具有交易费用和止损退出的最优均值回归交易

2022-5-7 04:02:45

具有交易成本和止损退出的最优均值回归交易*Tim Leung+Xin Li2015年5月15日摘要基于配对交易的行业实践，我们研究了交易均值回复价差的最佳时机策略。本文提出了一个最优双停止问题，分析了在交易成本的影响下，开始并随后平仓的时机。通过Ornstein-Uhlenbeck过程对价差进行建模，我们采用概率方法，严格推导出市场进入和退出的最佳价格区间。作为扩展，我们加入了一个停止损失约束来限制最大损失。我们证明了入口区域的特征是一个严格高于止损水平的bo undedprice区间。至于退出时机，较高的止损水平总是意味着较低的最佳获利水平。通过分析和数值结果，说明了定时策略对交易成本和止损水平等模型参数的依赖性。关键词：最优双停、均值回归交易、Ornstein-Uhlenbeck过程、止损分类：C41、G11、G12数学学科分类（2010）：60G40、91G10、62L15*NSF拨款DMS-0908295部分支持的工作。+通讯作者。IEOR系，哥伦比亚大学，纽约，纽约10027；电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.纽约哥伦比亚大学IEOR系，纽约10027；电子邮件：xl2206@columbia.edu.1引言广泛观察到，许多资产价格表现出均值回归，包括商品（见Schwartz（1997））、汇率（见Engel and Hamilton（1989）；安东尼和麦克唐纳（1998）；Larsen and Sorensen（2007）），以及美国和全球股票（见Poterba和Summers（1988）；Malliaropulos和Priestley（1999年）；Balver s等人（2000年）；格罗普（2004）。

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2022-5-7 04:02:48

均值回复过程也用于建模利率、波动性和违约风险的动态。在行业中，对冲基金经理和投资者通常试图通过同时持有两种高度相关或共同移动的资产来构建均值回复价格。交易所交易的fun ds（ETF）的出现进一步促进了这种成对交易方式，因为一些ETF被设计为跟踪相同或相似的指数和资产。例如，Triantafyllopoulos和Montana（2011）调查了商品ETF之间的均值回复分布，并设计了统计套利模型。Dunis等人（2013年）还研究了实物黄金和黄金股票ETF之间的均值回复价差。鉴于某些风险资产的价格动态，个人和机构投资者通常面临的一个重要问题是确定何时开仓和平仓。在观察不断下跌的市场价格的同时，投机投资者可以选择立即进入市场或等待未来的机会。在完成第一笔交易后，投资者需要决定什么时候最好放弃该头寸。这促使人们研究交易的最佳顺序时机。在本文中，我们研究了在OrnsteinUhlenbeck（OU）模型下受交易成本影响的交易的最佳时机。具体来说，我们的公式导致了一个最优双停问题，给出了最优的进入和退出决策规则。我们得到了进入和退出问题的解析解。此外，我们在交易问题中加入了止损约束。我们发现，较高的止损水平会促使投资者在较低的收益水平下提前自愿清算。此外，进入区域的特点是有界价格区间严格高于止损水平。

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2022-5-7 04:02:51

换句话说，如果当前价格太高或太接近较低的止损水平，最好等待。这是直观的，因为进入接近止损的市场意味着很有可能以亏损的方式退出。结果，延迟区域（入口区域的补充）断开。此外，我们还讨论了最优清算水平如何随着止损水平的降低而降低，直到它们重合，在这种情况下，即时清算在所有p-rice水平下都是最优的。由扩散驱动的最优停止问题的典型解决方法包括相关自由边界问题或变分不等式（VIs）的分析和数值研究；西。g、本苏桑和狮子（1982）、伊克森达尔（2003）和太阳（1992）。对于我们的双最优停止问题，这种方法将从一对Vi确定值函数，并需要正则条件来保证Vi的解确实对应于最优停止问题。正如Dayanik（2008）所指出的，“当报酬函数的形式和/或扩散的动力学掩盖了最佳连续区域的形状时，变分方法变得具有挑战性。”在我们的最优进入时机问题中，奖励函数包含退出时机问题的值函数，它不是单调的，可以是正的，也可以是负的。与变分不等式方法不同，我们提出的方法首先将值函数描述为任何给定奖励函数的最小凹主函数。该应用程序的一个关键特征是，它允许我们直接构造值函数，而无需事先找到候选值函数，也无需对停止和延迟（继续）区域施加条件，例如它们是否连接。

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2022-5-7 04:02:54

换句话说，我们的方法将导出停止区域和延迟区域的结构作为输出。我们的主要结果提供了双停止问题的值函数的解析表达式；见定理4.2和4.5（无止损），以及定理5.1和5.5（有止损）。在早期的研究中，Dynkin和Yuskevich（1969）分析了标准布朗运动的过度函数的凹形特征，Dayanik和Karatzas（2003）和Dayanik（2008）应用这一思想研究了一维扩散的最佳单次停止。在这方面，我们通过解决在OU模型下存在和不存在止损的一些最优双停问题，为这项工作做出了贡献。在其他相关研究中，Ekstrom等人（2011年）分析了长期平均值为零且无交易成本的OU模型下的最优单次清算时间。本文从多个方面扩展了他们的模型。首先，我们分析了最优进入时机和最优清算时机。我们的模型考虑了非零的长期平均值和传输成本，以及停止损耗水平。Song等人（2009年）提出了一个数值随机近似方案，用于求解有限时间内的最优买低卖高策略。在类似的背景下，Zhang和Zhang（2008）以及Kong和Zhang（2010）也研究了指数OU价格动态下的滑动成本下的最终顺序买入和卖出/卖空问题。在配对交易的背景下，许多研究也考虑了两种价格水平的市场时机策略。例如，Gatev等人（2006年）研究了低买高卖策略的历史回报率，其中进入/退出水平设定为与长期平均值的±1标准偏差。

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2022-5-7 04:02:57

同样，Avellaneda和Lee（2010）考虑根据价差与其平均值的距离开始和结束配对交易。在Elliott等人（2005年）的研究中，市场进入时机由一个过程的第一次通过时间建模，然后在一个固定的时间范围内退出。相比之下，我们的方法不会指定特定的价格水平或固定的交易时间，而是生成进入和退出阈值，作为非最优双停问题的解决方案。考虑到平均值为零的指数型OU资产价格，Bertram（2010）以数值方式计算出使单位时间内预期收益最大化的最佳进入和退出水平。Gregory等人（2010年）也在CIR和GARCHdi扩散模型之后将这种方法应用于对数价差。Vidyamurthy（2004）中讨论了实习医生采用的其他计时策略。另一方面，本文还研究了均值回复资产定价的组合构建和套期保值的相关问题。例如，Benth和Karlsen（2005）研究了效用最大化问题，该问题涉及动态交易一项指数型基础资产。Jurek和Yang（2007）分析了一个有限期投资组合优化问题，其中一个OU资产受制于电力效用和Epstein Zin递归效用。Chiu和Wong（2012）使用均值-方差标准考虑了协整资产的动态交易。Tourin和Yan（2013）推导出了两种联合股票的动态交易策略，以便在固定期限内最大化财富的预期最终效用。他们简化了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，得到了一个封闭形式的解。在随机控制方法中，合并交易成本和止损退出可能会限制模型的可跟踪性，并且在这些研究中没有实现。论文的其余部分结构如下。

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2022-5-7 04:03:00

我们在第二节阐述了最优交易问题，然后在第三节讨论了我们的解决方法。在第4节中，我们解析地解决了最优双停问题，并研究了最优的进入和退出策略。在第5节中，我们研究了止损约束下的交易问题。所有引理的证明见附录。2问题概述在背景中，我们确定了概率的速度(Ohm, F、 P）使用历史概率测度P。我们考虑由SDE驱动的Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程：dXt=u（θ）- Xt）dt+σdBt，（2.1），常数u，σ>0，θ∈ R、状态空间R，这里，B是P下的标准布朗运动，用F表示≡ （Ft）t≥0由X.2.1配对交易示例生成的过滤让我们讨论一个配对交易示例，在该示例中，我们通过一个OUP过程对结果头寸的价值进行建模。其主要目的是激发我们的交易问题，而不是提出新的估计方法或对配对交易进行实证研究。关于相关研究和更多细节，我们参考了恩格尔和格兰杰（1987）的开创性论文，汉密尔顿（1994）；Tsay（2005），以及其中的参考文献。我们通过持有一项风险资产S（1）的α股，并做空另一项风险资产S（2）的gβsh区，从而构建一个投资组合，产生一个投资组合值Xα，βt=αS（1）t- βS（2）tat时间t≥ 0.选择资产的p air形成均值回复投资组合价值。此外，可以调整策略（α，β）以提高均值回归水平。为了检验均值回归，只有α和β之间的比值是重要的，因此我们可以在改变β的同时保持α不变，而不丧失一般性。对于每一种策略（α，β），我们观察得到的投资组合值（xα，βi）i=0,1，。。。，n天内重新计算。

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2022-5-7 04:03:03

然后，我们应用最大似然估计（MLE）方法将观察到的投资组合值拟合到一个输出过程中，并确定模型参数。在OU模型下，Xtiat时间的条件概率密度为xi-1at ti-1随时间增加t=ti- 钛-1由Fou（xi | xi）给出-1.θ, u, σ) =√2π∧σexp-（十一）- xi-1e-uT- θ(1 - E-ut））2σ,常数为√σ=σ1- E-2ut2u。使用观察值（xα，βi）i=0,1，。。。，n、我们最大化了由l（θ，u，σ| xα，β，xα，β，…，xα，βn）：=nnXi=1ln fOUxα，βi | xα，βi-1.θ, u, σ= -ln（2π）- ln（∑）-2n~σnXi=1[xα，βi- xα，βi-1e-uT- θ(1 - E-ut） ]，（2.2）并用^表示l(θ*, u*, σ*) 给定策略（α，β）下θ、u和σ的最大平均对数似然。对于任何α，我们选择策略（α，β*), β在哪里*= arg maxβ^l(θ*, u*, σ*|xα，β，xα，β，xα，βn）。例如，假设我们在资产s（1）上投资一美元，那么α=A/s（1）股票被持有。同时，我们做空S（2）中的β=B/S（2）股，B/A=0.001，0.002，1.这样一来，初始投资组合价值的符号取决于差异A的符号- B、这是非负的。在不损失一般性的情况下，我们将A=1。在图1中，我们展示了一个基于两对交易所交易基金（ETF）的示例，即市场向量黄金矿商（GDX）和iShares白银信托（SLV）分别与SPDR黄金信托（GLD）的对比。这些流动交易基金旨在追踪纽约证券交易所阿卡戈尔德矿商分别在德克斯（GDX）、白银（S LV）和金条（GLD）的价格走势。这些ETF对也用于Triantafyllopoulos和Montana（2011年）以及Dunis等人。

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大多数88

2022-5-7 04:03:06

（2013）对ETF成对交易的统计和实证研究。使用2011年8月至2012年5月的价格数据（n=200，t=1/252），我们计算并绘制了图1（a）中现金金额B的平均对数可能性，并发现^l 最大化为atB*= GLD-GDX对（GLD-SLV对）为0.454（分别为0.493）。从这个MLE最优B*,我们得到了str策略（α，β）*), 其中α=1/S（1）和β*= B*/S（2）。在这个例子中，GLD-SLV对的平均对数似然恰好主导了GLD-GDX，这表明OU模型的拟合程度更高。图1（b）描述了策略（α，β）的历史价格路径*).我们在表1中总结了估算结果。对于每一对，我们首先根据经验价格数据估计OU模型的参数。然后，根据相应的定欧过程，利用估计的参数模拟冰路径。基于这些模拟的OU路径，我们执行另一个MLE，并获得另一组OU参数以及最大平均对数似然^l. 正如我们所看到的，两组估计输出（行名称为“经验”和“模拟”）非常接近，表明经验价格过程与OU模型非常吻合。0.2 0.4 0.6 0.8 12.72.82.933.13.23.33.43.5平均对数似然度^l GLD-GDXGLD-SLV（a）0 50 100 150 2000.460.480.50.520.540.560.580.60.62天GLD-GDXGLD-SLV（b）图1：（a）与b绘制的平均对数似然图。（b）具有最大平均对数似然的历史价格路径。

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2022-5-7 04:03:09

s实线绘制的投资组合价格为预期1美元GLD和做空0.454美元GDX，虚线绘制的投资组合价格为预期1美元GLD和做空0.493美元SLV。价格θuσlGLD GDXempirical 0.5388 16.6677 0.1599 3.2117模拟0.5425 14.3893 0.1727 3.1304GLD-SLVEempirical 0.5680 33.4593 0.1384 3.3882模拟0.5629 28.8548 0.1370 3.3898表1:2011年8月至2012年5月使用GLD、GDX和SLV的历史价格对OU工艺参数进行的最大似然估计。该投资组合包括1美元的GLD和-0.454美元的GDX（分别为-0.493美元的SLV）。对于每一行，第二行（模拟）显示了基于与第一行（经验）估计参数相关的模拟路径的MLE参数估计。2.2最优停止问题鉴于价格过程或投资组合价值根据OU过程演变，我们的主要目标是根据交易成本研究开仓和随后平仓的最佳时机。这导致了一个最优双停止问题的分析。首先，假设投资者已经作为一个现有头寸，其价值过程（Xt）为t≥0遵循s（2.1）。如果头寸在某个时间τ关闭，则投资者将收到价值Xτ并支付持续交易成本c∈ R.为了最大化预期贴现值，投资者解决了最优停止问题v（x）=supτ∈特克斯E-rτ（Xτ）- c）, （2.3）式中，T表示所有F-停止时间的集合，r>0表示投资者的主观常数贴现率。我们还使用了简写符号：Ex{·}≡ E{·| X=X}。从投资者的角度来看，V（x）代表与x相关的预期清算价值。另一方面，当前价格加上交易成本构成进入交易的总成本。投资者总是可以选择最佳时机开始交易，或者根本不进入。

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2022-5-7 04:03:12

这有助于分析交易问题固有的进入时机。精确地说，我们解j（x）=supν∈德克萨斯州-^rν（V（Xν）- Xν- ^c）o，（2.4）^r>0，^c∈ R.换句话说，投资者寻求最大化价值函数V（Xν）和当前Xν减去交易成本^c之间的预期差异。价值函数J（X）代表价格过程X中投资机会的最大预期价值，特别是在进入和退出时产生的交易成本^c和c。在我们的分析中，只要0<r，进入前和进入后的贴现率r和r可以不同≤ r、此外，只要c+^c>0，交易成本^c和ccan也会有所不同。此外，由于τ=+∞ 和ν=+∞ 分别是（2.3）和（2.4）的候选停止时间，两个值函数V（x）和J（x）是非负的。作为扩展，我们可以将结对交易的止损水平纳入其中，以限制最大损失。在实践中，止损水平可能是由交易台的经理外来施加的。实际上，如果价格X在投资者自愿清算时间之前达到L级，则该头寸将立即平仓。止损信号由首次通过时间τL:=inf{t给出≥ 0:Xt≤ 五十} 。因此，我们从受约束的最优停止问题：JL（x）=s upν中确定进入和液化时间∈德克萨斯州-^rν（VL（Xν）- Xν- ^c）o，（2.5）VL（x）=s upτ∈德克萨斯州-r（τ）∧τL）（Xτ∧τL- c） o.（2.6）由于额外的时间限制，投资者可能被迫在任何给定清算水平的止损水平提前退出。因此，停止损失约束减少了值函数，我们精确地推导出x- C≤ VL（x）≤ V（x）和0≤ JL（x）≤ J（x）。

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2022-5-7 04:03:15

正如我们将在第4节和第5节中所展示的，在没有止损的情况下，具有d的最佳时机策略是非常不同的。3.解决方法在这一部分中，我们讨论了我们的解决方法。首先，我们表示OUprocess X byL=σddx+u（θ）的最小生成器- x） ddx，（3.1）并回顾微分方程lu（x）=ru（x）（3.2）对于x的经典解∈ R、是（参见Borodin and Salminen（2002）第542页）和Prop。Alili等人（2005）的2.1:F（x）≡ F（x；r）：=Z∞uru-1eq2μσ（x）-θ） u-udu（3.3）G（x）≡ G（x；r）：=Z∞uru-1eq2μσ（θ）-x） u-乌杜。（3.4）直接差异产生F′（x）>0，F′（x）>0，G′（x）<0和G′（x）>0。因此，我们观察到F（x）和G（x）都是严格正的和凸的，它们分别是严格递增和递减的。通过τκ=inf{t，确定X到某一水平κ的首次通过时间≥ 0:Xt=κ}。众所周知，Fand G承认有问题的表达方式（参见It\'o and McKean（1965）和Rogers and Williams（2000））：-rτκ}=（F（x）F（κ）如果x≤ κ、 G（x）G（κ）if x≥ κ.（3.5）我们的求解方法的一个关键步骤涉及变换ψ（x）：=FG（x）。（3.6）从任意x开始∈ R、我们用τa表示∧ τb间隔[a，b]的退出时间-∞ ≤ A.≤ 十、≤B≤ +∞. 用奖励函数h（x）=x- c、我们向前计算相应的预期折扣：Ex{e-r（τa）∧τb）h（Xτa）∧τb）}=h（a）Ex{e-rτa{τa<τb}}+h（b）Ex{e-rτb{τa>τb}（3.7）=h（a）F（x）G（b）- F（b）G（x）F（a）G（b）- F（b）G（a）+h（b）F（a）G（x）- F（x）G（a）F（a）G（b）- F（b）G（a）（3.8）=G（x）h（a）G（a）ψ（b）- ψ（x）ψ（b）- ψ（a）+h（b）G（b）ψ（x）- ψ（a）ψ（b）- ψ（a）（3.9）=G（ψ）-1（y））H（ya）yb- yyb- ya+H（yb）y- 耶- 对, （3.10）式中，ya=ψ（a），yb=ψ（b），和h（y）：=汞o ψ-1（y）如果y>0，则limx→-∞（h（x））+G（x）如果y=0。（3.11）第二个等式（3.8）源于f（x）：=Ex{e-r（τa）∧τb）{τa<τb}是（3.2）的唯一解，边界条件f（a）=1，f（b）=0。

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可人4

2022-5-7 04:03:18

类似的推理也适用于函数g（x）：=Ex{e-r（τa）∧τb）{τa>τb}，g（a）=0，g（b）=1。最后一个等式（3.10）将问题从x坐标变换为y=ψ（x）坐标（见（3.6））。候选最优退出区间[a]*, B*] 通过最大化（3.7）中的期望值确定。这相当于在转换后的问题中最大化Ya和Yb（3.10）。这导致两（y）：=sup{ya，yb:ya≤Y≤yb}H（ya）yb- yyb- ya+H（yb）y- 耶- 对. （3.12）这是H的最小凹主量。应用W到（3.10）的定义，我们可以表示最大预期折扣报酬asG（x）W（ψ（x））=sup{a，b:a≤十、≤b} 前{e-r（τa）∧τb）h（Xτa）∧τb）}。备注3.1如果a=-∞, 那么我们有τa=+∞ 11{τa<τb}=0 a.s.在效果上，这移除了较低的奖励水平，以及相应的预期折扣奖励isEx{e-r（τa）∧τb）h（Xτa）∧τb）}=Ex{e-rτah（Xτa）11{τa<τb}}+Ex{e-rτbh（Xτb）11{τa>τb}=Ex{e-rτbh（Xτb）}。因此，通过考虑区间型策略，我们还包括了一类返回单个上层b的停止策略（见下面的定理4.2）。接下来，我们证明了所提出的停止策略的最优性，并给出了函数值的表达式。定理3.2（2.3）中定义的值函数V（x）由V（x）=G（x）W（ψ（x）），（3.13）给出，其中G、ψ和W分别在（3.4）、（3.6）和（3.12）中定义。证据见附录A.1。让我们强调，最佳水平（a*, B*) 可能取决于初始值x，可能会重合，或取值-∞ 及+∞. 因此，停车区和延迟区的结构可能以多个间隔为特征，导致分离的延迟区（见下面的定理5.5）。我们按照定理3.2的步骤推导（2.4）中的值函数J的表达式。首先，我们用贴现率表示^F（x）=F（x；^r）和^G（x）=G（x；^r）（见（3.3）-（3.4））。

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2022-5-7 04:03:21

此外，我们定义了变换^ψ（x）：=^F^G（x）和^h（x）=V（x）- 十、- ^c.（3.14）使用这些函数，我们认为函数类似于H:^H（y）：=^h^Go^ψ-1（y）如果y>0，则limx→-∞（^h（x））+^G（x）如果y=0。（3.15）按照步骤（3.7）-（3.12）分别用^F、^G、^ψ和^H替换F、G、ψ和H，我们写出^H的最小凹主^W，即^W（y）：=sup{y^a，y^b:y^a≤Y≤y^b}^H（y^a）y^b- yy^b- y^a+H（y^b）y- y^ay^b- y^a.由此，我们寻求确定候选最优进入区间（y^a）*, y^b*) 在y=^ψ（x）坐标中。在定理3.2用新函数^F、^G、^ψ、^H和^W证明之后，最优进入时机问题的值函数允许表达式j（x）=^G（x）^W（^ψ（x））。（3.16）求解V（x）和J（x）的另一种方法是寻找一对变量不等式min{rV（x）的解- LV（x），V（x）- （十）- c） }=0，（3.17）min{^rJ（x）- LJ（x），J（x）- （V（x）- 十、- ^c）}=0（3.18）表示x∈ R.在充分的正则条件下，这种方法可以验证VIs、V（x）和J（x）的解确实对应于最优停止问题（例如，参见Oksendal（2003）的定理10.4.1）。尽管如此，这种方法并不能立即提出坦诚的最佳计时策略或价值函数，通常是从对最佳停止时间结构的猜测开始，然后进行验证。相比之下，我们的方法允许我们直接构造价值函数，代价是分析H、W、^H和^W的性质。4分析结果我们将在第4.1节中首先研究最佳退出时机，然后在第4.2.4.1节中研究最佳进入时机问题最佳退出时机我们现在分析最佳退出时机问题（2.3）。

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2022-5-7 04:03:24

为了准备下一个结果，我们总结了H引理4.1的关键性质函数H在[0]上是连续的+∞), 在（0+∞) 并且具有以下性质：（i）H（0）=0，和H（y）（如果y小于0）∈ （0，ψ（c）），>0如果y∈ （ψ（c）+∞).（ii）让x*成为G（x）的唯一解决方案- （十）- c） G′（x）=0。然后，我们得到h（y）是严格的（如果y∈ （0，ψ（x）*)),如果y增加∈ （ψ（x）*), +∞),还有x*< C∧ L*用*=μθ+rcu+r.（4.1）（iii）H（y）是（凸的，如果y∈ （0，ψ（L）*)],如果y是凹的∈ [ψ（L）]*), +∞).基于引理4.1，我们在图2中绘制了H。H的性质对于导出估值函数和最优清算水平至关重要，我们将在下面展示。定理4.2最优清算问题（2.3）允许解v（x）=（b*- c） F（x）F（b）*)如果x∈ (-∞, B*),十、- c否则，（4.2）如果最优清算级别为b*从方程f（b）=（b）中可以找到- c） F′（b），（4.3）yHWz=ψ（b）*)ψ（c）ψ（x）*) ψ（L）*)图2:H和W的草图。根据引理4.1，H在ψ（L）的左边是凸的*) 右边是凹面。最小的凹主曲线W是一条直线，在[0，z]上与H相切，并与[z]上的H重合+∞).下面以L为界*∨ c、相应的最佳清算时间由τ给出*= inf{t≥ 0:Xt≥ B*}. （4.4）证据。引理4.1和H′（y）的事实→ 0为y→ +∞ （参见图2），我们推断存在一个唯一的数字z>ψ（L）*) ∨ ψ（c）s uch thatH（z）z=H′（z）。

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2022-5-7 04:03:27

（4.5）反过来，最小的凹主分量由w（y）=（yH（z）zif y<z给出，如果y≥ z、（4.6）代以b*= ψ-1（z）到（4.5），我们得到LHSH（z）z=H（ψ（b）*))ψ（b）*)=B*- cF（b）*), （4.7）和RHSH′（z）=G（ψ）-1（z））- (ψ-1（z）- c） G′（ψ）-1（z））F′（ψ-1（z））G（ψ-1（z））- F（ψ）-1（z））G′（ψ-1（z））=G（b*) - （b）*- c） G′（b）*)F（b′）*)G（b）*) - F（b）*)G′（b）*).等价地，我们可以用b来表示条件（4.5）*:B*- cF（b）*)=G（b）*) - （b）*- c） G′（b）*)F′（b）*)G（b）*) - F（b）*)G′（b）*),可以进一步简化为toF（b*) = （b）*- c） F′（b）*).将（4.7）应用于（4.6），我们得到w（ψ（x））=（ψ（x）H（z）z=F（x）G（x）b*-cF（b）*)如果x<b*,H（ψ（x））=x-cG（x）如果x≥ B*.（4.8）反过来，我们通过将（4.8）代入（3.13）得到值函数V（x）。接下来，我们研究了投资者的最佳时机策略对交易成本c的依赖性。命题4.3（2.3）的价值函数V（x）在everyx的交易成本c中递减∈ R、以及最优清算水平l b*在c.Proof中越来越多。对于任何x∈ R和τ∈ T，对应的预期折扣报酬，Ex{e-rτ（Xτ）- c） }=Ex{e-rτXτ}- c Ex{e-rτ}在c中降低。这意味着V（x）在c中也在降低。接下来，我们将测试最佳阈值b*（c）作为c的函数，并将（4.3）w.r.t.c区分为getb*′（c） =F′（b）*)（b）*-c） F′（b）*)> 0.因为F′（x）>0，F′（x）>0（见（3.3）），而b*> 根据定理4.2，我们得出结论*换句话说，如果交易成本很高，投资者会倾向于在更高的水平上进行清算，以补偿交易成本的损失。对于其他参数，如u和σ，b的依赖性*通常不是我在奥通。4.2最佳进入时机解决了最佳退出时机问题后，我们现在转向最佳进入时机问题。

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2022-5-7 04:03:30

在这种情况下，fun action的值是j（x）=supν∈特克斯{e-^rν（V（Xν）- Xν- ^c）}，x∈ R、（4.9）式中，V（x）由heorem 4.2给出。为了求解最优进入阈值，我们需要^H的几个性质，正如我们所总结的那样。引理4.4函数^H在[0]上是连续的+∞), 在（0+∞), 和二次微分（0，^ψ（b*)) ∪ （φψ（b）*), +∞), 并具有以下性质：（i）^H（0）=0。设d表示^h（x）=0的唯一解，则d<b*和^H（y）（如果y大于0）∈ （0，^ψ（\'d）），<0如果y∈ （^ψ（\'d）+∞).（ii）如果y∈ （φψ（b）*), +∞).（iii）让我们注意到（L）的独特解决方案- ^r）^h（x）=0，那么b<L*如果y是凹的，则^H（y）是凹的∈ （0，^ψ（b）），如果y是凸的∈ （ψ（b）+∞).y^H^W^z=^ψ（d）*)ψ（\'d）ψ（b）*)^ψ（b）图3：^H和^W的草图。函数^W与[0，^z]上的^H重合，等于（^z）上的常数^H（^z）+∞).在图3中，我们根据引理4.4给出了^H的简图。这将有助于得出最佳入门水平。定理4.5最优进入时机问题（2.4）允许解j（x）=V（x）- 十、- ^c如果x∈ (-∞, D*],V（d）*)-D*- ^c^G（d）*)^G（x）如果x∈ （d）*, +∞ ),（4.10）最佳入门级d*由方程^G（d）（V′（d）得出- 1） =^G′（d）（V（d）- D- ^c）。（4.11）证据。我们寻找以下形式的值函数：J（x）=^G（x）^W（^ψ（x）），其中e^W是^H的最小凹主。从引理4.4和图3，我们推断存在唯一数^z<^ψ（b）*) 使得^H′（^z）=0。（4.12）这意味着如果y≤ ^z，^H（^z）如果y>^z.（4.13）替换为d*=^ψ-1（^z）到（4.12），我们有^H′（^z）=^G（d）*)（V′（d）*) - 1) -^G′（d）*)（V（d）*) - D*- ^c）^F′（d）*)^G（d）*) -^F（d）*)^G′（d）*)= 0，相当于条件（4.11）。此外，使用（3.14）和（3.15），我们得到^H（^z）=V（d）*) - D*- ^c^G（d）*).

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2022-5-7 04:03:33

（4.14）最后，我们将（4.14）的^H（^z）和（3.15）的^H（y）替换为（4.13）的^W，通过（3.16）使（4.10）中的值函数J（x）变小。利用V和J的解析解，我们可以通过直接替换验证（4.2）中的V（x）和（4.10）中的J（x）同时满足（3.17）和（3.18）。由于最优进入时间问题与另一个最优停止问题嵌套，最优进入水平的参数依赖性是复杂的。下面，我们将说明交易成本的影响。命题4.6最佳入门级d*of（2.4）是交易成本下降的证明。考虑最佳入门级d*作为^c的函数，我们将（4.11）w.r.t.^c区分为getd*′（^c）=-^G′（d）*)^G（d）*)[V′（d）*) -V（d）*) - D*- ^c^G（d）*)^G′（d）*)]-1.（4.15）自^G（d）*) > 0和^G′（d）*) < 0，d的符号*′（c）由V′（d）决定*) -V（d）*)-D*- ^c^G（d）*)^G′（d）*). 表示^f（x）=V（d*)-D*- ^c^G（d）*)^G（x）。回想一下，^h（x）=V（x）- 十、- ^c，J（x）=（^h（x）如果x∈ (-∞ , D*],^f（x）>^h（x）如果x∈ （d）*, +∞ ),以及d处的^f（x）平滑膏体^h（x）*. since^h（x）和^f（x）都是正递减凸函数，它遵循^h′（d*) ≤^f′（d）*). 观察到^h′（d*) = V′（d）*) 和^f′（d）*) =V（d）*)-D*- ^c^G（d）*)^G′（d）*), 我们有*) -V（d）*)-D*- ^c^G（d）*)^G′（d）*) ≤ 0.将其应用于（4.15），我们得出结论：*′（^c）≤ 0.我们以OU模型中的一个特殊例子结束本节，该模型没有均值回归。备注4.7如果我们在（2.1）中设置u=0，且r和^r固定，则X会减少为布朗运动：Xt=σBt，t≥ 0.在这种情况下，最佳清算级别为b*问题（2.3）isb*= c+σ√2r和最佳进入水平l d*因为问题（2.4）是方程1+r^rr的根！E√2rσ（d）-C-σ√2r）=√2^rσ（d+c）+1，d∈ (-∞, B*).5.考虑止损存在时，我们考虑具有s顶损失约束的最优进入和退出问题。

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可人4

2022-5-7 04:03:36

为了方便起见，我们从（2.5）和（2.6）中得出函数的值：JL（x）=s upν∈德克萨斯州-^rν（VL（Xν）- Xν- ^c）o，（5.1）VL（x）=s upτ∈德克萨斯州-r（τ）∧τL）（Xτ∧τL- c） o.（5.2）在求解最优时机策略后，我们还将研究最优清算阈值对止损水平L.5.1最优退出时机的依赖性。我们首先给出最优退出时机问题的解析解。定理5.1止损水平为L的最优清算问题（5.2）允许解vl（x）=（CF（x）+DG（x）如果x∈ （L，b）*五十），x- c否则，（5.3）式中c=（b）*L-c） G（L）- （L）- c） G（b）*五十） F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十），D=（L）- c） F（b）*L）- （b）*L- c） F（L）F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十）。（5.4）最优清算水平el b*从方程式[L]中发现的Lis- c） G（b）- （b）- c） G（L）]F′（b）+[（b- c） F（L）- （L）- c） F（b）]G′（b）=G（b）F（L）- G（L）F（b）。（5.5）ψ（L）zL=ψ（b）*五十） yHWLψ（L）*)图4:WL的草图。关于[0，ψ（L）]∪[zL+∞), wl与H重合，在（ψ（L），zL）上，wl是与H在zL处相切的直线。证据由于止损水平L，我们考虑限制域[ψ（L）上H（y）的最小凹主，用WL（y）表示+∞) 并为y设置WL（y）=H（y）∈ [0，ψ（L）]。从引理4.1和图4中，我们可以看到H（y）在（0，ψ（L）上是凸的*)] [ψ（L）中的凹*), +∞).如果我≥ L*, 那么H（y）在[ψ（L）上是凹的+∞), 这意味着WL（y）=H（y）代表y≥ 0，而thusVL（x）=x- c代表x∈ R.另一方面，如果L<L*, 那么H（y）在[ψ（L），ψ（L）上是凸的*)], 在[ψ（L）上严格递增*), +∞). 存在一个单位数zL>ψ（L）*) 这样的话（zL）- H（ψ（L））zL- ψ（L）=H′（zL）。

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2022-5-7 04:03:40

（5.6）反过来，最小的凹面主分量接受以下形式：WL（y）=（H（ψ（L））+（y）- ψ（L））H′（zL）如果y∈ （ψ（L），zL），H（y）否则。（5.7）代以b*L=ψ-1（zL）到（5.6），我们从LHSH（zL）开始- H（ψ（L））zL- ψ（L）=H（ψ（b）*五十） )- H（ψ（L））ψ（b）*L）- ψ（L）=b*L-cG（b）*L）-L-cG（L）F（b）*五十） G（b）*L）-F（L）G（L）=C，而RHSH′（zL）=G（ψ）-1（zL））- (ψ-1（zL）- c） G′（ψ）-1（zL））F′（ψ-1（zL））G（ψ-1（zL））- F（ψ）-1（zL））G′（ψ-1（zL））=G（b*L）- （b）*-c） G′（b）*五十） F′（b）*五十） G（b）*L）- F（b）*五十） G′（b）*五十）。因此，我们可以用b等价地表示（5.6）*L:（b）*L- c） G（L）- （L）- c） G（b）*五十） F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十） =G（b）*L）- （b）*L- c） G′（b）*五十） F′（b）*五十） G（b）*L）- F（b）*五十） G′（b）*五十），通过重新排列立即简化为（5.5）。此外，对于x∈ （L，b）*五十），H′（zL）=C意味着wl（ψ（x））=H（ψ（L））+（ψ（x）- ψ（L））C.将其代入VL（x）=G（x）WL（ψ（x）），值函数变为VL（x）=G（x）H（ψ（L））+（ψ（x）- ψ（L））C= CF（x）+G（x）H（ψ（L））- ψ（L）C,在观察到h（ψ（L））之后，哪个序列是（5.3）- ψ（L）C=L- cG（L）-F（L）G（L）（b）*L- c） G（L）- （L）- c） G（b）*五十） F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十） =（L）- c） F（b）*L）- （b）*L- c） F（L）F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十） =D.我们可以用三个价格区间来解释投资者的时机策略，即清算区域[b]*我+∞ ), 延迟区（L，b）*五十），以及止损区(-∞, 五十] 。在清算区和止损区，价值函数VL（x）=x- c、因此，投资者将立即平仓。根据定理5.1的证明，如果≥ L*=μθ+rcu+r（见（4.1）），然后VL（x）=x- C十、∈ R.换句话说，如果止损水平太高，那么延迟区域完全消失，投资者将立即为每个初始值x清算∈ R.推论5.2如果L<L*, 然后存在一个唯一的解决方案b*L∈ （L）*, +∞ ) 这就解决了（5.5）。

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2022-5-7 04:03:45

如果我≥ L*,那么VL（x）=x- c、为了x∈ R.止损退出约束的直接影响是，每当价格过程在上清算级别b之前达到HESL时，强制清算*L.有趣的是，还有一个额外的间接影响：较高的顶部损失水平将促使投资者自愿提前在较低的取食比例水平下进食。命题5.3最优清算水平b*Lof（5.2）随着止损水平的增加而严格降低。证据回想一下，zL=ψ（b*五十） ψ是严格递增函数。因此，有充分的证据表明，zl随着L:=ψ（L）的增加而严格减小。因此，我们用zL（~L）来强调它对~L的依赖性。区别（5.6）w.r.t.~L给定Z′L（~L）=H′（zL）- H′（~L）H′（zL）（zL）-)L）。(5.8)-2.5-2.-1.5-1.-0.5 0 0.5 1-0.500.51磅*Lθ=0.3θ=0θ=-0.3图5：最佳退出阈值b*Lis随停车服务水平s水平L的响应而严格降低。直线为w he re b*L=L，每个圆圈都定位临界停止损失水平L*.根据WLand zL的定义，H′（zL）>H′（~L）和zL>~L。此外，由于H在zL处是凹的，所以H′（z）<0。将这些应用于（5.8），我们得出结论，z′L（~L）<0。图5显示了b级最优退出价格*Las是止损水平L的函数，对于不同的长期运行意味着θ。Wh en b*Lis严格大于L（在直线e的左侧），延迟区域不为空。随着L的增加，b*L急剧下降，二者在L相遇*（在直线上），延迟区域消失。此外，不同长期手段的病例与转移成本之间存在着有趣的联系。为此，让我们用VL（x；θ，c）表示值函数，以强调对θ和c的依赖，并用b表示相应的最佳清算水平*L（θ，c）。

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2022-5-7 04:03:49

我们发现，对于任何θ，θ∈ R、 c，c>0，L≤μθ+rcu+r和L≤uθ+rcu+r，相关的值函数和最优清算水平满足以下关系：VL（x+θ；θ，c）=VL（x+θ；θ，c），（5.9）b*L（θ，c）- θ=b*L（θ，c）- θ、（5.10）只要θ- θ=c- c=L- L.这些结果（5.9）和（5.10）也适用于无超支损失的情况。5.2最佳进入时机我们现在讨论（5.1）中定义的最佳进入时机问题JL（x）。自从supx∈R（VL（x）-十、-^c）≤ 0表示JL（x）=0表示x∈ R、我们可以用UPX来关注这个案例∈R（VL（x）- 十、- ^c）>0，（5.11），并寻找非平凡的最佳时机策略。与奖励函数^hL（x）相关：=VL（x）- 十、- ^c进入市场后，我们在（3.11）中定义了函数^HLas，其性质总结在以下引理中。引理5.4函数^hl在[0]上是连续的+∞), （0，^ψ（L））上的可微性∪（ψ（L），+∞ ), （0，^ψ（L））上的可微性∪ （ψ（L），ψ（b）*五十） )∪ （φψ（b）*五十） ,+∞), 并具有以下性质：（i）^HL（0）=0。^HL（y）<0表示y∈ （0，^ψ（L）]∪ [^ψ（b）*五十） ,+∞).（ii）^HL（y）在y中严格下降∈ （0，^ψ（L））∪ （φψ（b）*五十） ,+∞).（iii）存在一些恒定的“dL”∈ （L，b）*五十）因此（L）- ^r）^hL（\'dL）=0，如果y，则^hL（y）是（凸的）∈ （0，^ψ（L））∪ ^ψ（\'dL）+∞),如果y是凹的∈ （ψ（L），ψ（\'dL））。此外，^z∈ （^ψ（L），^ψ（\'dL）），其中^z:=arg maxy∈[0,+∞)^HL（y）。定理5.5最优进入时机问题（5.1）允许解jl（x）=P^F（x）如果x∈ (-∞, A.*五十），VL（x）- 十、- ^c如果x∈ [a]*五十、 d*五十] ，Q^G（x）如果x∈ （d）*我+∞ ),（5.12）式中P=VL（a*L）- A.*L- ^c^F（a）*五十），Q=VL（d）*L）- D*L- ^c^G（d）*五十）。（5.13）最佳进入时间由νa给出*五十、 d*L=inf{t≥ 0:Xt∈ [a]*五十、 d*五十] }，（5.14）其中*土地d*分别满足^F（a）（V′L（a）- 1） =^F′（a）（VL（a）- A.- ^c）、（5.15）和^G（d）（V′L（d）- 1） =^G′（d）（VL（d）- D- ^c）。

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2022-5-7 04:03:53

（5.16）y^HL^WL^z=^ψ（a）*五十） ^z=^ψ（d）*五十） ^ψ（L）^ψ（b）*五十）图6：^HLand^WL的草图。^wl是与^HLat^zon[0，^z]相切的直线，与^HLon[^z，^z]重合，等于（^z）上的常数^HL（^z）+∞). 注意，^hl在^ψ（L）处不可微。证据我们寻找以下形式的值函数：JL（x）=^G（x）^WL（^ψ（x）），其中^WL是^HL的最小非负凹主。根据引理5.4和图6中的^HLin草图，最大化^HL，^z，满意度^H′L（^z）=0。（5.17）还有一个唯一的数字^z∈ （^ψ（L），^z）使得^HL（^z）^z=^H′L（^z）。（5.18）反过来，最小的非负凹面主分量接受f形式：^WL（y）=y^H′L（^z）如果y∈ [0，^z），^HL（y）如果y∈ [^z，^z]，^HL（^z）如果y∈ （^z+∞ ).代替*L=^ψ-1（^z）到（5.18），我们有^HL（^z）^z=VL（a）*L）- A.*L- ^c^F（a）*五十），^H′L（^z）=^G（a）*五十）（V′L（a）*L）- 1) -^G′（a）*五十）（VL（a）*L）- A.*L- ^c）^F′（a）*五十） ^G（a）*L）-^F（a）*五十） ^G′（a）*五十）。等价地，我们可以用a来表示条件（5.18）*L:VL（a）*L）- A.*L- ^c^F（a）*五十） =^G（a）*五十）（V′L（a）*L）- 1) -^G′（a）*五十）（VL（a）*L）- A.*L- ^c）^F′（a）*五十） ^G（a）*L）-^F（a）*五十） ^G′（a）*五十）。简化这一点表明*Lsolves（5.15）。此外，我们可以用a来表示^H′L（^z）*L:^H′L（^z）=^HL（^z）^z=VL（a）*L）- A.*L- ^c^F（a）*五十） =P.此外，替换为d*L=^ψ-1（^z）到（5.17），我们有^H′L（^z）=^G（d）*五十）（V′L（d）*L）- 1) -^G′（d）*五十）（VL（d）*L）- D*L- ^c）^F′（d）*五十） ^G（d）*L）-^F（d）*五十） ^G′（d）*五十） =0，经过简单简化后，与（5.16）相同。此外，^HL（^z）可以写成^HL（^z）=VL（d）*L）- D*L- ^c^G（d）*五十）把它们代入JL（x）=^G（x）^WL（^ψ（x）），我们得到（5.12）。定理5.5揭示了最优进入区域的特征是一个临界区间[a*五十、 d*五十] 严格高于止损水平L，严格低于最佳退出水平b*L.特别是，如果当前资产价格介于L和a之间*五十、那么，即使价格较低，投资者也最好等待。

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2022-5-7 04:03:57

这是直观的，因为如果进入价格太接近L，那么投资者很可能在s之后被迫亏损退出。因此，投资者等待进入市场的延迟区域断开。图7显示了两条模拟路径和相关的锻炼时间。我们选择L作为低于长期平均值θ的2个标准d表示，其他参数来自我们的配对交易示例。根据定理5.5，投资者将以νa进入市场*五十、 d*L（见（5.14））。因为两条路径都以x>d开头*五十、投资者等待进入，直到OU路径到达d*从上面看，如ν所示*D小组（a）和（b）。进入后，图7（a）描述了投资者自愿退出最优b级的情况*五十、在图7（b）中，投资者被迫在止损水平L下退出。根据定理5.5和定理5.1，根据给定的估计参数计算出这些最佳水平。0 10 20 30 40 50 60 70 90 1000.460.480.50.520.540.560.58天b*Ld*LLν*dτ*b（a）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.460.480.50.520.540.560.58天b*Ld*LLν*dτL（b）图7：模拟的OU路径和运动时间。（a）投资者在ν*d=inf{t≥ 0:Xt≤ D*五十} 和d*L=0.4978，在τ处退出*b=inf{t≥ ν*d:Xt≥ B*五十} 和b*L=0.5570。（b）投资者以ν进入*d=inf{t≥ 0:Xt≤ D*五十} 但止损水平L=0.4834时退出。参数s：θ=0.5388，u=16.6677，σ=0.1599，r=^r=0.05，c=^c=0.05。备注5.6我们注意到最佳水平a*五十、 d*土地b*根据参数（u、θ、σ）和止损水平L的选择，模型的大量输出。回想一下，我们的模型参数是根据第2.1节中讨论的可能性最大化投资组合估算的。

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2022-5-7 04:04:00

可以使用其他估计方法和价格数据，并可能导致不同的投资组合策略（α、β）和估计参数值（u、θ、σ）。反过来，由此产生的最佳进入和退出阈值也可能相应地改变。5.3相对止损对一些投资者来说，根据入门级设定止损可能更可取。换句话说，如果进入时X的值为X，那么投资者将指定一个较低的止损水平X- l, 为了某个常数l > 因此，投资者面临最优进入时机问题l（x） =s upν∈德克萨斯州-^rν（V）l（Xν）- Xν- ^c）o，（5.19）其中Vl（x）：=Vx-l（x）（见（5.2））是止损水平为x的最佳退出时机问题- l. Vx的依赖性-l（x）与V（x）或VL（x）相比，x上的问题要复杂得多，这使得问题更难处理。在图e 8中，我们用数字说明了最佳定时策略。投资者仍将以较低的级别d进入*. 进入后，投资者将在止损水平上等待退出*- l 还是b级以上*.-2.-1.5-1.-0.5 0 0.5 1-0.500.511.522.5x d*Jl（x）五l（十）- 十、- ^c-2.-1.5-1.-0.5 0 0.5 1-2.5-2.-1.5-1.-0.500.51xD*- lB*性病*-l（x） x- 图8：（左）最优输入值函数Jl（x）主导奖励函数Vl（十）- 十、- ^c，他们为x而杀人≤ D*. （右）对于出口问题，止损水平为d*- l 最优清算水平为B*.5.4结论性意见其他扩展包括使我们的双最优停止问题适应指数OU、CoxIngorsoll-Ross（CIR）或其他基本动态，以及可数交易数（Zervos等人，2013；Zhang和Z hang，2008）。或者，可以通过指定股息流的动态来模拟资产价格。

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2022-5-7 04:04:02

例如，Scheinkman和Xiong（2003）研究了两个对均值回复（OU）股息动态有不同信念的投机性交易者之间进行交易的最佳时机。除了风险资产交易之外，研究在均值回复基础上买入/卖出衍生品的时机也很有用（参见Leung和Liu（2012）以及Leung和Shirai（2013））。对于所有这些应用程序，虽然没有明确的解决方案，但在有限的时间范围内检查最佳停止问题是自然的。附录。1 orem 3.2的证明（V的最优性）。自τa∧ τb∈ T，我们有V（x）≥ sup{a，b:a≤十、≤b} 前{e-r（τa）∧τb）h（Xτa）∧τb）}=G（x）W（ψ（x））。为了证明等式的相反，我们首先证明了G（x）W（ψ（x））≥ 前{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） W（ψ（Xt）∧τ））}，对于τ∈ T和T≥ 0.W的凹度意味着，对于任何固定的y，都存在一个函数（z）：=myz+cyth（z）≥ 在z=y时，W（z）和Ly（y）=W（y），而mye和cy都依赖于y。这导致了不平等性-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） W（ψ（Xt）∧τ))} ≤ 前{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） Lψ（x）（ψ（Xt）∧τ））}=mψ（x）Ex{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） ψ（Xt）∧τ） }+cψ（x）Ex{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） }=mψ（x）Ex{e-r（t）∧τ） F（Xt）∧τ） }+cψ（x）Ex{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） }=mψ（x）F（x）+cψ（x）G（x）（A.1）=G（x）Lψ（x）（ψ（x））=G（x）W（ψ（x）），（A.2），其中（A.1）来自（e）的鞅性质-rtF（Xt））t≥0和（e）-rtG（Xt））t≥通过（A.2）和W支配H的事实，它遵循g（x）W（ψ（x））≥ 前{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） W（ψ（Xt）∧τ))}≥ 前{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） H（ψ（Xt）∧τ））}=Ex{e-r（t）∧τ） h（Xt）∧τ)}. （A.3）在所有τ上最大化（A.3）∈ T和T≥ 0表示G（x）W（ψ（x））≥ V（x）。A.2引理4.1的证明（H的性质）。H在（0+∞) 直接从h，G和ψ的方程出发。显示H在0处的连续性，因为H（0）=limx→-∞（十）-c） +G（x）=0，我们只需要显示limy→0H（y）=0。

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2022-5-7 04:04:06

注意y=ψ（x）→ 0，作为x→ -∞.所以limy→0H（y）=limx→-∞h（x）G（x）=limx→-∞十、- cG（x）=limx→-∞G′（x）=0。我们得出结论，H在0处也是连续的。（i） ψ（x）可以表示∈ (0, +∞) 为了x∈ R是严格递增函数。然后性质（i）直接从G（x）>0的事实出发。（ii）通过定义H，H′（y）=ψ′（x）（hG）′（x）=H′（x）G（x）- h（x）G′（x）ψ′（x）G（x），y=ψ（x）。由于ψ′（x）和G（x）都是正的，我们只需要确定h′（x）G（x）的符号-h（x）G′（x）=G（x）- （十）- c） G′（x）。定义u（x）：=（x）-c）-G（x）G′（x）。u（x）+c是G（x）切线x轴上的交点。由于G（·）是一个正的、严格递减的凸函数，因此u（x）是严格递增的，u（x）<0as x→ -∞ . 另外，请注意u（c）=-G（c）G′（c）>0，u（L）*) = （L）*-c）-G（x）G′（x）=ur（θ）- L*) -G（L）*)G′（L）*)= -σ2rG′（L）*)G′（L）*)> 因此，存在唯一的根x*这就解决了u（x）=0和x*< C∧ L*, 例如g（x）- （十）- c） G′（x）（<0如果x∈ (-∞, 十、*),> 如果x为0∈ （十）*, +∞ ).因此，如果y∈ （0，ψ（x）*)), 否则会增加。（iii）通过定义H，H′（y）=σG（x）（ψ′（x））（L- r） h（x），y=ψ（x）。由于σ，G（x）和（ψ′（x））都是正的，我们只需要确定（L）的符号- r） h（x）：（L）- r） h（x）=u（θ）- 十）- r（x）- c） =（μθ+rc）- （u+r）x(≥ 如果x为0∈ (-∞, L*],≤ 如果x为0∈ [L]*, +∞ ).因此，如果y是凸的，则H（y）是凸的∈ （0，ψ（L）*)], 反之亦然。A.3引理4.4的证明（^H的性质）。我们首先解释了V（x）和d^h（x）在任何地方都是两倍可微的，除了x=b*. 回想一下v（x）=（b*- c） F（x）F（b）*)如果x∈ (-∞, B*),十、- c否则，和^h（x）=V（x）- 十、- 因此，从（4.3）得出v′（x）=（b）*- c） F′（x）F（b）*)=F′（x）F′（b）*)如果x∈ (-∞ , B*),1如果x∈ （b）*, +∞ ),这意味着V′（b*-) = 1=V′（b）*+).

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2022-5-7 04:04:10

因此，V（x）在任何地方都是可微的，而^h也是可微的。然而，V（x）不是两次可微的，因为V′（x）=（F′（x）F′（b）*)如果x∈ (-∞, B*),如果x为0∈ （b）*, +∞ ),和V′（b）*-) 6=V′（b）*+). 因此，^h（x）=V（x）- 十、- ^c在b中不是两次可区分的*.ψ和ψ的可微性是两倍的。^Hon（0+∞) （0，^ψ（b）上的二次可微性*))∪（φψ（b）*), +∞) 直接跟进。观察到^h（x）>0as x→ -∞ ,^H定义为0时也是连续的。我们现在建立了^H的性质。（i）首先我们得到了^H在0:^H（0）=limx时的值→-∞（^h（x））+^G（x）=lim supx→-∞（b）*-c） F（b）*)F（x）- 十、- ^c^G（x）=lim supx→-∞（b）*-c） F（b）*)F′（x）- 1^G′（x）=0。接下来，观察这个边缘→-∞^h（x）=+∞ 和^h（x）=-（c+^c），代表x∈ [b]*, +∞ ). 因为F′（x）是严格递增的，对于x，F′（x）>0∈ R、我们有，因为x<b*,^h′（x）=V′（x）- 1=F′（x）F′（b）*)- 1<F′（b）*)F（b′）*)- 1=0，这意味着^h（x）对于x是严格递减的∈ (-∞, B*). 因此，存在一个唯一的解决方案“d到^h（x）=0，并且“d<b”*, 如果x，则^h（x）>0∈ (-∞,\'d）和^h（x）<0如果x∈ （\'d+∞). ^ψ（x）∈ (0, +∞) 为了x∈ 是一个严格的递增函数。因此，伴随着^G（x）>0的事实，性质（i）直接跟随。（ii）y=^ψ（x），对于x>b*,^H′（y）=^ψ′（x）（^H^G）′（x）=^ψ′（x）(-（c+^c）^G（x））\'=^ψ′（x）（c+^c）^G′（x）^G（x）<0，因为^ψ′（x）>0，^G′（x）<0，以及^G（x）>0。

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2022-5-7 04:04:13

因此，对于y>ψ（b），^H（y）是严格递减的*).（iii）通过定义^H，^H′（y）=σ^G（x）（^ψ′（x））（L）- ^r）^h（x），y=^ψ（x）。由于σ、^G（x）和（^ψ′（x））都是正的，我们只需要确定（L）的符号- ^r^h（x）：（L）- ^r）^h（x）=σV′（x）+u（θ）- x） V′（x）- u(θ - 十）- ^r（V（x）- 十、- ^c）=（r- ^r）V（x）+（u+^r）x- 如果x<b，θ+r^c*,如果x>b，则^r（c+^c）>0*.确定（L）的符号- ^r）^h（x）in(-∞, B*), 首先注意[（L）- ^r）^h]（x）是一个严格递增函数(-∞, B*), 因为V（x）是严格递增函数，r≥ ^r根据假设。接下来请注意，对于x∈ [L]*, B*),（L）- ^r）^h（x）=（r）- ^r）V（x）+（u+^r）x- θ+^r^c≥ （r）- ^r）（x）- c） +（u+^r）x- uθ+^r^c=（r+u）x- （μθ+rc）+^r（c+^c）≥ （r+L）u*- （μθ+rc）+^r（c+^c）=^r（c+^c）>0。另外，请注意（L）- ^r）^h（x）→ -∞ 作为x→ -∞. 因此- ^r）^h（x）<0如果x∈ (-∞, b）和（L）- ^r）^h（x）>0如果x∈ （b）+∞ ) b<L*成为收支平衡点。由此，我们得出结论（三）。A.4引理5.4的证明（^HL的性质）。（i） ^HL（y）在（0）上的连续性+∞) 由^hL，^G和^ψ的连续性所暗示。^HL（y）在0处的连续性遵循^HL（0）=limx→-∞（^hL（x））+^G（x）=limx→-∞^G（x）=0，石灰→0^HL（y）=limx→-∞^hL^G（x）=limx→-∞-（c+^c）^G（x）=0，其中我们使用了y=^ψ（x）→ 0作为x→ -∞.此外，对于x∈ (-∞, L]∪ [b]*我+∞ ), 我们有VL（x）=x- c、因此，^hL（x）=-（c+^c）。此外，在^ψ（x）是严格递增函数且^G（x）>0的情况下，性质（i）如下。（ii）根据^HL的定义，由于^G和^ψ在任何地方都是可微的，我们只需要证明VL（x）的可微性。为此，VL（x）在b处是可以区分的*Lby（5.3）-（5.5），但不是在L。

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