仿射随机波动率的长时间轨迹大偏差

2022-6-10 18:06:14

随机波动率模型的长时间轨迹大偏差及其在期权定价方差缩减中的应用Gracingzorana GrbacDavid Krieffeter Tankov1摘要：这项工作扩展了可能路径依赖衍生品定价的方差缩减方法，该方法是在（Genin and Tankov，2016）中针对指数L'evy模型开发的，随机波动率模型（KellerRessel，2011）。我们首先证明了随机波动率模型的路径大偏差原理。然后，我们将时间相关的Esscher变换应用于a ffine过程，并使用Varadhan引理，以（Guasoni andRobertson，2008）和（Robertson，2010）的方式，来近似找到使蒙特卡罗估计量方差最小化的教授测度的问题。在有无跳跃的Heston模型上测试该方法，以证明该方法的数值效率。1、导言本文的目的是为资产价格的随机波动率（ASV）模型中的路径相关期权的价格开发有效的重要性抽样估计。为此，我们建立了这些模型的路径大偏差结果，这些结果是独立的。（Keller-Ressel，2011）研究的ASV模型是一个具有特殊性质的R×R+上的二维a ffne过程（X，V），其中X建模股票价格的对数，V建模其瞬时方差。这一类包括许多研究和广泛使用的模型，如赫斯顿随机波动率模型（赫斯顿，1993）、贝茨模型（贝茨，1996）、巴恩多夫-尼尔森随机波动率模型（巴恩多夫-尼尔森和谢泼德，2001）和具有独立一段时间变化的时变L’evymodels。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 18:06:17

一个有效的随机波动率模型中的欧式期权可以通过傅立叶变换定价，但对于路径依赖性，通常无法获得明确的公式，蒙特卡罗通常是首选方法。同时，此类过程的蒙特卡罗模拟既困难又耗时：由于相应随机微分方程系数的不规则性质，离散化方案的收敛速度通常较低。因此，为了加速蒙特卡罗模拟，必须为这些模型开发有效的方差缩减算法。因此，在本文中，我们为ASVmodels开发了一种重要抽样算法。重要性抽样方法基于以下恒等式，对任何概率度量Q有效，其中P是绝对连续的。设P是随机轨迹S的确定函数，则ne[P（S）]=等式dPdQP（个）.巴黎迪德罗大学，巴黎，弗朗西内斯，帕莱索，弗朗西索这使得我们能够确定重要性抽样估计器BPQn：=NNXj=1dPdQ公司（j） P（S（j）Q），其中S（j）Qare i.i.d.S在测度Q下的样本轨迹。为了有效减少方差，需要找到一个概率测度Q，使得S在Q和方差varq下易于模拟P（S）dPdQ远远小于原始方差VarP[P（S）]。在本文中，继（Genin和Tankov，2016）在L’evy过程中的工作之后，我们使用路径相关Esschertransform，dPθdP=eR[0，T]Xt·θ（dt）EheR[0，T]Xt·θ（dt）i定义了概率Q，其中X是ASV模型的第一个分量（股价的对数），θ是[0，T]上的（确定性）有界有符号测度。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:06:20

θ的最佳选择应使估计量在Pθ、VarPθ下的方差最小P（S）dPdPθ= EP公司P（S）dPdPθ- E【P（S）】。这种差异的计算通常与期权价格本身的计算一样困难。继（Dupuis和Wang，2004；Glasserman等人，1999；Guasoni和Robertson，2008；Robertson，2010）以及最近（Genin和Tankov，2016），我们建议计算方差缩减测度θ*通过最小化使用大偏差理论计算的方差的代理。为此，我们为随机波动率模型建立了路径大偏差原则（LDP）。一种用于Xt/t as t的一维LDP→ ∞ 其中，Xis是ASV模型的第一个组成部分，已在中得到验证（Jacquier等人，2013年）。在本文中，我们根据（Leonard，2000）的路径LDP原则，将这一结果推广到轨迹设置，但在较弱的拓扑中。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们描述了模型并回顾了ASV过程的某些有用属性。在第三节中，我们回顾了大偏差理论的一些一般结果。在第4节中，我们证明了ASV过程各区域的LDP。在第5节中，我们使用通过第4节中所示的LDP获得的渐近最优度量变化，开发了方差缩减方法。在第6节中，我们在有跳跃和无跳跃的赫斯顿模型中，对几个期权样本（其中一些是路径相关的）进行了数值测试。2、模型描述在本文中，我们对标的资产（St）t的价格进行建模≥选项asSt=SeXt的0，其中我们建模（Xt）t≥0作为一个有效的随机波动过程。Werecall，摘自（Keller-Ressel，2011）和（Du ffe et al.，2003），ASV模型的定义和一些特性。定义2.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:06:23

ASV模型（Xt，Vt）t≥0是一个随机连续的时间齐次马尔可夫过程提取t型≥0是鞅andIEeuXt+wVtX=X，V=V= eφ（t，u，w）+ψ（t，u，w）v+u x，（2.1）表示所有（t，u，w）∈ R+×C.命题2.2。函数φ和ψ满足广义Riccati方程tφ（t，u，w）=F（u，ψ（t，u，w）），φ（0，u，w）=0（2.2a）tψ（t，u，w）=R（u，ψ（t，u，w）），ψ（0，u，w）=w，（2.2b），其中F和R具有L’evy Khintchine形式sf（u，w）=u w·a·华盛顿大学+ b类·华盛顿大学+ZD \\{0}exu+yw- 1.- wF（x，y）·华盛顿大学m（dx，dy），R（u，w）=u w·α·华盛顿大学+ β ·华盛顿大学+ZD \\{0}exu+yw- 1.- wR（x，y）·华盛顿大学u（dx，dy），其中D=R×R+，wF（x，y）=x1+x和wR（x，y）=x1+xy1+y和（a，α，b，β，m，u）满足以下条件oa，α是正半无限2×2矩阵，其中a=a=a=0b∈ D和β∈ R、 om和u是D和rd{0}（（x+y）上的L'evy度量∧ 1） m（dx，dy）<∞.在本文的其余部分中，我们假设存在u∈ R使得R（u，0）6=0，对于（Xt）t定律≥0取决于V。定义函数χ（u）=wR（u，w）| w=0=αu+β+ZD \\{0}y埃克苏-1+yu（dx，dy）。St=sexto是鞅的一个有效条件（Keller-Restel，2011，推论2.7），我们假设在续集中满足，即F（1，0）=R（1，0）=0和χ（0）+χ（1）<∞.在下面的定理中，我们汇编了（Keller Ressel，2011）的几个结果，这些结果将方程（2.2）的解的行为描述为t→ ∞.定理2.3。假设χ（0）<0和χ（1）<0存在间隔I [0，1]，这样对于每个u∈ 一、式（2.2b）允许一个唯一的稳定平衡w（u）。o对于u∈ 一、式（2.2b）最多允许另一个平衡w（u），这是不稳定的对于u∈ R\\I，式（2.2b）没有任何平衡。我们表示B（u）为式（2.2b）稳定解w（u）的吸引盆，J={u∈ I:F（u，w（u））<∞}, u 7的域→ F（u，w（u））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-10 18:06:26

我们知道oJ是一个区间，使得[0，1] J 一、 o对于u∈ 一、 w∈ B（u）和t>0，我们有ψt型, u、 w-→→0w（u）。（2.3）o对于u∈ J、 w∈ B（u）和t>0， φt型, u、 w-→→0t h（u），（2.4），其中h（u）=F（u，w（u））=lim→0 日志IEeuX1/.o 对于每个u∈ 一、 0个∈ B（u）。定义2.4。凸函数f:Rn→ R∪ {∞} 通过有效域DFI，ifi基本上是平滑的。Dofis非空；二。f在D中是可区分的ofiii.f是陡峭的，即对于任何序列（un）n∈N DoF收敛到Df，limn边界上的点→∞||f（un）| |=∞ .在本文的其余部分，我们将对该模型作出以下假设。假设1。函数h满足以下特性。（1）存在u<0，因此h（u）<∞.（2） u 7→ h（u）基本上是光滑的。在（Jacquier et al.，2013）中，为验证假设1提供了一组有效条件：命题2.5（推论8 In（Jacquier et al.，2013））。设（X，V）为ASVmodel，使u 7→ R（u，0）和w 7→ F（0，w）不等于0，且χ（0）和χ（1）严格为负。如果以下任一条件成立（i）R的L'evy度量u具有所有阶的指数矩，F是陡峭的（0，0），（1，0）∈ DoF、（ii）（X，V）是一个差分，那么对于每个u∈ 具有有效域J的R.Moreoverh本质上是光滑的且{0，1} Jo.现在我们讨论（2.2b）的唯一稳定解吸引盆的形式。引理2.6。（Keller Ressel，2011，引理2.2。）（a） F和R是R上的真闭凸函数。（b）F和R在其作用域内部是解析的。（c）设U是R的一维a ffne子空间。那么F | U要么是严格凸，要么是a ffne函数。R | U.（d）If（U，w）也适用∈ DF，然后也是（u，η）∈ DF适用于所有η≤ w、 R.引理2.7也是如此。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

能者818

2022-6-10 18:06:29

让f：R→ R∪ {+∞} 是一个凸函数，具有两个零w<w，或一个零w。在后一种情况下，我们让▄w=∞. 假设存在y∈ （w，~w）使得f（y）<0。然后每x∈ Df，（f（x）>0，如果x<w或▄w<x，f（x）<0，如果x∈ （w，~w）。证据通过凸性，对于每x∈ D使x<w，y- 怀俄明州- xf（x）+w- xy型- xf（y）≥ f（w）=0，因此f（x）≥ -w-xy型-wf（y）>0。此外，对于每x∈ （w，y），f（x）≤y- xy型- wf（w）+x- 怀俄明州- wf（y）<0。设s=sup{x∈ Df:f（x）<0}。如果f在s中是连续的，则▄w=s，对于Df中的每个yx>▄w，f（x）≥ -w-xy型- ~wf（y）>0。如果f在s中是不连续的，那么由凸性f（x）=+∞ 对于x>s。提案2.8。让u∈ I并考虑w（u）（2.2b）的稳定平衡。那么w（u）的吸引盆是B（u）=(-∞, w（u））∩ DR（u，·），其中w（u）=∞ 当（2.2b）只允许一个平衡时。证据引理2.6，w 7→ R（u，w）是凸的。由于w（u）是一个稳定平衡，引理2.7的假设得到验证。因此，对于每一个w<w（u），R（u，w）>0，而对于每一个w∈ DR（u，·）使得w（u）<w<w（u）。这意味着tψ（t，u，w）=R（u，ψ（t，u，w）），ψ（0，u，w）=w（2.5）对于每w∈ (-∞, w（u））∩ DR（u，·），然而，如果w>w，则（2.5）的解发散到∞. 3、大偏差理论在本节中，我们回顾了大偏差理论的一些有用的经典结果。我们请读者参阅（Dembo和Zeitouni，1998），以获得该理论的证明和广泛概述。定理3.1（G¨artner Ellis）。Let（X)∈]0,1]是RN中的随机向量族，具有相关度量u. 假设对于每个λ∈ Rn，∧（λ）：=lim→0 日志IEehλ，X我作为扩展实数。还假设0属于D∧的内部：={θ∈ Rn：∧（θ）<∞}.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:06:33

表示∧*（x） =supθ∈Rnhθ，xi- ∧（θ），以下保持：（a）对于任何闭集F，lim sup→0 对数u（F）≤ - infx公司∈F∧*（x）。（b）对于任意开集G，lim inf→0 对数u（G）≥ - infx公司∈G∩F∧*（x），其中F是∧的暴露点集*, 其暴露超平面属于D∧的内部。（c）如果∧是一个基本光滑的下半连续函数，则u具有良好速率函数∧的可满足LDP*.定义3.2。偏序集（P，≤) 如果everyi，j∈ P、存在k∈ P这样我≤ k和j≤ k、定义3.3。投影系统（Yj，pij）i≤j∈Pon一个偏序右滤波集（P，≤) 是hausdorff拓扑空间（Yj）j的一个族∈Pand连续贴图pij：Yj→ 我认为pik=pijo PJK每当我≤ j≤ k、定义3.4。Let（Yj，pij）i≤j∈Pbe部分序右滤集上的投影系统（P，≤). （Yj，pij）i的射影极限≤j∈P、表示X=lim←-Yj，是拓扑空间Y=Qj的子集∈PYj，由所有元素sx=（yj）j组成∈p对于哪个yi=pij（yj），每当i≤ j、具有由Y引入的拓扑。闭子集Fj的射影极限 Yjare以相同的方式定义，并表示为F=lim←-福建。备注3.5。X的正则投影，即限制pj:X→ yjof从X到Yj的坐标图是连续的。定理3.6（Dawson-G¨artner）。Let（Yj，pij）i≤j∈Pbe部分序右滤集上的投影系统（P，≤) 和let（u) 是一个概率族onX=lim←-Yj，对于任何j∈ P、 Borel概率uo p-1 Jon Yjsatis认为LDP具有良好的速率函数∧*j、然后u用良好的速率函数∧满足LDP*（x） =supj∈P∧*j（pj（x））。定理3.7（Varadhan引理，版本（Guasoni和Robertson，2008））。Let（X)∈]0,1]是X值随机变量族，其定律u满足速率函数∧的aLDP*.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:06:37

如果φ：X→ R∪ {-∞} 是一个连续函数，满足以下条件：→0 日志IE经验值γД（X)< ∞对于某些γ>1，则→0 日志IE经验值^1（X)= supx公司∈X{Д（X）- Λ*（x） }。仿射随机波动率模型的轨迹大偏差在本节中，我们证明了当时间范围较大时（Xt）的轨迹LDP。定义，用于 ∈ （0、1）和0≤ t型≤ T，缩放Xt=Xt公司/. 我们首先证明X的LDP第二步，我们扩展到整个轨迹（Xt） 0个≤t型≤T、 4.1。有限维LDP。设τ={0<t<…<tn=t}，按约定t=0，定义∧,τ（θ）=log IEhePnk=1θkXtki，对于θ∈ 注册护士。我们首先制定主要的技术假设。假设2。验证以下条件之一。（1）F的区间支撑为J=[u-, u+]和w（u-) = w（u+）。（2）对于每个u∈ R、 ~w（·）=∞, i、 e，广义Riccati方程只有一个（稳定）平衡。下面的引理给出了假设2的直觉。引理4.1。对于每个u，u∈ 一、 w（u）≥ w（u）。证据如果假设2（2）成立，那么结果是显而易见的。然后假设假设2（1）成立。自u 7以来→ w（u）是凸的，u 7→ ~w（u）是凹的，那么对于每个u，u∈ 一、 w（u）≥u型+- uu公司+- u-w（u-) +u- u-u型+- u-w（u+）=w（u-) ,whilew（u）≤u型+- uu公司+- u-w（u-) +u- u-u型+- u-w（u+）=w（u-) .因此，w（u）≥ w（u）表示每个u，u∈ 我作为应用定理3.1的第一步，我们证明了以下结果。定理4.2。Letθ∈ 注册护士。如果假设2成立，则∧τ（θ）：=lim→0 Λ,τ(θ/) =（Pnj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）ifΘj∈ Jj∞ 否则，其中Θj：=Pnk=jθk.Proof。既然假设2成立，那么通过引理4.1，w（Θj+1）∈ B（Θj）表示每个j。首先假设Θj∈ 对于每个J，使用马尔可夫性质和等式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:06:41

（2.1），我们得到∧τ（θ）=lim→0 日志IEhePnj=1θjXtj/我= lim公司→0 日志IEhePn公司-1j=1θjXtj/IEeΘnXtn/Xtn公司-1/, Vtn公司-1/我= lim公司→0 φ田纳西州- 田纳西州-1., Θn，0+ 日志IEePn公司-2j=1θjXtj/+Θn-1Xtn-1/+ψ田纳西州-田纳西州-1., Θn，0Vtn公司-1/.自Θn起∈ J和0∈ B（Θn），等式。（2.3）和（2.4）应用∧τ（θ）=lim→0 日志IEePn公司-2j=1θjXtj/+Θn-1Xtn-1/+ψ田纳西州-田纳西州-1., Θn，0Vtn公司-1/+ （tn- 田纳西州-1） h（Θn）。利用Θj∈ J和w（ΘJ+1）∈ B（Θj）对于每个j，我们可以迭代该过程以获得∧τ（θ）=nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）+lim→0 ψt型- t型, Θ，w（Θ）V+nXk=1θkX=nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）。（4.1）假设存在k，使得Θk6∈ J、在不丧失一般性的情况下，我们取最大的k。按照相同的程序，我们发现∧τ（θ）=lim→0 日志IEePk公司-2j=1θjXtj/+Θk-1Xtk-1/+ψtk公司-tk公司-1.,Θk，w（Θk+1）Vtk公司-1/+ φtk公司- tk公司-1., Θk，w（Θk+1）+nXj=k+1（tj- tj公司-1） h（Θj）。注意到φ（·，u，w）在u 6的有限时间内爆炸∈ J然后完成证明。现在，我们进入有限维大偏差结果。定理4.3。Let（Xt） t型≥0, ∈（0,1）和τ={t，…，tn}。假设假设2成立，则（Xt、。。。，十、tn）通过良好的速率函数∧满足RN上的LDP*τ（x）=supΘ∈Jn公司nXj=1Θj（xj- xj公司-1) -nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）,式中，Θj=Pnk=jθk.Proof。根据假设1（1），存在u∈ J使得u<0，这意味着[u，1] 因此，0位于D∧τ=Jn的内部。定理4.2表示极限∧τ（θ）=lim→0 Λ,τ(θ/) =（Pnj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）ifΘj∈ Jj∞ 否则，其中Θj：=Pnk=jθk，作为扩展实数存在。因为，根据假设1（2），h本质上是光滑的和下半连续的，所以∧τ也是光滑的和下半连续的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:06:44

然后应用定理3.1和（Xt、。。。，十、tn）满足LDP，在Rn上，具有良好的速率函数∧*τ（x）=supθ∈Rnnθ>x- ∧τ（θ）o。此外，∧*τ（x）=supθ∈Rnnθ>x- ∧τ（θ）o=supΘ∈Jn公司nXj=1nXk=jθk（xj- xj公司-1) -nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）= supΘ∈Jn公司nXj=1Θj（xj- xj公司-1) -nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）,完成证明。4.2. 有限维LDP。4.2.1. LDP的扩展。现在，我们将LDP扩展到（X）的整个轨迹t） 0个≤t型≤吨F（[0，T]，R）：={x:[0，T]→ R、 x=0}，通过证明下面的一般引理，从[0，T]到R，在0处消失的所有函数的集合。引理4.4。假设对于任何τ={t，…，tn}，有限维过程（Xt、。。。，十、tn）满足大偏差特性，具有良好的速率函数∧*τ.然后是家庭（Xt） 0个≤t型≤T在X=F（[0，T]，R）上具有大偏差特性，具有逐点收敛的拓扑结构，具有良好的速率函数∧*（x） =supj∈P∧*j（pj（x））。证据Let（P，≤) 是部分有序的右过滤集=∞[n=1{（t，…，tn）0≤ t型≤ ... ≤ 田纳西州≤ T}按包含顺序排列。我们考虑（P，≤) 射影系统（Yj，pij）i≤j∈Yj定义的Pde=R#jand pij：Yj→ Yi共享时间的自然投影。从X到Yτ的正则投影是pτ（X）=（xt，…，xtn）。Letu是由（X）生成的概率度量t） 0个≤t型≤汤克斯。然后，根据假设，对于任何τ∈ P、 uo p-1τ满足具有良好速率函数∧的LDP*τ. 结果由定理3.6给出。定理4.5。假设假设2成立，那么（Xt） 0个≤t型≤Tsatis fies a LDPon F（[0，T]，R），具有点收敛拓扑，如 → 0，具有goodrate函数∧*（x） =supτ∧*τ（x）。证据结果是引理4.4的直接应用。4.2.2. 计算速率函数。我们最终计算了第4.5条的速率函数。定理4.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:06:47

定理4.5的速率函数为∧*（x） =坦桑尼亚先令*（·xtac）dt+TZHdνtdθtdθt，其中h*（y） =supθ∈J{θy- h（θ）}，h（y）=lim→0 h类*（y）/) ,·xacis是x的绝对连续部分的导数，ν是dxtw相对于dt的奇异分量，θ是任何非负的、有限的、正则的、R值的borel测度，其中ν是绝对连续的。证据通过用（θt，…，θtn）识别（Θ，…，Θn），我们发现每个x∈ F（[0，T]，R），supτ∧*τ（x）=supτsupΘ∈J#τ#τXj=1ΘJ（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（Θj）=supθ∈F（[0，T]，R）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）=supθ∈C（[0，T]，J）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）。请注意，由于目标函数仅依赖于有限集上的θ，因此上确界可以在F（[0，T]，J）或C（[0，T]，J]）上取不同的值。由于我们假设J中存在u<0，那么如果x有有限的变化，我们立即发现∧*（x） =∞. 因此，假设x具有有限的变化。我们希望显示thatsupθ∈C（[0，T]，J）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）=supθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dt。注意SUPθ∈C（[0，T]，J）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）≥ supθ∈C（[0，T]，J）lim supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）=supθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dt。为了证明另一个不等式，我们使用以下构造。固定τ和letθ∈ C（[0，T]，J）。让我们也 > 0，以便 < 最小值（tj- tj公司-1）和定义θ,τasθ,τt=（θtj-1+t-tj公司-1.（θtj- θtj-1）如果t∈ [tj-1，tj-1+ ] ,θtjif t∈ [tj-1+ , tj]。然后#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）-TZθ,τtdxt+TZh（θ,τt）dt=#τXj=1（θtj- θtj-1） tj公司-1+Ztj公司-1.1.-t型- tj公司-1.dxt+tj-1+Ztj公司-1h（θ,τt）- h（θtj）dt≤#τXj=1θtj- θtj-1.tj公司-1+Ztj公司-1.1.-t型- tj公司-1.dxt公司+ 2. 最大值|h（θ）|：θ∈ [θtj-1，θtj]≤#τXj=1θtj- θtj-1.ux]0, ]+ 2. 最大值|h（θ）|：θ∈ [θtj-1，θtj]→→00，其中uxis是与x相关的度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 18:06:50

Hencesupθ∈C（[0，T]，J）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）≤ supθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dtand∧*（x） =supθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dt。我们现在将使用（Rockafellar，1971年，第5条）以获得结果。由于x具有有限的变化，因此测量dxtis是规则的。使用符号（Rockafellar，1971），在我们的例子中，多功能D是常数多功能t 7→ D（t）=J。因此，D是完全下半连续的。此外，自[0，1] J、 D（t）的内部为非空。集合[0，T]是紧的，没有测度为0的非空开集，对于J和V内部的每个u∈ [0，T]开路，ZV | h（u）| dt≤ T | h（u）|<∞ .（Rockafellar，1971年，第5条。）那么意味着SUPθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dt=TZh*（·xtac）dt+TZHdνtdθtdθt，其中h*（y） =lim→0supθ∈J{θy- h（θ）}，h（y）=lim→0 h类*（y）/) ,·xacis是x的绝对连续部分的导数，ν是dxtw相对于dt的奇异分量，θ是任何非负的、有限的、正则的、R值的Borel测度，其中ν是绝对连续的。备注4.7。特别地，定理4.6的证明表明，如果x不属于Vr，则轨迹集x：[0，t]→ R有界变化，则∧*（x） =∞.方差减少表示P（S）期权在（St）0上的支付≤t型≤T、期权的价格通常计算为在某种风险中性度量下的预期IE（P（S））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:06:53

对于任何等效度量Q，期权的价格可以是writenie（P（S））=IEQP（S）dPdQ.P（S）的方差isVarP（P（S））=IEP（S）- IE（P（S）），wheresvarqP（S）dPdQ= IEQP（个）dPdQ公司!-IEQP（S）dPdQ= IEP（S）dPdQ- IE（P（S））。因此，我们可以选择Q来减少随机变量的方差，而随机变量的期望给出了期权的价格。（Genin和Tankov，2016）中引入的一类灵活的度量变化是通过路径相关的Esscher变换给出的，这类度量是Pθ，使得dPθdP=eRTXtdθtIEheRTXtdθti，其中θ属于M，即[0，T]上的有符号度量集。表示H（X）=对数P性别, 优化问题writesinfθ∈MIE公司经验值2H（X）-TZXtdθt+G（θ）, （5.1）其中(θ) := 日志IEheRTX公司tdθti。优化问题（5.1）无法明确解决。因此，我们选择使用以下两个引理渐近地解决问题。表示“m度量值集θ”∈ M，支持一组有限的点。我们首先给出了描述G的行为的alemma（θ）作为 → 0，表示θ∈因为这将适用于我们将在第6节中考虑的情况（见第5.5款）。引理5.1。如果假设2成立，那么对于任何度量θ∈\'M，这样就可以∈ [0，T]，θ（[T，T]）∈ J、我们有Lim→0克（θ） =TZh（θ（[t，t]））dt。证据表示τ={t，…，tn}，θ的支撑。然后我们得到了Lim→0 日志IEheRTX公司tdθti=lim→0 日志IEePnj=1Xtjθ（tj-1，tj]=nXj=1（tj- tj公司-1） h类θ（tj-1，tj]=通过将定理4.2应用于θ，TZh（θ（[t，t]））dt=θ（t，t）, ..., θ（tn-1，tn]. 接下来，我们给出了一个描述方差最小化问题（5.1）行为的结果，其中X已被X替换像 → 引理5.2。Letθ∈“我就是这样-θ（[t，t]）∈ Jo每t∈ [0，T]。假设定理4.3的假设成立。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 18:06:57

进一步假设H:F（[0，T]，R）→R从上方以常数C为界，在函数集x上连续于D∈ Vr，使得H（x）>-∞, 关于逐点收敛拓扑。Thenlim公司→0 日志IE“exp2H（X) -RTX公司tdθt+G(θ)!#= supx公司∈D2H（x）-TZxtdθt- Λ*（十）+TZh（θ（[t，t]））dt。证据首先注意，引理5.1，lim→0 日志IE“exp2H（X) -RTX公司tdθt+G(θ)!#= lim公司→0 日志IE“exp2H（X) -RTX公司tdθt!#+TZh（θ（[t，t]））dt。因此，我们只需要证明Lim→0 日志IE“exp2H（X) -RTX公司tdθt!#= supx公司∈D2H（x）-TZxtdθt- Λ*（十）.表示Д：F（[0，T]，R）→ R函数Д（x）=2H（x）-RTxtdθt。由于H被假定为连续的，且θ对τ有支撑，因此Д是连续的。让我们展示定理3.7的可积性条件。对于每个γlim sup→0 日志IE经验值γД（X)= lim sup公司→0 日志IE“exp2γH（X) - γRTXtdθt!#≤ 2γC+lim sup→0 日志IEheRTX公司td公司(-γθ）ti。自从-θ（[t，t]）∈ Jo每t∈ [0，T]，存在γ>1，使得-γθ（[t，t]）对于每t保持在J中。因此引理5.1适用于andlim sup→0 日志IE经验值γД（X)≤ 2γC+TZh(-γθ（[t，t]）dt<∞ .然后应用定理3.7并得出结果。定义5.3。Letθ∈ M我们说θ是渐近最优的，如果它最小化ssupx∈虚拟现实2H（x）-TZxtdθt- Λ*（十）+TZh（θ（[t，t]））dt。通常∧*不容易显式计算。为了解决这个问题，我们引用了以下定理（Genin和Tankov，2016）。定理5.4。设H是凹的，并假设集合{x∈ Vr:H（x）>-∞}为非空且包含常量元素。此外，假设H在该集合上关于逐点收敛的拓扑是连续的，H在开有界有效域上是下半连续的，并且存在λ>0，使得H在{z上是复解析的∈ C：| Im（z）|<λ}。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:07:00

Theninfθ∈Msupx∈虚拟现实2H（x）-TZxtdθt- Λ*（十）+TZh（θ（[t，t]））dt=2 infθ∈M^H（θ）+TZh（θ（[t，t]））dt,式中^H（θ）=supx∈虚拟现实H（x）-TZxtdθt.此外，如果θ*最小化上述等式的左侧，也最小化右侧。最后，我们给出了H仅通过xt依赖于x的情况下的结果。。。。，xtn。提案5.5。设τ={t，…，tn}，设H:F（[0，t]，R）→ R∪ {-∞} bea log payoff仅取决于x至xτ。那么对于每个θ∈ M使得θ（τ）6=θ（[0，T]），^H（θ）=∞.证据假设θ∈ M是θ（τ）6=θ（[0，T]）。那么就有一个毛 [0，T]\\τ，θ（A）6=0。固定'x∈ D、根据定义，H（(R)x）>-∞. 然后（^x+α1A）-TZ（(R)xt+α1A）dθt=H（^x）-TZ'xtdθt- αθ（A）。让α趋向于sgn（θ）∞, 因此，可以增加指数H（x）-RTxtdθt。因此，^H（θ）=∞. 数值例子在本节中，我们将方差缩减方法应用于几个例子。我们首先证明了一个基于一组点的基础平均值的期权结果。提案6.1。设τ={t，…，tn}，并考虑log payoff H（x）=log的选项K-SnnXj=1extj+.那么对于任何θ∈在θ={t，…，tn}，^H（θ）=log上有支撑的MK1级-Pnl=1θl-nXm=1θmlog-θmn K/S1-Pnl=1θl（6.1）我们滥用符号θj=θ（{tj}）。证据在这种情况下，H（x）-TZxtdθt=对数K-SnnXj=1extj+-nXj=1θjxtj。当期权到期或到期时，日志支付为-∞. 假设x表示H（x）>-∞ 与xtj不同。我们得到0=xj（logK-SnnXl=1exl！-nXl=1xlθl）=-SnexjK公司-SnPnl=1exl- θj。因此，最大化H（x）的x-Rtxsdθssatis fiesextjθj=-nKS+nXl=1额外=-nKS+extjθjnXl=1θl，对于每个j。Thereforextj=log-θjn K/S1-Pnl=1θl.插入xtjin H（x）的值-RTxtdθt，我们得到了结果。6.1. 赫斯顿模型中的欧洲和亚洲看跌期权。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:07:04

考虑theHeston模型（Heston，1993）dXt=-Vtdt+pVtdWt，X=0dVt=λ（u- Vt）dt+ζpVtdWt，V>0dW、 Wt=ρdt，（6.2），其中W为标准P-布朗运动。（Xt，Vt）isIE的拉普拉斯变换euXt+wVt= eφ（t，u，w）+ψ（t，u，w）V+uX，其中φ，ψ满足Riccati方程tφ（t，u，w）=F（u，ψ（t，u，w））φ（0，u，w）=0对于F（u，w）=λuw和R（u，w）=ζw+ζρuw，tψ（t，u，w）=R（u，ψ（t，u，w））ψ（0，u，w）=w（6.3- λw+（u- u）。标准计算表明，Riccati方程（6.3）的解为ψ（t，u，w）=ζλζ- ρu-γζtanhγt+ η1+ηtanhγtφ（t，u，w）=μλζλζ- ρut型- 2μλζ对数cosh公司γt+ ηsinhγt,（6.4）式中γ=γ（u）=ζrλζ- ρu+-u-η=η（u，w）=λ-ζρu-ζwγ（u）。此外，对于赫斯顿模型，函数h由h（u）=μλζ给出λζ- ρu- uλζγ（u）。（6.5）备注6.2。赫斯顿模型的对数拉普拉斯变换收敛于NIG过程的对数拉普拉斯变换h（Barndorff-Nielsen，1997），它是围绕实轴的条带上的复杂分析，因此可以应用定理5.4。以下命题描述了与时间相关的Esscher变换对Heston模型动力学的影响。提案6.3。设τ={t，…，tn}和Pθ由dPθdP=ePnj=1θjxtjiehpnj=1θjXtji给出的度量。在Pθ下，P-Heston过程（Xt，Vt）的动力学为Xt=Θτt+ζρψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）-Vtdt+pVtd▄Wt，X=0dVt=▄λt（▄ut- Vt）dt+ζpVtd▄Wt，V=VdD▄W，▄WEt=ρdt，（6.6），其中▄W是二维相关Pθ-布朗运动，Θj=Pnm=jθm，Φ和ψ迭代定义为ψ（s，Θj，…，Θn）=ψ（s，Θj，ψ（tj+1- tj，Θj+1。。。，ψ（s）=0Φ（s，Θj，…，Θn）=φ（s，Θj，ψ（tj+1- tj，Θj+1。。。，Θn））+Φ（tj+1- tj，Θj+1。。。，Θn）Φ（s）=0，其中，表示τt=inf{s∈ τ：s≥ t} ，￠λt=λ- ζΘτtρ- ζψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）和ut=λuИλt.证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:07:07

表示（t，Xt，Vt）=dPθdPFt.ThenD（t，Xt，Vt）=ePτt-1j=1θjXtjIEhePnj=1θjXtjIEhePnj=τtθjXtjFti=ePτt-1j=1θjXtj+Φ（τt-t、 Θτt，。。。，Θn）eΦ（t，Θ，…，Θn）+ψ（t，Θ，…，Θn）V+ΘXeψ（τt-t、 Θτt，。。。，Θn）Vt+ΘτtXt。D（t，Xt，Vt）的动力学可以用它的引理asdD（t，Xt，Vt）=D（t，Xt，Vt）（ΘτtdXt+ψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）dVt）+。。。dt=D（t，Xt，Vt）pVtΘτtdWt+ζψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）载重吨.根据Girsanov定理，dWtWt= dWTWTWT-pVt公司Θτt+ζρψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）Θτtρ+ζψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）dt是在测度Pθ下的二维布朗运动。将等式（6.2）中的W替换为▄W，即可得出结果。备注6.4。道具6.3表明，含时Esscher变换将经典Heston过程转变为具有时间非均匀漂移的Heston过程。备注6.5。请注意，假设2仅在ρ=0时在赫斯顿模型中得到验证。实际上，J=[u-, u+]，其中u±=-λζρ±r-λζρ+λζ(1 - ρ)(1 - ρ），whilew（u-) =ζλζ- ρu-w（u+）=ζλζ- ρu+.然而，由于实际的方差减少问题本身无法解决，我们的目标是找到一个好的候选度量，我们可以进行数值测试。因此，我们没有充分的理论来证明这一点，这一事实并不成问题。6.1.1. 欧式看跌期权的数值结果。在这种情况下，通过道具。5.5当n=1且t=t时，θ在{t}上有支撑。使用滥用符号θ：=θ（{T}），我们得到了^H（θ）+TZh（θ（[T，T]））dt=logK1级- θ- θ对数-θK/S1- θ+ Tuλζλζ- ρ θ -γ(θ)ζ.（6.7）为了获得θ，我们因此对θ进行微分（6.7），并通过二分法将导数等于0。我们用参数λ=1.15，u=0.04，ζ=0.2，ρ=-0.4，初始值V=0.04和S=1，在bothP，等式（6.2）和Pθ，等式（6.6）下，n=1和t=t，使用标准欧拉模式和200个离散步骤。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:07:11

对于P-变现X（i），我们计算欧洲认沽价格为NPNj=1K- 性别（i）T+对于Pθ-实现X（i，θ），aseφ（T，θ，0）+ψ（T，θ，0）VNNXj=1e-θX（i，θ）TK- 性别（i，θ）T+. （6.8）每次，我们计算Pθ-标准差、方差比和调整后的方差比，即方差比除以模拟时间的比率。后者衡量该方法的实际效率，因为在度量值变化下进行模拟通常需要稍长的时间。在表1中，我们将罢工定为K=1，并让到期日T在0.25到3之间变化，而在表2和表3中，我们将到期日定为T=1和T=3，而罢工K在0.25到1.75之间变化。我们计算每一次的价格、标准误差、方差比调整后和未调整后的模拟时间比。T价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.25 0.0395 3.72·10-42.46 2.14 20.20.5 0.0550 4.54 ·10-43.12 2.83 19.91 0.0780 5.59 ·10-43.92 3.66 19.52 0.111 7.20 ·10-44.21 3.89 19.73 0.134 8.48 ·10-44.19 3.79 19.8表1。作为欧元看跌期权到期日函数的方差比率。K价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.5 0.00014 7.65·10-626.6 24.5 18.40.75 0.00794 1.34 ·10-46.53 5.91 18.71 0.0773 5.60 ·10-43.96 3.65 18.51.25 0.261 8.62 ·10-44.20 3.78 18.91.5 0.502 7.92 ·10-45.84 5.36 18.61.75 0.749 6.84 ·10-48.45 7.29 19.7表2。作为到期日为T=1的欧洲看跌期权行使函数的方差比率。K价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.25 7.1·10-51.84 ·10-592.0 70.9 23.10.5 0.00418 6.05 ·10-516.1 16.0 20.00.75 0.0369 3.43 ·10-46.67 6.00 20.41 0.133 8.51 ·10-44.24 4.15 20.21.25 0.300 1.34 ·10-33.61 3.13 21.31.5 0.517 1.60 ·10-33.47 3.30 19.91.75 0.755 1.64 ·10-33.89 3.53 19.9表3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:07:14

作为到期日为T=3的欧洲看跌期权行使函数的方差比率。在所有情况下，我们都可以看到，当期权深度缺钱时，方差比变得非常有趣，而当期权处于或处于货币中时，方差比变得不那么重要，但仍然非常有趣。这与涉及度量变更的方差缩减技术的自然行为相对应，因为度量变更将增加选择最终将进入资金的轨迹的概率。请注意，当模拟度量值变化时，模拟时间仅略大，而优化过程所需的时间与模拟时间相比可以忽略不计。在图6.1中，我们将到期日设为T=1.5，并将估计值（6.8）的经验方差绘制为θ的函数。我们的方法提供θ=-0.457作为渐近最优度量变化。因此，我们可以看到渐近最优θ非常接近最优θ。图6.1：。蒙特卡罗估计量的方差作为θ的函数。6.1.2. 亚洲看跌期权的数值结果。我们现在考虑（离散化的）亚洲看跌期权的情况。这里，log payoffish（X）=logK-SnnXj=1eXtj+,其中tj=jnT。通过道具。θ的支撑是{t，…，tn}，我们可以表示θj=θ（{tj}）。使用道具。6.1和等式（6.5），我们需要最小化EISLOG的函数K1级-Pnl=1θl-nXm=1θmlog-θmn K/S1-Pnl=1θl+TnnXj=1hnXl=jθl或者，表示Θj=Pnl=jθl，logK1级- Θ-nXm=1（Θm- Θm+1）对数-（千米）- Θm+1）nK/S1- Θ+TnnXj=1h（Θj）。通过对Θj的微分，我们得到，对于j=2。。。，n、 0=Θj（^H（θ）+TnnXm=1h（Θm））=T H（Θj）n- 日志[-（Θj- Θj+1）]+日志[-（Θj-1.- Θj）]，（6.9），而对于j=1，我们有0=Θ（^H（θ）+TnnXm=1h（Θm））=对数（1- Θ) - 对数（n K/S）+Tnh（Θ）- 日志[-(Θ- Θ)] .（6.10）最后，取等式中的指数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-10 18:07:18

（6.9）和（6.10），我们得到- Θ= (1 - Θ）eTnh（Θ）·Sn KΘ- Θ= (Θ- Θ）eTnh（Θ）.=。。。Θn- Θn-1=（Θn-1.- Θn-2） eTnh（Θn-1)-Θn=（Θn- Θn-1） eTnh（Θn）。最后，定义关联到ΘnT（Θn）=（1）的实函数- Θ）eTnh（Θ）·Sn K- Θ- Θ，其中Θn-1=Θn+Θne-Tnh（Θn）和迭代，Θj-2=Θj-1.- （Θj- Θj-1） e类-Tnh（Θj-1），j=n。。。，3.通过二分法将T等于0，然后给出渐近最优测度。再次，我们用参数λ=1.15，u=0.04，ζ=0.2，ρ=-0.4，初始值V=0.04和S=1，在P，等式（6.2）和Pθ，等式（6.6）下，n=200，tj=jnT，使用具有200个离散步骤的标准Euler格式。对于P-变现X（i），我们计算亚洲认沽价格asNNXj=1K-SnnXj=1eX（i）tj+（6.11）对于Pθ-实现X（i，θ），aseΦ（t，Θ，…，Θn）+ψ（t，Θ，…，Θn）VNNXj=1e-Pnj=1θjX（i，θ）tjK-SnnXj=1eX（i）tj+. （6.12）再次，每次我们计算Pθ-标准差以及调整后和未调整的方差比。在表4中，我们将到期日固定为T=1.5，并让行程K在0.6和1.3之间变化。K价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.6 3.466·10-54.13 ·10-616.9 14.6 19.90.7 0.000562 2.60 ·10-55.77 4.77 21.10.8 0.00414 9.64 ·10-54.36 3.77 20.10.9 0.0185 0.00024 3.48 3.09 20.61 0.0558 0.00043 3.49 3.07 20.11.1 0.120 0.00057 3.69 3.20 20 20.11.2 0.206 0.00062 4.27 3.80 19.71.3 0.301 0.00059 5.30 4.41 21.0表4。作为亚洲看跌期权行使函数的方差比率。λ = 1.15, u = 0.04, ζ = 0.2, ρ = -0.4，S=1，V=0.04，T=1.5，N=10000，200个离散化步骤。结论与欧式看跌期权相同。事实上，当期权离开货币时，方差比率就会爆炸。由于度量值变化的时间依赖性，调整后的方差比其未调整版本低约13%。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:07:20

然而，调整后的方差比仍然非常有趣，其值在3以上，约为货币。6.2. 具有负指数跳跃的赫斯顿模型中的欧洲看跌期权。现在我们考虑具有负指数跳跃的Heston模型=δ -及物动词dt+pVtdWt+dJt，X=0dVt=λ（u- Vt）dt+ζpVtdWt，V=VdW、 Wt=ρdt，（6.13），其中W，Ware标准P-布朗运动和（Jt）t≥0是一个独立的复合泊松过程，具有恒定的跳跃率r和跳跃分布Neg Exp（α），即（Jt）t的L'evy测度≥0isν（dx）=rαeαx{x<0}dx。S=sex上的鞅条件施加δ=rα+1。（Xt，Vt）isIE的拉普拉斯变换euXt+wVt= eφ（t，u，w）+ψ（t，u，w）V+uX，其中φ，ψ满足Riccati方程tφ（t，u，w）=F（u，ψ（t，u，w））φ（0，u，w）=0tψ（t，u，w）=R（u，ψ（t，u，w））ψ（0，u，w）=w（6.14），对于F（u，w）=λuw+￠κ（u），其中￠κ（u）=ru（u-1）（α+1）（α+u），andR（u，w）=ζw+ζρuw- λw+（u- u）。同样，标准计算表明，广义Riccati方程（6.14）的解为ψ（t，u，w）=ζλζ- ρu-γζtanhγt+ η1+ηtanhγtφ（t，u，w）=μλζλζ- ρut型- 2μλζ对数cosh公司γt+ ηsinhγt+ t？κ（u），（6.15），其中γ=γ（u）=ζrλζ- ρu+-u-η=η（u，w）=λ-ζρu-ζwγ（u）。此外，对于具有负跳跃的Heston模型，函数h由h（u）=μλζ给出λζ- ρu- uλζγ（u）+Дκ（u）。（6.16）现在让我们研究Esscher变换对具有跳跃的Hestonmodel动力学的影响。提案6.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:07:24

设Pθ为dPθdP=eθXTIE[eθXT]给出的度量。在Pθ下，具有跳跃（Xt，Vt）的P-Heston过程的动力学为Xt=δdt+θ+ζρψ（T- t、 θ，0）-Vtdt+pVtdWt+dJt，X=0dVt=λt（ut- Vt）dt+ζpVtd▄Wt，V=VdD▄W，▄WEt=ρdt，（6.17），其中▄W是二维相关Pθ-布朗运动，φ和ψ在（6.15）中给出，▄λt=λ- ζθρ - ζψ（T- t、 θ，0）和￠ut=λuИλtand（Jt）t≥0是一个复合泊松过程，在Pθ下具有跳跃率αα+θ和跳跃分布Neg Exp（α+θ）。证据表示（t，Xt，Vt）=dPθdPFt=eφ（T-t、 θ，0）eφ（t，θ，0）+ψ（t，θ，0）Veψ（t-t、 θ，0）Vt+θXt。D（t，Xt，Vt）的动力学可以用它的引理asdD（t，Xt，Vt）=D（t，Xt，Vt）（θdXt+ψ（t- t、 θ，0）dVt）+。。。dt=D（t，Xt，Vt）hpVtθdWt+ζψ（T-t、 θ，0）dWt+θ（δdt+dJt）和Girsanov定理表明WtWt= dWTWTWT-pVt公司θ+ζρψ（T- t、 θ，0）θρ+ζψ（t- t、 θ，0）dt是在测度Pθ下的二维布朗运动。将等式（6.2）中的W替换为W，即得到等式（6.17）。为了完成证明，还需要证明跳跃过程（Jt）t≥0在Pθ下具有所需的分布。让我们计算Jt的Pθ-拉普拉斯变换：IEPθeuJt公司=IEeuJtIE公司eθXT英尺IE[eθXT]=eφ（T-t、 θ，0）IE[eθXT]IEheuJt+ψ（t-t、 θ，0）Vt+θXti。根据跳跃的独立性，IEheuJt+ψ（T-t、 θ，0）Vt+θXti=eθδtIEhe（u+θ）jtieheψ（t-t、 θ，0）Vt+θ（Xt-δt-Jt）i，其中IEe（u+θ）Jt= e-rtu+θu+θ+α。此外，（Xt- δt- Jt，Vt）t≥0是无跳转的standardHeston进程。因此，比较（6.4）和（6.15），我们发现ψ（T-t、 θ，0）Vt+θ（Xt-δt-Jt）i=eφ（t，θ，ψ（t-t、 θ，0））-trθ（θ-1）（α+1）（α+θ）+ψ（t，θ，ψ（t-t、 θ，0））V.使用ψ（t，θ，ψ（t- t、 θ，0））=ψ（t，θ，0）和φ（t- t、 θ，0）+φ（t，θ，ψ（t- t、 θ，0））=φ（t，θ，0）（见等式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 18:07:27

（2.1）在（Keller-Restel，2011）中，我们最终获得了pθeuJt公司= eθδt-rtu+θu+θ+α-trθ（θ-1）（α+1）（α+θ）=eθrα+1t-rtu+θu+θ+α-trθ（θ-1）（α+1）（α+θ）=e-rαα+θtuu+（α+θ），这确实是一个复合泊松过程的拉普拉斯变换，其中跳跃率为αα+θ和负Exp（α+θ）-分布跳跃。6.2.1. 欧式看跌期权的数值结果。与没有跳跃的theHeston模型的情况类似，表示θ=θ（{T}），我们有^H（θ）+TZh（θ（[T，T]））dt=logK1级- θ- θ对数-θK/S1- θ+ Tuλζλζ- ρθ -γ(θ)ζ+ Tκ（θ）（6.18），我们通过对θ进行微分（6.18）并通过二分法将导数等于0来获得渐近最优θ。我们用参数λ=1.1，u=0.7，ζ=0.3，ρ=-0.5，r=2，α=3，初始值sv=1.3和S=1，在P，等式（6.13）和Pθ，等式（6.17）下，使用200个离散步骤的标准Euler格式。对于P-变现X（i），我们计算欧洲认沽价格的标准蒙特卡罗估计，对于Pθ-变现X（i，θ），我们使用（6.8），其中φ和ψ在（6.15）中给出，并计算与前面示例中相同的统计数据。在表5中，我们将走向固定为值K=1，并让到期日T在0.25到3之间变化，而在表6和表7中，我们将到期日固定为T=1和T=3，而让走向K在0.25到1.75之间变化。T价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.25 0.0945 9.96·10-43.28 3.00 23.60.5 0.147 1.28 ·10-33.20 2.99 24.51 0.215 1.61 ·10-32.95 2.77 24.72 0.309 2.04 ·10-32.61 2.43 24.73 0.374 2.30 ·10-32.40 2.20 25.0表5。在带有跳跃的赫斯顿模型中，方差比作为欧洲看跌期权到期日的函数。K价格标准误差变化率调整。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:07:30

比率时间，s0.25 0.00606 7.83·10-511.6 10.4 25.80.5 0.0377 4.03 ·10-45.42 5.28 24.70.75 0.105 9.44 ·10-43.76 3.19 27.31 0.215 1.61 ·10-32.93 2.89 26.11.25 0.369 2.26 ·10-32.65 2.46 25.41.5 0.550 2.80 ·10-32.43 2.24 24.91.75 0.766 3.05 ·10-32.57 2.44 24.6表6。在Heston跳跃模型中，作为到期日T=1的欧洲看跌期权行使函数的方差比。K价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.25 0.0280 2.69·10-45.19 4.99 24.80.5 0.108 8.60 ·10-43.32 3.05 25.10.75 0.226 1.58 ·10-32.68 2.56 26.31 0.374 2.31 ·10-32.39 2.20 27.01.25 0.545 3.01 ·10-32.20 2.19 25.21.5 0.730 3.66 ·10-32.09 1.94 24.61.75 0.932 4.27 ·10-31.97 1.83 24.8表7。在Heston跳跃模型中，作为到期日T=3的欧洲看跌期权行使函数的方差比。当向赫斯顿模型添加负跳跃时，可以看到方差减小。然而，当选项缺钱时，让它在应用程序中使用起来变得有趣仍然非常重要。在图6.2中，我们将到期日固定为T=1.5，并再次绘制估计值（6.8）的经验方差作为带跳跃的Heston模型θ的函数。该方法提供θ=-0.312作为渐近最优度量变化，与连续情况一样，非常接近最优度量变化。图6.2：。对于具有跳跃的Heston模型，蒙特卡罗估计量的方差作为θ的函数。参考Barndor Off-Nielsen，O.E.（1997）。正态逆高斯型过程。《金融与随机》，2（1）：41–68。Barndor Off-Nielsen，O.E.和Shephard，N.（2001）。非高斯Ornstein-Uhlenbeck模型及其在金融经济学中的一些应用。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法），63（2）：167–241。贝茨，D.S.（1996）。跳跃与随机波动：德国马克期权中的汇率过程Implicit。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 18:07:34

《金融研究回顾》，9（1）：69–107。Dembo，A.和Zeitouni，O.（1998年）。大偏差技术和应用。斯普林格，《数学应用》，第二版。Du ffie，D.、Filipovic，D.和Schachermayer，W.（2003）。财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13（3）：984–1053。Dupuis，P.和Wang，H.（2004）。重要性抽样、大偏差和差异博弈。《随机：概率与随机过程国际杂志》，76（6）：481–508。Genin，A.和Tankov，P.（2016）。L'evy过程的最优重要性抽样。预印本，arXiv:1608.04621。Glasserman，P.、Heidelberger，P.和Shahabuddin，P.（1999）。定价路径依赖的渐近最优重要性抽样和分层。数学金融，9（2）：117–152。Guasoni，P.和Robertson，S.（2008年）。连续时间内具有显式公式的最优重要性抽样。《金融与随机》，12（1）：1-19。Heston，S.L.（1993年）。随机波动性期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。金融研究回顾，6（2）：327–343。Jacquier，A.、Keller Ressel，M.和Mijatovi\'c，A.（2013年）。大偏差和带跳跃的随机波动率：a ffne模型的渐近隐含波动率。《随机：概率与随机过程国际杂志》，85（2）：321–345。Keller Ressel，M.（2011年）。矩爆炸和a ffnestochastic波动率模型的长期行为。数学金融，21（1）：73–98。Leonard，C.（2000年）。具有独立增量的泊松随机测度和过程的大偏差。随机过程及其应用，85（1）：93–121。Robertson，S.（2010）。随机波动率模型的样本路径大偏差和最优重要性抽样。随机过程及其应用，120（1）：66–83。Rockafellar，R.T.（1971年）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝