内生危机波：一个具有同步集体效应的随机模型

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Endogenous crisis waves: a stochastic model with synchronized collective
  behavior》
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作者：
Stanislao Gualdi, Jean-Philippe Bouchaud, Giulia Cencetti, Marco
  Tarzia, Francesco Zamponi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We propose a simple framework to understand commonly observed crisis waves in macroeconomic Agent Based models, that is also relevant to a variety of other physical or biological situations where synchronization occurs. We compute exactly the phase diagram of the model and the location of the synchronization transition in parameter space. Many modifications and extensions can be studied, confirming that the synchronization transition is extremely robust against various sources of noise or imperfections.
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中文摘要：
我们提出了一个简单的框架来理解宏观经济主体模型中常见的危机波，这也与发生同步的各种其他物理或生物情况有关。我们精确地计算了模型的相图和同步跃迁在参数空间中的位置。可以对许多修改和扩展进行研究，确认同步转换对各种噪声源或缺陷非常鲁棒。
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分类信息：

一级分类：Physics 物理学
二级分类：Statistical Mechanics 统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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大多数88

2022-5-6 22:05:02

内生危机波：一个具有同步集体行为的随机模型斯坦尼斯劳·瓜尔迪、1、2让-菲利普·布乔德、朱利亚·森塞蒂、马尔科·塔齐亚和弗朗切斯科·赞波尼大学皮埃尔·居里和玛丽·居里-巴黎6号，康德内斯大学物理实验室，4号，朱西厄广场，12号，75252巴黎Cedex 05，弗朗西拉米斯，CEA Saclay，91191 Gif苏尔·伊维特，弗朗西塞夫曼，法国巴黎大学路23号，75007；法国巴黎理工学院，帕莱索宫91120号，法国物理研究院，法国高等师范学院，UMR 8549 CNRS，罗蒙德街24号，巴黎Cedex 05，75231。我们提出了一个简单的框架，来理解宏观经济主体模型中常见的危机波，这也与发生同步的各种其他物理或生物情况有关。我们精确地计算了模型的相图和同步跃迁在参数空间中的位置。可以对许多修改和扩展进行研究，确认同步转换对各种噪声源或缺陷非常鲁棒。同步可以说是自然界中最具合作性的现象之一[1]。物理和化学方面的例子比比皆是，但生物学上的认识可能与我们最相关，因为它们特别涉及心脏起搏器细胞或大脑神经元的同步。在音乐厅中同步鼓掌或在数千人的集会中同步鼓掌也是众所周知的。后一种情况特别有趣：虽然效果可以说是肉眼可见的，但它的存在是如此违反直觉，以至于几十年来没有人能提出一个合理的理论。

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何人来此

2022-5-6 22:05:05

正如斯特罗加茨[1]生动地描述的那样，科学家们在否认（将愤怒归因于观察者眼皮的周期性颤动，或不可避免地出现“大师”）和“比现象本身更显著”的解释之间摇摆[1]。相互作用的振子通常只能缓慢地同步的想法出现在刚性结束时[2]，然后通过Kuramoto[3]、Strogatz&collaborators[4]和许多其他人的工作（有关综述，请参见[5]）成为公认的数学真理。然而，这一现象是如此出乎意料（至少对于那些对这些结果知之甚少的人来说），以至于在研究宏观经济的程式化基于代理的模型（ABM）时[6]，我们首先不相信我们的结果。我们发现了一个完整的参数空间区域，其中的动力学似乎是（见图1）繁荣时代的近周期连续性，被纯内生起源的急性危机打断——事实上，我们的模型中不存在不利的外生冲击；有关详细信息，请参见[6]。鉴于我们的模型中存在大量的异质性和随机性（我们经济中的企业都是不同的，破产的企业在泊松随机时间内复苏，等等），这样一系列有规律的危机波既令人震惊又令人震惊，需要一个令人信服的理论解释。然而，尽管高度程式化，我们的ABM过于复杂，无法进行精确的分析处理，因此需要进一步简化。这使我们得出了下面描述的基本模型，051015time/100000.20.40.60.81uRUECFERU EC FEΘ01.252.25图1：失业率的典型轨迹，作为[6]中描述的基于宏观经济主体的模型的时间函数，适用于不同的破产阈值。随着Θ的增加，经济从剩余失业（RU）、内生危机（EC）和最终充分就业（FE）阶段演变而来。

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大多数88

2022-5-6 22:05:09

令人惊讶的是，在EC阶段，人们会观察到几乎周期性的失业爆发，与集体破产浪潮相对应。这确实展示了——事实上，让我们惊讶的是——一个同步转变。这个模型可以使用相当简单的数学工具进行分析。例如，可以精确计算参数空间中过渡的位置。可以对模型的许多修改和扩展进行精确或数值研究。他们的分析证实，同步转换非常稳健，尤其是在各种噪声和缺陷源下。我们的模型是著名的Kuramoto模型的替代品，该模型已经从内到外进行了研究[3–5]，并且从孤立的单个元件是振荡器的假设开始。我们的设置直接源于我们想要阐明的宏观经济模型，实际上在精神上与神经元的“整合与重建”模型非常接近[4]。它也可以被重新表述为流行病动力学[7]、纤维束[8]、弹性流形脱钉[9]或银行间违约传染[10]的平均场模型。为了描述该模型，我们选择使用宏观经济模型的词汇表进行描述——将其转换到其他环境中是非常透明的，将在下面讨论。每家公司i=1，N的特点是其“财务脆弱性”，通过其未偿债务与总资产的比率来衡量。对于负债企业，我们使用xi<0；对于现金/贷款充足的企业，我们使用xi>0。随着时间的推移，这一比率可能会因其业务的成功、对现金的需求等而增加或减少。我们假设[6]当金融脆弱性超过某个阈值Θ时（即≤ -Θ）银行不愿意重组企业的债务，然后企业破产。

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大多数88

2022-5-6 22:05:12

（在模型的第一个版本中，我们假设在xi发生时，概率为1≤ -Θ，但也可以考虑破产不确定且发生概率为κ1xi的情况≤-Θ每单位时间，见下文）。在企业达到临界值之前，xiis的演化是一个有偏差的随机游走。该模型最重要的特征是破产和这些随机游动的退出之间的反馈。在没有货币创造的情况下（即，如果银行部门不充当缓冲者），违约企业的未偿债务在剩余企业之间分摊，从而直接增加其财务脆弱性，以及家庭部门，导致其购买力下降，从而使幸存企业的经营状况恶化（关于这一总体思路的具体实施，请参见[6]）。在这两种情况下，这对XI的漂移产生了负面影响。最后，破产的企业要么以单位时间的一定速率复苏，要么被新企业取代，并从零初始脆弱性开始。考虑到大量企业的限制，上述规则转化为以下福克-普朗克方程，即在时间t时，观察x和x+dx之间具有一定脆弱性的企业的概率密度P（x，t）：˙P（x，t）=DP（x，t）+b（t）P（x，t）+J（t）δ（x）- Θ，（1）我们翻译了一个x→ x+Θ，φ（t）=R∞dxP（x，t）是t时活跃企业的分数，J（t）是t时新生企业的流量。边界条件P（0，t）=0，t对应于破产立即发生的情况，一旦达到阈值，b（t）=b+βDP（0，t）Θ（2）是漂移，其本身取决于破产次数DP（0，t）（即在时间t跨越x=0的公司数量，该公司通过现象学的、一维的参数β传播额外的债务Θ），该参数β测量反馈的强度。

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可人4

2022-5-6 22:05:15

请注意，按照我们的符号约定，正b（t）对应于向更多负值x漂移。回注电流J（t）等于（模型I）一个与时间无关的常数J（t）=~n，模拟了新企业以恒定速率创建的事实，与现有企业的数量无关，或（模型II）由J（t）=（1）给出- φ（t））~n，这意味着破产企业每单位时间内有一个复兴的概率，符合[6]中研究的宏观经济模型中的选择。在这两种情况下，模型都包含5个参数：D、b、Θ、Θ和反馈参数β，但两个参数可以通过选择时间单位t和“长度”x来确定。这给我们留下了三个维度参数：β，Peclet数P e=bΘ/D，用于比较漂移与扩散，z=b/（ΘΘ）用于比较平均有效时间与漂移b.P e作用下移动所需时间 1意味着差异是对典型轨迹中漂移的一种轻微修正，其中 1意味着与仅仅由于漂移而导致的崩塌时间相比，复苏速度更快。正如上面讨论中隐含的假设，我们将只考虑b>0的情况（即x上的负漂移），这允许在没有反馈的情况下存在稳态（β=0）。这也描述了[6]中考虑的经济：对于不可储存的商品，在缺乏生产力收益或创新的情况下，我们短视的企业有过度生产和平均亏损的倾向。因此，我们寻找一个平稳状态P（x），其特征是一个常数破产流J（t）=Jandconstantφ（t）=φ。由于DP（x=0）是输出流，且有效系数φ的分数与时间无关，因此DP（x=0）=Jand这导致恒定漂移b=b+βΘJ。通过设置˙P≡ 0在等式中。

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nandehutu2022

2022-5-6 22:05:18

（1），很容易证明：P（x）=Jb×（（1）-E-^x）对于^x<^Θ，（e^Θ）- 1） e-^xfor^x>^Θ，（3）其中^x=bx/D和^Θ=bΘ/D是一个维度的“长度”。因此，P（x）的定常解是根据未知参数J、φ和b给出的，这些参数由φ确定≡Z∞dxP（x）=JΘb；b=b+βJΘ。（4）对于模型I，其中一个具有J=φ和φ，并立即获得。对于模型II，J=（1-φ）给出第三个等式。使用Eqs。（4），我们可以解出b=b1-βφ和J=φΘb1-βφ，并得到自洽方程φΘb1-βφ= (1 -φ） ψ，（5）得出φ的二次方程。如果复兴所需的时间远短于企业的生存时间，z→ 0，我们预计φ→ 1，至少对于小的β。这允许我们选择正确的解决方案符号：φ=2βh1+β+z-pz+2z（1+β）+（1- β） i.（6）可以很容易地检查这个解决方案是否总是φ∈ [0，min（1，1/β）]。因此，定态解总是存在的，并且b永远发散，这将是一个不稳定的明显迹象（关于这种发散实际发生的情况，见下文）。然而，问题是这个静态解是否是动态稳定的。因此我们写：P（x，t）=P（x+P（x，t），（7）诱导相应的O() 对φ（t）=φ+φ（t）和类似的J（t）和b（t）。

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nandehutu2022

2022-5-6 22:05:22

点菜,对于模型I和II，P的扩散方程变为：-1P]（x，t）≡˙P（x，t）- DP（x，t）- bP（x，t）=b（t）P（x）-φ（t）δ（x）-Θ）（8）其中G是wallat x=0且漂移b的随机游动的传播子，由图像[11]的方法给出：G（x，t | y，t- τ) =√4πDτ经验-（十）-y+bτ）4Dτ- eby/Dexp-（x+y+bτ）4Dτ（9）因此，形式上：P（x，t）=Z∞dτZ∞dyG（x，t | y，t- τ） ×[b（t-τ）P（y）-φ（t）-τ）δ（y）- Θ)] .（10）这个表达式用b（t）和φ（t）表示P（x，t）。然后，利用b（t）和φ（t）的定义，得出b（t）和φ（t）的自洽动力学方程，这两个方程在模型I和II中略有不同。我们关注模型II，我们假设（并自洽地检查）φ（t）=Φeα和b（t）=bΘeαt，其中α（先验）是一个带b+4DRe（α）的复数≥ 0表示有收敛积分。在简单代数之后，我们最终发现B和Φ必须遵循以下等式：Φ=-Bα1-eKΘ1-KD/b- φΦ1 -α；B=-βφΦeKΘ+Bβφ1-eKΘ1-KD/b，（11），其中K=b2D1.-q1+4αDb. 只有当α满足方程[12]：βφ（α+φ）=[α+φ（1）]时，这些方程才具有非零解- [1]-KD/b1-eKΘ。（12）这个方程必须在复平面上进行数值求解，并且必须选择在长时间演化中占主导地位的最大Re（α）的解。我们发现了三种不同的可能性：Re（α）<0，Im（α）=0：稳态Pis线性稳定，对它的松弛是指数的；Re（α）<0，Im（α）6=0：定态Pis线性稳定，向上弛豫为指数振荡；Re（α）>0，Im（α）6=0:Pis线性不稳定，振荡是数值观察到的同步态的前兆。图2-a中给出了固定β和z的α依赖关系作为函数的一个例子。可以看到，对于临界值φc，Re（α）连续穿过零，其中（α）6=0。

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能者818

2022-5-6 22:05:26

活跃企业比例的相应演变，1- φ（t）在图2-b中给出，其中我们展示了福克-普朗克方程的数值积分，公式（1），但从10家遵循相同动力学的企业的arandom walk模拟中获得了相同的结果。我们可以清楚地看到，同步的行为正好设置在值魟=魟c处≈ 35.15（对于β=1.3和z=0.002），通过线性稳定性分析预测。发现跃迁是连续的，振荡的振幅在跃迁时消失，频率由Im（αc）给出。图3给出了（pe，β）平面（对于固定z）和（z，β）平面（对于固定pe）中的相图。我们分析的结论是，危机波和同步确实出现在我们的宏观经济框架模型中[15]。非常重要的是，这种转变克服了一个事实，即企业执行独立的布朗运动，并在系统随机泊松时间内重新注入。库拉莫托模型也有类似的结论。上述稳定性分析可以扩展到不同的方向。首先，回注流量可以取为常数J=~n（模型I），导致系统更加不稳定（见[12]）。第二，回注流不需要局限于x=Θ，但它可以扩展到某个区域，即可以替换术语J（t）δ（x）-J（t）f（x）在式（1）中-Θ），其中f（x）是一个函数，峰值为0，标准化为1，具有有限的宽度w，只有数量变化。实际上，从同步相位的δ函数开始，可以通过增加宽度w超过某个临界值wc来诱导跃迁。第三，可以通过添加一个术语，将确定性破产条件替换为随机破产条件-κθ(-x）对于福克-普朗克方程，设置b（t）=b+βκR-∞dx（Θ）-x） P（x，t）。

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何人来此

2022-5-6 22:05:30

上述情况对应于极限κ=∞. 我们发现，同步现象在有限的κ下仍然存在。例如，当β=1.3，z=0.002，ν=80时，κ>κc发生同步≈ 100.重要的是（但也不是很直观），同步现象不敏感地依赖于定义良好的阈值的存在——我们不期望神经元或反应完美地调整到精确的阈值。最后，我们调查了破产反馈取决于ac0 20 406080u-2-101α/uRe[α1]Im[α1]Re[α2]Im[α2]01 2t00数量的情况。20.40.60.811-φа=10а=30а=40а=1201-φ0图2：（顶部）等式（12）的数值解：对于较小的φ值，只有一个线性稳定解没有振荡（α）；对于φ的中间值，第二个线性稳定溶液出现振荡（α）；对于较高的φ值，只有一个线性不稳定解，其振荡对应于同步行为的出现。（底部）破产企业比例的典型轨迹1- φ作为时间的函数，用于不同的φ值。φ是活跃企业的稳定分数的理论值，由公式（6）给出。对于φ>φC，同步行为设置为。该图对应于z=0.002和β=1.3。积极企业，即b（t）=b+βφ（t）DP（0，t）Θ，对应于失败企业的债务仅在幸存企业之间分摊的情况。在这种情况下，我们发现当β>1时，上述稳态P（x）就不再存在，这成为同步行为的阈值。在这种情况下，可以找到过渡。最后，我们想提及对我们的模型的不同潜在有趣的解释。首先，银行间违约蔓延，这已成为2008年危机以来的一个主要主题[10]。

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大多数88

2022-5-6 22:05:33

在这里，这种转换几乎是立竿见影的：由于一家银行的资产是另一家银行的负债，一家银行的违约会减少其贷款人的权益，从而使其自身更接近违约。在平均场中处理模型会立即产生类似于公式（1）的阿福克尔-普朗克方程。在最近一项类似模型的研究中，J.Bonart[13]表明，违约率在一段时间后可能会出现分歧，而另一个sig1 1.21.41.61.8 2.2 2 2.42.62.8β-6-4-20246Log[Pe]z=0.02z=0.0020 0.02 0.04z11。21.41.6β不稳定阻尼振荡不稳定阻尼振荡图3：方程式（1）中模型在（β，pe）平面上的相图，由方程式（12）的解给出，z=0.02（黑线）和z=0.002（红线）。虚线将最大解Re（α）<0且im（α）=0（稳定）的区域与Re（α）<0且im（α）6=0（阻尼振荡）的区域分开。整条线将后一个区域与Re（α）>0（不稳定）的区域分开。在插图中，我们在（β，z）中绘制了Pe=0.5的相图。这里研究的是集体同步效应。第二，我们可以考虑一个流行病模型[7]，其中衡量个体i的感染水平。当i>Θ时，疾病宣布自己，疾病变得具有强传染性。然后，FLUX J（t）将模拟人口中未受感染的新移民。然后，该模型预测了疫情零星暴发的可能性。对我们模型的另一种解释是骨折的纤维束模型[8]，它允许“自愈”，即断开的链接及时进行改革的可能性。

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kedemingshi

2022-5-6 22:05:37

最后，我们可以将公式（1）解释为脱钉过渡[9]的平均场描述，其中每个粒子i受到的力fi=xu增加，直到Fireache达到局部脱钉阈值。在这一点上，粒子前进，从而放松作用于它的力，并再次被捕获。然而，如果假设粒子i与它的邻居j弹性耦合，那么随着粒子i的深入，力Fj将增加。在平均场中，我们再次得出等式（1），当外部驱动（此处由Drifft b建模）足够大，足以使小型驱动产生剧烈的粘滑运动时，该等式预测了从平稳的整体进程过渡。一个有趣的概括是，反馈不会像上面那样影响漂移b，而是影响扩散常数D，正如[14]中所述。这可能与软玻璃质物质或粒状材料有关，其中局部屈服事件通常被认为是系统其余部分的有效温度。这和其他扩展将留待未来调查。感谢J.Bonat、E.Bouchaudand J.Donier进行了非常有见地的对话。这项工作的部分资金来自欧盟“危机”项目（grantnumber:FP7-ICT-2011-7-288501-CRISIS）[1]S.H.Strogatz，《同步：自发秩序的新兴科学》，纽约州海伯龙（2003年）。[2] A.T.温弗里，J.托尔。比奥。16, 15 (1967).[3] Y.Kuramoto，《化学振荡、波和湍流》，纽约斯普林格（1984年）。[4] S.H.Strogatz，Physica D 143，1（2000）和参考文献。在这里。[5] 最近的综述见：J.a.Acebron，L.L.Bonilla，C.J.Pérez Vicente，F.Riort，R.Spigleri，《现代物理学评论》，77，139（2005），以及其中的大量参考文献。[6] S.Gualdi，M.Tarzia，F.Zamponi，J.-P。

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kedemingshi

2022-5-6 22:05:42

Bouchaud，《经济动力与控制杂志》（2014年），http://dx.doi.org/10.1016/j.jedc.2014.08.003i[7] 最近的评论请参见：R.Pastor Satorras，C.Castellano，P.Van Mieghem，a.Vespignani，arXiv:1408.2701v1。[8] 最近的评论见：S.普拉丹，a.汉森，B.查克拉巴蒂，Rev。摩登派青年菲斯。82, 499 (2010).[9] D.S.费舍尔，《物理报告》，301113（1998）。[10] 参见例如J.Lorenz、S.Battiston、F.Schweitzer、Eur。菲斯。J.B 71441（2009）。[11] S.Redner，《首次通过时间问题指南》，剑桥大学出版社（2001年）。[12] 对于模型I，最终方程更简单，读数为：βφ=（1- KD/b）/（1- Θ）。[13] J.博纳特，私人通信和准备中。[14] P.Hébraud和F.Lequeux，Phys。牧师。莱特。81, 2934(1998).[15] 为了理解图1所示相图的“可重入”性质——即系统是稳定的，然后随着Θ的增加又是不稳定和稳定的，我们应该记住，描述[6]宏观经济ABM所需的β、pe、z值都取决于Θ本身。人们预计，在繁荣的FE阶段，反馈参数β减小，这确实会导致振荡消失。

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