主要贡献是理论5。定理3和定理5.4，其中规定了波动率指数和股票衍生品联合市场之间不存在套利的必要条件。毫不奇怪，由于波动率指数定义的复杂性，这些限制相当复杂。主要结果的应用表明，当直接对波动率指数期货建模时，必须限制相应随机波动率模型的漂移和差异，以排除套利。这类似于利率建模中众所周知的漂移限制。这项研究有几个方向可以扩展。本文的分析为现有文献的分析提供了一个平台。对于直接规定波动率动力学的模型，可以评估假设波动率漂移和扩散系数的特定形式的影响。此外，新开发的框架为VIX期权隐含波动率的分析提供了一个起点，这对于学者和实践者来说都是一个基本量。命题3.1的证明。为了0≤ t<t≤ T*x ed f>0，letG（f，T，T，Xt）=Zfk^P（k，T，T，Xt）m（dk）+Z∞fk^C（k，T，T，Xt）m（dk）并写入Gt（f）：=G（f，T，T，Xt）。那么^Vt（T）=T- tGt（英尺）。

（44）假设Gt（·）是两倍可微的，燃气轮机f（f）=^P（f，T，T，Xt）f-^C（f，T，T，Xt）fand燃气轮机f（f）=f^P（f，T，T，Xt）f-^C（f，T，T，Xt）f！。然后，通过伊藤引理和随机富比尼定理，Gt（f）=G（f）+ZfkZtd^P（k，T，s，Xs）m（dk）+Z∞fkZtd^C（k，T，s，Xs）m（dk）=G（f）+ZfZtk^Pt（k，t，s，Xs）ds+dXi=0^Pxi（k，T，s，Xs）dXis+dXi，j=0^Pxixj（k，T，s，Xs）dXj、Xism（dk）+Z∞fZtk^Ct（k，t，s，Xs）ds+dXi=0^Cxi（k，T，s，Xs）dXis+dXi，j=0^Cxixj（k，T，s，Xs）dXj、Xism（dk）=G（f）+ZtZfk^Pt（k，t，s，Xs）m（dk）ds+dXi=0ZtZfk^Pxi（k，T，s，Xs）m（dk）dXis+dXi，j=0ZtZfk^Pxixj（k，T，s，Xs）m（dk）dXj、Xis+ZtZ∞fk^Ct（k，t，s，Xs）m（dk）ds+dXi=0ZtZ∞fk^Cxi（k，T，s，Xs）m（dk）dXis+dXi，j=0ZtZ∞fk^Cxixj（k，T，s，Xs）m（dk）dXj、Xi沙粒Vt（T）=V（T）-ZtT- s^Vs（T）ds+ZtT- 可持续发展目标。（45）根据伊藤-文策尔公式（LemmaB.2），Gt（Ft）=G（F）+ZtZFsd^P（k，T，s，Xs）km（dk）+ZtZ∞Fsd^C（k，T，s，Xs）公里（dk）+ZtGsf（Fs）dFs+dXj=0ZtFs^Pxj（Fs、T、s、Xs）-^Cxj（Fs，T，s，Xs）！DXj，Fs+ZtGsf（Fs）d hF，f是。因此gt（Ft）=G（F）+ZtZFsd^P（k，T，s，Xs）km（dk）+ZtZ∞Fsd^C（k，T，s，Xs）公里（dk）+ZtFt^P（Fs，T，s，Xs）-^C（Fs，T，s，Xs）dFs+dXj=0ZtFt^Pxj（Fs，T，s，Xs）-^Cxj（Fs，T，s，Xs）！DXj，Fs+Ztf^P（f，T，s，Xs）-^C（f，T，s，Xs）f！f=Fsd hF，f为。为了进一步简化，观察^P（Ft，T，T，Xt）-^Ct（Ft，T，T，Xt）=0，dXj=0英尺^Pxj（英尺、英尺、英尺、英尺、英尺）-^Cxj（Ft，T，T，Xt）！DXj，Ft=Ftx（英尺）- 十）x=Ftd hF，F it=-Ftd hF、F it和f^P（f，T，T，Xt）-^C（f，T，T，Xt）f！f=英尺=-英尺^P（f，T，T，Xt）-^C（f，T，T，Xt）f=英尺+英尺F^P（f，T，T，Xt）-^C（f，T，T，Xt）f=Ft=Ftf（f）- （英国《金融时报》）f=Ft=Ft，用于所有Ftby put调用奇偶校验。

最后，Gt（Ft）=G（F）+ZtZFsd^P（k，T，s，Xs）km（dk）+ZtZ∞Fsd^C（k，T，s，Xs）公里（dk）-ZtFsd-hF，F=G（F）+ZtZ∞kd^Θ（k，T，s，Xs）m（dk）-ZtFsd-hF，F=G（F）+ZtZ∞K^Θt（k，t，s，Xs）m（dk）ds+dXi=0ZtZ∞K^Θxi（k，T，s，Xs）m（dk）dXis+dXi，j=0ZtZ∞K^Θxixj（k，T，s，Xs）m（dk）dXj、Xis-ZtFsd hF，F为。（46）结合方程式（45）和等式（46）完成证明。结果的随机微分方程版本如等式（11）所示。B辅助结果引理B.1。（Baldeaux and Rutkowski（2010））让f:R+→ 对于勒贝格测度，R几乎在任何地方都是两次可微的，因此zmm|f′（k）|dk<+∞, m、 m∈ R+、s.t.m>m>0和fix y∈ R+。那么对于任何x∈ R、 Z∞y（x）- k） +|f′′（k）|dk<+∞,Zy（k）- x） +|f′′（k）|dk<+∞andf（x）=f（y）+f′（y）（x）- y） +Z∞y（x）- k） +f′′（k）dk+Zy（k）- x） +f′（k）dk。引理B.2。（Ito-Ventsel公式）设Gt（x）是一类连续的随机过程（t，x）∈ （R+×Rd）P-a.s.满足：（i）对于每个t>0，x→ Gt（x）是从Rdto R.（ii）到每个x，（Gt（x），t≥ 0）是连续半鞅dgt（x）=nXj=1gjt（x）dmjt，其中mj是连续半鞅，而gj（x）是（t，x）中连续的随机过程，因此s>0，x→ GJ（x）是CMAP，并且x、 gj（x）是适应的过程。设X=（X，…，Xd）为连续半鞅。然后gt（Xt）=G（X）+nXj=1Ztgjs（Xs）dMjs+dXi=1ZtGsxi（Xs）dXis+dXi=1nXj=1Ztgjsxi（Xs）dMj，Xis+dXi，k=1ZtGsxixk（Xs）dDXk，XiEs。证据上述版本摘自Jeanblanc等人（2009年）。最初的结果是1965年。参考文献J。巴尔德·奥克斯和A·巴德兰。使用3/2 plus jumpsmodel对波动率指数和股票衍生品进行一致建模。应用数学金融，2014年。内政部：10.108 0/135 0486X。2013.868631.J.巴尔多和M.鲁特科夫斯基。前向启动索赔和已实现差异互换的静态复制。《应用数学金融》，17（2）：99–131，2010年。贝戈米。

微笑dyna mics II。《风险》，2005年18:67-73。贝戈米。《微笑：dyna mics III.风险》，第90-96页，2008年10月。A.Brace、B.Goldys、F.Klebaner和R.Womersley。随机隐含波动率的市场模型及其在BGM模型中的应用。工作文件：新南威尔士大学，2001年。H.布勒。一致的变量曲线模型。《金融与随机》，10:178-2032006。P·卡尔和J·孙。随机波动下期权定价的一种新方法。衍生研究综述，10:87–1502007。CBOE。CBOE波动性指数——VIX。白皮书，2009年。A.考克斯和D.霍布森。局部鞅、泡沫和期权价格。《金融与随机》，9（4）：477-4922005。G.Drimus和W.Farkas。VIX市场波动的局部波动性。工作文件，2012年。B.杜皮尔。模特艺术。《风险》，第118-124页，1993年。J.Gatheral。SPX和VIX选项的一致建模。在2008年第五届单身金融协会世界大会上。J.戈尔德和M.马祖。随机波动率模型与波动率期权定价。《数学金融》，23（3）：439-4582013。A.Grunbichler和F.Longstaff。根据波动性对期货和期权进行估值。《银行与金融杂志》，20（6）：985-10011996。D.希思、R.贾罗和A.莫顿。债券定价和利率期限结构：一种新的未定权益估值方法。计量经济学：计量经济学学会杂志，第77-105页，1992年。S·L·赫斯顿。具有随机波动性的期权的clos-ed格式解决方案，应用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6:327–343，1993年。詹布兰科先生、约尔先生和切斯尼先生。金融市场的数学方法。斯普林格，2009年。A.凯克和C.亚历山大。波动率随机波动的波动率动力学。2010年，英国雷丁大学亨利商学院ICMA中心。I.Karatzas和S.Shreve。

布朗运动与随机微积分。斯普林格·维拉格，纽约，1991年。李国浩和朱世平。随机波动和随机跳跃的VIX期权定价。《经济与金融决策》，36（1）：71–882013。林耀恩。VIX期货定价：综合实物和风险中性亲生育能力测量的证据。期货市场杂志，27（12）：1175-1217，2007。A.莫顿。套利和鞅。技术报告，康奈尔大学运营研究与工业工程，1988年。A.帕帕尼科劳和R.瑟卡。波动率指数和标准普尔500指数的制度转换赫斯顿模型隐含波动率。数量金融，2013年。内政部：10.1080/1469 7688.2013.814923。D.Psychoyios、G.Dotsis和R.Markellos。波动率期权和期货的跳差模型。《定量金融与会计评论》，35:245–2692010。罗珀先生。无套利隐含波动率表面。悉尼大学，工作文件，2010年。P.Sch¨onbucher。随机隐含波动率的市场模型。伦敦皇家学会哲学学报。A辑：数学、物理和工程科学，357（1758）：2071-20921999。M.Schweizer和J.Wissel。期权价格s的无套利市场模型：多重履约案例。《金融与随机》，12（4）：469-5052008。A.塞普。跳差模型中的VIX期权定价。《风险》，第84-89页，2008年。A.塞普。参数和非参数局部波动率模型：实现VIX和股票衍生品的一致建模。2011年，在欧洲定量会议上，伦敦会议演示。A.文策尔。关于条件马尔可夫过程理论的方程。《概率论及其应用》，1965年10:357–361。J.张和Y.朱。VIX期货。期货市场杂志，26:521-531206。朱小平和连国浩。波动率期货的分析公式及其应用。

《未来市场杂志》，32（2）：166-1902012。