χ（κ，yii，T），其中yt=（O>V（0）-ψ>（0）ψ（0）V（0）-O） 引理5.3给出了V（0）和ψ（0）。同样的断言也适用于foreQ，V（0）和ψ（0）被ev（0）和ψ（0）取代。证据这个断言是引理5.3和命题5.4的直接结果。5.2. caplet价格的闭式表达式。最后，根据上述结果，我们准备给出上述Wishart模型中caplet价格的（半）分析公式。定理5.6。设X为形式（5.1）的Wishart过程。考虑一个有效的短速率多曲线模型，其oOIS短速率rt=`（t）+hλ，Xti，适用于所有t∈ [0，T]和o对数乘法扩散对数Sδ（T，T）=c（T）+hγ，Xti，对于所有T∈ [0，T]。然后，在0日，单位名义价值、重置日期T和支付δ（LT（T，T+δ）的caplet的价格-K） 在结算日，T+δ由（5.5）πCP LT（0；T，T+δ，K，1）=Sδ（0，T）B（0，T）给出1.-eFT（CT，K）-（1+δK）B（0，T+δ）1.-英尺（CT，K）,式中o常数CT，Kis由CT给出，K=log（1+δK）-ZT+δT`（u）du+φ（δ，0，-λ) - c（T），（5.6），其中eφ是（X，R·Xsds）的特征指数中的常数部分，以及oef和fts表示对应于toPdi=1eλi，TeVi，TandPdi=1λi，TVi，Tas的非中心χ分布随机变量的加权和的累积分布函数，其中toPdi=1λi，TVi，Tas为推论5.5 foreQ和QT+δ，其中a=γ-~ψ(δ, 0, -λ） andeψ（X，R·Xsds）特征指数中的常数部分。证据该断言是等式（a.2）和推论5.5的结果。仿射多收益率曲线模型235.7。

为了实际执行定价公式（5.5），有必要执行以下步骤：o计算ψ并在区间[0，T]上进行积分，以获得V（0），eV（0），ψ（0），eψ（0）；o用A=γ计算qev（0）AqeV（0）和pv（0）ApV（0）的特征值和特征向量-~ψ(δ, 0, -λ） 得到权重λT，eλ和非中心性参数yT，eyT；o计算（5.6）中给出的CT，Kas和两个独立的非中心χ分布随机变量的正加权和的分布函数，例如，通过Laguerre级数展开（见[12]），形式为FT（C）=FT（CT，K，κ，yT，λT）=g（κ，CT，K）nXj=0αj（κ，yT，λT）L（κ）j（qCT，K），其中g是取决于κ，CT，Kandαjare拉盖尔多项式L（κ）j的系数（取决于κ，yT，λT）（在qCT下计算，其中q表示常数）。关于基于傅里叶反演的替代计算，我们参考[37]。注意，权重λT，eλ和非中心性参数yT，eyt依赖于成熟度（自由度κ为常数），而参数CT，Kin依赖于分布函数的走向。在`和c是常数的情况下，c只依赖于K，而wewrite only CK。在这种情况下，矩阵（FT（CK））T∈{T，…，Tm}，K∈{K，…，Kl}对于不同的到期日和校准所需的击数，可以通过矩阵积U V获得，其中U∈ Rm×nand V∈ Rn×lare定义为uij=αj（κ，yTi，λTi）和Vij=L（κ）i（qCKj）g（κ，CKj）。如果息差和债券的初始期限结构已知，则该程序将给出所有到期日和履约利率的价格。6.校准分析在本节中，我们将讨论我们的通用框架中的两个简单规格对上限/下限市场数据的校准。本节旨在说明拟议方法的实际可行性，而不是建议框架的特定规格。

第一种规格基于CIR伽马模型，而第二种规格由Wishart过程驱动，如第5节所示。特别是，这代表了在多曲线框架中校准Wishart短期利率模型的第一个实例。此外，我们在CIR伽马模型的情况下，用参数稳定性分析来补充我们的结果，显示了令人满意的稳定性。我们参考[6,15]了解基于掉期期权数据的校准结果，参考[51]了解依赖ATM欧洲掉期期权和上限报价的校准方法。6.1. 市场数据。让我们从简要描述我们的市场数据样本开始。我们最初考虑固定的交易日期，即2011年8月2日。数据样本由线性和非线性利率衍生品的市场报价（对应于完全抵押交易）的横截面组成。就线性产品而言，我们考虑隔夜指数掉期和利率掉期的市场数据。基于这些市场报价，我们构建了OIS折扣曲线T 7→ B（0，T）和正向曲线t7→ L（T，T+δi），对于δ=3M和δ=6M。这是通过依赖Finmath Java库（参见[27]）24 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTO0 5 10 15 20 30 35 40T0实现的。20.30.40.50.60.70.80.91B（0，T）折扣曲线折扣曲线0 2 4 6 8 10 12 14 16 18T0。0150.020.0250.030.0350.040.045L0（T，T+/i）正向曲线3月曲线6月曲线图1。截至2011年8月2日的贴现和远期曲线。关于非线性利率产品，市场惯例包括公布上限/下限复合面：当履约价格低于货币（ATM）水平时，报价指的是货币外（OTM）利率，而如果履约高于ATM，报价指的是OTM上限。通过这种方式，整个曲面由流动交易的OTM期权构成。

然而，根据上限和下限之间的看跌期权平价，我们可以将所有隐含波动视为上限波动。为了减少校准的复杂性，可以方便地构造一个适用于从cap隐含波动率数据中捕获的caplet隐含波动率曲面。表面指的是介于0之间的履约价格。75%和6%，期限在6个月到10年之间。在市场上，到期日大于两年的上限与6个月远期利率挂钩，而到期日较低的上限与3个月曲线挂钩。通过数值搜索σN（其中N代表正态）的值，可以得到正态隐含波动率，使得caplet∏CP LT（t；Ti）的Bachelier定价公式-1，Ti，K，1）=B（t，Ti）δEQTihLTi-1（Ti）-1，Ti）- K+Fti=B（t，Ti）ΔσNpTi-1.- T√2πe-z+zN（z）,其中（x）=√2πZx-∞E-ydy和z=Lt（Ti-1，Ti）- KσN√钛-1.- t、 最佳匹配给定caplet的市场价格。6.2. 实施细节。现在，我们通过FFT算法（见[11]）详细描述了第4.2条建议的实现。在目前的讨论中，我们将积分变量表示为ζ=z- 我. 也让k:=log¨k andI（z）：=~nYT（z）- 我( + 1))-（z）- 我)（z）- 我( + 1)).（4.3）中出现的积分项可以写成it（k）：=e-kπZ∞重新E-伊兹基（z）dz。我们通过引入形式为zj:=η（j）的梯形规则来进行第一次近似- 1） ，η>0，j=1，N、 因此，积分的有效上限由（N）给出-1)η. 由于我们希望对履约价格网格的积分项进行同时评估，我们还引入了kj形式的agrid for k:=-b+η？（j）- 1), η?> 0，j=1，N、 这样就形成了一个覆盖区间的网格[-b、 b），其中b=0.5Nη？。

由于我们想要应用FFT算法，我们需要施加石蜡多屈服曲线模型25Nyquist条件，这意味着我们设置ηη？=2π/N，因此引入了原木走向精度和积分网格之间的权衡。正如[11]所建议的，我们引入了辛普森规则的权重，以便即使对于η的大值也能获得令人满意的精度。总之，积分项（沿原木走向网格）近似为（kj）≈E-kjπReNXj=1e-i2πN（j）-1） （j）-1） eizjbI（zj）η3 + (-1） j+δj-1.,（6.1）其中δn表示Kroneckerδ函数，n=0时为1，否则为零。公式（6.1）可以通过直接应用FFT算法来计算。在我们的分析中，我们设定N=16384，η=0.2。对于模型参数p的给定向量，属于可容许参数p的集合，我们使用上述方法计算caplet价格，并将其转换为模型隐含的正态波动率，我们用σimpmod（p）表示。校准程序的目的是解决MINP∈Pσimpmkt- σimpmod（p）,其中σimpmktdenotes表示市场观察到的隐含波动率，k·k表示欧几里德范数。6.3. 校准结果。在下文中，我们将说明两个候选规格及其校准结果。请注意，这两种模型都允许通过根据命题3.15.6.3.1适当选择函数和c，对观察到的术语结构进行完美拟合。CIR伽马模型。我们首先校准以下模型，该模型由一个二维过程X=（X，X）组成，其形式为xt=X+Ztb+βXsds+ZtσpXsdWs，Xt=X+ZtZξu（dξ），其中b，β，σ∈ R、 W是布朗运动，Xis是一个Gamma过程，其测量值为ν（dξ）=mx-1e-nξdξ，其中m，n>0。

短速率被指定为rt=`（t）+λXt，分布形式为logsδi（t，t）=ci（t）+γi（Xt+Xt），i=1,2，带γi，λ∈ R和`，c:[0，T]→ R.表1报告了校准的模型参数，而图2说明了价格和隐含波动率的质量。更准确地说，左面板显示了价格的平方误差，而右面板显示了隐含波动率的平方误差。尽管模型简单，但与观察到的市场报价相比，它取得了相当好的拟合效果。通过观察隐含波动率的平方误差，我们发现，对于较高的冲击和我们考虑的第一个到期日（6个月），债券的质量较低。然而，从图2的左面板可以看出，债券的质量是可以接受的，这突出了6个月到期日和深度OTM区域的价格平方误差较低。观察校准参数满足γ<γ，反映出6个月利率相对于3个月利率具有更高程度的银行间风险。这是在没有在优化算法中施加先验约束的情况下实现的。还要注意的是，该程序的计算复杂性与股票标准随机波动率模型的校准水平相同。6.3.2. 威斯哈特伽马模型。现在，我们展示了由Wishart过程驱动的简单模型的同一市场数据样本的校准结果。据我们所知，这是根据非线性产品的市场数据校准Wishart利率模型的第一个例子。以前的作品，如[3,22,29]仅限于模型及其属性的展示。

设X=（X，X）是一个过程，其中Xis是（5.1）中定义的Wishart过程，具有26个CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GnoattoxParametersB 0.0630 m 0.3651λ0.0107β0.0033 n 1.8614γ0.0039σ0.1479 X0。2386γ0.0128X0。4330Resnorm 0.0014表1。CIR伽马模型的校准结果。Resnorm代表市场和模型隐含挥发物之间的平方距离总和。010.00520.0134价格误差#10-70.01550.02670.025价格平方误差打击0。0310 0.0359 8 0.046到期日5 0.0454 3 0.052 1 0.50.05500.0050.50.011#10-4波动性错误0。0151.520.022.50.025波动率平方误差打击0。0310 0.0359 8 0.046到期日5 0.0454 3 0.052 1 0.50.055图2。Cirgama模型的价格和隐含波动率方面的校准残差。校准日期：2011年8月2日。d=2，Xis为伽马过程，与第6.3.1节中考虑的模型完全相同。短期利率被指定为rt=`（t）+λhId，Xti，利差为对数Sδi（t，t）=ci（t）+γi（hId，Xti+Xt），i=1,2，γi，λ∈ R.我们称之为Wishart伽马模型。我们在表2中报告了校准参数，而图3从价格和隐含波动率方面说明了fit的质量。校准误差的大小与之前的CIR伽马规范一致。注意，同样在这种情况下，校准参数满足γ<γ。然而，我们承认，由于需要求解矩阵Riccati ODEs而非经典Riccati ODEs，因此该规范的计算成本较高。限制某些参数或应用第5节中的方法可能代表了留待未来研究的解决方案。备注6.1。

我们指出，由于命题4.2的caplet定价公式仅取决于广义Riccati ODEs系统解的特定形式，软件实现的整体结构不取决于过程/状态空间的特定组合。6.3.3. 校准稳定性。在本节中，我们从前台利率台执行每日重新校准的角度，分析校准参数的稳定性。对于这个实验，我们选择CIR伽马模型，因为它具有更高的计算可处理性。我们将表1中的校准参数作为2011年8月2日至2011年8月31日期间一系列校准实验的初始猜测。程序的输出是校准参数和校准统计数据的时间序列。首先，图4底部面板显示，通过平方和交替测量，可以选择前一天的校准结果作为给定日期校准的初始猜测：我们进行了这个实验，发现参数的不稳定性略有增加。因此，我们的选择保证了更高的稳定性，同时符合市场惯例。仿射多收益率曲线模型27XXParametersκ3.0626 m 0.3502λ0.0021M-0.4647-0.0218-0.0823 0.0110N3.8926γ0.0068Q-0.0093 0.0201-0.0008 0.1019X2。7617γ0.0118X2.3928 1.44891.4489 2.2730Resnorm 0.0034表2。Wishart Gamma模型的校准结果。

Resnorm代表市场和模型隐含波动率之间的平方距离总和。00.0050.20.010.4#10-6价格错误0。0150.60.80.0210.025价格平方误差打击0。0310 0.0359 8 0.046到期日5 0.0454 3 0.052 1 0.50.05500.0050.50.011波动率误差#10-40.0151.520.022.50.025波动率平方误差打击0。0310 0.0359 8 0.046到期日5 0.0454 3 0.052 1 0.50.055图3。价格和隐含波动率方面的校准残差。校准日期：2011年8月2日。隐含波动率误差，在我们考虑的时间窗口内会出现微小的波动，范围在0.0013和0.0019之间。第二个重要发现与参数γ和γ（中央右侧面板）有关：在考虑的整个时间窗口内，γ<γ的顺序是持续的。我们观察到校准参数（见左上图和右上图）的稳定性达到了令人满意的水平，通过样本平均值重新标度的标准偏差比率进行测量，其始终小于20%，见表3。为了进一步提高校准的稳定性，可以注意到模型初始规格中的参数之间的标量积可能会在校准中产生不稳定性。事实上，无风险短期利率的规格与λ和X之间的乘积成正比，这表明项目和过程X的初始值之间存在冗余。同样，通过查看利差规格，我们也得到了γi，i=1，2，过程X。对于相关问题，当不同的过程产生相同的期限结构时，我们参考[13]。在目前的情况下，可以方便地确定x的值，并校准参数γibe，这一选择保证了与不同期限相关的乘法价差的理论排序具有更好的灵活性。

为了测试我们的直觉，我们在之前使用的同一时间窗口上进行了稳定性实验。我们能够略微降低几乎所有参数的变异系数，而不会对均方误差的质量产生显著影响。28 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto参数标准偏差/平均参数标准偏差/平均值0.10532 n 0.045478β0.11868 X0。18247σ0.094040λ0.096756X0。081350γ0.069002m 0.10168γ0.047381表3。模型参数的变化系数。0246814161820T00。10.20.30.40.50.6参数CIR参数B-<X100 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20t00。511.522.5参数AMMA从属参数NX200 2 4 6 8 10 12 16 18 20t00。10.20.30.40.50.6参数\\lambda和X ^。i#10-3。i、 1.20 2 4 8 10 12 14 16 18 20t1。21.31.41.51.61.71.81.92波动率平方误差之和#10-3校准误差校准误差图4。参数稳定性测试。左上面板：CIR参数。右上面板：Gamma从属参数。左中面板：X和λ之间的比较。右中面板：扩展模型的投影。底部面板：整个样本的平方方差误差之和。校准时间窗口：2011年8月。仿射多收益率曲线模型29附录A.一般定价公式本附录给出了典型利率衍生品的一般定价公式。正如我们将要展示的，数量Sδ（t，t）在利率产品的估值中起着关键作用。我们在此根据[19，附录A]的精神推导出净价格，假设在共同资产等于总金额的情况下进行完美抵押。A.1。线性产品。

线性利率产品的价格（即，没有可选性特征）可以直接用基本量B（t，t）和Sδ（t，t）表示。远期利率协议。从T开始的远期利率协议（FRA），到期日为T+δ，固定利率为K，名义利率为N，在T+δ时支付金额为∏F RA（T+δ；T，T+δ，K，N）=Nδ的isa合同LT（T，T+δ）- K.该索赔在时间t的价值≤ T是∏F RA（T；T，T+δ，K，N）=NB（T，T+δ）δEQT+δ[LT（T，T+δ）- K | Ft]=NB（t，t）Sδ（t，t）- B（t，t+δ）（1+δK）.隔夜指数掉期。隔夜指数掉期（OIS）是两个交易对手交换两个付款流的合同：第一个根据固定利率K计算，而第二个根据隔夜利率（EONIA）计算。让我们用T表示，t付款日期，Ti+1-对于所有i=1，N-1.掉期在T开始∈ [0，T）。T处OIS的值≤ t名义值N可表示为（参见[25，第2.5节]）OIS（t；t，Tn，K，N）=NB（t，t）- B（t，Tn）- KδnXi=1B（t，Ti）！。因此，OIS费率KOIS由KOIS（T，Tn）=B（T，T）给出，KOIS是通过定义K的值，使得OIS合同在开始时为零- B（t，Tn）δPnk=1B（t，Tk）。利率互换。在利率互换（IRS）中，两个交易对手之间交换两个支付流：第一个现金流根据固定利率K计算，而第二个现金流则根据伦敦银行同业拆借利率（Libor）进行指数化。

时间t时IRS的值≤ T、 式中，T表示起始时间，由∏IRS（T；T，Tn，K，N）=NnXi=1给出B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）（1+δK）.互换率KIRS（T，Tn，δ）=Pni=1，通过定义K的价值，使合同具有零价值，从而得出互换率KIRSB（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）δPni=1B（t，Ti）=Pni=1B（t，Ti）Lt（Ti）-1，T）Pni=1B（T，Ti）。基差互换。基差掉期是一种特殊类型的利率掉期，两个交易对手之间交换与伦敦银行同业拆借利率（Libor rate）相关的两个不同期限的现金流。例如，典型的basis30 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto掉期可能涉及3个月期与6个月期伦敦银行同业拆借利率的交换。根据欧元市场基差互换定义的标准惯例（见[2]），基差互换相当于两种不同利率互换的多头/空头头寸，它们共享相同的固定分支。莱特=T、 田纳西州, T=T、 ·Tn和T=T、 田纳西州, Tn=Tn=Tn，T T、 n<n和相应的榫头长度δ>δ，δ不受限制。一侧的前两个榫结构和另一侧的第三个榫结构分别与两层和单固定支腿相关。我们用N表示交换的概念，交换在T=T=T时开始。T时的值≤ 由∏BSW（t；t，t，t，N）=NnXi=1给出B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）-nXj=1B（t，Tj）-1） Sδ（t，Tj）-1) - B（t，Tj）- KnX`=1δB（t，t`）！当KBSW（T，T，T）=Pni=1时，初始合同价值为零的价值KBSW（称为基差掉期价差）B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）-Pnj=1B（t，Tj）-1） Sδ（t，Tj）-1) - B（t，Tj）δPn`=1B（t，t`）。请注意，在金融危机之前，KBW的价值曾经（大约）为零。A.2。具有可选功能的产品。

在本节中，我们报告了普通利率产品的一般估值公式，如（欧洲）Caplet和掉期期权。卡普莱特。履约价格为K，到期日为t，在t+δ时拖欠结算的caplet在t时的价格由∏CP LT（t；t，t+δ，K，N）=NBtδE给出BT+δLT（T，T+δ）- K+英尺= 氖BtBTSδ（T，T）- （1+δK）B（T，T+δ）+英尺.（A.1）备注A.1。请注意，在经典的单曲线设置中（即，假设Sδ（T，T）等同于1），估值公式（A.1）简化为具有1/（1+δK）的零息债券上的一个caplet和一个看跌期权之间的经典关系。从（A.1）中，我们可以看到，在时间T和名义N=1时，caplet的支付对应于Sδ（T，T）- （1+δK）B（T，T+δ）+= Sδ（T，T）1{Sδ（T，T）≥（1+δK）B（T，T+δ）}- （1+δK）B（T，T+δ）1{Sδ（T，T）≥（1+δK）B（T，T+δ）}。现在让我们介绍以下关于FT的概率度量：deQdQ:=Sδ（T，T）B（T，T）BTSδ（0，T）B（0，T）。注意，根据命题2.4，deqdq>0和EQhSδ（T，T）B（T，T）BTSδ（0，T）B（0，T）i=1，sinceSδ（T，T）B（T，T）BtB（0，T）是Q-鞅。根据Bayes公式，我们得到BtBTSδ（T，T）1{Sδ（T，T）≥（1+δK）B（T，T+δ）}英尺= Sδ（t，t）B（t，t）EeQh{Sδ（t，t）≥（1+δK）B（T，T+δ）}Fti。仿射多收益率曲线模型同样，我们得到BtBT（1+δK）B（T，T+δ）1{Sδ（T，T）≥（1+δK）B（T，T+δ）}英尺= （1+δK）B（t，t+δ）EQT+δh{Sδ（t，t）≥（1+δK）B（T，T+δ）}Fti。因此，caplet的价格可以通过∏CP LT（t；t，t+δ，K，1）=Sδ（t，t）B（t，t）eQhSδ（t，t）来计算≥ （1+δK）B（T，T+δ）Fti- （1+δK）B（t，t+δ）QT+δhSδ（t，t）≥ （1+δK）B（T，T+δ）Fti。（A.2）交换。我们考虑一个标准的欧洲付款人互换期权，到期日为T，以（付款人）利率互换为基础，从T=T开始，支付日期为T。。。，Tn，含Ti+1-对于所有i=1，…，Ti=δ，N-1，用名词N。

在时间t时，此类索赔的价值由∏SW P t N（t；t，Tn，K，N）=NE“BtBTnXi=1B（t，Ti）给出-1） Sδ（T，Ti）-1) - （1+δK）B（T，Ti）+英尺#。附录B.命题2.4的证明在假设2.2下，过程（B（t，t）/Bt）0≤T≤这是一个鞅∈ [0，T]。因为b（T，T）=1，这意味着b（T，T）Bt=EB（T，T）BT英尺= E英国电信英尺, 对于所有0≤ T≤ T≤ T、 从而证明了第（一）部分。特别要注意的是，这意味着B（0，T）=E[1/BT]，从而确保dqt/dQ=1/（BTB（0，T））定义了一个概率度量QT~ Q、 每一个T∈ [0，T]。回顾∏F RA（t；t，t+δi，Lt（t，t+δi））=0≤ T≤ T≤ T和i=1，m、 它认为0=δi∏F RA（t；t，t+δi，Lt（t，t+δi））Bt=δiEπF RA（T+δi；T，T+δi，Lt（T，T+δi））BT+δi英尺= ELT（T，T+δi）- Lt（T，T+δi）BT+δi英尺=B（t，t+δi）BtEQT+δi[LT（T，T+δi）| Ft]- Lt（T，T+δi）.由于第（i）部分B（t，t+δi）/Bt>0，最后一个等式证明了第（ii）部分。最后，根据贝叶斯公式，过程（Sδi（t，t））为0≤T≤这是一个QT鞅当且仅当过程（Mit）为0≤T≤由mit定义：=Sδi（t，t）dQT | FtdQT+δi | Ft=Sδi（t，t）B（t，t）B（0，t+δi）B（t，t+δi）B（0，t）是QT+δi-鞅，对于每i=1，m、 通过对Sδi（t，t）的定义，它认为mit=1+δiLt（t，t+δi）1+δilist（t，t+δi）B（t，t）B（0，t+δi）B（t，t+δi）B（0，t）=1+δiLt（T，T+δi）B（0，T+δi）B（0，T）和所需的鞅性质遵循第（ii）部分。参考文献[1]A.阿方西和A.阿赫迪达。Wishart过程的精确和高阶离散格式及其有效延拓。《应用概率年鉴》，23（3）：1025–1073，2013.32克里斯塔·库切罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺阿托[2]F.M.阿梅特拉诺和M.比安切蒂。你一直想知道的关于多重利率曲线的一切，但又不敢问。预印本（可在http://ssrn.com/abstract=2219548), 2013.[3] F.比亚基尼，A。

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