以下（5.3）中定义的非流动性成本代表了我们的代理人面临的现金损失，与具有相同初始投资组合的另一个相同代理人相比，该代理人能够以零成本在任何方向调整其therisky资产的投资组合。描述函数n和m的第一次交叉的方程很容易在Atlab中实现，然后证明了在非退化情况下计算h或γ以及值函数也很简单。图5.1和5.2是构建值函数时使用的各种函数的通用图。参数值使得我们处于第二种非退化情况（≥ δR和<δR+1-Rif R<1），但对于第一个非退化病例（0<<δR和<δR+1），曲线相似-Rif-R<1）。这两个图分别涵盖了病例R<1和R>1。对于R<1，如图5.1所示，m和n在[1]上单调递增，W在[1]上递增，∞) 和limv→1W（v）=0和limv→∞W（v）=1。进一步，我们得到γ（v）在[1]上增加，∞) g是凹的，并且在增加。对于R>1，如图5.2所示，m和n是单调递增的，W在（0，1）上随limv而递减→0W（v）=1和limv→1W（v）=0。最后，我们得到γ（v）在（0，1）上递减，而g是凸递减的，并且随着z趋于一致而收敛到零。图5.3和图5.4显示了*随着平均收益率的增加而增加，随着波动率δ的增加或风险规避率的增加而减少。随着的增加，非交易资产Y变得更有价值，投资者最好等待更长时间出售Y以获得更高的回报。当=0时，当被赋予的资产收益为零但存在额外风险时，最佳策略是立即出售以消除风险。类似地，随着δ的增加，z的水平*随着持有YINVOLVE带来额外风险而减少。

因此，投资者最好尽早出售Y单位，以降低风险。随着投资者对风险厌恶的增加，她对捐赠资产的风险不那么敏感，因此更倾向于抛售。作为R→ 0，（如果>0）我们有*→ ∞, 这意味着最佳策略是永远不要出售资产。在限额内，投资者不关心持有风险资产的风险。相反，R→ ∞, 我们有z*→ 0.在这种情况下，投资者无法承受任何风险，因此，最好立即出售资产，以达成资产负债表。图5.5和图5.6在不同漂移和风险规避下绘制了非退化情况下通过g表示的价值函数。这些数据表明，g在漂移中增加，而GHA在风险波动中没有单调性。（类似的曲线图显示g的波动性在下降。）随着非交易资产变得更有价值，投资者可以选择最优的销售和消费策略，从而产生更大的价值函数。（此外，随着资产的风险越来越大，额外的r风险会使价值函数变小。）当增加时，z*在图5.5中，风险规避剂220 0.2 0.4 0.6 0.8 10.70.80.91ql，m，n l m0 5 10 15 2000.20.40.60.81vW（v）0 5 10 20的等时消费和销售策略-50510vγ-图5.1.5 1005101520uhγ（v）h（u）0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202.22.42.62.83zg g（z）。来自m，n，l 在R<1的情况下，在第二种非简并情形下，从W（v）到γ（v）到h（u）和g（z）。参数为=1δ=1，β=0.1和R=0.5。

对于这些参数，m是单调递减的。0.2 0.4 0.6 0.8 111.21.41.61.82ql，m，n 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20-1001020vγ-20-15-10-5 0 5 10 15 2000.20.40.60.81uh 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100100200300400zg 0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81vW n m l W（v）γ（v）h（u）g（z）图5.2。来自m，n，l 在R>1的情况下，在第二种非简并情形下，从W（v）到γ（v）到h（u）和g（z）。参数为=3δ=1，β=0.1和R=2。减小（随着δ的增加，e s，z*（正在增加）。这些结果与上一段中描述的结果一致。在z=z时*, 光滑的条件是满足的。观察到，对于不同的漂移值，我们仍然有g从同一点开始。这对应于θ=0时的价值函数，即消费仅由初始财富提供，且问题是确定性的。在这种情况下，我们有g（0）=（R/β）R。图5.7-5.9中考虑了最佳消耗C（x，y，θ）。图5.7绘制了最佳消费C（1，1，θ）作为赋予单位θ的函数，并显示了风险规避代理的最佳消费和销售策略230 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6012345678910εz*δ=2δ=2.5δ=3图5.3。Z*随着增加s或δ增加而增加。这里β=0.1，R=0.5.0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.050.10.150.20.250.30.350.4Rz*ε=0.3ε=0.2ε=0.1图5.4。Z*随着R的增加或的减少而减少。这里δ=3，β=0.1。θ的增加：随着非交易资产Y持有量的增加，代理人感觉更富有，因此消费速度更快。对于θ=0，最佳消耗量C（x，y，0）=xg（0）-R=βRx严格来说是积极的，由现金财富提供资金。图5.7还表明，最佳消费C（1，1，θ）降低了风险平均值。给定一组参数，临界风险规避（即。

两种非退化情况之间的边界）为R=/δ=0.75。对于图5.7中R>0.75的底部两行，我们有<δR，这属于第一个非退化情况，即有限z*. 对于R≤ 0.75，我们有≥ δR，这是第二种非退化情况，具有有限z*. 如我们所见，对于风险规避型代理人240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10234567891011zg（z）图5.5，在风险方面，消费没有间断性。g（z）在第一和第二种非退化情景中具有不同的。虚线：z≥ Z*, s实线：z≤ Z*点再次出现在z上*. 自上而下变化为2,1.5,1,0.5，固定参数δ=2，β=0.1和R=0.5。顶行是给定=δR=2和z的第二非退化情形中的值函数g*就在最后。0.2 0.4 0.6 0.8 11015202530354045505560zg（z）R=1.5 R=1.4 R=1.30 10 20 3024681012141618zg（z）R=0.7 R=0.8 R=0.9图5.6。在第一个和第二个非退化情景中具有不同风险规避R的g（z）。在左图中，R取0.7、0.8和0.9中的值。其余参数为=3，δ=2，β=0.1。临界风险规避isR=/δ=0.75。这些点代表有限的z*实线是第二种非退化情况下的值函数g，具有有限的z*. 在右图中，R取1.3、1.4和1.5中的值，其余参数为=6、δ=2和β=0.1。R=0.75或R=1时的厌恶。不同风险规避的最佳消费主要是在不同的水平上，而决定性因素是θ=0时的最佳消费。正如arguedabove C（x，y，0）=βx/R在R中下降。风险规避代理的最佳消费和销售策略250 0.10.20.30.30 0.40.40.50.6 0.7 0.80.9 10.050.10.150.20.250.30.350.4θC（1,1，θ）R=0.6 R=0.75 R=0.9 R=1.05图5.7。

最佳消耗C（1，1，θ）随R变化。R取0.6,0.75,0.9,1.05的值，参数=3，δ=2，β=0.1和θ∈ [0, 1]. 临界风险规避率为R=/δ=0.75。前两行对应于第二个非退化场景中的最优消耗，其中z*是在≥ δR.底部两条线对应于第一个非退化情况，具有有限的z*.图5.8描绘了消费与财富C（x，1，1）的函数关系，以及消费与财富C（x，1，1）/x的比率与不同的风险厌恶程度的函数关系。注意，这只能在x>yθ/z时显示*= 1/z*如果x<1/z*代理人立即出售风险资产的单位。风险规避的临界值为R=/δ=0.75。对于R>0.75，我们有*< ∞ 还有x*= 1/z*> 0而R≤ 0.75，z*= ∞ 还有x*= 1/z*= 结果表明，最优消费率是财富的递增函数，而单位财富的消费率是财富的递减函数。（在标准的默顿问题中，消费与财富成正比。）当代理人变得更富有时，她消费更多，但她所消费的财富的比例会变小。原因是她的天赋财富保持不变。可以看出，如果x和θ都以相同的因子增加，那么消费也会以相同的因子增加，但这里x在增加，但θ（和y）是恒定的，因此消费的增加比财富的增加慢。在极限x内→ ∞ 我们有Limx→∞C（x，1，1）=∞ 还有limx→∞C（x，y，θ）/x=g（0）-R=β/R。图5.9将最佳消耗量C（1，1，θ）绘制为θ和的函数。在这里，我们发现了一个令人惊讶的结果：我们可能预期最优消耗C（x，y，θ）在漂移中增加，但对于大θ，情况并非如此。

为了解释这种现象，回想一下最佳运动比率z*在dr ift中正在增加。随着漂移的增加，资产的平均回报率更高，这使代理人感觉更富有，并以更高的速度消费。然而，较大的漂移也意味着较大的RZ*, 表明代理人应就风险资产的出售进行pos tpone。因此，更大的漂移涉及更多的风险，为了减轻这种风险，代理在短期内消耗更少。因此，对于大θ，最佳消耗在漂移中减小。如果将c（1，1，θ）视为δ的函数，我们会发现类似的结果。最优消费不一定会降低波动性，对于较大的θ值，消费可能会增加波动性。类似地，如果我们绘制C（x，1，1），我们发现，如果财富x小（大），则共同消费是收益的递减（递增）函数。风险规避剂的最佳消费和销售策略260 0.2 0.4 0.6 0.8 111.522.533.544.5xC（x，1,1）0.05 0.2 0.4 0.6 0.8 105101525035404550xC（x，1,1）/x R=0.6 R=0.75 R=0.9 R=1.05 R=0.6 R=0.75 R=0.9 R=1.05图5.8。随着R的变化，最优消耗C（x，1，1）和C（x，1，1）/x。R取0.6、0.75、0.9和1.05的值，参数=3、δ=2、y=1和θ=1。这些点代表x*= 1/z*临界风险系数R=/δ=0.75。在这两个图中，最上面的两条线对应于第二个非n-退化情况下x的最优消耗*= 0.底部两行是第一个非n-退化情况下的最优消耗，具有有限z*, 或者相当于x*> 0.0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.20.220.240.260.280.30.32θC（1,1，θ）ε=0.5ε=1ε=1.5ε=2图5.9。最优消耗C（1，1，θ）随变化。取0.5、1、1.5和2中的值，参数δ=2、β=0.1、R=0.5、x=1和y=1。

临界平均回报率为=δR=2。当=2时，我们处于第二种非退化情况。图5.10-5.13绘制了效用差异价格或确定性等价值p（x，y，θ）。回想一下，在定理4的第二和第三种情况下，非交易资产的确定性等价值由p（x，y，θ）=x给出Gyθxg（0）1.-R- x风险规避代理的最佳消费和销售策略270 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101234567891011xp（x，1，1）ε=2.5ε=2.1ε=1.5ε=1图5.10。差异价格p（x，1，1）随着的变化而变化。从顶部到底部变化为2.5、2.1、1.5、1，固定参数δ=2、β=0.1、R=0.5、θ=1和y=1。这些点代表x*= 1/z*临界平均收益率为=δR=2。图5.10和图5.11将差异价格视为财富的函数。图中的点代表最佳运动比率z*= yθ/x。在每个图中，我们选择一系列参数值，有时我们处于第一个非退化情况，有时处于第二个非退化情况。在图5.10中，对于<2，我们有z*< ∞ 还有x*= 1/z*> 0，而对于≥ 2.我们有z*= ∞ 还有x*= 我们可以看到p（x，1，1）在x上是单调的，并且在x上是递增的。根据定理6，g（z）=（R/β）Rm（q*)-R（1+z）1-RFZ≥ Z*. 进一步，在0<<δR和<δR+1的条件下-R、 这确保了一个固定的运动比率limx→0p（x，y，θ）=limx→0xGyθxg（0）1.-R- 1.= 利克斯→0nm（q*)RR-1（x+yθ）- xo=m（q）*)RR-1yθ>yθ。在这种情况下，当x=0时，如果没有初始财富可用于为消费融资，投资者最好立即出售部分捐赠资产Y，以便将投资于捐赠资产的财富与流动财富的比率保持在z以下*, 即

从初始投资组合（x=0，θ=0）-) 代理移动到（x=X0+，θ=Θ0+），其中Θ0+=z*1+z*Θ0-X0+=1+z*Y9200-.和δ中p（x，1，1）的单调性也在图s 5.10和5.11中得到了说明：较高的平均收益增加了资产的价值，而波动性的增加使Y更具风险并降低了价值。还可以观察到，对于大于临界值的漂移，漂移的变化不会移动斑点（代表临界比），而对于小于临界值的漂移，随着漂移的增加，斑点向右移动。在dot左侧，代理人应首先出售捐赠资产，而在dot右侧，代理人应等待。随着漂移的增加，代理人在出售资产时应该等待更长的时间以获得更高的回报。图5.12将差异价格p（1，1，θ）和单位差异价格p（1，1，θ）/θ视为θ的函数。我们看到p（1，1，θ）在θ中增加，对于θ=0，p（1，1，0）=0，反映了零持有一文不值的事实。我们也有单位价格p（1，1，θ）/θ在资产θ的单位中下降。对于小型住宅，边际价格limθ→0p（1，1，θ）/θ是有限的。Asθ→ ∞,图s表明，单价p（1，1，θ）/θ往往比单价大一些常数。对于风险规避型代理人280 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10051015202530354045xp（x，1，1）图5.11。差异价格p（x，1，1）。δ从上到下变化为2.1、2.4、2.8和3.2，固定参数=3、β=0.1、R=0.5、θ=1和y=1。这些点代表x*= 1/z*临界波动率δ=p/R=2.45。在第二种非退化情况下，顶部两条线对应于不同的价格*= 0

最后两行是第一个非退化情况下x的差异价格*> 0.y/y:limθ→∞p（x，y，θ）θ=limθ→∞十、g（yθx）g（0）1.-R- xθ=limθ→∞m（q）*)RR-1（x+yθ）- xθ=m（q*)RR-1y>y，其中第二个等式为z≥ Z*, 我们有g（z）=（R/β）Rm（q）*)-R（1+z）1-R.图5.12还说明了漂移参数中p的单调性，我们发现p（1，1，θ）和p（1，1，θ）/θ都在漂移中增加。类似地，可以表明p（1，1，θ）和p（1，1，θ）/θ都在δ中减少，反映了随着波动性增加头寸风险的增加。图5.13绘制了不同风险规避的不同价格作为现金财富的函数。天真地说，我们可能会认为价格在风险波动中是单调递减的——风险规避程度越高，风险资产的价值就越低。然而，结果表明，情况并非如此，对于大型财富，效用差异价格在R中增加（如果我们计算财富x，并将确定性等值视为数量θ的函数，那么我们发现类似的反转，对于小型θ，确定性等值在R中增加。）对这种现象的解释如下。考虑一个拥有正现金财富和零风险资产捐赠的代理人。该银以βx/R的速率消耗；特别是，随着参数R的增加，药剂消耗的速度变慢。引入一个小的捐赠不会改变这个结果，在一般情况下，参数R的增加会推迟临界比率达到z的时间*. （尽管如此）*取决于R a lso，这是次要影响。）由于被赋予的资产正在升值，平均而言，当代理人选择开始出售资产时，它将变得更值钱。

总的影响是使R中的差异价格增加。类似地，作为θ函数的差异价格p（1，1，θ）和单位差异价格p（1，1，θ）/θ在风险规避中不一定是单调的。风险规避型代理人290 2 4 6 8 10024681012141618θp（1,1，θ）0.005 2 4 6 8 1011.522.533.544.555.5θp（1,1，θ）/θε=2ε=1.5ε=1ε=0.5ε=2ε=1.5ε=0.5图5.12。差异价格p（1，1，θ）和单价p（1，1，θ）/θ。从上到下变化为2,1.5,1,0.5，固定参数δ=2，β=0.1，R=0.5，x=1和y=1。点代表θ*= Z*临界平均收益率为=δR=2。顶行对应于第二种非退化情况下的差异价格，带有有限z*.0 2 4 6 8 10 12 14 18 201510152025xp（x，1,1）R=0.5 R=0.75 R=0.9 R=1.2图5.13。差异价格p（x，1，1）。R取0.5、0.75、0.9和1中的值。2具有固定参数=3、δ=2、β=0.1、y=1和θ=1。dotsresentx*= 1/z*临界风险规避率为R=/δ=0.75。x的前两行∈ [0,1]对应于第二种非退化情况下的差异价格，即x*= 0.在第一个非退化情况下，底部两行表示与x不同的价格*> 0.最后，我们考虑非流动性假设的影响。我们通过考虑我们的代理人的价值函数来实现这一点，代理人不能购买捐赠资产，并将其与其他年龄相同的nt的价值函数进行比较，但代理人可以在零交易成本的情况下买卖捐赠资产。

假设参数为定理4的第二种情况。风险规避者的最优消费和销售策略在非流动市场中，Y只允许销售，定理e m 6证明了价值函数为（5.1）VI（x，Y，θ，0）=x1-R1- Rgyθx= sup（C，Θ）E“^∞E-βtC1-Rt1- Rdt#，其中新引入的下标表示非流动市场中的价值函数，在该市场中，资产只能出售。在Y可以动态交易的流动市场中，财富的演变为dXt=-Ctdt+πtdYt/Yt。这里（π）t≥0代表投资组合流程。我们假设代理最初被赋予Y的Θ单位，并被约束为保持X正。这是默顿的模型，我们知道最佳策略是将财富的一小部分保持在风险资产中。因此，初始禀赋只会改变初始财富，价值函数为（5.2）VL（x，y，θ，0）=sup（C，π）E“^∞E-βtC1-Rt1- Rdt#=（x+yθ）1-R1- RβR-α(1 - R） 2σR-R、 下标L代表流动市场中的价值函数。现在我们考虑流动性不足的成本。定义25。流动性不足的成本，表示为p*= P*（x，y，θ）是（5.3）VL（x）的解- P*, y、 θ，t）=VI（x，y，θ，t）。代表只能出售风险资产的代理人为了能够以零交易成本交易风险资产而准备放弃的现金财富金额。将（5.1）和（5.2）相等，我们可以求解p*获得（5.4）p*（x，y，θ）=x“1+yθx- Gyθx1.-RβR-α(1 - R） 2σRR1-R#。考虑（5.4）当θ=0时，投资者最初没有被赋予任何Y单位，我们有*（x，y，0）=x“1-βR-α(1 - R） 2σRR1-Rg（0）1-R#=x“1-1.-(1 - R） 2δRR1-R#>0。假设R<1，0<<δR+1-Rand<δR，所以z*现在是最后一天。图5.14 plo ts p*（1，1，θ）表示θ∈ [0, 10].

注意，p*一开始减小，在0.95附近有一个严格的正最小值，然后增大，直到超过θ=z成为线性*. 显然，无论经纪人的初始禀赋是什么，与能够动态交易的经纪人相比，她拥有一套更小的可接受策略，而且流动性成本严格为正。对于小额初始捐赠，代理人希望增加其r isky资产投资组合的规模，并且初始捐赠越小，她越想在时间零点购买。因此，对于较小的θ，非流动性成本在θ中降低。然而，对于较大的θ，代理人希望进行初始交易（将风险资产中持有的财富与现金财富的比率降低到z以下）*), 事实上，由于她可以自由进行doso，她的最佳策略就是在时间零点进行这样的交易。因此，对于lar ge而言，流动性成本与（x+yθ）成比例，因此在θ中增加。因此，流动性成本是θ的U形函数。附录A.NRE的性质请参见m和l n的微分方程（3.6），以及q的定义l, qm，qn和q*. 定义q=inf{q>0:（1）- R） n（q）≥ (1 - R）l（q） }∧ 1.注意m（0）=1=l （0）和m（1）=1- (1 - R） +δR（1）- R） /2=l (1). 凹函数l 在（0，1）上为正，如果l(1) = 1 - (1 - R） +δR（1）- R） /2≥ 0.风险规避剂的最佳消费和销售策略310 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 20.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10.11θp*（1,1，θ）z*=1.65zmin=0.95 zM=1图5.14。非流动性成本*（1，1，θ）随着θ的变化。参数为=1、δ=2和R=0.5。这里，我们fix=y=1和θ∈ [0, 1]. 对于Y中具有动态交易的相应默顿问题，我们得到，投资恒定的分数zM=δR是最优的-在风险资产中。回想备注8并观察zM≤ Z*.引理26。

（1） 通过Φ（χ）=χ定义Φ- (1 - R）δ- +Rχ - (1 - R） R.那么R呢∈ （0,1），n′（0）是Φ（χ）=0的较小根，对于R∈ (1, ∞), n′（0）是较大的根。（2） 问∈ （0，qn）∧ q），n′（q）>0当且仅当n（q）<m（q），类似地，n′（q）=0当且仅当ifn（q）=m（q）。（3） 如果l(1) ≥ 0，然后q=qn=ql= 1.（4）如果l（1） <0然后+q=qn=ql< Q*.（5） 如果0≤ Q*< 1那么q*> /δR和（1）- R） m在（q）上增加*, 1).证据（1） 根据表达式（3.6）和l\'H^opital法则，n′（0）=χ解χ=1- RR-δ(1 - R） R（1）- R） （δ）- ) - χ、 或等效Φ（χ）=0。进一步的l′(0) = (1 - R）δ- 和Φ(1 - R）δ- = -δ(1 - R） R<0。对于R<1，我们有n′（0）<l′（0）假设n′（0）是Φ的平方根。对于R>1，我们有n′（0）>l′（0）根据假设，n′（0）是Φ的较大根。（2） 这直接来自n′（q）的表达式。（3） 假设R<1。自n′（0）<l′（0）我们的q>0。注意，如果0<n（q）<l（q） 及l（q）- n（q）非常小，那么n′（q）<l′（q） 。因此q≥ qn。此外，如果n（q）<l （q）- φ对于某些区间上的φ>0q、 q （0，1），则n′（q）/n（q）在间隔上由一个常数限定，并提供nQ> 也就是说n（q）>0。因此，如果l 对于风险规避型代理人32，其[0,1]最优消费和销售策略是正的，那么n和qn=1也是正的。对于R>1，我们有n′（0）>l′（0）通过一个类似的参数得出结果。（4） 假设R<1。与上述参数相同的参数给出≈q=qn=ql现在这些数量不到一。显然qm<ql, m是（0，qm）上的递减。我们不能有q*≤ qmforthen n′（q*) - m′（q）*) > 0和n（q）*) - m（q）*) = 0与q的最小值相矛盾*, 我们也不能让qm<q*≤ Ql对于这个区域，m<0≤ n、 （5）我们只能有q*< 1如果m（1）>0和（1）- R） m′（1）>0。对于R<1，我们必须have′（q*) = 0<m′（q*). 但m在/δR处有一个最小值，所以q*> /δR。

对于R>1，我们必须have′（q*) = 0>m′（q*). 但是m在/δR处有一个最大值，所以q*> /δR。命题1的证明。（1） 注意Φ（m′（0））=（1- R） Δ/2。然后，如果<0，则R<1和q的n′（0）<m′（0）*= 否则，对于R>1，我们有n′（0）>m′（0）和q*= 0.如果=0，则n′（0）=m′（0）需要更多的注意。考虑R<1。自从≤ 0，m在增加。假设[0,1]中的某些^q的n（^q）>m（^q）。Letq=sup{q<^q:n（q）=m（q）}。然后q、 ^q我们有n′（q）<0<m′（q）和m（^q）- n（^q）=mQ- NQ+^qq[m′（y）- n′（y）]dy>0，矛盾。对于R>1，唯一的区别是，在给定≤ 0和n′（0）>m′（0）。（2） 考虑第一个R<1，并假设0<<min{δR，δR+1-R} 。然后m′（1）>0，m（1）>0。由于>0，我们有n′（0）>m′（0）和n- m至少在最初是正的。Writen（q）=m（q）+δ（1）- R） qb（q）/2。然后n（q）≤ l （q） 暗示b（q）≤ 1.- q、 假设所有q的b（q）>0∈ (0, 1). 然后n（q）≥ m（q）和n′（q）<0所以n（q）≥ n（1）=m（1）和m（1）=m（q）- (1 - q） （1）- R） - δR- (1 - q） δR（1）- R） /2>m（q）+φ（1）- q） δ（1）- R） q/2，对于q>/δR和φ<（δR- ）min{δ，R}。对于这样的q，b（q）>φ（1）- q） 。Hencen′（q）n（q）=-1.- RRb（q）（1）- q） （1）- Q- b（q））≤ -1.- RRφ（1）- q） （1）- φ） 我们必须有n′（1）-) = -∞ 与n（q）相矛盾≤ l （q） 。因此，对于某些q，我们必须有b（q）=0∈ (0, 1). 在这一点上，n与m相交。注意，这一交叉点是唯一的：在任何交叉点m′（q）>0=n′（q），因此所有0 in（0，1）的交叉点都是n- m是从上到下的。对于R>1，我们有m′（1）<0和m（1）>0。由于>0，我们有n′（0）<m′（0）和n- 一开始是阴性。设n（q）=m（q）+δ（1）- R） qb（q）/2。然后n（q）≥ l（q） 暗示b（q）≤ 1.- q、 假设所有q的b（q）>0∈ （0，1），那么对于R<1，它会导致相同的矛盾。因此，对于某些q，b（q）=0∈ （0,1），其中n穿过e s m。

在任意交叉点m′（q）<0=n′（q），因此n从m下方穿过m。(3)  ≥ δR和if R<1，<δR+1-R.考虑第一个R<1。因为>0，我们有n′（0）>m′（0）和n>m在零的右边。此外，m在减小，并且不存在n=m的解，因为在任何解中，我们必须有t0=n′<m′<0。对于R>1，我们有m在增加，n′（0）<m′（0）。这里没有n=m的解，在任何解中，我们应该有0=n′>m′>0。（4） R<1和≥δR+1-香港电台m（1）≤ 因为m至少在到达零之前是递减的，而且因为n′=0在一个c交叉点，我们不能让n在到达零之前穿过m。风险规避代理人的最优消费和销售策略33命题14的证明。（1） N N′（q）=δ（1）- R） qN（q）l （q）- N（q）-1/R（1）- q） 一,-R<1时，1/N严格增加。否则，当R>1时，它会减小。W（A.1）W′（v）=l （W（v））- 五、-1/R（1）- W（v））1-1/Rδ（1- R） 大众汽车（v）（2）遵循（3.8）和（a.1）。（3） 考虑第一个R<1。关于（0，q）*) 我们有n（q）>m（q），然后l（q）- n（q）<l（q）- m（q）=q（1）- q） δ（1）- R） /2。然后v-1/R（1）- W（v））1-1/R=n（W（v））和v（1）- R） W′（v）=l（W（v））- n（W（v））δ（1）- R） W（v）<1- 因此，W′（v）=（1- R） W（v）+v（1）- R） W′（v）<1- RW（v）。在q*, n（q）*) = m（q）*) 他们的内在品质始终是平等的。对于R>1，我们在（0，q）上有n（q）<m（q）*) 和l（q）- n（q）>l（q）- m（q）=q（1）- q） δ（1）- R） /2。然后又是v（1）- R） W′（v）<1- W（v）和W′（v）<1- RW（v）在h处相等*.请注意，因为W是非负的，所以1- RW（h）≤ 1.附录B.引理20的值函数证明的鞅性质。首先，我们要展示局部鞅=^tηYsGy（X*s、 Ys，Θ*s、 s）是一个鞅。例如，如果（B.1）E^t（YsGy（X*s、 Ys，Θ*s、 s）ds<∞每t>0。

根据值函数（4.11）的形式，我们得到（B.2）yGy（x，y，θ，s）=e-βtx1-R1- Rzg′（z）=G（x，y，θ，t）zg′（z）G（z）≤ (1 - R） G（x，y，θ，t），其中我们使用thatzg′（z）G（z）=w（h）h=（1）- R） W（h）和0≤ W（h）≤ 1.定义流程（Dt）t≥0by Dt=ln G（X*t、 Yt，Θ*t、 t）。然后D解决了SDT- D=^tG燃气轮机- C*sGx+αYsGy+ηYsGyds+^tG（Gθ）- YsGx）dΘs+^tGηYsGydBs-^t2GηYsGyds=-^te-βRs1- RGGR-1Rxds+^tGηYsGydBs-^t2GηYsGyds。因此，沿着最优轨道的候选值函数具有re表示（B.3）G（X*t、 Yt，Θ*t、 t）=G（X*, y、 Θ*, 0）经验(-^te-Rβs1- RGGR-1Rxds）hth，其中H=（Ht）t≥0是指数鞅ht=EηYsGyGo Bt:=exp^tGηYsGydBs-^t2GηYsGyds.风险规避者的最优消费和销售策略34注意（B.2）意味着gηyGy≤ η(1 - R） 所以H确实是一个鞅，而不仅仅是一个局部鞅。从（B.2）和（B.3）中，我们得到（yGy）=G（X，y，Θ，0）zg′（z）g（z）×exp(-2^te-Rβs（1- R） GGR-1Rxds）Ht≤ G（X，y，Θ，0）（1）- R） 嗯。但是t=EGηYsGyo B特克斯^tGηYsGyds≤ EGηYsGyo Bte（1）-R） ηt.E[Ht]≤ e（1）-R） ηand它允许（B.1）对每t成立，因此局部鞅Nt=\'tηygydbs是最优策略下的鞅。（ii）考虑-Rβs1-RGGR-1Rxds。到目前为止，我们只是认为这个函数是递增的。现在我们想说它至少是线性增长的。到（4.11），我们已经-Rβt1- RGGR-1Rx=hg（z）-1.-Rzg′（z）iR-1Rg（z）=hh-1.-Rw（h）iR-1Rh=（1）- W（h））1-1/Rh-1/R=n（W（h））≥ min{1，n（W（h）*))} > 因此，从（B.3）中，存在一个常数k>0≤ (1 - R） G（X）*t、 Yt，Θ*t、 （t）≤ (1 - R） G（x，y，θ，0）e-ktHt→ 然后是G→ 根据需要，L为0。引理24的证明。这与引理20的证明完全一致。附录C.对R>1情况下的R>1验证引理的扩展。在R>1的情况下，仍需扩展验证定理的证明。

特别地，我们需要证明候选值函数是值函数的上界。主要思想取自戴维斯和诺曼[3]。假设G（x，y，θ，t）是候选值函数。考虑ε>0，（C.1）eVε（x，y，θ，t）=eV（x，y，θ，t）=G（x+ε，y，θ，t）和fMt=fMt（C，Θ），由fMt=^te给出-βsC1-Rs1- Rds+eV（Xt，Yt，Θt，t），风险规避代理的最优消费和销售策略35Then，fMt-fM=^tE-βsC1-Rs1- R- CseVx+αYseVy+ηYseVyy+eVtds+^teVθ- YseVxdΘs+X0≤s≤theV（Xs，Ys，Θs，s）-eV（Xs）-, Y-, Θs-, s- ) -eVx(△十） s-eVθ(△Θ）si+^tηYseVydBs=eNt+eNt+eNt+eNt。引理12（在情况中）≤ 0，否则引理18或引理23）隐含≤ 0安登特≤ 0.ev（x+yχ，y，θ）的凹度-χ、 s）在χ中（如果≤ 0，或使用lemma17或引理22）表示(恩）≤ 0.现在确定停止时间τn=infnt≥ 0:tηYseVyds≥ 不。根据（B.2）可知，yeVyis有界，因此τn↑ ∞. 然后是局部鞅（eNt）∧τn）t≥0是一个鞅，带着我们的期望fMt∧τn≤fM和henceE^t∧τne-βsC1-Rs1- Rds+eV（Xt）∧τn，Yt∧τn，Θt∧τn，t∧ τn）≤eV（x，y，θ，0）。在这种情况下≤ 0，（4.1）a和（C.1）implyeV（x，y，θ，t）=e-βt（x+ε）1-R1- R1+yθx+ε1.-RRβR≥ E-βt（x+ε）1-R1- RRβR≥ε1-R1- RRβR.ThuseV是有界的，limn→∞EeV（Xt）∧τn，Yt∧τn，Θt∧τn，t∧ τn）=EheV（Xt，Yt，θt，t）i，andeV（x，y，θ，0）≥ E^te-βsC1-Rs1- 无线电数据系统+ EheV（Xt，Yt，Θt，t）i.类似地，eV（x，y，θ，t）≥ E-βtε1-R1- RRβ兰德·埃夫（Xt，Yt，Θt，t）i→ 0.然后让t→ ∞ 应用单调收敛定理，我们得到了eVε（x，y，θ，0）=eV（x，y，θ，0）≥ E^∞E-βsC1-Rs1- 无线电数据系统最后让ε→ 0.然后V≤ limε↓0eV=G。因此，我们有V≤ G.这两种非退化情况非常相似，除了（4.11）和（C.1），eV（x，y，θ，t）=e-βt（x+ε）1-R1- Rgyθx+ε≥ E-βtε1-R1- RRβ当R>1时，g随着g（0）=（Rβ）R>0而减小。

亨切夫被推翻了，争论仍在继续。风险规避者的最优消费和销售策略36参考文献[1]G.M.Constantinides（1986），《具有交易成本的资本市场均衡》，政治经济学杂志，94（4），第842-862页。[2] G.M.Constantinides，M.J.P.Magill（1976），《具有交易成本的投资组合选择》，经济理论杂志，第13期，第264-271页。[3] M.H.A.Davis，A.Norman（1990），《具有交易成本的投资组合选择》，《运营数学研究》，第15期，第676-713页。[4] 《离散时间控制与投资组合》（a.D.Journal of continuous time Control of Sun Transactions，1990年，第35页）和《离散时间控制与投资组合》（a.D。[5] J.D.Evans，V.Henderson，D.Hobson（2008），《不完全市场中资产出售的最佳时机》，数学金融，18（4），第545-568页。[6] J·M·哈里森（1985），《布朗运动与随机流动系统》。威利，纽约。[7] V.Henderson，D.Hobson（2002），具有恒定相对风险规避的实物期权，经济动力学与控制杂志，27，329-355页。[8] V.Henderson，D.Hobson（2009），《公用事业差异定价：概述》，《差异定价：理论与应用》，普林斯顿大学出版社。[9] V.Henderson，D.Hobson（2008），《对资产出售建模的最优停止/最优控制问题的显式解决方案》，应用概率年鉴，18（5），第1681-1705页。[10] V.Henderson，D.Hobson（2013），《风险规避、不可分割的时间选择和赌博》，运营研究，第61（1）页，第126-137页。[11] V.Henderson，D.Hobson（2014），《不可分割资产出售模型中的消费和投资》，正在准备中。[12] D.Hobson，Y.Zhu（2014），具有有限交易成本的多资产消费投资问题，正在准备中。[13] I.Karatzas，S.E。

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