粗糙Bergomi模型下的波动率指数期货

2022-5-31 01:24:42

数值实现已在协作平台Zanadu（www.Zanadu.io）上进行。2安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）、克劳德·马蒂尼（CLAUDE MARTINI）和艾托尔·穆古鲁扎（AITOR Muguruza）对波动率指数（VIX）进行了拟合，但也对波动率指数期货的对数正态近似进行了重新定义，精确匹配了前两个时刻。最后，我们开发了一种有效的VIX期货校准算法，并在此基础上构建了一种与SPX的联合校准方法。与[3]中的Cholesky方法相反，我们采用了Bennedsen、Lunde和Pakkanen[4]提出的混合方案，其复杂性为O（n log n）。假设Hurstparameter H在VIX和SPX中的普适性允许我们以复杂度O（n）递归计算价格。此外，我们还调查了VIX和SPX在市场上的联合一致性。因此，本文的组织结构如下：我们首先介绍了粗略的Bergomi模型及其主要属性（第2节），然后介绍其对波动率指数期货的定价能力（第3节），最后开发了第4.2节中的联合校准算法。粗糙波动率和粗糙Bergomi模型Comte和Renault【7】首次提出了一种随机波动率模型，其中瞬时波动率由分数布朗运动驱动，赫斯特指数限制在1/2以上。最近Gatheral、Jaisson和Rosenbaum【14】提出了一种新方法，Hurst指数小于1/2，在物理度量P下对观察到的波动率数据产生了非常好的拟合。这些模型形成了所谓的粗糙分数随机波动率（RFSV）家族，被理解为标准布朗运动驱动的经典波动率模型的自然扩展。我们的工作集中在定价测度Q上，通过本文我们假设Gatherel、Jaisson和Rosenbaum[14]在P下提出的模型是合理的模型。

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2022-5-31 01:24:46

最后，也是最重要的一点，我们遵循拜耳、弗里兹和Gathereal[3]最近的论文，以便将RFSV模型扩展到测度Q下的定价方案。更准确地说，拜耳、弗里兹和Gathereal[3]为对数股价过程X提出了以下模型：=对数：（2.1）dXt=-Vtdt+pVtdWt，X=0Vt=ξ（t）E（2νCHVt），V>0，其中ν，ξ（·）>0，E（·）是Dol'eans Dade[10]随机指数，CH：=q2H（2-H+Γ（H+）Γ（2-2H），其中，为了便于注释（在本文中），我们使用符号H±：=H±。所有过程都定义在给定的过滤概率空间上(Ohm, F、（Ft）t≥0，Q）支持两个标准布朗运动W和Z（见下文）。初始前向方差曲线是在初始时观察到的，因此我们假设它是F-可测的，而不丧失一般性。过程V，定义为（2.2）Vt：=Zt（t- u） H类-dZu是一个中心高斯过程，协方差结构（VtVs）=s2HZts- uH-（1）- u） H类-du，对于任何s，t∈ [0，1]。我们还将介绍，对于任何0≤ T≤ t符号（2.3）Vt，t：=ZtT（t- u） H类-dZuand VTt：=ZT（t- u） H类-dZu。特别注意VTT=VT。两个标准布朗运动W和Z与相关参数ρ相关∈ (-1，1）。这里，ξT（T）表示在T时观察到的远期方差，其到期日等于粗略BERGOMI模型3中VIX期货的到期日，如果σT（T）表示在T时观察到的方差掉期的公平执行，且在T时到期，则σT（T）=T- TZtTξT（u）du，或等效ξT（T）=滴滴涕（t- T）σT（T）. 对于任何固定的t>0，过程（ξs（t））s≤t、是鞅，即[ξs（t）| Fu]=ξu（t），对于所有u≤ s≤ t。

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2022-5-31 01:24:49

此外，VTtis是方差（2.4）V（VTt）=t2H的中心高斯过程- （t- T）2小时，对于T≥ T、协方差结构（2.5）EVTtVTs=ZT[（t- u）（s）- u） ]小时-du=（s- t） H类-H类+tH+F-ts- t型- （t- T）H+FT- ts- t型,对于任何t<s，我们引入函数F:R-→ R as（2.6）F（u）：=F(-H-, H+，1+H+，u），和fis是超几何函数【2，第15章】。最后，V的二次变化由（2.7）[V]t=t2H2H给出，对于t≥ 0.2.1。混合仿真方案。拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和盖特尔（Gatheral）[3]提出了一种Cholesky方法来模拟罗格·贝戈米模型。虽然精确，但该方法速度非常慢，需要考虑其他方法进行校准。最近，Bennedsen、Lunde和Pakkanen[4]提出了一种新的布朗半平稳（BSS）过程的模拟方案。与Cholesky相反，该方法是一种近似方法。然而，在[4]中，作者表明，在粗糙Bergomimodel的情况下，该方法产生了显著的结果。此外，他们的方法导致了Volterra过程V和股票价格S的自然模拟，并产生了O阶（n log n）的计算复杂性。定义2.1。设W是给定过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）。截断布朗半平稳（BSS）过程定义为B（t）=Rtg（t-s） σ（s）dWs，对于t≥ 0，其中σ为（Ft）t≥0-可预测，具有局部有界轨迹和有限秒矩，g：（0，∞) → [0，∞) isBorel可测且平方可积。如果进一步（i）存在α，我们将其称为BSS（α，W）过程∈-,\\ {0}使得对于所有x，g（x）=xαLg（x）∈ （0，1），其中Lg∈ C（（0，1）→ [0，∞)),在原点处缓慢变化，并以零为界。

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2022-5-31 01:24:52

此外，存在一个常数C>0，使得| Lg（x）|≤ C（1+x-1）对于所有x∈ （0，1）；（ii）函数g在（0，∞).在此假设下，【4】中提出并在附录A中回顾的混合方案提供了一种模拟BSS过程的有效方法。它特别适用于粗糙的Bergomi模型：命题2.2。（2.2）中的Volterra过程V是截断的BSS（H-, Z）过程。证据从（2.2），g（x）≡ xH公司-和σ（·）≡ 1如定义2.1所述，因此V是BSS流程。自H起-∈ (-, 0），然后是Lg≡ 1和V满意度定义2.1（i）；定义2.1（i）基本成立，推论也成立。一个可测函数L：（0，1）→ [0，∞) 如果任何t>0，limx↓0L（tx）/L（x）=1.4安托万·贾奎尔（ANTOINE JACQUIER）、克劳德·马丁尼（CLAUDE MARTINI）和艾托·穆古鲁扎（AITOR Muguruza）推论表明，我们可以将混合方案应用于V。特别是，对于κ=1，方案的矩阵形式表示为（回忆一下，nT：=bnT c）五、n五、n...五、nTn公司=Z0,10····0Z1,1Z。。。。。。Z2,1Z。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。ZnT-1,1ZnT-2···ZZnb公司*H-nb公司*H-...nb公司*nT公司-1.H-,其中系数{b*i} 定义见（A.1）。这种矩阵乘法是O（n）阶的强力乘法，但是使用离散卷积，我们可以使用FFT将其减少到O（n log n），如【4】所示。3、Rough Bergomi和VIXBayer、Friz和Gathereal[3]brie fly讨论了Rough Bergomi模型与观测到的VIX期权数据缺乏一致性，导致VIX的期限结构不正确。在本节中，我们将详细研究VIX的动力学，并提出对数正态近似。此外，我们还研究了该模型在波动率指数期货和期权方面的可行性，并将其与[3]中的近似值进行了比较。3.1。粗略Bergomi模型中的VIX期货。

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2022-5-31 01:24:56

从现在起，我们确定一个给定的到期日≥ 0，并通过连续时间监测公式确定时间T时的VIX：=EZT公司+TdhXs、XSID英尺！，哪里等于30天。然后，（3.1）VT：=E（VIXT | F）=E给出了到期日为T的VIX未来VT的风险中性公式sZT公司+TE（dhXs，Xsi | FT）dsF= EsZT公司+TξT（s）dsF.注意，当T>0时，ξT（s）是一个不可测量的市场输入，因此很难仅解释已知的F。我们应重复使用以下为任何T定义的随机变量≥ T，乘以（3.2）ηT（T）：=exp2νCHVTt.提案3.1。VIX动态由VIXT给出=(ZT公司+Tξ（T）ηT（T）expνCHH（t- T）2H- t2H型dt）1/2。证据利用Fubini定理和（2.1）中的瞬时方差表示，我们可以编写文本=ZT公司+TE（Vs | FT）ds=ZT公司+ξ（t）E（2νCHVt）| FTidt=ZT公司+TE公司ξ（t）ηt（t）exp2νCHVt，T-νCHt2HH英尺dt、Vt、Tde定义在（2.3）中。自ηT（T）∈ FTandξ（t）∈ F、此表达式简化为Vixt=ZT公司+Tξ（T）ηT（T）E经验值2νCHVt，T-νCHt2HH英尺dt。关于粗略BERGOMI模型5中的波动率指数期货，命题如下：自Vt以来，以高斯为中心，独立于FT，方差见（2.4），andEe2νCHVt，T英尺= Ee2νCHVt，T= 经验值νCHH（t- T）2H. 模拟的主要挑战是ηT（T）。然而，由于后者独立于ξ（·），VIX模拟方案的稳健性不会受到初始方差曲线ξ定性特性的影响。提案3.2。粗糙Bergomi模型的前向方差曲线ξTin允许表示ξT（T）=ξ（T）ηT（T）expνCHH（t- T）2H- t2H型, 对于任何t≥ T、证明。

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2022-5-31 01:25:00

由于E（Vt | FT）=ξT（T）乘以（3.1），该命题源自命题3.1，等式E（Vt | FT）=ξ（T）ηT（T）expνCHH（t- T）2H- t2H型.拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和盖瑟拉尔（Gatheral）[3]没有推导出ξT的这种表示，他们的波动导数定价方法依赖于一种近似值，这种近似值避免了本节中的计算。命题3.2有助于更好地理解ξT过程，并有助于创新VIX衍生品定价方法。3.2。波动率指数期货的上限和下限。定理3.3。波动率指数期货的以下界限：（3.3）ZT公司+Tpξ（t）expνCH4H（t- T）2H- t2H型dt公司≤ VT公司≤(ZT公司+Tξ（s）ds）1/2。证据条件Jensen不等式givesVT=E（VIXT | F）=EsZT公司+TξT（s）dsF≤武特ZT公司+TξT（s）dsF此外，由于ξ是F-适应的，Fubini定理和ξTyield的鞅性质的上界VT=E（VIXT | F）≤q-1RT+Tξ（s）ds。为了获得一个下界，我们使用Proposition 3.2中的表示、Cauchy-Schwarz不等式和Fubini定理，使得vt=E（VIXT | F）=EsZT公司+Tξ（T）ηT（T）expνCHH[（t- T）2H- t2H]dt公司F≥ E“ZT公司+Tpξ（t）ηt（t）expνCH2H（t- T）2H- t2H型dt公司F级#=ZT公司+Tpξ（t）EpηT（T）经验值νCH2H（t- T）2H- t2H型dt公司=ZT公司+Tpξ（t）expνCH4Ht2H型- （t- T）2H经验值νCH2H（t- T）2H- t2H型dt公司=ZT公司+Tpξ（t）expνCH4H（t- T）2H- t2H型dt，因为ηT（T）1/2是对数正态的（命题3.1），所以E（pηT（T））=expνCH4Ht2H型- （t- T）2H. 6 ANTOINE JACQUIER、CLAUDE MARTINI和AITOR MUGURUZAWe进行了一次数值实验，以检查命题3.3）中获得的边界的紧密性。

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2022-5-31 01:25:03

对于该分析，我们考虑了初始正向方差曲线的三种定性情景：（3.4）情景1：ξ（t）=0.234；情景2：ξ（t）=0.234（1+t）；情景3：ξ（t）=0.234√1+t。图1表明，对于非常不同的形状，命题3.3）中给出的下界出人意料地紧0.0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.180.190.200.210.220.230.24VIX期货价格VIX期货场景1蒙特卡洛下限0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.00000.00100.00150.0020绝对差异绝对差异0.0 0 0 0 0.5 1.0 1.52.0成熟度0.20.30.40.50.60.70.8VIX期货价格VIX期货情景2蒙特卡洛下限上限0.0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.00000.00050.00100.00150.00200.0025绝对差异绝对差异0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.220.240.260.280.300.32VIX期货价格VIX期货情景3蒙特卡洛下限0.0 0 0 0.5 1.0 1.52.0饱和度0.00000.00020.00040.00060.00080.00100.0012绝对差绝对差图1。在所有三种情况下，边界与蒙特卡罗（截断Cholesky）的对比。ξ的。这可以用以下论点来解释：考虑命题3.1中波动率指数期货价格的简化和确定性版本，用φ（T）：=s表示ZT公司+Tf（t）dt=rf（t）+f（T）+f（T）+O(),对于某些严格正（确定性）函数f∈ C（R）。我们进一步引入ψ（T）：=ZT公司+Tpf（t）dt=pf（t）+f（T）pf（T）+O(),这是Cauchy-Schwarz（或Jensen）不等式对应的下界，因此φ（T）- ψ（T）=f（T）-f（T）16f（T）+ O().关于粗略BERGOMI模型7中的VIX期货，因此，我们观察到, 正如波动率指数期货的情况一样，下限与原始值非常接近，原始值解释了（至少在确定性情况下）图1.3.3中观察到的行为。VIX过程的数值实现。

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2022-5-31 01:25:08

在本节中，我们研究了粗糙Bergomi模型中VIX的不同模拟方案。3.3.1。混合格式和前向Euler方法。为了模拟过程（VTt）t∈[T，T+]重要的是要从（2.3）中注意到，内核仅对VTT具有奇点，因此我们可以通过使用第2.1节中的混合方案模拟过程来克服这一点。然后，我们可以很容易地提取Z并模拟（VTt）t∈（T，T+]使用复杂度为O（n）的前向Euler格式。在这种情况下，由于（2.3）中的核不再具有t的奇异性，因此选择了前向Euler格式∈ （T，T+] 该方法比混合格式更快。一次（VTt）t∈[T，T+]数值积分程序可用于使用命题3.1中的表达式模拟VIX过程。必须指出的是，这种方法计算量大，内存消耗大，因为它需要使用复杂度为O（n log n）的混合格式来模拟Volterra过程，此外，每个VTT都需要使用前向Euler。仿真算法可以总结如下：算法3.4（粗略Bergomi模型中的VIX仿真）。固定网格T={ti}i=0，。。。，nTandκ≥ 1.（1）模拟Volterra过程（Vt）∈[0，T]使用附录A中的混合方案，得出随机变量VTT=VT的样本；（2）提取驱动Volterra过程的布朗运动Z的路径。Zti=Zti-1+nH-（V（ti）- V（ti-1），对于i=1，κ、 Zti=Zti-1+字-1，对于i>κ；（3） fix a网格T={τj}j=0，。。。，非[T，T+] 并通过以下正向Euler格式确定的离散时间版本来近似连续时间过程vt：eVTτ：=vt和eVTτj：=nTXi=1Zti- Zti公司-1（τj- ti公司-（1）-H-, 对于j=1。

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2022-5-31 01:25:11

N（4）通过数值积分计算VIX过程，例如使用复合梯形规则：VIXT≈N-1Xj=0QT，τj+QT，τj+1（τj- τj-（1）1/2，其中QT，τj：=ξ（τj）exp2vCHeVTτj经验值νCHH（τj- T）2H- τ2Hj.备注3.5。显然，步骤4可以被任何可用的数值积分例程所取代，但必须在步骤3.3.3.2中仔细选择分区。截断的Cholesky方法。或者，可以使用更昂贵但更精确的Cholesky分解来模拟VTon[T，T+] 因为其协方差结构已知于（2.5）。然而，撇开计算复杂性不谈，使用与算法3.4相同的网格T，数值实验表明，当使用的离散点超过nT=8时，协方差矩阵的行列式等于零。因此，尽管在理论上有效，但Cholesky方法在数值上不可行。这一事实意味着存在强线性依赖。事实上，对于任何ε>0的情况，严格不等式corr（VTt，VTt+ε）<corr（VTt，VTt+ε）适用于所有T<T<T，以及以下情况：8 ANTOINE JACQUIER、CLAUDE MARTINI和AITOR MUGURUZAProposition 3.6。极限limε↓0corr（VTt，VTt+ε）=1适用于任何t∈ [T，T+].证据

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大多数88

2022-5-31 01:25:15

这很容易从映射t 7的Lof中的连续性得出→ VTt:E[（VTt+ε- VTt）]=ZT[（t+ε- u） H类-- （t- u） H类-]杜邦=（T+ε）1+2H+- ε1+2H++T1+2H+1+2H+-2T1+H+εH+1+H+F-H+，1+H+，2+H+，-Tε.应用恒等式[2，第564页]F（a，b，c；z）=Γ（c）Γ（b- a） Γ（b）Γ（c）- （a）(-z）-自动对焦a、 a- c+1，a- b+1；z+Γ（c）Γ（a）- b） Γ（a）Γ（c）- （b）(-z）高炉煤气b、 b类- c+1，b- a+1；z对于情况（a、b、c）=(-H+，1+H+，2+H+，并使用伽马函数的性质以及F（a，0，c，z）≡ 1、我们获得-H+，1+H+，2+H+，-Tε=1小时+1小时+2小时+TεH+F-H+，2+2H+，-2H+，-εT.最后，序列表示ofF【2，第15.1.1章】意味着f-H+，2+2H+，-2H+，-εT当ε趋于零时收敛到1，因此E[（VTt+ε- VTt）]趋于零。根据命题3.6，我们对前8个网格点t，…，的依赖结构进行了精确建模，t、然后截断Cholesky分解并计算相关性ρi：=corr（VTt8+i，VTt8+i+1），对于i=0，n-9通过适当重新缩放和关联每对后续网格点来近似过程。与混合+前向Euler格式相比，由于Choleskymethod只截断了8个分量，计算复杂度大大降低。因此，VIX模拟算法的内容如下：算法3.7（VIX模拟（截断的Cholesky））。固定网格T={τj}j=0，。。。，非[T，T+],（i）计算（VTτj）i=j，…，的协方差矩阵，。。。，8使用（2.5）；（ii）生成{VTτj}j=1，。。。，通过使用（2.5）进行相关和重缩放：VTτj=qV（VTτj）ρ（VTτj-1，VTτj）VTτj-1qV（VTτj-1） +第一季度- ρ（VTτj-1，VTτj）N（0，1）, 对于j=9，N（iii）如算法3.4（4）所示，通过数值积分计算VIX。3.3.3。数值实验。我们使用前面介绍的模拟算法计算波动率指数期货的价格。

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2022-5-31 01:25:19

我们设置了与[3]和[4]中相同的参数：（3.5）ξ=0.235，H=0.07，ν=1.9CH√2小时≈ 1.2287，κ=2。我们对混合格式+前向Euler（HS+FE）方法进行了10次模拟，而对截断的Cholesky方法进行了10次模拟。图2表明，这两种方法在质量上是一致的，并且收敛到类似的输出。特别是，截断的Cholesky方法似乎会随着饱和度的增加而受到较大振荡的影响，即使是10次模拟。尽管如此，图2表明，两种方案的蒙特卡罗方差在T中均增加，如图3所示，其中误差也随着成熟度的增加而增加。另一方面，图4显示，HS+FE方法比截断Cholesky方法慢，这与前一节讨论的计算复杂性一致。特别是，当使用并行计算时，Cholesky方法的计算时间几乎是恒定的。图4粗略BERGOMI模型9中的alsoON VIX期货表明，需要进行大型模拟才能获得准确的价格。根据这一分析，这两种方法都试图以适当的方式近似所需的输出。即使截断Cholesky方法为每个成熟度提供了相当快的输出，也不考虑进行校准，因为它的计算时间在成熟度的数量上呈线性增长，使得算法速度太慢，无法进行合理的校准。相反，我们将使用截断的Cholesky方法作为即将进行的近似的基准。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0倍0.1850.1900.1950.2000.2050.2100.2150.2200.2250.230VIX期货价格VIX期货模拟方法混合收益+远期EulerTruncated Cholesky图2。

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大多数88

2022-5-31 01:25:23

VIX期货使用HS+FE和截断的Cholesky0.0 0.5 1.0 1.5 2.0倍0.000300.000350.000400.000450.000500.000550.000600.000650.000700.00075标准偏差蒙特卡罗标准偏差作为到期日Hybrid+远期EulerTruncated Cholesky的函数图3。蒙特卡罗标准差，10次模拟。2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.0 5.5 6.0模拟0.0000.0050.0100.0150.0200.025标准偏差蒙特卡罗标准偏差（10对数标度）混合+正向EulerTruncated Cholesky 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.5 6.0模拟05010150200250seconds计算时间混合+正向EulerTruncated Cholesky图4。使用高效并行计算的两种方法的蒙特卡罗标准偏差和固定到期日（T=2年）的计算时间。10安托万·贾奎尔、克劳德·马丁尼和艾托·穆古鲁扎3.4。VIX过程和对数正态近似。我们现在研究定价VIX期货和期权的近似方法。我们定义了FT可测量的随机变量VIXT=RT+TξT（T）dt。在[3]中，拜耳、弗里兹和Gatheral假设(VIXT）遵循高斯分布，并直接计算其一阶和二阶矩，因此充分描述了VIXT。然而，由于对数正态随机变量的总和（通常）不是对数正态，ξTis log normal并不意味着振动。在不同的背景下（几何布朗运动和亚式期权），Dufresne[11]证明，在某些条件下，对数正态变量的积分渐近收敛到对数正态。这种近似已被广泛应用于许多应用领域【11】，杜弗涅的结果激发了拜耳弗里兹-Gatheral的假设。我们在这里提供了该分布的平均值和方差的精确公式，并将其与拜耳-弗里兹-Gatheral的公式进行了数值比较。提案3.8。

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2022-5-31 01:25:25

以下情况适用：σ：=V（对数(VIXT））=-2日志E(VIXT）+对数E(VIXT）,u：=E（对数(VIXT））=日志E(VIXT）-σ。此外，E(VIXT）=RT+Tξ（T）dt和（3.6）E(VIXT）=Z[T，T+]ξ（u）ξ（t）expνCHH（u）- T）2H+（T- T）2H- u2H- t2H型eΘu，tdudt。式中，如果u=t，则Θu等于零，否则等于Θu∨t、 u型∧t、式中，Θu，t：=2νCHu2H- （u）- T）2H+t2H- （t- T）2H2H+2（u- t） H类-H类+tH+F-tu公司- t型- （t- T）H+FT- tu公司- t型.备注3.9。由于命题中的所有积分都是在紧区间上计算的，只要ξ在[T，T+]. 假设确实如此，则在实践中并不具有限制性，因为ξ表示初始远期方差曲线；特别注意ξ的连续性是有效的。备注3.10。之所以这样定义Θu，是出于数字目的。事实上，当u<t，Θu时，没有很好的定义，因为F（x）只有在x时才有意义≤ 1（关于超热学函数收敛半径的详细信息，请参见【2】【第556页】），尽管积分表示（3.6）仍有明确定义。然而，大多数数值包通过级数展开实现超几何函数。Θu，ttoΘu的trick让我们绕过这个问题。命题3.8的证明。这个期望直接来自于塔的性质和富比尼定理。对于第二个时刻，我们使用分解(VIXT）= EZT公司+坦桑尼亚先令+TξT（u）ξT（T）dtdu=ZT公司+坦桑尼亚先令+TE（ξT（u）ξT（T））dtdu，在最后一步中，我们使用ξT（s）是FT可测量的，以便应用Fubini。

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2022-5-31 01:25:30

利用命题3.2中得到的表达式，我们得到（3.7）E（ξT（u）ξT（T））=ξ（u）ξ（T）expνCHH（u）- T）2H- u2H+（t- T）2H- t2H型Eeθu，t,其中，随机变量θu，t：=2νCHZT（u）- s） H类-+ （t- s） H类-粗糙BERGOMI模型11中的dZsON VIX期货为高斯型，具有零期望和方差V（θu，t）=4νCHu2H- （u）- T）2H+t2H- （t- T）2H2H+2ZT（u- s） H类-（t- s） H类-ds！=4νCHu2H- （u）- T）2H+t2H- （t- T）2H2H+2（u- t） H类-H类+tH+F-tu公司- t型- （t- T）H+FT- tu公司- t型.那么，E（ξT（u）ξT（T））=ξ（u）ξ（T）expνCHH（u）- T）2H+（T- T）2H- u2H- t2H型经验值V（θu，t）,第二个力矩来自即时计算(VIXT）=ZT公司+坦桑尼亚先令+TE[ξT（u）ξT（T）]dudt=ZT+坦桑尼亚先令+Tξ（u）ξ（T）expνCHH（u）- T）2H+（T- T）2H- u2H- t2H型eV（θu，t）dudt，定义后Θu，t：=经验V（θu，t）. 为了提供波动率指数期货和期权的封闭式表达式，我们实施以下假设：假设3.11。振动日志正常。事实上，这与拜耳、弗里兹和Gatheral的假设几乎相同[3]；然而，他们并没有像命题3.8那样精确地计算方差，而是考虑了对数正态近似假设3.12（拜耳-弗里兹-Gatheral）。日志(VIXT）是高斯分布，平均值为u，方差为σ，由σ=4νCH给出H+ZT（T- s+)H类+- （T- s） H类+ds和￠u=logZT+Tξ（T）dt-σ。引理3.13。VIX的未来是值得的=-1/2秒ZT+Tξ（T）dt exp-σ, 根据假设3.11，-1/2秒ZT+Tξ（T）dt exp-σ, 根据假设3.12。证据根据假设，自1/2VIXT= 经验值u+σN（0,1）, VIX期货价格直接读取（VIXT | F）=-1/2E1/2VIXT= -1/2经验u+σ,第二种情况类似。与模拟方案相反，对数正态近似确实取决于初始正向方差曲线ξ（·）的定性性质。因此，应分析不同的曲线，以检查该方法的稳健性。

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2022-5-31 01:25:34

现在，我们利用假设3.11中的近似值，获得VIX上欧式期权的闭式Black-Scholestype公式。12安托万·贾奎尔、克劳德·马丁尼和艾托尔·穆古鲁扎莱玛3.14。为了0≤ t型≤ T，设VT（T）：=E（VIXT | Ft）表示VIX未来到期时间T的价格。然后，在假设3.11下，以T到期的VIX期货的欧洲看涨期权是值得的CVT：=E[（VT（T））- K） +| F]=-1/2秒ZT+Tξ（T）dt exp-σΦ（d）- KΦ（d），其中ek：=[对数（K)-logRT公司+Tξ（T）dt+σ/2]/σ，d：=-eK+σ和d：=-eK，σ如命题3.8证明中所示。在假设3.11下，引理直接来自以下琐碎的计算：E（VT（T）- K） +=Z∞eKh公司-1/2经验u+σz- Ki+φ（z）dz=√经验值u+σZ∞eKφz-σdz公司-KΦ（d）。3.4.1。对数正态近似的数值试验。我们使用（3.5）中的参数对波动率指数期货进行定价，从而对近似值进行数值分析。我们考虑（3.4）中介绍的10个模拟和三个定性场景，用于前向方差曲线。图5表明，近似值的精度为0.0 0.5 1.0 1.5 2.0饱和度0.1850.1900.1950.2000.2050.2100.2150.2200.2250.230PriceVIX期货情景1对数正态近似截断Cholesky0.0 0.5 1.0 1.5 2.0饱和度0.00000.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.0009差分0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0饱和度0.200.250.300.350.400.450.500.550.60PriceVIX期货情景2对数正态近似截断Cholesky0.0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.00000.00050.00100.00150.00200.0025差异绝对差异0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.2250.2300.2350.2400.2450.2500.255价格期货情景3对数正态近似截断Cholesky0.0.5 1.0 1.5 2.0成熟度0.00000.00020.00040.00060.00080.00100.00120.0014差异b绝对差异图5。对数正态近似与。

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mingdashike22

2022-5-31 01:25:38

所有三种情况下的蒙特卡罗（截断Cholesky）。与订单10不同-3或更少。这种差异的振荡性质也是一个好的迹象，因为它可能是由蒙特卡罗误差引起的，并且没有表现出任何单调性。此外，粗略BERGOMI模型13中的methodON VIX期货对不同类型的曲线ξ（·）具有鲁棒性。此外，对数正态近似似乎收敛于真平均值，避免了截断Cholesky方法的振荡。因此，我们可以得出这样的结论：对数法线近似产生了良好的输出，具有所需的平滑特性。另一方面，我们还分析了欧洲VIX看涨期权，重复前面的参数，并考虑了情景1中的FL at forwardvariance曲线。图6显示，对数正态近似对于即时支付0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.120.130.140.150.160.170.18买入价格VIX看涨期权ATM对数正态近似蒙特卡罗（Cholesky）0.0 0.5 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.00000.00050.00150.00200.0025差分图6。对数正态近似与蒙特卡罗（截断的Cholesky）的比较，有10个模拟选项。然而，这种差异随着到期日的增加而增加，因此在使用这种近似值来计算长期期权价格时必须小心。然而，实际上，在股票市场上，流动期限只有两年。3.4.2。数值试验。我们用参数sin（3.5）将拜耳-弗里兹-Gatheral的近似值与我们的近似值进行了比较。图7和图8表明两者相似。特别是，我们观察到，随着饱和度的增加，方差会发生偏差。然而，出于实际目的，这两种近似值在四年期限内一致，时间足够长，足以涵盖可用的期货数据。

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2022-5-31 01:25:41

ξ（t）的许多函数形式也进行了测试，给出了与图7和图8所示结果相似的结果。我们得出的结论是，拜耳、弗里兹和Gatheralis的近似值足够精确，可用于实际目的，并可显著降低计算成本，因为∑的计算涉及单积分，而我们的近似值需要二重积分（σ）。特别是，为了生成图7，我们的近似值比拜耳、弗里兹和Gathereal的0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.170.180.190.200.210.220.23VIX期货价格对数标准慢40倍。拜耳、弗里兹和Gathereal的近似值0.0 0 0.5 1.0 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.000150.000200.000250.000300.000350.00040绝对差异图回复7。波动率指数期货价格遵循假设3.11和假设3.12.3.5。rBergormi中的VIX期货校准。鉴于在前几节中获得的有希望的结果，我们创建了一个基于Bayer、Friz和Gathereal的对数正态近似的校准算法[3]。即使我们的近似似乎更精确，计算成本也要大得多，差异14 ANTOINE JACQUIER、CLAUDE MARTINI和AITOR MUGURUZA0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0成熟度0.00.51.01.52.02.5方差演化我们的方法Bay，Friz&Gatheral0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0饱和度0.0060.0080.0100.0120.0140.016绝对差绝对差图8。比较假设3.11（σ）和假设3.12（σ）后的方差。这两种方法之间的差距非常小。此外，Bayer、Friz和Gatheral的方法允许以半显式形式计算目标函数的梯度，这在优化和校准方面非常有用。3.5.1。目标函数。

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2022-5-31 01:25:45

为了将模型校准为波动率指数期货，我们首先确定目标函数（3.8）LF（ν，H）：=NXi=1（VTi- Fi），我们将其最小化（ν，H）。此处（Fi）i=1，。。。，在时间网格T<…<TN，VTi=-1/2qRTi+Tiξ（t）dt exp-σi. 和￠σi=4νCHH+“（Ti+)1+2小时+- 1+2H++T1+2H+i1+2H+- 2T1+H+iH+1+H+F-H+，1+H+，2+H+，-Ti公司#,这是假设3.12中方差的闭合表达式。在许多优化算法中，目标函数的梯度是重要的信息来源。为了计算它，我们区分（3.8）中关于ν和H的目标函数，并应用链式规则：LF公司ν（ν，H）=-NXi=1（VTi- Fi）VTiσiν=-2νNXi=1（VTi- Fi）VTi￠σi，其中σiν=8νCHH+ZTi（Ti- s+)H类+- （Ti- s） H类+ds=2￠σiν。另一方面LF公司H（ν，H）=-NXi=1（VTi- Fi）VTiσiH、使用σiH=4νCH公司HH小时+- 8νCHH+ZTi（Ti- s+)H类+- （Ti- s） H类+ds+8νCHH+ZTih（Ti- s+)H类+- （Ti- s） H+i（Ti- s+)H+对数（Ti- s+) - （Ti- s） H+对数（Ti- s）ds=△σi（KH- 2） H++8νCHH+ZTi（Ti- s+)H类+- （Ti- s） H类+（Ti- s+)H+对数（Ti- s+) - （Ti- s） H+对数（Ti- s）ds，关于粗略BERGOMI模型中的波动率指数期货15，其中CH公司H=2Γ（2- H+Γ（H+）Γ（1- 2小时-)n1+[2ψ（2- H+）- ψ（H+）- ψ（1）- 2小时-)] Hoand KH=H+Hn1+Hψ（2- H+）- H（ψ（H+）+ψ（1- 2小时-))o、其中ψ是digamma函数。3.5.2。获得初始正向方差曲线。初始远期方差曲线在Bergomi模型[5]和粗糙Bergomi模型[3]中都起着至关重要的作用，因为它是一种市场输入。具体而言，它取决于方差掉期的当前期限结构。即使方差掉期没有在标准交易所市场进行交易，它们也会在场外（OTC）进行积极交易。这反过来意味着没有可观察的数据，我们必须建立方差掉期的估价方法。

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可人4

2022-5-31 01:25:48

卡兰德·马丹（CarrandMadan）[8]著名的静态复制公式在这里适用，因为基本过程是连续半鞅，允许我们对任何方差交换进行定价。尽管如此，所有可能的罢工都需要现金买入和卖出期权价格。由于该信息在实践中不可用，因此可以采用无模型估值公式或直接提出隐含波动率面的参数化。第一种方法涉及静态复制公式的离散化，这是芝加哥期权交易所计算VIX指数的方式。然而，要将这一计算扩展到大型到期债券（波动率指数是一个提前30天的指数），期权的流动性可能会发挥主要作用，这并不容易。另一方面，第二种方法允许使用可用数据校准模型，并允许对所有罢工和到期日的可用期权数据进行插值/外推。在这项工作中，我们遵循后一种方法，对隐含可用性曲面进行eSSVI参数化[18]，这是[16]中引入的SSVI参数化的一个补充：（3.9）σBS（t，k）t=w（t，k）：=θt1+ρ（θt）Д（θt）k+q（Д（θt）k+ρ（θt））+1- ρ（θt）,其中θ是观察到的ATM方差曲线，其中形状函数Д（·）的形式为Д（θ）=ηθ-λ（1+θ）λ-1、对于相关参数ρ（·），我们将其限制为以下函数形式：（3.10）ρ（θ）=（A）- C） e类-Bθ+C，对于（A，C）∈ (-1，1），B≥ 0，确保|ρ（·）|≤ 1、我们将通过σBS（·）t或w（·）模糊地指代总隐含方差，其中σBS（·）表示隐含波动率。Gatheral和Jacquier【16】发现（有效且几乎必要）参数ρ、Д（·）、η和λ存在阻止套利的条件。在eSSVI公式中，相关性有一个术语结构（3.10），必须小心避免套利。

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nandehutu2022

2022-5-31 01:25:51

具体来说，在[18]之后，限制（3.11）|θθ（ρ（θ））+ρ（θ）γ|≤ γ、式中γ：=θ（θД（θ））/Д（θ），是排除日历价差套利的必要条件。为了防止黄油溢出，正如SSVI参数化一样，有必要检查不等式θtД（θt）（1+|ρ（θt）|）≤ 4对所有到期日t均有效。在这种参数化中，方差掉期可以以封闭形式计算，如Martini[21]所证明的，基于Gathereal[13]和Fukasawa[12]的早期工作：命题3.15。eSSVI模型中方差掉期的公平执行（总方差）为σ（t）t：=-2E日志StS公司=bt+2at（ct+θt）2at，其中χt：=[1- ρ（θt）]θtД（θt），andat=1+θtД（θt）ρ（θt）-χt, bt=θtД（θt）[χt- ρ（θt）]，ct=θtД（θt）χt.16安托万·贾基尔、克劳德·马丁尼和艾托·穆古鲁扎尔关于方差掉期和前向方差曲线之间的关系，我们得到ξ（t）=ddttσ（t）= σ（t）+tddtσ（t）。备注3.16。为了内插/外推eSSVI，还需要对所有t进行内插/外推θt。然而，θt仅在一组离散的到期日上观察到，因此，使用三次样条曲线对所有其他到期日进行内插/外推。3.5.3。标定算法和数值结果。我们于2015年12月4日首次在PX隐含波动率面上校准eSSVI参数化（3.9）。图9显示了数据集中可用的最短、中等和最长到期日的fit。对于短期到期债券，eSSVI无法完全捕捉波动率微笑，但随着到期日的增加，波动率显著提高。

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2022-5-31 01:25:55

对于VIX期货，校准0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04Log-moneyness0.100.150.200.250.300.350.400.45 2015-12-11AskBideSSVI0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 Log-moneyness0.00.10.20.30.50.6 2016-02-29AskBideSSVI1.0.5 0.0 0.5 0.5Log-moneyness0.100.150.200.250.300.350.400.45到期时的隐含VolS&P 500数据2017年12月15日ASKBidessvifigure 9。2015年4月12日使用交易SPX期权的eSSVI校准结果。算法内容如下：算法3.17（粗略Bergomi模型中的VIX期货校准算法）。（i）根据可用的SPX选项数据校准eSSVI；（ii）计算方差掉期期限结构（σ（t））t≥0使用命题3.15；（iii）通过ξ（t）提取初始正向方差曲线ξ（·）≈ σ（t）+σ（t+ε）-σ（t-ε） 2εt（ε=1E- 8）；（iv）将（3.8）中的目标函数最小化（超过ν，H）。图10-12表明，该模型非常符合观察到的不同日期的波动率指数期货期限结构。此外，我们注意到，就粗糙BERGOMI模型17的凸/凹性而言，模型和观测数据在质量上是相等的。在粗略的Bergomi模型中，该信息是通过ξ从期权价格中获得的，这表明VIX期货和SPX期权之间的市场对应关系。然而，我们还观察到，在所有三种情况下，短期到期的误差都较大，这与短期到期的eSSVI校准极限相似，如第3.5.2.0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8节所述，成熟度0.1650.1700.1750.1800.1850.1900.1950.2000.2050.210VIX期货价格VIX期货期限结构对数正态近似观测VIX期货期限结构0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8成熟度0.0000020.00040.00060.00080.00100.00120.00140.00160.0018绝对差异e差异绝对差异图10。

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可人4

2022-5-31 01:25:59

2015年4月12日VIX期货校准。最佳参数：（H，ν）=（0.09237，1.004）。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8饱和度0.2000.2050.2100.215波动率期货价格波动率期货期限结构对数正态近似观察到的波动率期货期限结构0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7饱和度0.00000.00020.00040.00060.00080.00100.0012绝对差异绝对差异图11。2016年2月22日VIX期货校准。最佳参数：（H，ν）=（0.10093，1.00282）。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7饱和度0.1940.1960.1980.2000.2020.2040.2060.2080.210VIX期货价格VIX期货期限结构对数正态近似观察到的VIX期货期限结构0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7饱和度0.0000020.00040.00060.00080.00100.00120.00140.0016绝对差异绝对差异图12。2016年4月1日VIX期货校准。最佳参数：（H，ν）=（0.0509，1.2937）。备注3.18。读者应回忆起初始前向方差曲线（ξ（t））t的重要性≥0在VIX期货过程中，自（Vt）t≥0取决于ξ到时间t的整个路径。因此，即使ξ仅适用于短期债券（如eSSVI），这也会影响VIX流程的整个期限结构（有关详细信息，请读者参阅第3节）。因此，改进的ξ估计不仅可以提高短期债券模型的准确性，而且可以提高整个期限结构的准确性。18安托万·贾奎尔、克劳德·马丁尼和艾托尔·穆古鲁扎雷马克3.19。我们的校准涉及两个不同的数据集，即SPX期权和VIX期货：Vanillaquotes从CBOE延迟期权报价页面中提取，VIX期货从CBOE VIX期货历史数据页面中提取。

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2022-5-31 01:26:02

我们对不同的期货报价进行了汇总，因为它们是在每个期货的基础上进行报价的，并通过比较期货曲线的左端离差与根据期权价格计算的理论VIX来检查两个数据集之间的一致性。4、从VIX期货到SPX期权在最后一章中，我们评估通过VIX期货校准算法获得的赫斯特参数H是否与SPX期权一致。为此，我们通过筛选参数H并让算法校准ν和ρ，将粗糙Bergomi模型校准为SPXoption数据。fix H的一个主要原因是，第2.1节中引入的混合方案显著地将其复杂性降低到了O（n），因为Volterra的O（n log n）复杂性只计算一次，然后重新使用。因此，当进行多次估价时，通过选择H，定价方案的速度要快得多，校准算法也是如此。4.1。粗略Bergomi模型中的定价。我们提出了一种定价方案，其中Volterra过程使用混合方案模拟，而标准Euler方案生成股票过程的路径：算法4.1（粗糙Bergomi模型的模拟）。考虑网格T：={ti}i=0，。。。，nT和fixκ≥ 1.（i）使用混合格式在网格T上模拟Volterra过程V；（ii）将方差过程模拟为Vt=ξ（t）E（2νCHVt），对于t∈ T和where（[V]T）T≥0在（2.7）中给出；（iii）提取布朗运动Z驱动V:Zti=Zti的路径-1+nH-（V（ti）- V（ti-1），对于i=1，κ、 Zti=Zti-1+字-1，对于i>κ；计算{Z⊥}nT公司-1i=0，其中Z⊥我= N（0，1/nT）是一个独立的标准高斯样本；（iv）通过Wti关联两个布朗运动- Wti公司-1=ρZi-1+p1- ρZ⊥我-1.（v）使用正向Euler方案模拟Sti=exp（Xti）：Xti+1=Xti-Vti（ti+1- ti）+pVtiWti+1- Wti公司, 对于i=0。

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2022-5-31 01:26:05

，nT- 1.（vi）通过对每条路径的所有终值进行平均来计算期望值。4.2。通过VIX期货校准SPX期权。我们首先按照校准算法3.17获得H和ξ，然后我们的目标是在（ν，ρ）上最小化目标函数（4.1）LC（ν，ρ）：=LXj=1NXi=1（CTi，j- Cobsi，j），其中CTi，jis是由粗略的Bergomi模型给出的买入价格，使用第4.1节引入的方案计算，到期日和行权K（j）。另一方面，（Cobsi，j）i，jis在时间网格T<…<t和走向网格K（1）<…<K（L）。为了优化校准算法，我们首先计算Volterra过程V，然后在每个校准步骤的正向Euler模拟中使用该过程：CBOE延迟选项报价：http://www.cboe.com/delayedquote/quotetable.aspxCBOEVIX期货历史数据：http://cfe.cboe.com/data/historicaldata.aspxON粗略BERGOMI模型中的VIX期货19算法4.2（通过VIX期货的SPX期权校准算法）。（i）使用VIX期货校准H和ξ；（ii）计算Volterra过程的M条路径{V（u）}Mu=1，并提取布朗运动{Z（u）}Mu=1驱动每一过程。另外，计算独立的布朗运动{Z⊥（u） }Mu=1；（iii）评估每个校准步骤中的买入价：V（u）t=ξ（t）E2νCHV（u）t, u=1，M、 W（u）=ρZ（u）+p1- ρZ⊥（u），u=1，M、 S（u）t+= S（u）t+S（u）tqv（u）tW（u）t+- W（u）t, u=1，M（iv）计算每个可用到期日{T，…，TN}和行权集{K（1），…，K（L）}的买入价格：CTi，j=MMXu=1（S（u）Ti- K（j））+，对于i=1，N和j=1，L（v）最小化（4.1）中目标函数LC（ν，ρ）的（ν，ρ）。备注4.3。上述算法中的第（v）项可能会改变ν的最佳值，该值最初在VIX期货的第（i）项中校准。

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2022-5-31 01:26:09

然而，回溯测试表明，（i）中的校准实际上并不受此影响。4.3。后果我们于2015年12月4日对模型进行了校准，之前通过HVIX获得的拟合H=0.09237，并在图13中绘制了拟合图。对于短期到期，该模型并不完全一致，这可能是因为ξ无法完全捕捉这些到期的微笑，但随着到期，该模型会大大改善。有趣的是，我们观察到通过VIX校准获得的参数ν与通过SPX获得的参数ν之间存在20%的差异。这表明，与波动率指数相比，SPX市场的波动率高出20%，揭示了潜在的数据不一致性（套利？）。然而，我们强调准确的ξ曲线对于改善SPX的fit和提供有效的联合校准的重要性。0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04对数货币性0.050.100.150.200.250.300.350.400.45 2015-12-11AskBidrBergomi0.4 0.3 0.2 0.1 0.0对数货币性0.00.10.20.30.50.6 2015-12-31AskBidrBergomi0.6 0.5 0.4 0.3 0.1 0.0.0 0.1 0.2Log-Moneyness 0.00.10.20.30.40.50.6到期时的隐含VolS&P 500数据2016-01-29AskBidrBergomi0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 0.2Log-moneyness 0.00.10.20.30.40.50.6到期时的隐含VolS&P 500数据2016-02-26AskBidrBergomi1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 0.2Log-moneyness 0.10.20.30.50.6到期时的隐含VolS&P 500数据2016-03-31AskBidrBergomi1.0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2Log-Moneyness 0.00.10.20.30.40.50.6 2016-06-30AskBidrBergomiFigure 13到期时的隐含VolS&P 500数据。2015年4月12日校准SPX smiles。

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2022-5-31 01:26:12

校准参数：（ν，ρ）=（1.19，-0.999）。20安托万·贾基尔（ANTOINE JACQUIER）、克劳德·马蒂尼（CLAUDE MARTINI）和艾特·穆古鲁扎（AITOR Muguruzaconclusion）结论遵循拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和盖瑟拉尔（Gatheral）[3]设定的路径，我们在此开发了一种相对快速的算法，用于在粗糙的伯戈米模型中校准波动率期货和波动率微笑，与SPX微笑一致。该模型的优点在于只需要很少的参数，使得（重新）校准具有鲁棒性和稳定性。从交易者的角度来看，我们强调了波动率指数和标准普尔指数之间的一些潜在市场差异，并对其进行了详细分析，以供未来研究。附录A.混合方案简要回顾了【4】中开发的混合方案。按照定义2.1中的表示法，我们考虑一个（截断的）布朗半平稳过程B（α，W），并引入截断参数κ∈ N、在等距网格T上：={ti=i/N}i=0，。。。，nT，带nT：=bnT c，用于n≥ 2，在定义2.1下，BSS过程B的混合模式近似为Bn（ti）=eBn（i）+bBn（i），其中eBn（i）=i∧κXk=1Lg千牛σ我- 千牛Wi公司-k、 kandbBn（i）=iXk=κ+1gb*千牛σ我- 千牛Wi公司-k、定义2.1中引入了lg，其中（A.1）Wi：=Zti+1tidWs，Wi，k：=Zti+1ti（ti+k- s） αdWs，b*k级=kα+1- （k）- 1） α+1α+11/α，对于k≥ κ+1。对于任意i，k，随机变量Wi和Wi，kare以高斯为中心，具有以下协方差结构：EWi，kWi=kα+1- （k）- 1） α+1nα+1α+1和EWi，kWj= 0，对于k 6=j，EWi、kWi、j=Z1/n千牛- uαjn公司- uαdu，对于k 6=j，VWi，k=k2α+1- （k）- 1） 2α+1 N2α+12α+1，VWi公司=n、参考文献[1]E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4），571-5892007【2】M.Abramowitz和I.A.Stegun。数学函数手册。华盛顿特区，1965年。[3] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatheral。粗略波动下的定价。

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