有效但并非必要的条件是，跳跃项由复合泊松过程给出，噪声项为iid，具有零均值和有限四阶矩，且独立于有效价格Y（Christensen et al.，2014，命题1）。此外，在高频返回的情况下，漂移过程u在经验上可以忽略不计，从现在起将被忽略。以下章节将解释我们用于S的数据、我们如何估计潜在波动率过程σ以及该过程的后续经验发现。我们试图提取已实现的即期波动过程（σt）t∈[0，T]，对于一些时间范围T>0，从资产价格S的高频观察。由于σ不可直接观察到，我们需要为它构建一个代理。特别是在本节中，我们对评估波动率的日内变化感兴趣。这应该与Gatheral等人（2018）的观点形成对比，Gatheral等人认为波动率指标是以日频率计算的。为此，我们首先指定步长 > 0，使得T=n 对于一些大型n∈ N、 然后，我们旨在估计综合方差（IV），IVt： =Ztt-σsds，t=, 2., . . . , n.IV的估计量已被广泛研究，突出的例子包括实现方差（Andersen et al.，2001；Barndorff-Nielsen和Shephard，2002）、实现核（Barndorff-Nielsenet al.，2008）、双尺度估计量（Zhang et al.，2005）和预平均法（Jacod et al.，2009）。除第一种方法外，这些方法对市场微观结构影响具有鲁棒性，当使用更高频率的价格抽样时，市场微观结构影响至关重要（如Hansen和Lunde，2006）。

此外，正如我们将在下文中看到的，预平均方法可以以一种简单的方式进行调整，以处理价格过程中的跳跃，这是我们选择这种特殊方法的主要原因。通过出租 要足够小，以便在每个时间间隔的大小中波动水平的变化 很小，我们可以使用代理^σt=-1cIVt、 t=, 2., . . . , n, （5.2）其中CIV这是根据上述方法之一得出的IV估计值。我们事先不想确定步长的任何特定值 对波动性进行采样，因为此参数的选择会因应用程序而异，并且在以下情况下没有规范的选择 不到一天。因此，我们对 而且，正如我们所看到的，我们的经验发现基本上在所有日内以及每日时间尺度上都是相似的。代理（5.2）可被视为IV估计值的（有限差异）时间导数。假设这些数据可以用上述模拟研究中考虑的模型来描述，即log^σk= u+νXk+ κk、 k=1，2，n、 在哪里k~ N（0，1）是一个术语，用于捕捉因使用log^σk（如（5.2）所示）代替真实的对数波动过程logσk而产生的测量误差= u+νXk. 文献中提出了现货波动率的相关估计；例如，见Kristensen（2010年）、Bos等人（2012年）、Zu和Boswijk（2014年）。在本文中，我们将把注意力限制在（5.2）中，其中weestimate IV使用Jacod et al.（2009）开发的所谓预平均双功率变化度量。在下面的内容中，该度量将用BV表示,*t；附录A简要回顾了其实施情况。统计数据BV*对跳跃（J）和市场微观结构波动（U）都具有鲁棒性，这就是为什么我们选择使用这种特殊的IV度量。

我们还使用所谓的预平均实现方差RV进行了分析*（定义见附录A），获得与本文一致的结果。最后，我们问在这里研究的数据中，真实的信噪比s是多少。这个问题的答案很重要，因为它将使我们能够判断我们是否可以依赖第4节的promisingsimulation结果，并在合理的置信度下，依赖我们的各种估计员得出的估计。要计算s的粗略估计值，请注意Kristensen（2010）的相关现货挥发度估计值符合（Kristensen，2010，定理3）σt=σt+ηt，ηt~ MN（0，2Kσt/n），其中MN表示混合正态分布，表示ηt正态分布，以σt为条件，而n是用于计算估计值σt的观测数。constantK与Kristensen（2010）估计值中使用的核函数有关。例如，对于所谓的Epanechnikov核，K=0.6，对于统一核，K=0.5。这意味着，在该设置中，s=p2K/（n).假设K≈ 1，然后，使用这些粗略计算( = 1天）每5分钟采样一次价格（n=6.5·60/5=78），我们得到s=p2/（78·1）=0.16，而对于hourlyIV( = 65分钟）根据每分钟采样的价格，我们得到s=p2/（65/6.5）=0.45。这些计算忽略了可能存在的测量噪声，这会增加噪声与信号的比率。另一方面，我们使用逐点数据，因此在我们的应用程序中n将很大。这表明s∈ [0，0.5]是我们数据中噪声信号比的合理值范围，至少对于 ≥ 比如说30分钟。

（对于较小的, 比方说10或15分钟，噪声与信号的比率甚至可能高于0.5。）我们得出的结论是，第4节的模拟结果应该给出一个合理的想法，即当应用于我们的数据时，估计量将如何表现。特别是，OLS估计器容易向下偏移，尤其是当粗糙度参数α的真实值接近0时，而NLLS估计器应该能够显著缓解这种偏移。我们还使用Barndorff-Nielsen等人（2008）的已实现核估计进行了分析，获得了类似的结果。有关详细信息，请参阅本文件的第一版，网址为：https://arxiv.org/1610.00332v1.5.1标准普尔500指数期货合约的应用我们分析了2011年1月2日至2014年12月31日（周末和节假日除外）在CME Globex电子交易平台上交易的前一个月标准普尔500指数期货合约的逐笔交易数据。剔除非完整交易日后，我们的样本中的总交易日数为996天。由于我们有兴趣评估日间波动率，因此我们依赖于标的资产上存在大量交易活动。因此，我们将注意力限制在一天中大部分交易发生的时间段；这是现金股票市场开放的时间，从东部时间上午9:30到下午4:00。众所周知，日内波动表现出显著的季节性（例如，Andersen和Bollerslev，1997、1998）。特别是，“U形”无处不在，在开盘和收盘时波动性较高，而在中午左右波动性较低。

（例如，参见Andersen等人，2016年，图1。）什么时候 < 因此，在进行任何进一步分析之前，必须控制这一季节性，因为如果不考虑这一点，后续估计可能会受到影响（Rossi和Fantazzini，2015）。我们使用乘法分解σt=σstσt，t≥ 0，其中σ是季节性成分，σ是我们感兴趣的去季节化随机过程。为了估计σswe，我们使用Andersen和Bollerslev（1997、1998）的灵活傅立叶形式（FFF）方法。然后，我们估计▄σtbyc▄σt=-1cIVt/[（σst）=-1伏*t/[（σst），t=, 2., . . . , n,从现在起，当 < 1天。此外，weabuse符号略加注释，并将写出σ，即使我们实际上指的是去季节化过程σ。本文的早期版本包含对去季节化E-mini标准普尔500指数波动率数据动态特性的深入分析。主要发现如下：（i）对数波动率过程对于所有的; （ii）对数波动率自相关的长期衰减率的半参数估计显示出极低衰减自相关的证据；和（iii）对数波动率的经验概率分布似乎明显偏离高斯分布，尤其是在日内水平测量的对数波动率，即 < 1天。事实上，正态逆高斯分布（如Barndorff-Nielsen，1997）为这些经验概率分布提供了很好的拟合。表3的A组报告了第2节中提出的不同模型的α、β和λ估计值，使用了上述提取的E-mini标准普尔500指数期货合约的对数波动率数据。我们使用ACF中的H=dn1/3e滞后来估计https://arxiv.org/abs/1610.00332v2.

详细结果也可从作者uponrequest获得。程序虽然这种选择似乎有点武断，但结果对于备选选择是可靠的。我们发现，α的OLS和NLLS估计量都表明对数波动率的已实现度量是粗糙的，带有^α∈ [-0.3，-0.40]。对于较小的, 可能是因为这样的想法，即此处的数据在相对方面可能会表现出较高的噪声水平，如上所述。在所有情况下，记忆参数的估计值都很低，事实上，在估计Cauchy和Power BSS模型时，我们发现β<1，这表明数据生成过程可能具有长记忆特性。Gamma-BSS过程的指数衰减参数λ也被估计为非常低的值，约为0.01。内存参数的估计似乎对 以及是否使用噪声鲁棒性估计程序。（表3中，anasterisk表示噪声稳健估计。）综上所述，本节研究的E-mini标准普尔500指数期货数据的对数波动率的已实现度量似乎很粗糙，并且表现出高度的持续性。虽然我们试图通过使用（理论上）对噪声具有鲁棒性的估计器来缓解测量误差的不利影响，但得出的结论当然带有一个警告，即真正的随机波动率是无法观察到的。因此，严格来说，上述关于波动性性质的结论只能在有关已实现测度σ的范围内得出。然而，第4.2节（见表1）的模拟结果似乎表明，如果粗糙度指数的真实值为α=0，则OLS估计值将有严重偏差，但LLS估计值不会。

因此，尽管数据的噪声性质使得不可能精确确定潜在波动过程的α的准确值，但根据模拟结果，α的真实值为α=0有些不可信。表3的B组和C组报告了类似分析的结果，但现在分别使用（非对数）波动率和方差作为数据。从波动率（面板B）和方差（面板C）时间序列获得的参数估计值与对数波动率时间序列（面板A）的估计值非常相似。总的来说，正如定理2.1所示，波动率和方差似乎比对数波动率的粗糙度和记忆特性大。当然，这个结论有其内在的警告。也就是说，它基于某些基本假设，如（5.1）给出的有效对数价格过程、噪声信号比s不太大、对数波动率不受跳跃或结构突变的影响等。对于方差时间序列（面板C），我们在进行分析之前从数据中排除了三个最大的观察值，由于这些观察结果非常极端，因此参数的估计，尤其是^α*NLL似乎不稳定。这三个大型观测值或“异常值”都发生在2011年，即样本的第一年。我们使用三个观察值和2011年全年的数据进行了分析，得到了类似的结果。为了使结果尽可能与波动率和对数波动率的结果具有可比性，我们使用前一种方法进行报告，该方法删除的观测值要少得多。

使用后一种方法的结果可根据需要提供。表3：估计结果：E-mini S&P500期货数据面板A：对数波动率 αOLSα*NLLS^βCau^β*Cau^βpBSS^β*pBSS^λgBSS^λ*gBSS10分钟-0.38-0.38 0.17 0.18 0.31 0.26 0.03 0.0215分钟-0.35-0.37 0.18 0.18 0.02 0.26 0.04 0.0330分钟-0.31-0.35 0.18 0.18 0.02 0.31 0.03 0.0365分钟-0.30-0.35 0.18 0.18 0.30 0.31 0.02 0.02130分钟-0.32-0.35 0.00 0.17 0.29 0.30 0.02 0.021天-0.30-0.33 0.00 0.18 0.32 0.34 0.02 0.02面板B：波动性 αOLSα*NLLS^βCau^β*Cau^βpBSS^β*pBSS^λgBSS^λ*gBSS10分钟-0.33-0.35 0.21 0.21 0.02 0.29 0.06 0.0315分钟-0.32-0.36 0.19 0.19 0.02 0.21 0.04 0.0230分钟-0.29-0.38 0.00 0.15 0.23 0.23 0.02 0.0165分钟-0.35-0.36 0.00 0.16 0.26 0.27 0.02 0.02130分钟-0.35-0.28 0.22 0.23 0.47 0.48 0.04 0.031天-0.23-0.31 0.00 0.19 0.33 0.35 0.02 0.02面板C：差异 αOLSα*NLLS^βCau^β*Cau^βpBSS^β*pBSS^λgBSS^λ*gBSS10分钟-0.37-0.38 0.26 0.27 0.73 0.43 0.11 0.0615分钟-0.35-0.37 0.23 0.23 0.50 0.27 0.07 0.0330分钟-0.33-0.39 0.00 0.16 0.26 0.26 0.02 0.0265分钟-0.36-0.36 0.20 0.21 0.38 0.38 0.03 0.03130分钟-0.34-0.35 0.00 0.20 0.36 0.38 0.02 0.021天-0.35-0.37 0.00 0.16 0.25 0.26 0.01 0.01使用OLS和NLLS估计器估计α，以及通过将经验ACF与我们三个参数模型（Cauchy、Power和GammaBSS模型）中的理论ACF匹配而获得的矩估计方法。我们使用H=dn1/3e滞后来估计记忆参数λBSS、βBSS和βCauchy。由幂BSS过程γ矩估计法计算的βBSS估计；即，当^γ>1时，设置^βBSS=^γ，否则设置^βBSS=2^γ- 星号表示噪声稳健估计。

使用正文中描述的方法，从2011-2014年期间的E-mini标准普尔500指数期货数据中提取了面板A-C中的波动率序列（关于面板C，另请参见脚注11）。5.1.1粗糙度是否随时间变化？人们可能想知道，波动率的粗糙程度是否会随着时间的推移而变化。Gathereal等人（2018）也研究了这一问题，他们将波动率数据分为两部分，并发现了初步证据，表明在2008年和2011年金融动荡期间，波动率较不剧烈。我们的方法和数据使我们能够更准确和系统地调查这个问题。为此，我们仍然使用E-mini标准普尔500指数上的交易数据，但现在使用的时间更长，从2005年1月3日到2014年12月31日。图3提供了当波动率为代理时，使用NLLS估计器对α进行滚动窗口估计的结果 = 65分钟。窗口长度为900次观测，相当于大约150天。我们还对不同的窗口大小和, 但结果与这里给出的结果相当一致。图3还显示了整个周期的总体中值，以及平滑的估计时间序列。图中显示α的指数似乎随时间变化。特别是，我们观察到平滑度的两个峰值，这两个峰值似乎都与市场萧条时期相吻合。第一次大而长的平稳期发生在2007-2008年的金融危机期间，而第二次平稳期则发生在2011年，即希腊债务危机的最低点。虽然从单个时间序列中得出任何明确结论似乎都是不明智的，但这里的发现以及Gatheral等人的经验证据。

（2018），似乎表明波动性在市场动荡期间表现出较少的粗糙度，这可能是由于在这种时期发生了更持续的交易活动。我们使用下文第5.2.1节中的大型股权面板对此进行了进一步研究。5.2个别权益的应用我们的目标是研究上述发现是否仅适用于E-mini标准普尔500未来合约，或者它们是否更普遍地适用。因此，我们研究了大量美国股票的波动率数据。数据包括每日预平均双功率变化测量值（即BV*具有 = 1天），使用从交易和报价（TAQ）数据库获得的交易价格计算。我们掌握的数据集从1993年1月4日至2013年12月31日，而一些资产的数据可能仅部分涵盖这一时期。样本中共有10744项资产，根据全球行业分类标准分为十个行业。由于美国股票市场的特征在过去三十年中，通过价格的十进制化、交易的电子化和竞争性交易场所的激增，可以说已经发生了实质性的变化，因此我们仅使用2003年1月2日至以下期间的数据：https://msci.com/gics20062007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15（估计值）平滑中值=-0.36图3：α的滚动窗口NLLS估计值。波动率代理使用 = 65分钟，平滑版本是一个简单的移动平均滤波器，使用特定估计两侧的75个观测值。2013年12月31日，为当前和未来的相关性而奋斗。此外，为了确保波动率估计的可靠性，我们只保留最具流动性的资产。

此处，液体资产具有以下主观标准。（a） 该资产至少在400天内进行交易。（b） 资产每5分钟（平均）不交易的最大天数为19天。（c） 估计值BV*每天的IV绝对是积极的。丢弃不符合这些标准的资产后，我们剩下1944项流动资产供我们分析。图4中的方框图总结了使用噪声鲁棒NLLS估计器对样本中资产的波动率粗糙度参数α的估计。此绘图的一些功能值得强调。首先，α的估计几乎都是负的，大部分在(-0.45，-0.3），表示明显的粗糙度。其次，各部门的粗糙度估计似乎没有显著的系统性差异。现在转到持久性属性，图5包含β估计值的方框图，这里使用稳健参数估计值^β*Cauchy，基于Cauchy模型。我们已经获得了尽管IV是通过定义从不为负的，BV*由于定义中出现的偏差校正项，可能会变为负值，请参见附录A。在本文件的早期版本中，可访问：https://arxiv.org/1610.00332v1，我们采用了Barndorff-Nielsen等人（2008）的realizedkernel估计量，该估计量保证为非负，使我们能够分析5071项资产。其中的结果与本文中的结果非常相似-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2能源材料行业消费者谨慎。消费者主要消费品健康保险金融信息技术电信实用工具不可用图4：α的方框图*NLLSby部门。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6能源材料工业消费者离散。消费者主要消费品健康保险金融信息技术电信实用工具不可用图5：β的方框图*柯西比区。

带宽H=dn1/3e。使用估值器^β的类似结果*BSS从Power BSS过程中派生出来，但为简洁起见，这些结果被省略。同样，我们的分析证实了前面通过E-mini标准普尔500波动率数据得出的结论。事实上，估计表明对数波动率非常持久，β的估计主要在区间（0，0.4）内。特别是，有令人信服的证据表明，波动性持续性非常强。上述分析是使用噪声鲁棒估计器^α进行的*NLLSand^β*柯西。为了完整性，我们在Web附录中使用非噪声稳健估计量αOLSandβCauchyin给出了类似结果。使用这些估计器得出的结果与图4和图5所示非常相似。综上所述，我们发现对数波动率的粗糙度和持续性延伸至个人股票水平。总的来说，它们似乎是股票波动性的已实现度量（对数）的通用属性。（同样需要注意的是，严格来说，这些结论只能针对可观测量，即已实现的测量，以及6 8 10 12 14 16 18-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.2图6：^α*NLL是平均对数（平均日体积）的函数。十字对应于数据集中的单个资产。该行已由OLS完成。与潜在现货波动过程本身无关。）5.2.1粗糙度和流动性图3考察了从迷你标准普尔500指数波动率数据中获得的粗糙度参数α估计值随时间的演变。粗糙度在时间上似乎是可变的，不太粗糙的时期似乎与市场动荡时期一致。考虑到这些时变粗糙度的发现，我们推测资产交易的活跃程度与其波动性的粗糙程度之间存在联系。

特别是，我们预计高流动性资产的波动率比低流动性资产的波动率更平稳。为了快速探索这一想法，图6绘制了α的噪声稳健NLLS估计值与流动性度量值，即平均日交易量的对数。拟合线表示一种增长模式（斜率为0.0091，标准偏差为0.001），支持了这一猜测。虽然这一发现的令人信服的解释仍有待于在未来的工作中发现，但市场微观结构在这里起作用似乎是合理的。事实上，Jaisson和Rosenbaum（2016）以及El Euch et al.（2018）最近开发了一个理论框架，在该框架中，将大型交易（即，父订单（或元订单）拆分为多个较小子订单的时间表的交易执行算法可能会导致总体上的剧烈波动。同样值得一提的是Glasserman和He（2019）最近的论文，他们在论文的早期版本中证明，将波动率粗糙度作为一个因素的因子投资策略在近年来表现非常良好。6波动率预测的应用本节我们应用BSS和Cauchy模型预测埃米尼标准普尔500指数期货合约的日内波动率，并将结果与许多基准模型进行比较。基准模型大致可分为三类：（i）标准模型，（ii）高度持久性模型（可能具有长内存），（iii）粗糙波动率模型。（i）类由随机游走（RW）、自回归模型（AR）和ARMA（1，1）模型组成；（ii）Corsi（2009）的（log）非均匀自回归（log-HAR）模型以及astwo ARFIMA模型；（iii）仅包含Gatheral等人（2018）的粗糙分数随机波动率（RFSV）模型。

对于本文提出的模型，我们考虑了Cauchyprocess和幂BSS和Gamma BSS模型。如上所述，这三个过程都将长期和短期行为特征解耦，因此通过适当的参数值，它们可以被视为（ii）和（iii）的成员。ARMA和ARFIMA模型采用极大似然估计。OLS对ARmodels和log-HAR模型进行了估计。我们采用了标准log-HAR模型的日间调整。构建HAR回归器所用的时间段仍分别为一天、一周和一个月，但回归器需要适应步长, 现在可能不到一天。更准确地说，我们的log-HAR回归是logBV公司*t型+h类= a+alogBV公司*t型+ alog公司BV公司*,代特+ alog公司BV公司*,周末（6.1）+alogBV公司*,月日+ t型+h、 其中bv*,xt：=qq-1Xk=0BV*t型-k, x=天、周、月，q是一个整数，因此q = x、 例如，当 = 65分钟，然后q=6表示x=天（一个交易日内有6个65分钟的时段），而q=30表示x=周（一周内有5个交易日，每个交易日有6个时段）。虽然BSS模型最初是针对对数波动率过程Xt=对数（σt/ξ）连续确定的，但t≥ 0，参考方程（2.3），我们可以将它们，或者更确切地说，它们的相关结构，在离散时间内，通过其估计值BV来预测*, 受σtby^σt=-1cIVt、 参见方程式（5.2）。使用Kevin Sheppard的MFE工具箱对ARMA模型进行了估计和预测，见：https://www.kevinsheppard.com.

已使用MATLAB Central提供的MATLAB软件包“ARFIMA（p，d，q）估计器”对ARFIMA模型进行了估计和预测。虽然此处未指出，但在进入对数-哈尔模型的变量中，当我们估计和预测模型时，所有预平均的综合方差估计都是反季节化的 < 1天。在估计和预测后，重新引入季节因素。RFSV模型中Hurst指数H的估计值通过^H=^αOLS+0.5得出，对于Cauchy和BSS过程，我们使用β、γ和λ的参数估计值以及^αOLS。预测AR和log HAR模型是标准的。为了预测RFSV模型，我们使用以下近似值（参见Gathereal et al.，2018，方程（5.1））E对数σt+h英尺≈cos（Hπ）π（H)H+1/2Zt-∞对数σs（t- s+h)（t-s） H+1/2ds=cos（Hπ）π（H)H+1/2∞Xj=1Zt-（j）-（1）t型-j对数σs（t- s+h)（t-s） H+1/2秒≈cos（Hπ）π（H)H+1/2∞Xj=1logσt-（j）-（1）Zt公司-（j）-（1）t型-j（t- s+h)（t-s） H+1/2ds，其中fti是由驱动模型到时间t的fBm生成的信息集（σ-代数）。积分用黎曼和近似。为了预测Cauchy和BSS过程，我们依赖于零均值高斯随机向量（xt+h，xt，xt）的基本结果-1.xt公司-m） t xt+H在条件上的分布（xt，xt-1.xt公司-m） T=a∈ Rm+1isxt+h|（xt，xt-1.xt公司-m） T=a~ N（u，ξ），其中u=ΓΓ-1a，其中Γ是向量（xt，xt）的相关矩阵-1.xt公司-m） T和Γ：=（Corr（xt+h，xt），Corr（xt+h，xt-1） 。

，Corr（xt+h，xt-m） ）。由于我们这里考虑的过程是平稳的，条件分布的方差ξ为ξ=V ar（xt）1.- ΓΓ-1Γ,其中，Γ=ΓT。为了对Cauchy和BSS模型实施此程序，我们假设过程的高斯性并使用这些结果，其中上述相关矩阵和向量是根据所讨论过程的理论相关结构计算的，由估计参数隐含。预测对数波动率时，只需计算条件平均值u。然而，正如我们将在下一节中讨论的那样，条件方差项ξ在预测（非对数）波动率中非常重要。这些结果依赖于X的均值为零，因此在我们的预测实验中，我们在进行实验之前对数据进行去均值。在我们的波动性模型中，这种去义本质上意味着去除术语logξ=u，参见方程（2.3）。在预测X.6.1预测日内综合方差后，我们重新引入了这一术语。上一节列出了预测对数波动率的方法，或等效的过程X，参见方程（2.3）。然而，在实践中，预测非对数波动率更为相关。在给出该数量的预测结果之前，我们简要说明了我们的方法。因为我们现在对E[exp（Xt）感兴趣+)|Ft），而不是exp（E[Xt+|值得提醒的是，只需如上所述预测对数波动率，然后将预测指数化，这是一种令人敬畏的策略。事实上，根据詹森的不平等，我们知道这种方法是有偏见的。然而，我们可以用一种简单的方法来修正指数预测。对于BSS和核心模型，我们遵循上一节的策略。也就是说，如果我们再次假设高斯性，我们有e[exp（Xt+)|英尺]=膨胀E[文本+|Ft]+V ar[Xt+|英尺].

（6.2）然后，我们将指数函数中的前一项近似为u，后一项近似为ξ。注意ξ取决于过程的（平稳）方差V ar（xt）；我们通过预测的时间序列的（无条件）方差来简单估计该因素。至于其他模型，Gathereal等人（2018年）对其RFSVmodel提出了类似的修正（见Gathereal等人，2018年，第5.2节），我们在下文中使用了该修正。由于对数HAR模型由OLS使用对数BV进行估计*数据，参考方程（6.1），我们将这些估计值指数化，并进行类似于（6.2）的修正，其中方差因子被估计为OLS回归（6.1）中误差项的方差。其余的模型直接使用RAW（非季节化）BV进行估计*数据，因此无需更正。6.1.1预测设置我们使用上述方法来预测综合方差，因为这通常是应用程序关注的对象。由于综合方差实际上是不可观测的，因此作为一个可行的预测对象（FO），我们使用FOT(, h） ：=hXk=1kV*t+k≈Zt+htσsds，h=1，2，5，10，20，（6.3），其中BV*这是使用预平均双功率变量估计器的综合方差估计值，参见第5节。为了预测（6.3）中的FO，我们计算h个单独的组分，cσt+k|t、 k=1，h、 乘以 以及季节性成分，并将其总结为：cFOt(, h） =hXk=1cσt+k|t型σst+k,其中σSti是我们在分析的初步阶段提取的波动性的（确定性）季节性成分，如第5节所述，和cσt+k|如上所述，这是对波动性的预测。在预测实验中，我们考虑了不同的步长, 范围从15分钟到1天，各种预测水平h∈ {1、2、5、10、20}。

我们在m的初始周期后开始估算∈ N个时间步，并使用两种不同的损失函数比较预测性能：o均方误差（MSE）：MSE(, h） =n-h类-m+1Pn-ht=mcFOt公司(, h）- FOt公司(, h）,o “准似然”（QLIKE）：QLIKE(, h） =n-h类-m+1Pn-ht=mlogcFOt公司(, h） +FOt(,h） cFOt公司(,h）.如第5节所述，预平均估计值BV*, 我们的FO是一个有噪声的综合方差估计值，但Patton（2011）表明，即使对于综合方差，MSE和QLIKE损失函数仍能保持预测模型的一致性排名，尽管用于评估损失函数的噪声估计值。我们计算了MSE、QLIKE以及Hansen et al.（2011）的模型置信集（MCS），这是一个构建具有一定概率的“最佳模型集”的过程，通过所讨论的特定损失函数来衡量，避免了通过成对测试进行多重比较所产生的问题。例如，当被理解为一个随机集时，最佳模型包含在90%的MCS中，概率为90%。我们设置了我们的预测实验，以便它是现实的，并且反映了从业者在预测日内波动时将面临的情况。在时间t，我们仅使用迄今为止观察到的数据来估计模型，并预测h=1、2、5、10、20时的提前h步。然后我们在时间上前进一步，到t+, 重新估计模型，考虑参数的时间变化，并提前计算新的预测。在重新估计中，我们使用了200个观察值的滚动窗口。虽然这个窗口长度有些随意，但对其他窗口长度的简短实验表明，我们的结果并不特别依赖于这个选择。

我们注意到，由于这项预测工作需要多次重新估计各种模型的参数，我们发现在这里使用α的NLLS估计量是不可行的，因此我们使用OLS估计量代替。如表3所示，当应用于该数据集时，这两个估计器通常会产生类似的估计，因此我们预计OLS估计器对于本次预测活动的目的是合适的。我们使用迷你标准普尔500指数数据集评估了两个时间段内不同模型的预测性能。首先，我们预测了从1月3日开始的一段很长的样本外时期，为了保持程序的真实性，在下面讨论的样本外实验中，季节性成分是以非预期的方式估计的，仅使用在生成预测时可用的观察值。2005年至2014年12月31日，使用我们处理的整个数据集（参见第5.1.1节，其中我们提供了粗糙度参数随时间变化的证据）。这一时期包含一系列突然的市场崩溃（例如，2008年9月15日雷曼兄弟破产和2010年5月6日闪电崩盘），这些情况是由几乎任何仅基于历史波动率数据的模型都难以预测的情况造成的。我们观察到，未能预测此类事件期间的波动性爆发会导致MSE和QLIKE出现不成比例的巨大损失，尤其是对于MSE，这些单独的损失可能占总损失的很大比例。这种现象也会影响MCS程序，在这么长的样本期内，MCS程序的选择性不是很高。因此，我们还试验了另一个更短的样本期，从2013年1月2日到2014年12月31日。

这一时期的波动性不太明显，体现了“无压力”的市场条件。6.1.2样本外预测实验结果图7绘制了在日内预测的情况下所选模型的累积QLIKE损失( = 15分钟）2005年至2014年长期样本期内的综合方差。Weemploy QLIKE损失函数，因为它比MSE更不容易夸大大型预测者的影响（Patton，2011）。当使用伽马BSS模型时，我们给出了我们关于累积损失的结果。更准确地说，图中显示的是，作为时间t的函数，累积QLIKE（vs.Gamma BSS）xt：=bt/cXk=1（QLIKE（x）k- QLIKE（Gamma BSS）k），其中x∈ {HAR、RFSV、Cauchy、Power BSS}表示与GammaBSS模型进行比较的模型，QLIKE（x）k表示使用模型x的第k个损失。根据此定义，正计数表示该模型的性能比Gamma BSS模型差，反之亦然。我们观察到，伽马BSS，尤其是功率BSS模型在整个期间都表现良好。有趣的是，随着预测层位h的增加，Cauchy模型相对于Gamma-BSS模型表现更好，这表明Cauchy模型的长记忆特性（Gamma-BSS模型中没有）变得相关。现在转到2013年1月2日至2014年12月31日这一较短的样本期，这代表了平静的市场状况，我们将提供更详细的预测结果 =15、30、65分钟和 = 表4和表5中的1天。其中，黑体数字表示损失最小的模型，而浅灰色背景突出显示90%MCS中的模型，而深色背景突出显示75%MCS中的模型。本文提出的模型在这一时期的表现通常优于基准。

实际上，在大多数情况下，Cauchy或Power BSSmodel的MSE和QLIKE损耗最低。此外，这两种模型经常出现在75%的MCS中。这些发现对于, 有趣的是，2005 2007 2010 2015-50050100150200250300累计QLIK E（vs.Gamma BSS）h=1HARRFSVCauchyPower-BSS2005 2007 2010 2015-100010000300累计QLIK E（vs.Gamma BSS）h=52005 2007 2010 2015-200-1000100300400500累计QLIK E（vs.Gamma BSS）h=102005 2007 2010 2015-400-2000200400600800累计QLIK E（vs.Gamma BSS）h=20图7：累计QLIKE预测误差随着时间的推移。这里，h是预测范围（即，在长度为h的时间间隔内预测波动率) 和 = 15分钟。当 = 1天。（不幸的是，在这种情况下，MCS不是很有选择性，至少在使用MSE作为损失函数时是如此。）这一结果与Gatheral等人（2018年）的结果一致，作者证明，在提前一步预测每日综合方差时，RFSV模型可以优于基准模型。我们评论了一个可能令人惊讶的观察结果，即包括长记忆成分似乎也能改善短期预测。对其原因的进一步研究将是有趣和有价值的。总而言之，本节给出的结果表明，在预测中利用波动率的粗糙度通常是有利的，在日内时间尺度上，仔细建模持续性可以进一步提高预测的质量。7结论本文提出了能够同时捕获粗糙度和持久性的随机模型，这是在已实现波动率数据中发现的两个关键经验特征。

特别是，在建模对数波动率时，我们提倡使用一个将短期和长期行为解耦的随机过程。布朗半平稳过程是这类过程的一个灵活而简洁的例子；由于它还可以很容易地包含非高斯性和杠杆效应，我们认为布朗半平稳过程是一个非常好的随机对数波动模型。利用我们提出的两步估计方法，我们还对E-mini标准普尔500指数期货合约的波动性的经验特征进行了彻底的调查，包括每日和更短的时间尺度。我们发现，对该合约波动性的实际衡量确实很粗糙，但也很持久。此外，通过查看美国2000多只股票的已实现波动率数据，我们证实了这些发现，表明这类数据的普遍特征是全面性和强持久性。需要注意的是，由于已实现指标是对综合方差的噪声估计，因此计算现货波动率在数值上是一个不适定的问题，我们的发现不需要暗示难以捉摸的现货波动率过程实际上是粗糙的或持续的。然而，我们已经广泛证明，包含这两个特征的模型与高频波动的可观察统计特征完全一致。我们还认为，这些模型能够在每日和更短的时间尺度上生成具有竞争力的波动率预测。

因此，无论人们是否接受波动率实际上是粗糙的，我们相信，源自粗糙波动率的想法和模型为波动率建模提供了一个有价值的替代观点，并提供了一套有用的可操作工具，补充了基于跳跃和传统随机波动率的现有模型。致谢2016年6月在香港举行的第九届SoFiE年会、2016年6月在爱丁堡举行的ICMS量化金融前沿研讨会、2016年7月在纽约举行的第九届Bachelier世界大会、达勒姆杜克大学举行的金融波动性测量与预测新发展会议上，都介绍了这项工作的早期版本，NC于2016年9月、2017年3月在伦敦举行的第五届帝国-ETH数学金融研讨会以及2017年6月在巴塞罗那举行的巴塞罗那GSE夏季论坛研讨会分数布朗运动和粗糙模型；我们感谢观众们提出的富有启发性的评论和问题。我们还感谢吉姆·盖瑟拉尔（Jim Gatheral）、谢莉·蒋（Sherry Jiang）、马克·波多尔斯基（Mark Podolskij）、罗伯托·雷诺（Roberto Ren\'o）、彼得·坦科夫（Peter Tankov）、埃里克·沃格特（Erik Vogt）以及两位匿名裁判和编辑法比奥·特洛伊（Fabio特洛伊）所作的有益评论。我们的研究得到了丹麦国家研究基金会资助的CREATES（DNRF78）、奥胡斯大学研究基金会（项目“商品市场的随机和计量经济分析”）和芬兰科学院（项目258042）的部分支持。参考Sabi Jaber，E.和O.El Euch（2019年）。粗糙波动率模型的多因素近似。《暹罗金融数学杂志》10（2），309–349。Al\'os，E.、J.A.Le\'on和J.Vives（2007年）。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》11（4），571–589。Andersen，T.G.和T.Bollerslev（1997年）。

金融市场的日内周期性和波动持续性。《经验金融杂志》4（2-3），115-158。Andersen，T.G.和T.Bollerslev（1998年）。DM美元波动：日内活动模式、宏观经济公告和长期依赖性。《金融杂志》53（1），219–265。Andersen，T.G.、T.Bollerslev、F.X.Diebold和P.Labys（2001年）。已实现汇率波动率的分布。《美国统计协会杂志》96（453），42–55。Andersen，T.G.、T.Bollerslev、F.X.Diebold和P.Labys（2003年）。建模和预测realizedvolatility。计量经济学71（2），579–625。Andersen，T.G.、O.Bondarenko、A.S.Kyle和A.A.Obizhaeva（2016）。E-mini标准普尔500指数期货市场的日内交易不变性。工作文件，网址：http://ssrn.com/abstract=2693810.Asmussen，S.和P.W.Glynn（2007年）。随机模拟：算法与分析。纽约：斯普林格。Baillie，R.T.（1996）。计量经济学中的长记忆过程和分数积分。《计量经济学杂志》73（1），5–59。Baillie，R.T.、F.Calonaci、D.Cho和S.Rho（2019年）。长记忆、已实现波动和异质自回归模型。时间序列分析杂志40（4），609–628。巴恩多夫-尼尔森，O.E.（1997）。正态逆高斯分布和随机波动率建模。斯堪的纳维亚统计杂志24（1），1–13。Barndor Off-Nielsen，O.E.和A.Basse-O\'Connor（2011年）。准Ornstein-Uhlenbeck过程。伯努利17（3），916–941。Barndor Off-Nielsen、O.E.、F.E.Benth和A.E.D.Veraart（2013年）。利用波动性调制的L'evy驱动的Volterra过程模拟能源现货价格。伯努利19（3），803–845。Barndor Off-Nielsen，O.E.、J.M.Corcuera和M.Podolskij（2009）。平稳增量高斯过程的功率变化。随机过程及其应用119（6），1845–1865。巴恩多夫-尼尔森，O。

E、 ，P.R.Hansen、A.Lunde和N.Shephard（2008年）。设计实现的核函数来测量存在噪声时股票价格的事后变化。《计量经济学》76（8），1481–1536。Barndor Off-Nielsen，O.E.和J.Schmiegel（2007年）。范围过程：应用于湍流和肿瘤生长。在随机分析与应用中，Abel Symp.第2卷。，第93-124页。柏林：斯普林格。Barndor Off-Nielsen，O.E.和J.Schmiegel（2009）。布朗半平稳过程与波动/间歇。在高级金融建模中，《计算和应用数学氡系列》第8卷，第1-25页。柏林：Walter de Gruyter。Barndor Off-Nielsen，O.E.和N.Shephard（2002年）。已实现波动率的计量经济学分析及其在非估计随机波动率模型中的应用。《皇家统计学会杂志》，B辑64（2），253–280。Barndor Off-Nielsen，O.E.和N.Shephard（2004）。随机波动和跳跃的功率和双功率变化。《金融计量经济学杂志》1（2），1–48。拜耳、C.、K.Friz和J.Gatherel（2016年）。粗略波动下的定价。量化金融16（6），887–904。Bennedsen，M.（2020年）。高斯和条件高斯时间序列数据分形指数的半参数推断。计量经济学评论39（9），875–903。Bennedsen，M.、A.Lunde和M.S.Pakkanen（2017年）。布朗半平稳过程的混合格式。金融与随机21（4），931–965。宾厄姆·N·H.、C·M·戈尔迪和J·L·特格尔（1989）。定期变化。剑桥：剑桥大学出版社。Bollerslev，T.和J.H.Wright（2000年）。长记忆波动相关性的半参数估计：高频数据的作用。《计量经济学杂志》98（1），81–106。Bos、C.S.、P.Janus和S.J.Koopman（2012年）。点方差路径估计及其在高频跳变测试中的应用。

《金融计量经济学杂志》10（2），356–389。Cheridito，P.、H.Kawaguchi和M.Maejima（2003年）。分数Ornstein-Uhlenbeck过程。《概率电子杂志》第8期，第3期，第14页，Christensen，K.、R.C.A.Oomen和M.Podolskij（2014）。事实或摩擦：超高频跳跃。《金融经济学杂志》114（3），576–599。孔德，F.（1996年）。长记忆连续时间模型的模拟和估计。《时间序列分析杂志》17（1），19–36。Comte，F.、L.Coutin和E.Renault（2012年）。一个分数随机波动率模型。《金融年鉴》8（3），337-378。孔德，F.和E.雷诺（1996）。长内存连续时间模型。《计量经济学杂志》73（1），101–149。孔德，F.和E.雷诺（1998）。连续时间随机波动模型中的长记忆。数学金融8（4），291–323。Constantine，A.G.和P.Hall（1994年）。通过有效分形维数估计表征表面平滑度。皇家统计学会杂志：B辑56（1），97–113。Cont，R.（2001年）。资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题。QuantitativeFinance 1223–236。Corsi，F.（2009年）。已实现波动率的简单近似长记忆模型。《金融经济计量学杂志》7（2），174–196。丁，Z.、C.W.J.格兰杰和R.F.恩格尔（1993）。股票市场的长记忆性回归和新模型。《经验金融杂志》1（1），83–106。Dudley，R.M.和R.Norvaisa（2011年）。具体函数演算。纽约：斯普林格。El Euch，O.、M.Fukasawa和M.Rosenbaum（2018年）。杠杆效应和粗波动性的微观结构基础。金融与随机22（2），241–280。Fleming，J.和C.Kirby（2011年）。对波动性和交易量的长期记忆。《银行与金融杂志》35（7），1714–1726。Fukasawa，M.（2017）。短期货币倾斜和粗略分数波动。

量化金融17（2），189–198。Fukasawa，M.、T.Takabatake和R.Westphal（2019年）。波动是否剧烈？工作文件，网址：https://arxiv.org/abs/1905.04852.Gatheral，J.（2006年）。波动性表面。霍博肯：威利。Gatheral，J.、T.Jaisson和M.Rosenbaum（2018年）。波动剧烈。定量金融18（6），933–949。Glasserman，P.和P.He（2019年）。粗买细卖。定量金融20（3），363–378。Gneiting，T.和M.Schlather（2004年）。分离分形维数和赫斯特效应的随机模型。暹罗评论46（2），269–282。Gneiting，T.、H.Sevickova和D.B.Percival（2012年）。分形维数估计：评估时间序列和空间数据的真实性。统计科学27（2），247–277。Gradshteyn，I.S.和I.M.Ryzhik（2007）。积分、系列和乘积表（第七版）。阿姆斯特丹：学术出版社。Handcock，M.S.和M.L.Stein（1993年）。克立格的贝叶斯分析。技术指标35（4），403–410。Hansen，P.R.和A.Lunde（2006年）。实现了方差和市场微观结构噪声。《商业与经济统计杂志》24（2），127–161。Hansen，P.R.、A.Lunde和J.M.Nason（2011年）。模型置信集。计量经济学79（2），453–497。Jacod，J.、Y.Li、P.A.Mykland、M.Podolskij和M.Vetter（2009年）。连续情况下的微观结构噪声：预平均方法。随机过程及其应用119（7），2249–2276。Jaisson，T.和M.Rosenbaum（2016年）。粗分数差作为几乎不稳定的重尾霍克斯过程的标度极限。应用概率年鉴26（5），2860–2882。Kristensen，D.（2010年）。已实现即期波动率的非参数过滤：基于核的方法。计量经济学理论23（1），60–93。Mat'ern，B.（1960年）。空间变异：随机模型及其在森林调查和其他抽样调查中某些问题的应用。

Meddelanden fran Statens Skogsforskiningsinstitut，Band 49，Nr.5，斯德哥尔摩。Oomen，R.C.A.（2006）。2005年JBES邀请Peter R.Hansen和Asger Lunde发表评论“已实现的差异和市场微观结构噪音”。商业和经济统计杂志2（24），195–202。巴顿，A.（2011）。使用不完全波动率代理进行波动率预测比较。《计量经济学杂志》160（1），246–256。Poon，S.-H.和C.W.Granger（2003年）。金融市场波动预测：综述。《经济文献杂志》41（2），478–539。Rossi，E.和D.Fantazzini（2015年）。日内波动的长记忆性和周期性。《金融经济计量学杂志》13（4），922–961。Zhang，L.、P.A.Mykland和Y.Ait-Sahalia（2005年）。两个时间尺度的故事：用嘈杂的高频数据确定综合波动率。《美国统计协会杂志》100（472），1394–1411。Zu，Y.和H.P.Boswijk（2014）。利用高频金融数据估计即期波动率。《经济计量学杂志》181（2），117–135。综合方差的预平均测量本节严格遵循Christensen等人（2014）的方法。假设我们想在某个时间间隔内估计IV[（i-（1）, 我] 对于i≥ 我们有N+1个观测值，Z，Z，ZN，其中Zi=log Sti，在此区间内的对数价格过程Z=log S。我们定义了预平均对数回报率，r*j、 K=KK-1Xk=K/2Z（j+K）-K/2-1Xk=0Z（j+k）, j=0，1，N- K、 其中K≥ 2是偶数。为了使渐近解起作用，要求K=θ√N+oN-四分之一,在我们的实现中，我们设置θ=1，K=b√如果为b，则为Nc√Nc是偶数，K=b√Nc+1，否则。这里，bxc表示小于或等于x的最大整数∈ R

利用这些预平均收益率，我们建议以下IV估计值，其对市场微观结构噪声具有鲁棒性：RV*t=NN- K+2KψKN-K+1Xj=0 | r*j、 K级|-^ωθψK，BV*t=NN- 2K+2KψKπN-2K+1Xj=0 | r*j、 K | | r*j+K，K |-^ωθψK，（A.1），其中ψK：=（1+2K）-2） /12和t∈ [（一）-（1）, 我]. 项ωθψKis是偏差校正，其中ω是微观结构噪声过程U方差的估计。我们使用Oomen（2006）的估计量：ωAC=-N- 1NXj=2riri-1，其中ri=Zi- Zi公司-1是第i个日志返回。统计RV*和BV*分别是IV的已实现方差（Andersen et al.，2001）和双功率方差（Barndorff-Nielsenand Shephard，2004）的预平均数。虽然这两种估计器对市场微观结构噪声都具有鲁棒性，但只有BV*对价格过程中的跳跃也有很强的抵抗力。这是我们使用BV的主要原因*本文对IV的估计。在Christensen等人（2014）的研究中发现，将调谐参数θ设置为1可以很好地处理与我们类似的数据。我们从模拟我们的设置的模拟数据以及本文后面分析的实际数据中得出了相同的结论。B数学证明B。命题2.2和2.3的证明首先回顾我们可以写出ρX（h）=R∞g（x）g（x+| h |）dxR∞g（x）dx，h∈ R、 命题2.2的证明。（i） 我们可以假设h>1，因为我们让h→ ∞.

根据假设（A3），我们可以写∞g（x）g（x+h）dx=Z∞g（x）（x+h）-γL（x+h）dx=h-γL（h）Z∞g（x）（x/h+1）-γL（x+h）L（h）dx=h-γL（h）Z∞g（x）（x/h+1）-γL（h（x/h+1））L（h）dx~ h类-γL（h）Z∞g（x）dx，h→ ∞,利用慢变函数的性质，我们应用了支配收敛定理，该定理适用于所有 > 0且足够大h，g（x）L（（x/h+1）h）L（h）<g（x）（1+), x个∈ （0，∞),在（0，1）上可积，在[1，∞) 因为γ>1。（ii）出租人∞g（x）g（x+h）dx=Zg（x）（x+h）-γL（x+h）dx+Z∞x个-γ（x+h）-γL（x）L（x+h）dx=：I1，h+I2，h，其中I1，h=Zg（x）（x+h）-γL（x+h）dx，I2，h=Z∞x个-γ（x+h）-γL（x）L（x+h）dx。我们可以写，h=h-γZ∞x个-γ1+xh-γL（x）L（x+h）dx=h-2γ+1L（h）Z∞1/hy-γ（1+y）-γL（hy）L（h）L（h（1+y））L（h）{z}=：kh（y）dy，其中第二个等式后面是替换y=x/h。现在固定δ∈ （0，1- γ） （0，1/2）。根据波特边界（Bingham et al.，1989，定理1.5.6（ii）），在（A3）下存在常数δ>0，使得L（hy）L（h）≤ Cδmax{y-δ、 yδ}，y＞1/h，h＞1。因此，我们发现kh占主导地位，bykh（y）≤ k（y）：=Cδy-γ-δ（1+y）-γ+δ，y∈ （0，1），Cδy-2（γ-δ） ，y∈ （1，∞),对于任何h>1。注意，主k在（0，1）上是可积的，因为-γ-δ>-γ-（1）-γ） =-1，以及on（1，∞), 自从-2（γ- δ） <-应用支配收敛定理，我们得到了I2，h~ h类-2γ+1L（h）Z∞y-γ（1+y）-γdy，h→ ∞.此外，渐近估计I1，h~ ch公司-γL（h），以h计→ ∞, 可以使用（i）中的相同策略进行推导。观察到-γ<-2γ+1当γ<1时，我们推断I1，h=oh类-2γ+1L（h）作为h→ ∞, 因此断言如下。命题2.3的证明。