波动率指数期货的市场模型

2022-5-8 00:49:48

VIX期货的市场模型Salexander Badran和Beniamin GoldysApril 3，2015摘要本文提出了一种新的建模方法，直接规定了VIX期货期限结构的动态。该方法的动机是直接规定VIX动态的模型所带来的可操作性、利率建模中观察到的实践，以及开发一个平台以更好地理解VIX期权隐含的实用性的愿望。本文的主要贡献是推导了波动率指数和股票衍生品联合市场之间不存在仲裁的必要条件。这种情况类似于利率模型中著名的HJM漂移限制。这些限制还解决了一个与现有建模方法相关的基本开放问题，在该方法中，波动率的动态是直接规定的。本文最后给出了主要结果的一个应用，该结果表明，当直接对VIX期货建模时，必须限制相应随机波动率模型的漂移和扩散，以防止套利。关键词：波动率指数、波动率指数期货、波动率指数期权、市场模型、HJMContents1简介2预备知识52.1市场惯例。52.2波动率指数的理论定义。62.3指数和波动率指数期货动态。83从指数103.1推导波动率指数的动力学，这是扩散项的另一种表示形式。

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2022-5-8 00:49:52

144从VIX期货中推导VIX的动态155一致性条件176应用-比例波动率217结论25A命题证明3.1 25B辅助结果281简介芝加哥期权交易所波动率指数，通常称为VIX，是市场对30天内指数波动性的预期的近似值。波动率指数衍生品为市场参与者提供了一种机制，可以投资于市场对波动性的预期，而无需购买指数期权。投资者可以通过追逐VIX期货或VIX期权（近年来越来越流行）来获得波动性敞口。2004年，波动率指数期货开始交易，随后又在2006年对波动率指数进行了操作。由于产品在基础指数和波动率指数上都有交易，因此最好使用一个模型，该模型可以同时在两个指数上产生产品的观察特征，同时避免套利。本文提出了一种直接描述波动率指数期货期限结构动态的新建模方法。该方法的动机是直接规定波动率指数动态的模型所具有的可操作性、利率建模中观察到的实践，以及开发一个平台以更好地理解波动率指数期权隐含波动率的愿望。在现有文献中，已经为联合建模任务提出了许多解决方案。现有方法可根据交易工具市场的假设进行分类。所有现有模型通常可分为以下类别之一：（a）基础指数是主要交易证券。

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2022-5-8 00:49:55

指数期权、波动率指数期货和波动率指数期权的定价与标的指数相关。（b）基本指数和连续的方差互换是主要的交易证券。指数期权、波动率指数期货和波动率指数期权是相对于这些产品定价的。（c） VIX是直接建模的。VIX期货和VIX期权的定价是相对于VIX的。对于属于（a）类的模型，基础指数的动态在定价度量下是特定的，衍生工具的贴现价格表示为局部鞅。波动率指数的平方被定义为指数的预期实际方差，波动率指数上某个变量的贴现价格被表示为相同度量下的局部鞅。关于波动率指数衍生品的大部分文献都属于这一类。Zhang and Zhu（2006）假设Heston（1993）随机波动率动力学，给出了VIX期货的一个表达式。Lin（2007）提出了一个基于凸性修正的波动率期货近似公式，当标准普尔500指数由赫斯顿扩散过程建模时，该公式随后被用于对波动率期货进行定价，该过程伴随着标普500指数和波动率过程（SVJJ）的同时跳跃。朱和廉（2012）给出了一个更一般的结果，他们假设标准普尔500 asLin（2007）具有相同的动力学，并推导出了VIX未来合约的精确定价公式。关于VIX期权的文献通常与VIX期货的文献相似：通常假设基础指数存在有效的随机波动性动力学，这使得在推导期权定价公式时能够保持一定的可操作性。Sepp（2008）中，标准普尔500指数的演化考虑了具有方差跳跃和时间相关参数的平方根随机方差模型，而Lian和Zhu（2013）给出了SVJJ动力学下的期权定价公式。

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2022-5-8 00:50:00

Sepp（2011）和Papanicolaou and Sircar（2013）试图捕捉VIX期权隐含倾斜的经验观察特征。前者考虑了一系列参数和非参数模型，而后者则采用了一种制度转换随机波动模型。在巴尔多和巴德兰（2014年）中，考虑了一个非3/2 plus jumpsmodel。推导了波动率衍生工具的定价公式，数值结果表明，3/2模型是波动率衍生工具和股票衍生工具联合建模的良好候选模型。对于属于第二种方法的模型，假设方差互换市场的流动性足以证明将方差互换作为模型输入的合理性。扩展市场使模型能够更好地捕捉方差和波动性市场中观察到的期限结构特征。与前一类模型类似，VIX是根据主要工具定义的，VIX上衍生工具的贴现价格表示为本地鞅，其定价方法与指数上衍生工具的定价方法相同。参见Bergomi（2005年）、Bergomi（2008年）、Buehler（2006年）和Gathereal（2008年），进一步讨论本课程中的模型。提出任何模型的第一步是对交易工具的类别做出假设。在方法（a）和（b）中，假设指数工具和可能的变量互换是流动交易。假设液体交易仪器的动力学模型，从而导出VIX的表达式。通过构造，这些方法可以保证波动率指数的假设动态与基础证券的假设动态一致。然而，在这个框架下对冲VIX衍生品是一项不平凡的工作。

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2022-5-8 00:50:03

与其他与波动性相关的产品不同，由于定义中使用的非线性变换，波动率指数不可交易，也不能完全适用，这使得波动率指数实际上在方法（a）和（b）的设置中是一个非常重要的练习。本文提出的一种与波动率相关的建模方法是（c）类，其中波动率的动态是直接指定的。在定价措施下假设了动态性，衍生工具的定价是对其未来收益的贴现预期。文献中有几种这种方法的例子。Grunbich-ler和Longsta off（1996）考虑了波动率指数演变的均数回复平方根过程，并给出了波动率指数衍生品的封闭式定价公式。Psychoyios等人（2010年）得出结论，波动率时间序列数据和波动率导数的封闭式公式支持了带跳跃的阿美回复对数微分。Kaeck和Alexander（2010）考虑了各种型号s的特性。作者评估了各种风险管理和衍生品定价应用模型的性能。inGoard和Mazur（2013）对VIX的一维扩散进行了实证分析，作者得出结论，纯扩散3/2模型最适合捕捉VIX的动态。然后，在这种情况下，衍生工具的定价相对于波动率指数。Drimus和Farkas（2012）试图在线性均值回复动力学假设下，复制源自杜皮尔（1993）的VIX衍生品局部波动面概念。

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2022-5-8 00:50:07

作者认为，相对于VIX期货，VIX市场已经足够成熟，可以对VIX期权进行定价和对冲，这是市场实践，因此有理由忽略基础指数的动态性。这些模型有几个复杂性。第一个挑战在于确保基础指数和VIX衍生品之间的联合市场不存在套利。为了确保市场无套利，需要对波动率指数的动态进行限制，这是一个文献中尚未解决的问题。在其他金融领域，确保无动态套利的限制的推导是一个众所周知的问题。在利率建模中，HJM漂移条件（Heath et al.（1992））确保直接对远期利率建模时不存在套利。方差互换市场的方差曲线模型类似于利率市场的远期利率模型。Buehler（2006）推导了方差曲线套利条件，并解决了有限维实现和模型一致性问题。通过直接规定动态toBlack-Scholes隐含波动率（参见Sch–onbucher（1999）、Brace et al.（2001）和Schweizer and Wissel（2008））为期权市场模型提供了许多类似结果的尝试。然而，由于状态空间的高维性和Black-Scholes隐含的非线性，期权的情况要复杂得多。本文的主要贡献是理论5。定理3和定理5.4，其中陈述了波动率指数和股票衍生品联合市场之间不存在套利的必要条件。与这种建模方法相关的另一个复杂性在于风险市场价格的适当规定。

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2022-5-8 00:50:10

由于波动率指数不可交易且不可复制，因此通常不会观察到将衍生工具与其基础资产联系起来的通常关系。VIX期货不受传统的套利成本关系的限制，与现货相比，VIX期权违反看跌期权平价关系。通过直接对波动率指数期货建模（与波动率指数本身相反），避免了适当选择风险市场价格所涉及的复杂性。这类似于利率模型中s短期利率模型与前向曲线模型的比较。与直接的波动率相比，波动率指数期货建模的最终驱动因素是波动率指数期权隐含波动率的概念。为了正确理解VIX期权隐含波动率的数学特征，需要一个将VIX期货的动态与基础指数联系起来的框架。Cox和Hobson（2005）和Roper（2010）对传统期权和隐含波动率表面的无套利限制进行了全面的解释。为此，作者们依赖于等价鞅测度的概念。为了将这些概念扩展到波动率指数和股票衍生品的联合市场，需要具备存在此类措施的必要条件。本文的剩余部分如下。本文的市场惯例、建模框架和数学预备知识在第2节中有详细说明。在第3节中，我们推导了VIX指数的一般半鞅表示。动力学在命题3中陈述。4.表示法相当繁琐，推论3中提供了简化设置中差异项的另一种形式。6.第4节涉及直接对波动率指数期货的期限结构建模的影响。

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2022-5-8 00:50:13

命题4中推导了代表VIX函数方程组所暗示的VIX过程的动力学。1.第5节涉及基础指数和波动率指数期货期限结构联合建模的影响。第3节和第4节中对动态的限制是为了避免波动率指数和股票衍生品的联合市场之间存在套利。这些限制在定理5中有说明。3.本文以第6节作为结论，其中给出了主要定理的应用。该应用表明，通过直接对波动率指数期货建模，必须限制相应的短期波动率模型的d裂痕和差异，以排除套利。2.本节介绍了本文中采用的初步市场惯例和建模框架。首先说明了波动率指数的市场定义，然后是波动率指数的理论定义以及关于交易工具动态的假设。2.1市场惯例波动率指数试图为投资者提供一个无模型的标准普尔500指数30天波动率市场预期指标。波动率指数的市场定义基于期权合同中预期实现的差异，如下所述。定义2.1。

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2022-5-8 00:50:17

CBOE VIX的计算公式为]V IXmrkt（T）：=vuuut2er（T）-t） t- tXj∈IΘjkjkj-T- TFP-CPk- 1.× 100; （1）哪里-t：是时间范围（通常为30天）。r：指从时间t到时间t的无风险利率。k：是一种“在钱的时候”的罢工，罢工的目的是最大限度地减少在时间t的输入和看涨期权价格之间的差异，在时间t到期。kj：是JTH攻击，kj<kj+1。Θj：是指在时间t，行使期限在时间t到期的现金期权的价格，计算为买卖价差的平均值。如果使用j<0看跌期权，如果使用j>0看涨期权，对于j=0，则使用看跌和看涨价格的平均值。I：是由罢工命令的所有j的集合，对于这些j，市场上存在报价罢工，并提供：–如果Θjis的投标价格为零，则j/∈ 一、－如果满足两个连续的零出价，则总和停止。kj：是中心对称差（kj+1）- 千焦-1），除了第一次和最后一次出现的单边差异，以kj为准- 千焦-1或kj+1- 使用适当的kjis。FP CP：是远期指数水平，使用gFP CP:=k+er（T）计算-t）（C）- P），其中，可以将t时间的看涨期权和看跌期权的中间价与t时间的终止价和到期价进行比较。如果期权到期前30天内没有期权，通常情况下，BOE会在两个最接近的到期日计算的CBOE VIX squ之间插值，即V IXmrkt:=s（T）- t） ]V IXt（t）NT- 30元- NT+（T- t） ]V IXt（t）30- 新界北- 新界（2）其中t<t<t+30天<t表示从t到时间t的天数。由于CBOE VIX始终在30天的时间范围内定义，因此忽略了对T的依赖性。VIX是使用流动报价指数期权定义的，但ind-ex本身是不可交易的。

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2022-5-8 00:50:20

投资者可以通过VIX期货和VIX欧洲期权对VIX指数的价值进行定位，VIX是流动交易工具。VIX期货和VIX期权提供与到期时VIX指数价值相关的现金结算金额。由于VIX指数不可交易的事实，通常在期权及其基础g之间观察到的传统关系对VIX期权没有影响。然而，波动率指数期权和波动率指数期货之间存在关系。有关波动率指数和波动率指数衍生品市场定义的更多信息，读者请参考BOE（2009）白皮书。由于波动率指数的定义比较繁琐，文献中采用了简化方法，以实现数学可处理性。在下一节中，将介绍本文采用的定义和文献中经常观察到的简化。2.2 VIX的理论定义本文根据欧式期权定义VIX。这样做是为了避免一般性的潜在损失，因为没有与这种定义相关的隐式模型假设。该定义独立于关于风险中性度量和无套利的任何假设。在做出额外假设后，可以恢复预期实现差异的表示。然而，在做出假设之前，陈述可能不成立。这是ubtle的观点，在即将到来的Lemm a 2.5中有说明。备注2.1。通篇的惯例是使用一个循环来表示在固定到期日之间的过程，而不使用重音来表示在到期之前的时间段内的过程。备注2.2。对于以下定义，需要进一步假设以确保^vt表现良好。

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2022-5-8 00:50:23

例如，无本金看跌期权需要像k0一样快速衰减，以确保vt不会爆炸。通常会做出额外的假设，以确保^vt得到充分定义。定义2.2。对于所有T>T，让^Vt（T）：=sT- tZ∞^Θt（k，t；^Ft（t））km（dk），0≤ t<t，（3）式中，^Ft（t）是在时间t到期的指数期货，^t（k，t；^Ft（t））是一个具有行使k和到期t的货币指数期权，而m（·）是一个未指定的度量。备注2.3。^Vt（T）作为TT的行为取决于^Vt（·T；^Ft（T））作为TT的行为。虽然具有数学重要性，但本文并未对这种限制行为进行研究，因为VIX定义为固定的T>T定义2.3。尽管如此，t≥ 0和f或固定τ*> 0，VIX由Vt:=^Vt（t+τ）给出*), t>0。（4）自τ*是一个自始至终固定不变的常数，将其作为过程V的参数进行抑制不会造成一般性损失。为简单起见，期货合约的依赖性为ont+τ*在接下来的分析中被抑制。根据具体应用，可以选择不同的m（·）。特别是，为了恢复波动率指数的离散走向定义，可以选择某种形式的离散度量，而对于连续走向设置，可以选择勒贝格度量。以下定义的动机是VIX的连续罢工定义，这是文献中观察到的一种普遍简化。定义2.4。假设度量m（·）被选择为asm（·）=N×mL（·），其中N≡ 2×100毫升（·）表示勒贝格量度。那么VIX由vt=sNτ给出*Z∞Θt（k，t+τ）*; Ft（t+τ）*))Kd和该数量被称为波动率指数的连续走向定义。根据定义2中给出的sp规定。4.在对基础指数进行附加假设后，可以推导出VIX的更简单表示形式。

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2022-5-8 00:50:28

这种展示是大多数模型的典型起点，也是下面引理的主题。引理2.5。假设选择定义2.4中规定的度量m（·）。进一步假设存在一个测度Q，使得指数期货和期权是Q-鞅。然后VIX可以写为vt=s-Nτ*情商自然对数Ft+τ*英尺英尺. （5）证据。固定时间≥ 0，fixω∈ Ohm. 自Ft+τ*(ω) ∈ R+，ω ∈ Ohm, 对于f（s）=ln（s）和x=Ft+τ*（ω） LemmaB。1 yieldsln（Ft+τ）*（ω））=ln（Ft）+E（Ft+τ*(ω) - （E）-Z∞E（Ft+τ）*(ω) - k） +kdk-泽（k）- Ft+τ*（ω））+kdk。由于ω是任意的，上述方程适用于任何ω∈ Ohm. 在测量Q下对fts进行条件期望，并重新安排givesZ∞EkCt（k，t+τ）*; Ft）dk+ZEkP（k，t+τ）*; Ft）dk=-等式[ln（Ft+τ）*)|英尺]+ln（英尺）+E（英尺）- E）。（6）计算上述方程的E=fta，并将两边乘以2×100/τ*完整的证据。惯例是通过基础指数已实现方差的风险中性预期来近似VIX的平方。时间t的波动率通常用vt近似≈ -√τ*×qEQ（[lnf]t+τ）-[ln F]t|Ft）τ=30天，（7），其中[·]用于表示二次变化，Ft表示在时间t+τ到期的指数期货。随机过程的预期实现方差有许多不同的表示形式，其中一种表示形式，如Lemm a2中的对数表示形式。5，通常用于定义波动率指数。根据预期实现方差定义VIX的一个结果是，模型假设隐含在定义中。这些模型假设是波动率指数起源的基础，然而，波动率指数在任何固定时间点的市场定义都是观察到的市场价格的函数，与之前做出的任何假设无关。

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2022-5-8 00:50:31

外稃2。例如，如果指数是严格的局部鞅，而不是真鞅，则5 m可能不成立。2.3指数和波动率未来动态本节说明了建模框架和关于交易工具类别的假设。设置比较一般；假设资产为连续过程，允许任意大小的有限维变现。考虑交易区间为[0，T]的连续时间经济*] 对于固定的地平线日期T*> 0.设（Wt=（Wt，Wt，…，Wdt））0≤T≤T*上的（d+1）维布朗运动(Ohm, F、 F，P），其中F=（Ft）0≤T≤T*是W生成的P-增强过滤。假设2.6。（A1）对于每个i=0。。。，d、设σi:[0，T*]×Ohm → Rd+1+和ui:[0，T*]×Ohm → Rbe F-adapted流程，带ZT*|uis|ds<∞ andZT*|σ为| ds<∞, P-a.s。。进程向量（Xt=（Xt，Xt，…，Xdt））0≤T≤T*∈ 假设Rd+1满足yxit=Xi+ZtXisuisds+ZtXisσis·dWPs，（8）对于每个i=0。。。，d、让F≡ 十、因此，未来的基本指数（Ft=Xt）为0≤T≤T*假设为一个随机过程，其动力学由ft=F+ZtFsusds+ZtFsσs·dWPs给出。（9）这种设置的动机是允许在提议的框架内检查现有模型，如随机波动模型。假设2.7。（A2）在任何时候∈ [0，T*], 该市场包含所有股票的看涨期权和看跌期权∈ [0, ∞) 直到到期的时间τ∈ （0，T*- t] 。期权在时间t的价格∈ [0，T*] 与罢工k∈ [0, ∞) 和到期τ∈ （0，T*-t] 是从Xt导出的，被认为是一个确定性函数，用C（k，τ，t，Xt）表示调用，用P（k，τ，t，Xt）表示put。对于所有0≤ T≤ T≤ T*, 设^FV（t，t）表示在时间t到期的VIX期货的价值。以下假设与波动率指数期货的动态有关。

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大多数88

2022-5-8 00:50:34

以下假设的目的是为Vix未来提供一个非常一般的规范，并且最初没有提供测量P的解释或背景。假设2.8。（A3）对于所有0≤ T≤ T*, 设ν（·，T）：[0，T]×Ohm → Rd+1+和uV（·T）：[0，T]×Ohm → R是F适应的过程。对于所有0≤ t<t≤ T*, 假设波动率期货的方程组满足^FV（t，t）=^FV（0，t）+Zt^FV（u，t）uV（u，t）du+Zt^FV（u，t）ν（u，t）·dWPu。（10）备注2.4。关于方程（10）形式的解的存在性和唯一性的结果，读者可参考Morton（1988）第4.6节。进一步假设，对于任何0≤ T≤ T*,ZT|uV（u，T）|du+ZT|ν（u，T）|du<∞, P-a.s.，并且对于所有的0，都很好地定义了极限^FV（t，t）=limTt^FV（t，t）=^FV（0，t）+Zt^FV（u，t）uV（u，t）du+Zt^FV（u，t）·dWPu≤ t<t*, P-a.s。。鉴于上述方程组，我们可以引入以下表示波动率期货隐含的波动率的过程。定义2.9。隐含VIX由EVT给出：=^FV（t，t），对于所有t∈ [0，T*].第3节涉及从基础指数推导VIX的动力学，假设（A1）和（A2）中规定的设置。在第4节中，（A3）的设置是假设的全部。波动率指数的隐含动态是本节的重点，分析独立于任何未定义指数的具体情况。第5节和第6节的重点是（A1）-（A3）的完整框架。3从指数中导出VIX的动力学。本节中，VIX的一般半鞅表示是在度量P下导出的，度量P用于表示真实世界或统计度量。对于大多数市场模型来说，一个典型的出发点是在等效鞅测度下直接指定建模数量的动态。

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2022-5-8 00:50:37

这样做是为了避免与风险市场价格的确定和度量的变化有关的复杂性。对现实世界动态进行分析的原因是，VIX经常用于实证调查，因为它是市场情绪的指标。从现实世界的衡量标准开始，也避免了风险中性衡量标准存在的复杂性。然而，最终目标是为衍生品的定价和对冲提供一个框架，这通常是在同等风险中性措施下的框架。本节不讨论此类措施的存在，而是理论5的主题。3和定理5.4在第五节中。本节的结构如下。伊藤-文策尔公式首次应用于确定波动率指数平方的动力学，当定义为具有固定经验的期权时。然后引入了一个关于到期前固定时间的Mu-Sielas参数化，从而可以推导VIX的控制随机微分方程。代表性见提案3.4。在推论3.5中，说明了规范2所暗示的动力学。1.陈述。提议3.1。假设第2节中（A1）和（A2）的设置。1是假设的，也就是说，在时间t，对具有罢工k和在时间t到期的索引的卖出和调用由函数^P（k，t，t，Xt）和^C（k，t，t，Xt）给出。

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能者818

2022-5-8 00:50:41

进一步假设∈ （0，T*],^P（·，T，·，·，·），^C（·，T，·，·）∈ C和^P（·，T，·，·，·），^C（·，T，·，·）∈ 所有（k，T，x）的R+×[0，T）×Rd+1+上的C1,1,2∈ R+×[0，T*) ×Rd+1+，^P（k，·，t，x），^C（k，·，t，x）∈ Con（t，t）*], 为了所有的x∈ Rd+1和0≤ t<t≤ T*,Z∞k^Θ（k，T，T，x）m（dk）<∞,Z∞K^Θt（k，t，t，x）m（dk）<∞,为了所有的x∈ Rd+1,0≤ t<t≤ T*i，j=0。。。，d、 Z∞K^Θxi（k，T，T，x）m（dk）<∞, 安兹∞K^Θxixj（k，T，T，x）m（dk）<∞.那么，尽管如此∈ （0，T*] 和t∈ [0，T），过程的动力学^Vt（T）被赋予n个比亚迪^Vt（T）=-T- t^Vt（t）dt+t- tZ∞K^Θt（k，t，t，Xt）m（dk）dt+t- tdXi=0Z∞K^Θxi（k，T，T，Xt）m（dk）dXit-2（T）- t） Ftd hF，F it+2（t- t） dXi，j=0Z∞K^Θxixj（k，T，T，Xt）m（dk）dXj、Xit、（11）证据。见附录A。备注3.1。等式（11）中的二次变化项和缺乏对称性是由于put调用奇偶性的应用。由于VIX是针对固定的时间范围定义的，因此引入类似Musiela的参数化是很有用的，这是下面引理的目的。有人可能会说，对于τ来说，这种呈现是不必要的∈ （0，T*- t] ，因为波动率始终在30天的时间范围内确定。然而，这种表述并非毫无价值，因为当定义基于arolling投资组合时，它为波动率指数的动态分析提供了一个起点（见等式（2））。引理3.2。对于所有τ>0，letYt（τ）：=^Vt（t+τ），t>0。（12） ThendYt（τ）=τZ∞KΘt（k，τ，t，Xt）+Θτ（k，τ，t，Xt）m（dk）- Yt（τ）dt-2τFtd hF，F it+τdXi=0Z∞KΘxi（k，τ，t，Xt）m（dk）dXit+2τdXi，j=0Z∞KΘxixj（k，τ，t，Xt）m（dk）dXj、Xit、 P-a.s。。证据

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能者818

2022-5-8 00:50:45

方程（11）和方程（12）暗示了动力学Y（τ）=Y（τ）+ZtdYs（τ）=Y（τ）+Ztd^Vs（s+τ）+Zt^VsT（s+τ）ds=Y（τ）-Ztτ^Vs（τ）ds+ZtτZ∞K^Θt（k，s+τ，s，Xs）m（dk）ds+dXi=0ZtτZ∞K^Θxi（k，s+τ，s，Xs）m（dk）dXis+dXi，j=0ZtτZ∞K^Θxixj（k，s+τ，s，Xs）m（dk）dXj、Xis-ZtτFsd hF，F为+ZtTτZ∞k^Θ（k，s+τ，s，Xs）m（dk）ds。将期权价格作为到期时间和积分下微分的函数，这是支配收敛定理yieldsYt（τ）=Y（τ）的结果-ZtτYs（τ）ds+ZtτZ∞KΘt（k，τ，s，Xs）+Θτ（k，τ，s，Xs）m（dk）ds-2τZtFsd hF，F为+dXi=0ZtτZ∞KΘxi（k，τ，s，Xs）m（dk）dXis+dXi，j=0ZtτZ∞KΘxixj（k，τ，s，Xs）m（dk）dXj、Xis、用相应的微分方程形式表示上述方程就完成了证明。定义3.3。让我来*t=Yt（τ）*). 自τ*是一个固定的，依赖于Y的*吨τ*被压制。关注的对象是VIX，而不是VIX的平方，下面的命题提供了VIX的动力学。提议3.4。让v（y）：=√Yy>0。因此Vt=v（Y*t） ,，t>0，vt的动力学由dvt=u（1）tVtdt+u（2）tVtd-hF，F it+dXi，j=0u（i，j）tVtd给出Xj、Xit+dXi=0w（i）tVtdXit，（13），其中V的漂移和扩散系数由方程su（1）t=-2τ*+2τ*VtZ∞KΘt（k，τ）*, t、 Xt）+Θτ（k，τ）*, t、 Xt）m（dk），（14）u（2）t=-4τ*VtFt（15）u（i，j）t=4τ*VtZ∞KΘxixj（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）-w（i）tw（j）t，（16）w（i）t=2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk），（17）P-a.s.，所有t>0。证据

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2022-5-8 00:50:49

根据伊藤公式，dVt=五、y（y）*t） dY*t+五、y（y）*t） d-hY*, Y*它，在哪里五、y（y）*t） =2Vtand五、y（y）*t） =-4Vt。因此，dVT=2τ*VtZ∞KΘt（k，τ）*, t、 Xt）+Θτ（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）- 及物动词dt-4τ*VtFtd hF，F it+4τ*VtdXi，j=0Z∞KΘxixj（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）DXj、XiT-8(τ*)VtdXi，j=0Z∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）Z∞KΘxj（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）DXj、Xit+2τ*VtdXi=0Z∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）dXit，P-a.s。。引入方程（14）-（17）中定义的u（1）t、u（2）t、u（i，j）和w（i）t，完成了证明。推论3.5。第2.1节（A1）中规定的指数动态意味着vtsatiesdvtvt=utdt+dXi=0w（i）tXitσit·dWPt，（18）其中V的漂移和扩散系数由方程sut=dXi=0w（i）tXituit给出-2τ*+2τ*VtZ∞KΘt（k，τ）*, t、 Xt）+Θτ（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）-σt·σt4τ*Vt+dXi，j=0XitXjt4τ*VtZ∞KΘxixj（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）-w（i）tw（j）t！σit·σjt（19） andw（i）t=2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）。（20）证据。结果是命题的直接结果。方程（8）和方程（9）。备注3.2。考虑到系数的形式，方程（18）是否存在解并不明显。然而，在非常温和的假设下，V是一个严格正过程，因此具有局部解的半鞅表示。为了确保V具有全局解决方案和有限的预测，这对于实际目的是有用的，需要额外的假设。备注3.3。许多建模方法都是从假设VIX的半鞅表示开始的。为了从第一原则中获得这种表述，必须对期权价格过程进行假设，以确保基本数量存在并得到充分定义，如本节中进行的分析所示。

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2022-5-8 00:50:52

尽管表面上看起来很简单，但本节的结果表明，存在与VIX直接建模相关的隐藏复杂性。在直接模拟VIX时，进行了许多涉及基本量的隐式假设。3.1分歧术语命题的另一种表述3。4为指数期货和指数期权提供了波动率指数动态的表示。在下文中，差异系数的另一种表示形式为w（i）t=2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、公式（17）中给出的Xt）m（dk）是建议的。下面的分析不受吉尔萨诺夫定理应用的影响，因为乘法项是度量不变的，并且独立于关于市场完整性和风险市场价格的任何假设。以下推论提供了扩散项的另一种表示形式，并要求在第5节进行未来分析。推论3.6。假设度量m（·）被选为定义2中的规格。4.进一步假设存在测度Q，使得指数期货和期权是Q鞅。那么VIX的扩散项可以表示为w（i）t=-N2τ*及物动词xi等式[ln（Ft+τ）*)|Xt=x]- ln（英尺）.证据这个证明与引理2几乎相同。5.定理2证明中的等式（6）。5意味着∞EkC（k，τ）*, t、 Xt）dk+ZEkP（k，τ）*, t、 Xt）dk=-等式[ln（Ft+τ）*)|英尺]+ln（英尺）+E（英尺）- E）。右边的条件期望可以用时间t的过程X的值来表示，这是马尔可夫性质的结果。

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能者818

2022-5-8 00:50:56

选择E=FTA，并根据产量进行差异化xiZ∞kΘ（k，τ）*, t、 x）dkx=Xt=-xi等式[ln（Ft+τ）|Xt=x]- ln（英尺）.两边乘以N，除以2τ*Vt和积分下的微分，作为支配收敛定理的结果是有效的，完成了证明。备注3.4。市场实践严重依赖于黑色隐含波动率的概念，这是一种传统衍生产品的惯例。传统的隐含波动率已经得到了很好的研究，它有许多被充分证明的复杂性。由于基础指数和波动率指数之间的联系，波动率波动率带来了许多额外的复杂性，而且在数学结果方面几乎没有进展。推论3中扩散项的表示。6为此类分析提供了潜在的第一步。4从波动率期货推导波动率期货的动力学在本节中，关注的对象是波动率期货方程（10）中给出的方程组。波动率指数的隐含动态是本节的重点，分析独立于基础指数的任何规定。要推导波动率指数和股票衍生品联合市场的套利限制，必须首先推导波动率指数期货隐含的波动率指数动态。在以下命题中，波动率指数的动力学来自波动率指数期货的方程组。该程序类似于从远期利率曲线中恢复短期利率，这是利率建模中众所周知的结果。提议4.1。假设第2节中（A3）的设置。假设系数uV（t，t）、ν（t，t）和初始波动率期货期限结构^FV（0，t）相对于t是不同的，有界偏导数uVT（t，t）、νt（t，t）和^FVT（0，t）。

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2022-5-8 00:51:00

然后用evt=eV+ZtξueVudu+ZteVuν（u，u）·dWPu（21）给出了隐含VIX的动力学，其中ξ表示以下过程ξt=FVT（0，t）FV（t，t）+^FV（t，t）ZtuV（u，t）FV（u，t）du+FV（t，t）Zt（u，t）FV（u，t）vv（u，t）vv（u，t）·dWPu。（22）证据。回想一下，隐含的波动率满足率vt=^FV（t，t）=^FV（0，t）+ZtuV（u，t）^FV（u，t）du+Zt^FV（u，t）ν（u，t）·dWPu。因此，evt=^FV（0，t）+ZtuV（u，t）^FV（u，t）du+Zt^FV（u，u）ν（u，u）·dWPu+Zt^FV（u，t）ν（u，t）-^FV（u，u）ν（u，u）· dWPu=^FV（0，t）+ZtuV（u，t）^FV（u，t）du+ZteVuν（u，u）·dWPu+Zt^FV（u，t）ν（u，t）-^FV（u，u）ν（u，u）· 德普。对于固定的u>0和每个i=0。。。，d、 ^FV（u，t）ν（u，t）-^FV（u，u）ν（u，u）=Ztudds[^FV（u，s）ν（u，s）]ds=Ztuh^FV（u，s）νT（u，s）+^FVT（u，s）ν（u，s）id。目前，英国电信（u，t）du+Zt（u，t）du（u，t）du（u，t）FV（u，t）TV（u，u）·dWPu+ZTTpu（u，u，s）TTTTTZ图什（u，s）FV（u，s）FV（u（u，s）TZTTpu（u（u，u，u，s）TTZTZTpu（u）du（u）du（u（u，u，u，u，s）TZTZT）du（u）du（u，Zt）du（u，u）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u，t）du（u）du（甚至用于交换积分顺序。写出^FV（0，t）=eV+Zt^FVT（0，u）段，并引入等式（22）中定义的过程ξ，完成证明。5一致性条件在本节中，推导出了对波动率指数和波动率指数期货系列过程动力学的限制。这些限制对于波动率指数和股票衍生品的联合市场之间不存在套利是必要的，称为一致性条件。以下两个定义精确描述了这些条件。条件5.1（C1）。P（Vt=eVt）=1，所有0≤ T≤ T*, P-a、其中ev是等式（21）中给出的过程。条件5.2（C2）。

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2022-5-8 00:51:03

存在一个等价的鞅测度Q~ P、对于基础指数和波动率指数，指数上的期货和期权以及波动率指数上的未来都是Qmartingales。第一个条件是限制的结果，即VIX和VIX期货隐含的动态必须是同一过程的版本。这种情况只需要两个不同的过程，一个过程可以得出的波动率是一致的。第二个条件是标准的无仲裁条件，它是通过应用吉尔萨诺夫定理得到的。一致性条件等价于即将推出的定理5。3和定理5.4。定理5.3的起点是一个等价的鞅测度，由此导出漂移和扩散限制。理论5。4从drif t和diffusion限制开始，关注等价鞅测度的存在性。定理5.3。假设存在一个测度Q~ P证明指数期货和波动率指数期货是Q-鞅。然后存在风险的市场价格λ，与RT*|λs|ds<∞, P-a.s.，这样所有的T∈ [0，T*- τ*] 和t∈ [0，T]，uT=- λt·σt，（23）uV（t，t）=-λt·ν（t，t），（24）对于每个j=0。。。，d、 νj（t，t）=dXi=0Xit2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）σi，jt, （25）σi=（σi，1，σi，2，…，σi，d）和2τ*+σt·σt4τ*Vt+Xi，j=0XitXjtw（i）tw（j）tσit·σjt+ λt·dXi=0witXitσit=^FV（t，t）Zt（λt·ν（t，t））^FV（u，t）du-^FVT（0，t）^FV（t，t）-^FV（t，t）Zt（^FV（u，t）νt（u，t）+^FVT（u，t）ν（u，t））·dWPu，P-a.s。。（26）证据。让Q~ P是上的等价鞅测度(Ohm, 英尺*). 那么aλ的存在性，与rt*|λs|ds<∞, P-a.s.是Radon-Nikod\'ym定理的直接结果。比基尔萨诺夫的理论wqt=WPt-Ztλsds（27）定义了Q下的布朗运动。

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2022-5-8 00:51:08

因此dftft=utdt+σt·dWQt+λtdt=ut+λt·σtdt+σt·dwqtand^Θ（k，t，t，Xt）=^Θt（k，t，t，Xt）dt+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）dXit+dXi，j=0^Θxixj（k，T，T，Xt）dXj、Xit=^Θt（k，t，t，Xt）dt+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）Xituitdt+dXi，j=0^Θxixj（k，T，T，Xt）dXj、Xit+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）Xitσit·dWPt=^Θt（k，t，t，Xt）dt+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）uit+λt·σtXitdt+dXi，j=0^Θxixj（k，T，T，Xt）dXj、Xit+dXi=0^Θxi（k，T，T，Xt）Xitσit·dWQt。无套利条件，称为条件5。2（C2），意味着∈ [0，T*],ut=-λt·σt，Q- a、 f或所有k>0，每个T∈ （t，t*],Zt^Θt（k，t，s，Xs）ds+dXi=0^Θxi（k，T，s，Xs）Xisuisds+dXi，j=0^Θxixj（k，T，s，Xs）dXj、Xis= -Ztλs·dXi=0^Θxi（k，T，s，Xs）Xisσ是！ds，Q-a、 s。。引入变量T:=T+τ的变化，并将期权价格表示为到期时间的函数，对于所有τ∈ [0，T*] 和t∈ [0，T*- τ] ，givesZtΘt（k，τ，s，Xs）ds+Θτ（k，τ，s，Xs）ds+dXi=0Θxi（k，τ，s，Xs）Xisuisds+dXi，j=0Θxixj（k，τ，s，Xs）dXj、Xis= -Ztλs·dXi=0Θxi（k，τ，s，Xs）Xisσ是！ds，（28）表示所有k>0。推论3。5和方程（28）在τ=τ时计算*暗示DVTVT=-2τ*+σt·σt4τ*Vt+Xi，j=0XitXjtw（i）tw（j）tσit·σjt+ λt·dXi=0witXitσitdt+dXi=0w（i）tXitσit·dWPt。（29）在风险中性度量Q，d^FV（t，t）下，等式（10）中的过程族给出的波动率期货动态满足=uV（t，t）+λt·ν（t，t）^FV（t，t）dt+^FV（t，t）ν（t，t）·dWQt。无套利条件，称为条件5。2（C2），再次暗示，对于所有∈ [0，T]，uV（T，T）=-λt·ν（t，t），Q- a、 s。。

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2022-5-8 00:51:11

（30）命题4。1和等式（30）意味着VIX满足动态eVt=ξteVtdt+eVtν（t，t）·dWQt，（31），其中过程ξ由ξt=^FVT（0，t）^FV（t，t）定义-^FV（t，t）Zt（λt·ν（t，t））^FV（u，t）du+^FV（t，t）Zt（^FV（u，t）νt（u，t）+^FVT（u，t）ν（u，t））·dWPu。条件5。1（C1）要求波动率和隐含波动率的动力学是同一过程的版本。将等式（29）和等式（31）中的漂移系数和扩散系数设为等式，即可完成证明。定理5.4。假设u、σ、ξ和ν作为F和^FV的函数，满足所有T的方程（23）（26）∈ [0，T*-τ*] 所有这些都不是∈ [0，T]，P-a.s.，对于某些过程λ，带RT*|λs|ds<∞,P-a.s.，安第普EZ·λsdWPsT*F= 1.进一步假设[0，T]上存在一个适应过程F*- τ*] 以及一系列适应过程^FV（·，T），用于所有T∈ [0，T*-τ*], 关于满足方程（9）和方程（10）的[0，T]。然后，xi有一个等价的度量，Q~ P、英国《金融时报》*, 对于（英尺）0≤T≤T*和（^FV（t，t））0≤T≤T、尽管如此，T∈ [0，T*], 因此，指数期货和波动率指数期货都是Q-鞅。备注5.1。Dqdp:=E给出了一个这样的度量Z·λsdWPsT*, （32）其中E（·）表示随机指数。证据测度Q的存在性~ P是通过直接应用Girsanov的定理得到的。定理r的证明。4是定理5.3的证明。备注5.2。定理5.4的鞅测度可能不是唯一的，因为可能存在未交易的风险源。从实践角度来看，复制未定权益的能力可能比amodel的理论完整性更令人感兴趣。理论5。定理3和定理5.4提供了一种无套利的表示方法，使VIX期权能够与VIX期货合约直接对冲。备注5.3。

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2022-5-8 00:51:15

定理5.3和定理5.4对指数和波动未来的漂移和扩散系数进行了限制。鞅测度的非唯一性通过漂移限制中λ的存在进入定理。然而，由于乘法项是度量不变的，因此应用Girsanov定理并不影响效率。对差异系数的分析不依赖于关于市场完整性和风险市场价格的任何假设。由于Vt一词的存在，对差异术语的限制相当不标准，解释也不明确。6关注理论的含义。定理3和定理5.4关于th eVIX的扩散项。在介绍该定理之前，考虑以下关于差异项的假设。函数形式是从为VIXfutures指定模型的角度出发的。指数的微分系数取决于Vt的原因是，这可能是VIX期货假设动态的隐含结果。假设5.5。扩散系数σ是过程X和V的函数，而过程ν是波动率期货曲线^FV的函数，因此σt=σ（t，Xt，Vt），而ν（t，t）=ν（t，t，^FV（t，t））。以下定理中的偏微分方程（PDE）限制了微分系数σ和dν的选择，因此关节动力学一致。其结果在某种程度上是一个投资问题；给出了方程的解，但系数未知。定理5.6。假设测量值m（·）被选为定义2中规定的值。4.

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2022-5-8 00:51:18

那么，就不存在理论意义上的联合套利了。3和定理5.4，对于所有t≥ 0和x∈ Rd+1+，dXi=0xiσi，j（t，x，ph（t，x））Hxi（t，x）=2h（t，x）νj（t，t，ph（t，x）），j=0。。。，d、（33）h（t，Xt）=Vt.证明。定理5.3中的等式（25）表明，对于每个j=0。。。，d、 νj（t，t，Vt）=dXi=0Xit2τ*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）σi，jt, （34）带σi=（σi，1，σi，2，…，σi，d）T.回忆推论3。6，其中说明了扩散项2τ的以下替代表示*VtZ∞KΘxi（k，τ）*, t、 Xt）m（dk）=-N2τ*及物动词xi等式[ln（Ft+τ）|Xt=x]- ln（英尺）.外稃2。5和马尔可夫性质意味着VIX可以表示为vt=-Nτ*情商自然对数Ft+τ*英尺Xt=x=: h（t，x），对于某些函数h:[0，t*] ×Rd+1+→ R+，因此νj（t，t，ph（t，x））=dXi=0xi2h（t，x）σi，j（t，x，ph（t，x））Hxi（t，x）, j=0。。。，d、（35）两边乘以2h（t，x）就完成了证明。6应用-比例挥发本节提供了主要结果的应用。研究了波动率期货的一类期限结构模型，并给出了相应的理论。6是用来推导模型假设对未贴现指数动态的影响，从而使联合市场不存在套利。这个例子表明，在对基础指数和波动率指数期货的联合动态进行建模时，不可避免地会涉及复杂性，必须小心避免套利。该模型是满足第5节所述限制的模型的特例，但假设风险中性度量Q已被执行，并且在该度量下直接规定了动力学。VIX期货期限结构的最简单非负模型是几何布朗运动。

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2022-5-8 00:51:22

随机性的影响是以乘法的方式将整个期货期限结构向上或向下移动，期权通过直接应用布莱克公式定价。该示例很好地说明了建模方法的含义，以及VIX隐含波动率分析的第一步，因为这些波动率是使用Black公式计算的。在下文中，假设基础指数由单因素随机波动率模型驱动。更准确地说，让u：[0，∞) → R和σ：[0，∞) → R可以是两个函数。我们假设指数过程（Ft）的动力学由一个方程组定义dFtFt=pXtdWtdXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dZt，（36），其中W和Z是度量Q下的相关F-适应布朗运动。我们假设每X=X≥ 0和F=F≥ 系统（36）存在唯一的强解（Ft，Xt），使得P（Xt>0）=1，对于所有t≥ 特别是Zt|u（Xs）|ds+Zt|σ（Xs）|ds<∞ Q- a、美国推论6.1。假设波动率期货满足方程族d^FV（t，t）=β（t，t）^FV（t，t）dZt，0≤ t<t≤ T*, （37）对于某些β：U→ R+式中U={（t，t）|0≤ t<t≤ T*}, 基础指数的动态由随机波动率模型给出（36）。那么，为了不存在套利，β（t，t）、u（x）和σ（x）必须满足β（t，t）≡ γ和u（x）=σ（x）σx（x）- γ,有一段时间∈ R+和t≥ 0和x≥ 0.证明。根据推论2。5.波动率满足率vt=s-Nτ*情商自然对数Ft+τ*英尺英尺.方程（36）中规定的动力学进一步表明vt=s-Nτ*情商Zt+τ*TFSDF-Zt+τ*t2Fsd hF，F为英尺=sN2τ*情商Zt+τ*TXSD英尺=sN2τ*情商Zt+τ*TXSDXt=x=:ph（x），对于某些函数h:R+→ R+。

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2022-5-8 00:51:25

由于Xt的马尔可夫结构，函数h（x）与t无关，这可以通过引入变量h（x）=N2τ的简单变化来观察*等式“Zt+τ”*TXSDXt=x#=N2τ*等式“Zt+τ”*tXs-tdsX=X#=N2τ*等式“Zτ”*XrdrX=X#。接下来，引入函数h（t，x）：=N2τ*等式“Zτ”*tXrdrX=X#，0≤ T≤ τ*, （38）使H（0，x）≡ h（x）和函数h（t，x）是柯西问题的唯一解（见定理7.6 inKaratzas和Shreve（1991））Ht（t，x）+u（x）Hx（t，x）+σ（x）Hx（t，x）+x=0，0≤ t<τ*,H（τ）*, x） =0。微分方程（38）并取极限t0意味着Ht（0+，x）=-x、在t=0时评估上述方程意味着h（x）满足u（x）Hx（x）+σ（x）Hx（x）=0。（39）理论5。6意味着σ（x）和h（x）必须共同满足σ（x）Hx（x）=2β（t，t）h（x），（40）对于所有t≥ 0和dx≥ 0.使用h（x）在时间上是常数这一事实意味着β（t，t）≡ γ、对于某些γ>0。关于x产量的微分方程（40）σx（x）Hx（x）+σ（x）Hx（x）=2γHx（x）和σ（x）Hx（x）=σ（x）Hx（x）2γ -σx（x）= γh（x）2γ -σx（x）. （41）等式（39）-（41）暗示2γh（x）u（x）σ（x）+γ-σx（x）= 0（42），因此u（x）σ（x）+γ-σx（x）=0。求解u（x）就完成了证明。在以下推论和示例中，推论6.1的假设适用于非平凡的波动率σ。推论6.2。假设σ（x）=xσ（x），其中σ：R→ R是连续不同的和supx∈R |σ（x）|+σ′（x）< ∞, 十、∈ R然后，对于每一个X>0，方程dxt=σ（Xt）存在唯一的全局非负解σ′（Xt）- γdt+σ（Xt）dZt。（43）此外，方程（36）中定义的过程F对于每F>0是正鞅。证据推论的假设给出了方程（43）每x的解的存在性和唯一性∈ R

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