均值回归与优化 - 外文文献专区

2022-5-6 15:46:20

均值回归和优化Zura Kakushadze§+1§QuantigicResolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福德，CT 06905+康涅狄格大学物理系，康涅狄格州斯坦福德，CT 06901，第比利斯自由大学，第比利斯商学院和物理学院240，第比利斯，大卫·阿格马什内贝利巷，0159，佐治亚州（2014年8月9日；2014年9月22日修订）摘要这些注释的目的是提供一个系统的定量框架——以“教学”的方式——用于讨论均值回归和优化。我们从配对交易开始，通过遵循“通过贬低实现均值回归”的顺序来增加复杂性→ 回归→ 加权回归→ （受限）优化→ 因子模型”。我们详细讨论了如何基于这种方法进行均值回归，包括在实际应用中遇到的常见陷阱，如最大化夏普比率和最小化目标函数之间的差异（当包含交易成本时）。我们还讨论了线性代价、约束和界的显式优化算法。我们还说明了我们关于一个明确的日内均值回归α的讨论。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的只是按照出版物惯例表明其专业职责。

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kedemingshi

2022-5-6 15:46:23

特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表Quantigic Solutions LLC网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1简介和总结统计套利（StatArb）“指涉及大量证券（数百至数千，取决于风险资本金额）、非常短的持有期（以天到秒计算）、大量计算、交易和信息技术（IT）基础设施的高技术短期均值反转策略”（Lo，2010）。那么，什么是“均值回归”？基本想法很简单：一些数量是历史上相关的，有时这些相关性会因一些不寻常的市场条件而暂时消失，但人们预计——或更希望——这种相关性将在未来恢复。斯塔尔b试图从这种暂时性的错误定价中获取利润。这些注释的目的是为讨论均值回归和优化提供一个系统的定量框架，其目的是以“心理学”的方式。有很多方法可以实现均值回归。其中一种方法可以通过序列“通过贬低平均值反转”进行示意性描述→ 回归→ 加权回归→ （受限）优化→因子模型”。这些注释恰恰遵循了这个顺序，从最基本的StatArb形式开始，配对交易，逐渐增加了复杂性。

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2022-5-6 15:46:27

这自然而然地引入了收益率、收益率以及最终的优化和因子模型的均值回归——通过观察加权回归只不过是因子模型优化的零特定风险极限。在这个框架内，我们讨论了实际应用中出现的各种重要的复杂问题和陷阱，这些问题经常被忽视、不被强调和/或没有得到解决，包括在商用产品中。与优化结合使用的回归权重是否应基于历史或特定风险？我们应该如何优化回归回报？如何将约束纳入优化？基于目标函数最小化的优化是否与包含成本的夏普比最大化相同？如何利用线性成本、约束和边界进行优化？这些是我们在这些笔记中讨论的一些话题——我们希望是系统的和“教育学的”。这些说明的组织如下。第2节讨论均值回归：成对交易→ 多种股票→ 多个二元集群（行业）→ 回归→ 非二进制泛化→ 加权积分。第3节讨论优化：最大化夏普比率→ 添加多个线性约束（包括dollarneutrality）→ 作为优化极限的回归→ 因子模型→ 具有线性约束（包括陷阱）的因子模型优化。第4节是一种“间奏曲”，它被保留在较轻的一面，以帮助消化第2节和第3节，然后在第5节和第6节中增加更多的复杂性。第5节讨论了带有约束和成本的优化，包括夏普和“均值回归策略”之间的差异，这主要是交易者的行话——这是作者习惯的。学术金融文献大多使用“共同投资策略”。

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nandehutu2022

2022-5-6 15:46:30

本文通篇使用“均值-方差（策略）”一词。“特定风险”是多因素风险模型术语。所以我可能更喜欢“白痴的统治风险”。比率最大化和最小化是一个目标函数，当lat t er可以用作前者的近似值时。第6节讨论了线性成本、约束和边界优化的显式算法，包括在因子模型的上下文中。第7节阐述了第2节中讨论的回归方法，给出了一个基于隔夜回报和行业分类的日内平均回归α（具有5年模拟业绩）的明确示例，以及风险管理和处理异常值的额外提示。第8节包含简短的结束语。2均值反转2。1对交易通常，在解释StatArb时，给出了一个对交易的例子。在anutshell中，它是这样的。假设你在同一个行业有两支历史相关的股票，A股和B股（例如埃克森美孚（XOM）和皇家荷兰壳牌（RDS.A））。如果A股暂时上扬（A富），而B股下挫（B便宜），配对交易策略相当于做空A股，买入B股，因为总头寸与美元持平。美元中立性确保头寸（大约）对整体市场波动不敏感——这只是对市场风险的一种对冲。从直觉上看，假设A和B之间的差距收敛于其历史价值，这一切都是有意义的。这就是均值回归的本质。这些钱是从a和B的一个暂时的错误定价中赚来的。然而，再看一眼，人们可能会问：我怎么知道a是富有的，B是廉价的？事实上，首先，A和B通常以不同的价格进行交易。

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大多数88

2022-5-6 15:46:33

其次，A和B的价格在平均水平上并不是恒定不变的——通常，尽管不总是，它们都有一个上升趋势。那么，如何量化配对交易中的“富”和“低”呢？2.2回报，而不是价格这不是价格，而是定义“丰富”和“廉价”的回报。这个想法是，A股和B股平均预期会同步变动。说两个人都往上爬。如果a在相对价格的基础上超过B，那么a是富有的，B是便宜的。假设PA（t）和PB（t）是时间t时A和B的价格，PA（t）和PB（t）是时间t后A和B的价格（例如，在昨天收盘时，如果交易日是t，PA（t）和PB（t）会根据任何分割和股息进行调整，而t可以是今天的开盘价。）相应的返回a reRA=PA（t）PA（t）- 1（1）RB=PB（t）PB（t）- 1（2）由于这些回报通常很小，我们可以使用另一种定义：RA≡ 自然对数PA（t）PA（t）（3） RB≡ 自然对数铅（t）铅（t）（4）因此，成对阅读中的均值回归思想现在可以量化如下。如果ra>RB，那么A是富的，B是便宜的，做空A，然后买B。我们可以用贬损的returnSeranderb:R方便地重申这一点≡（RA+RB）（5）时代≡ 拉-R（6）雇员再培训局≡ RB- R（7）其中R是平均回报。现在，如果一只股票的贬损回报率为正，它就是富有的；如果它的贬损回报率为负，它就是便宜的。因此，假设回报率已经降低，我们做空正回报股票，买入负回报股票。在2只股票的情况下，股票Qi、i=A、B做空/买入的数量取决于所需的总美元投资i和美元中立性要求：PA | QA |+PB | QB |=i（8）PAQA+PBQB=0（9），其中Piare是持仓时的价格，Qi<0表示做空，Qi>0表示买入。

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2022-5-6 15:46:37

在这里，我们假设没有杠杆作用，利润率为0（见脚注6）。2.3多个股票的一般化如果我们在同一个行业中有两个以上的历史相关股票，会怎么样？（例如埃克森美孚、荷兰皇家壳牌、道达尔（TOT）、雪佛龙（CVX）和英国石油（BP））。虽然我们可以对这样一个集合中的每一对股票进行配对交易，但我们可以对整个集合采用一种回归策略吗？被贬低的回报让这件事变得轻而易举。让Ri，i=1，N是我们历史上相关的N个股票的回报率：Ri=lnπ（t）π（t）（10） R≡NNXi=1Ri（11）eRi≡ 里-R（12）这里和下面的R指的是横截面平均收益率（不是时间序列平均收益率）。此外，eRA、eRBandeRi（见下文）指的是平均回报率R的变化。因此，根据我们对2股示例的直觉，我们可以做空正指数的股票，购买负指数的股票。这里我们有以下条件：NXi=1Pi | Qi |=I（13）NXi=1PiQi=0（14）：I是期望的总美元投资；（14）是美元中立；销售额较短的Qi<0；购买时Qi>0；皮亚尔：确定仓位时的价格。我们有两个方程和N>2个未知数。因此，我们需要详细说明如何定义Qi。指定QI的一个简单方法是将美元定位为DI≡ PiQi（15）与降级回报成比例：Di=-γeRi（16），其中γ>0（回想一下，我们做空指数>0的股票，买入指数<0的股票）。然后（14）通过定义自动满足asPNi=1eRi=0，而（13）xγ：γ=IPNi=1埃里（17）等式（16）定义了一种均值回归策略。它们有很多种。（16）的一个缺点是，通过构造，平均而言，在波动性较大的股票中（因为波动性股票平均具有较大的eRi）。下面我们将讨论风险管理和构建Di的其他方法，即其他均值回归策略。

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2022-5-6 15:46:40

让我们先讨论一下进一步的概括。2.4多个集群的泛化我们将把我们可以进行上一小节分析的每一组股票称为“集群”。根据给定的行业分类模式，此类集群被称为不同的名称，如行业、子行业等。假设有K个集群，标记为a=1，K.设∧iab是一个N×K矩阵，如果以i（i=1，…，N）标记的股票属于以we标记的集群，则无杠杆且利润率为0。非平凡杠杆只需重新销售I级投资。如果存在利润，除了我投资股票之外，我们还需要额外的金额来维持利润，这只会降低借款利率导致的战略回报。例如，我们可以有一组来自石油行业的股票，第二组来自科技行业，第三组来自医疗行业。A、那么∧iA=1；否则∧iA=0。我们将假设每个股票都属于一个且仅属于一个集群（因此没有空集群），即NA≡NXi=1∧iA>0（18）N=KXA=1NA（19）我们有∧iA=δG（i），A（20）G:{1，…，N}7→ {1，…，K}（21），其中G是种群和集群之间的映射。矩阵∧Ia被称为荷载矩阵。如果a=b，则Kroneckerδab=1，如果a=6=b，则a和δab=0。可以分别对每个簇进行均值回归，因为簇不会重叠。然而，为了进一步推广，可以方便地以紧凑的形式同时为所有簇编写demeanedreturns。这带来了回归。2.5回归让我们记录股票收益。考虑Riover∧iA的线性回归（不含干扰和单位权重——见下文）。用R表示法：R~ -1+λ（22），其中，在矩阵表示法中，R是N向量Ri，∧是N×K载荷矩阵∧iA。

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2022-5-6 15:46:44

明确地说，我们haveRi=KXA=1∧iAfA+εi（23），其中fa是（用矩阵表示法）f=Q给出的回归系数-1∧TR（24）Q≡ λT∧（25）和εi是回归残差。在前一小节中介绍的二进制∧iAwe的情况下，这些残差只不过是返回到相应的簇：ε=r- λQ-1∧TR（26）QAB=NAδAB（27）RA≡NAXj∈JARj（28）εi=Ri-RG（i）=eRi（29）统计计算的R包。还有，”~” 在（22）中表示线性模型。式中，RAis是标记为A的集群的平均回报率，Anderis是通过从Rit中减去标记为A=G（i）的集群的平均回报率而获得的demeanedreturn，其中标记为i的股票属于：G（i）=A:i∈ 青年成就组织 {1，…，N}。因此，减损的收益率是由载荷矩阵∧iA上的收益率的回归残差（不含干扰和单位权重）给出的。这个结果可以进一步推广上述结构。但首先需要进行一些额外的观察。注意nxi=1eRi∧iA=0，A=1，K（30）即，被贬低的回报是集群中性的，或者，如果集群被称为行业，则它们是行业中性的。在这种情况下，这只是一种说法，即对于每个集群，该集群中所有股票的已降级收益之和，这是因为每个集群的收益均已降级。然而，在更一般的情况下（见下文），这是一个更为重要的条件。另外，请注意，我们自动地将nxi=1eRiνi=0（31），其中≡ 1，i=1，N、也就是说，N向量ν是单位向量。在regressionlanguage中，ν被称为截距。

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2022-5-6 15:46:48

在上面，我们不必将intercept添加到载荷矩阵中，因为它已经包含在其中：KXA=1∧iA=νi（32）。然而，在一般情况下，t to have（31），我们需要在载荷矩阵中添加intercept asa列（见下文）。回想一下，（31）与策略（16）中的美元中性相同，但通常美元中性不需要（31）。2.6非二元一般化二元加载矩阵中的减损收益满足的条件（30）仅意味着这些收益是集群中性的，即与相应的N向量v（A）正交，其中v（A）i≡ λiA。也就是说，在矩阵符号ERTV（A）=0（33）中，这种正交性可以定义为任何载荷矩阵，而不仅仅是二进制矩阵。这就引出了一个推广，其中荷载矩阵称之为OhmiA可能有一些二进制列，但通常不需要。二元列（如有）被解释为基于行业（集群）的风险因素；非二元列被解释为一些非行业风险因素；正交条件nxi=1eRiOhmiA，A=1，K（34）只是一个简单的要求，即旋转返回序列——我们不再将其称为“demeaned returns”（因为基本上不再需要载荷矩阵），而是将其称为“egr-essed returns”——是Riover回归（无截距且具有单位权重）的要求Ohm呃≡ R- Ohm Q-1.OhmTR（35）Q≡ OhmTOhm （36）请注意，我们不再一定拥有该财产（31）。如果需要此特性，可以通过在回归中包含截距来实现。即，在R符号中，回归（现在带有截距，但仍然带有单位重量）isR~ Ohm （37）就（35）而言，这相当于在Ohm, 现在我们有了OhmiA≡ νi=1，i=1。

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2022-5-6 15:46:52

，N对于2.3小节中标记为A.2.7加权回归的某些列，我们讨论了一个简单策略（16），其中所需的dollar与toeRi成正比。这种策略的一个潜在“缺点”是，平均而言，其头寸将由波动性股票主导。减少这种波动风险的一个想法是除以σiorσi（或σi的其他幂），其中σii，例如，前一个，更简单地说，Ri的历史波动性，即方差σi≡ C表示样本协方差矩阵的对角元素≡ hRi，Rji（38），其中共变h·，·i是在相应的Ri时间序列上计算的。这里有几句话要说。首先，如果我们不能，比如说，bRi≡eRi/σi，甚至IFRTν=0，通常我们没有BRTν=0，因此使用BRI而不是ERIN（16）通常会破坏美元中性属性（即t ha tPNi=1Di=0）。我们需要设法解决这个问题。第二，我们应该吃早餐吗≡eRi/σiorbRi≡eRi/ior还有别的吗？最后一个问题的首选答案是我们需要takebRi≡eRi/σi——或者更准确地说，我们稍后将讨论它的变体——当我们讨论优化时，其原因将变得很清楚。这可能会出现。当我们讨论因素模型和优化时，我们将在下面讨论这些微妙之处。一开始有点奇怪，因为退出风险的回报率应该是i/σi，注意i/σi。然而，σi的其他因素的额外抑制是什么最大化了夏普比率，我们将在下面更详细地讨论。目前，我们将把这一点视为理所当然，并压制σi带来的回报。我们需要弄清楚的是，如何确保我们在这个过程中不会破坏美元的中立性。一个答案是加权回归，其中R是在Ohm 威兹。我们有ε≡ R- Ohm Q-1.OhmTZ R（39）Z≡ diag（zi）（40）Q≡ OhmTZOhm （41）呃≡ Zε（42）这里εi是加权回归的残差。

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2022-5-6 15:46:56

另外，请注意nxi=1eRiOhmiA=0，A=1，K（43）如果截距包含在OhmiA，然后我们自动将Pni=1eRi=0。此外，如果我们take zi=1/σi，则与单位重量的累加情况相比，它们将被σi抑制。所以，现在我们的简单策略（16）不仅仅是美元中立，而是内置了风险管理。由此产生的持有量为中性。r、 t.负荷矩阵描述的风险因素Ohm此外，阿里巴巴不再被波动性股票所主导。这是一个真正的均值反转策略。我们将在下一节中更进一步。2.8如上所述，（16）只是指定回归回归回归序列的无数方法之一。如果回归包括截距，则ERI0的横截面平均值为0，因此（16）定义的策略是经济中性的。此外，如果按照第2.7小节对回归进行加权，则高波动性股票的贡献将被加权，从而提供风险管理。在这里，我们讨论其他一些均值反转策略，即指定Di的其他方法，仅用于说明目的（而不是作为详尽的调查）。一个简单的例子是“同等加权”滴滴=-γ符号（eRi）（44）当γ>0时，即我们买入负回归收益的股票，卖出正回归收益的股票，所有这些股票的绝对美元金额都等于我们在下一节中讨论的γ=i/NAs，这种情况是优化的某个极限。（这种平等源自第（13）条）。这种策略有一些明显的“缺点”。首先，它不一定是美元中性的：NXi=1Di=N-- N+NI（45），其中N+是正回归收益的股票数量，N-是负回归回报的股票数量，通常N+6=N-.

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2022-5-6 15:46:59

如果N较大，则假设N为正态分布--N+平均值为0，顺序标准偏差为√N、 mishedge（45）为I级/√N.为了N~ 2500，这个isof订单2%，可能太大了。为了实现美元中立，我们可以修改一些Di的值，例如，将其中一些设置为零。然后需要决定将哪些值设置为零。这就引出了该策略的第二个“缺点”：符号（x）在x=0范围内是不连续的，所以对于较小的区域，即使是较小的波动，也会出现不连续的符号。这种不稳定性可能导致不必要的投资组合周转（过度交易）和额外的交易成本，通常会降低策略的绩效。“平滑”这一点的一种方法是通过近似设计（x），例如tanh（x/κ）：Di=-γtanh（eRi/κ）（46），其中κ是eRi的横截面标准偏差。那么| eRi |<< κ这大约减少到（16），而对于| eRi|~>κ美元再次“缩水”。如果回归有单位权重，那么与波动性较小的股票相比，波动性较大的股票的平均e | eRi |更大，使用（46）相当于抑制波动性较小的股票的贡献，同时“同等”加权波动性较大的股票的贡献。如上所述，从风险管理的角度来看，这可能是不可取的。如果使用zi=1/σi对回归进行加权，那么与波动性较小的股票相比，波动性较大的股票的平均| eRi |被抑制，因此使用（46）amo unts来抑制波动性较大股票的贡献，同时“同等”加权波动性较小股票的贡献。在这种情况下，我们可以通过设置为零和/或适当缩小波动性较大的股票的DIR绝对值来实现美元中性。

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kedemingshi

2022-5-6 15:47:03

让我们提到，（46）通常比（16）（基于zi=1/σi的加权回归假设）离我们在下一节讨论的最优解更远。如果一个人将（44）（或（46）视为“平滑”版本，那么他也可以向相反的方向探索，并考虑，例如，Di=-γeRi | eRi |（47）这里基于加权回归——否则，港口的石油将过于波动。事实上，人们通常可以考虑di=-γeRif（eRi）（48）无论是由于一天到另一天的变化，还是由于计算的不确定性等，其中f（x）是某种函数。这种“非线性字母”通常用于量子交易。请注意，对于（44）和（46），（47）以及更一般的（48），需要额外的“体操”来实现美元中立。在（48）中选择f（x）没有“神奇处方”。在实践中，在任何给定的时间内，都有人会选择可以回溯的阿尔法，而阿尔法本质上是短暂的——从现在起工作的阿尔法可能在6个月后就不起作用了。这是一个不断变化的经验法则，而不是理论法则。这给我们带来了另一种指定Di的常用方法：排名。代替使用连续函数，例如（16）或（48），可以通过| eRi |分段排列。让这个整数秩为ri。然后我们可以取，例如：Di=-γ符号（eRi）ri（49）或者，我们可以为ri<r的股票设置Dito 0*. 我们在上文中就风险管理和美元中立性所做的评论也适用于基于排名的AlphasB。此外，可以考虑ri的非线性函数。在这方面，让我们也提到，在上面，我们在长期和短期持有之间对称地对待美元中性。这里也有其他的可能性。

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2022-5-6 15:47:07

例如，我们可以通过（16）等方式做多现金（即股票——更多的交易员术语），并做空一些多元化指数（如标准普尔500指数）的相同金额的期货——这就是所谓的标准普尔表现优于期货组合。在这种情况下，我们有下界Di≥ 0.类似地，我们可以做空指数的跟踪投资组合，而不是做空期货，例如，最小方差投资组合，其权重独立于股票预期收益。与其将空头头寸限制为指数的跟踪投资组合，还可以考虑对某些（多样化的）适当的交易范围使用最小方差。如上所述，有很多方法可以实现均值回归。在这里，我们关注的是“通过贬低实现均值反转”序列→ 回归→ 加权回归→ （受限）优化→ “因子模型”，这就引出了我们的下一个主题——优化。3.优化。1最大化Sharpe RatioLet Cijbe股票收益率Ri（ts），s=0，1，…，N个时间序列的样本协方差矩阵，M、这是最近的一次。下面的Ri指的是Ri（t）。设ψij为相应的相关矩阵，即Cij=σiσjψij（50），其中ψii=1。为了明确起见，让我们假设Riare每日收益率，尽管这不是一个关键假设。在这种情况下，实际投资组合由单个股票的净多头或空头头寸（来自多头头寸）和最小方差投资组合的短期头寸组成。如上所述，让我们以美元持有我们的订单。p=NXi=1RiDi（51）V=VuTutnxi，j=1CijDiDj（52）S=PV（53）给出了组合损益、波动率和夏普比率。相比于美元汇率，使用无量纲加权（无需将t与回归加权zi混淆）更方便≡DiI（54），其中I是投资水平。

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2022-5-6 15:47:10

持有权重满足条件nxi=1 | wi |=1（55）。长期持有权重为正，短期持有权重为负。就持有权重而言，损益和波动率由P=IeP给出≡ INXi=1Riwi（56）V=IeV≡ IvuutNXi，j=1Cijwiwj（57）为了确定权重，通常需要最大化夏普比：S→ max（58）假设（目前）wi上没有附加条件（例如上界或下界），在没有成本的情况下，（58）的解由wi=γNXj=1C给出-1ijRj（59）其中C-1是C的倒数，归一化系数γ由（55）确定。C的可逆性不应被忽视，我们将在稍后讨论这个问题。然而，现在，让我们假设C是可逆的。（59）的一个直接后果是，这些持有权重通常不对应于美元中性的投资组合。例如，如果Cijis对角线和所有Ri>0，则所有wi>0。更一般地说，没有理由解释为什么ni=1。因此，如果我们希望有一个美元中性的投资组合，我们需要最大化美元中性约束下的Shar-pe ratio。3.2线性约束；美元中立美元中立可以通过以下方式实现。首先，请注意，在所有持有权重同时重新调整的情况下，夏普比率是变化的→ ζwi，其中ζ>0。由于这种尺度不变性，夏普比最大化问题可以用最小化二次目标函数g（w，λ）的形式重新描述≡λNXi，j=1Cijwiwj-NXi=1Riwi（60）g（w，λ）→ min（61），其中λ>0是一个参数，最小值为w.r.t.wi。解由wi=λNXj=1C给出-1ijRj（62）和λ通过（55）固定。如果我们希望对wi施加约束，例如美元中性约束，则目标函数a方法是方便的。我们引入了anN×m矩阵和m拉格朗日乘子ua，a=1。

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2022-5-6 15:47:14

，m:g（w，u，λ）≡λNXi，j=1Cijwiwj-NXi=1Riwi-mXa=1NXi=1wiYiaua（63）g（w，u，λ）→ min（64）极小化w.r.t.wi和uanow给出了以下等式：λNXj=1Cijwj=Ri+mXa=1Yiaua（65）NXi=1wiYia=0（66），因此，我们有m个齐次线性约束（66）。如果Yia≡ νi=1，i=1，来点∈ {1，…，m}，那么我们就有了美元中立性。注意m可以是1。（65）和（66）的解由（用矩阵表示法）给出：w=λC-1.- C-1Y（YTC）-1Y）-1YTC-1.R（67）u=-（YTC）-1Y）-1YTC-1R（68）与之前一样，λ通过（55）固定。解（67）和（68）可以改写如下：ω=λΓ-1ρ（69）ωT≡wT，- λ-1uT（70）ρT≡RT，OT(71)Γ ≡cyyto（72）即ω和ρ是（N+m）-向量，而Γ是（N+m）×（N+m）矩阵；O是nilm向量，O是nilm×m矩阵。因此，线性约束可以通过简单地放大上述共变矩阵来处理。3.3作为约束对角线优化的回归现在让我们考虑协方差矩阵是对角线的情况：Cij=σiδij。然后（67）readsw=λZ- Z Y（YTZ Y）-1YTZR=λZε=λeR（73）这里是Z≡ diag（1/σi），εi是加权回归的残差，在N×m ma trix Yia（无截距——除非截距已经包含在Yia中）上，加权szi=1/σiof。这与我们在第2.7节中讨论的加权回归相同。因此，对角线（意思是，具有对角线协方差矩阵r ix）约束优化与具有loa-ding s矩阵的加权回归相同Ohm用约束矩阵Y识别，回归权重zi（不与保持权重wi融合）用回归变量R的逆变量识别。此外，持有权重由回归回归系数给出，回归系数通过（55）固定。

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何人来此

2022-5-6 15:47:19

如果约束矩阵包含截距（单位向量），则持有权重对应于美元中性投资组合。3.4作为优化限制的回归加权回归（39）、（40）、（41）和（42）的结构实际上与f因素模型有关。考虑一个辅助矩阵Θ≡ Ξ + ζ Ohm OhmT（74）Ξ≡ Z-1（75），其中ζ是一个参数。相反的是：Θ-1=Z- ζZOhm情商-1.OhmTZ（76）eQAB≡ δAB+ζNXi=1ziOhmiAOhmiB（77）上面我们考虑了齐次约束（66）。从技术上讲，同样的技巧也适用于形式pni=1wiYia+ya=0的非齐次约束。除了ρa=-λ是。然而，虽然这将为目标函数的最小化提供正确的解决方案，但这不再必然等同于在约束条件下最大化夏普比：后者显式地破坏了重新校准GSWI下的不变性→ ζwi（除非是≡ 0），这使我们能够根据目标函数最小化问题重写夏普比最大化问题，其中λ通过（55）固定。在存在不均匀构造的情况下，情况不再如此，需要额外注意——见第5节。然而，我们在这里不需要不均匀的约束。在ζ中→ ∞ 限制，这可以被认为是一个1/zi→ 0限制，我们有Θ-1=Z- ZOhm Q-1.OhmTZ（78）Q≡ OhmTZOhm （79）eR=Θ-1R（80），其中er是（42）中回归收益的向量。因此，回归确实是一个优化的极限，其中协方差矩阵由Θ给出。这是因子模型形式——有一个微妙之处，即（见下文）。3.5因子模型在多因子风险模型中，不是N个股票收益率Ri，而是K<< n风险系数和协变量矩阵Cijis由Θij代替，由Θ给出≡ Ξ+eOhm ΦeOhmT（81）Ξij≡ ξiδij（82），其中ξi为规范（也称为。

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何人来此

2022-5-6 15:47:23

每只股票的特殊风险；EOhmIa是一个N×k因子载荷矩阵；Φabi是因子协方差矩阵，A，B=1，K.I.e.通过N个随机过程χI（对应于特定风险）和K个随机过程fA（对应于因子风险）对与N个股票相关的r和OM过程ΥI进行建模：ΥI=χI+FXA=1eOhmiAfA（83）hχi，χji=Ξij（84）hχi，fAi=0（85）hfA，fBi=ΦAB（86）hΥi，Υji=Θij（87）我们现在有了一个K×K因子协方差矩阵ΦABOhm OhmT（88）Ohm ≡EOhmeΦ（89）eΦeΦT=Φ（90），其中eΦabi是ΦAB的Cholesky分解，假设为正有限。注意，在上一小节的符号中，我们选择了ζ=1的标准化。在因子模型方法中，用Θij代替样本协方差矩阵Cij（基于收益Ri的时间序列计算）。这样做的主要原因是，通常情况下，CIJ的反对角线元素在样本外不太稳定。在这方面，构建的因子模型协方差矩阵Θij预计会更加稳定。这是因为需要计算因子协方差矩阵Φabn的因子数为K<< N.此外，如果M<N（回想一下，M+1是每个时间序列中的观测数），那么Cijis是奇异的——在这种情况下，它只有M<N个非零特征值。注意，假设所有特定风险ξi>0，且因子协方差矩阵Φabi为正定义，则Θij自动为正定义（且可逆）。3.6因子模型优化因此，假设我们有一个因子模型协方差矩阵Θij。如果我们使用该因子模型协方差矩阵最大化Sharperatio，则得到的持有权重由（λ通过（55）固定）wi=λξiRi给出-NXj=1RjξjKXA，B=1OhmiAOhmjBeQ-1AB！（91）eQAB≡ δAB+NXi=1ξiOhmiAOhmiB（92）式-而不是Eqab的倒数。

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2022-5-6 15:47:27

与一般情况一样，这些持有权重不是美元中性的。3.6.1线性约束一般情况下，在因子模型上下文中，我们也可以合并多个（同质）线性约束（66）。让Ohmiα，α∈ H≡ {a}∪ {A} （即，指数α具有对应于指数A的m值和对应于指数A的K值）是以下N×（K+m）矩阵：Ohmia≡ Yia（93）bOhmiA≡ OhmiA（94）相应的保持重量由以下公式给出：wi=λξiRi-NXj=1RjξjXα，β∈血红蛋白OhmiαbOhmjβbQ-1αβ!（95）bQαβ≡ ναβ+NXi=1ξibOhmiαbOhmiβ（96）bq-1αβ是Bqαβ的倒数，且φAB=δAB，φAB=φaA=φaA=0。我们有NXi=1wiYia=NXi=1wibOhmia=Xα，β∈HNXj=1RjξjbOhmjβПaαbQ-1αβ=0（97），因此，持有权重将满足约束条件（66）。3.6.2带约束的优化约束条件（66）通常与风险管理相关。除了美元中性（即市场中性约束），其他约束通常是中性风险系数的要求。其他风险因素，例如行业中性、中性风险系数（例如规模、流动性、波动性、动量等）或其他非行业风险因素（例如基于主成分的风险系数或Beta）。在实践中，人们经常在YIAS中使用与因子负荷矩阵中相同的风险因子Ohm在因子模型中。如果是这种情况，那么在matr ixb中存在一定的冗余Ohm我是α，我们下一步就不谈了。由于我们可以通过任意非奇异m×m矩阵旋转约束（66），我们可以将这些约束分为两组，{a}={a′}n∪{a′\'≡J′∪ J′，这样的t hat Yia′与Ohm没有进一步的旋转可以使yia′与OhmiA:NXi=1ξiOhmiAYia′=0，A=1。

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何人来此

2022-5-6 15:47:30

，K，a′\'∈ J′（98）让我们假设J′不是空的——如果它是空的，我们仍然可以按照下面的步骤进行，除了在这种情况下′i=Ri（见下文）。让H′来≡ {A}∪ J′=H\\J′（回想一下H={A}∪{a} ）。那么我们有wi=λξiRi-NXj=1RjξjXα，β∈血红蛋白OhmiαbOhmjβbQ-1αβ!==λξiε′i-εj′ξ∈H′bOhmiα′bOhmjβ′bQ-1α′β′!（99）式中ε′i≡ 里-NXj=1RjξjXa′，b′∈J′Yia′Yjb′Q-1a′b′（100）Qa′b′≡NXi=1ξiYia′Yib′（101）更精确地说，通常使用非旋转因子加载seOhmiA——记得吗Ohm =EOhmeΦ，其中eΦ是因子协方差矩阵Φ的Cholesky分解。然而，旋转→ 由任意非奇异m×m矩阵UAB生成的Yu不改变约束条件（66）。Q-1a′b′是|J′|×|J′|mat r ix Qa′b′，a′，b′的逆∈ J′\'。因此，ε′i就是Ri在Yia′上回归的回归残差，回归权重为z′i≡ 1/ξi.换句话说，我们最初的约束优化已退化为约束优化，其中包含原始约束的子集Nxi=1wiYia′=0，a′∈ J′（102）但我们现在不是优化收益率Ri，而是优化回归残差ε′i。这是因为原始矩阵xbqαβ是块对角的：bQα′a′=0，α′∈ H′，a′∈ J′（103）bQa′b′=Qa′b′，a′，b′∈ 事实上，我们可以进一步分解这个。假设剩余荷载中的|J′|柱Yia′，a′∈ 因子loading s中列的J′

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kedemingshi

2022-5-6 15:47:35

那么就不难证明这一点了-1α′β′=D-1O-D-1E-1O I-我--1ETD-1.-I I+-1+ -1ETD-1E-1.（105）这里I是|J′|×|J′|单位矩阵，而O是|F′|×|J′| nil矩阵，D是|F′|×|F′| mat r ix，E是|F′|×|J′|矩阵，而是一个|J′|×|J′| mat r ix:D≡情商- E-1ET（106）等式\'A\'B\'≡ δA′B′+NXi=1ξiOhm′iA′Ohm′iB′，A′，B′的∈ F′（107）EA′b′≡NXi=1ξiOhm′是啊，是啊∈ F′，b′∈ J′（108）a\'b\'≡NXi=1ξiYia′Yib′，a′，b′∈ J′（109）因此我们有（在矩阵表示法中——这里Y指的是Yia′矩阵）w=λΞ-1.- Ξ-1.Ohm′D-1.Ohm′- Ohm′D-1E-1YT- Y-1ETD-1.Ohm′++ Y-1+ -1ETD-1E-1.YTΞ-1.ε′（110）更进一步，w=0（111）事实上，（110）对应于优化残差ε′i，使用具有相同特定风险的简化因子模型，但因子载荷由Ohm′iA′Θ′ij≡ ξiδij+K′XA′=1Ohm′iA′Ohm′受约束的jA′（112）nxi=1wiYia′=0，a′∈ J′（113）该优化问题的解由wi=λξiε′i给出-NXj=1ε′jξjXα*,β*∈F*BOhmiα*BOhmjβ*bQ-1α*β*!（114）其中F*≡ F′∪J′（sof*as a set与{a}相同，但我们使用了一个不同的not，以避免混淆），我们有bOhmiα*α*=A′≡ Ohm′iA′，bOhmiα*α*=a′≡ Yia′，和Bq-1α*β*=D-1.-D-1E-1.--1ETD-1.-1+ -1ETD-1E-1.（115）那么wiin（110）和（114）是相同的。总之，对factor loa ding smatrix中的列进行了优化Ohmi对应于Yiaomitted中的列。3.7 Pitfillsso，如果我们使用因子加载矩阵Yia运行约束优化，会发生什么？也就是说，m=K，指数a取的值与指数a相同，而yia | a=a=Ohm伊莉亚。

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大多数88

2022-5-6 15:47:38

（如果我们希望保持美元中立，我们只需假设Ohmi包含拦截。）在这种情况下，使用上一小节的结果：wi=λξiRi-NXj=1RjξjKXA，B=1OhmiAOhmiBQ-1AB！（116）QAB≡NXi=1ξiOhmiAOhmiB（117）那么，在回归权重zi=1/ξi.3.7.1特定风险或总风险的加权回归中，WI是相同的？在优化背景下，（116）中的回归权重自然得出zi=1/ξi，是特定波动率平方的倒数，而不是总波动率（即zi6=1/σi）。这解决了第3.4小节末尾提到的微妙之处。然而，在因子模型上下文之外的加权回归中使用zi=1/σi，从本质上讲没有什么错。除非因子模型可用或精心构建，否则具体风险未知。在这种情况下，总风险可以用作回归权重，并且通常可以这样使用。3.7.2回归残差的优化与在优化中施加约束不同，人们可能会首先重新考虑（某些）因素负荷OhmiAto获得回归残差εi，并基于这些残差（与收益Ri相反）进行优化。这里的理论是，回归回归系数Seri=ziεi（其中zi是回归权重）是中性的w.r.t.回归中使用的贷款。然而，除非正确执行，否则产生的保持重量将不会是中性的l w.r.t。OhmiAas的优化通常会破坏任何这种中立性。因此，考虑以下策略：εi≡ R- Y（YTZ Y）-1YTZ R（118）Z≡ diag（zi）（119）wi≡λξiεi-NXj=1εjξjKXA，B=1OhmiAOhmjBeQ-1AB！（120）eQAB≡ δAB+NXi=1ξiOhmiAOhmiB（121）在这里，我们有目的地将负荷保持在加权回归（上述方程）中，不同于因子负荷OhmiAin the Optimization（第三个等式）。

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2022-5-6 15:47:41

注意，优化是在回归残差εi上进行的，而不是在返回Ri上。如果重新计算的目的是保持重量为中性w.r.t.Yia，则为了确保这一点，矩阵Yiamust与OhmiA（模非物质旋转——见脚注14），即m=K，回归权重zi不能被接受，但必须被视为反向特定方差：zi=1/ξi。事实上，从（118）中，我们得到了nxi=1eRiOhmiA=0（122）eRi≡ ziεi=ξiεi（123），因此wi=λeRi（124）NXi=1wiOhmiA=0（125），即，回归残差的优化（达到总体比例常数1/λ）简单地减少到回归回归序列I，即中性w.r.t。Ohm伊莉亚。4“Intermezzo”在第二节中，我们从简单的配对交易开始，到最后一节结束时，它的参与程度大大增加。这个tr端将在以下部分继续，所以这是一个“间奏曲”的好地方。我们会尽量保持低调。所以，考虑两种股票，A和B。让它们的（样本）协方差matr ix beC=σAρσAσBρσAσBσB（126）这里σa和σ表示挥发性，ρ表示相关性。让我们的portf olio在A和B中持有A和DBdollar。让Ra和RB为A和B的预期回报。然后该投资组合的预期夏普比率isS=DARA+DBRBp（σADA）+（σBDB）+2ρ（σADA）（σBDB）（127）由DA=γ最大化RAσA-ρRBσAσB（128）DB=γRBσB-ρRAσAσB（129）这里γ>0是一个任意常数，这是同时重新校准DA时，太阳不变性的结果→ ζDA，DB→ ζDB（ζ>0），通过|DA |+|DB |=I的要求固定，其中I是投资水平。现在让我们假设波动率是相同的：σA=σB≡ σ. 我们有da=γσ（RA- ρRB）（130）DB=γσ（RB）- ρRA）（131）作为ρ→ 1.我们有DA+DB→ 0，这是Dollar中立条件。

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2022-5-6 15:47:46

那么，S→ 最大优化，在波动率相同且相关性为1的极限下，产生一个美元中性的投资组合。怎么会？两个答案。首先，当σA=σ带ρ=1时，共变矩阵C是奇异的。与零特征值相对应的IGenvector为VT=（1，- 1）在这个方向上，投资组合的波动性消失，夏普比率趋于一致（见下文）。这就是为什么DB=-使夏普比率最大化。其次，我们可以将其与第3.4小节联系起来。考虑两种股票a和B的单因素模型：Θ=Ξ+ζOhm OhmT、式中，Ξ=diag（ξA，ξB），和OhmT=（1,1）。然后（126）中的Θ=C，σA，B=ζA，B+ζ，ρ=ζ/（σAσB）。在ζ中→ ∞ 极限（ξA和ξB固定）我们有σA，B→ ζ ≡ σ、和ρ→ 1.同上。另一方面，正如我们在第3.4小节中所看到的，在这个极限优化中，减少了Ohm, 这只不过是拦截，因此是美元中立。5成本优化5。1线性成本由于我们忽略了交易成本。让我们从添加线性成本开始：P=NXi=1RiDi-NXi=1eLi | Di- D*i |（132）其中，每只股票每交易一美元，包括所有固定交易成本（证券交易费、交易所交易费、经纪人-交易商费用等）和线性滑动。线性成本假设没有影响，也就是说，交易不会影响股价。此外，Diare还持有所需的美元资产，以及D*我是目前持有的美元。出于优化目的，如上所述，处理持有权重比处理美元持有量更方便。莱特利≡ 我是李迪≡ 我和威德*我≡ 我*i、然后nep=PI=NXi=1Riwi-NXi=1Li | wi- W*i |（133）作为一个上例，我们可以有约束nxi=1wiYia=0，a=1，m（134）我们假设当前持有量满足相同的约束条件：NXi=1w*iYia=0，a=1，m（135）这包括建立tr（w*我≡ 0).

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nandehutu2022

2022-5-6 15:47:49

我们有wi的归一化条件（55），但不一定是w*即（例如，如果该职位正在设立）。对于ρ=±1，如果RA6=±RB，夏普比率变为单位：波动性消失forDB=DA（回想一下σA=σB）。如果RA=±RB，那么为了优化目的，两个仪表A和–长为加号，短为减号–B是不可区分的。为简单起见，假设买卖的交易成本相同。5.2具有成本和同质约束的优化更一般地说，成本可以由wi的某些函数f（w）建模，该函数也依赖于当前的持有权重w*i、但这种依赖的确切形式在这里并不重要。我们有EP=NXi=1Riwi- f（136）一般来说，成本破坏了Sharpe-ra-tioS=ePeV=PNi=1Riwi的不变性- fqPNi=1Cijwiwj（137）在重缩放wi下→ ζwi（ζ>0），只有一个例外f（w）=f特殊（w）：f特殊（w）≡NXi=1Li | wi |（138），其中为正常数。当我们只有直线成本且当前持有量为零时，成本就是这种形式的，即这是一种建立性交易。下面我们假设f（w）不是这种形式。在没有重标度不变性的情况下，在重写目标函数最小化的梯度最大化问题时需要小心。夏普极大化问题是这样的：≡ S+mXa=1NXi=1wiYiaua+euNXi=1 | wi |-1.我们需要最大限度地提高水资源利用率。

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2022-5-6 15:47:53

wi和拉格朗日乘数ua和eu，得出：eV“Ri- 菲- λNXj=1Cijwj#+mXa=1Yiaua+eusign（wi）=0（140）NXi=1wiYia=0（141）NXi=1 | wi |=1（142）λ≡PNi=1Riwi- fPNi=1Cijwiwj（143）fi≡Fwi（144）实际上，仅当wi6=0时，定义了广泛竞争，例如，在线性成本为wi6=w的情况下*i–详见第6.2小节。如果我们将第一个方程乘以wi和i之和，我们得到eu=eV“NXi=1fiwi- f#（145）除非f（w）有特殊形式（138），我们假设不是这种情况，那么通常eu6=0。我们仍然可以通过最小化以下目标函数（w.r.t.wi和拉格朗日乘数u′a和eu′）：g（w，u′，eu′，λ′）来正式地重新计算夏普比最大化≡λ′NXi，j=1Cijwiwj-NXi=1Riwi+f--mXa=1NXi=1wiYiau′a- eu′NXi=1|wi|- 1.（146）g（w，u′，eu′，λ′）→ w1cj′最小化方程- Ri+fi-mXa=1Yiau′a- eu′符号（wi）=0（148）NXi=1wiYia=0（149）NXi=1|wi|=1（150）将第一个方程乘以wi并对i求和，我们得到eu′=λ′NXi，j=1Cijwiwj-NXi=1[Ri- fi]wi（151）那么这个说法就是存在一个λ′的值，对于这个值，最小化目标函数会产生与最大化Sharpe rat io相同的wi解。该值由λ′=λ给出，其中λ由（143）表示，wi对应于最优解，即最大夏普-拉特io解。然后我们得到λ′=λ（152）u′a=eVua（153）eu′=eV eu=NXi=1fiwi- f（154）然而，这句话的实用价值是有限的——除非我们解决了Sharperatio最大化问题，否则我们不知道λ是什么。夏普比最大化问题是一个高度非线性的问题，容易出现常见的非线性不稳定性。另一方面，在最小化目标函数方面，我们可以将λ′视为参数。

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2022-5-6 15:47:56

然后，最大化Shar-pe比率的问题变成了一个一维问题，即求出Sharpe比率最大的λ′的值。5.2.1陷阱由于在存在成本的情况下，重标度不变性丢失，因此以下最小化（w.r.t.wiand Lagrangeru′\'a）不会给出最大夏比解：例如（w，u′，λ′）≡λ′\'NXi，j=1Cijwiwj-NXi=1Riwi+f--mXa=1NXi=1wiYiau′a（155）eg（w，u′，λ′）→ min（156）假设（142）满足λ′值的最小化条件的解给出了最大夏普比解，这似乎是实际应用中的一个常见错误。为了简单起见，我们假设不存在线性约束（141）。那么我们有λ′\'NXj=1Cijwj- Ri+fi=0（157）将该方程乘以wi并对i求和，我们得到λ′=PNi=1[Ri- fi]wiPNi，j=1cijwwj（158）那么，为了使这个解与（148）相吻合（即没有齐次约束（141），我们必须有pni，j=1cijwwjnxj=1Cijwj=sign（wi）（159），其中我们考虑了eu′6=0–参见（154）。把（159）插回（157），我们得到了- fi=γ符号（wi）（160）γ≡NXi=1[Ri- 然而，对于一般形式的f（w），这是不可能满足的。例如，在线性成本的情况下，sf（w）=flinear（w）≡NXi=1Li | wi- W*i |（162）我们不能有Ri- Lisign（威斯康星州）- W*i） =γ符号（wi）表示所有i=1，N.因此，最小化目标函数（155）不会产生最大夏比解。最小化的正确目标函数是（146），其中λ′被视为一个参数，其值通过一维搜索算法固定，从而使夏普比最大化。5.2.2全局与局部选择函数假设成本函数f（w）是凸的，“错误”目标函数f（155）是凸的w.r.t.wi，因此它具有唯一的局部最小值。

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