仿射过程 - 外文文献专区

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Affine Processes》
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作者：
Eberhard Mayerhofer
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We put forward a complete theory on moment explosion for fairly general state-spaces. This includes a characterization of the validity of the affine transform formula in terms of minimal solutions of a system of generalized Riccati differential equations. Also, we characterize the class of positive semidefinite processes, and provide existence of weak and strong solutions for Wishart SDEs. As an application, we answer a conjecture of M.L. Eaton on the maximal parameter domain of non-central Wishart distributions. The last chapter of this thesis comprises three individual works on affine models, such as a characterization of the martingale property of exponentially affine processes, an investigation of the jump-behaviour of processes on positive semidefinite cones, and an existence result for transition densities of multivariate affine jump-diffusions and their approximation theory in weighted Hilbert spaces.
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中文摘要：
对于相当一般的状态空间，我们提出了一个完整的矩爆炸理论。这包括仿射变换公式在广义Riccati微分方程组的最小解方面的有效性的表征。此外，我们还刻画了一类半正定过程，并给出了Wishart SDE的弱解和强解的存在性。作为应用，我们回答了M.L.Eaton关于非中心Wishart分布的最大参数域的一个猜想。本文的最后一章包括三个关于仿射模型的独立工作，例如指数仿射过程鞅性质的刻画，半正定锥上过程跳跃行为的研究，给出了加权Hilbert空间中多变量仿射跳跃扩散转移密度及其逼近理论的一个存在性结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Analysis of PDEs 偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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可人4

2022-5-6 21:37:23

适应训练训练流程-惯性导航与制导。雷尔博士。纳特。Eberhard Mayerhoferdulin，2014年4月内容1摘要32出版物43前言54导言64.1瞬间爆炸。84.2正半定义过程。94.3工艺特性。114.3.1指数有效鞅。114.3.2跳跃行为。134.3.3亚椭圆度。131总结我们对相当一般的状态空间[AP1]、[AP2]和[AP9]提出了一个完整的矩爆炸理论。这包括用广义Riccati微分方程组的最小解来描述a ffine变换公式的有效性。此外，我们还刻画了一类正半定过程[AP4]，[AP5]，并给出了Wishart SDE的弱解和强解的存在性。作为[AP4]的一个应用，我们回答了M.L.Eaton关于非中心Wishart分布的最大参数域的一个猜想[AP6]。本论文的最后一章包括三个关于a ffine模型的独立工作，例如指数a ffine过程[AP3]的鞅性质的刻画，正酰胺有限锥上过程跳跃行为的研究[AP7]和多元函数跳跃微分的跃迁密度的存在性结果及其在加权希尔伯特空间中的近似理论[AP8]。2关于函数过程指数矩的出版物[AP9]（与Martin Keller Ressel合著），将发表在《应用概率年鉴》（2014）上。【AP8】（与D.Filipovi\'c和P.Schneider合著）多变量跳跃扩散过程的密度近似，计量经济学杂志，第卷。

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可人4

2022-5-6 21:37:26

176 (2013), 93–111.[AP7]正半定d×d矩阵上的一个有效过程在维度d>1时具有跳跃式软定变化，《随机过程及其应用》122（2012），第10期，第3445–3459页。[AP6]关于非中心Wishart分布的存在，《多变量分析杂志》114（2013），448–456。[AP5]（与Oliver Pfa ff el和Robert Stelzer合著），关于正有限跳差的强解、随机过程及其应用121（2011），第9期，2072–2086。[AP4]（与C.Cuchiero、D.Filipovi\'C和J.Teichman合著），关于正半无限矩阵的一个有效过程，应用概率年鉴，第21卷，第2期，397–463（2011年）。[AP3]（与Johannes Muhle Karbe和Alexander G.Smirnov合著），指数函数过程、随机过程及其应用的鞅性质的表征，121（2011），第3568–582号。[AP2]（与M.Keller Ressel和A.G.Smirnov合著），关于普通微分方程解的凸性，数学分析与应用杂志368（2010），247–253。[AP1]（与D.Filipovi\'c合著），一个有效的扩散过程：理论与应用，高级金融建模，计算与应用数学的Radon系列，第8卷，125–164页，柏林沃尔特·德格吕特，2009年。3序言这项工作的大部分来自与在维也纳的同事的合作。我感谢我在维也纳大学的博士生导师迈克尔·昆辛格，他在“奇异时空波动方程”项目中引导我达到了目前的数学标准。我还要感谢达米尔菲利波维奇和约瑟夫·泰奇曼，他们对我博士论文发表后在研究方向上的转变负责。约瑟夫（Josef）在维也纳理工大学（TU Vienna）的随机分析课程中以研究为导向，我很钦佩他，达米尔（Damir）非常有效地引导我进入了一个过程领域，并与我分享了开放的研究问题。

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nandehutu2022

2022-5-6 21:37:30

我非常喜欢与Christa Cuchiero、MartinKeller Ressel和Paul G.Schneider密切合作。本文是我在都柏林城市大学担任金融数学讲师期间提交的。我感谢保罗·瓜索尼（PaoloGuasoni）为都柏林提供了良好的学术环境，并通过ERC赠款278295.4提供了财政支持。在财政附近，出现了许多数学性质的问题。这是因为金融模型的主流是概率的，即使只有遥远的现实随机模型也会带来复杂的数学问题。对这些问题的良好理论理解为可靠性应用提供了基础。一个有效的马尔可夫过程构成了金融学中的大多数连续时间随机模型。这项工作涉及不同的理论方面，特别是某些有效马尔可夫半群的存在性及其分析和随机性质。这些过程的关键特性是半群在指数函数上的一个特殊简单作用，这使得它们在一定程度上“分析可处理”：定义4.1。随机连续马尔可夫过程（X，（Px）X∈D）用状态空间D Rdis a ffine，如果存在函数φ：R+×iRd→ C和ψ：R+×iRd→ CDX的所有∈ D、 t∈ R和u∈ iRdwe have e[ehu，Xti | X=X]=eφ（t，u）+hψ（t，u），xi。（4.1）许多已知的随机过程满足（4.1），例如，L＠evy过程，其中ψ（t，u）≡ tu和L′evy在Rdor子集上驱动的OU型过程，具有线性漂移β∈ Rd×d，即Xt=x+Ztβ>Xsds+Lt。在这种情况下，我们有ψ（t，u）=eβtu.o平方贝塞尔过程，首次由William Feller引入[？]，求解随机积分方程xt=x+Zt（b+βXs）ds+σZtpXsdBs，x≥ 0，（4.2），其中B表示一维标准布朗运动。

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可人4

2022-5-6 21:37:34

在财务文献中，Cox、Ingersoll和Ross[？]使用了该模型。在上述例子中，这是第一个具有非平凡函数ψ的例子，令人满意tψ（t，u）=σψ（t，u）+βψ（t，u），ψ（0，u）=u。分析可处理性通常表示一个事实，即人们可以导出封闭或半封闭形式的量，从而避免时间广泛的模拟或复杂的近似。尖括号表示Rd上的内积。o随机波动性模型，如Bates的[？]，赫斯顿的[？]还有巴恩多夫·尼尔森和谢泼德的[？]（状态空间D=R+×R）。o多变量利率模型，如Dai单身阶级[？]，[?], 或者Du ffee、Pan和Singleton的跳跃扩散模型[？]（状态空间D=Rm+×Rn）。o移民分支过程，[？]（状态空间D=Rm+。前面提到的所有类型的有效过程都包含在Du ffee、Filipovi\'c和Schachermayer[？]的一般理论中。）与这项工作最相关的是Bru[？]引入的Wishart流程，它们是（4.2）的矩阵推广，在正半有限矩阵的锥上的范围为D=S+D（纯微分），以及Barndor ff-Nielsen和Stelzer引入的matrixL\'evy从属驱动的Ornstein-Uhlenbergk型过程，参见[？]。使用其中任何一个作为协方差过程，都可以得到Heston模型或BNS模型的一个非常简单的推广。后一种情况下的复杂问题是BNS模型给出的具有一维边际分布的非平凡依赖结构的选择。

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nandehutu2022

2022-5-6 21:37:38

Perez Abreu和Stelzer[？]提出了对这种依赖性建模的有用建议。本论文的主要目的是设计方法和提供理论，这些方法和理论本质上是有效的：它们是为有效过程量身定制的，因为它们比其他任何东西都更试图使用它们的两个关键特性：（a）特征函数的指数有效形式（4.1）。随机连续性意味着特征指数（φ，ψ）[？]的规律性，[?],由此可以得出结论，美国∈ IRD满足所谓的广义Driccati微分方程tψ（t，u）=R（ψ（t，u），ψ（0，u）=u，（4.3）tφ（t，u）=F（ψ（t，u），φ（0，u）=0。（4.4）方程（4.3）-（4.4）的右侧是R D上的L’evy Khintchinenform的组件，满足特殊的参数约束，这在很大程度上取决于状态空间D的几何结构。（b）保守过程的多项式特征[？]：马尔可夫半群，无论何时定义，都映射度多项式的有限维实向量空间≤ k进入它自己。多项式性质意味着，PK上的马尔可夫半群作用减弱为一个有限维半群的作用，一个可以表示为矩阵指数的半群。例如，雅可比过程具有这种特殊性质，它具有二次微分效率，因此不是有效的。此外，所涵盖的主题专门讨论过程的多元性质。事实上，其中一些理论远远超出了在一般马尔可夫框架中被认为是可行的，例如，我们在确定性条件下对真指数有效鞅的刻画[AP3]，[AP9]，见第4.3.1节。在下文中，我将对论文的三个部分进行更详细的描述，并尽量不参考相关工作。

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能者818

2022-5-6 21:37:41

目的是直观地解释我的工作，而不是从理论上解释我的工作，并将论文彼此联系起来，而不是与相关研究联系起来；有关文献的详细参考资料将在相关论文中提供。4.1力矩爆炸[AP1]、[AP2]和[AP9]致力于研究实际初始数据u的力矩生成函数g（t，u，x）：=E[ehu，Xti | x=x]∈ Rd，以及一般复杂数据u∈ 光盘我们以一种有意义的方式将力矩爆炸与相关Riccati微分方程中的爆炸联系起来。有人可能会认为，如果（4.1）的任何一方是有限的，那么另一方也是有限的，并且平等。此外，φ，ψ求解广义Riccati微分方程（4.3）-（4.4）。我们称之为a ffine变换公式（简称ATF）的有效性。在获得这样的结果时遇到的问题包括：（a）对于任意初始数据，广义Riccati微分方程（4.3）-（4.4）不需要适定：右侧F，R通常是连续的，而不是Lipschitz。独特性问题是不可避免的。（b）在常微分方程的标准存在唯一性结果中，对初值问题（IVP）解的爆破是很好理解的。然而，初始数据中的爆炸性变化通常不被理解，即行为U 7→ g（t，u，x）。（c）马尔可夫过程能从瞬间爆炸中恢复吗？或者我们能从g（t，u，x）得出结论吗∞ 也就是g（t+h，u，x）=∞, 每个h>0。对于D=Rm+×Rn型状态空间上的纯扩散模型，大多数技术细节，尤其是关于（a）和（c）的技术细节都不是问题。

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大多数88

2022-5-6 21:37:44

灵感来自Glasserman&Kim[？]对于特定类别的力矩，当固定t>0时，MGF u 7发生爆炸→ g（t，u，x）不再是有限的。除了连续时间的一般马尔可夫链（以及有效过程），这个问题仍然没有解决。从瞬间爆炸中无法恢复的差异仅仅是[AP1]的结果，从技术上来说，证明[AP1]中的主要特征是不必要的。结构模型Damir Filipovi\'c和I[AP1]证明了ATF的有效性。利用多元常微分方程比较结果，结合（b）中详述的某种爆破引理，解决了实矩的特征化问题。对于一般凸状态空间，跳跃扩散问题已经与Martin Keller Rescelin[AP9]联合解决。放弃了（4.3）-（4.4）解的唯一性，代之以“极小解”的概念。本文[AP2]在[AP9]中准备了一个关于复指数矩的存在性和a ffine变换公式有效性的相关结果，证明了右侧为凸拟单调递增（相对于适当的闭凸）的IVPs对初始数据具有凸依赖性。复参数的ATF需要对广义Riccati微分方程进行复杂的先验估计，因此在这一部分中，我们详细介绍了最相关的状态空间D=Rm+×R和S+D。[AP9]在指数鞅中的一个重要应用，以及[AP3]中它们与保守半群的关系，如第4节所述。3.1.4.2正半限定过程[AP4]和[AP5]构成了D=S+D上的一个有效过程的基础，D=S+D是任意维D的正半限定矩阵的状态空间≥ 1.[AP4]根据极小生成元的参数描述刻画了一个有效的马尔可夫半群。

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可人4

2022-5-6 21:37:49

这一理论的一个含义是，一大类相关随机微分方程存在弱解。strong在[AP5]中推导出了严格正定义跳跃差异的解决方案。论文[AP8]随后将[AP4]应用于非中心Wishart分布的最大参数域的表征。[AP4]的理论补充了Kawazuand Watanabe之前关于存在的研究[？]（D=R+）并由杜菲、菲利波维奇和舍尔迈耶[？]（对于正则状态空间Rm+×Rn）。然而，S+D上的半群有一个特殊的特征，它将它们与规范状态空间上的半群区别开来。一般来说，它们的转移函数不是完全可分的。缺乏明确的可视性使得一种新的生存方式成为必要。让我对这个问题再深入一点。微型发电机的主要符号是给定的YP（x，ξ）=tr（ξαξx），ξ，x∈ S+d，其中α∈ S+dis是X的所谓扩散系数。这意味着在可能扩大的概率空间上，X可以写成形式dxt=（b+b>（Xt））dt+pXtdWtQ+Q>dW>tpXt+dLt，X的anSDE弱解∈ S+d，（4.5）其中Q是一个满足Q>Q=α的d×d矩阵，其中W是标准的d×d布朗运动，L是一个具有有效跳跃强度的纯跳跃过程，B是一个线性漂移，向内指向S+d的边界。我们知道，在没有跳跃的情况下，L=0，对于B=0，Q=I，B=δI，2δ>d- 1，X是由[？]引入的过程。反过来，它有一个非中心Wishart的转移函数。然而，Wishart定律通常不可完全整除（这是L’evy[？]的经典发现）对于S+上的特殊情况，通常由[？]和其他人）。

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能者818

2022-5-6 21:37:52

这个例子已经表明，S+d上APs的转移函数普遍缺乏有限整除性。Feller性质意味着常数漂移b必须满足条件b- （d）- 1)α ∈ S+d，（4.6）因此b不足以 0，除非d=1或α=0（纯跳跃情况）。我们在（[AP4]，定理2.9）中表明，有限可分解性等同于α=0或d=1（原因是b/n会违反足够大的n的漂移条件（4.6））。一个特别的含义是，只有在这些情况下，才能通过纯跳跃过程弱地近似一个跳跃差异，就像在L’evy情况下一样（因为有限可分分布在弱收敛下是闭合的）。[AP4]中建立的马尔可夫理论的一个结果是存在形式为（4.5）的随机微分方程的弱解，对于L beinga矩阵值的L’evy从属。在[AP5]中，我们考虑了类似的SDE，并在更严格的漂移条件下给出了强解的存在性结果，即b- （d+1）α∈ S+d.强存在的关键是边界未达到的结果：对于S++d中的初始数据，即正定义矩阵的圆锥体，给定漂移条件，过程不会在有限时间内到达边界。关于边界未达到的知识实际上非常有助于获得一个有效的结构保持，度量的等效变化，[？]。[AP8]使用一个有效过程的Feller性质来推导非中心Wishart分布的最大参数化信息。Wishart过程是当L=0，B（X）=βX+Xβ>时（4.5）的解，其中d×dmatrixβ，B=2pα（2p≥ D- 1).

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何人来此

2022-5-6 21:37:57

它们的跃迁函数为Laplacezs+de-tr（uξ）pt（x，dξ）=det（I+σβt（u））-体育课-tr（u（I+σβt（α）u）-1ωβt（x））。因此，pt（x，dξ）是Wishart分布的，形状参数p，非中心参数ωβt（x）∈ S+D标度参数σβt（α）∈ S+d（详细定义注意，在规范态空间中不存在这种漂移条件；因此我们有b∈ D、参见[？]。参见[AP8]）。间接证明，从单一分布构造一个完整的马尔可夫转移函数，并使用约束2p≥ D-1，让我们得出结论，对于参数为p，σ，ω的任何Wishart分布，我们必须有p∈ {0,1，…（d）- 2)/2} ∪ [（d）- 1)/2, ∞) （4.7）和秩（ω）≤ 2p+1（4.8）必要条件（4.7）回答了M.L.Eaton长期以来提出的一个正猜想，该猜想以前仅通过秩（ω）=1情形[？]的特殊函数方法求解过。排名条件（4.8）是新的。我们进一步推测，对于2p<d- 1我们必须有秩（ω）≤ 2便士。（4.9）这个猜想最近得到了[？]的证实受我们启发的方法，但不使用任何随机分析的参考。4.3有效过程的性质[AP3]、[AP6]和[AP7]研究有效过程或其功能的特定性质。4.3.1指数鞅金融数学中的几种应用需要知识，在此条件下，指数鞅函数g（Xt）：=ehθ，Xti，t∈ θ的[0，T]∈ 这是一个真正的鞅。本文中的两篇论文刻画了g（Xt）的鞅性质：[AM3]刻画了矩爆炸，并给出了随机指数鞅性质在相关过程非爆炸中的应用。[AM9]描述了ATF的有效性，并将指数函数的鞅性质应用于动量爆炸。

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能者818

2022-5-6 21:38:01

这个结果适用于一般的凸状态空间。力矩爆炸和ATF的有效性都用广义Riccati微分方程组的唯一极小解来描述。这些结果实际上可以联系起来，因为有效过程的随机指数和标准指数是相关的（参见[AM3]，备注4.5（i））。我们不打算进行繁琐的计算，这需要扩展状态空间。尽管如此，我认为证明ATF的有效性和关联AP的非爆炸性之间的关系是很有启发性的，对于状态空间为D=R+的任意过程的标准指数：设X是R+上的保守任意过程，且具有极小的生成函数f（X）=αxf（X）+（b+βX）f（X）+ZD\\{0}（f（X+ξ）- f（x）- f（x）χ（ξ））（m（dξ）+xu（dξ）），其中χ是截断函数。假设为θ∈ R和x>0我们有g（XT）：=E[EθXT|x=x]<∞.通过（[AP9]，定理2.14）我们推断初始数据φ（0）=0，ψ（0）=θ的[0，T]上Riccati微分方程（4.3）-（4.4）存在唯一极小解。此外，如果Mt:=eθxt是一个px鞅，那么t7→ g（Xt）有恒定的期望，因此我们必须有φ（t，·）≡ 0，ψ（t，·）≡ θ和R（θ）=F（θ）=0（另见[AP9]，备注3.2（2））。我们可以通过指数化引入一个有效的马尔可夫过程（X，Qx）X∈过渡函数qt（x，dξ）：=eθξEx[eθXt]pt（x，dξ）（4.10），特征指数为φ（t，u）=φ（t，u+θ）- φ（t，θ），eψ（t，u）=ψ（t，u+θ）- ψ（t，θ）。通过t=0时的微分，我们得到了它的函数特征为F（u）=F（u+θ）- F（θ）=F（u+θ），eR（u）=R（u+θ）- R（θ）=R（u+θ）。通过构造，这个过程（X，Qx）X∈不保守，因为qt（x，D）=1，每个t，x，我们有Qx~ 二甲苯。因此，根据（[AP3]，定理3.4），（4.3）（用ef，eR代替F，R）对于平凡初始数据的唯一非正解是平凡解。

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可人4

2022-5-6 21:38:06

相反，如果我们有两个保守过程（X，Px）X∈Dand（X，Qx）X∈具有特征（F，R）和（eF，eR）的数据，如果进程mxt=exp（θ（Xt- x））。是局部鞅，然后是Qx~ Px和Mt是相关的密度过程，因此是鞅。在更一般的情况下，特别是（X，Qx）X的马尔可夫性质的完整证明∈D、参见[？]中的定理4.14。4.3.2跳跃行为[AP7]揭示了一个令人惊讶的特性，即维度d>1的d×d矩阵上的一个过程X不会表现出有限总变化的跳跃。这与实际情况相反。在后一种情况下，线性泵浦强度可以在状态空间的边界处被调制到0，这在更高的维度中是不可能的，因为S+d的边界结构更复杂，d>1。基于这一发现，[AP7]证明了所有具有非退化扩散成分的跳跃扩散在[？]意义上都是有效的，也就是说（4.1）确实适用于特征函数。对于消失扩散成分，过程是完全可分的，因此同样适用于这种情况。[AP9]将这个结果扩展到傅里叶-拉普拉斯变换。对于退化的非零扩散系数α，S+dexibits零点上的函数过程的特征函数还是完整的Fourier-Laplacetransform仍然未知，除非X是具有状态独立跳跃的Wishart过程（矩阵变量对[？]的“基本函数跳跃扩散”（BAJD）的推广）4.3.3次椭圆[AP8]我们提供了一种新方法来显示D=Rm+×Rn上的有效跳跃差的传递函数的绝对连续性。Xt | x=x的密度g（t，x，ξ）及其正则性的存在，使我们可以将它们相对于加权Lspace的多项式基pα展开，即sayg（t，x，ξ）≈X |α|≤Ncαpα。

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可人4

2022-5-6 21:38:09

（4.11）这一点的基本思想源于跳跃微分的多项式特征：由于马尔可夫半群的极小生成元的作用减少为作用于Pk的线性算子，因此可以以相当明确的形式确定任意阶的有限矩。这些力矩反过来决定了拉普拉斯近似的系数cα。在这方面，一个天真的问题是，为什么要进行密度近似，而实际上，仅仅通过对APs特征函数的傅里叶反演就可以得到跃迁密度。然而，有两个主要原因说明为什么使用我们的代理是有意义的。（a）傅里叶逆变换，尤其是d维≥ 2，在数值上是非常有挑战性的：对于d维，需要用数值方法求解d次积分。[AP3]中的a ffine属性是通过拉普拉斯变换定义的，拉普拉斯变换是正确锥的最方便变换。当状态空间的维数大于1时，α以下是一个多指标。（b） Xt | X=X的多项式展开式中的（时间相关）系数可以直接从矩阵指数（常数矩阵的指数）计算得出，该常数矩阵是根据a|ne过程的参数给出的。然而，使用特征函数来确定密度，迫使人们求解广义Riccati方程（一种非线性常微分方程，与线性常微分方程相反，它具有矩阵指数给出的显式解）。然而，跃迁密度的存在本身是一个微妙的问题。对于DXT=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt+dJt类型的SDE的解决方案，X∈ 其中B是n维标准布朗运动，B:Rd→ Rd，σ（x）是每个x的d×m矩阵，J是一个纯跳跃过程，我们可以问在什么条件下Xt（t>0）允许勒贝格密度。

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能者818

2022-5-6 21:38:12

在某些正则条件下，在J=0的情况下，[？]为密度的存在提供了一个有效且必要的条件。写出σ=b和σ=（σ，…σn），其中σ是列向量，H？ormander条件表示在任意点x∈ D、括号σ，[σ，σ]，[σ，σ]。然而，对于一个有效的跳跃微分，σ通常只在状态空间D的边界处是H–older规则，并且导数在那里也失去了规则性。因此，通常情况下，H？ormander的独创性论文不适用于有效的跳转效果。在[AP8]中，我们发展了一种傅里叶方法，它可以让我们从kuk的特征函数Φ（t，u，x）的行为中得出跃迁概率的规律性→ ∞. 我们应用傅里叶分析[？，命题28.1]中的基本事实，其中指出，iflimkuk→∞kΦ（t，u，x）kkukk=0，（4.12），然后Xt | x=x允许勒贝格密度g，而g是k-可微分的倍数。为此，我们设计了一种方法，它利用了广义Riccati方程（4.3）-（4.4）的特殊形式。[AP8]中描述的获得生长行为（4.12）的有效条件与H¨ormader条件密切相关，当被认为是转换到傅里叶域时。目前的研究集中在推广上，这允许具有退化扩散系数的正成分。特别是，我们考虑了defaultrisk中风险率模型的转移概率，这些模型在某种程度上自然退化（例如[？]中的BAJD）。

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