具有连续期限和交易成本的均值回归交易

2022-6-1 03:06:23

具有连续期限和交易成本的均值回归交易*Tim Leung+2018年1月9日摘要我们研究了均值回复价格过程交易的最佳时机策略，该过程具有进入市场的最后期限和退出市场的单独最后期限。价格过程由一个带有一个有效漂移的分歧来建模，该漂移封装了许多著名的模型，包括Ornstein-Uhlenbeck（OU）模型、Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型、Jacobi模型和非均匀几何布朗运动（IGBM）模型。我们分析了三种交易策略：（i）长-短（长-开，短-关）策略；（ii）空头-多头（空头-开盘，多头-收盘）策略，以及（iii）选择者策略，交易员可以通过多头或空头头寸进入市场，然后平仓。对于每种策略，我们都解决了一个具有连续截止日期的最优双停问题，并确定了最佳交易时机。我们的求解方法利用Peskir（2005）的局部时空演算推导出唯一表征交易边界的Volterra型非线性积分方程。积分方程的数值实现提供了最佳交易边界的示例。JEL分类：C41、G11、G12MSC2010：初级91G20、60G40。次级60J60、35R35、45G10。关键词：价差交易、最优止损、均值回归、自由边界问题、本地时间*波士顿大学奎斯特伦商学院，波士顿MA 02215；电子邮件：yerkin@bu.edu.通讯作者+华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图98195；电子邮件：timleung@uw.edu.1.

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2022-6-1 03:06:26

简介各种市场中的一大类交易策略，包括股票、货币、固定收益和期货市场，基于利用资产价格的均值回复行为。均值回复价格过程可以是单个资产或衍生品的价格过程，也可以是两个或两个以上高度相关或联动资产（如股票或交易所交易基金（ETF））中同时持仓的投资组合，也可以是期货和掉期等衍生品的价格过程。在许多实证研究中可以找到均值回复价格的一些实际例子，包括成对的股票和/或ETF（Gatev等人，2006；Avellaneda和Lee，2010；Montana和Triantafyllopoulos，2011；Leung和Li，2016），期货和现货之间的差异（Brennan和Schwartz，1990；Dai等人，2011），实物商品和商品股票/ETF之间的价差（Kanamura等人，2010年；Dunis等人，2013年）。还有一些自动识别均值回复投资组合的方法（d\'Aspremont，2011）。在本文中，我们研究了在进入和退出市场的最后期限有限的情况下，交易均值回复价格过程的最佳时机问题。我们考虑了一个具有一个有效漂移的广义平均回归差分，该漂移封装了许多著名和重要的模型，包括Ornstein-Uhlenbeck（OU）模型（Ornstein和Uhlenbeck，1930），Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型（Cox et al.，1985），非均匀几何布朗运动（IGBM）模型（Zhao，2009；Ngoa和Pham，2016），以及Jacobi模型（Ackerer et al.，2016）。我们分析了三种交易策略：（i）多空策略；（ii）短长策略，以及（iii）第3、4和5节中的选择者策略。在多空（分别为空头和多头）策略中，交易者承诺首先建立多头（分别为空头）头寸，然后以相反的头寸平仓。

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2022-6-1 03:06:29

此外，我们认识到，交易员的决策中有一个选择选项，交易员可以通过多头或空头仓位进入市场。我们认识到，交易员进入市场（多头/空头）后，随后的退出规则必须与多头/空头策略的退出规则一致。这导致我们检查此选择器策略下的相关输入时间。此外，我们在考虑的任何策略下，在每笔交易中纳入固定交易成本。我们交易问题的另一个特点是引入了进入和退出的连续截止日期。因此，交易员平仓的可用时间是固定的，与持仓时间无关。在我们的相关研究中，Kitapbayev和Leung（2017）分析了类似的交易问题，但没有交易成本，交易者面临着所有交易决策的相同期限。因此，交易者越早进入市场，离开的时间就越多。相反，如果交易者进入市场的时间较晚，那么离开市场的时间就会更少。特别是，如果第一笔交易在非常接近最后期限的时候执行，那么交易方很有可能在最后期限而不是在最佳边界结束交易。相比之下，本文中的交易者有相同的固定时间窗口来平仓，而不考虑进场时间。此外，在没有交易成本的情况下，Kitapbayev和Leung（2017）中的chooserstrategy下的交易问题是微不足道的，因为它可以分解为两个不耦合的单停问题，而不是当前论文中有交易成本的顺序/双停问题。

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2022-6-1 03:06:33

此外，我们目前的公式和解决方案方法提供了更多的分析和计算可处理性，以便即使具有交易成本和完全不进入选项的特征，也可以完全解决交易问题（见下文第5节）。Kitapbayev和Leung（2017）第6节中，这一特殊情况（但只有一个最后期限）作为一个未决问题没有得到解决。对于每种策略类型，我们解决一个有限期最优双停问题来确定最优交易策略。与某些相关的均值回归交易问题相比，在有限的交易期限内（Zhang和Zhang，2008；Ekstrom et al.，2011；Leung和Li，2015；Leung et al.，2014，2015；Czichowsky et al.，2015），无法预期封闭式解决方案。因此，我们提供了唯一描述值函数和对应于双停止问题的最优策略的分析表示。具体而言，oursolution方法采用Peskir（2005）的局部时空演算，推导出唯一表征交易边界的Volterra型非线性积分方程。Peskir（2005）的局部时空演算也曾应用于多停止问题背景下的交易和期权定价应用中（De Angelis和Kitapbayev，2016；Kitapbayev和Leung，2017）。据我们所知，定理3.5、4.3和5.1中总结的值函数和最优入口/出口边界的结果表示是新的。此外，我们还讨论了积分方程的实现以及由此产生的数值例子。特别是，我们证明，当交易者有更多的时间等待进入市场时，价值函数会增加，但随着交易时间的延长，增值会减少（图3）。

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2022-6-1 03:06:36

我们还从数字上发现，与多空或多空策略相比，选择者选项会扩大交易者的持续（等待）区域，这意味着使用选择者选项，无论第一个仓位是长仓位还是短仓位，都可以推迟市场进入（图5）。我们的论文有助于不断增长的关于有限期均值回归交易的文献。Elliott等人（2005年）通过OrnsteinUhlenbeck（OU）过程的首次通过时间对市场进入时机进行建模，并指定市场退出的固定未来日期。Song等人（2009年）提出了一种数值随机近似方案，以确定有限期内的最优低买高卖策略。关于均值回复现货期货交易，Leung et al.（2016）和Li（2016）讨论了一种涉及使用有限差分方法数值求解一系列变量不等式的方法。Dai等人（2011年）认识到未来和现货之间的汇合价差，提出了一个布朗桥模型，以确定获取价差的最佳时机。它们还将选择器选项嵌入到交易问题中。2、问题概述我们确定了一个有限的交易期限[0，T]和过滤的概率空间(Ohm, F、（Ft），P），其中Pis是代表交易者信念的主观概率度量，和（Ft）0≤t型≤这是标准布朗运动（Bt）产生的过滤≥0、让我们为基础资产价格过程X定义相应的状态空间I=（a，b），其中a<b可能是有限的，也可能是有限的。我们还允许I处于关闭/打开或半关闭/打开间隔。我们通过均值回复差异过程dxt=u（θ）对资产价格X进行建模-Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=X∈ 一、（2.1）其中常数参数u>0和θ∈ 一、分别表示过程的均值回归速度和长期均值。

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2022-6-1 03:06:39

扩散系数σ（x）为局部Lipchitz，满足线性增长条件。后者保证了（2.1）强解的存在唯一性。该框架包含三个重要模型：当σ（x）时的OrnsteinUhlenbeck（OU）模型≡ σ（x）=σ时的Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型√x和I=IR+，当σ（x）=σx和I=IR+，时的非均匀几何布朗运动（IGBM）模型，以及当σ（x）=σp（x）时的所谓雅可比模型- a）（b）- x）/(√b-√a） I=（a，b）。在任何固定时间u≥ t型≥ 0，我们表示随机变量Xt，xuas为xugienxt=x的值，并且对于ex和x，它有一些概率密度函数p（ex；u，x，t）∈ 一、 Xt，xu的平均函数用m（u）表示-t、 x）=E[Xt，xu]，其中E是P下的期望值。众所周知，m（u-t、 x）=xe-u（u-t） +θ（1-e-u（u-t））。（2.2）X的微元运算符为lxf（X）=u（θ-x） F′（x）+σ（x）F′（x）（2.3）表示x∈ I和任意函数F∈ C（I）。在观察均值回复价格过程X时，交易者可以通过在X中建立头寸来选择进入市场的时机，但她必须在给定的死线T>0时或之前这样做。根据交易者类型和X所属的市场，这一最终期限可以短至分钟和小时，也可以长至天和周。如果交易者发现最好不要在T之前进入市场，她可以在没有空头头寸的情况下等待超过时间T，然后重新考虑交易问题。如果交易者在时间τ建立X头寸≤ T、然后，她需要随后在长度T′>0的固定时间窗口内关闭该位置。更准确地说，她必须在时间τ+T′之前清算。

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2022-6-1 03:06:42

总之，交易者面临一系列两个有限期的最佳时机问题，为此，她需要确定进入和退出市场的相应最佳时间。我们分析了三种交易策略：（i）多空策略，即交易者首先在价差中持有长期头寸，然后反转头寸以收盘（第3节）；（ii）做空多头策略，即交易者做空利差开始，然后通过采取相反（多头）头寸（第4节）收盘，以及（iii）选择者策略，即交易者进入市场时可以在利差中采取多头或短头头寸（第5节），然后通过采取相反头寸进行清算。自始至终，交易员被假设为风险中性，并寻求最大化P下的预期贴现线性回报。在我们所有的交易问题中，我们还将固定的交易成本纳入进出口，因此，只有当交易的预期收益超过费用时，交易员才有理由开仓。否则，交易者将发现根本不进入是最佳选择。这也允许我们检查交易成本对均值回归交易机会价值的影响。3、最优多空策略在本节中，我们考虑多空策略，即交易者在截止日期T之前的任何时间τ买入多头头寸，然后在长度T′的时间窗口内平仓。我们通过后向诱导顺序地描述这个问题。假设交易者已经在X中建立了多头头寸。为了在T′之前找到平仓的最佳时间，交易者解决了最优止损问题（3.1）V1，L（X）=sup0≤ζ≤T′Ehe公司-rζ（Xxζ- c） i，对于x∈ I其中，ζ是一个停止时间w.r.t。过滤（Ft）和c>0是固定交易成本。

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2022-6-1 03:06:45

价值函数V1，lr表示X中多头头寸的预期价值，并带有在截止日期T′之前清算的计时选项。追溯时间，为了建立这一多头头寸，交易者需要支付X的现行价值加上交易成本c。因此，在进入时间τ，交易者支付Xτ+c，并获得最大预期值V1，L（Xt，Xτ）的多头头寸。因此，差异（V1，L（Xt，xτ）- Xt，xτ- c）可以看作是交易者在一次交易中获得的回报。当然，交易者只有在这种差异严格为正的情况下才能进入；否则，交易者有权在截止日期T之前根本不进入。因此，交易者的最优进入时机问题由（3.2）V1，E（t，x）=supt给出≤τ≤特赫-r（τ-t）（V1，L（Xt，xτ）-Xt，xτ-c） +i，用于（t，x）∈ [0，T]×I，其中τ是过滤（Ft）的停止时间w.r.T。如果贸易商选择进入市场，她必须在最后期限T或之前进入。我们首先在第3.1节中讨论最优退出问题（3.1）的解决方案，然后在第3.2.3.1节中讨论最优进入问题（3.2）。最优退出问题我们现在解决（3.1）中的最优退出时机问题。为此，让我们通过（3.3）V1，L（t，x；t′）=支持来定义V1，L（x）的时间相关版本≤ζ≤T′Ehe公司-r（ζ-t）（Xt，xζ- c） i，对于t∈ [0，T′）和x∈ 所以V1，L（x）=V1，L（0，x；T′）。Kitapbayev和Leung（2017）第3.1节中的OU过程已经解决了这个问题，尽管我们简要地扩展了（2.1）中描述的其他均值回复过程的结果。

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2022-6-1 03:06:47

让我们首先应用伊藤公式和可选采样定理来获得-r（ζ-t）（Xt，xζ- c） i=x- c+EZτte-r（s）-t） H1，L（Xt，xs）ds,（3.4）对于t∈ [0，T′）和x∈ I其中，函数H1，Lis是由H1定义的x中的一个函数，L（x）=-（u+r）x+uθ+rc。（3.5）我们还定义了函数H1，Lbyx的唯一根*:=（uθ+rc）/（u+r）。（3.6）我们注意到，不能保证x*∈ I=（a，b）。当x*在状态空间之外，我们将场景总结如下。提案3.1。如果x*≤ a、然后H1，Lis在I上始终为负值，最好是在t=0时确定位置。如果x*≥ b、然后H1，Lis在I上始终为正，最好等到结束，然后从t=t′的位置退出。备注3.2。我们注意到，对于r和c的通常值，根x*接近θ，属于toI。此外，这一命题与OU模型无关，因为I=IR和琐碎的情况是自动排除的。我们还注意到，有一种情况可能导致x*≥ b是指交易成本c非常高的时候（见（3.6））。那么，在最后期限T′之前退出是有经济意义的，因为交易者会坦白支付大额费用。其次，如果无风险利率r非常大，且a为正有限，则x*倾向于c。如果额外的c<a，那么从财务上来说，立即退出是很直观的，如提案3.1（i）所示，因为交易者更愿意现在就获得现金，并以高利率将其投资到银行账户。因此，为了排除两个无关紧要的情况，在下面的情况中，我们假设x*∈ （a、b）。现在让我们定义函数K1，L（t，u，x，z）：=- e-r（u-t） E类H1，L（Xt，xu）1{Xt，xu≥z}(3.7)= - e-r（u-t） Zb公司∧∞zH1，L（ex）p（ex；u，x，t）指数，用于u≥ t>0和x，z∈ 一、其中p是Xt的概率密度函数，xuand theoreblow总结了最优退出问题的解。定理3.3。

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2022-6-1 03:06:50

（3.3）的最佳停车时间由ζ1，L给出*= inf{t≤ s≤ T′：Xt，xs≥ b1，L（s）}，（3.8），其中函数b1，L（·）是最优出口边界，可以描述为Volterra型非线性积分方程的唯一解b1，L（t）-c=e-r（T-t） m（t′）-t、 b1，L（t））+ZT′tK1，L（t，u，t，b1，L（t），b1，L（u））du，对于t∈ 连续递减函数类T 7中的[0，T′]→ b1，L（t）（3.10）b1，L（t′）=x*.值函数V1，Lin（3.3）允许表示V1，L（t，x；t′）=e-r（T′）-t） m（t′）-t、 x）+ZT′tK1，L（t，u，x，b1，L（t+u））du，（3.11）表示t∈ [0，T′]和x∈ 一、我们还记得V1，L（t，x）和b1，L（t）在[0，t′）×I中解决了以下自由边界问题：V1，Lt+LXV1，L-rV1，对于x<b1，L=0，L（t），（3.12）图1。最优出口边界b1，L（t），t∈ [0，T′），对应于通过数值求解U模型下的积分方程（3.9）计算的长短策略问题。参数为：T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，σ=0.16，b1，L（T′）=x*= 0.539669. 使用间隔为[0，T′]的500步时间离散化。V1，L（t，b1，L（t））=b1，L（t）- c代表t∈ [0，T′，（3.13）V1，Lx（T，b（T））=1表示T∈ [0，T′，（3.14）V1，L（T，x）>x- 对于x<b1，L（t），（3.15）V1，L（t，x）=x- c代表x≥ b1，L（t）。（3.16）根据Kitapbayev和Leung（2017）的定理1，我们具有以下性质：V1，Lis连续于[0，T′）×I，（3.17）x 7→ V1，L（t，x）是递增的，并且对于每个t在I上是凸的∈ [0，T′，（3.18）T 7→ V1，L（t，x）每x在[0，t′]上递减∈ 一、（3.19）t 7→ b1，L（t）在[0，t′]上递减且连续，b1，t=x*.（3.20）图1显示了最佳出口边界b1、L（t）和t∈ [0，T′），通过数值求解OU模型下的积分方程（3.9）（即σ（x））获得≡ σ). 正如（3.20）所预期的那样，边界在[0，T′]上递减且连续，极限b1，L（T′）=x*= 0.539669（见（3.6））。

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2022-6-1 03:06:54

有趣的是，这一限制取决于长期平均θ和平均逆转速度u，以及利率r和交易成本c，但它不取决于波动性参数σ。事实上，由于定理3.3适用于一般波动率函数σ（x），这意味着具有相同参数值（θ、u、r、c）但σ（x）不同规格的均值回归模型仍将具有（3.10）在T′处给出的相同限值。这是线性支付的结果，因此函数H1，ldo不依赖于σ（x）。3.2. 最优进入问题求解了最优退出时机问题的值函数V1，L（t，x；t′），我们得到了（3.21）V1，L（x）=V1，L（0，x；t′），x∈ 一、使用（3.11）。反过来，V1，L（x）是最优进入问题的输入。事实上，我们回忆起（3.2），并用G1表示条目Payoff函数，E（x）=（V1，L（x）- x个- c） +，x∈ 一、（3.22）然后，从以下最优停止问题（3.23）V1，E（t，x）=supt中找到进入市场的最佳时机≤τ≤特赫-r（τ-t） G1，E（Xt，xτ）i，其中上确界接管所有（Ft）-停止时间τ∈ [t，t]。我们定义了阈值γ1，Las方程V1，L（x）的唯一根-x个-c=0，因此使用V1的凸性，Lwe可以重写G1，E（x）=（V1，L（x）- x个- c） 1{x<γ1，L}，（3.24）对于每x∈ 我

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2022-6-1 03:06:58

换言之，当X>γ1时进入头寸是不合理的，预期收益为负，因此根本不交易的策略严格控制着即时进入。让我们分别定义连续区域和入口区域，C1，E={（t，x）∈ [0，T）×I:V1，E（T，x）>G1，E（x）}，（3.25）D1，E={（T，x）∈ [0，T）×I:V1，E（T，x）=G1，E（x）}。（3.26）那么（3.23）中的最佳进入时间由τ1，E给出*= inf{t≤ s≤ T：（s、Xt、xs）∈ D1，E}。（3.27）我们采用曲线上的局部时空公式（Peskir，2005））计算e-r（s）-t） G1，E（Xt，xs），可选采样定理和b1，L（0）处的平滑特性（3.14），以获得-r（τ-t） G1，E（Xt，xτ）i=G1，E（x）+EZτte-r（s）-t） H1，E（Xt，xs）ds（3.28）+EZτte-r（s）-t）（1）- V1，Lx（Xt，xs））dlγ1，Ls,对于t∈ [0，T），x∈ I和过程X的任意停止时间τ。函数H1，Eis定义为H1，E（X）：=（LXG1，E-rG1，E）（x）表示x∈ 一、由（3.24）和（3.12）得出asH1，E（x）=（（u+r）x- uθ+rc）1{x<γ1，L}，（3.29）表示x∈ 一、我们定义其根x*= (uθ - rc）/（u+r）≤ x个*. 在（3.28）中，我们还介绍了当地时间(lγ1，Ls）s≥t过程X花费在γ1，L，即，lγ1，Ls：=P- limε↓02εZst{γ1，L-ε<Xt，xu<γ1，L+ε}d hxu。（3.30）为了排除退化情况，我们提供以下命题。提案3.4。如果x*∧γ1，L≤ a、然后H1，Eis在I上总是非负的，最好等到结束，然后在t=t时输入。如果x*∧ γ1，L≥ b、那么H1，Eis总是在I上为负，并且本地时间项为零，因此最好在t=0时立即输入。从现在起，我们假设x*∧ γ1，L∈ （a、b）。在这种情况下，当x<x时，函数H1，Eis为负值*∧γ1，L。当x*∧γ1，L<Xsas H1，eisno负值，且当地时间项始终为非负值。此外，在T附近，当Xs<x时，最好立即进入*∧ γ1，l由于缺乏时间来补偿负H1，E。

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2022-6-1 03:07:01

这给出了T处运动边界的终端条件（见（3.42））。我们还注意到，ifa=-∞, 方程式（3.28）表明，对于所有t∈ [0，T），对于大的负x，被积函数H1，Eis是非常负的，因此最好是立即进入，因为存在有限的截止时间T。由于支付函数G1，ean和基础过程x是时间同质的，我们有入口区域D1，Eis是右连接的。接下来，我们显示D1，Eis是下连接的。让我们假设T>0，x<y<x*∧ γ1，l等于（t，y）∈ 然后，通过入口区域的右连通性，我们得到了（s，y）∈ D1，对于任何s>t都很好。如果我们现在运行进程（s，Xs）s≥t从（t，x）开始，我们不能达到x级*∧ γ1，l在进入之前（x<y），因此（3.28）中的本地时间项为0，被积函数H1，Eis在τ1，E之前严格为负*. 因此，它与（t，x）处的入口是等价的，我们得到了入口区域D1，E的下连通性。因此，存在一个最优入口边界b1，Eon[0，t]，并且相应的停止时间τ=inf{t≤ s≤ T:Xt，xs≤ b1，E（s）}，（3.31）对于进入时间问题（3.2）和≤ b1，E（t）<x*∧γ1，Lfor t∈ [0，T）。

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2022-6-1 03:07:04

此外，b1，Eis在[0，T]和b1，E（T）上增加-) = x个*∧ γ1，L。值函数V1，ean和边界b1，E解决以下自由边界问题：V1，Et+LXV1，E-rV1，E=0，在C1，E，（3.32）V1，E（t，b1，E（t））=V1，L（t，b1，E（t））-b1，E（t）-c代表t∈ [0，T），（3.33）V1，Ex（T，b1，E（T））=V1，Lx（T，b1，E（T））-t为1∈ [0，T），（3.34）V1，E（T，x）>C1，E中的G1，E（x），（3.35）V1，E（T，x）=G1，E（x）在D1，E中，（3.36），其中连续集C1，ean和输入区域D1，Eare由C1给出，E={（T，x）∈ [0，T）×I:x>b1，E（T）}，（3.37）D1，E={（T，x）∈ [0，T）×I:x≤ b1，E（t）}。（3.38）使用标准参数，可以得出V1，Eis在[0，T]×I，（3.39）x 7上连续→ V1，E（t，x）对于每个t在I上是凸的∈ [0，T]，（3.40）T 7→ V1，E（t，x）每x在[0，t]上递减∈ I，（3.41）t 7→ b1，E（t）在[0，t]上与b1，E（t）连续-) = x个*∧ γ1，L.（3.42）让我们定义函数K1，EasK1，E（t，u，x，z）=-e-r（u-t） E类H1，E（Xt，xu）1{Xt，xu≤z}(3.43)= -e-r（u-t） Zz公司-∞∨aH1，E（ex）p（ex；u，x，t）指数，（3.44）表示u≥ t型≥ 0和x，z∈ 一、特别是，当X是OU过程时，可以根据标准正态累积和概率分布函数有效地重写函数K1，eca。

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2022-6-1 03:07:07

对于更复杂的分布，计算（3.43）中的K1，E（t，u，x，z）可能需要数值单变量积分。将局部时空公式（Peskir（2005））应用于贴现过程e-r（s）-t） V1，E（s，Xt，xs），以及（3.32），H1，E的定义和平滑特性（3.34），我们得出-r（s）-t） V1，E（s，Xt，xs）（3.45）=V1，E（t，x）+Ms+Zste-r（u-t）V1，Et+LXV1，E-rV1，E（u，Xt，xu）I（Xt，xu6=b1，E（u））du+Ztse-r（u-t）V1、Ex（u、Xt、xu+）- V1，Ex（u，Xt，xu-)我Xt，xu=b1，E（u）dlb1，Eu=V1，E（t，x）+Ms+Zste-r（u-t） H1，E（Xt，xu）I（Xt，xu≥ b1，E（u））du，用于s∈ 其中M=（Ms）s≥这是一个鞅，并且(lb1，Es）s≥这是xx的当地时间过程，在边界b1，Egiven bylb1，Es：=P- limε↓02εZst{b1，E（u）-ε<Xt，xu<b1，E（u）+ε}d hxu。（3.46）然后我们得到本节的主要结果。定理3.5。最优入口边界b1，E:[0，T]7→ R可以表示为递归积分方程v1，L（b1，E（t））的唯一解-b1，E（t）-c=e-r（T-t） E[G1，E（Xt，b1，E（t）t）]（3.47）+ZTtK1，E（t，u，b1，E（t），b1，E（u））du，用于t∈ [0，T]在具有b1，E（T）的连续增函数类中-) = γ1，L∧ x个*. 函数V1，ead的值表示V1，E（t，x）=E-r（T-t） E[G1，E（Xt，Xt）]+ZTtK1，E（t，u，x，b1，E（u））du，（3.48）表示t∈ [0，T]和x∈ 一、证明。表示（3.48）遵循（3.45）。具体而言，我们设定s=T，对两边都取期望值，并对M应用可选抽样定理，重新排列术语和回忆（3.43），对所有x应用终端条件V1，E（T，x）=G1，E（x∈ 一、积分方程（3.47）是通过将x=b1，E（t）插入（3.48）并使用（3.33）得到的。图2：。

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2022-6-1 03:07:10

OU过程的样本路径，当路径到达最佳入口边界b1，E（下虚线）时，入口时间τ=0.075，当路径到达最佳出口边界b1，L（上固体）时，随后的液化时间ζ=0.516。根据积分方程（3.47）和（3.9），分别计算出与多空策略相对应的最佳入口边界b1、EAN和出口边界b1。参数为：T=T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，σ=0.16，b1，E（T）=x*= 0.539656，γ1，L=0.5545。在图2中，我们显示了OUmodel下均值回复价格过程X的样本路径，参数θ=0.54，u=16，σ=0.16。正如我们所看到的，当X到达下限b1时，交易者进入市场，吃掉时间τ≤ T随后，traderwaits让过程X到达上边界b1，Lto在时间ζ清算（长）位置。通过积分方程（3.47）和（3.9）分别计算出最佳入口和出口边界b1、EAN和b1、L。如果路径X在时间T未到达下限b1，那么交易者将直接离开市场，没有空头头寸。还请注意，exitboundary仅与进入市场后的交易者相关，交易者有长度为T′的时间窗口来平仓。如果价格过程X在时间窗口结束时未能触及出口上限B1，LBA，那么交易者将被迫在时间窗口结束时清算。为了说明价值函数对交易者截止日期的依赖性，我们绘制了mapT 7→ V1，E（0，θ；T），这是在x=θ时计算的值函数，作为图3中T′=1（实线）和T′=0.5（虚线）的截止时间T的函数。如果有更多的交易时间，是否需要图3。

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2022-6-1 03:07:14

长短策略的值函数V1，E（0，x；T），在x=θ时进行评估，并绘制为T′=1年（实线）和T′=0.5年（虚线）的截止日期T的函数。参数为：r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，ζ=0.16。决定进入或退出市场，交易者可以从tradingX获得更高的预期价值。然而，V1，E（0，x；T）在T中逐渐变凹的事实表明，交易者决定进入市场的时间越长，其增量值越小。图4显示了值函数x 7→ V1，E（0，x）（在t=0时评估）支配支付函数G1，E（x）=（V1，L（x）- x个- c） +，当x小于b1，E（0）时，它们重合。价值函数在x中递减，但在x较大时会变得更模糊。这表明，在时间0时远离入口边界并不会显著减少交易在x中的价值。这可以用x的均值回复特性来解释。当交易成本c从0.01增加到0.02.4时，价值函数也会减少。最优短长策略短长策略的分析与前一节中的长短策略完全对称。然而，为了完整性，我们提供了主要结果，更重要的是，我们将在下一节中使用解决方案来退出问题，以选择策略。我们按顺序制定问题，首先假设利差中存在空头头寸，我们希望在T′（4.1）V2，L（x）=inf0之前进行最佳清算≤ζ≤T′Ehe公司-rζ（Xxζ+c）i，对于x∈ I和交易者的最优进入时机问题由（4.2）V2给出，E（t，x）=supt≤τ≤特赫-r（τ-t）（Xt，xτ-c-V2，L（Xt，xτ））+i，对于（t，x）∈ [0，T）×I在时间τ时，我们收到Xxτ，支付c，并获得价值v2，L（Xt，xτ）的空头头寸。首先，我们讨论一些小情况。图4。

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2022-6-1 03:07:17

价值函数V1，E（0，x）（实心）和支付函数G1，E（x）=（V1，L（x）-x个- c） +（虚线）对于多空策略，在x上绘制不同交易成本：c=0.01（上限），c=0.02（下限）。参数为：T=T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，ζ=0.16，γ1，L=0.5545。提案4.1。如果x*≤ a、然后，最好等到结束并从t=t′的位置退出。如果x*≥ b、然后，最好在t=0时平仓。现在在假设x下*∈ 一、我们提供了问题的解决方案（4.1）。定理4.2。（4.1）的最佳停车时间由ζ2，L给出*= inf{0≤ s≤ T′：Xt，xs≤ b2，L（s）}。（4.3）函数b2，L：[0，T]→ IR是对应于（4.1）的最佳出口边界，它可以被描述为Volterra-typeb2，L（t）+c=e的非线性积分方程的唯一解-r（T′）-t） m（t′）-t、 b2，L（t））+ZT′tK2，L（t，u，b2，L（t），b2，L（u））du，（4.4）对于t∈ 连续增函数类T 7中的[0，T′]→ b2，L（t），带b2，L（t′）=x*其中函数k2，L（t，u，x，z）：=-e-r（u-t） E类H2，L（Xt，xu）1{Xt，xu≤z},（4.5）对于u≥ t>0和x，z∈ I带h2，L（x）：=-（u+r）x+uθ- rc，（4.6）表示x∈ 一、值函数V2，Lin（4.1）允许表示V2，L（t，x；t′）=e-r（T′）-t） m（t′）-t、 x）+ZT′tK2，L（t，u，x，b2，L（u））du，（4.7）表示t∈ [0，T′]和x∈ 一、现在让我们定义阈值γ2，Las是方程x的唯一根-c-V2，L（x）=0，这样我们可以将问题（4.2）的结果重写为G2，E（x）=（x-c- V2，L（x））1{x>γ2，L}。如前一节所述，为了排除退化情况，我们假设γ2，L∨ x个*∈ 一、然后，我们得到了入口问题的以下结果。定理4.3。

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2022-6-1 03:07:20

（4.2）的最佳停车时间由τ2，E给出*= inf{t≤ s≤ T:Xt，xs≥ b2，E（s）}。（4.8）最佳入口边界b2，E：[0，T]→ IR可以描述为递归积分方程B2，E（t）的唯一解-c-V2，L（b2，E（t））=E-r（T-t） E[G2，E（Xt，b2，E（t）t）]（4.9）+ZTtK2，E（t，u，b2，E（t），b2，E（u））du，用于t∈ 具有b2，E（T）的连续递减函数类中的[0，T]-) = γ2，L∨ x个*, 其中，函数k2，E（t，u，x，z）：=-e-r（u-t） E类H2，E（Xt，xu）1{Xt，xu≥z},（4.10）对于u≥ t>0和x，z∈ 带H2的I，E（x）：=-（u+r）x+uθ+rc=H1，L（x）。值函数v2，eca可以表示为v2，E（t，x）=E-r（T-t） E[G2，E（Xt，Xt）]+ZTtK2，E（t，u，x，b2，E（u））du，（4.11）表示t∈ [0，T]和x∈ 一、 5。选择器策略现在，我们将多空策略和多空策略聚合为一个策略，根据该策略，交易员可以在输入时选择在截止日期T或之前在X做多还是做空。因此，这种策略被称为选择器策略。换言之，交易者在进入市场之前没有预先承诺交易类型，因此，除了嵌入在其交易问题中的计时选项之外，还有一个选择选项。显然，这种增加的灵活性应该会增加X交易的预期收益。进入后，交易者有一个单独的底线来平仓。正如第3节和第4节一样，我们按顺序处理交易问题。一旦交易者进入头寸，她/他就会解决其中一个最优清算问题，这两个问题都在定理3.3和4.2中讨论过。因此，仍需分析最优入口问题，由（5.1）V0，E（t，x）=supt给出≤τ≤特赫-r（τ-t） G0，E（Xt，xτ）i，对于t∈ [0，T）和x∈ 一、其中，支付函数G0，Ereads（5.2）G0，E（x）=最大值V1，L（x）-x个-c、 x个-c-V2，L（x），0,对于x∈ 一、 Payoff函数G0显示交易者在进入时会最大化其价值，并选择最佳选项，即。

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2022-6-1 03:07:22

是做多还是做空利差，还是不进入atall。由于存在交易成本，后者可能恰好是最优的。与前几节一样，增益函数与时间无关。我们记得，为了排除两个出口问题的危急情况，我们假设a<x*≤ x个*< b、根据值函数的性质，我们知道V1，L（t，x）=x- c代表x≥ b1，L（0）和v2，L（t，x）=x+c表示x≤ b2，L（0）表示任何t∈ [0，T）。此外，由于V1、Land V2、Lare凸面和凹面分别为V1、Lx≤ 1和V2，Lx≤ 因此，函数V1，L（x）-x个-当x<b1、L（0）和x时，c减小-c-V2，L（x）增加x>b2，L（0）。反过来，我们可以得出结论，存在一个常数阈值m∈ （b2，L（0），b1，L（0）），使得（5.3）G0，E（x）=（V1，L（x）-x个-c） 1{x≤m} +（x-c-V2，L（x））1{x>m}+,对于x∈ 一、重要的是符号V1，L（m）- m级- c=m- c- V2，L（m）。使用γ1，Landγ2，L的定义，然后可以将函数G0，eca重写为（5.4）G0，E（x）=（V1，L（x）-x个-c） 1{x≤m级∧γ1，L}+（x-c-V2，L（x））1{x>m∨γ2，L}，对于x∈ 一、然后有两种可能性：（I）γ1，L<m<γ2，Lor（ii）γ2，L<m<γ1，L。此外，我们注意到函数G0，Eis是凸的。在本文中，我们通常假设m，γ1，L，γ2，L∈ 避免退化情况。通常，通过c0，E={（t，x）分别定义连续区域和入口区域∈ [0，T）×I:V0，E（T，x）>G0，E（x）}，（5.5）D0，E={（T，x）∈ [0，T）×I:V0，E（T，x）=G0，E（x）}。（5.6）那么（5.1）中的最佳进入时间由τ0，E=inf{T≤ s≤ T：（s、Xt、xs）∈ D0，E}。（5.7）我们现在提供本节的主要结果。定理5.1。存在一对边界（b0，E，eb0，E），使得τb=inf{t≤ s≤ T:Xt，xs≤ b0、E（s）或Xt、xs≥eb0，E（s）}（5.8）在（5.1）中是最优的。

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2022-6-1 03:07:25

这一对可以描述为耦合积分方程系统的唯一解V1，L（t，b0，E（t））-b0，E（t）-c=e-r（T-t） E[G0，E（Xt，b0，E（t）t）]（5.9）+ZTtK0，E（t，u，b0，E（t），b0，E（u），eb0，E（u））du，eb0，E（t）-c-V2，L（t，eb0，E（t））=E-r（T-t） E[G0，E（Xt，eb0，E（t）t）]（5.10）+ZTtK0，E（t，u，eb0，E（t），b0，E（u），eb0，E（u））du，用于t∈ [0，T]在连续增函数b0类中，Ewith b0，E（T）=m∧ γ1，L∧ x个*连续递减函数seb0，Ewitheb0，E（T）=m∨ γ2，L∨ x个*.图5：。与长-短策略（下虚线）和短-长策略（上虚线）相对应的最优入口边界由与选择器策略相关联的最优上下入口边界（b0、E、eb0、E）（实心）包围。边界对（b0，E，eb0，E）由OU模型下的积分方程组（5.9）-（5.10）进行数值求解。参数为：T=T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，σ=0.16。使用间隔为[0，T]的500步时间离散化。值函数V0，eca可以表示为V0，E（t，x）=E-r（T-t） E[G0，E（Xt，Xt）]+ZTtK0，E（t，u，x，b0，E（u），eb0，E（u））du，（5.11），用于t∈ [0，T]和x∈ 一、其中，函数K0，定义为K0，E（t，u，x，z，ez）：=-e-r（u-t） E类H0，E（Xt，xu）1{Xt，xu≤z或Xt，xu≥ ez}(5.12)= -e-r（u-t）Zz公司-∞∨aH0，E（ex）p（ex；u，x，t）指数+Z∞∧bezH0，E（ex）p（ex；u，x，t）指数,对于u≥ t型≥ 0和x，z，ez∈ 一、在给出定理5.1的证明之前，让我们先说明和讨论最优交易边界的性质。在OU模型下，数值求解积分方程组（5.9）-（5.10）中的最优边界对（b0，E，eb0，E）。在图5中，我们观察到与长短策略和长短策略相对应的最优入口边界被与选择器策略相关联的最优上下入口边界对（b0，E，eb0，E）包围。

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2022-6-1 03:07:28

换言之，有了选择第一个（多头/空头）头寸的选项，交易员最好等待更长的时间，以获得更好的进场价格。要看到这一点，让我们来看看∈ [0，T）和x′≤ m级∧ γ1，Lso，即G0，E（x′）=G1，E（x′）。自V0起，E（t′，x′）≥ V1，E（t′，x′），如果V1，E（t′，x′）- G1，E（t′，x′）大于0，即进入多头位置不是最优的，然后是v0，E（t′，x′）- G0，E（t′，x′）≥ V1，E（t′，x′）- G1，E（t′，x′）>0，表示（t′，x′）∈ C0，E.作为一个序列，我们得出结论b0，E（t）≤ b1，E（t）表示任何t∈ [0，T）。使用类似的参数，我们可以显示eb0，E（T）≥ b2，E（t）表示任何t∈ 首先，为了得到入口区域的一些性质，我们使用Ito-Tanaka公式得到-r（τ-t） G0，E（Xt，xτ）i=G0，E（x）+EZτte-r（s）-t） H0，E（Xt，xs）ds（5.13）+EZτte-r（s）-t）（1）- V1，Lx（Xt，xs））dlm级∧γ1，Ls+ EZτte-r（s）-t）（1）- V2，Lx（Xt，xs））dlm级∨γ2，Ls,对于t∈ [0，T），x∈ 一、过程X的任何停止时间τ。此处，函数H0，Eis定义为asH0，E（X）：=（LXG0，E-rG0，E）（x）表示x∈ I和等式h0，E（x）=（（u+r）x- uθ+rc）（1{x<m∧γ1，L}-1{x>米∨γ2，L}）。（5.14）当x∈ (-∞, m级∧ γ1，L∧x个*) ∪（m）∨ γ2，L∨x个*, ∞). 当m∧ γ1，L∧ x个*< Xs<米∨γ2，L∨x个*作为H0，Eis为正值，且本地时间项始终为非负值。此外，在T附近，当Xs<m时，最好立即输入∧γ1，L∧x个*或Xs>m∨γ2，L∨x个*由于缺乏时间来补偿负的EH0，E。这为我们提供了T处运动边界的终端条件（见下文）。我们还注意到，如果a=-∞ 和b=∞, 方程式（5.13）表明，对于所有t∈ [0，T），对于较大的负x或正x，被积函数H0，Eis非常负，因此，由于存在最终期限T，因此最好立即输入。由于payoff函数G0，Eis时间同质，我们将输入区域D0，Eisright连接起来。

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2022-6-1 03:07:32

接下来，我们将显示D0，Eis是向下和向上连接的。我们只证明它是下连通的，对于上连通性，可以应用相同的参数。设t>0，x<y<m∧ γ1，L∧ x个*使得（t，y）∈ 然后，通过入口区域的右连通性，我们得到了（s，y）∈ D0，对于任何s>t都很好。如果我们现在运行进程（s，Xs）≥t从（t，x），我们不能达到m级∧ γ1，L∧ x个*在进入之前（x<y），因此（5.13）中的局部时间项为0，被积函数H0，Eis在τE之前为负值*. 因此，在（t，x）处输入是最优的，我们获得了输入区域D0，E的向下连通性。因此，在[0，t]上存在一对最优输入边界（b0，E，eb0，E），使得τbde finedin（5.8）在（5.1）中是最优的，并且-∞ < b0，E（t）<m∧ γ1，L∧ x个*< m级∨ γ2，L∨ x个*<eb0，E（t）<∞对于t∈ [0，T）。从上面的参数来看，我们还有b0，E（T-) = m级∧ γ1，L∧ x个*andeb0，E（T-) = m级∨γ2，L∨x个*.

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2022-6-1 03:07:34

此外，D0，E的右连通性使得b0，Eis在[0，T]上增加和减少。基于强马尔可夫性质的标准参数表明，值函数V0，ean和边界（b0，E，eb0，E）解决了以下自由边界问题：V0，Et+LXV0，E-rV0，E=0 in C0，E，（5.15）V0，E（t，b0，E（t））=V1，L（t，b0，E（t））-b0，E（t）-c代表t∈ [0，T），（5.16）V0，E（T，eb0，E（T））=eb0，E（T）-c-V2，L（t，eb0，E（t））用于t∈ [0，T），（5.17）V0，Ex（T，b0，E（T））=V1，Lx（T，b0，E（T））-t为1∈ [0，T），（5.18）V0，Ex（T，eb0，E（T））=1-V2，Lx（t，eb0，E（t））用于t∈ [0，T），（5.19）V0，E（T，x）>G0，E（x）在C0，E，（5.20）V0，E（T，x）=G0，E（x）在D0，E，（5.21）其中连续集C0，ean和输入区域D0，Eare由C0给出，E={（T，x）∈ [0，T）×I:b0，E（T）<x<eb0，E（T）}，（5.22）D0，E={（T，x）∈ [0，T）×I:x≤ b0、E（t）或x≥eb0，E（t）}。（5.23）V0，Eand（b0，E，eb0，E）的以下特性也适用：V0，Eis在[0，T]×I，（5.24）x 7上连续→ 对于每个t，V0，E（t，x）在I上是凸的∈ [0，T]，（5.25）T 7→ V0，E（t，x）在[0，t]上每x减小∈ 一、（5.26）b0，Eandeb0，Eare连续开[0，T]。（5.27）我们现在将局部时空公式（Peskir（2005））应用于过程e-r（s）-t） V0、E（s、Xt、xs）以及（5.15）、H0、E的定义、平滑特性（5.18）和（5.19）以获得-r（s）-t） V0，E（s，Xt，xs）（5.28）=V0，E（t，x）+Ms+Zste-r（u-t）V0，Et+LXV0，E-rV0，E（u、Xt、xu）du+Zste-r（u-t）V0，Ex（u，Xt，xu+）- V0，Ex（u，Xt，xu-)dlb0，欧盟+Zste-r（u-t）V0，Ex（u，Xt，xu+）- V0，Ex（u，Xt，xu-)dleb0，Eu=V0，E（t，x）+Ms（5.29）+Zste-r（u-t） H0，E（Xt，xu）1{Xt，xu≤b0、E（u）或Xt、xu≥eb0，E（u）}du，其中M=（Ms）s≥这是鞅部分(lb0，Es）s≥坦德(leb0，Es）s≥分别在边界b0、Eandeb0、E处对xxx的本地时间过程进行去皮。现在让s=T，取期望值E，使用可选抽样定理，重新排列项，并注意到V0，E（T，·）=G0，E（·），我们得到（5.11）。

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2022-6-1 03:07:38

然后，通过将x=b0，E（t）和x=eb0，E（t）插入（5.11），并重新校正连续粘贴特性（5.16）+（5.17），我们得出耦合积分方程组（5.9）-（5.10）。图6显示了地图T 7→ 对应于选择器策略的V0，E（0，θ；T），在x=θ时计算，是截止期T的递增函数。然而，斜率似乎随着T的增加而迅速减小，这表明更长的交易周期带来的效益降低。对于长-短策略，对于每个T，V0，E（0，θ；T）支配价值函数V1，E（0，θ；T）。该值的差异在本例中非常显著，可被视为与V0，E（0，θ；T）中的选择器选项相关的前提条件。在图7中，我们比较了带有和不带有选择器选项的最优输入问题的值函数。选择器策略（实心）的值函数V0，E（0，x）支配着V形的支付函数G0，E（x）（见（5.2）），并用虚线绘制，对于足够大的x和足够小的x，这两个函数重合。相比之下，长短策略的V1，E（x）（虚线）只支配左侧小x的支付函数G0，E（x）。这意味着，对于大x，立即行使选择权并获得收益G0，E（x）比采用多空策略进入市场的最佳时机更好。此外，对于所有x，价值函数V0，E（0，x）（选择策略）都高于V1，E（x）（长-短），当直接进入市场（多头仓位）是选择策略的最佳选择时，它们会对足够小的x起作用。图6：。与选择器策略（实心）相关的值函数V0，E（0，x；T），在x=θ时进行评估，并绘制为截止日期T年的函数。对于长-短策略，对于每个T，V0，E（0，θ；T）支配价值函数V1，E（0，θ；T）（虚线）。

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2022-6-1 03:07:41

参数为：T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，ζ=0.16。图7：。值函数V0，E（0，x）（实心）作为x的函数，对应于具有选择器策略的最优进入问题，而对于长短策略，值函数V1，E（x）（虚线）。虚线表示与值函数V0、E（0、x）相关的支付函数G0、E（x）（见（5.2））。参数为：T=T′=1年，r=0.01，c=0.01，θ=0.54，u=16，ζ=0.16，γ1，L=0.5545。参考Sackerer，D.、Filipovic，D.和Pulido，S.（2016）。雅可比随机波动率模型。工作纸。Avellaneda，M.和Lee，J.-H.（2010）。美国股市的统计套利。定量金融，10（7）：761–782。Brennan，M.J.和Schwartz，E.S.（1990）。股指期货套利。《商业杂志》，63（1）：S7-S31。Cox，J.C.、Ingersoll，J.E.和Ross，S.A.（1985）。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385–408。Czichowsky，C.、Deutsch，P.、Forde，M.和Zhang，H.（2015）。具有比例交易成本的指数型Ornstein-Uhlenbeck模型的投资组合优化。工作文件。Dai，M.，Zhong，Y.，和Kwok，Y.K.（2011）。头寸限制下股票指数期货的最优套利策略。期货市场杂志，31（4）：394–406。d\'Aspremont，A.（2011年）。识别小型均值回复投资组合。定量金融，11（3）：351–364。De Angelis，T.和Kitapbayev，Y.（2016）。关于摆动推杆选项的最佳练习边界。运筹学数学。显示。Dunis，C.L.、Laws，J.、Middleton，P.W.、Karathanasopoulos，A.（2013）。金矿价差的非线性预测：相关滤波器的应用。《会计、财务和管理智能系统》，20（4）：207–231。Ekstrom，E.、Lindberg，C.和Tysk，J.（2011年）。配对交易的最优清算。G.D.努诺。

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