均值回归与制度转换下的波动率指数期货交易

2022-5-25 08:03:50

均值回归与制度转换下的波动率指数期货交易*焦力+2016年6月15日摘要本文研究了一个制度转换模型下的最优波动率指数期货交易问题。我们将VIX视为平均回复动力学，其依赖于在一定数量的状态之间切换的状态。对于交易策略，我们分析了投资者市场参与的时间和顺序，这导致了几个相应的耦合变分不等式系统。利用crank-Nicolson格式的投影连续超松弛（PSOR）方法，发展了求解这些最优双停问题的数值方法。通过两状态马尔可夫链模型的数值例子说明了最优边界。特别是，我们研究了交易成本和制度转换时间对波动率指数期货交易策略的影响。关键词：最优停止、均值回归、期货交易、制度转换、变分不等式JEL分类：C41、G11、G13数学学科分类（2010）：60G40、62L15、91G20、91G80*作者要感谢Tim Leung教授提出了许多有帮助和深刻见解的意见和建议。+APAM系，哥伦比亚大学，纽约，NY 10027；电子邮件：jl4170@columbia.edu.1简介芝加哥期权交易所（CBOE）波动率指数，俗称VIX，是广泛使用的衡量市场波动性的指标。CBOE早在1993年就引入了该方法，其计算基于标准普尔500指数期权的隐含波动率。从经验上看，波动率指数与市场指数呈负相关。一种被广泛接受的解释是，投资者购买标普500的看跌期权是为了防范市场动荡。这增加了波动价格和隐含波动率，从而增加了波动率指数的价值。

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2022-5-25 08:03:53

因此，VIX也被称为投资者恐惧量表（见Whaley（2000））。虽然波动率指数本身没有交易，但投资者可以通过交易波动率指数期货获得指数敞口。VIX期货是在VIX指数水平上进行现金结算的，于2004年在CBOEFutures交易所进行交易，此后市场一直在不断增长。最近的市场数据表明波动率指数期货市场的流动性和受欢迎程度。2015年，VIX futur es的平均日交易量（ADV）超过200000份合同，共签订5160万份VIX futur再合同。每个波动率指数期货都有一个固定的期限，期限从1个月到9个月不等，但期货持有人不需要在到期日保持头寸，并且可以选择何时平仓。此外，在进入市场之前，投资者可以选择开始多头或空头头寸，然后在交易前的稍后时间平仓。在本文中，我们研究了在Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型下的波动率指数期货交易。许多实证研究都对C-IR动力学进行了很好的研究（参见，例如Gr–ubichler和Longsta off（1996），Wang和Daigler（2011））。Zhang和Zhu（2006）分析了CIR模型的经验有效性，首先根据波动率历史数据估计其参数，并提供了期货定价公式。后来Dotsis等人（2007）将跳跃添加到CI R差异中。然而，Menc'ia和Sentana（2013年）以及Sircar和Papanicolaou（2014年）的研究表明，通过合并制度转换，可以更好地复制VIX隐含效用数据。Leung等人（2016年）展示了波动率指数期货市场中两种不同的期限结构。这些明显不同的制度提供了一个非常有趣的试验场，用于分析不同波动率模型的表现。

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2022-5-25 08:03:56

有必要允许波动率指数的关键参数对一般市场走势作出反应。制度转换模型就是这样一种模型，其中模型参数取决于在一定数量的国家之间转换的市场制度。市场机制可以反映市场状况、投资者的总体利益以及其他经济因素。Elliott等人（2008年）在基础资产动态与制度波动相关时，通过部分微分方程（PDE）方法评估衍生工具的风险度量。文献中对导数定价和最优停止问题的状态切换应用进行了充分的研究（参见，例如，郭（2001）、Bu ffongton和Elliott（2002）以及Le和Wang（2010））。此外，我们还介绍了投资者参与交易的最优策略。在第一种策略中，投资者希望在价格足够低时建立多头头寸，然后在价格高时退出。预计第二种战略的情况正好相反。在这两种情况下，交易成本的存在扩大了等待区域，表明投资者希望获得更好的价格。此外，当期货非常接近到期时，等待区域在接近到期时因交易成本而急剧扩大。最后，我们的交易问题方法的主要特点是将这两个相关问题结合起来，分析投资者在多空或多空头寸之间自由选择时的最优策略。

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2022-5-25 08:03:59

在我们的结果中，我们发现，当投资者有权选择时，她会推迟市场进入，以等待与个别独立问题相比更好的价格。在早期的一项研究中，Brennan和Schwartz（1990）提出了有头寸限制的股指期货的最优策略，其中基本动力学采用了布朗桥过程。Dai等人（2011年）通过允许投资者直接在多头头寸和空头头寸之间切换，扩展了具有额外灵活性的最优策略。在本文中，我们扩展了Leung等人（2016）引入的模型，将制度转换纳入VIX的CIR模型。我们提供了风险中性测度下的期货定价问题与历史测度下的交易问题之间的联系。与toBrennan和Schwartz（1990）和d Dai等人（2011）相比，我们并不先验地假设存在与期货价格可能一致或不一致的突变基础，而是考虑利用期货时间价格差异的长期和短期策略。Leung and Li（2015）、Leung et al.（2015）、Leung et al.（2014）、Leung and Li（2016）、Leung and Shirai（2015）和d Stepanek（2015）等研究了类似的交易策略。此外，战略研究可以自动化。关于算法交易的综合研究，请阅读Cartea等人（2015）。这些想法可以应用于其他衍生品，如asswaps（见Leung and Yamazaki（2013）和Leung and d Liu（2012））。在制度转换的情况下，最优交易策略是从一个多变量不等式系统中确定的，其中m是m市场的可能制度数。

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2022-5-25 08:04:02

我们采用带投影连续超松弛（PSOR）的animplicit显式有限差分方法来求解所有制度下的最优交易边界。尽管如上所述，有许多关于带区域切换的最优停止问题的研究，但很少有讨论数值方法和解决方案的。在一项相关研究中，Khaliq和Liu（2009）提出了一种定价机制转换美式期权的方法。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们制定了带有制度转换的最优停止和交易策略。在第三节中，我们开发了一个基于PSOR方法的隐式格式。在第4节中，我们给出了最优交易问题的数值结果，并提供了财务解释。2通过制度转换进行期货交易的最佳时机我们确定了一个能力空间(Ohm, F、 P），其中P是历史度量。设ξ为状态空间为{1，2，…，m}的连续时间不可约有限状态马尔可夫链。ξ的生成矩阵用Q表示，Q具有常数项qiji，j∈ E、 qij的此类th≥ 0表示i 6=j和PJ∈每个i的Eqij=0∈ E、马尔可夫链代表了金融市场的变化机制，它影响着指数的动态。设B是定义为的标准布朗运动(Ohm, F、 P）并假设它与ξ无关。假设VIX（用S表示）遵循CIR过程状态切换：dSt=u（ξt）（θ（ξt）- St）dt+σ（ξt）pStdBt，（2.1），其中，对于每个i∈ E、系数u（i）、θ（i）和σ（i）是已知常数，其中u（i）、θ（i）、σ（i）>0。

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kedemingshi

2022-5-25 08:04:06

请注意，u（i）、θ（i）和σ（i）依赖于马尔可夫链，代表均值回复率、长期均值和波动率。为了对未来进行定价，我们假设风险中性波动率动态的重新参数化CIR模型。由于制度转换所描述的额外不确定性，我们注意到引入马尔可夫链会导致市场不完整。因此，等效马丁盖尔测度不是唯一的。Elliott等人（2008年）利用制度转换Esscher变换来确定等价的定价度量。我们在本文中不包含这个论点，而是假设风险中性概率空间(Ohm, F、 Q）给出。因此，在风险中性度量Q下，波动率指数（VIX）遵循dSt=￠u（ξt）（￠θ（ξt）- St）dt+σ（ξt）pStdBQt，（2.2），其中|u（i），|θ（i），σ（i）>0，bq是一个Q-标准布朗运动，它也独立于马尔可夫链。为方便起见，我们可以对这些常数使用SUB cr ipt表示法，例如ui≡ u（i），θi≡ θ（i）和σi≡ σ（i）。在SDE（2.1）和（2.2）中，我们都需要2uiθi≥ σiand2▄ui▄θi≥ σi（Feller条件），因此CIR过程始终严格为正。双布朗运动由DBQT=dBt+u（ξt）（θ（ξt）关联- St）- Иu（ξt）（￠θ（ξt）- St）σ（ξt）√Stdt（2.3），例如测量值的变化，保留了CIR模型，在两个测量值中，参数值不同。我们考虑在S上签订一份到期日为T<∞ 和时间0的期货价格≤ T≤ 当St=s，ξT=i时，T。期货合约的价格由f（T，s，i）=等式{St | St=s，ξT=i}，T给出≤ T、（2.4）其中eq是关于风险中性度量Q的期望算子。我们可以证明fi（T，s）≡ f（t，s，i），i=1，m、满足以下偏微分方程（参见，例如Yao等人。

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2022-5-25 08:04:09

（2006）），金融机构t+～ui（～θi- s）金融机构s+σ为金融机构s+Xj6=iqij（fj-fi）=0，（t，s）∈ [0，T）×R+，fi（T，s）=s，s∈ R+，（2.5），其中qijis是测量Q下的转移概率。我们注意到（2.5）涉及m个互连的偏微分方程，这是由于VIX动力学中引入的区域切换。可以通过有限的差异方法有效计算所有制度下的期货价格；见下文第3节。2.1最优双停法让我们考虑这样一种情况：投资者在到期日为T的期货合约中持有多头头寸。对于期货中的多头头寸，投资者可以持有到到期，但也可以通过在当前市场价格中采取相反的头寸提前平仓。到期时，两个相反的位置会相互抵消。这促使我们研究关闭的最佳时间。如果投资者选择在时间τ关闭多头头寸≤^T，则她将收到到期日期货的市场价值，用f（τ，Sτ，ξτ）表示，减去交易成本c≥ 0、为了最大化预期d贴现价值，根据投资者的历史概率测度P和恒定的主观贴现率r进行评估≥ 0，投资者解决最优停止问题v（t，s，i）=supτ∈Tt，^TEne-r（τ-t）（f（τ，Sτ，ξτ）- c） | St=s，ξt=io，（2.6），其中Tt，^是所有停止时间的集合，取t和d^t，wher e^t之间的值∈ （0，T）是交易截止日期，它可以等于但不超过期货的到期日。在本章中，我们继续使用符号E{·}来表示根据历史概率测度P所采取的预期。价值函数V（T，s，i）表示与i中的长期期货头寸相关的预期流动价值-s状态。

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kedemingshi

2022-5-25 08:04:13

在持有fi多头头寸之前，持有零头寸的投资者可以选择最佳时机开始交易，或者根本不进入。这导致我们分析交易问题中固有的时间选择。准确地说，在时间t≤^T，投资者面临最佳进入时机问题j（T，s，i）=supν∈Tt，^TEne-r（ν-t）（V（ν，Sν，ξν）- （f（ν，Sν，ξν）+^c）+St=S，ξt=io，（2.7），其中^c≥ 0是交易成本，可能与c不同。换句话说，投资者寻求最大化与多头寸相关的价值函数V（ν，Sν，ξν）与现行期货价格f（ν，Sν，ξν）之间的预期差异。价值函数J（ν，Sν，ξν）表示期货中嵌入的交易机会的最大预期价值。我们将这种“多头开盘，空头收盘”策略称为多头空头策略。或者，投资者很可能会选择做空期货合约，猜测期货价格将下跌。通过做空期货头寸，投资者可以稍后通过建立多头头寸来平仓，或持有至到期，这将导致现金结算。如果投资者在期货合约中有一个单位空头头寸，那么目标是最小化在到期日/到期日之前平仓的预期贴现成本。最佳定时策略由u（T，s，i）=infτ确定∈Tt，^TEne-r（τ-t）（f（τ，Sτ，ξτ）+^c）| St=S，ξt=io。（2.8）如果投资者从零仓位开始，那么她可以通过solvingK（t，s，i）=supν来决定何时进入市场∈Tt，^TEne-r（ν-t）（（f（ν，Sν，ξν）- c）- U（ν，Sν，ξν））+| St=S，ξt=io。（2.9）我们将这种“短到开盘，长到收盘”策略称为“短到长”策略。当投资者打算进入市场时，她可以先做多或做空。

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2022-5-25 08:04:16

因此，除了时间选择权之外，投资者还可以在多空和多空策略之间进行选择。因此，投资者解决了市场进入时机问题：P（t，s，i）=sup∈Tt，^TEne-r（-t）最大值{A（，S，ξ），B（，S，ξ）}St=S，ξt=io，（2.10），有两个由A（，S，ξ）定义的入职替代奖励：=（V（，S，ξ）- （f（，S，ξ）+c）+（长-短），B（，S，ξ）：=（（f（，S，ξ）- c）- U（，S，ξ））+（短-长）。因此，与（2.10）中的最优停止p问题相关的相应输入是通过在上述两个奖励之间取m最大值给出的。2.2变分不等式和最优交易策略根据波动率指数的CIR动态，在（2.6）–（2.10）中定义的价值函数在其各自的延续区域均满足相同的控制微分方程，其价值等于其行使区域的相应奖励。为了求解最优交易策略，我们需要分别研究变分不等式的耦合系统。为此，我们首先定义运算符：Li{·}：=-r·+·t+ui（θi- s）·s+σ为·s+Xj6=iqij（·j- ·i），（2.11）对应CIR模型。为方便起见，我们对这些值函数采用下标表示法，例如Vi（t，s）≡ V（t，s，i），Ji（t，s）≡ J（t，s，i），Ui（t，s）≡ U（t，s，i），Ki（t，s）≡ K（t，s，i）和pi（t，s）≡ P（t，s，i）。与长短策略相关的最优出入境问题由以下一对变分不等式求解：max{LiVi（t，s），（fi（t，s）- c）- Vi（t，s）}=0，（2.12）最大值李基（t，s），（Vi（t，s）- （fi（t，s）+^c））+- Ji（t，s）= 0，（2.13）表示（t，s）∈ [0，^T]×R+。

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2022-5-25 08:04:19

同样，通过数值求解Ui和Ki满足的变分不等式，可以确定反向长短策略：min{LiUi（t，s），（fi（t，s）+^c）- Ui（t，s）}=0，（2.14）最大值LiKi（t，s），（（fi（t，s）- c）- Ui（t，s））+- Ki（t，s）= 0。（2.15）为了确定进入期货市场的最佳时机，我们解决了变分不等式max{LiPi（t，s），max{Ai（t，s），Bi（t，s）}- Pi（t，s）}=0。（2.16）换句话说，我们必须解决变分不等式（2.12）–（2.15），然后将解作为变分不等式（2.16）的输入。3带区域切换的数值实现通过在所有区域应用有限差分格式，使用预测的连续过松弛（PSOR）方法，可以获得变分不等式s y干的数值解。值函数的结果方程的解是通过连续超松弛（SOR）方法求解的。在确定价值函数数值近似值的每个SOR迭代步骤中，我们模拟取近似函数值和补偿期货价格之间的最大值。期货价格可以通过（2.5）方便地预先计算。在Leung（2010）中可以找到类似的数值格式，其中包含政权切换。我们的数值格式的更多细节如下所述。首先，我们定义了一般的微分算子li{·}：=-r·+·t+Дi（s）·s+σi（s）·s+Xj6=iqij（·j- ·i），（3.1）我们参考Wilmott等人的第9章。

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2022-5-25 08:04:23

（1995）对预计SOR方法进行了详细讨论。然后，变分不等式（2.12）–（2.16）与下面的变分不等式问题具有相同的形式：Ligi（t，s）≤ 0，gi（t，s）≥ 嗨（t，s），（t，s）∈ [0，^T）×R+，（Ligi（T，s））（hi（T，s）- gi（t，s））=0（t，s）∈ [0，^T）×R+，gi（^T，s）=hi（^T，s），s∈ R+。（3.2）这里，gi（t，s）表示函数Vi（t，s），Ji（t，s）的值，-Ui（t，s）、Ki（t，s）或Pi（t，s）。函数hi（t，s）表示fi（t，s）-c、（六）（t，s）-（fi（t，s）+^c））+，-（fi（t，s）+^c），（fi（t，s）-c）-Ui（t，s））+，或max{Ai（t，s），Bi（t，s）}。期货价格fi（t，s），含^t≤ T，由（2.4）给出。我们现在考虑在时间（δt=^TN）和空间（δs=SmaxM）离散的非均匀网格上，偏微分方程Ligi（t，s）=0的离散化。将s-导数的CrankNicolson方法和t-导数的后向差分应用于求积方程，得出了有限差分方程：-r（gm，ni+gm，n-1i）+gm，ni- gm，n-1iδt+Дmi（gm+1，ni- 转基因的-1，ni2δs+gm+1，n-1i-转基因的-1，n-1i2δs）+（σmi）（gm+1，ni- 2gm，镍+gm-1，ni2（δs）+gm+1，n-1i- 2gm，n-1i+gm-1，n-1i2（δs））+qii（gm，ni+gm，n-1i）+Xj6=iqij（gm，nj+gm，n-1j）=0，（3.3），其中qii=-Pj6=使用iqijis。为方便起见，我们可以使用这些常数的下标符号，例如gm、ni≡ gi（nδt，mδs），hm，ni≡ hi（nδt，mδs），Дmi=Дi（mδs），σmi=σi（mδs）。通过明确对待政权政变条款来实现。更换gm，n-1J与gm，njfor j 6=获得- αmigm-1，n-1i+（1- βmi）gm，n-1i- γmigm+1，n-1i=αmigm-1，ni+（1+βmi）gm，ni+γmigm+1，n+δtXj6=iqijgm，nj，（3.4）其中αmi=δt4δs（σmi）δs- ^1英里,βmi=-δt（r）-qii）+（σmi）（δs）,γmi=δt4δs（σmi）δs+Дmi,（3.5）对于i，j∈ E、 m=1，2。。。，M- 1和n=1，2。。。，N- 1.

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何人来此

2022-5-25 08:04:27

要在时间设计中向后解决的系统-1i=rni，（3.6），其中右侧isrni=Migni+δtXj6=iqijgnj+αig0，n-1i+g0，ni。。。+ γM-1i...gM，n-1i+gM，ni, （3.7）和MI=1.- βi-γi-αi1- βi-γi-αi1- βi-γi。。。。。。。。。-αM-2i1- βM-2i-γM-2i-αM-1i1- βM-1i, （3.8）英里=1+βiγiαi1+βiγiαi1+βiγiγi。。。。。。。。。αM-2i1+βM-2iγM-2iαM-1i1+βM-1i, （3.9）gni=hg1，ni，g2，ni，转基因的-1，niiT。（3.10）我们注意到，Mi的维数与m无关，m是区域数。因此，模式（3.6）可以并行计算。备注1期货价格函数（2.5）可通过求解线性系统（3.6）来计算，方法是将gm，ni替换为fm，ni，其中fm，ni≡ f（t，s，i），设置r=0。由于投资者可以在到期前的任何时候建立头寸，价值函数gi（t，s）必须满足约束gi（t，s）≥ hi（t，s），s≥ 0，0≤ T≤^T，i∈ E、（3.11）如果离散方案可以写成GM，ni≥ hm，ni，0≤ M≤ M、 0个≤ N≤ M、我∈ E、（3.12）因此，在每个时间步骤n∈ {1，2，…，N- 1} ，我们需要解决Mign公司-1i≥ rni，gn-1i≥ hn公司-1i，（百万）-1i- rni）T（hn-1i- gn公司-1i）=0。（3.13）为了保证约束，我们的算法将约束强制如下-1i，新=最大值gm，n-1i，旧，hm，n-1i. （3.14）投影SOR方法用于求解线性系统。请注意，约束与迭代gm、n同时强制-计算1i，（k+1）；在计算gm+1，n时，会立即感受到约束的影响-1i，（k+1），gm+2，n-1i，（k+1）等。

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2022-5-25 08:04:30

因此，在每个时间步n，PSOR算法将（在k上）代入方程g1，n-1i，（k+1）=最大值h1，n-1i、g1、n-1i，（k）+ω1- βi[r1，ni- （1）- βi）g1，n-1i，（k）+γig2，n-1i，（k）],g2，n-1i，（k+1）=最大值h2，n-1i、g2、n-1i，（k）+ω1- βi[r2，ni+αig1，n-1i，（k+1）- （1）- βi）g2，n-1i，（k）+γig3，n-1i，（k）],...转基因的-1，n-1i，（k+1）=最大值陛下-1，n-1i，总经理-1，n-1i，（k）+ω1- βM-1i[rM-1，ni+αM-1igM-2，n-1i，（k+1）- （1）- βM-1i）总经理-1，n-1i，（k）],（3.15）其中k是迭代计数器，ω是超松弛参数。迭代格式从初始点gni（0）开始，直到满足收敛条件，如| | gn-1i，（k+1）-gn公司-1i，（k）| |<，其中是公差参数。最佳边界Sf（t）可以通过定位分隔gi（t，s）=hi（t，s）或gi（t，s）>hi（t，s）区域的边界来确定。2 4 6 8 10区域1中的到期时间（月）期货价格2区域2中的期货价格图1：2区域中的期货价格。参数：S=30，σ=5.33，σ=6.42，θ=18.16，θ=40.36，u=4.55，u=4.59，q=-q=0.1，q=-q=0.5.4最优交易策略在本节中，我们提供了数字示例，以进一步解释最优交易策略。制度转换CIR模型能够生成不同期限结构的期货曲线。图1显示了两种不同制度下的期货价格。具有区域切换的CIR模型在区域1（蓝色）生成一条凸曲线，在区域2（红色）生成一条凹曲线。在图2中，weillustrate在两个区域市场的CIR模型下期货交易的时间边界案例。如图2a所示，最佳边界将空间划分为每个区域中三个不相交的区域，这些区域可以指定为长区域（“J”以下的区域）、短区域（“V”以上的区域）和等待区域（“J”和“V”之间的区域）。价值的下标与制度相关。

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2022-5-25 08:04:33

假设投资者预先承诺采取“多空”策略，如果波动率指数处于长线区域，最好先持有头寸，然后在波动率指数达到最佳边界“J”时退出市场。而如果投资者采取“短线-多头”策略，他将先做空一个期货，然后在图2b中的“K”和“U”方向的白羊座以多头仓位收盘。无论是哪种情况，我们的策略都证实了我们的直觉：“低买高卖”。图2还显示了具有不同交易成本的运营时间边界。在没有交易成本的情况下（见图2左面板），等待区域缩小，因为投资者倾向于提前进入和退出市场，从而导致更快速的交易。在存在交易成本的情况下（参见图2的右面板），在ord er中定义等待区域以节省交易成本。我还应该注意到，随着交易成本的增加，长边界减少，短边界增加，使得投资者交易的频率降低。特别是，即将到期的快速分歧表明，投资者不应在关键时刻之后进入市场。他们的推论是，如果理性投资者没有足够的时间收回至少交易成本，她就永远不会开始持仓。图e 2中的“P”边界表示VIX的最佳值，投资者应在该值处持仓。标有“P=A”（即“P=B”）的边界表示投资者通过持有多头（即空头）期货头寸进入市场的临界值。如果波动率指数位于“P=B”边界以上的区域，投资者应选择“短期第一”策略，而如果波动率指数低于“P=A”边界，则应选择“长期第一”策略。这两个边界之间的区域是投资者应该等待更好的创业机会的区域。

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2022-5-25 08:04:37

这证实了你的直觉——当波动率低时多头仓位，当波动率高时多头仓位。同样，等待区域在接近到期时显著扩大，以覆盖交易成本。换言之，除非VIX非常低或非常高，否则投资者不会进入市场。一旦投资者完成了进入策略的选择，她可以将退出策略转移到相应的最优边界。例如，如果投资者从憧憬期货开始，那么图2中的最佳边界“V”代表了结束头寸的最佳退出时机。然而，如果投资者的初始仓位是短期仓位，那么她将持有空头仓位，直到波动率达到“U”边界。时间（天）0 5 10 15 20VJV（a）时间（天）0 5 10 15 20KUK（b）时间（天）0 5 10 15 20P=BP=AP=BP=a（c）时间（天）0 5 10 15 20VJVJ（d）时间（天）0 5 10 15 20KUK（e）时间（天）0 5 10 15 20P=BP=AP=b（f）图2：具有两态制度转换模型的期货交易的最佳长短边界。左面板：c=^c=0。右面板：c=^c=0.01。常用参数：^T=，T=，r=0.05，σ=5.33，σ=6.42，θ=17.58，θ=39.5，￠θ=18.16，￠θ=40.36，u=8.57，u=9，￠u=4.55，￠u=4.59，q=-q=0.1，q=-q=0.5.0 5 10 15 20VJνJVτt（ν）（a）0 5 10 15 20VJJVt（ν）τ（b）0 5 10 15 20VJKUt（τ，ν）ντ（c）图3：两状态状态切换模型下的模拟CIR路径和运动时间。（a）在区域1中，投资者在ν处进入，在τ处退出；在区域2中，再次在ν处进入，在τ处退出。（b）投资者在制度2中以ν进入，在τ退出，而在制度1中没有任何调整。（c）投资者在区域1 b的ν处处于空头位置，但在t（τ，ν）处切换到多头位置，然后在区域2的τ处液化其位置。

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2022-5-25 08:04:40

参数与图2中的参数相同。时间（天）0 5 10 15 20 VJVSSSSS表1在制度1中制度2长-长-短-长-短-长-短-短-短图4：期货交易的最佳边界和CIR模型中的2状态注册表切换。参数：^T=，T=，r=0.05，σ=5.33，σ=6.42，θ=17.58，θ=39.5，θ=18.16，θ=40.36，u=8.57，u=9，u=4.55，u=4.59，c=^c=0.01，q=-q=0.1，q=-q=0.5。时间（天）0 5 10 15 20VVJJSSSSSTable 2在制度1中的制度2 Long LongSWait LongSWait Short Wait Short Short ShortFigure 5：期货交易的最佳边界和CIR模型中的2状态注册表切换。参数：^T=，T=，r=0.05，σ=5.33，σ=6.42，θ=35.6，θ=39.5，θ=35.96，θ=40.36，u=8.57，u=9，u=4.55，u=4.59，c=^c=0.01，q=-q=0.1，q=-q=0.5。为了更好地解释我们的策略，这里我们假设一个两态过程，并将这两个状态解释为低平均状态（状态1）和高平均状态（状态2）。政权切换时间表明从低平均政权向高平均政权的转变。如图3A所示，投资者在两种制度下完成了长-低-短-高交易。在低均值制度下，投资者选择在时间ν做多期货头寸，然后在τ平仓。当状态切换到t时，VIX位于高平均状态的长区域。投资者应立即在t（ν）处多头一个头寸，然后根据制度2中的最佳边界在τ处平仓。图3b显示了另一个场景。投资者最好在切换发生之前等待，因为VIX在状态1中处于等待区域。然后投资者最好像前一种情况一样，在ν做多，在τ做空。另一个示例如图3c所示。在区域1中，VIX上升到ν处的短边界“K”。

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2022-5-25 08:04:43

投资者选择做空一个头寸，她推测价格会下降。然而，系统在时间t（τ，ν）时切换。投资者应立即平仓，并根据最佳边界“J”和“V”开始做多一个头寸。投资者可能需要在换位过程中面临损失。换言之，在有限的时间段内有正的损失概率。我们看到，制度转换时机对投资者的交易决策起着关键作用。制度转换的引入为最优交易策略增加了相当大的复杂性。图3中的最后三个例子是最简单的例子，因为我们假设区域切换只在t发生一次。图4和图5显示了另一种在不指定区域切换时间的情况下理解模型的方法。这里使用的过程仍然有两种状态。最佳边界将空间分为5个区域。表1和表2显示了给定VIX在不同制度下的练习。图4显示了“低平均状态与高平均状态”的情况。这种制度转换案例反映了市场的一些突然变化（如2008年的金融危机），这可能会导致极高的波动性。一旦政权转换，投资者预计将积极持有多头头寸。我们可以看到，在高平均状态下，长区域与“s+s+s”一样大。这表明，投资者必须根据不同的制度调整策略，即使波动率指数仍处于同一地区。图5显示了两种切换方式相对较近的模式。制度2的最优边界高于制度1，这意味着投资者打算在制度1中提前进入和退出市场。此外，在模式1中，等待区域是“S+S”，而在模式2中，等待区域是“S+S”。“S”是两个政权中常见的等待区域。

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2022-5-25 08:04:46

这意味着投资者可能会更频繁地通过采用两种制度模式而非单一制度模式参与交易。换言之，制度转换的存在将影响投资者的交易策略。从没有头寸的投资者的角度来看，她对确定进入市场的最佳时机很感兴趣。我们研究了最优时机溢价（见Leung和Ludkovski（2011）、Leung和Liu（2012）、Leung和Ludkovski（2012）），它在最优策略中起着至关重要的作用。与立即初始化职位相比，这一溢价体现了等待进入的好处。确切地说，保费定义为asL（t，s，i）：=P（t，s，i）- max{A（t，s，i），B（t，s，i）}。（4.1）正如我们在（4.1）中所看到的，L（t，s，i）的最佳停止时间使建立VIX未来头寸的预期折扣值最大化。图6显示，P在A和B中占主导地位。我们还注意到，在每个制度下，当VIX较低时，P=A，当VIX较高时，P=B。10 20 30 40 500.51.52.53.5PAB（a）10 20 30 40 50PAB（b）图6：在时间0时，根据VIX绘制两种状态下的值函数P、a和b。这些参数与图2.5中的参数相同。结论我们在制度转换模型下扩展了最优波动率指数期货交易问题。该模型允许投资者捕捉市场的结构变化。发展了数值方法来求解这些控制值函数的耦合变分不等式系统。考虑到时间选择以及在多头或空头头寸之间进行选择的选择，我们发现，与事先承诺多头或短头的情况相比，推迟市场进入是最佳选择。通过引入制度转换机制，指出投资者应根据制度转换的时机相应地修改交易策略。

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2022-5-25 08:04:49

本文介绍的策略和数值方法也可应用于其他衍生品。参考Brennan，M.J.和S chwartz，E。S、（1990年）。股指期货套利。《商业杂志》，63（1）：S7–S31。Bungton，J.和Elliott，R.J.（2002）。美国政权更迭的选项。《国际理论与应用金融杂志》，5:497–514。Cartea，A.、Jaimungal，S.和Penalva，J.（2015年）。算法和高频交易。剑桥大学出版社，英国坎布里德ge。Dai，M.，Zhong，Y.，和K wok，Y.K.（2011）。仓位限制下股指期货的最优套利策略。期货市场杂志，31（4）：394–406。Dotsis，G.、Psycholyios，D.和Skiadopoulos，G.（2007）。隐含波动率指数连续时间模型的实证比较。《银行与金融杂志》，31（12）：3584–3603。Elliott，R。J、，萧铁坤和Chan，L.（2008）。一种基于状态转换的衍生工具风险度量pde方法。《金融年鉴》，4（1）：55–74。Gr–ubichler，A.和Longstaff，F.（1996年）。对波动性的未来和操作进行估值。《银行与金融杂志》，20（6）：985-1001。郭，X.（2001）。具有状态切换的最优停止问题的显式解。《应用概率杂志》，第464-481页。Khaliq，A.Q.和Liu，R.（2009）。具有区域切换的美式期权定价新的数值格式。《国际理论与应用金融杂志》，12（03）：319-340。Le，H.和Wang，C.（2010）。具有状态切换的有限时间最优停止问题。《暹罗控制与优化杂志》，48（8）：5193–5213。Leung，T.（2010）。具有最优多重停止的马尔可夫调制随机控制问题及其在金融中的应用。第49届IEE决策与控制会议（CDC），第559–566页。Leung，T.，Li，J.，L i，X.，和Wang，Z.（2016）。

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2022-5-25 08:04:52

投机性期货交易在均值回归下进行。亚太金融市场，第1-24页。普在网上大肆宣扬。Leung，T.和Li，X.（2015）。具有交易成本和止损的最优均值回归交易。《国际理论与应用金融杂志》，18（3）：15500。Leung，T.和Li，X.（2016）。最优均值回归交易：数学分析和实际应用。金融工程的现代趋势。世界科学，新加坡。Leung，T.，Li，X.，和Wang，Z.（2014）。最佳启动–以固定成本停止和切换CI R流程。风险与决策分析，5（2）：149–161。Leung，T.，Li，X.，and Wang，Z.（2015）。具有交易费用的指数OU模型下的最优多次交易时间。随机模型，31（4）：554–587。Leung，T.和Liu，P.（2012）。风险溢价和信用衍生品的最优清算。《国际理论与应用金融杂志》，15（8）：1250059。Leung，T.和Ludkovski，M.（2011年）。最佳购买时机。暹罗金融数学杂志，2（1）：768–793。Leung，T.And Ludkovski，M.（2012）。考虑衍生品购买时机中的风险规避。数学与金融经济学，6（4）：363–386。Leung，T.和S hirai，Y.（2015）。最优衍生品清算时机和路径相关风险惩罚。《金融工程杂志》，2（1）：1550004。Leung，T.和Yamazaki，K.（2013）。美国递增和递减信用违约掉期模型。定量金融，13（1）：137–157。Mencia，J.和Sentana，E.（2013年）。波动率估值。《金融经济学杂志》，108（2）：367-391。Sircar，R.和Papanicolaou，A.（2014年）。波动率指数和标普500指数的制度转换赫斯顿模型隐含波动率。《定量金融》，14（10）：1811-1827。Stepanek，C.（2015）。商品期货定价方法与协整技术的比较。

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