例如，让我们假设我们施加以下约束：|wi |≤ ξevi（174）|wi- W*我|≤eξevi（175）evi≡viI（176），其中viI，例如，i标记的股票的20天平均每日美元交易量，以及ξ和ξ是一些正百分比。那么我们就有x+i=mineξevi，ξevi- W*我≥ 0（177）x-i=max-eξevi，- ξevi- W*我≤ 0（178），我们假设*我|≤ ξevi。试图解释任何孤立的“特殊”案例几乎没有什么价值（例如，某只股票有消息，需要清算，而w*i> 0意味着x+i<0，对于w*这意味着x-i> 0）因为它们可以简单地通过设置这几只股票的期望持有量来处理，并将它们完全排除在股票的优化范围之外。因此，我们假设x+i≥ 0和x-我≤ 0.如果我们进一步假设x+i>0和x，我们可以避免很多符号头痛-我<0。在某些情况下，人们可能希望设置x+i=0或x-i=0，例如，由于卖空限制（硬借股票等），我们无法出售股票。但是，与其设置x+ior x-如果精确到零，则将其设置为较小的正数或负数更为实际（例如，在所需精度公差范围内）。下面我们假设x+i>0和x-i<0.6.2优化：一般情况下，我们定义指数i=1的以下子集，N:xi6=0，i∈ J（179）xi=0，i∈ J′（180）xi=x+i>0，i∈ J+ J（181）xi=x-i<0，i∈ J- J（182）J≡ J+∪ J-（183）eJ≡ J\\J（184）ηi≡ 符号（xi），i∈ J（185）注意，由于模量有一个不连续的导数，所以最小化方程与设置eg（x，u，λ）w.r.t.xianduatozero的第一个导数不同。更具体地说，第一衍生产品w.r.t.xiare为i∈ J、 但对我来说不是∈ J′，而第一个衍生产品w.r.t.uaare总是定义得很好。此外，第一衍生产品w.r.t。

XIFORI∈ J（即在边界处）不必为零。因此，让我们考虑全局最小条件：例如（x′，u′，λ）|x′i=xi+i，u′a=ua+a≥ 例如（xi，ua，λ）（186）这里的i和aa先验是任意的，除了在边界上我们有i≤ 0，我∈ J+（187）i≥ 0，我∈ J-（188）从（186）我们得到λNXi，j=1Cijij+Xi∈JLi（|xi+i |- | xi|- ηii）-mXa=1NXi=1iYiaa-mXa=1NXi=1xiYiaa+NXj=1λXi∈JCijxi- ρj+Ljeηj-mXa=1Yjaua！j≥ 0（189），其中（i）符号中的歧义无关紧要；我们可以设置符号（0）=0）eηi≡ ηi，i∈ J（190）eηi≡ 签名（i），i∈ J′（191）（189）中的第一行是O（）。对于微小的，第二行给出：λXj∈JCijxj- ρi+Liηi-mXa=1Yiaua=0，i∈yinxi=1nxi=192∈JxiYia=0，a=1，m（193）哪些方程对应于将eg（x，u，λ）w.r.t.xi，i的一阶导数设置为零∈eJ和ua，还有下面的不等式f或i6∈eJ:J∈ J′：λXi∈JCijxi- ρj-mXa=1Yjaua≤ Lj（194）J∈ J+：λXi∈JCijxi- ρj-mXa=1Yjaua≤ -Lj（195）J∈ J-: λXi∈JCijxi- ρj-mXa=1Yjaua≥ Lj（196）与（192）、（193）、（194）、（195）和（196）一起，（189）中的第二行是所有i的正定义（受（187）和（188）约束），这是因为这些项在i中是线性的。另一方面，（189）第一行中的第一项是正半定义，假设为正定义。第二项是正半定义ηi=符号（xi）表示i∈ J、 第三项意味着，对于任何a6=0，我们在i上有以下条件：NXi=1iYia=0（197），这只是我们只允许考虑路径xi的条件→ xi+a满足约束（193）的时间（对于所有人而言）∈ {1，…，N}）。条件（194）、（195）和（196）必须由（192）和（193）的解来满足，从而得到全局最优解。

然而，即使忽略f或amome的边界，我们也无法先验地知道i）子集J′是什么，ii）ηi的值是什么∈ J、 因此，我们有3N个可能的组合，数量之大令人望而却步。6.3优化：通过假设Cij的r M因子模型，可以避免这种情况：Cij=Θij≡ ξiδij+KXA=1OhmiAOhmjA（198）这里，A的任何值，使得OhmIa是Yiamust列的线性组合，不能省略（具体风险未触及）。这是因为在（192），（194），（195）和（196）中，只有在组合xj中才会出现∈JCijxj=ξixi+KXA=1OhmiAXj∈金雁山组Ohm是的，我∈ J（199）Xj∈JCijxj=KXA=1OhmiAXj∈金雁山组Ohm是的，我∈ J′（200）所以如果OhmIa是Yia列的线性组合，其贡献因（193）而消失。我们假设所有这些列OhmiA（如果有）被省略。优化问题简化为求解（K+m）维系统。莱特瓦≡NXi=1xiOhmiA=Xi∈JxiOhmiA，A=1，K（201）进一步，让H≡ {a}∪ {A} 。让Ohmiα，α∈ H为以下N×（K+m）材料ixbOhmia≡ Yia（202）bOhmiA≡ OhmiA（203）设uα为以下（K+M）-向量：≡ -λua（204）uA≡ vA（205）从（192）、（193）和（201）我们得到xi=λξiρi- Liηi- λXα∈血红蛋白Ohm我αuα！，我∈eJ（206）Xi∈JxibOhmiα=Xβ∈Hаαβuβ（207），其中аαβ是以下对称（K+m）×（K+m）矩阵：аAB≡ δAB（208）φAB=0（209）φAB=0（210）回想一下我们有xiηi>0，i∈eJ（211）我们得到ηi=符号ρi- λXα∈血红蛋白Ohm我αuα！，我∈eJ（212）我∈ J+：ρi- λXα∈血红蛋白Ohmiαuα≥ Li+λξix+i≡ L+i（213）我∈ J-: ρi- λXα∈血红蛋白Ohmiαuα≤ -Li+λξix-我≡ -L-i（214）我∈eJ:ρi- λXα∈血红蛋白Ohmiαuα> 李（215）我∈ J′：ρi- λXα∈血红蛋白Ohmiαuα≤ Li（216），其中（215）从（211）和（206）接起。最后四个不等式定义了J+，J-,用（K+m）未知量uα表示eJ和J′。

注意，L±i>Li，i∈ J±如果wetake x±i→ ±∞, 我们得到了空的J±。将（206）代入（207），我们得到（K+m）未知量uα：Xβ的（K+m）方程组∈HbQαβuβ=yα（217），其中bqαβ≡ αβ+Xi∈eJbOhmiαbOhmiβξi（218）yα≡λXi∈eJbOhmiαξi[ρi- Liηi]+Xi∈J+x+ibOhmiα+Xi∈J-十、-ibOhmiα（219），所以我们有uα=Xβ∈HbQ-1αβyβ（220）式-这是BQ的倒数。注：给定ηi，J+，J，t（220）解uα-,eJ和J′。另一方面，（212）、（213）、（214）、（215）和（216）确定ηi，J+，J-,用uα表示eJ和J′。然后对整个系统进行迭代求解，在初始迭代时，取J（0）={1，…，N}，因此J+（0），J-（0）和J′（0）为空，η（0）i=±1，i=1，N（221）而η（0）的先验值可以是二进制的，除非（K+m）<< N、 在某些情况下，可能会遇到收敛速度问题。然而，如果选择η（0）i=sign（ρi），i=1，N（222）那么迭代过程通常会收敛得相当快。以下技巧可以加快收敛速度。让我们这样做我∈ {1，…，N}:x-我≤ bx（s）i≤ x+i（223）NXi=1bx（s）iYia=0，a=1，m（224）设x（s+1）ibe为第（s+1）次迭代得到的解。该解满足线性约束，但可能不满足边界。乐其≡ x（s+1）i- bx（s）i（225）hi（t）≡ bx（s）i+t qi，t∈ [0,1]（226）然后bx（s+1）i≡ 嗨（t）*) = bx（s）i+t*齐（227）其中t*是t的最大值，使得hi（t）满足边界。我们有：qi>0:pi≡ 闵x（s+1）i，x+i（228）气<0:pi≡ 最大值x（s+1）i，x-我（229）t*= 明皮- bx（s）iqiqi6=0，i=1，N（230）现在，在每个步骤中，我们可以定义J+和J，而不是（213）和（214）-via（J’isstill定义via（216））我∈ J+：bxi=x+i（231）我∈ J-: bxi=x-i（232），其中bxi是如上迭代计算的，我们可以取bx（0）i≡ 初始迭代时为0。

（231），（232）和（213），（214）之间的区别在于前者向集合J+和J添加了新元素-每次迭代一个（或几个）元素，而后者可以添加许多元素。收敛标准由以下公式给出：（这产生了glo-bal最优值）eJ（s+1）=eJ（s）（233）J+（s+1）=J+（s）（234）J-（s+1）=J-（s） （235）我∈eJ（s+1）：η（s+1）i=η（s）i（236）α ∈ H:u（s+1）α=u（s）α（237）前四个标准基于离散量，不受计算（机器）精度影响，而最后一个标准基于连续量，在实践中被理解为在计算（机器）精度或预设公差内满足。7例：日内均值回归α在本节中，为了说明我们在第2节中的讨论，我们讨论了日内均值回归α。让我们建立我们的关系。π，i=1，N是以i标记的股票的股价，其中N是我们宇宙中的股票数量。事实上，每只股票的价格是一个时间序列：Pis，s=0，1，M、 其中，指数s标注交易日期，s=0对应于时间序列中的最近日期。我们将使用上标O（未经调整的开盘价）、C（未经调整的收盘价）、AO（因拆分和股息进行了充分调整的开盘价）和AC（因拆分和股息进行了价格调整的收盘价），因此，例如，PCisis是未经调整的收盘价。未经调整的每日访问量（以股票计，而非美元计）。我们将隔夜返回定义为接近下一个开放返回：Ris≡ 自然对数PAOis/PACi，s+1（238）请注意，本定义中的两个价格均已完全调整。接下来，我们以彭博行业分类系统（BICS）行业、行业和子行业为基础，为我们的宇宙取一个N×K二元贷款矩阵∧Ia，分三种形式。

这些是第2小节中讨论的二元簇。4.对于每一个日期s，我们在∧Ia上用横截面回归我们的回报率，不接受单位重量，如（23）所示。我们取回归方程（23）的ε，并指定所需的美元持有量viaDis=-εisIPNj=1 |εjs |（239）NXi=1 | Dis |=I（240）NXi=1Dis=0（241），其中I是日内投资水平，对于所有日期s都是相同的。投资组合在开盘时建立，假设开盘价为POI，并在当天收盘时清算，假设在收盘时的PCI为FILL，没有交易成本或滑动，这两者都存在于现实生活中——我们的目标不是建立一个现实的交易策略，在现实生活中赚钱，而是展示我们在第2节中的讨论。每种股票的每日损益由∏is=Dis给出皮斯波伊斯- 1.（242）通过Qis=2 | Dis |/poi计算每天每只股票的买入加卖出（即建立和清算交易的组合）。在我们进行回归之前，我们需要选择我们的宇宙。我们希望这里的讨论尽可能简单，因此我们根据VIAAI定义的平均每日美元交易量（ADDV）来选择我们的宇宙≡ddXr=1Vi，s+rPCi，s+r（243）我们取d=21（即一个月），然后通过ADDV使我们的宇宙成为前2000名。然而，为了确保我们不会无意中引入宇宙选择偏见，我们不会每天重新平衡宇宙。相反，我们每月重新平衡一次，确切地说，每21天一次。也就是说，我们将5年的回溯测试周期（见下文）划分为21天的间隔，我们使用ADDV计算宇宙（注意，s股票很少跳跃（子）行业/部门，因此∧I可以假设为静态的。更准确地说，截距已经包含在∧iA:，K换句话说，∧iA=0。

每个股票只属于一个集群。这意味着对于每个i，pka=1∧iA=1，所以∧iA列的线性组合就是截距。这是一个所谓的“延迟-0”阿尔法——阿尔法中使用了泊松，并作为确定出厂价。也就是说，确保我们的结果不仅仅是宇宙选择的结果。反过来，根据该间隔之前的21天时间计算），并在整个该间隔期间使用该宇宙。然而，我们的偏见是生存偏见。我们采用了2014年6月9日的全球股票数据，这些数据在http://finance上有历史公关数据。雅虎。2008年8月1日至2014年9月5日期间的com（于2014年9月6日访问）。截至2014年9月6日，我们将此范围限制为仅包括美国上市的普通股和类别股（无OTC、优先股等），其BIC部门、行业和子行业分配。然而，存活率偏差似乎不是主要影响因素（见下文）。此外，基于ADDV的宇宙选择绝不是最优的，这里选择它是为了简单。在实际应用中，流动性股票的交易范围是根据市值、流动性（ADDV）、价格和其他（公共）标准精心选择的。我们在5年的时间里进行模拟。更准确地说，M=252×5，s=0为2014年9月5日（见上文）。表1给出了三种集群选择的年化资本回报率（ROC）、年化夏普比率（SR）和每股美分（CPS）结果：BIC行业、行业和子行业。ROC计算为每日平均损益除以投资水平I（无杠杆），再乘以252。SR的计算方法为每日夏普比率乘以√252.CPS的计算方法为总损益除以总交易股份。

表1中3种情况的损益表如图1所示。在上述模型中，除了（在这种情况下是自动的）美元中立性，我们没有进行任何风险管理。如2.7小节所述，我们可以通过加权回归进行风险管理。然而，这里我们将讨论另一种方法。基本问题是，一些残差可能非常大，因此该策略可能会不成比例地增加残差如此之大的股票，因此投资组合不会多样化。这就是为什么表1中的SR没有表2中的高（见下文）。我们可以通过将它们视为异常值来处理如此大的残差。一种众所周知的方法是WinSoriation。这里我们讨论一种概念上相似的方法，它更方便。假设Xibe为一组值，我们希望其具有横截面平均值x和标准偏差χ的正态分布。将xid的值变形，使其符合正态分布，具有相同的平均值X和标准偏差χ。例如，我们可以使用（Kakushadze and Liew，2014）附录A中给出的normalize（）函数。现在，让我们将这个方法应用于每个日期的残差εis（因此所有数据都不在样本范围内）。设结果为eεis。注意，eε仍然具有消失的横截面平均值，但异常值已被“压扁”。我们现在可以用eεisin代替εisin（239），并保持美元中立。ROC、SR和CPS的结果如表2所示。请注意，与表1相比，SR大幅增加——由于阿尔法纯为日内交易，因此，这种“再平衡”不会产生额外的交易，它只会改变未来21天的交易范围。在我们的数据中，此类股票的数量是3811。BIC的数量是10。BICS行业的数量是48。

BICS子行业的数量在164和169之间变化（由于小的子行业，受不同的top-2000 by-ADDV宇宙的影响）。ROC和CPS。表2中3种情况的损益图如图2所示。这种阿尔法的一个明显警告是，“开盘”可能是一个模糊的概念，因为有些股票并不总是在9:30:00整开盘。因此，我们认为订单可以同时在公开市场下的假设有点错误。在现实生活中，人们必须等到开盘后一段时间，然后计算出开盘股票的阿尔法，然后发送订单并获得资金。这种类型的日间模拟战略可以在http://vynance.com/portfolio.html.成立时间为9:31:30（清算时间为15:59:00）。交易范围每天都在变化，小于2000个股票，多头头寸大约在200-300个股票之间，空头头寸大约在200-300个股票之间。从2014年2月18日到2014年9月19日，该战略的绩效如下：ROC=29.19%；SR=12.13；CPS=1.52。模拟假设没有交易成本或滑动；然而，它不是“延迟0”，而是（更现实的）“延迟30秒”策略，即，用于在9:31:30建立交易的字母是基于9:31:00的定价数据计算的（数据本身延迟5-35秒）。自《盗梦空间》（2011年4月14日）以来，Vynance投资组合的模拟表现一直保持一致，年化每日夏普比率约为16，月资本回报率约为3%。

这与我们在表2中的结果一致，这表明我们的结果中的生存偏差不应该是一个主要影响因素——Vynce投资组合模拟是实时的、实时的，因此不存在生存偏差。8结论性评论如前所述，均值回归的方法有很多种。在我们在这些注释中讨论的定量框架中，均值回归模型基本上是由回归中用作负荷的风险因素以及回归权重来定义的，或者，在优化中，通过选择多因素风险模型和约束来定义的——后者通常是与中性w.r.t.一些风险因素有关的lso。这里我们要强调的是，即使在上述框架内，人们也可以通过各种各样的钟声和口哨来调整特定的均值回归模型。此外，如果只使用回归，则不需要因子协方差矩阵，并且可以满足使用，例如，回归权重中的历史波动率，即在这种情况下，一个人只需要未旋转因子加载矩阵Ohm伊莉亚。另一方面，为了进行优化，需要一个完整的多因素风险模型——不只是因素负荷矩阵，而是因素协方差矩阵和特定风险的lso。由于取决于约束条件的选择——以及使用的回报率——可以从因子贷款矩阵中提取一些风险因子，因此在许多情况下，有必要计算自定义的多因子风险模型。这一主题在（Kakushadze and Liew，2014）中有更详细的介绍。此外，我们假设“延迟-0”，也就是说，我们可以在收到交易所的开盘打印件后立即“完全”快速地进行交易，并以相同的开盘价格成交。而且，如上所述，我们忽略了交易成本和下滑，因此出现了乐观的ROC、SR和CPS。参考Sadcock，J.C.和米德，N。

（1994）将交易成本纳入二次优化的简单算法。欧洲运筹学杂志79（1）：85-94。Allaj，E.（2013）黑光特尔曼模型：参数Tau的一致性估计。金融市场与投资组合管理27（2）：217-251。阿特金森，C.，普利斯卡，S.R.和威尔莫特，P.（1997）具有交易成本的投资组合管理。过程。罗伊。Soc。伦敦爵士。A 453（1958）：551-562。Avellaneda，M.和Lee，J.H.（2010）美国股票市场的统计套利。定量。财务10（7）：761-782。Best，M.J.和Hluskova，J.（2003）投资组合选择和交易成本。计算优化与应用24（1）：95-116。Black，F.和Litterman，R.（19 91）资产配置：将投资者的观点与市场均衡结合起来。J.固定收益1（2）：7-18。Black，F.和Litterman，R.（1992）全球投资组合优化。财务部。肛门。J.1992，48（5）：28-43。Cadenilas，A.和Pliska，S.R.（1999）当存在税收和交易成本时证券的最优交易。金融与随机3（2）：137-165。Cheung，W.（2010）黑人垃圾工模型解释道。资产管理杂志11（4）：229-243。Chu，B.，Knight，J.和Satchell，S.E.（2011）大型投资组合最优投资问题的大偏差定理。欧洲运筹学杂志211（3）：533-555。Cvitani\'c，J.和Karatzas，I.（1996）交易成本下的套期保值和投资组合优化：一种商业方法。数学财务6（2）：133-165。Daniel，K.（2001）均值回归检验的功效和规模。《经验金融杂志》8（5）：493-535。Da Silva，A.S.，Lee，W.和Pornrojnangkool，B.（2009）积极投资组合管理的黑色垃圾模型。投资组合管理杂志35（2）：61-70。Davis，M.和Norman，A.（1990）具有交易成本的投资组合选择。数学奥普。第15（4）号决议：676-713。德罗贝茨，W。

（2001）如何避免投资组合优化中的陷阱？让黑人扔垃圾的方法发挥作用。财务部。做记号波特。马纳。15(1): 59-75.Dumas，B.和Luciano，E.（1991）交易成本下动态投资组合问题的精确解。《金融杂志》46（2）：577-595。Fama，E.F.和MacBeth，J.D.（1973）风险、回报和均衡：经验测试。J.波利特。经济部。81(3): 60 7-636.Fama，E.F.和French，K.R.（1993）股票和债券收益中的常见风险因素。J.Financ。经济部。33( 1): 3 -56.Gatev，E.，Goetzmann，W.N.和Rouwenhorst，K.G.（2006）配对交易：相对价值套利规则的表现。金融研究回顾19（3）：797-82 7。他，G.和利特曼，R.（1999）黑人利特曼模型背后的直觉。加利福尼亚州旧金山：高盛投资管理部。Hodges，S.a和Carverhill，a.（1993）有效股票市场中的准均值回归：支持BlackScholes期权定价的经济均衡的特征。《经济日报》103（417）：395-405。Idzorek，T.（2007）一份关于黑色垃圾箱模型的分步指南。摘自：Satchell，S.（编辑）预测金融市场的预期回报。马萨诸塞州沃尔瑟姆：学术出版社。Janeˇcek，K.和Shreve，S.（2004）具有交易成本的最优投资和消费的渐近分析。金融斯托奇。8(2), 181-206.Jegadeesh，N.和Titman，S.（1993）买入赢家和卖出输家的回报：对股票市场效率的影响。J.金融48（1）：65-91。Jegadeesh，N.和Titman，S.（1995）过度反应、延迟反应和反向投资。修订版。财务部。螺柱。8(4): 973- 993.Liew，J.和Roberts，R.（2013）研究了美国股票均值-R外翻。风险1（3）：162-175。Kakushadze，Z.和L iew，J.（2014）定制v。

标准化风险模型。SSRN工作文件，http://ssrn.com/abstract=2493379（2014年9月8日）；arXiv:1409.2575。Knight，J.a and Sa t chell，S.E.（2010）基准投资组合最优投资度量的精确性质。定量金融1 0（5）：495-502。Lo，W.A.和MacKinlay，A.C.（19-90）股市过度反应导致的反向收益是什么时候？牧师。财务部。螺柱。3( 2): 175-205.Lo，A.W.（2010）《对冲基金：分析视角》。普林斯顿大学出版社，第260页。Magill，M.和Constantinides，G.（1976）与t r ansactionscosts的投资组合选择。J.经济。理论13（2）：245-263。Markowitz，H.（1952）投资组合选择。金融杂志7（1）：77-91。R.C.默顿（1969）《不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例》。《经济学与统计学评论》51（3）：247-257。Mitchell，J.E.和Braun，S.（2013）在凸交易成本（包括市场影响成本）存在的情况下重新平衡投资组合。优化方法和软件28（3）：523-542。Mokkhavesa，S.和Atkinson，C.（20 02）任何效用函数下具有交易费用的最优投资组合理论的摄动解。伊玛·J·马纳。数学13(2): 131-151.O\'Tool，R.（2013）《黑色垃圾箱模型：风险预算视角》。资产管理杂志14（1）：2-13。Perold，A.F.（1984）大规模投资组合优化。管理科学30（10）：1143-1160。Poterba，M.J.和Summers，L.H.（1988）股票价格的均值回归：证据和含义。J.Financ。经济部。198 8, 22(1): 27-59.Rockafellar，R.T.和Uryasev，S.（2000）条件值矩阵的优化。风险杂志2（3）：21-41。Satchell，S.和Scowcroft，A.（2000）对黑色垃圾模型的一种揭开神秘面纱：管理量化和传统的投资组合结构。资产管理日志1（2）：138-150。Sharpe，W.F.（1966）共同基金业绩。

商业杂志39（1）：119138。Shreve，S.和Soner，H.M.（19 94）具有交易成本的最优投资和消费。安。阿普尔。Probab。4(3): 609-692.表1：第7节讨论的日内均值回归a lpha的模拟结果，未对回归残差进行标准化。集群ROC SR CPSBICS行业44.58%6.21 1.17BICS行业49.00%7.15 1.29BICS子行业51.77%7.87 1.36表2：第7节讨论的日内均值回归a lpha s的模拟结果，回归残差标准化。集群ROC SR CPSBIC行业33.27%11.55 1.02BICS行业37.67%15.02 1.15BICS子行业40.40%18.50 1.240 200 400 600 800 1000 12000e+00 1e+07 2e+07 3e+07 4e+07 5e+07交易日SP&L图1。第7节讨论了平均回归α（非标准化残差）的损益图，总结见表1。自下而上表现：i）BICS行业，ii）BICS行业，以及iii）BICS子行业。投资水平为1000万美元长加1000万美元短。0 200 400 600 800 1000 12000e+00 1e+07 2e+07 3e+07 4e+07交易日P&L图2。第7节讨论了平均回归α（归一化残差）的损益图，总结见表2。自下而上表现：i）BICS行业，ii）BICS行业，以及iii）BICS子行业。投资水平为1000万美元长加1000万美元短。