这是因为我们的假设，特别是考虑需求，允许需求函数具有不连续点和一些非弹性区域（见假设2.1）。更准确地说，如果我们定义映射τ7→ OO（τ；p）byOO（τ；p）=JXi=1O（Cτj（·）；p） =JXi=1κi{p≥ci+τei}=JXi=1κi{τ≤P-ciei}，那么我们可以观察到，对于离ci足够远的任何p>0，以及任何τ≥ τ，OO（τ；p）≤ OO（τ；p）和lim→0+OO（τ+; p） =OO（τ；p）。我们称之为SD={pd；lim→0+D（pd+) < D（pd）}，需求函数的不连续点集。我们称之为Sκ={pc；D（pc）=Pκi}，这组价格使需求与生产能力的某种积累相一致。我们观察到pelec（τ）∈ {ci+τei，i=1，…，j}∪ SD∪ Sκ。特别是，从定义2.3，p（τ）=inf{p>0；OO（τ；p）>D（p）}，我们得到了D（p（τ）}+)) ≤ OO（τ）+; p（τ）+)) ≤ OO（τ；p（τ）+)) 由此我们得出p（τ+) ≥ p（τ）。现在我们证明τ7的右连续性→ p（τ）。让我们定义一个τ。（i） 我们首先考虑情况D（p（τ））<OO（τ；p（τ））。这意味着p（τ）的形式为c`+τ`，对于给定的`。那什么时候 > 0足够小，我们也有p（τ+) =c`+（τ+)e`。的确，D（c`+（τ+)e`）≤ D（c`+τe`）和足够小的,OO（τ；c`+τe`）=κ`+Xi6=`κi{τ≤c`-ci1-ei/e`}=OO（τ+; c`+（τ+)e`）。因此，D（c`+（τ+)e`）<OO（τ+; c`+（τ+)e`），这意味着p（τ）+e` = c`+（τ+)e`≥ p（τ+) 因此` ≥ p（τ+) - p（τ）。（ii）我们接下来考虑情况D（p（τ））>OO（τ；p（τ））。这意味着p（τ）∈ SDI位于不连续点，比如需求的pdof，p（τ）=pd。然后，对于任何δ>0，D（p（τ）+δ）<OO（τ；p（τ）+δ）。ButOO（τ；pd+δ）=JXi=1κi{τ≤pd+δ-ciei}我们可以选择δ足够小，使得τ6=pd+δ-ciei。

那么，对于一个足够小的,D（p（τ）+δ）<OO（τ；p（τ）+δ）=OO（τ+; p（τ）+δ），这意味着p（τ）+δ≥ \'p（τ+), 所以我们得到δ≥ p（τ+) - p（τ）≥ 我们现在考虑情况D（p（τ））=OO（τ；p（τ））。这意味着p（τ）∈ Sκ，假设p（τ）=pch，对于任何δ>0，D（p（τ）+δ）<OO（τ；p（τ）+δ）。但是，OO（τ；pc+δ）=JXi=1κi{τ≤pc+δ-ciei}我们可以选择足够小的δ，使得τ6=pc+δ-ciei。那么 足够小，D（p（τ）+δ）<OO（τ；p（τ）+δ）=OO（τ+; p（τ）+δ），这意味着p（τ）+δ≥ p（τ+), 所以我们得到δ≥ p（τ+) - p（τ）≥ 0.τ7的右连续性→ “p（τ）的定义如下：”“p（τ）是p（τ）的连续变换。A.2.1引理3.7的证明。证据包括对所有情况的完整分析，但每种情况都是基本的。让我们假设相反的情况，即存在0≤ t<t≤ p使得排放水平为W（t）>W（t）。我们定义了函数τ7→ I（τ）在{1，…，J}的子集中取值，该子集列出了电力市场中按税收水平生产的生产者τ：I∈ 如果φI（τ）>0，则I（τ）。特别是我们有所有τ∈ [0，p]，W（τ）=Xi∈I（τ）ei~nI（τ）。（i） 我们首先检查情况i（t）=i（t）。为了缩短表达式，我们采用以下缩短符号I（t）=I和I（t）=I（I-a）IfPi∈然后，根据需求约束（DC）和排放水平假设（EH），wehaveXi∈I~nI（t）=D（t）≥ D（t）≥xi∈I k I（t）（DC）Xi∈I~nI（t）ei<Xi∈I~nI（t）ei。（EH）我们用bi表示指数I的子集，使得ci+tei=p（t）。特别是当j∈ I\\bI，然后φj（t）=κj。注意，在setbI中最多存在一个索引（比如`）∩毕。如果j∈bI\\bian和k∈然后，通过对集合cj+ejt=c`+e`t，ck+ekt<cj+ejt，cj+ejt<c`+e`t，ck+ekt=c`+e`t，cj+ejt<ck+ekt，ck+ekt<c`+e`t的定义，我们很容易从中推断出max{ej，j∈bI\\bI}<e`<min{ek，k∈bI\\bI}。

（A.4）现在我们将需求约束（DC）和排放水平假设（EH）中的集合I和ii分解如下：∈I\\bI∪bIκn+~n`（t）+Xi∈bI\\bI~ni（t）+Xk∈bI\\bIκk≥Xn∈I\\bI∪bIκn+~n`（t）+Xi∈bI\\bIκi+Xk∈bI\\bI~nk（t），（DC）Xn∈I\\bI∪bIenκn+e`~n`（t）+Xi∈bI\\bIei~ni（t）+Xk∈bI\\bIekκk<Xn∈I\\bI∪bIenκn+e`~n`（t）+Xi∈bI\\bIeiκi+Xk∈bI\\bIek~nk（t）。（EH）经过简化后，我们得到了ψ`（t）+Xi∈bI\\bI~ni（t）+Xk∈bI\\bIκk≥ ~n`（t）+Xi∈bI\\bIκi+Xk∈bI\\bI~nk（t），（DC）e`~n`（t）+Xi∈bI\\bIei~ni（t）+Xk∈bI\\bIekκk<e`~n`（t）+Xi∈bI\\bIeiκi+Xk∈bI\\bIek~nk（t）。（EH）首先假设`（t）+Pi∈bI\\bI~ni（t）≥ ~n`（t）+Pi∈bI\\bIκi.等价地，我们有洎`（t）- ~n`（t）≥xi∈bI\\bI（κi）- νi（t））和（A.4）中的e`（η`（t）- ~n`（t））≥xi∈bI\\bIei（κi- ~ni（t））。通过将上述与排放水平假设（EH）相结合，我们得到了以下矛盾：Pk∈bI\\bIekκk<Pk∈bI\\bIek~nk（t）。现在假设φ`（t）+Pi∈bI\\bI~ni（t）+Pi∈bI\\bIκi.将需求约束（DC）乘以^e:=min{ek，k∈bI\\bI}，我们得到了XK∈bI\\bIek（κk- k（t））≥ ^e（^`（t）- ~n`（t））+^eXi∈bI\\bI（κi）- ~ni（t））。但是从（呃）和（A.4），我们也有XK∈bI\\bIek（κk- ~nk（t））<e`（t）- ~n`（t））+e`Xi∈bI\\bI（κi）- νi（t）），然后0≥ （^e）- e`）（圪`（t）- ~n`（t））+（^e- 鄂西∈bI\\bI（κi）- νi（t）），这与我们的假设相矛盾。（i-b）IfXi∈那么，尽管我∈ 一、 νI（t）=κI（EH）必然是错误的。（ii）我们检查情况I（t）6=I（t）我们添加了以下缩短符号：I（t）∩ I（t）=II。我们将I和II分解为集合II，I\\I和I\\I。我们用bi表示索引I的集合∈ I使得ci+tei=p（t）。特别是当j∈ I\\bI，然后φj（t）=κj。我们首先推导出这些气体的排放率之间的一些一般关系。在集合II中的索引中，我们观察到在setbI中最多存在一个索引（比如`）∩毕。

如果j∈bI\\bI，如果∈然后，通过对集合cj+ejt=c`+e`t，ck+ekt<cj+ejt，cj+ejt<c`+e`t，ck+ekt=c`+e`t，cj+ejt<ck+ekt，ck+ekt<c`+e`t的定义，我们可以很容易地推断出∈ 二、∩bI\\bIo<e`<minnek，k∈ 二、∩bI\\bIo:=^e（A.9）代表j∈ 我和k∈ 我们有cj+ejt<ck+ekt和cj+ejt>ck+ekt，从中我们也可以很容易地推断出max{ek，k∈ I\\I}<min{ej，j∈ 我。（A.10）对于相同的j和k，对于（^c，^e）代表II中的指数∩bI\\bI和（^c，^e）代表II中的指数∩bI\\bI，我们还有CJ+ejt≤ ^c+^etcj+ejt>^c+^etandck+ekt>^c+^etck+ekt≤ ^c+^et从中，我们推导出min{ej，j∈ I\\I}>（e`，^e）∨ 麦克斯{ek，k∈ I\\I}max{ek，k∈ I\\I}<（e`，^e）∧ min{ej，j∈ 我。（A.11）我们将分析分为案例。在第一种情况下，需求完全满足pelec（t）的价格。（ii-a）IfPi∈IхI（t）=D（pelec（t）），Xi∈I\\I~nI+Xi∈ II~ni（t）=D（pelec（t））≥ D（pelec（t））≥xi∈ II~ni（t）+Xi∈I\\I~nI（t），（DC）Xi∈I\\I~nI（t）ei+Xi∈ II~ni（t）ei<Xi∈ II~ni（t）ei+Xi∈I\\I~nI（t）ei。（EH）然后，我们必须检查以下两个子类别，与需求满足或不满足pelec（t）价格的情况相关。（ii-a-1）国际单项体育联合会∈I~nI（t）<D（pelec（t）），那么对于所有I∈ IandXj∈I\\I~nj（t）+Xi∈ II~ni（t）>Xi∈ IIκi+Xk∈I\\Iκk，（DC）Xj∈I\\I~nj（t）ej+Xi∈ II~ni（t）ei<Xi∈ IIκiei+Xk∈我\\我κkek。（EH）As~ni（t）=κi当i∈ （I\\bI）∩ 二、 我们可以通过（I\\bI）的和来简化（DC）和（EH）的两边∩ 二、剩下的部分是{`}∪bI\\bI∩ 二、:Xj∈I\\I k j（t）+а`+Xi∈bI\\bI∩ II~ni（t）>κ`+Xi∈bI\\bI∩ IIκi+Xk∈I\\Iκk，（DC）Xj∈I\\Iej k j（t）+e k Xi∈bI\\bI∩ iei~ni（t）<e`κ+Xi∈bI\\bI∩ IIeiκi+Xk∈我知道了。

（呃）然后我们用（DC）乘以‘e:=（e’，^e）∨ 麦克斯{ek，k∈ I\\I}，我们通过（A.11）Xj获得∈I\\Iej k j（t）+e k `+\'eXi∈bI\\bI∩ II~ni（t）>eκ`+\'eXi∈bI\\bI∩ IIκi+Xk∈我们用（EH）减去：（\'e- e`）~n`+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）~ni（t）>（\'e）- e`）κ`+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）κi.But\'e≥ 存在时，和≥ ^e≥ 埃维∈bI\\bI∩ 二、所以我们得到了我们的矛盾。（ii-a-2）国际单项体育联合会∈I~nI（t）=D（pelec（t）），然后是xj∈I\\I~nj（t）+Xi∈ II~ni（t）>Xi∈ II~ni（t）+Xk∈I\\I~nk（t），（DC）Xj∈I\\I~nj（t）ej+Xi∈ II~ni（t）ei<Xi∈ II~ni（t）ei+Xk∈I\\I~nk（t）ek。（呃）我们分解I\\I=I \\（I）∪bI）∪bI\\I和I\\I=I \\（I）∪bI）∪bI\\I:Xj∈I \\（I）∪bI）κj+Xj∈bI\\I k j（t）+Xi∈ II~ni（t）>Xi∈ II~ni（t）+Xk∈bI\\I~nk（t）+Xk∈I \\（I）∪bI）κk，（DC）Xj∈I \\（I）∪bI）ejκj+Xj∈bI\\Iej~nj（t）+Xi∈ IIei~ni（t）<Xi∈ IIei~ni（t）+Xk∈bI\\Iek~nk（t）+Xk∈I \\（I）∪bI）ekκk.（EH）我们还分解了集合II=（I）∩ 一） ：II=（II）∩ {`}) ∪二、∩bI\\bI∪二、∩bI\\bI∪I\\bI∩ I\\bI）.Xj∈I \\（I）∪bI）κj+Xj∈bI\\I k j（t）+а`（t）+Xi∈bI\\bI∩ II~ni（t）+Xi∈bI\\bI∩ II k i（t）>а`（t）+Xi∈bI\\bI∩ II~ni（t）+Xi∈bI\\bI∩ II~ni（t）+Xk∈bI\\I~nk（t）+Xk∈I \\（I）∪bI）κk，（DC）Xj∈I \\（I）∪bI）ejκj+Xj∈bI\\Iej~nj（t）+e`~n`（t）+Xi∈bI\\bI∩ IIei~ni（t）+Xi∈bI\\bI∩ IIeiаi（t）<eа（t）+Xi∈bI\\bI∩ IIei~ni（t）+Xi∈bI\\bI∩ IIei~ni（t）+Xk∈bI\\Iek~nk（t）+Xk∈I \\（I）∪bI）最后一个子集中指数i的ekκk（EH）（i\\bI）∩ I\\bI），我们有φI（t）=κI和φI（t）=κI，所以我们从最后一个子集中简化（DC）和（EH）。因此，Xj∈I \\（I）∪bI）κj+Xj∈bI\\I k j（t）+а`（t）+Xi∈bI\\bI∩ II~ni（t）+Xi∈bI\\bI∩ IIκi>~n`（t）+Xi∈bI\\bI∩ IIκi+Xi∈bI\\bI∩ II~ni（t）+Xk∈bI\\I~nk（t）+Xk∈I \\（I）∪bI）κk，（DC）Xj∈I \\（I）∪bI）ejκj+Xj∈bI\\Iej~nj（t）+e`~n`（t）+Xi∈bI\\bI∩ IIei~ni（t）+Xi∈bI\\bI∩ ieiκi<e`~n`（t）+Xi∈bI\\bI∩ ieiκi+Xi∈bI\\bI∩ IIei~ni（t）+Xk∈bI\\Iek~nk（t）+Xk∈I \\（I）∪bIekκk。

（呃）我们用（DC）乘以‘e:=（e’，^e）∨ 麦克斯{ek，k∈ 我们通过（A.11）Xj∈I \\（I）∪bI）ejκj+Xj∈bI\\Iejаj（t）+eа`（t）+eXi∈bI\\bI∩ II k i（t）+eXi∈bI\\bI∩ IIκi>\'e~n`（t）+\'eXi∈bI\\bI∩ IIκi+-eXi∈bI\\bI∩ II~ni（t）+Xk∈bI\\Iek~nk（t）+Xk∈I \\（I）∪bIekκk.我们减去（EH）（\'e- e`）~n`（t）+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）~ni（t）+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）κi>（\'e- e`）~n`（t）+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）κi+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）~ni（t）。我们安排条款（\'e- e`）~n`（t）+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）~ni（t）+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）κi>（\'e- e`）~n`（t）+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）κi+Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）~ni（t）。如果“存在”，则“e=e”和xi∈bI\\bI∩ 二（e）`- ei）（κi- ~ni（t））>Xi∈bI\\bI∩ 二（e）`- ei）（κi- ^1i（t）），Xi∈bI\\bI∩ 二（e）`- ^e）（κi- ~ni（t））>Xi∈bI\\bI∩ 二（e）`- ^e）（κi- ~ni（t））。（A.26）但是^e<e`<e，矛盾随之而来。如果“不存在”，则“e=^e”∨ 麦克斯{ek，k∈ I\\I}Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）（κi- ~ni（t））>Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ei）（κi- ^1i（t）），Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ^e）（κi- ~ni（t））>Xi∈bI\\bI∩ II（\'e- ^e）（κi- ~ni（t））。（A.27）但是马克斯∈ 矛盾随之而来。（ii-b）国际单项体育联合会∈那么对于所有的我∈ 一、 νI（t）=κI.（ii-b1）IfPi∈I~nI（t）<D（pelec（t）），那么对于所有I∈ I.此外，我们有OO（t，p（t））≥D（p（t））+ε）≥ D（p（t））>OO（t，p（t））和（DC）-（EH）变成∈I\\Iκj>Xk∈I\\Iκk，（DC）Xj∈I\\Iejκj<Xk∈那么，我们用min{ej；j乘以（DC）∈ I\\I}≥ max{ek；k∈ 我们得到了（EH）的一个矛盾。（ii-b-2）国际单项体育联合会∈I k I（t）=D（pelec（t）），我们回到案例（ii-a-2）的分析，主要区别是所有数量k I（t）现在等于κI。我们转到不等式（a.26）和（a.27），它们被简化为右强边现在为零。矛盾随之而来的是同样的论点。参考文献[1]Tamer Ba,sar和Geert Jan Olsder。动态非合作博弈论，应用数学经典著作第23卷。

工业和应用数学学会（暹罗），宾夕法尼亚州费城，1999年。第二版（1995年）再版。[2] 米雷尔·博西、纳迪亚·马伊齐、吉尔特·扬·奥尔斯德、奥黛尔·波尔塔利耶和艾蒂安·塔雷。博弈论背景下的电价。《动态博弈：理论与应用》，杰拉德·安尼夫出版社第10卷。爵士。，第135-159页。斯普林格，纽约，2005年。[3] 勒内·卡莫纳、迈克尔·库伦和丹尼尔·施瓦兹。清洁扩散选项的估值：将电力、排放和燃料联系起来。《定量金融》，第12（12）：1951-19652012页。[4] 勒内·卡莫纳、弗朗索瓦·德拉鲁、吉勒斯·爱德华·埃斯皮诺萨和尼扎尔·图齐。奇异正倒向随机微分方程和排放导数。《应用概率年鉴》，23（3）：1086-11282013。[5] 加布里埃拉·基耶萨和文琴佐·德尼科尔。在完全信息下与共同代理人交易：纳什均衡的一个特征。《经济理论杂志》（144）：296–3112009。[6] 阿里·奥尔塔苏。多单元拍卖实证分析的最新进展。《产业组织杂志》（29）：345-3492011。[7] Ali Hortacsu和Steven L.Puller。理解多单元拍卖中的策略性竞价：以泰特斯电力现货市场为例。《兰德经济学杂志》，39（1）：86–114，2008年。