严格局部鞅模型中的隐含波动率

2022-5-8 22:50:22

严格局部鞅模型中的隐含波动率。我们考虑了资产定价模型中的隐含波动率，其中，在定价测度下，贴现基础是一个严格的局部鞅。我们的主要结果给出了隐含波动率微笑右翼的渐近展开式，并表明严格的局部鞅性质可以由此展开式确定。这个结果补充了Lee和Benaim Friz著名的渐近结果，后者只适用于真鞅。这也表明，严格的局部鞅行为意义上的“价格泡沫”原则上可以通过对隐含效用的分析来发现。最后，我们通过基于绝对连续测度变化的对偶方法，将我们的结果与质量为零的模型中隐含波动率的左翼展开联系起来。内容1。导言22。预备阶段32.1。基于严格局部鞅和股价泡沫的市场模型32.2。严格局部鞅模型中的期权定价42.3。关于真鞅的对偶性，m ass为0.73。严格局部鞅的隐含波动率93.1。看跌期权隐含波动率93.2。隐含波动率的渐近行为113.3。与Lee[37]和Benaim Friz\'[3]渐近性的关系123.4。价格波动率和ε-收盘隐含波动率的可测试影响133.5。隐含波动率的对偶性和对称性143.6。大时间beh aviour 153.7。实线164上的严格局部鞅。例174.1。端点为184.2的严格局部鞅。CEV模型18参考18日期：2015年8月19日。2010年数学科目分类。91G20，60G48。关键词和短语。

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2022-5-8 22:50:25

隐含波动率，渐近方法，严格局部鞅，资产价格泡沫。AJ感谢EPSRC第一批拨款EP/M008436/1的财政支持。MKR感谢德国研究基金会（DFG）卓越计划资助ZUK 64.2 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER-1。引言大多数数学金融模型都遵循这样一种范式，即在风险中性测度下，贴现资产价格是真鞅。然而，Delbaen和Sch achermayer[11,13,14]提出的无套利理论实际上允许更一般的情况，即贴现资产价格是局部鞅（甚至sigma鞅），同时仍然与风险为零的无自由伦意义上的无套利保持一致。属于后一类但不属于前一类的过程，即是局部鞅但不是真鞅的过程通常称为严格局部鞅。尽管构造起来并不简单，但在某些局部和随机波动率模型中出现了严格的局部鞅，如[33,38,49,12]中所述。与真实鞅模型不同，当前资产价格等于未来贴现资产价格（“基本价格”）的风险中性预期，在严格的局部鞅模型中，这两个值彼此不同。正是由于这个原因，严格的局部鞅模型被解释为具有价格泡沫的市场的模型，有关详细讨论，请参见[40,24]或评论文章[44]。

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2022-5-8 22:50:28

对于无漂移的一维It^o微分，在[6,15,17]中获得了严格局部鞅的精确刻画；Jarrow、KChia和Protter[29,30,31]最近在一系列论文中使用了这一点，提出了一种基于已实现波动率的统计测试，以确定agiven基础（LinkedIn的股票和黄金）是否表现出价格不稳定。在期权定价的背景下，已经证明了严格的局部鞅性质会导致意外的和反直觉的行为。特别是看跌期权平价失效，经典的非静态套利边界不再有效，对于具有无约束的支付功能（如看涨期权）的衍生品的正确估值存在一些模糊性。我们参考[9]并在第2.2节进行更详细的讨论。本文主要研究具有严格局部鞅性质的资产定价模型中的隐含波动率和由此产生的隐含波动率曲面的性质。除了[50]之外，他讨论了波动率的长期行为，据我们所知，这是第一篇讨论隐含波动率的论文，而不是将真正的鞅假设施加在基础上。由于看跌期权平价的失败和无静态套利界限，因此必须区分看跌期权和看涨期权隐含波动率，看涨期权隐含波动率并不总是存在，见定理3.1。根据Cox和Hobson[9]的观点，我们引入了“完全抵押看涨期权”，它恢复了看涨期权平价，并再次导致看跌期权隐含波动率和看涨期权隐含波动率相等。然而，我们的主要结果定理3.3表明，严格局部m artin gale模型中隐含波动率smilein的右翼表现出一种从根本上不同于真鞅模型的渐近行为。

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2022-5-8 22:50:32

这也表明，通过分析隐含波动率曲面，严格局部鞅模型原则上可以与真实鞅模型区分开来。此外，该结果补充了Lee[37]和Benaim及Friz[3]关于真实（非负）m artin gale模型中隐含波动率微笑翅膀行为的著名结果。然后，在推论3.8中，通过基于绝对连续测量变化的二元论方法，获得了该主要结果的某些结果。这种方法在严格局部鞅（参见[7,12,34,43,48]）的严格局部鞅模型3中的隐含波动率的上下文中是众所周知的，并将正严格局部鞅模型与（正）概率质量为零的真鞅模型进行对偶。最近，De Marco、Jacquier和Hillairet[10]以及Gulisashvili[22]证明，对于质量为零的真鞅，微笑的左尾完全由这个verymass的概率权重决定（直到二阶）。应用对偶方法，本文中关于严格局部鞅的右翼渐近性的结果可以看作是质量为零的真鞅的左翼渐近性的直接类比。2.准备工作2。1.基于严格局部鞅和股价泡沫的市场模型。让(Ohm, F、（Ft）t≥0，Q）是一个概率空间，其过滤满足通常条件，且let（St）t≥0是从S=1开始的负局部Q-鞅上的c`adl`agn。作为一个非负局部鞅，S也是一个非负局部鞅。因此，等式[St]存在，以1为界，是t的递减函数≥ 0.我们设置（2.1）mt:=1- EQ[St]，并将mtt称为鞅缺陷（t≥ 0）S.显然，t7→ mT是递增的，取值于[0,1]，S是[0,T]上的真鞅当且仅当mT=0。

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2022-5-8 22:50:36

我们主要感兴趣的是补充情形mT>0，其中S是[0，T]上的局部鞅，但不是真鞅，即astrict局部鞅。mt的大小决定了它与真鞅的区别，即“鞅缺陷”。另一个boun-dary情况mT=1发生在且仅当ST=0，Qalmost确定。我们在假设mt<1的前提下，从我们的分析和工作中排除了这种退化情况∈ [0，T]。我们将S解释为股票的价格，Q解释为确定衍生产品合同价格的给定定价指标。历史/统计指标不会在我们的分析中发挥作用，我们也不会对市场的完整性做出假设。Sto 1的常态化和折扣的缺失有助于简化符号和参数。起始值s6=1可以通过简单的比例调整来调节，通过将S解释为远期价格并将期权行使调整为远期行使来贴现。回想一下，市场模型（S，Q）不允许存在风险消失的非免费午餐（NFLVR）意义上的套利机会。事实上，资产定价的第一个基本定理表明，NFLVR条件成立的当且仅当存在一个等价的概率测度，其（贴现）半鞅股价是西格玛鞅。由于所有局部鞅都是igma鞅，因此Q下S的严格局部鞅性质意味着NFLVR。我们请感兴趣的读者参考[13]或[14]，以了解非公允价值变动率条件的精确定义以及资产定价的第一个基本定理的细节。mT>0的市场模型的具体例子，即S是严格的局部Q-鞅，出现在局部波动和随机波动模型中[33,38,49]。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:50:39

关于期权，如果股票价格是局部有界的（特别是如果它是连续的或具有一致有界的跳跃），那么“sigmamatingale”可以替换为“局部鞅”。4 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER Reselpricing，严格的局部鞅模型可能表现出非常意外的行为：我们将在下面的第2.2节中详细讨论，看跌期权平价失败，看跌期权和看涨期权价格可能违反此类模型中的经典静态套利界限。此外，欧洲的Call价格严格低于美国的Call价格，欧洲的lookback看涨期权价格最高为0≤T≤TSt- K对所有K都有固定值≥ 0，参见[9,24]。最后，注意（2.1）中的鞅缺陷mt可以解释为当前资产价格S=1与其未来价值St（其“f基础价值”）的风险中性预期之间的差异。因此，在g.g.[24,44]之后，非零差异构成了一个泡沫，在这个泡沫中，资产的等级价值与基础价值不同；在S.例2.1中的一个鞅假设下，一个ph-烯醇子不能发生反应。设X为随机微分方程dXt=σ（Xt）dWt的唯一弱解，X=1，其中σ有界远离零，且在（0，∞), 满足σ（0）=0，W是布朗运动。X在零处的行为及其鞅性质可以直接从σ（参见[15]）上的下列可积条件中读取：oXt>0f或全部t≥ 当且仅当（2.2）Zxσ（x）dx=∞;o X是严格局部鞅当且仅当（2.3）Z∞xσ（x）dx<∞.如[6,17]所证明的，在σ2.2的要求更弱的情况下，这种分类仍然有效。严格局部鞅模型下的期权定价。

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2022-5-8 22:50:42

尽管严格的局部鞅模型与无套利（在NFLVR意义上）是一致的，但在期权定价的背景下，有几个明显的病因学融合在一起，有关详细讨论，请参见[9]和[24]。我们将总结与隐含波动性相关的现象。首先，让我们通过风险中性预期SCs（x）：=EQ（ST）来确定基础S（以及对于固定到期日T）的调用和定价-ex）+和PS（x）：=EQ（ex- ST）+，鉴于我们对隐含波动性的分析，我们通过对数罢工x=对数K来参数化。在完全市场中，这些价格确实是其支付的唯一最小超级应用价格（见[9]），但正如下文所示，存在与无套利一致的其他合理看跌期权和看涨期权价格。很容易看出（2.4）CS（x）- PS（x）=1- 前任- mT适用于所有实数number er x，因此每当mT>0时，Put调用奇偶校验失败，也就是说，当S是一个严格的局部鞅[9，定理3.4]时。当我们考虑价格界限时，会出现进一步的病态。严格局部鞅模型中的隐含波动率5A直接应用Jensen不等式得到不等式（1-mT- （前）+≤ CS（x）<1- mT，（2.5）（ex- 1+mT）+≤ PS（x）<ex，（2.6）适用于认购和卖出，对所有x有效∈ R.对于mT=0，过程S是一个真鞅，这些界成为看涨期权和看跌期权的经典无静态套利界。在局部鞅的下界为0的情况下，无局部鞅的下界为0。另一方面，看跌期权的下界随着MTA的增加而增加，因此始终保持在无静态套利区域内。注意，对于任何x∈ R、两个较低的bou-Nd都可以得到，这是从例子4.1中得到的，其中一个严格的局部鞅的性质是ST=1-mT，几乎肯定是给定的。

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2022-5-8 22:50:45

作为下面第3.1条的一个结果，对于每个给定的带缺陷mT的严格局部鞅S，也存在x*∈ [log（mT），0]使得相应的买入价格Cs（x）违反了无静态套利下界（1）- ex）+适用于所有x<x*.这些病理学似乎与严格的局部鞅模型与无套利一致（在NFLVR中）的事实相矛盾。例如，考虑一个看涨期权，其值为（2.5）中的下限，即CS（x）=（1）- mT- ex）+。然后，选择一个原木走向x，这样x≤ 日志（1）- mT），可以形成一个无成本的投资组合，包括CallCS（x）中的多头头寸、一个单位股票的空头头寸和银行账户中的mT+EXI。该投资组合的到期日付款为mT+（例如- ST）+>0，我们显然已经构建了一个套利。该Paradox的解决方案是，由于在S中的空头位置，portfoliois的价值过程不受下方限制，因此不是[11，定义2.7]意义上的可接受策略。事实上，如果投资组合的价值从下方有界，那么S将从上方有界，因此是一个真正的鞅，这与S的str ict鞅性质相矛盾。这些关于策略可接受性的考虑并不完全是学术性的。空头头寸通常需要存放抵押品，这限制了可实施对冲策略的范围。出于这个原因，几位作者[9,24,41]在确定看涨价格时指出，风险中性预期的回报并不是唯一经济上合理的选择。我们遵循[9]中的定义，作者考虑了看涨期权中的空头头寸，并认为此类头寸通常受制于抵押品要求。

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2022-5-8 22:50:49

因此，套期保值投资组合的价值过程V不仅必须复制到期日T时的看涨期权，还必须满足抵押品要求Vt≥ G（St）在中间时间。这里，函数G用于描述与股价相关的抵押品数量。以下是在[9]中证明的：定理2.2（定理5.2在[9]中）。设G为满足lim-sups的正凸函数↑∞G（s）s=α，H是满足H的任意支付≥ G、那么，支付为H（ST）的欧式期权的公平价格（初始）等于EQ（H（ST））+αmT。无静态套利指的是基本的静态复制论点，不考虑交易策略的可接受性。这一概念必须区别于NFLVR意义上的无套利，NFLVR考虑了策略的可接受性。6安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）和马丁·凯勒（MARTIN KELLER Reselby）“公平价格”（fair price）、考克斯（Cox）和霍布森（Hobson）是指在合同有效期内，构建一个超级复制到期支付和抵押品要求的自我融资财富流程所需的最小初始财富。对于欧洲看涨期权（到期日为T，行使价为ex），H（ST）=（ST- ex）+，定理2.2意味着担保下的看涨期权的公平价格由（2.7）CαS（x）：=CS（x）+αmT给出。我们将CαS（x）称为α担保看涨期权的价值。请注意，只有α值∈ [0,1]由于对G的要求，这是有意义的。很明显，在真正的鞅模型中，当mT=0时，抵押品要求不会影响买入价格。在严格的局部鞅模型中，有抵押的看涨期权的价格不同于无抵押的看涨期权的价格。

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2022-5-8 22:50:52

特别令人感兴趣的是完全协同调用CS（x），它与Madan和Yorin[41]提出的严格局部鞅模型的欧洲调用价格一致：let（τn）n≥1.停止时间增加到一定程度的任何顺序，例如停止的过程∧τn）t≥0是每个n的一致可积鞅≥ 1.然后将Madan Yor Eu ropean期权价格定义为CMYS（x）：=limn↑∞情商（ST）∧τn- ex）+。命题2.3（文献[41]中的命题2]）。对于任何x∈ R、以下等式成立：CMYS（x）=（1- ex）+EQ（LxT）=CS（x）+πST，其中（LxT）t≥0表示X级S的本地时间，其中校正项为πST=limz↑∞zQsup0≤U≤TSu≥ Z非零修正项πSt对应于[9，定理3.4，等式（5）]中给出的价格泡沫的必要和有效条件。在[9，附录]中还表明，实际上π与鞅缺陷Mt相同，因此Madan Yor买入价CMYS（x）与完全共同买入价CS（x）一致。[24]在严格的局部鞅模型背景下讨论的买入价格和买入价格分别精确地对应于无抵押和完全抵押的买入价格CS=CS和CS。第38章，完全讨论的价格。

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2022-5-8 22:50:56

插入（2.4）和（2.5），我们看到（2.8）CS（x）- PS（x）=1- ex和min（mT，1- （前）≤ CS（x）≤ 1，即对于完全抵押的看涨期权价格，恢复看涨期权平价，且定价边界始终在无静态套利区域内。最后，让我们计算一下大罢工的以下限制，这将在以后需要。利克斯↑∞CαS（x）=limx↑∞CS（x）+αmT=limx↑∞情商（ST）- ex）+αmT=αmTlimx↑∞[PS（x）- ex]=limx↑∞情商（例如- （圣）+-ex）=- 利克斯↑∞EQmin（前、后）=mT- 1、（2.9）严格局部鞅模型7中的隐含波动率，其中我们使用支配收敛和S的超鞅性质来评估极限。由于MTA的出现是明确的，看跌期权和看涨期权价格的大执行限额可以用来描述S严格的本地martin gale属性，另见[9，Th eorem 3.4（iv）]2.3。关于质量为零的真鞅的对偶性。与正严格局部鞅有关的一个重要概念是它们与massat为零的真鞅的对偶关系。定义2.4。设Q和P为过滤测度空间上的概率测度，T>0为固定时间范围。设S为严格正局部Q-鞅，M为[0，T]上的非负trueP鞅。用τ：=inf{t>0:Mt=0}表示零的第一次击中时间（M），并假设τ是可预测的，τ>0，P-a.s。如果qi在FT上对P绝对连续，且dqdpFT=mt和St=MtP-a.s.{t<τ∧ T}。请注意，上述定义要求S是一个三正局部鞅，这是一个比第2.1节中的非负性假设稍强的假设。

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2022-5-8 22:50:59

在金融建模中，Q可以被解释为与P下的股价M相对应的“股票度量”，或者在货币模型的上下文中，Q可以被解释为与国内度量P和汇率过程M相对应的“国外度量”[5，第17章]。还要注意的是，由于M是一个真正的非负P-鞅，所以0必然是吸收[26，第三章，引理3.6]，因此对于所有t，Mt=0≥ τ. 对于对偶模型，（2.10）mt=1- 等式（St）=1- EP（11{t<τ}）=P（τ）≤ t） =P（Mt=0），即S（Q下）的鞅亏等于M（P下）的质量。下面的结果是深刻的，但现在已经很好地理解了。可以在[34]中找到证据；类似版本请参见[43,48]。引理2.5。让（Ft）t≥0是正确的连续标准系统，T>0是固定的时间范围。对于满足定义2.4假设的任何对（S，Q），存在一个双对（M，P）。相反，对于满足定义2.4假设的任何对（M，P）和相关停止时间τ，存在一个对偶对（S，Q）。让我们注意到，在S是严格局部鞅的情况下，困难方向是从（S，Q）到（M，P）；P的必要构造依赖于F¨ollmer退出措施，该措施首次在[18]中介绍，并在[42]中提到。从（M，P）到（S，Q）更容易，在连续性假设下的早期证明可以在Delbaen和Schachermayer[12]中找到。就我们而言，（Ft）t的技术条件≥通过将这种过滤视为对合作流程自然过滤的正确连续修改，可以满足正确连续性和标准系统的要求8 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER在斯科罗霍德空间D（R≥0，R∪{+∞}), i、例如，c`adl`ag函数的空间可能会在有限时间内爆炸为一体。有关详细信息，请参见[34]和[18]中的讨论。

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2022-5-8 22:51:02

对于对偶模型，我们给出了S un der Q.引理2.6的严格局部边缘性质的以下简单刻画。设（M，P）和（S，Q）是时间范围T>0的二元市场模型。以下是等价的：（i）S是[0，T]上的严格局部Q-鞅；（ii）MT质量为零，即P（MT=0）>0；（iii）mT>0；（iv）在FT证明中，Q与P不相等。从定义2.4可以清楚地看出，S是局部鞅，因此S的严格局部m鞅性质等价于mT=1-等式（ST）>0。根据等式（2.10），这表明前三种断言是等价的。最终QDPFT=mt，因此Q不等于P，当且仅当ifMT=0且P-概率为正时，这正是断言（ii）。例2.7。现在我们继续E x示例2.1，即我们考虑由dMt=σ（Mt）dWt给出的M，其中σ满足与之前相同的条件。此外，假设∞xσ-2（x）dx<∞, 这样M是P-鞅的（2.3），τ表示M的第一次击中时间为零。现在通过qdp构造度量QFt=Mt，设置St=M-1t{t<τ}。很容易看出，S满足随机微分方程dSt=eσ（St）dWQt，其中S=1，eσ（y）=yσ（1/y），其中WQI定义为时间τ之前的Q-布朗运动。注意以下等式成立：（2.11）Zyeσ（y）dy=Z∞xσ（x）dx和z∞yeσ（y）dy=Zxσ（x）dx。第一个积分是通过假设确定的，根据例2.1中的积分条件（2.2）和（2.3），s为Q-a.s.严格正。如果第二个积分是有限的，则根据相同的条件，M也是P-a.s.正的，s是真Q-鞅。如果第二个积分不确定，那么M的质量为零，S是严格的局部鞅。

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2022-5-8 22:51:06

根据引理2.6，其他情况是不可能的。对偶模型中期权价格之间的关系在S和M都是零质量的真鞅[16,20]的情况下是众所周知的，h在[34,48]的严格局部鞅情况下已经描述过。我们回顾欧洲看跌期权和看涨期权的关系。除了上面描述的看跌期权和看涨期权价格Ps和CαS之外，我们还写了PM（x）：=EP（ex- MT）+和CM（x）：=EP（MT）- ex）+适用于P.提案2.8下标的M的欧洲看跌期权和看涨期权。设（M，P）和（S，Q）是时间范围T>0的二元市场模型。那么对于任何x∈ R和任意α∈ [0,1]，看跌期权和看涨期权价格之间的关系如下：（2.12）CαS（x）=exPM(-x） +（α）- 1） M和PS（x）=exCM(-x）。严格局部鞅模型中的隐含波动率。对于看跌期权，我们计算（x）=EQ（ex- ST）+=EPMτT（ex- （圣）+= EPMτT前任-MT{T<τ}+= 埃克塞夫{T<τ}+11{T≥τ }MτT- E-x{T<τ}+i=exEPh{T<τ}机器翻译- E-十、+i=艾克塞夫1.- 11{T≥τ }机器翻译- E-十、+i=exCM(-x）。调用的结果来自P-鞅M的Put调用奇偶性和局部Q-鞅S的“修改的Put调用奇偶性”（2.4）。3.每个x的严格局部鞅的隐含波动率∈ R、给定买入价格C（x）的隐含波动率定义为方程CBS（x，σ）=C（x）的唯一非负解，其中CBS代表到期日为T、履约日为Ex且波动率σ：CBS（x，σ）：=N（d+（x，σ））- exN（d）-（x，σ），其中d±（x，σ）：=-xσ√T±σ√T，N代表高斯累积分布函数。众所周知，隐含效用是[0]中定义明确的实数，∞) 当且仅当C（x）位于无静态套利界限（由mT=0的界限（2.5）给出）内，并且在这种情况下，它是唯一的e。

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2022-5-8 22:51:09

如果看跌期权平价成立，则使用欧洲看跌期权的定义等同于使用看涨期权的定义。Hencein-tr-ue鞅模型中，隐含波动率总是唯一定义的，看涨期权和看跌期权隐含波动率之间没有区别。到目前为止，这类模型中隐含波动率的行为已经相当清楚，见[19]。然而，在严格的局部鞅情形下，存在着非常少的结果（除了[50]之外，它研究了大时间行为）。结果表明，在严格的局部鞅条件下，即使隐含波动率的存在也是不确定的，不能等价考虑看涨期权和看跌期权。在本节中，我们通过提供关于严格局部鞅模型中隐含波动率的存在性、唯一性和渐近行为的结果来填补这一空白。3.1. 看跌期权隐含波动率。如上所述，在严格的局部鞅设置中，看跌期权奇偶性失败（除非看跌期权完全抵押），因此必须将看跌期权隐含波动率与看跌期权隐含波动率区分开来。我们用IpS（x）表示对应于对数走向x的put的价格PS（x）的混合波动率，写在局部鞅S上，用IαS（x）表示对应于α-抵押调用CαS（x）的隐含波动率，即对于每个x∈ R、方程CBS（x，IαS（x））=CαS（x）的唯一非负解（无论何时存在）。我们从下面的结果开始讨论IpsiαS的存在性。定理3.1。

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2022-5-8 22:51:12

设为非负局部鞅。（i）看跌期权的隐含波动率在整条实线上定义良好；10 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER-Restel（ii）隐含波动率是指充分定义在R上且与看跌期权隐含波动率一致的期货抵押看涨期权的隐含波动率：IS（x）=IpS（x），对于所有x∈ R（iii）对于α∈ [0,1）存在x*(α) ≤ 0，从而在[x]上明确了α-抵押贷款的隐含波动率Iα*(α), +∞), 但不是在电视上(-∞, 十、*(α)). fu nc tion x*（α）这是严格意义上的满意（3.1）对数（（1- α） mT）<x*(α) ≤ 日志（1）- αmT）。每x∈ R函数α7→ IαS（x）严格地在其定义的区间上增加，并且IαS（x）<IpS（x）对所有α都成立∈ [0,1）和x∈ [x]*(α), +∞).备注3.2。通过原木打击和设置K重新参数化*（α） =exp（x）*（α）（3.1）中的边界简化为（1）- α） mT<K*(α) ≤ (1 - αmT）。即使没有为S指定具体的模型，区域D:={（α，x）：α∈ [0,1），x∈ R} 可以写成不相交的并集D=DA∪ DN∪ DM，其中da:={（α，x）∈ D:x>log（1- αmT）}，DN:={（α，x）∈ D:x≤ 日志（（1）- α） mT）}，DM:={（α，x）∈ D:日志（（1）- α） mT）<x≤ 日志（（1）- α） mT）}，因此隐含波动率IαS（x）始终在DA中定义，而不是在DNand中定义，可能是也可能不是inDM。通过证明IαS（x）未定义的区域恰好是买入价格CαS（x）违反无静态套利下限的区域，也将变得清晰。证据看跌期权的价格和完全抵押的看涨期权的价格始终在（2.5）和（2.6）的无息套利区域内。因此，对于所有x，相应的隐含波动率IpS（x）和Is（x）均已明确∈ R

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2022-5-8 22:51:15

完全抵押看涨期权和布莱克-斯科尔斯价格收益率的看跌期权平价（2.8）=CS（x）+ex-1=CBS（x，IS（x））+ex- 1=PBS（x，IS（x））。由于PS（x）=PBS（x，IpS（x）），隐含波动率的唯一性意味着所有x的（x）=IpS（x）∈ R、权利要求（i）和（ii）如下。现在让我们来看看∈ [0，1）.当且仅当CαS（x）在无静态套利区域内[（1）]时，CαS（x）的隐含波动率Iα（x）存在- ex）+，1）。从（2.5）我们导出了（3.2）（1）的界- mT- ex）+αmT≤ CαS（x）<1+（α- 1）因此，CαS（x）处于非静态套利区域当且仅当CαS（x）≥ (1 - ex）+或等价的ifFα（x）：=CαS（x）- (1 - （前）+≥ 0.为了找到Fα（x）的零点，需要考虑x<0，因为Fα（x）>0表示所有x≥ 0.为x重写Fα≤ 0 asFα（x）=EQ（ST- ex）+αmT- (1 - ex）=EQ（最大值（ST，ex））+αmT- 1，严格局部鞅模型中的隐含波动率11我们可以看到Fα是连续的，并且随着时间的推移而增加(-∞, 0]带边缘↓-∞Fα（x）=mT（1）- α). 设置X*（α）：=inf{x≤ 0:Fα（x）≥ 0}，因此[x]上存在隐含波动率*(α), ∞ ) 但不是在电视上(-∞, 十、*(α)). 同样清楚的是，对于固定x，函数α7→ Fα（x）严格递增，因此*（α）必须严格减少。此外，考虑到Fα（x）在-∞ 接下来是x*(α) = -∞ 对于α=1和x*(α) > -∞ 对于所有其他α∈ [0，1）。在后一种情况下，它保持CαS（x*(α)) = 1 - 前任*(α). 将右侧插入边界（3.2）并重新排列weget（3.1）。3.2. 隐含波动率的渐近行为。对于大的冲击，下面的结果提供了看跌期权隐含波动率的渐近行为。定理3.3。设我们是一个鞅亏m的非负严格局部鞅，假设α>0。

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kedemingshi

2022-5-8 22:51:19

然后，随着x趋于完整，以下扩展适用：IpS（x）=IS（x）=r2xT+N-1（公吨）√T+o（1）和IαS（x）=r2xT+N-1（αmT）√T+o（1）。备注3.4。o（1）项可以通过对斯大龙分布的右尾进行更进一步的假设而变得更精确，如[10,22]所示。事实上，正如我们将在第3.5节中展示的那样，在S严格为正的温和附加假设下，[10,22]的结果可以直接转化为IpS（x）和IαS（x）的更高阶展开式，使用第2.3节中关于无抵押看涨期权的隐含波动率的杜氏方法，在真鞅模型中，以下互补结果成立：推论3.5。如果α=0，则为limx↑∞IS（x）-r2xT！=-∞.如果mT=0，那么对于所有α∈ [0,1]，极限↑∞IpS（x）-r2xT！=利克斯↑∞IαS（x）-r2xT！=-∞.备注3.6。定理3.3和推论3.5共同表明，严格局部鞅模型和真实鞅模型中大罢工的隐含波动率行为之间存在着明显的区别。这种观测可用于从观测到的隐含波动率中检测严格的局部鞅性质，见下文第3.4节。证据根据定理3.1，IpS（x）=是（x），因此有必要考虑α的调用隐含波动率IαS（x）∈ [0, 1]. 通过相同的结果，至少对于所有x，IαS（x）都有很好的定义∈ (0, ∞). 由（2.9）可知，IαS（x）必须满足yLimx↑∞Nd+（x，IαS（x））- exND-（x，IαS（x））= 利克斯↑∞CBS（x，IαS（x））=limx↑∞CαS（x）=αmT.12 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER Restelth算术几何平均不等式产生d-（x，σ）≤ -√2x和hencelimx↑∞exND-（x，IαS（x））≤ 利克斯↑∞exN-√2x≤ 利克斯↑∞exφ(√2x）√2x=0，其中我们使用了经典界N(-x） /φ（x）≤ 十、-1.磨坊比率。

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2022-5-8 22:51:22

亨塞利姆↑∞Nd+（x，IαS（x））= 利克斯↑∞CαS（x）=αmT，倒置N我们得到（3.3）limx↑∞d+（x，IαS（x））=N-1（αmT），其中我们设置了N-1(0) = -∞ 和N-1(1) = +∞.现在假设，对于x>0和σ≥ 我们有上下限≤ d+（x，σ）≤ u、对于一些l，u∈ R.使用d+的显式形式并求解q uadratic方程，这意味着（3.4）l+pl+2x≤ σ√T≤ u+pu+2x。如果αmT>0，则将该估计与（3.3）相结合，并对平方根进行扩展，我们得到iαS（x）=r2xT+N-1（αm）√对于大x，T+o（1）和定理3.3如下。对于推论3.5，我们必须考虑退化情形αmT=0，或等价于N-1（αmT）=-∞ . 在这种情况下，我们仍然可以应用（3.4）中的上限，它适用于任意u∈ 因此，limx↑∞IαS（x）√T-√2x≤ 利克斯↑∞- u+p2x+u-√2x= -任意的∈ R、和推论的3.5倍。3.3. 与Lee[37]和Benaim-Friz\'[3]渐近性的关系。Roger Lee[37]率先在真鞅框架下分析了隐含波动率的尾部行为。对于给定的严格正P-鞅X，隐含效用IX的大罢工行为由（3.5）lim supx给出↑∞IX（x）Tx=ψ（p*) ∈ [0,2]，其中p*:= sup{p≥ 0:EP（XT）<∞} 和ψ（p）≡ 2.- 4（pp（p+1）- p）。同样的结果也适用于使用XT负力矩的小撞击行为。随后，Benaim和Friz[3]通过提供充足的条件将lim sup强化到Agenue极限，从而定义了（3.5）。然而令人惊讶的是，文献[3]中并未明确提到鞅假设，尽管它在综述文献[4]中也有提及。

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2022-5-8 22:51:25

（3.5）（或其在[3]中的锐化版本）的直接结果是，当X是P鞅时，严格局部鞅模型13中总隐含方差IX（X）T/xIMPLIED波动率的大走向斜率等于2，当且仅当P*= 1，也就是说，不存在严格大于1的力矩，所以XT的分布有一条肥尾巴。在严格的局部鞅框架下，尾部权重和隐含波动率斜率之间的一一对应关系被打破。例如，考虑从S=1开始的str ict局部鞅dSt=StdWQt，其密度在附录ix的（4.1）中给出。一个简单的泰勒表达式表明，随着S趋于完整，以下渐近行为适用于任何p≥ 0:spP（圣彼得堡）∈ ds）=rπTe-1/（2T）sp-4.1+O（s）-2)D和p*S:=sup{p≥ 0:EP（ST）<∞} = 3.如果Lee（或Benaim Friz）的公式成立，thenlim supx↑∞Iαs（x）T/x=ψ（p*S） <2，带α∈ （0，1）。这与T heorem 3.3相矛盾，T heorem 3.3指出lim supx↑∞Iαs（x）Tx=2。这个例子表明，对于严格的局部鞅，Lee[37]和Benaim Friz\'[3]的结果不能成立。3.4. ε-隐含价格波动性的影响。正如本文开头所讨论的，严格局部鞅模型被提倡作为股票价格泡沫的模型。在这方面，我们有兴趣测试这些泡沫出现的经验数据。在连续马尔可夫差异的背景下，此类测试由[29]提出并实施（关于类似的想法，另见[25]），基于历史可利用性的统计估计。一旦股票价格的差异被估计并外推到整个半线，例2.1中讨论的积分标准被[29]用来决定基础是否是严格的局部鞅。

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2022-5-8 22:51:29

作为对[29]统计方法的补充，我们的结果提出了基于隐含（与历史相反）波动率的不同方法来测试股票价格泡沫的出现。首先，注意到在非完全抵押调用（α<1）的情况下，有简单的标准根据隐含效用区分真鞅和严格局部鞅。从上面给出的结果来看，除非看涨期权被完全抵押，否则下面的陈述是等价的：o股票价格过程s是定价测度Q下的严格局部鞅；o看跌期权和看涨期权的隐含波动率是不同的对于足够小的罢工，不存在隐含波动性。然而，对于完全抵押的调用（α=1），这些标准失败。相反，我们从定理3.3推导出以下标准：o隐含波动率满足度为（x）=q2xT+nT√某些nT的T+o（1）∈ R.注意，最后一次检查是必要且有效的。必要部分来自定理3.3，适用于mT=0的推论3.5。此外，可以通过设置mT=N（nT）来提取鞅缺陷mT。该标准的缺点是，它是一种无症状测试，仅对大x有效。这一缺点与[29]的统计测试相同，该测试还需要对估计的扩散系数进行交感推断。这一特性限制了实际应用中测试的价值，因为隐含波动率（或叫价）只能在14 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER-Restel有限的罢工次数下观察到。

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2022-5-8 22:51:33

然而，一个简单的论点表明，任何从P ut隐含（或完全担保的调用隐含）波动率确定严格局部鞅性质的测试，在使用任意大的str-ike值作为输入的情况下，都必然是无符号测试：设S为具有局部序列（τn）n的非负局部Q-鞅∈N、所以停止的进程Snt:=St∧τnaretrue Q-鞅。S和SNS的看跌期权价格之间的差异可以在时间走向矩形RT，~x:=[0，T]×上统一估计(-∞, ~x），对于任何~x∈ R、 bysup（t，x）∈RT，~x | PS（x）- PSn（x）|=sup（t，x）∈RT，~x | EQ（ex- （圣）+- 情商（前）- SnT）+|≤ exQ（τn）≥ T）。通过选择足够大的n，边界可以任意变小。由于看跌期权隐含的波动率持续依赖于看跌期权价格，这表明对于任何非负严格局部马丁盖尔S，时间走向矩形RT，x*ε>0我们可以找到一个真正的鞅模型Sε，使得Put隐含的效用（以及完全抵押的C ALL隐含的效用）在RT，x上ε-闭合，均匀*.3.5. 隐含波动率的对偶性和对称性。我们考虑第2.3节中关于隐含波动率的研究结果。定理3.7。设我们是一个严格正严格局部Q-鞅，在对偶中，质量为零的真p鞅M。用IM（x）表示对数走向x和标的M在P下的隐含波动率。那么，为了所有的x∈ R、（3.6）IpS（x）=IS（x）=IM(-x）。证据对于任何x∈ R、隐含波动率IpS是方程PS（x）=PBS（x，IpS（x））的唯一解。因此，使用（2.12），我们可以编写eXn(-D-（x，IpS（x）））- N(-d+（x，IpS）(-x））=PS（x）=exCBS(-x、即时通讯(-x））=exN（d+(-x、即时通讯(-x）））- N（d）-(-x、即时通讯(-x））=exN(-D-（x，IM）(-x）））- N(-d+（x，IM）(-x）））。该定理证明了在无静态套利区域中卖出微笑的存在性和唯一性。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:51:37

利用上述定理，我们可以将[10]中关于质量为零的真m artin gale模型中隐含波动率的左翼行为的结果直接转化为关于严格正严格局部鞅模型中隐含波动率的右翼行为的结果：推论3.8。设S为严格正严格局部Q-鞅，T>0，且S.集G（x）：=EQ（ST{ST）≥ex}）和nT:=N-1（公吨）。（i）如果G（x）=o（x-1/2）当x趋于一致时，则ips（x）=IS（x）=r2xT+nT√T+nT√2T x+exp（新台币）√2T xψ（x），因为x趋于完整，其中函数ψ为0≤ lim supx↑∞ψ（x）≤ 1.严格局部鞅模型中的隐含波动率15（ii）如果G（x）=O（e）-εx）当x趋于一致时，对于一些ε>0的情况，则ips（x）=IS（x）=r2xT+nT√T+nT√2T x+Φ（x），因为x趋于完整，其中Φ函数满足lim supx↑∞√2T x |Φ（x）|≤ 1.证据。设F表示MTP下的累积分布函数。ThenG（x）：=EQST{ST≥前}= EP{MT≤E-x} {T<τ}= F（e）-十）- F（0）。其余的主张来自二元关系IM(-x） =IS（x）和[10，定理1.1]。在[10，Cor.5.2]中，作者证明，如果基础是由massat为零的真鞅给出的，那么隐含的波动率微笑就不能是对称的（在IM（x）=IM的意义上）(-x））。应用对偶关系(-x）我们得到以下结果。推论3.9。如果S是严格正的严格局部Q-鞅，那么Put微笑是不对称的。备注3.10。对于Call隐含的波动率IαS，微笑永远不会对α对称∈ [0，1），因为定理3.1的简单原因，IαS（x）对于足够小的冲击不存在。在完全抵押的情况下，α=1，调用隐含波动率与P ut隐含波动率一致，推论3.9适用。再次看一维d效应的例子是有指导意义的：例3.11。

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kedemingshi

2022-5-8 22:51:40

我们继续E x示例2.1和2.7，并考虑由dmt=σ（Mt）dwp定义的P-鞅和由dSt=＠σ（St）dWQt给出的对偶Q-鞅，其中＠σ（y）=yσ（1/y）。如果σ=～σ，则对偶模型（S，Q）和（M，P）h具有相同的分布。在这种情况下，从2.11和例2.7中的讨论可以看出，S和d M要么都是质量为零的真鞅，要么都是质量为零的严格局部鞅。作为质量为零的真鞅或质量为零的严格局部鞅，与对称性假设σ=~σ不相容，符合[10，Cor.5.2]和推论3.9.3.6。大时间行为。在[50]中，Tehranch i研究了隐含波动率的大时间行为，或者更准确地说，研究了总方差IS（x，T）T，其中IS（x，T）现在强调了隐含波动率对到期日T的依赖性。然而，他对隐含波动率的定义（当基础股价是真鞅时有效）并不完全适用于严格的局部鞅。因此，我们在这里将其理解为看跌期权隐含波动率IpS，或等价地，从定理3.1，理解为完全抵押看涨期权隐含波动率。他的主要结果如下：定理3.12（文献[50]中的定理3.1]）。让(Ohm, F、（Ft）t≥0，Q）是一个给定的概率空间，S是一个负的Q-局部鞅，从1开始，使得Q（St>0）>0f或全部t≥ 0

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2022-5-8 22:51:43

如果当t趋于整数时，几乎可以肯定stt收敛到零，那么对于任何实数x，以下公式成立：IpS（x）t=-8对数均衡器（ST∧ （前）- 4 logh-对数均衡器（ST∧ i+4x- 4 log（π）+ε（x，T），16 ANTOINE JACQUIER和MARTIN KELLER Restelas T趋于一致，其中误差ε（·，T）随着T的增加满足一些关于紧的统一界限。STX几乎几乎几乎收敛到零的假设相当于看跌期权价格收敛到行使价（通过主导收敛），或完全抵押的看涨期权价格收敛到一致性。在[46，引理3.3]中，我们发现，如果S是Q-鞅，那么对于所有x，这也等价于is（x，T）T收敛于整数∈ 一个imm-ediate计算表明，如果S是（非负）严格的局部Q-鞅，这一点仍然成立。在股票价格过程的矩母函数行为的一些假设下，Tehranchi[50]进一步用矩母函数表达了定理3.12的右侧。然而，我们不会追求这种特征，因为我们不会对基础股价过程的瞬间生成功能进行任何假设。现在让我们做一个非负Q-超鞅。由于S在L（Q）中有界，鞅收敛定理[47，定理69.1]确保极限S∞:= 极限↑∞几乎肯定存在于[0，∞). 然而，目前尚不清楚这是否意味着∞= 对于一般的非负严格局部Q-鞅，几乎可以肯定为0，如定理3.12所要求。

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2022-5-8 22:51:46

在S在S ome区间[0]上有连续路径的特殊情况下，∞), 在自然尺度下，原点要么是自然吸收的（参见[35，第15章，第6节]了解端点的详细信息，但简单回顾一下，这个假设本质上意味着S是严格的局部m artin gale），然后[25]中的定理3.21保证了S∞= 几乎可以肯定，因此定理3.12成立。最近，Gu shchin、Urusov和Zervos[23]证明了，如果S是随机微分方程dSt=σ（St）dWt的弱解，则S=S∈ (0, ∞), 式中σ：[0，∞) → R是满足σ（s）=0的Borel可测函数，且仅当s=0和∑-2（s）ds是每个非空有限间隔A的有限值 (0, ∞), 那么S是严格局部鞅当且仅当limt↑∞等式（St）=0。因为S是非负的，所以几乎可以肯定地说，这等于S收敛到零，定理3.12适用。3.7. 实线上的严格局部鞅。到目前为止，我们假设astrict局部鞅的框架取非负半线上的值。原则上可以考虑局部鞅取整条实线的值。这种考虑的动机是（在某些给定的概率空间上）唯一的强解(Ohm, F、（Ft）t≥0，Q）到随机微分方程dSt=P（St）dWt，从S开始∈ R、其中P（s）≡ as+bs+c是一个二阶多项式。这类模型首先由Rady[45]提出，然后在[1,39,52]和其中的参考文献中进一步研究。很明显，这一类包含标准布朗运动（a=b=0）、几何布朗运动（a=c=0）和三维贝塞尔过程的倒数（b=c=0，另见第4.2节，β=1）。

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2022-5-8 22:51:50

过程S显然是一个连续的局部鞅，P的根的局部化和起点充分地刻画了它的鞅性质。设τ表示零的第一次击中时间乘以S，Sτ：=S·∧τ对应的停止过程。我们将Andersen[1]的结果总结如下：（i）S是真Q鞅当且仅当a=b=0或P有两个实根l和u满足l≤ s≤ U严格局部鞅模型中的隐含波动率17（ii）Sτ是真鞅当且仅当a=0或P的唯一实根大于或等于S；（iii）如果P有两个实根l<u，那么（a）如果S>u，S是一个S紧超鞅；（b）如果S<l，则S是严格子鞅；（iv）如果P有一个实r oot l=u，如果S>u，S是严格上鞅，如果S<u，S是严格下鞅；（v）如果P h不是真根，则S是无界严格局部鞅。这些结果直观地很清楚，因为P的任何实根都是吸收界元，而sincea局部martin gale在下有界时是上鞅，在上有界时是下鞅。安达信[1]进一步提供了每种情况下欧洲看涨期权和看跌期权价格的定价公式。让我们更仔细地看案例（三）。在第（iii）（a）种情况下，如果股票价格的界限低于u，那么卖出价格（行使价ex>0）显然在0和（行使价ex）之间- u） +，因此是一个真正的Q-鞅。这是我们到目前为止考虑的框架（u=0）。显然，如果履约价格在0和u之间，那么卖出价格总是等于零。同样地，考虑案例（iii）（b）；在这种情况下，股票价格在l上有界，因此买入价格有界，因此是真Q鞅。我们可以在以下命题中收集这些结果（并将其转化为隐含波动率）：命题3.13。

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2022-5-8 22:51:54

让我们成为严格的局部鞅(Ohm, F、（Ft）t≥0，Q），其分布在某个区间I上受支持勒特尔≤ u是两个实数，记住x*（α）在OREM 3.1中定义。（i）如果i=[l，u]，那么隐含波动率总是很明确的；（ii）如果I=[u+∞), 那么看跌期权的隐含波动率总是很明确的；对于任何α∈ [0,1]，共同看涨隐含波动率仅在[x]上定义*(α), +∞);（iii）如果我=(-∞ , l] ，那么（完全抵押的）看涨期权隐含的波动性总是很明确的；此外，存在x>0，因此x的看跌期权隐含波动率没有很好地定义≤ x、但是如此（x+∞).无论何时/∈ 一、隐含波动率存在时为零；间隔可以是打开的，而不是关闭的。证据在案例（i）中，欧式看涨期权和看跌期权的价格都是有界的，因此它们都是真鞅，结果很简单。案例（ii）：股票价格是一个严格的上鞅，这是上面分析的框架，其结果来自定理3.1。案例（iii）：在这种情况下，股票价格是一个严格的子鞅。调用p rice是有界的，因此是真正的鞅，且CallImpled波动率总是很好地定义。显然，看跌期权是无约束的，所以不是真正的鞅。该证明与定理3.1中的调用情况是对称的，因此被省略。4.例子18安托万·杰奎尔和马丁·凯勒-4。1.具有确定性端点的严格局部鞅。设T>0，μ≥ 0，W是标准布朗运动，和（Mt）t≥0be随机微分方程的唯一强解Dmt=Mt- u√T- tdWtM=1。立即可以看到Mt=（1-u）expfWφt-φt+ u，其中fw是标准布朗运动，φt≡ -日志（1）- t/t）。那么，f或u6=1，M是[0，T]上的一个非负局部鞅，几乎可以肯定mt=u。

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