解耦随机波动率的短期和长期行为

2022-5-26 18:30:16

解耦随机波动性的短期和长期行为Mikkel Bennedsen*Asger Lunde+Mikko S.Pakkanen2021年1月6日摘要我们引入了一类新的资产价格随机波动的连续时间模型。这些模型可以同时包含粗糙和缓慢衰减的自相关，包括适当的长记忆，这是波动率数据中经常发现的两个典型事实。我们的素数模型基于所谓的布朗半平稳过程，我们推导了该过程的一些理论性质，与波动率建模相关。将这些模型应用于涵盖大量资产的实际波动率指标，我们发现了与假设一致的证据，即实际波动率指标的时间序列既粗糙又非常持久。最后，我们举例说明了模型在广泛预测研究中的实用性；我们发现，本文提出的模型在很大程度上优于一系列基准，表明在波动率预测中利用粗糙度和持久性是值得的。关键词：随机波动率；高频数据；粗波动率；坚持不懈长内存；预测；布朗半平稳过程。JEL分类：C22、C51、C53、C58、G17MSC 2010分类：60G10、60G15、60G17、60G22、62M09、62M10、91G70*丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：mbennedsen@econ.au.dk.+丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：alunde@econ.au.dk.伦敦帝国理工学院数学系，英国伦敦SW7 2AZ南肯辛顿校区，丹麦奥胡斯大学。

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2022-5-26 18:30:19

电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.uk.1引言金融计量经济学中的大量文献发现，资产价格的波动性或其实际衡量指标是持久的，因为其自相关函数衰减很小（如Ding等人，1993年；Baillie，1996年；Cont，2001年；Andersen等人，2001年，2003年；Baillie等人，2019年）。因此，使用具有长记忆特性的随机波动率模型变得很流行，这意味着它们的自相关函数是不可积的（例如Poon和Granger，2003；Fleming和Kirby，2011）。持久性的经验证据启发Comteand Renault（1996）引入分数随机波动率（FSV）模型，该模型基于分数Ornstein–Uhlenbeck过程，由分数布朗运动（fBm）驱动，Hurst参数H>1/2，从而形成具有长记忆性的随机波动率连续时间模型。最近，人们对波动率的粗略模型产生了相当大的兴趣。这是由于隐含波动率建模的理论发展（Al\'os et Al.，2007；Fukasawa，2017）以及基于已实现波动率的经验证据（Gatheral et Al.，2018）。Gathereal等人（2018）提出的模型是对本文献的一个重要贡献，该模型受Comte和Renault（1996）的FSV模型启发。Comte和Renault（1996）的FSV模型使用赫斯特指数H>1/2的fBm，从而产生长记忆，Gatheral等人（2018），相比之下，切换到H<1/2的fBm，以考虑粗糙度。

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2022-5-26 18:30:22

因此，他们将其模型称为粗糙分数随机波动率（RFSV）模型。在设计真实的波动性模型时，重要的是要意识到自相似过程（如fBm）的缺点，Gneiting和Schlather（2004）强调了这一缺点，即它们的误差与其长期行为是分不开的。解决此限制的一个方法是使用FBM作为随机微分方程（SDE）的驱动程序，如FSV和RFSV模型中使用的分数Ornstein-Uhlenbeck过程。然而，撇开使用fBm驱动的SDEDR的复杂性不谈，这种方法不容易指定与粗糙度无关的过程的长期行为。例如，赫斯特指数H仍然控制着粗糙区域H中分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程自相关函数的衰减率∈0，.本文的第一个贡献是引入一类波动性的连续时间模型，将粗糙度（短时间尺度下的不规则行为）和持久性（长时间尺度下的强依赖性）结合在一起。特别是，我们提倡使用布朗半平稳（BSS）过程（Barndorff-Nielsen和Schmiegel，2007、2009）作为对数波动率的模型。正如我们将要展示的，这些过程在某种意义上是灵活的，因为它们允许将精细特性（粗糙度）与长期行为（记忆/持久性）解耦。事实上，我们表明，在适当的规范下，BSS过程可以同时适应丰富的长记忆（即不可积自相关）和短记忆（指数衰减自相关），而粗糙度是独立规定的。在相当一般的条件下，BSS过程是静止的，并且它们允许很容易地包含非高斯性和杠杆效应。

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2022-5-26 18:30:25

尽管这些模型具有普遍性，但就其数学结构而言，它们很简单，而且很节省，仅依赖于分别控制短期和长期行为的两个参数。此外，正如我们在下面所演示的，这些模型很容易估计、模拟和预测。本文的第二个贡献是为所提出的模型的参数开发一个估计程序。由于资产价格的随机波动过程是不可观测的，因此任何估计过程都需要基于波动性的间接度量，这可能构成（非常）真实基础过程的噪声度量。这就产生了一个测量误差问题，它会使模型参数的估计产生偏差，尤其是粗糙度指数的估计（Bennedsen，2020）。我们提出了所提出模型中所有参数的噪声鲁棒估计。我们对粗糙度指数的稳健估计是新颖的，并且依赖于非线性最小二乘（NLLS）回归。据我们所知，这是首次在粗糙波动率研究中考虑到这种稳健估计。在模拟研究中，我们检验了粗糙度指数的稳健估计量的有限样本特性，并与基本（非稳健）估计量进行了比较。我们发现，当数据有噪声时，不考虑测量噪声的基本估计器可能会产生严重偏差，而我们新的基于NLLS的估计器可以显著消除这种偏差。本文的前两个贡献是方法论的，第三个是实证的。我们将我们的建模框架应用于研究E-mini标准普尔500指数期货合约的数据，这些数据包括从10分钟到一天的各种日内时间尺度。

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2022-5-26 18:30:29

据我们所知，这是首次对日内波动率的粗糙度特性进行研究，这是一个令人惊讶的事实，因为粗糙度本质上是一个小尺度特性，因此在小尺度下研究最为准确。我们还研究了近2000只股票的每日实现波动率度量的粗糙度和持续性。我们的经验发现表明，日内和日内波动率指标都显示出高度的粗糙度和高度的持续性，包括可能的长记忆，因此表明我们提出的理论模型可能是有用的随机波动率模型。最后，为了检验所建议的波动率模型的实用性，我们进行了一项广泛的预测研究。我们发现，我们提出的模型优于各种基准模型，尤其是在日内时间尺度上。这表明，在预测中仔细建模随机波动率的小尺度和大尺度行为非常重要，因此，在这些尺度上解耦行为的模型在实践中是有用的。论文的其余部分结构如下。第2节通过随机过程的自相关定义了本文中粗糙度和持久性的概念。随着本论文当前版本的撰写，Fukasawa et al.（2019）开发了aquasi似然方法来估计粗略波动率模型，该方法还试图通过使用已实现的波动率度量代替潜在波动率过程来考虑噪声。第节接着介绍了一类基于BSS过程的随机波动率模型，这些模型能够同时节省地结合粗糙度和高持久性，包括长记忆。

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2022-5-26 18:30:32

第3节描述了粗糙度参数的估计过程，并提出了一种新的噪声鲁棒估计方法。第4节包含大量模拟研究，调查拟议估计器的有限样本特性。第5节是实证部分，使用已实现的波动率数据估计各种模型。第6节介绍了一项预测研究，我们将我们的新模型与现有的波动率预测模型进行比较。最后，第7节得出结论。附录中给出了技术结果的进一步细节和证明。在线提供了包含进一步模拟实验的Web附录。2个将短期和长期行为解耦的随机波动率模型let X=（Xt）t∈Rbe一个平稳的连续随机过程，定义在概率空间上(Ohm, F、 P），满足通常条件。将ρ定义为X的自相关函数（ACF），即ρ（h）：=Corr（Xt+h，Xt），h∈ R、我们说，如果X的ACF符合渐近关系1，则X是粗糙的- ρ（h）~ c | h | 2α+1，| h |→ 0，（2.1）对于常数c>0和一些α∈-,.我们称α为X的粗糙度指数。对于平稳高斯过程，关系式（2.1）意味着过程X对任意φ的局部φ-H–older连续轨迹进行了修改∈ （0，α+1/2）（例如Bennedsen，2020，命题2.1）。为了完整性，我们在此回顾函数x:R→ R是φ-H的局部连续φ∈ （0，1）如果对于任何紧致区间I R存在一个大于0的常数cI，因此| x（s）- x（t）|≤ cI | s- t |φ，s，t∈ 一、因此，指数α可以被视为粗糙度的度量，较小的值表示更粗糙。这里值得一提的是，标准布朗运动对于任何φ都有局部φ-H–older连续轨迹∈ （0，1/2）。

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2022-5-26 18:30:37

因此，α的负值表示轨迹比标准布朗运动的轨迹更粗糙。波动性的粗略模型与隐含波动性表面的一些经验观察特征一致（Gatheral，2006）。特别是，如Al\'os et Al.（2007）和Fukasawa（2017）所示，此类模型能够准确捕捉货币波动率在此处和下方的短期行为。”~” 表示左侧和右侧之间的比率趋向于1，当此关系中的常数无关紧要时，我们将用通用c表示，它可能因公式而异。偏斜，基于It^o差异的传统局部/随机波动率模型无法捕捉到。为了模拟波动率的粗糙度，早期的研究主要依赖于“规范”粗糙过程，即具有赫斯特指数H的分数布朗运动（fBm）∈ （0，1/2）。对于fBm，简单的关系H=α+1/2成立，这意味着H<1/2意味着粗糙度。长期以来，这种波动性一直是一个公认的事实（例如，Bollerslev和Wright，2000年；Andersen等人，2003年）。因此，大量文献集中于使用持久性模型对（对数）波动性进行建模，即自相关性以低多项式速率衰减的波动性模型：ρ（h）~ c | h|-β、 | h |→ ∞, （2.2）对于常数c>0和一些β∈ （0，∞). 当β∈ （0，1），相关函数ρ是不可积的，即R∞|ρ（h）| dh=∞, 我们说X具有长内存特性。能够再现长记忆特性的对数波动性模型传统上是使用赫斯特指数H=1的fBm构建的- β/2∈ （1/2，1）作为行驶噪声；有关长记忆连续时间波动模型的文献，请参见，例如，Comte andRenault（1996）、Comte（1996）、Comte and Renault（1998）和Comte et al.（2012）。fBm仅在增量方面是固定的。

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2022-5-26 18:30:46

当H<1/2时，该过程具有高度的反持续增量，使得其轨迹在较长的时间尺度上似乎是静止的，当我们想谈论波动性的长期特性时，水平的形式上缺乏平稳性是一个麻烦，如（2.2）。Comte和Renault（1996，1998）提出的补救措施是从分数Ornstein-Uhlenbeck过程构建波动性模型，即由赫斯特指数为H的fBm（Cheridito et al.，2003）驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程。Comte和Renault（1996，1998）提出的选择H>1/2产生了具有长记忆的模型，分数随机波动性（FSV）模型，Gatheral et al.（2018）的championedrecently选择H<1/2，得出了一个具有粗糙轨迹的模型，即粗糙分数随机波动率（RFSV）模型。分数Ornstein-Uhlenbeck过程理论，Cheridito et al.（2003）的定理2.3具体告诉我们，这些过程有一个以指数β=2的多项式率衰减的自相关函数-2小时。因此，当H<1/2时，进程失去了上述形式化的长内存特性，而它无疑仍然是持久的。然而，让参数H通过α=H+1/2和β=2来控制过程的粗糙度和长期行为- 在波动性建模的背景下，2H似乎既没有理论动机，也没有实证动机。这促使我们寻找过程X，我们可以为其指定粗糙度指数α，而不依赖于记忆参数β，反之亦然，甚至可以用指数衰减代替自相关的多项式衰减，而不影响粗糙度。

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2022-5-26 18:30:49

给定一个具有这些性质的过程X，然后我们定义了现货波动过程σtasσt=ξexp（Xt），t的一般模型≥ 0，（2.3），其中ξ>0是自由参数。2.1对数波动性模型我们有两个主要的候选X：柯西过程和所谓的布朗半平稳过程。这两个过程的共同点是，在我们这里考虑的设置中，它们都有两个参数，分别控制短期和长期行为。因此，无论哪种情况，参数的数量都不高于RFSV模型（Gatheral等人，2018年，第3.1节）。我们将看到，布朗半平稳过程尤其适合于波动率建模2.1.1柯西过程可通过使用柯西类自相关函数（Gneiting和Schlather，2004）获得将短期和长期行为解耦的高斯过程。由此产生的柯西过程是一个居中、平稳的高斯过程G=（Gt）t∈R具有自相关函数ρ（h）=1+| h | 2α+1-β2α+1，h∈ R、其中α∈-,β>0。特别是，过程G满足（2.1）和（2.2）。然而，从建模的角度来看，这一过程的主要限制是其固有的美国性。然而，通过波动率调制可以超越高斯性，也就是说，通过指定一个过程xt=ZtvsdGs，t≥ 0，（2.4）使用柯西过程G和一些附加过程v=（vt）t∈R对波动性的波动性进行建模。在适当的假设下，X将继承G的粗糙度特性，参见Barndor Off-Nielsen等人（2009，示例3）。

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2022-5-26 18:30:52

值得强调的是，由于G通常是一个非半鞅，而且其参数值确实与粗糙波动率建模相关，因此（2.4）中的随机积分不能定义为It^o积分，但需要使用pathwise Young积分（Dudley和Norvaisa，2011），这需要对v的粗糙度进行一些额外的假设。在柯西过程G粗糙的情况下，这些假设变得很严格，不幸的是，例如，v不能是半鞅（具有非零二次方差）。总之，Cauchy类提供了一个将粗糙度和记忆属性解耦的方便模型。由于Cauchy类的特征是封闭形式的ACF，因此很容易使用它。此外，正如我们将在下面的预测实验中看到的，使用柯西类模型得出的波动率预测表现相当好。然而，这类模型不容易超越高斯性，这限制了其作为对数波动率模型的适用性。接下来，我们提出了一个不同的建模框架，它很容易适应非高斯性。2.1.2布朗半平稳过程一个能够捕捉我们所有需求的随机过程，包括粗糙度、强持久性、平稳性和非高斯性，这就是布朗半平稳过程（BSS），Barndor Off-Nielsen和Schmiegel（2007、2009）引入了该过程。此过程通过移动平均表示XT=Zt定义-∞g（t- s） vsdWs，t≥ 0，（2.5），其中W=（Wt）t∈Ris是定义在R，g：（0，∞) → R是平方可积核函数，v=（vt）t∈Ris是一个适应的协方差平稳波动（波动）过程。注意，当v是确定性的时，X是高斯的，而随机v使X非高斯的。

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2022-5-26 18:30:57

特别地，当v独立于W时，我们有xt |（vs）s≤t型~ N0，Z∞g（x）vt-xdx公司,表明XT的边缘分布是一个正态均值-方差混合，条件方差由v和g控制。Barndor ff-Nielsen等人（2013）表明，当g由所谓的gamma核给出时（下面的示例2.2），我们可以选择正态逆高斯（NIG）分布作为X的边缘分布。在上述假设下，过程X已经得到了很好的定义，并且具有协方差统计性。对于平稳性，从-∞ 在（2.5）中是至关重要的。现在，我们将介绍关于核函数g的性质的附加假设，这些假设使我们能够推导关于X.（A1）的一些α的理论结果∈ (-1/2，1/2）\\{0}，g（x）=xαL（x），x∈ （0，1），（2.6）其中函数是连续可微分的，以零为界，函数在零处缓慢变化，即limx↓0L（tx）L（x）=1表示所有t>0。此外，微分Lof Lsaties | L（x）|≤ C（1+x-1），x∈ （0，1），对于某些常数C>0。（A2）函数g与导数g连续可微，导数g最终单调且满足∞g（x）dx<∞.在本文的早期版本中(https://arxiv.org/abs/1610.00332v2)，我们表明，NIG分布似乎很好地符合对数波动率的经验分布，尤其是在日内时间尺度上。这是BSS框架的一个鼓舞人心的特性，并以此为指导来指定波动性的波动性模型是一种很有希望的方法，但超出了本研究的范围。我们参考Bingham等人。

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mingdashike22

2022-5-26 18:31:00

（1989）对缓慢变化（和规律变化）功能的广泛处理。（A3）对于某些λ≥ 0和γ∈ R、当λ=0，g（x）=e时，γ>1/2-λxx-γL（x），x∈ （1，∞), （2.7）其中，Lis在整体上缓慢变化，且以零为界，且∞ 在任何时间间隔。假设（A1）和（A3）重新定义了早期的假设，即g是平方可积的。实际上，在λ=0的情况下，所谓波特边界的简单应用（Bingham et al.，1989，定理1.5.6（ii））表明α>-根据规范（2.6）和（2.7），1/2和γ>1/2是g可平方积的充分条件。类似地，在λ>0的情况下，条件α>-1/2和γ∈ R、在（2.6）和（2.7）下，平方可积性的证明。假设（A1）、（A2）和（A3）与Bennedsen et al.（2017）中使用的假设相似，唯一的区别是（A3）与该论文中的相应假设相比，稍微更具体一些。以下命题表明，在假设（A1）和（A2）下，（2.5）定义的BSS过程X的粗糙度指数为方程式（2.1）意义上的α。其结果是对Bennedsen et al.（2017）中的命题2.1进行了前瞻性的改编，我们参考该论文进行证明。下面，我们用ρX表示X的自相关函数。命题2.1。如果核函数g满足（A1）和（A2），则1- ρX（h）~2α+1+R∞（x+1）α- xαdxR公司∞g（x）dx！L（| h |）| h | 2α+1，| h |↓ 0.如（A3）所述，核函数g在整体上的尾部行为控制X的长期记忆特性。我们首先考虑λ=0的情况，其中指数阻尼因子n（2.7）消失。在这种情况下，参数γ控制BSS过程X的渐近记忆性质。命题2.2。

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2022-5-26 18:31:05

假设核函数g满足（A3），λ=0，且rg（x）dx<∞.（i）如果γ∈ （1，∞), 然后ρX（h）~R∞g（x）dxR∞g（x）dxL（| h |）| h|-γ、 | h |→ ∞.（ii）如果γ∈ （1/2，1），然后ρX（h）~R∞x个-γ（1+x）-γdxR∞g（x）dxL（| h |）| h | 1-2γ，| h |→ ∞.备注2.1。在临界情况γ=1时，ρXis的渐近行为在（A3）下是不确定的，需要对慢变函数L进行额外假设。备注2.2。从命题2.2可以看出，如果核函数g满足λ=0的（A3），则产生的BSS过程将具有自相关函数，该函数随h多项式衰减→ ∞. 实际上，如（2.2）所示，让多项式衰减率用β表示，当γ>1时，我们看到γ=β，而β=2γ-γ时为1∈ （1/2，1）。由此也可以得出，如果γ∈ （1/2，1），然后Z∞ρX（h）dh=∞,i、例如，X具有长内存属性。与λ=0的情况相反，λ>0的假设（A3）允许模型的自相关性以指数速度衰减到零，导致内存不足，如以下结果所示。提案2.3。假设核函数g满足λ>0和γ的（A3）∈ R、 Suchthatg（x）dx<∞. 然后ρX（h）~R∞g（x）e-λxdxR∞g（x）dx！e-λ| h | h|-γL（| h |），| h |→ ∞.备注2.3。假设（A1）是RG（x）dx<∞ 建议2.2和2.3。幂律核函数是满足（A1）、（A2）和（A3）的核函数的一个例子，这将在后面对我们很重要。示例2.1（幂律内核）。设g为幂律核g（x）=xα（1+x）-γ-α、 x>0，α∈-,, γ∈, ∞. （2.8）Bennedsen等人（2017，示例2.2）表明，该核函数确实满足（A1）、（A2）和（A3）。特别是，如命题2.2所述，利用该核函数，BSS过程X具有粗糙度指数α和由γ控制的记忆特性。

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2022-5-26 18:31:08

在下面，我们将使用幂律内核的BSS进程称为幂BSS进程。稍后，我们将需要功率BSS过程的相关结构。根据v的协方差平稳性，一般BSS过程（2.5）的自协方差函数iscX（h）：=Cov（Xt，Xt+h）=E[v]Z∞g（x）g（x+| h |）dx，h∈ R、（2.9）由此我们推断，当g如（2.8）所示给出时，我们有cx（0）：=V ar（Xt）=E[V]Z∞x2α（1+x）-2γ-2αdx=E[v]B（2α+1，2γ- 1），其中B（x，y）=Rtx-1（1-t） y型-1dt=R∞德克萨斯州-1（1+t）-x个-ydt是β函数（例如，Gradshteynand Ryzhik，2007，公式8.380.3）。为了计算相关函数ρX（h）=cX（h）/cX（0），我们采用（2.9）的数值积分。注意，ρxd不依赖于E[v]。满足方程式（A1）、（A2）和（A3）的核函数的另一个例子是gamma核，这在续集中也很重要。示例2.2（Gamma内核）。设g为伽马核g（x）=xαe-λx，x>0，α∈-,, λ∈ （0，∞) ,满足（A1）、（A2）和（A3），如Bennedsen等人（2017年，示例2.1）所示。利用该核函数，过程X具有粗糙度指数α和由λ控制的记忆特性，asper命题2.3。在下面，我们将使用gamma内核将BSS进程称为gamma BSS进程。我们还需要Gamma BSS过程的相关结构。我们很容易发现cx（0）：=V ar（Xt）=E[V]Z∞x2αe-2λdx=E[v]（2λ）-2α-1Γ（2α+1），其中Γ（a）=R∞xa公司-1e级-xdx是gamma函数。对于一般h∈ R、我们使用Gradshteyn和Ryzhik（2007，公式3.383.8），cX（h）：=Cov（Xt+h，Xt）=E[v]Γ（α+1），得到了自方差函数√π|h | 2λα+1/2Kα+1/2（λ| h |），其中Kν（x）是第三类带指数ν的修正贝塞尔函数，在x处进行评估（参见Gradshteyn和Ryzhik，2007，第8.4节），自相关函数可以使用等式ρx（h）=cX（h）/cX（0）计算。

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2022-5-26 18:31:11

我们注意到，Cx是Mat'ern协方差函数（Mat'ern，1960；Handcock和Stein，1993），广泛应用于许多统计领域，例如空间统计、地质统计和机器学习。备注2.4。这两个核函数的例子说明了长内存和短内存之间的理论区别。特别是，根据命题2.3，伽马BSS过程遵循ρX（h）~ c·e-λhhα，h→ ∞,i、例如，其内存较短，而功率BSS过程将具有多项式衰减的ACF，尤其是当γ<1时的长内存特性，参见备注2.2。虽然从理论上讲，gamma-BSS过程的内存较短，但通过选择非常小的λ值，可以指定具有非常高持久性的过程，模拟有限时间间隔的长内存。从经验上看，这两个BSS模型使我们能够评估使用具有丰富长记忆的模型是否有任何收益，而不是使用具有（形式上）短记忆的高度持久性模型，特别是在预测准确性方面。备注2.5。由于Barndor Off-Nielsen和BasseO\'Connor（2011）得出的移动平均表示，分数Ornstein-Uhlenbeck过程是BSS过程的特例（2.5），因此FSV和RFSV模型是本节中制定的一般模型的特例。也就是说，由于前面讨论的这些模型的局限性，我们在本文中不分析这些模型。2.2对波动性的影响以下结果表明，当对数波动性是BSS过程时，粗糙度和记忆属性将延续到波动性过程本身。与定理2.1（i）有关的一个结果，如孔德和雷诺（1998）在X是fBm的情况下给出的。

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2022-5-26 18:31:15

我们这里的结果是针对高斯BSS过程的，即当vt=v>0对于所有t都是常数时，但我们推测，在适当的假设下，这些结果对于更一般的BSS过程也是适用的。设σ=（σt）t≥0be如（2.3）所示，ρ（h）=Corr（σt+h，σt），h∈ R、以下定理的第一部分表明σ继承了BSSprocess X的粗糙度特性。第二部分表明，长期记忆特性也是如此。定理2.1。设σ由（2.3）给出，其中X是满足（A1）、（A2）和（A3）的BSS过程，对于所有t，vt=v>0。然后，（i）为| h |→ 0,1- ρ（h）~ c | h | 2α+1L（| h |）。（ii）as | h |→ ∞,ρ（h）~ c·ρX（h）。2.3随机波动率模型的模拟快速有效地模拟随机波动率模型有利于许多原因。例如，有人可能希望进行模拟实验来评估模型的属性，或者有人可能希望通过蒙特卡罗模拟对衍生品进行定价。我们在此讨论如何更轻松有效地模拟我们的模型。然而，不应想当然地认为粗糙波动率模型的数值有效模拟方法，如本文所考虑的方法。粗糙波动率模型通常是非马尔可夫模型，这取决于整个过程的历史，这使得传统的递归模拟方法不适用。此外，BSS过程非高斯性的可能性带来了进一步的问题，因为这排除了基于高斯性的模拟方法，如Cholesky分解和循环嵌入方法（例如，Asmussen和Glynn，2007，第XI章）。要模拟的模型isSt=SexpZtσsdBs-Ztσsds,σt=ξexp（Xt），其中S>0，ξ>0，B是布朗运动，X是我们的对数波动率候选模型之一，如第2节所示。我们可以使用积分的黎曼和近似在网格上模拟S。

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2022-5-26 18:31:19

为此，我们需要首先在同一网格上模拟B和σ，这归结为模拟B和X。由于我们通常希望使这些过程相互关联，为了捕获平均效应，有必要联合模拟B和X。当X为高斯时，例如Cauchy过程或具有恒定波动性的BSS过程，可以使用观测协方差矩阵的Cholesky分解（Asmussen和Glynn，2007，第311-314页）精确模拟。此外，还可以计算高斯双变量过程（B，X）的协方差结构，并联合模拟B和X，这样就可以解释这两个过程之间的相关性。这是拜耳等人（2016）采用的方法。然而，正如作者也指出的那样，Cholesky分解在计算上是昂贵的，如果要模拟的观测数量很大，它甚至可能变得不可行。相反，我们建议在高斯情况下使用循环嵌入方法（Asmussen和Glynn，2007，第314-316页），或在一般情况下使用Bennedsen等人（2017）的混合方案。混合方案是为BSS过程量身定制的，其优点是：（i）模拟速度快，在大多数情况下准确（虽然近似），（ii）允许通过波动率（波动率）调制实现X的非高斯性，以及（iii）包含杠杆，即Nx和B之间的相关性，非常简单。我们参考Bennedsen等人（2017）在假设（A1）、（A2）和（A3）下对BSS processX混合方案的阐述，由（2.5）定义。作者在论文（Bennedsen et al.，2017，第3.1节）中解释了如何合并v和W之间的相关性，同时可以使用相同的程序引入W和B之间的相关性，或者实际上，模型的W、B和v.3估计之间的相关性。我们为第2节的模型提出了两步估计程序。

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2022-5-26 18:31:24

首先，我们使用比例关系（2.1）半参数估计粗糙度参数α，然后使用参数矩方法估计其余参数。混合方案需要截断积分表示（2.5）“近似”的完整性。如果内核函数的衰减速度非常慢，那么这种截断可能会导致进程的内存属性方面的精度损失。我们考虑α的两个不同估计量，详细信息见第3.1节。Firstestimator在文献中很有名（例如，Constantine and Hall，1994；Gneiting et al.，2012），它依赖于简单的OLS回归。第二种估计是新颖的；它依赖于非线性最小二乘（NLLS）回归，其构造使其对观测中的测量噪声具有鲁棒性。在本文中，后一个特征很重要，当我们将这些方法应用于实际数据时，我们无法获得现货方差过程，只能获得其噪声估计值。第3.2节brie Fly回顾了我们提议的估计方法的第二个矩量法步骤，该步骤也可以以噪声鲁棒性的方式进行。3.1估计对数挥发度的粗糙度参数根据对数方差过程Xt=对数σ的观测值估计粗糙度参数α，这是很好理解的。一个特别简单且常用的估计器可以如下构造。方程（2.1）表明二阶变差函数γ（·）满足γ（h）：=E[（对数σt+h- 对数σt）]~ c | h | 2α+1，| h |→ 0，对于常数c>0。这促使运行普通最小二乘（OLS）回归log^γ（k）=a+alog k+k、 k=1，2，m、（3.1）其中m∈ N是带宽参数，kis是一个误差项，且^γ（k）=n- 千牛-kXi=1 |对数σ（i+k）- 对数σi|是对应于γ（k）的经验变差函数).

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mingdashike22

2022-5-26 18:31:29

因此，α的OLS估计量为^α=^αOLS=（^a-1） /2，其中^ais是回归（3.1）中afrom的OLS估计量。此后，我们将把α的这个估计量称为OLS估计量。根据Bennedsen（2020），我们为带宽选择一个较小的值，并将m设置为6。不幸的是，在现实中，我们无法访问潜在波动率过程logσt。相反，可用数据是对数波动率的估计值，log^σt，详情请参见下文第5节。有理由问，是否有可能使用log^σk准确估计最新对数波动过程logσtus的粗糙度指数。正如我们将看到的，这种担心是合理的，因为α的OLSestimator在存在测量噪声的情况下可能会产生严重偏差，这可能是因为使用log^σtin代替logσt。为了缓解这种可能的偏差，我们给出了一个估计量，它是针对观测值中的加性噪声的。为了验证想法，假设观察值通过logσk=logσk与潜在过程相关+ uk，（3.2），其中uk是噪声术语。如果噪声项是平均值为零的iid，且Uk与对数σk无关,我们有γ*（h）：=E[（log^σt+h- log^σt）]=2σu+γ（h），（3.3），其中γ（·）是潜在过程logσ的二阶变差函数，σu是uk的方差。当σu>0时，记录γ*（h）在对数h中不是线性的，因此不能期望OLS回归（3.1）得出一致的α估计值（Bennedsen，2020，命题3.3）。相反，（3.3）激发了一种非线性最小二乘（NLLS）回归：^γ*（k） =b+b（k)2α+1+k、 k=1，2，m、其中m∈ N是带宽参数，kis是一个误差项，而^γ*（k） =n- 千牛-kXi=1 | log^σ（i+k）- 对数σi|是与γ相对应的经验变差函数*（k）). 在续集中，我们将此估计器称为NLLSestimator。下面的结果表明，NLLS估计量是渐近一致的。

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2022-5-26 18:31:32

附录B中给出了证明。定理3.1。设X是一个平方可积连续过程，具有平稳增量和变差函数γ（h）=E[| Xt+h- Xt |]=ch2α+1，h>0，常数c>0，粗糙度参数α∈ (-1/2，1/2）。修理 > 0和letZi= xi+ ui，i=1，n、等距离观测，使u={ui}ni=1为零平均iid序列，独立于X，有限V ar（u）=σu≥ 0、用γ表示*（h） Z的变差函数，设Θ是R+×R+×的紧子集(-（2σu，c，α）位于Θ的内部。最后，将θ的NLL估计值：=（a，c，α）定义为θ=（a，c，α）：=arg infθ∈ΘmXk=1^γ*（k，) - 一- c（k)2α+1,固定带宽m≥ 3和^γ*（k，) :=n- 千牛-kXj=1 | Z（j+k）- Zj公司|, k=1，2，m、然后（^a，^c，^α）→ （2σu，c，α）的概率，如n→ ∞.备注3.1。定理3.1中γ（h）=ch2α+1，h>0的假设在某种程度上是理想化的，并且没有涵盖许多感兴趣的模型。例如，在本文中，我们主要使用γ（h）=h2α+1L（h），h>0的模型，其中函数L在零处缓慢变化，我们回忆起这意味着limx→0L（tx）L（x）=1表示所有t>0。函数L的存在可能会使NLL估计产生偏差。然而，我们推测，这种偏差通常应该很小，因为根据缓慢变化函数的性质（例如，Bingham等人，1989），可以找到所有 > 0和h非常小，Ch2α+1+≤ γ（h）≤ Ch2α+1-, （3.4）表明α估计中的任何潜在偏差可以通过设置我足够小了。在这些更一般的假设下，发展NLLS估计量的渐近结果超出了本文的范围。

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2022-5-26 18:31:35

然而，正如我们将在第4节的模拟研究中看到的那样，我们发现函数L的存在对与本文所考虑的情况相关的情况下α的NLL估计只有可忽略的影响。如何为NLLS估计器选择最佳带宽m是一个公开的问题，这超出了本文的范围。相反，在第4.1节中，我们使用模拟来指导实际中的带宽选择。3.2通过动量法对剩余参数的参数估计Let X是一个单位方差的零均值随机过程，满足假设（A1）–（A3）。考虑对数挥发度logσt=u+νXt的模型，常数u=logξ∈ R和ν>0。显然，u和ν可以分别通过对数σt的样本平均值和样本标准偏差来估计，而X的粗糙度参数α可以使用上面讨论的OLS或NLLS估计器来估计，并应用于对数σt。向量θ中模型的其余参数取决于X的参数规格的特定选择。例如，如果X是第2.1.1节中介绍的柯西过程，则θ=β，而如果X是示例2.1中的幂BSS过程，则θ=γ，如果Xis是示例2.2中的伽马BSS过程，则θ=λ。考虑到α的第一步估计，我们建议通过将对数σ的经验估计自相关函数设置为X的参数模型所隐含的自相关来估计θ。让经验自相关实际上，在伽马BSS和幂BSS模型的背景下，函数L实际上有界于原始so（3.4）附近 = 然后为0。数据用ρ（h）表示，模型forX隐含的参数自相关函数用ρ（h；α，θ）表示。

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2022-5-26 18:31:38

我们现在可以将θ的估计量定义为θ=arg minθHXi=1（ρ（h）- ρ（h；^α；θ）），对于某些h≥ 其中，α是α的第一步估计量，通过第3.1节中讨论的OLS或NLLS方法获得。可以用一种简单的方式构造一种噪声鲁棒的替代估计器^θ。实际上，根据噪声观测的模型（3.2），我们可以写出ρ*（h）：=Corr（log^σk+h，log^σk）=Cov（logσ（k+h）+ uk+h，对数σk+ uk）V ar（对数σk+ uk）=Cov（对数σ（k+h）, 对数σk)V ar（对数σk) + V ar（uk）=C·ρ（h），其中ρ（h）：=Corr（σt+h、 σt），C=（1+γ噪声）-1是一个常数，噪声信号比γnoise由γnoise=V ar（uk）V ar（logσt）给出。因此，噪声观测值的相关函数对数log^σi，i=1，n、服从slogρ*（h） =c+logρ（h），其中c=log c是一个常数。综上所述，我们可以通过^θ以抗噪声的方式估计θ*从非线性最小二乘回归（^c，^θ*) = arg min（c，θ）HXi=1（log^ρ（h）- c- logρ（h；^α；θ）），其中^α是在第3.1.4节模拟研究中开发的α的第一步噪声鲁棒NLLS估计器。本节的目的是研究前一节中提出的估计程序的有限样本特性。Web附录包含更广泛的模拟结果。第4.1节介绍了一项小型模拟研究的结果，这有助于为α的NLLS估计器选择带宽参数m。其中包括与OLS估计值的简要比较。第4.2节对OLS和NLLS估计器在应用于更现实的数据时的性能进行了更深入的比较。

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2022-5-26 18:31:42

第4.3节brie fly研究了第3.2.4.1节所述剩余参数矩量法估计器的特性带宽参数m对NLLS估计器的影响为了评估带宽参数m对NLLS估计器的影响，我们进行了一项小型模拟研究。考虑模型y=u+Bα+1/2t+κt、 t型≥ 0，其中u=logξ∈ R、 κ≥ 0，Bα+1/2是分数布朗运动，Hurst指数x H=α+1/2，α∈ (-1/2，1/2），独立于iid错误项t型~ N（0，1），t≥ 因此，Yt满足了定理3.1的基本假设。我们设置u=0，α∈ {-0.4，-0.2，0，0.2}和模拟Yi的n个观测值具有 = 0.10，对于i=1，2，n、我们生成了500个yt的蒙特卡罗复制，并使用NLLS估计器估计带宽参数m、真实粗糙度指数α和噪声方差κ的各种值的α。从这500个模拟状态中，我们记录带宽参数m的“最佳”值*, i、 e.，使500次模拟中α估计值的均方误差最小的m值。forn的结果∈ {1000，2000}，m∈ {3，4，…，50}，和κ∈ {0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5}如图1所示。很明显，随着噪声级κ的增加，最佳带宽也随之增加。同样，底层进程Bα+1/2tis越长，即α越低，最佳带宽越大*. 从n=1000到n=2000似乎对m没有太大影响*.

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2022-5-26 18:31:45

对于α的相关值，即α≤ 0时，最佳带宽似乎大致介于m*= 10和m*= 20，尽管α值非常接近-0.50，米*可能更大。NLLS估计量对所采用的数值优化程序非常敏感。再加上m的精确值的不确定性*在实际应用中，Promptsu建议对来自带宽参数项的多个值的估计进行平均。（或者，可以取估计值的中位数，而不是平均值。）鉴于本节的初步模拟研究，我们建议对设置m=10，11，…，得到的11个估计值进行平均，20、我们发现这一策略在实践中效果很好，但我们再次强调，更系统地选择m是更好的选择。然而，这超出了本条的范围，留给今后的工作。为了说明该策略的性能，并与OLS估计器进行比较，图2绘制了拟议NLLS估计器的偏差，即NLLS估计值的平均值from=10，20，以及OLS估计器的偏差，在用于构造图1的同一模拟研究中。很明显，OLS估计对κ>0有很大的偏差，而theNLLS估计似乎在很大程度上缓解了偏差。下一节将在更现实的环境中进一步检验这两个估计量的性质。4.2估计噪声时间序列的粗糙度指数，现在考虑模型y=u+νXt+κt、 t型≥ 0,0.1 0.2 0.3 0.4 0.50102034050M*n=10000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50102034050M*n=2000=0.2=0=-0.2=-0.4图1：确定最佳（关于均方误差）带宽m*对于NLLSestimator，使用模拟。

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2022-5-26 18:31:48

第4.1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.6-0.4-0.20Biasn=10000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.6-0.4-0.20Biasn=2000图2：第4.1节模拟研究中NLL（实线）和OLS（虚线）估计器的偏差。NLLS估计器是带宽m=10，11，…，的单个NLLS估计器的平均值，20，而OLS估计器使用m=6。其中u=logξ∈ R、 ν，κ>0，X是一个单位方差满足假设（A1）–（A3）的零均值随机过程，且t型~ N（0，1），t≥ 0，是iid错误项。术语ut=κt出现干扰潜在过程观测的测量噪声*t=u+νXt。相关噪声信号比用s=pV ar（ut）/V ar（Y）表示*t） =κ/ν。使用此设置，我们希望评估α的两个估计器的有限样本特性，当nx是示例2.2中的伽马BSS过程时，以每天或更高的频率采样。请注意，严格来说，此过程不满足定理3.1背后的假设，参见Remark3.1。我们设定λ=0.02，u=1，ν=1，并用采样频率模拟n=1000个观测值 > 0，模拟对数波动率数据的n个观测值，观测值1/ 每天次。我们改变噪声信号比s∈ {0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5}通过改变噪声κ的标准偏差∈ {0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5}。考虑α的两个值，即α=0和α=-0.35，这在本文中特别有趣：α=0对应于“标准”半鞅框架，而α=-0.35是在估计已实现波动率指标的粗糙度指数时经常发现的值，参见Gathereal等人（2018）和下文第5节。采样频率也考虑两个值，即 = 1和 = 0.1。

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2022-5-26 18:31:51

第一个值对应于每日观察值，而第二个值对应于已实现对数波动率的日内观察值（大约每小时一次）。平均回归参数的值λ=0.02，与我们在下面第5.1节中对标准普尔500指数数据的估计值相对应。我们对α、λ和, 并发现了非常相似的结果，这些结果显示在Web附录中。我们模拟了500个YT实例，并使用OLS和NLLS估计器估计粗糙度指数α。表1报告了来自两个估计器的500个α估计值的平均值、中值和标准差（SD）。如上所述，我们认为α=0（面板A和C）和α=-0.35（面板B和D），以及 = 1（面板A和B）和 = 0.1（面板C和D）。从结果中可以学到一些东西。首先，NLLS估计器比OLS估计器更分散，NLLS估计器估计值的标准差更大就证明了这一点。其次，当信噪比s增大时，OLS估计器很快变得有偏差。然而，NLLS估计器能够在很大程度上缓解这种偏差。在α=0的情况下，这一点尤其明显，其中OLS估计量是非常有偏差的，而NLLS估计量更精确。不经常采样时，即 = 然而，由于过程中的均值回归，NLLS估计值略有向下偏移，参见表1的面板A。这证明了这样一个事实，即当采样频率较低时，平均回复可以类似于粗糙度。

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2022-5-26 18:31:54

然而，在与本文相关的平均回归水平上，即对于非常持久的过程，偏差很小。我们让感兴趣的读者参考Web附录，在那里我们对这种行为进行了更详细的研究。4.3使用momentsTable 2方法估计剩余参数，给出了使用第3.2节中给出的基于矩的λ估计器的估计结果。为简洁起见，我们只报告 = 1，作为 = 0.1类似，可在Web附录中找到。模拟程序与第4.2节中用于研究α估计量的程序相同，即X是λ=0.02的伽马BSS过程。面板A和Bof表2包含α=0和α=-分别为0.35。使用普通估计量^θ=^λ和稳健估计量^θ报告平均值、中值和标准偏差*=^λ*,参见第3.2节。Abi Jaber和El Euch（2019）表明，粗糙模型可以由具有不同程度均值回归的标准模型的混合物来近似，包括具有任意快速均值回归的成分。

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