基于导数逼近的广义盲源分离算法及其应用

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收藏 2022-06-10

英文标题：
《A generalized scheme for BSDEs based on derivative approximation and its
error estimates》
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作者：
Chol-Kyu Pak, Mun-Chol Kim, O Hun
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
In this paper we propose a generalized numerical scheme for backward stochastic differential equations(BSDEs). The scheme is based on approximation of derivatives via Lagrange interpolation. By changing the distribution of sample points used for interpolation, one can get various numerical schemes with different stability and convergence order. We present a condition for the distribution of sample points to guarantee the convergence of the scheme.
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中文摘要：
本文提出了一种求解倒向随机微分方程（BSDE）的广义数值格式。该方案基于拉格朗日插值逼近导数。通过改变用于插值的样本点的分布，可以得到具有不同稳定性和收敛阶的各种数值格式。我们给出了样本点分布的条件，以保证方案的收敛性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Numerical Analysis 数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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可人4

2022-6-10 09:24:46

基于导数近似的BSDE广义方案及其误差估计Schol-KYU-PAK*, MUN-CHOL KIM先生*, 和胡恩诺*摘要本文提出了一种求解反向随机微分方程（BSDE）的广义数值格式。该方案基于拉格朗日插值逼近导数。通过改变用于插值的样本点的分布，可以得到具有不同稳定性和收敛阶的各种数值格式。我们给出了样本点分布的条件，以保证格式的收敛性。关键词。倒向随机微分方程、数值格式、非流体差分格式主题分类。60H35、65C20、60H101。介绍让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，T>0有限时间且{Ft}0≤t型≤满足通常条件的过滤。让(Ohm, F、 P，{Ft}0≤t型≤T）定义了标准d维布朗运动Wt=（Wt，Wt，····，Wdt）的完全过滤概率空间，并包含F的所有P-零集。反向随机微分方程（BSDE）的标准形式是（1.1）yt=ξ+ZTtf（s，ys，zs）ds-ZTtzsdW s，t∈ [0，T]其中发电机f：[0，T]×Rm×Rm×d→ Rmis{Ft}-适用于每个（y，z），终端变量ξ是一个Ft可测且平方可积的随机变量。A过程（yt，zt）：[0，T]×Ohm → Rm×Rm×dis称为BSDE（1.1）的L-解，如果它满足方程（1.1），而它是{Ft}自适应且平方可积的。1990年，Pardoux和Peng在[11]中证明了一般非线性盲分离方程解的存在性和唯一性，之后在这一领域进行了积极的工作。

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何人来此

2022-6-10 09:24:49

BSDE及其扩展在数学金融（[6]）、随机控制（[1，5]）和部分微分方程（[12，10]）中非常重要。在本文中，我们假设终端条件是WT的函数，即ξ=Д（WT），BSDE（1.1）具有唯一解（yt，zt）。[12]表明，（1.1）的解析式（yt，zt）可以表示为（1.2）yt=u（t，Wt），zt=xu（t，Wt），t型∈ [0，T），其中u（T，x）是抛物线偏微分方程（1.3）的解ut+dXi=1uxi+f（t，u，xu）=0，终端条件u（T，x）=Д（x），和xu是u相对于空间变量x的梯度。u的平滑度取决于f和ν。虽然BSDE及其扩展（如FBSDE）在许多领域都有非常重要的应用，但众所周知，除了一些特殊情况外，很难获得解析解，并且在数值方法方面也有很多工作。([2, 4, 7, 8, 9, 14, 13, 15, 17])*朝鲜民主主义人民共和国平壤金日成大学数学系(pck2016217@gmail.com).2 CHOL-KYU-PAK、MUN-CHOL KIM和HUN OBy利用BSDE和部分微分方程之间的关系，在[8,7]中提出了四步方案，并在[9]中对随机时间范围内的BSDE应用了PDEs的层方法。另一方面，还开发了几种概率方法，它们通常需要条件期望的近似值。Bouchard和Touzi【2】开发了一种反向模拟方案，Gobet【4】提出了一种基于函数基回归的方法。Ruijter和Oosterlee【13】开发了一种傅里叶余弦方法，Zhao和他的合著者使用高斯-埃尔米特求积规则为各种类型的BSD和FBSDE开发了几种方案，用于逼近条件期望。

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可人4

2022-6-10 09:24:51

[14、16、15、17]在之前的所有工作中，我们的工作与[15]密切相关，其中提出了一种适用于FBSDE的多步方案，并使用高斯-埃尔米特求积规则来近似条件期望。他们推导出了一种新的参考方案，它比以前的参考方案简单得多。他们在实验中证明了他们的方案高达6阶，并指出他们的方案似乎不会收敛到更高阶，因为系数不能满足根条件。我们的方案基于与[15]相同的参考方程，但是导数近似的一般形式。我们得到了非流体差分模式的启发，同时试图避免使用高斯-厄米特质量规则来近似条件期望的空间插值。在以前的工作中，空间插值是不可避免的，因为不可能建立一个完全嵌套的时间-空间网格，而且它对复杂性有很大贡献。但通过一些调查，我们表明，如果我们使用二次距离去竞争近似推导出一个方案，我们可以为二阶或三阶建立一个完全嵌套的时空网格，并避免空间插值。（[3]）在本文中，我们推广了一种基于导数近似的数值格式，该格式根据用于导数近似的样本点的分布而变化。我们提出了一个“参数”的条件，在该条件下得到的方案收敛。误差估计的结果支持前面的工作[15，3]。我们注意到，我们的方案仅限于布朗背景、马尔可夫终止条件和确定性时间范围的情况。关于随机终端时间问题的数值解，可以参考文献[9]。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了BSDE的广义离散格式。

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能者818

2022-6-10 09:24:56

在第3节中，我们给出了某些类型的生成函数的半离散格式的误差估计。在第4节中，我们讨论了一些特定的结果方案。最后，第5.2节给出了一些结论。基于导数近似的广义BSDE数值格式。2.1. 参考方程。我们首先注意到，本小节的主要内容来自【15】，其中讨论了解耦FBSDE。让我们考虑以下反向随机微分方程：（2.1）yt=Д（WT）+ZTtf（s，ys，zs）ds-ZTtzsdWs，t∈ [0，T]式中，发电机f：[0，T]×Ohm ×Rm×Rm×d→ Rmis是一个{Ft}随机过程，适用于所有（y，z）和Д：Rd→ Rmis是一个可测量的功能。BSDE的广义格式及其误差估计3通过本文，我们对参数作了如下假设。假设1。生成函数f和Д足够光滑，它们的导数及其自身都是有界的。设0=t<···<tN=t是[0，t]和tN+1的等距划分- tn=h=吨/吨。

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大多数88

2022-6-10 09:24:59

如【14，16】所述，我们定义了Ft，xs（t≤ s≤ T）是由布朗运动{x+Wr）生成的σ场- 重量，t≤ r≤ s} 从时空点（t，x）和Ext[·]：=E[·| Ft，xt]开始。取（2.1）两侧的条件经验Extn[·]，我们得到（2.2）Extn[yt]=Extn[ν（WT）]+ZTtExtn[f（s，ys，zs）]d通过区分（2.2）两侧的r，我们得到以下等式。（差异性见【15】）（2.3）dExtn【yt】dt=-Extn[f（s，ys，zs）]下一步，用于t∈ 我们有（2.4）ytn=yt+ZTtf（s，ys，zs）ds-ZttnzsdWs。乘以WTtn，t：=WTt- WTTN到（2.4）和ta king Extn[·]的两侧，我们获得（2.5）0=Extn[ytWTtn，t]+ZttnExtn[f（s，ys，zs）WTtn，t]ds-ZttnExtn[zs]dswhere（·）t表示（·）的转置。取（2.5）的两个s ide s对t的导数，我们得到以下ODE。（2.6）Extn【zt】=dExtn【yt】WTtn，t]dt+Extn[f（t，yt，zt）两个O DE（2.3）和（2.6）被称为BSDE（2.1）的参考方程。根据这些参考方程，我们得到（2.7）dExtn【yt】dt | t=tn=-f（tn，ytn，ztn）（2.8）ztn=dExtn[ytWTtn，t]dt | t=tn.2.2。BSDE的导数近似和半离散格式。现在，通过近似（2.7）和（2.8）中的导数，我们得到了BSDE（2.1）的离散格式。在许多数值微分方法中，我们将使用基于拉格朗日插值的方法。

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何人来此

2022-6-10 09:25:02

在[15]中，近似公式是通过求解泰勒展开得到的线性系统推导出来的，它与基于等距点的L agrang e插值公式一致。4 CHOL-KYU PAK、MUN-CHOL KIM和HUN OLet u（t）：R→ R为k+1次可微且a=0<a<a<a<k<N为k+1整数，则基于样本点{t，t+ah，····，t+akh}上的值{u，u，···，uk}的拉格朗日插值多项式可写成（2.9）L（t）=kXi 0Qi6=j（t- t型- ajh）Qi6=j（ai- aj）h-Kui，偏差由（2.10）L（t）给出- u（t）=f（k+1）（ξ）Qni=0（t- t型- aih）（k+1）！，t型≤ ξ ≤ t+akh。此后，我们将a····，aka称为“方案参数”。通过微分（2.9），我们得到（2.11）dLdt（t）=kXi=0h-kuiQj6=i（ai- aj）Xj6=iYl6=i，l6=j（t- t型- 此外，（2.12）dudt（t）=Pki=0γkiuih+(-1） ku（k+1）（ξ）khkwhere（2.13）γk=-Xj6=0aj，γki=(-1） k级-1aa···akaiQi6=j（ai- aj），（1≤ 我≤ k）。因此，在假设u（k+1）有界的情况下，在系数之外，我们有（2.14）dudt（t）=Pki=0γkiuih+O（hk），以下属性成立。提案2.1。系数γkisatisfyPki=0γki=0现在，我们将此近似公式应用于参考方程（2.7）和（2.8），得到（2.15）- γkytn=kXi=1γkiExtn[ytn+ai]+hf（tn，ytn）+hRky，n（2.16）hztn=kXi=1γkiExtn[ytn+aiWTn，ai]+hRkz，NWWHERE Rky，n，Rkz，NAR截断误差如下。Rky，n=dExtn【yt】dtt=tn-BSDES的kXi=0γkihExtn[ytn+ai]广义格式及其误差估计5Rkz，n=dExtn[ytWtn，t]dtt=tn-kXi=0γkihExtn[钇+铝WTtn，t]。注意，我们表示Wtn+ai- Wtnby公司为了概念的简单性。从（2.14）可以很容易地证明以下引理。引理2.2。在假设1下，截断误差满足| Rky，n |≤ Chk，| Rkz，n |≤ 其中，C是一个常数，它仅取决于f，Д及其导数的边界。现在我们为BSDE（2.1）提出了一个半离散格式。方案1。

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kedemingshi

2022-6-10 09:25:06

假设yN-i、锌-i（i=0，···，ak- 1）是已知的。对于n=n- ak，···，0通过（2.17）求解时空点（tn，x）处的yn=yn（x），zn=zn（x）- γkyn=kXj=1γkjExtn[yn+aj]+h·f（tn，yn，zn）（2.18）zn=Pkj=1γkjExtn[yn+aj这被称为半离散格式，因为它只在时间域中被重新格式化，并且需要一个空间网格来生成完全离散的格式。我们将在第4节后面讨论全离散格式。请注意，该方案对于z是显式的，但对于y是隐式的。在每一步中，我们都首先计算z分量，然后通过Picard迭代得到y。请注意，通过选择a、···、AK，可以制定各种方案。对于aj=j（j=1，···，k）的情况，该方案与一个discus sedin完全相同【15】。如果我们选择aj=j（j=1，···，k），我们将得到一个基于二次距离采样点的，考虑3的样本点。误差估计。在本节中，我们证明了半离散格式1在生成器独立于控制变量z的情况下的误差估计。为了简单起见，我们假设m=d=1。（3.1）yt=Д（WT）+ZTtf（s，ys）ds-ZTtzsdWs，t∈ [0，T]设yt，ztbe为BSDE（3.1）的溶液，yn，znbe为模式1的溶液。我们定义了误差项，如eny：=ytn- yn，enz：=ztn- 锌。我们还将cj、αj（j=0，1，···，ak）定义为e估计值，如下所示。（3.2）cj：=γkl，0≤ l≤ k、 j=al0，否则，αj：=akXl=jclth以下定理给出了y.6 CHOL-KYU-PAK、MUN-CHOL-KIM和HUN-OTheorem 3.1的误差估计。假设假设1成立，初始值满足maxn-ak+1≤n≤NE[| eny |]=O（香港）。

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kedemingshi

2022-6-10 09:25:09

此外，假设定义为（3.2）的数字α，···，αAk满足以下不等式。（3.3）Pakj=2 |αj | |α|<1然后，对于足够小的时间步长t我们有（3.4）max0≤n≤N-akE[| eny |≤ chk其中C>0是一个常数，仅取决于{γj}，T，函数ν和f的上界及其导数。证据我们分两步证明了这个定理。第1步。

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大多数88

2022-6-10 09:25:13

我们假设时间范围T很小，可以更精确地（3.5）T<|α|-Paki=2 |αi | 2l，其中L是生成函数f的Lipschitz常数。根据参考方程（2.7）和方案，我们可以-γkeny=kXj=1γkjExtn[en+ajy]+hfn+O（香港+1），其中fn=f（tn，ytn）- f（tn，yn）。根据公式2.1，Pkj=0γkj=0，我们得到kXj=1γkjeny=kXj=1γkjExtn[en+ajy]+hfn+O（hk+1），导致tokXj=1γkj（eny- Extn[en+ajy]=hfn+O（香港+1）。使用CJ，我们可以将上述方程式改写如下。（3.6）akXj=1cj（eny- Extn[en+jy]=hfn+O（香港+1）。同样，我们可以得到以下方程式。akXj=1cj（外部【en+1y】- Extn[en+1+jy]=hfn+1+O（香港+1）。。。akXj=1cj（Extn[英-aky公司]- Extn[英]-ak+jy]）=小时fN公司-ak+O（hk+1）BSDE的广义格式及其误差估计7总结上述所有方程，包括（3.6）我们得到αeny+akXj=2Extn[en+j-1年]-akXj=1αiExtn[eN+i-aky]=小时fn+hN-akXj=n+1个极端[fj]+（N- ak公司- n+1）O（hk+1），其中α，···，αAK定义为（3.2）。通过对Above方程两边的期望，我们得到了|α| E[| eny |]≤akXi=2 |αi | E[| en+i-1y |]+kXi=1 |αi | E[| eN+i-aky |]+hN-akXj=东北[|福建|]+否（香港+1）。然后，根据生成函数的Lipschitz连续性和初始近似的假设，存在一个常数C，使得|α| E[| eny |]≤akXi=2 |αi | E[| en+i-1y |]+LhN-akXj=nE[| ejy |]+Chk。我们使用了N=T/h的事实。将这些项重新定义为（1-Lh |α|）E[| eny |]≤akXi=2 |αi |αE[| en+i-1y |]+Lh |α| N-akXj=n+1E[| ejy |]+Chk。设p：=arg max0≤n≤N-akE | eny | then（1-Lh |α|）E[| epy |]≤akXi=2 |αi |αE[| ep+i-1y |]+Lh |α| N-akXj=p+1E[| ejy |]+Chk≤ E[| epy |]akXi=2 |αi |α|+Lh |α| E[| epy |]（N- ak公司- p） +Chk≤ E[| epy |]akXi=2 |αi |α|+LT |α|！+ChkSo我们得到1-akXi=2 |αi | |α|-LT |α|（1+N）！E[| epy |]≤ Chk公司。从（3.3）和（3.5）中，我们最终得到[| epy |]≤ 其中C是一个通用常数，它只依赖于{γj}，T，函数ν和f的上界及其导数。第2步。

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2022-6-10 09:25:16

现在让我们考虑一下T的情况。在这种情况下，我们可以将时间间隔[0，T]划分为多个s ubintervals（3.5）。然后我们可以通过典型的过程得到结果。8 CHOL-KYU PAK、MUN-CHOL KIM和HUN ONow我们讨论了z的误差。我们介绍了（3.1）的变分方程，如下所示。(3.10) yt=Дx（WT）+ZTtfy（s，ys）ysds公司-ZTt公司zsdWswhereДx，fy是Д，f相对于x，y和ys，zs是ys，zs相对于空间变量x的变化（见[16]），关系式（1.2），zt=年初至今。对于变分方程，我们可以导出如下方程，类似于（2.15）和（2.16）。(3.11) - γkytn=kXi=0γkiExtn[ytn+ai]+hfy（tn，ytn）年初至今+hRky、 N何处y、 n=dExtn[yt]dtt=tn-kXi=0γkihExtn[ytn+ai]。从（2.17）中，我们还得到了以下关于yn变化的方程。(3.12) - γkyn=kXi=0γkiExtn[yn+ai]+hfy（tn，yn）yn。下面的引理是关于ytand的界的年初至今。（详见【16】中的L emma 4及其参考。）引理3.2。假设假设1成立，让y和y分别为（3.1）和（3.10）的溶液。然后它认为（3.13）支持∈[0，T]E[| yt |]+支持∈[0，T]E[|yt |]≤ C、其中，C>0是一个通用常数，仅取决于T、函数ν和f的上界及其导数。我们定义y： =年初至今-yn。然后，通过定理3.1中的类似过程，我们可以得到关于en的下列引理y、引理3.3。

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可人4

2022-6-10 09:25:19

假设假设1成立，初始近似值满足maxN-ak+1≤n≤东北[| eyn |]=O（香港）。进一步假设以下不等式成立。（3.14）Pakj=2 |αj | |α|<1然后，对于足够小的时间步长t我们有（3.15）max0≤n≤N-akE[| eyn |≤ chk其中C>0是一个常数，仅取决于{γj}，T，函数ν和f的上界及其导数。BSDE的广义格式及其误差估计9现在我们给出了一个定理，该定理给出了z的误差估计。定理3.4。假设假设假设1成立，初始近似满足maxN-ak+1≤n≤NE[| eny |]=O（hk）和maxN-ak+1≤n≤NE[| enz |]=O（香港）。此外，假设定义为（3.2）的数字α，···，αAk满足以下不等式。（3.16）Pakj=2 |αj | |α|<1然后，对于足够小的时间步长t我们有（3.17）max0≤n≤N-akE[| enz |≤ chk其中C>0是一个常数，仅取决于{γj}，T，函数ν和f的上界及其导数。证据从（2.16）和（2.18）我们得到了（3.18）henz=akXj=1γkjExtn[en+ajyWn，aj]+O（hk+1）。我们可以开车Wn，j）=E[en+ajy（x+Wn，aj）Wn，aj）=ZRp2πajhexp(-y2ajh）dy==ajhE[en+ajy（x+Wn，aj）Wn，aj）=ajhExtn[en+ajy] 通过简单替换，我们得到了enz=akXj=1γkjajExtn[en+ajy] +O（hk），这将导致toE[| enz |]≤akXj=1 |γkj | ajE[| en+ajy |]+Chk。其中，C>0是一个常数。所以从引理3.3我们可以得到最大值-ak+1≤n≤NE[| enz |]≤ Chk，其中C>0是一个常数，仅取决于{γj}，T，函数ν和f的上界及其导数。10 CHOL-KYU PAK、MUN-CHOL KIM和HUN O4。讨论。在【16，15】中，作者指出，方案1的稳定性与其相应的特征密切相关，具体定义如下。（4.1）Pkγ（λ）：=kXi=0γkiλak-当λki |时，该多项式的根{λki}ki=1满足根条件≤ 1和|λki |=1=> Pkγ（λki）′6=0。

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能者818

2022-6-10 09:25:22

在[15]中，他们表明Pkγ（λ）的根仅在1≤ k≤ 6当采样点距离相等时，即ai=i。在[3]中，他们提出了一种基于二次距离采样点（即ai=i）的方案，有效降低了计算复杂性。现在，定理3.1和定理3.4表明，方案1的收敛性也由参数a、···、ak决定。让我们测试两种参数选择的参数是否满足条件（3.3）。第一种是ai=i的情况，第二种是ai=i的情况。在表4.1中，我们给出了将k值从2更改为7的几种方案的两种测试值。第一个值是除1之外的根的最大绝对值，它表示方案的稳定性。第二个值isPaki=2 |αi |/|α|，表示方案的收敛性。可以看出，等距格式（ai=i）在稳定性和收敛性方面无法与表4.1进行比较。参数k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7ai=i 0.33 0.33 0.81 0.42 1.56 0.56 2.73 0.70 4.65 0.86 7.87 1.02ai=i0.06 0.48 0.20 0.63 0.37 0.73 0.44 0.80 0.50 0.83 0.57 0.85满足从k=4收敛的条件，而非等效方案满足的所有条件所有测试用例。这表明，虽然使用非流动差分格式需要更多的初始近似，但它可能具有更好的收敛性和稳定性。5、结论。本文提出了BSDES的一种广义数值格式。该方案基于在一般分布的样本点上通过拉格朗日插值逼近导数。通过改变用于插值的采样点的分布，可以得到各种不同稳定性和收敛阶的数值格式。

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2022-6-10 09:25:25

我们给出了样本点分布的条件，以保证方案的收敛性。通过讨论，我们证明了一种基于四次距离采样点的方案是稳定的和收敛的。参考文献[1]J.Bimit，《最优随机控制中的共轭凸函数》。，《数学分析与应用杂志》，44（1973），第384-400页。[2] B.Bouchard和N.Touzi，《反向随机微分方程的离散时间近似和蒙特卡罗模拟》，随机过程。应用程序。，111（2004），第175-206页。[3] Chol kyu。Pak，Mun chol。金和张浩。Rim，一种有效的BSDE三阶方案，基于非流动差分方案，arXiv，https://arxiv.org/abs/1808.01564.[4] E.Gobet和C.Labart，《后向随机微分方程离散化的误差展开》，随机过程。一个ppl。，117（2007），第803-829页。[5] S.Hamadne和J.Lepeltier，《零和随机微分对策与后向方程、系统与控制函》，24（1995），第259-263页。BSDE的广义格式及其误差估计11【6】N.E.Karoui、S.Peng和M.C.Quenez，《金融中的倒向随机微分方程》，数学。《金融》，7（1997），第1-71页。[7] J.Ma、P.Protter、J.San Martin和S.Torres，《反向随机微分方程的数值方法》，Ann。应用程序。概率。，12（2002），第302-316页。[8] J.Ma，P.Protter和J.Yong，求解正反向随机微分方程多重四步格式，Probab。《理论相关领域》，98（1994），第339-359页。[9] G.N.Milstein和M.V.Tretyakov，《前向-后向随机微分方程的数值算法》，SIAM J.Sci。计算。，28（2006），第561-582页。[10] E。

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mingdashike22

2022-6-10 09:25:29

Pardoux，《二阶半线性抛物型和椭圆型偏微分方程组的倒向随机微分方程和粘性解》，随机分析和相关主题，（1998），第79-127页。[11] E.Pardoux和S.Peng，《反向随机微分方程的自适应解》，《系统控制快报》，14（1990），第55-61页。[12] S.Peng，《拟线性抛物型偏微分方程组的概率解释》，《随机统计学代表》，37（1991），第61-74页。[13] M.J.Ruijter和C.W.Oosterlee，《高效计算BSDE解的傅立叶余弦方法》，SIAM J.Sci。计算。，37（2015），A 859–A889页。[14] W.Zhao，L.Chen和S.Peng，《后向随机微分方程的一种新的精确数值方法》，SIAM J.Sci。计算。，28（2006），第1563-1581页。[15] W.Zhao，Y.Fu和T.Zhou，耦合前后向随机微分方程的新型高阶多步格式，SIAM J.Sci。计算。，36（2014），A1731-A1751页。[16] W.Zhao、G.Zhang和L.Ju。，求解后向随机微分方程的稳定多步格式，SIAM J.Numer。分析。，4（2010），第1369-1394页。[17] 赵，周，孔，二阶FBSDE的高阶数值格式及其在随机最优控制中的应用，常见。计算机。物理。，21（2017），第808–834页。

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