粗糙Bergomi模型的路径大偏差

2022-5-31 23:31:50

粗糙BERGOMI模型的路径大偏差Antoine JACQUIER、MIKKO S.PAKKANEN和HENRY STONEAbstract。最近，拜耳、弗里兹和Gatheral在《数学金融》杂志上介绍了roughBergomi模型，该模型被证明特别有效地校准了期权市场。我们在此研究它的一些概率特性，特别是证明了该模型的小噪声版本的路径大偏差原则。指数函数（连续但超线性）以及波动过程中出现的漂移超出了现有结果的范围，需要进行专门的分析。1、简介Black-Scholes模型（假设波动率为常数）在波动率为随机的情况下的扩展已成功解释期权价格数据中观察到的某些现象，尤其是隐含波动率微笑。然而，这种随机波动率模型的主要缺点是，它们无法捕捉到接近成熟期的隐含波动率微笑的陡峭程度。虽然选择将跳跃添加到股价模型中，例如将股价过程建模为指数L'evy过程，确实会产生更陡的隐含波动率微笑[17]，但股价过程中是否存在跳跃的问题仍然存在争议[6，12]。作为经验L'evy和经典随机波动率模型的替代方案，可以选择分数布朗运动或具有类似特性的过程来驱动波动率过程，而不是标准布朗运动。由于波动性既不可直接观察也不可交易，因此在这种情况下，有时与分数布朗运动相关的套利问题不会出现。分数布朗运动是一个中心高斯过程，其协方差结构依赖于赫斯特参数H∈ (0, 1).

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2022-5-31 23:31:53

如果H∈ （0，1/2），则分形布朗运动具有负相关增量和“粗糙”样本路径，如果H∈ （1/2，1）然后，与标准布朗运动相比，它具有正相关的增量和“平滑”样本路径，通过takingH=1/2恢复。近年来，数学金融界对分数布朗运动及其相关过程重新产生了兴趣。具体而言，Gatheral、Jaisson和Rosenbaum【25】进行了一项实证研究，表明对数波动性在短时间尺度上以类似于分数布朗运动的方式表现，赫斯特参数H≈ 0.1. Bennedsen、Lunde和Pakkanen【8】对这一发现进行了验证，他们研究了一千只美国股票，发现每只股票的赫斯特参数H都位于（0，1/2）。此外，与经典随机波动率模型相比，这种所谓的“Rough”波动率模型能够捕捉到观察到的小时间隐含波动率微笑的陡度和货币倾斜的期限结构。继[25]之后，拜耳、弗里兹和加泰拉尔[4]提出了所谓的粗糙Bergomi模式l，他们利用该模式对综合波动率和基础本身的期权进行定价。他们的模型的优势在于，根据[8，25]，它捕捉到了对数波动率的粗略行为，并且其观察到的隐含波动率微笑优于传统的马尔可夫随机波动率模型，在接近成熟的情况下最为显著。这项工作[3、21、22]研究了粗挥发性模型的短期行为。尽管最近在粗糙Bergomi模型的模拟方法方面取得了进展[7，29]，但有必要日期：2018年12月14日。2010年数学学科分类。初级60F10、60G22；次级91G20、60G15。关键词和短语。

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2022-5-31 23:31:56

粗糙波动率，大偏差，小时间渐近，高斯测度，再生核希尔伯特空间。AJ感谢EPSRC第一笔赠款EP/M008436/1的财政支持。HS感谢EPSRC C DT inFinancial Computing and Analytics提供的财务支持。MSP感谢丹麦国家研究基金会资助的CREATES（DNRF78）的部分支持。2 ANTOINE JACQUIER、MIKKO S.PAKKANEN和HENRY Stone试图对该模型的特性有更深刻的分析理解。具体而言，在本文中，我们证明了该模型的路径大偏差，这允许描述其小时间行为。拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）、古利萨什维利（Gulisashvili）、霍瓦思（Horvath）和斯坦珀（Stemper）[5]最近获得了相关结果，大偏差理论现在是标准随机波动率模型[13、18、20、28、30]及其粗略对应模型[5、19]中此类分析的常用工具。在第二节中，我们介绍了与cor相关的粗糙Bergomi模型及其主要性质，并给出了本文的主要结果；具体而言，是一种小时间大偏差原则，用于标准化过程的重新标度。在第三节中，我们介绍了证明本文主要结果所需的高斯测度理论中的几个要素和大偏差。

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2022-5-31 23:32:00

在第4节中，我们给出了主要结果的证明，第5节阐述了不相关粗糙B ergomi模型的类似大偏差结果。符号：符号L：=L（T，R）表示某些索引集T上实值平方可积函数的空间，Cd：=C（T，Rd）表示T上Rd值连续函数的空间。尽管我们的结果可以很容易地适用于广义区间[0，T]，但对于本研究的其余部分，Weshall fix T=[0，1]。我们将进一步表示T上有限变量的路径空间BV，R+：=[0，∞).对于属于C=C的两条路径x和y，我们用zxy表示二维路径（x，y）. 现在，I（zxy）（t）表示积分（无论何时定义）Rtpx（s）dy（s）；当积分在整个时间段【0，1】上进行时，表达式I（zxy）应为us e D，且x·y：=Rx（s）dy（s）。2、模型和主要结果我们假设一个给定的过滤概率空间(Ohm, A，（Ft）t≥0，P），其中过滤满足通常的条件，并且这里的所有随机过程都假设存在于该概率空间上。2.1. 粗糙Bergomi模型及其主要性质。拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和盖瑟尔（Gatheral）[4]介绍了伯尔·戈米（Ber gomi）的“第二代”随机波动率模型的非马尔可夫推广，他们称之为“rough Berg-omi”模型。设Z为路径定义为（2.1）Zt的过程：=ZtKα（s，t）dWs，对于任何t≥ 0，其中α∈-, 0, 标准布朗运动，核Kα：R+×R+→ R+读数（2.2）Kα（s，t）：=η√2α+1（t- s） α，对于所有0≤ s<t，对于某些严格正常数η。注意，对于任何t≥ 0，地图s 7→ Kα（s，t）属于L，因此随机积分（2.1）定义良好。

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2022-5-31 23:32:03

粗略的Bergomi模式l，其中X是对数股价过程，v是波动过程，然后定义为（2.3）Xt=-Ztvsds+Zt√vsdBs，X=0，vt=vexpZt公司-ηt2α+1, v> 0，其中布朗运动B定义为B：=ρW+p1- ρW⊥对于ρ∈ [-1，1]和一些标准布朗运动W⊥独立于W。过滤（Ft）t≥这里可以看作是二维布朗运动（W，W⊥).提案2。二维高斯过程（Z，B）以协方差结构COV为中心ZtBt公司,ZtBt公司=ηt2α+1tα+1tα+1t,E（ZsZt）=Zs∧tKα（u，s）Kα（u，t）du=η（2α+1）α+1（s∧ t） 1+α（s∨ t） αF1.-α、 2+α，s∧ ts∨ t型,对于任何s，t≥ 0，带 :=ρη√2α+1α+1和高斯超几何函数[37，第5章，第9节]。粗糙BERGOMI模型3Proof的路径大偏差。在不丧失一般性的情况下，首先假设s<t。这意味着E（ZsZt）=η（2α+1）Rs（t- u） α（s- u） αdu=tαs1+αR（1- v） α（1- sv/t）αdv，其中第二个等式来自变量的变化。利用高斯超几何函数的E uler积分表示，可以得出如下结论：-u） α（s- u） αdu=α+1F(-α, 1; α + 2; s/t），这是一个命题。命题2.1特别暗示了过程Z不是静止的，并且以下结论成立：推论2.2。过程Z是（α+）自相似的：对于任何a>0的过程，过程（Zat）t≥0和（aα+Zt）t≥0在分布上相等。然后注意，参数α决定Z的局部和长期行为。备注2.3。

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2022-5-31 23:32:06

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2022-5-31 23:32:09

从地图t 7开始→ t2α+1对所有γ也是局部γ-H-older连续的∈ （0，2α+1），尤其是对于所有γ∈ （0，α+1/2），因此，对于所有γ，过程日志v具有局部γ-H-更连续的曲线修正∈ (0, α +). 作为比较，分数布朗运动有s条对任何γ都是γ-H–older连续的路径∈ （0，H）[9，定理1.6.1]，因此，粗略的Bergomi模型也通过识别α=H来捕捉这种充分性- 1/2；特别是，对于H=1/2的标准布朗运动，这些轨迹比标准布朗运动的轨迹更粗糙。2.2。主要结果。对于任何函数Д、Д：R+×R+→ R、介绍定义为（2.4）IДf：=Z·И（u，·）f（u）du和IДf的斜率s IД和IДД：=IИfIИf.每当函数Д是常数时，比如说等式到c，我们都应该写icm，没有歧义。我们还定义了空间HИИ：=IИИf:f∈ L很明显，这是一个希尔伯特空间，曾被赋予内部产品安托万·贾奎尔、米科·S·帕克卡南和亨利·斯通IИИf，IИДfHД：=hf，fiL，其中Д，Д为注射型，使内积定义良好。对于t，ε≥ 0，现在确定重定标过程（2.5）Xεt：=εβXεt，Zεt：=εβ/2Ztd=Zεt，vεt：=ε1+βvexpZεt-η（εt）β, Bεt：=εβ/2Bt，其中β：=2α+1∈ （0，1）。特别注意，对于任何t，ε≥ 0，Zεtand Zεtare定律相等，soare vεtandε1+βvεt，这反过来意味着以下表达式适用于任何t≥ 0:Xεt：=εβXεtd=εβZεt√VSDB-Zεtvsdsd=εβZt公司√vεsdBεs-εZtvεsdsd=Ztpε1+2βvεsdBs-Ztε1+βvεsdsd=ZtpvεsdBεs-Ztvεsds。（2.6）我们现在陈述本节的主要结果，即重定标过程序列（Xε）ε的路径大偏差原则≥我们首先回顾了一些关于实可分Banach空间（E，k·kE）上的大偏差的事实，并以[15]为指导。定义2.5。

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2022-5-31 23:32:12

A函数∧：E→ [0, +∞] 如果它是下半连续的，也就是说，如果，对于所有x∈ E，lim infx→x∧（x）≥ ∧（x）。定义2.6。一类概率测度（με）ε≥0on（E，B（E））表示满足大偏差原则（LDP），因为ε随速度ε趋于零-1和速率函数∧if，对于任何B∈ B（E），（2.7）- infx公司∈Bo∧（x）≤ lim infε↓0εloguε（B）≤ lim supε↓0εloguε（B）≤ - infx公司∈B∧（x），其中B和Bo分别表示B的闭包和内部。相应地，一个随机过程（Yε）ε≥如果概率测度族（P（Yε∈ ·))ε≥0满足LDP，因为ε趋于零。除非另有说明，此处的allLDP应为ε趋于零，因此为了简单起见，我们将不再提及。为了说明我们的结果，我们现在定义了运算符M:C→ C（T×R+，R+×R）as（2.8）（Mzxy）（T，ε）：=（mx）（t，ε）y（t）对于所有t∈ T，ε>0，其中运算符m:C→ C（T×R+，R+）定义为（2.9）（mx）（T，ε）：=vε1+βexpx（t）-η（εt）β,以及函数∧*, ∧：C→ R+定义为∧*（zxy）：=kzxykHKαρ和∧（zxy）：=infn∧*（zxy）：zxy=Mzxyo。定理2.7。序列（Xε）ε≥0以速度ε满足C上的LDP-β和速率函数∧X:C→ [0, +∞]定义为∧X（Д）：=inf∧（zxy）：Д=√x·y，y∈ BV公司∩ C.推论2.8。重新调整的原木股价过程tβXtt型≥0通过速度t在R上满足LDP-βandrate函数∧X（u）：=inf{∧X（Д）：Д（1）=u}，u∈ R、证明。由于Xε和εβXε在定律上是相等的，（εβXε）ε≥0满足LDP速度ε-β和速率函数∧Xby定理2.7以及收缩原理（下面的位置3.16）。用t代替ε完成了证明。备注2.9。

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2022-5-31 23:32:15

最近，Forde和Zhang【19】推导出了r ough volatilitymodels的路径偏差，并将其应用于（通过缩放）相应隐含波动率的小时间渐近。对于对数股价过程，他们采用的模型如下：dXt=-σ（Yt）dt+σ（Yt）dBt，Yt=WHt，粗糙BERGOMI模型5的路径大偏差，其中B是标准布朗运动，WHa（可能相关）分数布朗运动。为了证明LDP，他们考虑了上述SDE的一个小噪声版本，即：dXεt=-εσ（Yt）dt+√εσ（Yt）dBt，Yεt=εHWHt。当然，将他们的结果应用于罗夫-贝戈米模型是很诱人的。不幸的是，以下复杂的ie使得这不可能实现：首先，他们假设函数σ具有最线性的增长，而在粗糙的Bergomi中它是指数增长；其次，他们的标度假设（允许他们将小噪音转换为小时间估计）关键取决于波动过程Y是否无漂移[19，等式（4.4）]，这在粗略的Bergomi中并不成立。定理2.7和推论2.8在数学金融领域有几个潜在的应用，我们现在概述其中两个。一个应用是在粗糙Bergomi模型下建立隐含波动率的小时间行为。然而，这需要首先证明罗格-奥米模型中的股票价格过程是一个真正的鞅，这远远不是微不足道的，也远远超过了本文的sco-pe。另一个潜在的应用是减少路径依赖的蒙特卡罗定价的方差，遵循[36，38，39]中采用的重要性抽样方法。当定义重新缩放的过程ss Xε时，存在一定程度的灵活性。例如，我们可以定义Xεt：=εαXεγt，其中γ：=α/（α/2+5/4）。

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kedemingshi

2022-5-31 23:32:18

在这种情况下，定义（Zε，Bε）：=εγ（α+1/2）（Z，B），vεt：=εα+γvεγt，因此t Xε满足速度为ε的LDP-2γ（α+1/2）和与定理2.7中相同的速率函数。在[26]的上下文中，对于原始过程X，这基本上属于中度偏差的范畴，其标度为1/（h（t）√t），其中h（t）∈ [1，t-1/2]对于足够小的t。备注2.10。下面C轴3.11中的Hilber t空间e HKαρ的结构精确地确定了速率函数∧X。在ρ=0的不相关情况下，HKαρ（及其内积）退化，并且明显∧*没有意义。该病例需要单独处理，并在第5节中进行分析。从m（2.4），e非常zxy∈ 对于某些f，HKαρ的表示形式为zxy=IKαρf∈ 五十、因此，定理2.7中的速率函数可以重写为（2.10）∧X（Д）=inff∈LZf（u）du：Д=IMIKαρf.通过这个公式，很容易看到∧X（0）=0：表示zexy：=mzxy，使用该ex>0，可以得出，如果I（ex，y）=0，则y≡ 0，这反过来意味着f≡ 0，因此∧X（0）=0。此外，由于∧x显然不能取负值，因此其最小值在原点处达到。3、Banach空间上的高斯测度和大偏差在这一部分，我们从高斯测度和大偏差理论中收集了一些元素，以证明定理2.7。该证明需要一定数量的步骤，尤其是与不同过程相关的再生核希尔伯特空间的精确表征。3.1。Banach空间上的高斯测度。集中处理（Zt）t∈它被称为高斯伊恩函数∈ N和任何t，田纳西州∈ T，随机变量Zt，中兴通讯联合高斯；任何这样的过程都完全由其协方差函数表征。

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mingdashike22

2022-5-31 23:32:22

我们将一些基本事实称为巴拿赫空间上的nGaussian测度，这些基本事实是后来需要的，主要遵循Carmona和Tehranchi[10，第3章]。设（E，k·kE）是实的可分Bana ch空间，E*其拓扑对偶（即e上所有线性函数的空间），具有对偶关系h·、·iE*E、双线性泛函h·，·iE*E： E类*×E→ 如果hx*, 谢*对于所有x，E=0*∈ E*（分别为x∈ E）然后x=0（r E sp.x*= 0）[第195页，第2页]。Weshall进一步让B（E）表示E的Borelσ-代数。定义3.1。[10，定义3.1]如果每个f*∈ E*,当通过对偶f 7将其视为随机变量时→ 高频*, 外商投资企业*E、是（E，B（E），u）上的（居中）实高斯随机变量。6 ANTOINE JACQUIER、MIKKO S.PAKKANEN和HENRY Stone以下命题【10，命题3.1】描述了Banach空间上的高斯测度。提案3.2。E上的任何（中心）高斯测度u都是具有连续路径的s ome（centred）高斯过程定律，由一些紧度量空间索引。注意，每一个实值中心高斯过程取E中的值，都会在C上产生一些度量，C是从T到R的连续函数空间。根据命题3.2，可以通过构造相应的高斯过程来构造E上的中心高斯概率度量u。上述论证可以推广到以d维为中心的高斯过程，从而得出高斯测度1=Cd。对于E上的高斯测度u，我们引入有界线性算子Γ：E*→ E as（3.1）Γ（f*) :=ZEhf公司*, 外商投资企业*Efu（df），特别注意hf*, 外商投资企业*Ef是（E，B（E），u）上的E值随机变量。定义3.3。

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mingdashike22

2022-5-31 23:32:24

[10，定义3.3]Hu的再生核希尔伯特空间（RKHS）定义为Γ（E）的完成*) 内积hΓ（f*), Γ（g*)iHu：=ZEhf*, 外商投资企业*Ehg公司*, 外商投资企业*Eu（df）。对于包涵体图谱ι：Hu→ E，空间ι（Hu）在E中密集；然后它允许伴随映射ι*: E*→ H*u该ι*（E）*) 密度为H*u. 还记得Hu和H*u等距同构，我们用H表示*u Hu（根据Riesz表示theo-rem，s R是基础文件）。现在，对于中心高斯Random变量f*关于E，定义3.1如下高频*, 外商投资企业*E=ZEhf公司*, 外商投资企业*流行性出血热*, 外商投资企业*Eu（df）=kf kHu=kι*f*kH公司*u.这产生了以下等效形式的定义3.3，RKH为u【14，第88页】。定义3.4。一个实的、可分离的Hilbe-rt空间Hu，使得Hu 如果以下两个条件成立，则E是μ的RK HS：o存在嵌入I:Hu→ E，即图像为de nsein E的内射连续映射；o任何f*∈ E*是E上的中心高斯随机变量，方差为kI*f*kH公司*u.备注3.5。嵌入不一定是包含映射。备注3.6。给定一个t（E，Hu，u），考虑包含图I*: E*→ L（E，u）（我们想到E*作为H中的稠密子集*u Huxι*). 自从我*保留了L（E，u）的Hilbert空间结构，可以将其扩展为等距嵌入I*: H*u→ L（E，u），使k'I*f*kH公司*u=kf*kL（E，u）。现在，我们明确描述了（Zt）t引起的测度的RKH∈T（在（2.1）中引入）在C上，由（（Zt，Bt））T∈Ton C.事实上，我们首先使用（2.4）中的运算符得出了更一般的结果。介绍以下关于定义操作员IД的函数的假设：假设3.7。存在φ∈ L（T，R）s uch that Rε|φ（s）| ds>0，对于某些ε>0且Д（·，T）=φ（T- ·) 对于任何t∈ T定理3.8。设ν满足假设3.7，这使得IИ在L上内射。

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2022-5-31 23:32:27

由过程r（u，·）dWuon C引起的测量的RKHS由H={If:f给出∈ 五十} ，带内积Hiхf，IхfiHх：=hf，fiL。定理3.8的证明。见第4节。推论3.9。（Zt）t在C上诱导的高斯测度的RKHS∈Tin（2.1）为HKα。我们需要扩展定理3.8（和推论3.9），以找到由二维过程（（Zt，Bt））t∈T、其中Z和B在（2.1）和（2.3）中有明确定义。粗糙BERGOMI模型的路径大偏差7定理3.1 0。设ν，Д满足假设3.7，该假设使IД在L上内射。将另一个值过程（Y，Y）引入为Yi：=R·ИI（s，·）dwis，对于I=1，2，其中Wand是两个相关ρ的标准布朗运动∈ [-1, 1]\\{ 0}. 然后，由Cis HД上的（Y，Y）引起的测量RK HS=IИИf:f∈ L, 带内积IИИf，IИДfHИИ：=hf，fiL。定理3.10的证明。见第4节。推论3.11。过程（（Zt，Bt））t引起的测量（在C上）的RKHS∈Tis HKαρ。3.2。高斯测度的大偏差。我们现在集中讨论高斯测量的大偏差。如前所述，E表示范数为k·kE的实可分Banach空间，我们在（E，B（E））上引入了无中心高斯测度u，这样，对于任何y∈ E*,谢泽希*Eu（dx）=exp-Cu（y，y）,其中Cu：E*×E*→ [0, +∞) 是双线性对称映射。我们定义∧*u：E→ R为∧*u（x）：=suphy，谢*E-Cu（y，y）：y∈ E*在E上。[14，引理3.4.2]证明了以下引理。引理3.12。以下三条语句适用于度量值u：（1）存在α>0，因此ZeexpαkxkEu（dx）是有限的；（2）对于所有y∈ E*, Cu（y，y）=ZEhy，xiE*Eu（dx）≤ 凯克*ZEkxkEu（dx）∈ (0, +∞);(3) Λ*u定义E和满意度∧上的速率函数*u（ay）=a∧*u（y）对于所有a∈ R、读者可能会将上述引理3.12中的语句（1）视为费尼克定理【16】。

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2022-5-31 23:32:30

对于分布为u的一值高斯随机变量X，定义Xε：=ε1/2X，定律为uε。那么下面的公式成立了【14，定理3.4.5】：定理3.13。概率测度序列（με）ε≥0以速度ε满足E上的LDP-1横向函数∧*u.备注3.14。定理3.13特别暗示标准布朗运动（Wt）t≥0满足R上的LDP，速度为t-1，自Wtand起√两者在法律上是平等的。推论3.15。对于任何t∈ T，设νtbe（2.1）中定义的zt定律。然后序列（νt）t>0以速度t满足R上的LDP-β和速率函数∧*u（x）：=x2η，对于x∈ R、证明。这里，E=R和hu，viE*E=紫外线。因为zt和tβ/2Zare在定律上相等，而rreiyxp（Z∈ dx）=exp(-yη/2），取Cu（x，y）≡ xyη，证明遵循orem 3.13和备注4.1。以下两个结果对于建立粗糙Berg-omi模型的LDP至关重要。第一个是收缩原理，指出连续映射存在大偏差原理s，而第二个是Banach空间上一般高斯测度的普遍L-DP结果。命题3.16（定理4.2.1，in【15】（收缩原理））。设E andeE是两个Hausdorff拓扑空间，设f:E→eE是一个连续映射。Let（νε）ε≥0，（eνε）ε≥0be分别是（E，B（E））和（eE，B（eE））上的两类概率测度，使得Eνε=νεof-1对于每个ε>0。If（νε）ε≥0用速率函数∧满足E上的LDP，然后（Eνε）ε≥0满足速率函数为∧（y）：=inf{∧（x）：y=f（x）}的LDP ONE。定理3.17（文献[14]中的定理3.4.12））。设B为d维高斯过程，用RKHS Hu在（Cd，B（Cd））上导出度量u。然后（εu）ε≥0满足LDP速度ε-1和速率函数∧*u（x）：=kxkHu，如果x∈ Hu+∞, 否则8 ANTOINE JACQUIER，MIKKO S。

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2022-5-31 23:32:33

PAKKANEN和HENRY Stone为了用随机微分方程（2.6）来计算，我们必须考虑随机积分·√vεsdBεs.假设序列(√vεs，Bεs）弱收敛，因为ε趋于零收益率，在某些条件下，随机积分弱收敛【31，33】。然而，为了陈述一个大偏差原则，我们需要一个更强的结果，Garcia[24]证明了这一点。在陈述之前（下面的定理3.19），我们先介绍一下s-Tocastic过程的序列：定义3.18（定义1.1 in【24】）。Le t U表示简单、真实值、自适应过程的空间，以便支持≥0 | Zt |≤ 1、半鞅序列（Yε）ε≥如果对于每个c，t>0，存在Kc，t>0，使得lim supε↓0ε对数supZ公司∈向上sups公司≤t型ZsZu-dYεu≥ Kc，t≤ -c、定理3.19（文献[24]中的定理1.2]）。设（Xε）ε≥0be是一系列适应的c\'adl\'ag随机过程和（Yε）ε≥0一致指数紧半鞅序列。如果序列（（Xε，Yε））ε≥0满足速率函数∧的LDP，然后满足随机积分序列（Xε·Yε）ε≥0satis fies aLDP，速率函数b∧（ν）：=inf∧（zxy）：Д=x·y，y∈ BV公司.4、主要结果的证明定理3.8的证明。假设3.7适用于给定函数∈ 五十、（2.4）中的运算器IД在HД上运行。设f，f∈ Lbe，使IДf=IДf。然后rtД（u，t）[f（u）-f（u）]du=0表示任何∈ TTitchmarsh的卷积定理[40，Theo-rem VII]则暗示f=falmest无处不在，因此I是一个双射。IД的线性度意味着hIДf，IДfiHД：=hf，在HД上定义一个内积，因此（HД，H·，·iHД）是一个真实的内积空间。为了使HИ满足定义3.4，我们首先需要证明它是一个可分离的希尔伯特空间。

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2022-5-31 23:32:37

设{fn}n∈Nbe在Lsuch中的一个函数序列，其{IИfn}n∈nConvergence to IДf in HД。因此kIДfn- IИfmkHД=kfn- 当n和m趋于完整时，fmkl趋于零。由于Lis是一个完整的（Hilbe-rt）空间，因此存在一个functionef∈ Lsuch序列{fn}n∈Nconverges toef。假设f 6=ef的矛盾，那么，由于IД是双射，三角形不等式yields0<IИf- I^1efHИ≤ kIИf- IДfnkHД+I^1ef- IИfnHИ，当n趋于完整时，收敛到零。因此，f=ef，IИf∈ HИ和HИ是完备的，hencea实Hilbert空间。自Lis可与可数正交基{φn}n分离∈N、然后{IИφN}N∈Nis是HИ的一个正交基，然后它是可分离的。现在，我们发现了一个密集嵌入I:HИ→ C如定义3.4所示。自H^1起 C、将嵌入作为包含图I=ι。根据[11，Le mma 2.1]，假设3中φ的条件。7表示HИ在C中是稠密的。最后，对于f*∈ C*, 由过程r（u，·）引起的测量u是（E，B（E）），和f上的高斯概率测量*是定义为3.1的（E，B（E），u）上的中心真实高斯随机变量。反过来，备注3.6意味着*, I的对偶，允许等距嵌入\'I*这样k'I*f*k（HИ）*= kf公司*kL（E，u）=RE（f*)du=V（f*), 因此，HИ是u的RKHS。定理3.10的证明。我们以类似于T heorem 3.8证明的方式进行。设Д，Д满足消费3.7。很明显，（2.4）中的运算器IДИ在HДД上是满射的 C、根据Titchmarsh的卷积定理【40，定理VII】，如果IДИf=IДДfon T，则f=fand IД是一个双射。此外，MorehiИИf，IИИfiHД：=hf，fili是一个定义良好的内积，根据定理m 3.8的证明，（HИ，H·，·iHД）是一个真实的、可分离的Hilbert空间。找到密集嵌入I:HД→ C、以I为包含图ι；那么，假设3.7中φ、φ的条件意味着HИИ在Cby中是稠密的【11，引理2.1】。

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2022-5-31 23:32:41

最后，f*∈ （C）*是（C，B（C），u）上的实数中心高斯随机变量，其中u表示由（Y，Y）和V（f）导出的度量*) =RC（f*)du=kf*kL（C，u）=kι*f*k（HИИ）*, 因此，根据定义3.4，HИИ是由（Y，Y）在C上引起的测量的RKH。粗糙BERGOMI模型的路径大偏差9定理2.7的证明。设（Zε，Bε）如（2.5）所示。根据定理3.17和推论3.1 1，序列（（Zε，Bε））ε≥0满足LDP速度ε-β和速率函数（推论3.11中给出HKαρ）∧*（zxy）=zxy公司HKαρ，如果zxy∈ HKαρ+∞, 否则按路径，我们可以查看地图t 7→ （Zεt，Bεt）作为C和w的元素vεtBεt= MZεBε（t，ε）。我们首先验证（2.8）中的运算M相对于C（T×r+，r+×r）范数k·k是连续的∞. 对于任何（f，g）∈ C、引入一个小扰动（δf，δg）∈ C、那么Mf+δfg+δg- Mfg公司∞= 支持∈T，ε>0n（m（f+δf））（t，ε）- （mf）（t，ε）+ |δg（t）| o≤ 支持∈T，ε>0v1+βexp-η（εt）βef（t）eδf（t）- 1.+ 支持∈T |δg（T）|≤ C支持∈Teδf（t）- 1.+ 支持∈T |δg（T）|，对于一些严格的正常数C，右手侧明显趋向于零，因为（δf，δg）相对于超范数o n C趋向于z，因此M是一个连续算子。因此，收缩原理（命题3.16）暗示序列（（vε，Bε））ε≥0满足C（T×R+，R+×R）上的LDP，速度ε-β和速率函数∧。由于M显然是一个双射，因此速率函数∧可以表示为∧（zxy）=∧*M-1（zxy）, 对于任何（x，y）∈ C、在第二步中，我们将应用定理3.19证明随机积分序列（I（vε，Bε）（·））ε≥0：=（R·√vεsdBεs）ε≥0满足LDP。由于Bε=εα+1/2B乘以（2.6），我们可以写出斯托克斯积分I（vε，Bε）（·）=I（ε2αvε，√εB）（·），几乎可以肯定，因此[24，示例2.1]是（半）鞅的序列(√εB）ε≥0是定义意义上的UET 3.18。

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2022-5-31 23:32:45

自序列之后(√ε2αvε）ε≥0关于c\'adl\'ag，（Ft）自适应过程，定理3.19暗示随机积分序列（I（vε，Bε）（·））ε≥0满足LDP速度ε-β和速率函数∧X（z）=inf{∧（zxy），z=I（X，y）和y∈ BV公司∩ C} 。最后一步是证明Xε=R的LDP·√vεsdBεs-R·vεsds。为了做到这一点，我们证明了这些序列（Xε）ε≥0和（I（vε，Bε））ε≥0是指数等效的。对于任何δ>0的情况，它遵循该psupt∈[0,1]| Xεt- I（vε，Bε）（t）|>δ！≤ PZvεsds>δ≤ PZexp（Zεs）ds>bε,式中，bε：=δ/vε1+β。使用thatRexp（Zεs）ds≤ exp（支持∈[0,1]Zεt）几乎可以肯定，它遵循pZexp（Zεs）ds>bε≤ Psupt公司∈[0,1]Zεt>log bε！=Psupt公司∈[0,1]Zt>对数bεεβ/2！。工艺（Zt）t∈[0,1]几乎肯定是基于[1，定理1.5.4]，因此我们可以应用Borell-Tisli不等式；其结果[1，定理2.1.1和下面的讨论]表明PSUPT∈[0,1]Zt>对数bεεβ/2！≤ 经验值-对数bεε/2- Esupt公司∈[0,1]Zt！！.这意味着εβlog PZexp（Zs）ds>bε≤ εβ-（对数bε）2εβ+对数bεεβ/2支持∈[0,1]Zt！-Esupt公司∈[0,1]Zt！.10 ANTOINE JACQUIER、MIKKO S.PAKKANEN和HENRY Stonen指出，ε趋于零时，εβ/2log bε收敛于零，这反过来意味着lim supε↓0εβ/2log bεEsupt∈[0,1]Zt！=0.同样，lim supε↓0εβE支持∈[0,1]Zt= 0。此外，它遵循LIM supε↓0εβ-（对数bε）2εβ= -∞,因此，lim supε↓0εβlog Psupt∈[0,1]| Xεt- I（vε，Bε）（t）|>δ！=-∞,这正是指数等值的定义【15，定义4.2.1 0】。然后，根据[15，定理4.2.13]，序列（Xε）ε≥0满足LDP速度ε-β和速率函数∧X。定理3.13的证明。设X：=（X，…，Xn）是n维随机向量，取En上的值，其中每个Xkhas分布u，因此平均数pnk=1Xkhas分布u1/n。

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2022-5-31 23:32:48

引理3.12意味着当s omeα>0时，REEXP（αkxkE）u1/n（dx）是有限的，并且[14，Theo-rem 3.3.1 1 1]产生序列（u1/n）n的LDP≥1，速率函数∧*u. 定义n（ε）：=ε∨ 1和l（ε）：=εn（ε），ε>0，注意l(ε) ∈ [1-ε、 1）对于ε∈ （0，1/2）和in[，1]表示ε∈ [1/2, 1]; 对于分布为u1/n（ε）的高斯随机变量x，如下所示l（ε） 1/2倍具有分布με。对于E的闭子集B，我们定义了扩张集B：=l-1/2倍：适用于所有l ∈, 1., x个∈ B, 所以lim supε↓0εloguε（B）=lim supε↓0l（ε） n（ε）logu1/n（ε）l（ε）-1/2B≤ lim supε↓0n（ε）logu1/n（ε）（eB）=lim supn↑∞nlogu1/n（eB）≤ - infx公司∈eB∧*u（x）。然后，大偏差上界遵循明显的等式infx∈eB∧*u（x）=infl∈[，1]infx∈B∧*u(l-1/2倍）=infl∈[，1]l-1英寸∈B∧*u（x）=infx∈B∧*u（x）。现在对于任意开集C中的任意x 我们可以找到一个开放的社区 l（ε）-1/2对于所有0<ε<ε和ε∈0,. 然后，根据不等式lim infε得出大偏差下边界↓0εloguε（C）=lim infε↓0l（ε） n（ε）logun（ε）l（ε）-1/2C≥ lim信息↑∞nlogun（牛）≥ - infy公司∈Ox∧*u（y）≥ -∧*u（x）。备注4.1。定理3.13的证明仍然适用于tβ/2X的情况~ ut速度t-β、而且证据可以很容易地证实这一情况。不相关粗糙Bergomi模型的大偏差我们在这里处理（2.3）的特例，其中布朗运动W和B是独立的（ρ=0）。根据与卡罗拉y 3.11相似的论点和模仿（2.4），我们引入了Loperator IasI（f，f）：=IKαfIf, 对于任何f，f∈ 五十、因此，（Z，B）引起的测量值的RKHS（在C上）是H：=I（f，f）：f，f∈ L, 带内积I（f，f），I（g，g）H： =hf，giL+hf，giL，对于任何f，f，g，g∈ L

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2022-5-31 23:32:51

与OREM 2.7类似，[14，定理3.4.12]得出了Cfor（（Zε，Bε））ε上的LDP≥0速度ε-β和速率函数∧（zxy）：=(zxy公司H、 if（x，y）∈ H、+∞, 否则粗糙BERGOMI模型的路径大偏差11这反过来会产生（（vε，Bε））ε的LDP≥C上的0英寸（2.5），速度ε-β和速率函数e∧（zxy）：=inf∧（zx*y*) : zxy=Mzx*y*, 其中（2.8）中定义了运算符M。与定理2.7相同，定理3.19给出了（R）的LDP·√vεsdBεs）ε≥C上的0，速度ε-β和速率函数b∧X，定义为asb∧X（Д）：=infne∧（zxy）：Д=X·y，y∈ BV公司∩ Co=infn∧（zx*y*) : Д=x·y，zxy=Mzx*y*, x个*, y*∈ Ho=inf∧（zxy）：Д=x·y，zxy=M（I（f，f）），f，f∈ L= inff，f∈LkfkL+kfkL：Д=Z·qm（（IKαf）（s））f（s）ds.（2.9）中引入了m。根据与定理证明2.7中提出的论点相同的论点，我们得出结论，（Xε）ε>0满足速度ε的LDP-β和速率函数b∧X。参考文献[1]R.J.Adler和J.E.Taylor。随机场和几何体。Springer Verlag，纽约，2007年。[2] C。D、 Aliprantis和K.C.边界。《有限维分析：搭便车指南》，第三版。Springer Verlag，柏林，海德堡，2006年。[3] E。Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。关于具有随机波动率的跳变扩散模型的隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4）：571-5892007。[4] C。拜耳、P.K.Friz和J.Gatheral。粗略波动下的定价。《定量金融》，16（6）：887-9042016。[5] C。拜耳、P.K.Friz、A.Gulisashvili、B.Horvath和B.Stemper。在粗略的分馏效用模型中，接近货币的短时间倾斜。预印本可在arXiv获得：1703.05132，2017。[6] P.Baj growicz、O.Scaillet和A.Tr eccani。高频数据的跳跃：虚假检测、动态和新闻。《管理科学》，62（2）：2198-22172015。[7] M.Bennedsen、A.Lunde和M.S.Pakkanen。布朗半平稳过程的混合格式。

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nandehutu2022

2022-5-31 23:32:55

《金融与随机》，21（4）：931-9652017。[8] M.Bennedsen、A.Lunde和M.S.Pakkanen。解耦随机波动率的短期和长期行为。预印本可在arXiv获得：1610.00332，2016。[9] F.Biagini、Y.Hu、B.Oksendal和T.Zhang。分数布朗运动的随机微积分及其应用。Springer，伦敦，2008年。[10] R.Carmona和M.Tehranchi。利率模型：有限维随机分析视角。SpringServerLag，柏林，海德堡，2006年。[11] A.切尼。布朗移动平均线有条件完全支持。安。应用程序。问题。，18(5): 1825-1850, 2008.[12] K.Christensen、R.C.A.Oomen和M.Podolskij。事实或摩擦：超高频跳跃。《金融经济学杂志》114（3）：576-5992014。[13] J.D.Deuschel、P.Friz、A.Jacquier和S.Violante。差异和随机波动的边际密度扩展，第一部分：理论基础。《纯粹数学和应用数学通讯》，67（1）：40-822014。[14] J.D.Deuschel和D.W.Stroock。偏差较大。学术出版社，1989年。[15] A.Dembo和O.Zeitouni。大偏差理论与应用，第二版。柏林斯普林格，2010年。[16] X.Fernique。高斯矢量图。C、 R.Acad公司。Sci。巴黎塞尔。A-B，270，A1698-A16991970。[17] J.E.Figueroa-L\'opez和M.Forde。指数L'evy模型的小成熟度s英里。《暹罗金融数学杂志》，3（1）：33-652012年。[18] M.Forde和A.Jacquier。赫斯顿模型下隐含波动率的小时间渐近性。IJTAF，12（6）：8618762009。[19] M.Forde和H.Zhang。作为粗糙随机波动率模型的符号。暹罗日报。鳍数学8, 114-145, 2017.[20] P.Friz、J.Gatherel、A.Gulisashvili、A.Jacquier和J.Teichman。

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