风险规避代理的最优消费和销售策略

2022-5-6 22:10:52

因此，这个问题是对默顿[16]最优消费/最优投资组合问题的修正。默顿[16]在连续时间随机模型中考虑了投资组合优化和消费，投资机会集包括无风险债券和具有恒定回报和波动性的风险资产。默顿选择通过首先了解单一代理人作为价格接受者的行为来研究这些问题。在恒定相对风险规避（CRRA）的假设下，他得到了问题的封闭形式解，并且他的模型中的最优策略包括持续交易，以使投资于风险证券的财富份额等于常数。默顿的模型后来被推广到一个不完整的金融市场环境中，完美的对冲不再可能。Constantinides和Magill[2]（见a lso C onstantinides[1]）在模型中引入了比例交易成本，并考虑了一个投资者，其目标是在电力公用事业的有限期限内最大化消费的预期效用。他们认为存在一个“无交易”区域，将投资于风险资产的财富比例保持在一定区间内是最佳的。随后戴维斯和诺曼[3]加维达：2018年8月15日。英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL。DHobson@warwick.ac.ukYeqi。Zhu@warwick.ac.uk.OPTIMAL风险规避代理的消费和销售策略。戴维斯和诺曼[3]对这个问题的分析是交易成本问题研究中的一个里程碑。在本文中，我们考虑Constantanides Magill-Davis Norman模型的一个特例，其中与购买风险资产相关的交易成本是有限的。

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kedemingshi

2022-5-6 22:10:55

实际上，购买是不允许的，我们可能会想到一个代理人被赋予一定数量的资产，她可以出售这些资产，但不能动态地进行交易。考虑这一特殊情况至少有两个主要原因。首先，通常存在这样的情况，即代理人被赋予资产单位，他们可以出售，但不可以回购，无论是出于法律原因还是由于其他交易限制。从这个意义上讲，这个问题本身就很有趣，正如我们所展示的，这个模型有一些反直觉的特性。其次，相对于康斯坦尼德斯-麦吉尔-戴维斯-诺曼模型，新的解决方案技术变得可用，我们能够利用这些技术为问题提供更完整的解决方案。有了这个更完整的解决方案，我们可以研究问题的比较静力学。2.相关文献及主要结论2。1.相关文献。Davis和Norman[3]是第一个以精确的数学公式研究具有比例交易成本的默顿模型的人。他们表明，非交易区域的欠优行为是一个包含默顿线的楔子，最优的买卖策略是在选择的边界上的当地时间，以将过程保持在楔子内。在交易区域，交易以固定的速度进行，除初始交易外，所有交易都在边界进行。他们通过写下具有自由边界条件的（非线性、二阶）Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，然后通过一系列变换，将问题转化为一个一阶常微分方程组的解来获得结果。在Davis和Norman工作的推动下，Shreve和Soner[18]研究了同样的问题，但采用了通过粘度解决方案的方法。

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2022-5-6 22:10:59

他们从戴维斯和诺曼[3]那里获得了结果，而没有强加[3]的所有条件。在相关工作中，杜菲和孙[4]、刘[14]和科恩[15]研究了固定（而非比例）交易成本的问题。Liu使用HJB方法，推导了一个常微分方程来描述值函数的特征，并对其进行了数值求解。他发现，如果只有固定的交易成本，那么最佳的交易策略是，一旦股票中的财富份额超出一定范围，就立即交易到特定的目标金额。Korn[15]通过脉冲控制和最优停止方法解决了类似的问题。他证明了贝尔曼原理，并在价值函数为有限的假设下，通过迭代过程求解了回归函数。虽然金融资产可以进行积极交易，但在其他情况下，动态交易是不可能的。斯文森和沃纳[19]我们是第一个考虑默顿模型中非交易资产定价问题的人。在我们建模的情况下，拥有资产单位的代理人可以出售资产，但不可以进行购买。在最简单的情况下，代理人被赋予一个不可交易的独立资产的单一单位，问题就归结为一个资产的最优销售问题。Evans等人[5]，参见Henderson和Hobson[9,10]，考虑了一个具有幂效用函数的代理人，他拥有一个不可分割的非交易资产，并希望选择出售资产的最佳时间，以便在不完全市场中最大化终端财富的预期效用。他们的研究结果表明，出售资产的最佳标准是，当非交易资产的价值首次超过代理人交易额的一定比例时，出售资产，并且该临界阈值由一个超越方程控制。

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2022-5-6 22:11:02

亨德森和霍布森[7]也在实物期权的背景下研究了这个问题，投资者对与风险资产相关的非交易资产单位拥有权利。风险规避代理人的最优消费和销售策略32.2。主要结论的非正式声明。本文考虑的是一个人，他拥有现金和可完全分割资产的单位，可以出售，但不能进行动态交易，他的目标是最大化单位内消费的预期贴现效用。（亨德森和霍布森[11]考虑了不可分割资产的情况。）个人面临的问题是选择最优策略来清算捐赠资产组合，以及选择最优消费过程来保持现金财富非负。假设被赋予资产的定价过程遵循指数布朗运动，且代理人具有恒定的相对风险厌恶。可出售但不可购买的约束条件相当于对销售的非交易成本和购买的有限交易成本的假设。（通过使用代表交易后成本价格而非交易前价格的流程，可以很容易地将销售的非交易成本假设放宽为销售的比例交易成本。）从这个意义上讲，我们所考虑的问题可以解释为默顿模型的Davis-Norman问题的一个特例，其中与购买最终资产相关的交易成本是有限的。我们的主要结果有三种。首先，我们能够完全分类不同类型的最优策略及其适用的参数范围。其次，我们可以简化值函数的求解问题，尤其是与通过平滑函数求解HJB方程的直接方法相比。

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2022-5-6 22:11:05

第三，我们可以对感兴趣的数量进行比较静力学，并揭示该模型的一些令人惊讶的含义。我们的一些主要结果如下。结果1。如果捐赠资产随时间贬值，投资者应立即出售。相反，如果平均回报率太高，且相对风险规避系数小于1，则该问题是不适定的，并且如果被赋予资产的初始持有为正，则价值函数是有限的。否则，就有两种情况。对于小且正的平均回报率，存在一个确定的临界比率，而捐赠资产的最佳销售策略是出售刚好足以使捐赠资产中持有的财富与现金财富的比率低于该临界比率的资产。为了获得更大的回报，SIT最适合首先消费所有现金财富，一旦这些现金财富耗尽，通过出售捐赠资产进行金融消费。结果2。如果临界比是有限的，则通过求解一阶初值常微分方程（ODE）的交叉问题给出临界比。其他感兴趣的量可以用这个常微分方程的解来表示。在临界比率有限的情况下，值函数可以再次表示为一阶常微分方程的解。结果3。我们从比较静力学中得出了三个样本结论：（1）最优消费过程在资产漂移中不是单调的。虽然我们可能认为漂移越大，代理消耗的能量就越多，但有时代理消耗的能量是漂移的递减函数。（2）风险资产持有量的确定性等值在风险规避中不是唯一的。

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nandehutu2022

2022-5-6 22:11:08

对于小数量的捐赠资产，风险规避中的确定性等价值增加，而对于大数量的捐赠资产，确定性等价值减少。（3）流动性不足的成本（见下文定义25）是风险集合中捐赠规模的U型函数，代表代理人的福利损失，与能够以零交易成本买卖风险资产的其他相同代理人相比。风险规避型代理人的最优消费和销售策略4我们以bo nd为基数（因此可以忽略利率影响），然后相关参数是贴现参数和代理人的相对风险规避，以及风险资产价格过程的提取和波动。在非退化参数的情况下，代理人面临着持有大量风险资产的动机（因为它具有正回报）和出售以最小化风险敞口的动机之间的矛盾。从同质属性来看，我们期望决策取决于风险资产持有价值与财富之间的比率。我们问题的HJB方程是二阶非线性方程，在未知的自由边界上服从一阶和二阶导数的值匹配和光滑拟合。我们的主要贡献之一是证明，对于一阶常微分方程的求解，这个问题可以简化为一个交叉问题。这种大的简化在考虑解的分析性质和试图用数值方法构造解时都很有用。我们对导致不同解的参数组合进行分类，并对临界比的存在性和唯一性以及相应的最优策略进行彻底分析。

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kedemingshi

2022-5-6 22:11:12

在有限临界比和正临界比的情况下，我们展示了如何通过具有反射和局部时间的自治一维扩散过程来描述问题的解决方案。本文的结构如下。首先，我们对模型进行了精确描述，然后陈述了主要结果。该问题的HJB方程是二阶非线性的，但变量的变化会使方程变得齐次，然后依赖变量的变化会降低阶数。因此，解的形式取决于一阶常微分方程初值问题的第一交叉问题的解。尽管该ODE的封闭式解决方案不可用，但我们无法提供初始交叉问题何时有解决方案的完整描述，并且给出了第一个交叉问题的解决方案，我们展示了如何构造（候选）值函数。有两种退化解（一种情况下，立即清算风险资产的所有单位始终是最优的，另一种情况下，价值函数是有限的，问题是病态的）。此外，还有两种不同类型的非退化行为（在一种情况下，代理人出售资产单位，以便将风险资产中持有的财富比例保持在一定水平以下，在另一种情况下，代理人在出售任何风险资产单位之前耗尽所有现金储备。）我们给出了所有主要结果的证明，尽管验证参数的技术细节有时被归入附录。一旦问题分析完成，我们就可以考虑问题的比较静态。我们考虑投资组合的最优价值和最优价值。3.

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2022-5-6 22:11:15

模型和主要结果我们在一个过滤概率空间中工作Ohm, F、 P，（Ft）t≥0使过滤满足通常条件，并由标准布朗运动B=（Bt）t生成≥0.价格过程Y=（Yt）t≥假设（3.1）Yt=yexp给出了捐赠资产的0α -ηt+ηBt,式中，α和η>0是非交易资产的恒定平均收益率和波动率，以及初始价格。设C=（Ct）t≥0表示个人的消费率，让Θ=（Θt）t≥0表示投资者持有的捐赠资产的单位数。要求消费率逐步可测量且非负，投资组合过程是可测量的，右连续左限（RCLL）且不增加，以反映非交易资产仅允许出售的事实。我们假设投资者持有的初始股份数为θ。风险规避代理人的最优消费和销售策略5由于我们允许在时间0进行初始交易，我们可能有Θ<θ。我们写9200-= θ. 这与我们的约定是一致的，即Θ是正确的连续的。我们用X=（Xt）t来表示≥0个人的财富过程，假设初始财富为x，其中x≥ 0.如果财富的唯一变化来自消费或出售所得资产，则根据（3.2）dXt=-Ctdt- 年初至今，以X0为准-= x、 x=x+y（θ- Θ). 我们认为，如果组成部分满足上文列出的要求，并且由此产生的现金财富过程X始终为非负，则消费/销售策略对是允许的。

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2022-5-6 22:11:20

设A（x，y，θ）表示初始设置（X0）的容许策略集-= x、 Y=Y，Θ0-= θ).代理人的目标是最大化有限期内消费的贴现预期利用率，其中贴现系数为β，代理人的效用函数假定为CRRA，相对风险规避率为R∈ (0, ∞) \\ 1.特别是，目标是找到（3.3）sup（C，Θ）∈A（x，y，θ）E“^∞E-βtC1-Rt1- Rdt#。由于机构具有马尔可夫结构，我们期望价值函数、最优消费和最优销售策略是代理人当前财富和禀赋以及风险资产价格的函数。设V=V（x，y，θ，t）为问题的正向起始值函数，使（3.4）V（x，y，θ，t）=sup（C，Θ）∈A（x，y，θ，t）E^∞te-βsC1-Rs1- 无线电数据系统Xt-= x、 Yt=y，Θt-= θ.这里的前向启动空间，容许策略A（x，y，θ，t）是这样的，C=（Cs）s≥这是一个非负的渐进可测量过程，Θ=（Θs）s≥这是一个正确的、持续的、递减的、逐步可测量的过程和满意度- (Θ）t=θ，X由Xs=X给出-\'stCudu-是非负的。确定therisky资产持有量的确定性等价值（例如，参见[8]）p=p（x，y，θ，t）为（3.5）V（x+p，y，0，t）=V（x，y，θ，t）的解。事实上，通过问题的标度，p与时间无关（此后我们写p=p（x，y，θ）），并且取决于风险资产的价格y和风险资产持有量θ，仅通过乘积yθ。我们的目标是描述价值函数、最优消费和销售策略，以及确定性等价价格p。问题解决形式的关键包含在以下命题中，该命题涉及[0,1]上ODE的解，并在附录A中得到证明。

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2022-5-6 22:11:25

这四种情况与最优销售问题的四种解法之间有一对一的对应关系。设=α/β，δ=η/β。提议1。问∈ [0,1]定义m（q）=1- (1 - R） q+δR（1）- R）坎德l（q） =1+δ- (1 - R） q-δ(1 - R） q=m（q）+q（1）- q） δ（1）- R）。设n=n（q）解（3.6）n′（q）n（q）=1- RR（1- q）-δ(1 - R） Rql （q）- n（q）风险规避代理的最优消费和销售策略60 0.2 0.4 0.6 0.8 10.80.850.90.9511.051.11.15xm（x），n（x），l（x）m（x）n（x）l（x）0.2 0.4 0.6 0.8 111.051.11.151.21.25xm（x），n（x），l（x）n（x）m（x）l（x）x）x*x*图3.1。m（q），n（q）的程式化绘图，l（q） q*. 在命题1的第二种情况下，选择参数来满足条件，因此q*∈ (0, 1). 左图为R<1，右图为R>1。受制于n（0）=1和n′（0）1-R<l′(0)1-R=δ- . 假设n为零，则0吸收n。参见图3.1。对于R<1，设q*= inf{q>0:n（q）≤ m（q）}。对于R>1，让q*= inf{q>0:n（q）≥ m（q）}。对于j∈ {l, m、 n}设qj=inf{q>0:j（q）=0}∧ 1.（1）假设≤ 0.然后q*= 0.（2）假设0<<δR，如果R<1，另外假设<δR+1-R.Then0<q*< 1.（3）假设≥ δR和if R<1，<δR+1-R.然后q*= 1=ql= qn=qm。（4）假设R<1且>δR+1-R.然后qm<qn=ql< 1.如果R<1，则=δR+1-Rand<δR然后qm<qn=ql= 1.如果R<1，则=δR+1-兰德≥ δR thenq*= 1=ql= qn=qm。备注2。注意，条件<δR等于（1- R） m′（1）>0。此外，如果R<1，则条件<δR+1-Rise等价于m（1）>0。此外，n在q处有一个转折点*< 1如果且仅当n（q*) = m（q）*). 见图3.1。特别是，如果m是单调的（且>0），那么q*= 1.那么，如果R<1，0<<δR和<δR+1-R、我们有ql= qn=1。备注3。很容易看出（1）- R） n在中减少。

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2022-5-6 22:11:28

事实上，也可以证明，过参数范围为0<q*< 1那么q*正在增加。定理4将参数空间划分为四个不同的区域。特别是，它区分了简并情况，并给出了非简并情况下两种不同情况的必要和充分条件。定理4。（1）假设≤ 0.那么，立即出售所持有的全部资产始终是最佳选择，因此Θt=0表示t≥ 问题的值函数是V（x，y，θ，t）=（R/β）Re-βt（x+yθ）1-R/1- R资产持有量的确定等价值为p（x，y，θ）=yθ。风险规避者的最优消费和销售策略7（2）假设0<<δR和<δR+1-rifr<1。然后，存在一个正的、不确定的比率z*最佳行为是出售尽可能少的资产，这有助于将风险资产中的财富与现金财富的比率保持在临界比率以下。如果θ>0，那么p（x，y，θ）>yθ。（3）假设≥ δR和<δR+1-rifr<1。然后，最佳的消费和销售策略是首先消费流动（现金）财富，然后当流动财富耗尽时，通过出售非流动资产为进一步消费提供资金。如果θ>0，那么p（x，y，θ）>yθ。（4）假设R<1和≥δR+1-R.然后问题退化，如果θ为正，则值函数V=V（x，y，θ，t）是有限的。没有唯一的最优策略，确定性等价值p也没有定义。备注5。根据命题1，R>1的情况少了一个。理论中的第四种情况不会发生在R>1时，因为值函数总是有限的，就像默顿问题一样。同样，当R<1时，如果δ≥ 2/（R（1）- R））那么上述第三种情况就不会发生了。

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2022-5-6 22:11:32

在这种情况下，随着的增加，我们直接从<δR+1移动-兰德有限值函数和z*去≥δR+1-Rand是一个有限值函数。上述第二和第三种情况是非退化的，它们在定理6和定理9中有进一步的特征。在T heorem 6中，解用一维自治反应随机过程J及其局部时间T 0 L表示，见（3.13）。为了0≤ Q≤ Q*定义N（q）=N（q）-R（1）- q） R-其中n是（3.6）的解。假设N是单调的，让W与N成反比*= N（q）*). 然后W（h）*) = Q*, h*(1 - Q*)1.-R=m（q）*)-R.定理6。i）假设R<1。假设0<<δR和<δR+1-Rso表示0<q*< 随着定义的增加，则定义为1.W。让z*由（3.7）z给出*= (1 - Q*)-1.- 1=q*1.- Q*∈ (0, ∞).关于[1，h]*] 设h为（3.8）u的解*- u=^h*h（1- R） fW（f）df，其中u*= ln z*. 设g为（3.9）g（z）=RβRm（q）*)-R（1+z）1-RRβRh（ln z）z∈ [z]*, ∞);Z∈ （0，z）*].然后，值函数V由（3.10）V（x，y，θ，t）=e给出-βtx1-R1- Rgyθx, x>0，θ>0，我们可以通过对给定v（x，y，0，t）=e的连续性，将其推广到x=0和θ=0-βtx1-R1- RRβR（3.11）V（0，y，θ，t）=e-β-ty1-Rθ1-R1- RRβRm（q）*)-R（3.12）固定z=yθ/x。设（J，L）=（Jt，Lt）t≥0是唯一的一对，例如，风险规避代理的最优消费和销售策略8（A）J为正，（b）L为递增的、连续的，L=0，且由集合{t:Jt=0}，（c）J求解（3.13）Jt=（z*- z）+-^t∧（Js）ds-^tΓ（Js）dBs+Lt，其中∧（z）=αz+zg（z）-1.-Rzg′（z）-1/R，Γ（z）=ηz，~∧（j）=∧（z）*- j） Γ（j）=Γ（z）*- j）。对于这样的一对≤ Jt≤ Z*.如果z≤ Z*然后开始*= θ和X*= 十、否则如果z>z*然后开始*= θz*（1+z）*)（1+z）zand X*= x+y（θ）- Θ).

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2022-5-6 22:11:35

这对应于正数量θ的销售- Θ时间0时固定资产的单位。然后，最优持有量Θ*对于被赋予的资产，最优消费过程是C*t=C（X）*t、 Yt，Θ*t），由此产生的财富过程和确定性等价值由Θ给出*t=Θ*经验-Z*（1+z）*)书信电报;（3.14）X*t=YtΘ*t（z）*- Jt）；（3.15）C（x，y，θ）=xGyθx-1.- Ryθxg′yθx-R（3.16）p（x，y，θ）=xGyθxg（0）1.-R- x、（3.17）ii）现在假设R>1，0<<δR，因此0<q*< 1.如前所述确定所有数量。然后N在减少。On（h）*, 1） h定义为viau*- u=^hh*（R）- 1） fW（f）df。价值函数，最优持有量Θ*, 最优消费过程*, 结果财富过程X*确定性等价值p与之前相同。备注7。回想一下，n解一阶微分方程（3.6），q*∈ （0，1）是n的第一个交叉问题的解。一旦我们构造了n并确定了q*, 在数值上，如果合适的话，所有其他量的表达式可以通过求解进一步的积分方程来推导，该积分方程可以重新表示为一阶微分方程。这两个阶段的过程比直接求解HJB方程要简单得多，因为该方程是二阶非线性方程，并且在未知自由边界处服从二阶光滑函数。备注8。对于可能以零交易成本买卖风险资产的无约束代理人，在相应的默顿问题中，代理人的最佳行为是持有风险资产中总财富的绝对比例qM=α/ηR=/δR。

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nandehutu2022

2022-5-6 22:11:39

这对应于keepingQt=YtΘt/（Xt+YtΘt）=qM或等效于Zt=YtΘt/Xt=zM:=qM/（1）- qM）=/（δR）- ).在引理26b中，我们证明了q*≥ /δR=qm，因此，不能购买风险资产单位的代理人的最佳行为是将投资于风险资产的资金与现金财富的比率保持在区间[0，q]内*] qM在哪里∈ （0，q）*).风险规避者的最优消费和销售策略9以下定理描述了第二种非退化情况（定理4中的第三种情况）下问题的解。在这种情况下，最佳策略是首先持有捐赠资产，并用初始财富为消费融资。当流动财富耗尽时，消费将通过出售捐赠资产进一步融资。在这里，关键的thr eshold z*= ∞.定理9。假设≥ δR和if R<1，<δR+1-R.让n在[0,1]上求解（3.6）。对于给定的参数组合，我们有q*= 1.如图6所示，设N（q）=N（q）-R（1）- q） R-1.那么N是单调的。设W与N成反比。对于R<1，定义γ：（1，∞) 7.→ R乘以（3.18）γ（v）=ln v1- R+R1- Rln m（1）-1.- R^∞v（1）- 西南副翼西南副翼。如果R>1定义γ：（0,1）7→ R乘以（3.19）γ（v）=-在虚拟现实中- 1.-RR- 1ln米（1）-R- 1^v（1）- 西南副翼西南副翼。设h与γ成反比，g（z）=（R/β）Rh（lnz）。然后，值函数V由（3.20）V（x，y，θ，t）=e给出-βtx1-R1- Rgyθx, x>0，θ>0，可以通过连续性扩展到给定的v（x，y，0，t）=e-βtx1-R1- RRβR、（3.21）V（0，y，θ，t）=e-β-ty1-Rθ1-R1- RRβRm（1）-R.（3.22）最优消费过程C*由C给出*t=C（X）*t、 Yt，Θ*t）式中，C（x，y，θ）如（3.16）所示，最佳持有量Θ*tof固定资产和由此产生的财富过程由（3.23）Θ给出*t=（θt）≤ τθe-βRm（1）（t-τ）t>τ，X*t=（x）-\'tC（X）*s、 Ys，θ）ds t≤ τ0 t>τ，其中τ=inf{t≥ 0:X*t=0}。最后，确定性等效值由（3.17）给出。备注10。

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2022-5-6 22:11:42

注意limz↑∞z（g（z）-zg′（z）1-R）-1/R=βm（1）/R，因此通过连续性，我们可以设置C（0，y，θ）=yθβm（1）/R。然后对于t>τ，我们得到了C*t=C（0，Yt，Θ）*t） =βRm（1）YtΘ*t、四,。F=F（x，y，θ，t）的证明和验证论证∈ C1,2,1,1使得Fx>0定义运算符L和M byLF=supc>0E-βtc1-R1- R- cFx+ αyFy+Ft+ηyFyy=R1- 重新-βRtF1-1/Rx+αyFy+Ft+ηyFyy，MF=Fθ- yFx。备注11。（Xt，Yt，Θt，t）的状态是[0，∞) × (0, ∞) × [0, ∞) × [0, ∞), 我们要确定这个区域的L和M，包括边界。在实践中，我们应用于风险规避代理10的最优消费和销售策略的所有函数的形式都是F（x，y，θ，t）=e-βtF（x，y，θ）对于与t无关的函数F，在这种情况下Ft=-βF，后一种形式在t=0时得到了很好的定义。此外，我们通常只在θ>0时需要MF。然后，给定定义为x>0的F，我们可以通过连续性定义x=0时的F，然后MF | x=0也定义得很好。θ=0时的LF可通过类似方式定义，即通过连续性定义θ=0时的F。为了定义θ>0时x=0时的LF，我们将F的域扩展到x>-θy，然后证明fx和F的其他导数在x=0上是连续的。4.1. 贬值的ass等情况下的验证引理。假设≤ 我们的目标是证明定理4（1）的结论成立。从命题1我们知道q*= 0.通过（4.1）G（x，y，θ，t）=e定义候选值函数-βtRβR（x+yθ）1-R1- Rx≥ 0, θ ≥ 0.候选最佳策略是立即出售风险资产的所有单位。GCA的领域可以扩展到-θy<x<0表示θ>0，使用与（4.1）中相同的函数形式。在证明定理之前，我们需要下面的引理。引理12。假设≤ 0.考虑（4.1）中构造的候选值函数。

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2022-5-6 22:11:46

然后在（x）上≥ 0，θ>0）我们有MG=0，在（x）上≥ 0, θ ≥ 我们有LG≤ θ=0时等于0。证据给定（4.1）中候选值函数的形式，我们有mg=e-βtRβRy（x+yθ）-R- E-βtRβRy（x+yθ）-R=0。另一方面，如果x>0LG=β，则写入z=yθ/xRβ重新-βt（x+yθ）1-R1- R“（1）- R） z1+z-δR（1）- R）z1+z#≤ 0，z=0时相等。如果x=0，则LG=βG（1- R） [-δR]<0。定理13。假设≤ 那么值函数是（4.2）V（x，y，θ，t）=e-βtRβR（x+yθ）1-R1- R、以及最优持有量Θ*对于固定资产，最优消费过程C*由此产生的财富过程由（4.3）给出(△Θ*)t=0=-θ、 C*t=βR（x+yθ）e-βRt，X*t=（x+yθ）e-βRt证明。请注意，（4.3）中给出的候选最优策略是出售风险资产的全部股份，并设定一个时间零点（即*= x+yθ），然后从流动财富中为消费融资，由此产生财富过程（x*t） t≥0是确定性的，并演变为dX*t=-C*tdt。这给了X*t=（x+yθ）e-因此，候选最优策略是可容许的。（4.3）isE“^”中提出的策略下的价值函数∞E-βtC*t1-R1- Rdt#=^∞E-βtβR1.-RE-βRt（x+yθ）1.-R1- Rdt=RβR（x+yθ）1-R1- R=G（x，y，θ，0）。因此V≥ G.风险规避者的最优消费和销售策略11现在，考虑一般可接受的策略。首先假设R<1。定义流程M=（Mt）t≥0by（4.4）Mt=^te-βsC1-Rs1- Rds+G（Xt，Yt，Θt，t）。将推广的It^o公式[6，第4.7节]应用于Mt并抑制参数（Xs-, Ys，Θs-, s）在G的导数中，lea ds toMt- M=^tE-βsC1-Rs1- R- CsGx+αYsGy+ηYsGy+Gsds+^t（Gθ）- YsGx）dΘs+X0≤s≤t[G（Xs，Ys，Θs，s）- G（Xs）-, Y-, Θs-, （s）- Gx(△十） s- Gθ(△Θ）s]（4.5）+^tηYsGydBs=Nt+Nt+Nt+Nt。（请注意，在总和中，我们允许在s=0时进行投资组合再平衡。）引理12意味着LG≤ 0和MG=0，这导致Nt≤ 0和Nt=0。

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2022-5-6 22:11:49

用不真实的(十） s=-Y(Θ）砂w书写θ=Θs-, x=Xs-, χ = -(Θ）搜索形式的非零跳inNis(N） s=G（x+yχ，y，θ）- χ、（s）- G（x，y，θ，s）+χ[Gθ（x，y，θ，s）- yGx（x，y，θ，s）]。给出（4.1）中候选值函数的形式，很容易看出ψ（φ）=G（x+yφ，y，θ）-φ、 s）在φ中是常数，由此给出ψ（χ）=ψ（0）和yGx=Gθ(N） =0。那么，因为小于1，我们有0≤ Mt≤ M+Nt，局部鞅Ntis从下到hencea supermartingale有界。根据预期，我们发现E（Mt）≤ M=G（x，y，θ，0），它给出（4.6）G（x，y，θ，0）≥ E^te-βsCs1-R1- Rds+EG（Xt，Yt，Θt，t）≥ E^te-βsCs1-R1- Rds，其中最后一个不平等性出现在G（Xt，Yt，Θt，t）之后≥ 0代表R∈ (0, 1). 让t→ ∞ in（θ，x，y）导程≥ E^∞E-βtCt1-R1- Rdt，并且在可容许策略上取上确界会导致G≥ 五、附录C中考虑了R>1的情况。4.2. 定理4病态情形的证明。回想一下，我们是在R<1和的情况下≥ δR/2+1/（1）- R）。当θ>0时，如果消费的预期效用是有限的，那么给出一个可接受策略的例子就足够了。注意V（x，y，0，t）=e-βtx1-RRRβ-R/（1）- R）所以值函数在θ=0时不是连续的。考虑一对消费和销售策略（~C）t≥0，（ΘΘ）t≥0），由（4.7）Θt=Θt（φ）=e给出-φtθ，~Ct=~Ct（φ）=φYtΘt=φyθexpnβ（- δ/2 - φ/β）t+δpβBto，其中φ是某个正常数。风险规避代理人的最佳消费和销售策略12首先请注意，由于相应的财富过程满足Xt=-φYtΘtdt+YtdΘt=0，因此（~Xt）t≥0=x>0。

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2022-5-6 22:11:53

特别是，消费仅通过出售捐赠资产进行融资。与消费和销售过程（~C，~Θ）相对应的消费的预期贴现效用~G=~G（φ）由~G=E“^”给出∞E-βt~C1-Rt1- Rdt#=（φyθ）1-R1- 重新^∞经验β(1 - R） -δ-φβ- 1.t+（1）- R） δpβBtdt=（φyθ）1-R1- R^∞经验β(1 - R） -δR-1.- R-φβTd首先假设>δR/2+1/（1）- R）。那么λ呢∈ （0,1）和φ=λβ（）- δR/2- 1/(1 - R））我们有 -δR-1.- R-φβ= (1 - λ) -δR-1.- R> 0，且G为有限。现在假设=δR/2+1/（1）- R）。然后∧G（φ）=（φyθ）1-R（1）- R） φ（1）- R） =φ-R（yθ）1-R（1）- R）和G（φ）↑ ∞ asφ↓ 0.4.3. 第一个非退化情况下的验证引理具有有限的临界运动比。假设0<<δR，如果R<1，则<δR+1-R.从命题1，我们现在k<q*< 1.回顾定义N（q）=N（q）-R（1）-q） R-W与N成反比，我们有h*= N（q）*).14号提案。（1）当R<1时，N在[0，q]上增加*]. W在增加，0<W（v）<q*on（1，h）*). 当R>1时，N在[0，q]上递减*]. W减小，0<W（v）<q*on（h）*, 1).（2）设w（v）=v（1）- R） W（v）。然后求出（4.8）δw（v）w′（v）- 五+ -δw（v）+五、-w（v）1- R1.-1/R=0。（3）对于R<1和1<v<h*, 对于R>1和h*< v<1我们有w′（v）<1-Rw（v）/（1）-R） v）带w′（h）*) = 1.- Rw（h）*)/((1 - R） h*).命题14的证明见附录。现在定义[1，h]上的h*) bydhdu=w（h）=（1）- R） hW（h）受h（u）约束*) = H*. 然后h解（3.8）和w′（h）w（h）=dhdu。设g（z）=（Rβ）Rh（lnz）。然后g求解（3.9）。引理15。设m（q）*)-R、 z*g如定理6的等式（3.7）和（3.9）所示。那么，g（z），g′（z），g′（z）在z=z时是连续的*.证据

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2022-5-6 22:11:56

我们有g（z）*+) =Rβ右*(1 - Q*)1.-R（1+z）*)1.-R=Rβ右*=Rβ右（u）*) = g（z）*-).对于z>z的第一个导数*,zg′（z）=（1）- R）zg（z）1+z风险规避型代理人的最优消费和销售策略*1+z*= Q*, Z*g′（z）*) = (1 - R）Rβ右*Q*. 同时，对于z<z*, 注意到dhdu=h（1- R） z（h，W′）=RβRh′（u）=RβRw（h）使z*g′（z）*-) =RβRw（h）*) 替换w（h）的结果*) = (1 -R） h*W（h）*) = (1 - R） h*Q*.最后，对于z>z*（4.9）zg′（z）=-R（1）- R）RβRm（q）*)-R（1+z）1-Rz1+z= -R（1）- R） g（z）z1+z和（z）*)g′（z）*+) = -R（1）- R） g（z）*)（q）*). 对于z<z*,（4.10）zg′（z）=RβR（h′）- h′）=RβR（w′（h）- 1） w（h）和z*, （z）*)g′（z）*-) = -R（1）- R）Rβ右*（q）*)在这里，我们使用命题14（3）。16号提案。假设g（z）解（3.9）。对于R<1，g是一个递增的凹函数，使得g（0）=（Rβ）R。否则，对于R>1，g是一个递减的凸函数，使得g（0）=（R/β）和g（z）≥ 此外，对于R的所有值，我们有0≥ Rg′（z）+（1）- R） g（z）g′（z）与z相等≥ Z*.证据第一个R<1。因为这些声明在z区是即时的≥ Z*, 因为在z处有二阶光滑函数*如果h(-∞) = 1，h在增加，使用（4.10），w（h）w′（h）- w（h）≤ 0.后两个属性从w（h）之后的第14个属性开始≥ 0和w′（h）<1。评估h(-∞) 注意你*- u=^h*h（u）df（1）- R） fW（f）=^q*W（h（u））N′（q）（1）- R） N（q）qdq=^q*W（h（u））δ（1）- R）l（q）- n（q）dq。我们有l（q）- 当q有界远离零时，n（q）有界远离零。此外，在q=0附近，我们有l（q）- n（q）~ 某些正常数C的Cq=l′(0) - n′（0+）。亨西（h）(-∞)) = 0和h(-∞) = 1，s自W（1）=0。对于R>1和z≥ Z*, 声明立即生效。为了z≤ Z*, 命题14意味着h是递减的，w（h）≤ 0，w′（h）<1。

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2022-5-6 22:12:00

再加上（4.10），我们得到了g是一个递减凸函数和g（z）≥ 考虑到h∈ [0, 1].对于命题的最终陈述，对于z≥ Z*结果立即出现，而forz<z*(1 - R） gg′z+R（zg′）=Rβ2R(1 - R） hw（h）[w′（h）- 1] +Rw（h）≤ 0其中，最终不等式来自命题14（3），注意到（1- R） w（h）≥ 0通过（4.11）G（x，y，θ，t）=e定义候选值函数-βtx1-R1- Rgyθxx>0，θ>0；风险规避型代理人的最优消费和销售策略≤ 0和θ=0使用公式（x，y，θ，t）=e-βt（x+yθ）1-R1- Rm（q）*)-R- θy<x≤ 0, θ > 0;（4.12）G（x，y，0，t）=e-βtx1-R1- RRβRx≥ 0, θ = 0.引理17。固定y和t，然后G=G（x，θ）在x上是凹的，θ在[0]上，∞)× [0, ∞). 特别地，如果ψ（χ）=G（x- χyφ，y，θ+χφ，t），则ψ在χ中是凹的。证据第一个R<1。为了证明候选值函数的凹性，有必要证明G（x，0）在x中是凹的，G（0，θ）在θ中是凹的，并且Hessian矩阵由Hg给出=GxxGxθGxθGθ.有一个正行列式，其中一个对角线项是非正的。条件onG（x，0）和G（0，θ）很容易验证。直接计算导致toGxx（x，y，θ，y）=e-βtx-R-1.-Rg（z）+2R1- Rzg′（z）+1- Rzg′（z）,Gxθ（x，y，θ，t）=-E-βtx-R-1y1- R[Rg′（z）+zg′（z）]，Gθ（x，y，θ，t）=e-βtx-R-1y1- Rg′（z），Hessian矩阵的行列式为（4.14）GxxGθ- （Gxθ）=-E-2βtx-2Rθ-2R（1）- R） h（1- R） g（z）zg′（z）+R（zg′（z））i通过命题n16是非负的。此外，由于g是凹的，我们得到了gθ≤ 0.为了显示ψ在χ中的凹度，检查ψdχ的符号是等价的。但dψdχ=φyGxx+Gθ- 2yGxθ= φ（y，1）det（HG）（y，1）T≤ 对于R>1，参数类似，除了Gθ≤ 0现在由g的凸性表示。引理18。

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2022-5-6 22:12:04

考虑（4.11）中构造的候选值函数。（a）对于θ>0和0≤ 十、≤ yθ/z*, MG=0和LG≤ 0.（b）对于θ>0和x≥ yθ/z*, 镁≥ 0.对于θ≥ 0和x≥ yθ/z*, LG=0。证据（a）为了z≥ Z*, MG=0是从定义G开始的立即值。对于0<x≤ yθ/z*我们有G（x，y，θ，t）=RβRm（q）*)-重新-βtx1-R1-R（1+z）1-Rand thenLG=βG“m（q*) - 1 + (1 - R） z1+z-δR（1）- R） z（1+z）#，=βGm（q）*) - Mz1+z.所需的不等式来自于附录A引理26的第（5）部分，以及m（q）/（1）的事实- R）（q）是递增的吗*, 1). 在x=0时，同时使用（4.11）和（4.12），我们得到LG | x=0+=LG | x=0-βG[m（q*) - m（1）]<0。风险规避者的最优消费和销售策略15（b）为了证明θ>0时LG=0，我们计算teLG（x，y，θ，t）=e-βtx1-R1- R“R”G-zg′（z）1- R1.-1/R- βg+αzg′（z）+ηzg′（z）#=βe-βtx1-R1- Rh1-1/R1.-w（h）（1）- R） h- h+ -δw（h）+δw′（h）w（h）结果来自命题14。对于θ=0，LG=0是一个简单的计算。现在考虑MG。我们有（4.15）MG=e-βtx-雷（1+z）1- Rg′（z）- g（z）.因此，对于R<1，有必要证明ψ（z）≥ 0开（0，z）*] 式中ψ（z）=1+z1- R-g（z）g′（z）。通过值匹配和平滑fit g（z*) = m（q）*)-R（1+z）*)1.-兰兹*g′（z）*) = m（q）*)-R（1）-R）（1+z）*)-R.ψ（z）*) = 0表示ψ在减小。但ψ′（z）=R1- R+g（z）g′（z）g′（z）=R1- R+h[w（h）w′（h）- w（h）]w（h）≤ 0（4.16），其中las t不等式符合命题14。类似地，对于R>1，假设g由命题16递减，则可以证明ψ是递增的。但命题14给出了ψ′（z）=R1- R+g（z）g′（z）g′（z）=R1- R+h[w（h）w′（h）- w（h）]w（h）≥ 0提议19。让X*, Θ*C*如定理6所定义。然后它们对应于一个允许的财富过程。此外，Z*t=YtΘ*/十、*tsatis Fies 0≤ Z*T≤ Z*.证据

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kedemingshi

2022-5-6 22:12:08

注意，如果yθ/x>z*然后，最优策略包括出售赋予资产的时间零点，出售的效果是转移到新的状态变量（X*, y、 Θ*, 0）具有Z*= yΘ*/十、*= Z*.回想一下∧和Γ的定义，以及se t∑（z）=z（1+z）和∑（j）=∑（z）的定义*- j）。考虑方程（4.17）^Jt=^J-^t∧^Jsds-^tΓ^Js初始条件为^J=（z）的dBs+^lth*- z） +。该方程与一个带有反射的随机微分方程（Revuz和Yor[17，p385]）相关联，并且有一个唯一的解（J，L），该解（J，L）适用于（J，L），J≥ 0，L=0，L仅在J为零时增加。注意∧（z*) = ∧（0）=0=Γ（0）=Γ（z）*) 因此J的上边界是z*.还记得那件事吗*t=Θ*经验(-Lt/)∑（0））。那么Θ*这是适应的、连续的，因此是可测量的（Karatzas和Shreve[13，p5]）。Θ*它也在减少和减少*t=-Θ*tdLt/)∑（0）=-Θ*因为L只在J=0时增长。那就让Z*t=z*- Jt，X*t=Θ*tYt/Z*坦德C*t=X*t（g（Z）*（t）- Z*tg′（Z）*t） /（1）- R） )-1/R，然后是X*C*是积极的，并且可以逐步测量。仍需证明X是由消费和销售策略（C）产生的财富过程*, Θ*). 但是，从（4.17）开始，并使用，例如，风险规避代理的最优消费和销售策略16∧（Jt）=∧（Z）*t），dZ*t=∧（Z）*t） dt+Γ（Z）*t） dBt+∑（Z）*t） dΘ*Θ*t、然后呢*t=Θ*泰兹*t“dΘ*Θ*t+dYtYt-dZ*tZ*t+dZ*tZ*T-dYtYtdZ*tZ*t#=X*Tη -Γ（Z）*t） Z*TdBt+α -∧（Z）*t） Z*t+Γ（Z）*t）（Z）*（t）- ηΓ（Z）*t） Z*Tdt+YtZ*T-YtZ*t∑（Z）*t） Z*TdΘ*t=-C*tdt- 年初至今*tas要求，其中我们使用∧、Γ和∑的定义表示最终等式。定理6的证明。

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2022-5-6 22:12:11

首先，我们证明了存在这样一种策略，即获得候选值函数，因此V≥ G.首先观察如果yθ/x>z*那么θ- Θ*= θ1.-Z*1+z*1+zz安德斯*= x+y（θ）- Θ*) = x（1+z）（1+z）*)然后，由于g（z）*)/g（z）=（1+z）*)1.-R/（1+z）1-Rfor z>z*,G（X）*, y、 Θ*, 0）=（X*)1.-R1- Rg（z）*) =x1-R1- Rg（z）=G（x，y，θ，0）。对于一般允许的策略，定义过程M=（Mt）t≥0by（4.18）Mt=^te-βsC1-Rs1- Rds+G（Xt，Yt，Θt，t）。写M*针对相应工艺下提出的优化策略。然后我*= G（X）*, y、 Θ*, 0）=G（x，y，θ，0），所以M没有跳跃*t=0时。此外，尽管最优策略可能包括在时间零点出售正质量的风险资产，但从命题19可以看出，此后的过程Θ*是连续的，所以Z*t=YtΘ*t/X*T≤ Z*.根据候选值函数的形式和（3.9）中给出的g的定义，我们知道g是C1,2,1,1。然后利用X的连续性，将其公式应用于Mt*Θ*对于t>0，将G·写成G·（X）的简写形式*s、 Ys，Θ*s、我们有*T- M=^tE-βs（C）*s）一,-R1- R- C*sGx+αYsGy+ηYsGy+Gtds+^（0，t）（Gθ）- ysg920; x*s（4.19）+^tηYsGydBs=：Nt+Nt+ntz*T≤ Z*, 自从C*t=e-βs/RG-1/Rx和LG=0表示z≤ Z*我们有Nt=0。此外，dΘs6=0当且仅当Z*t=z*然后MG=0，所以Nt=0。为了完成theo-rem的证明，我们需要下面的引理，它在附录B引理20中得到了证明。

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2022-5-6 22:12:15

（1） Ngiven by Nt=\'tηYsGy（X*s、 Ys，Θ*s、 s）是一个鞅。（2）极限↑∞E[G（X*t、 Yt，Θ*t、 t）=0。风险规避者的最优消费和销售策略17回到定理的证明，并在（4.19）的两边进行实验，我们得到了[M]*t] =M，这导致toG（x，y，θ，0）=E^te-βs（C）*（s）*1.-R1- 无线电数据系统+ E[G（X*t、 y，Θ*t、 t）]。利用引理20的第二部分，应用单调共收敛定理，我们得到了g（x，y，θ，0）=E^∞E-βsC*1.-Rs1- 无线电数据系统因此V≥ G.现在我们考虑一般的可接受策略。将广义It^o的公式[6，第4.7节]应用于mt，得到与（4.5）相同的表达式。引理18暗示在一般可容许策略下，Nt≤ 新界北≤ 0.考虑跳跃项，（4.20）Nt=X0≤s≤t[G（Xs，Ys，Θs，s）- G（Xs）-, Ys，Θs-, （s）- Gx(十） s- Gθ(Θs](十） s=-Y(Θ）沙书写θ=Θs-, x=Xs-, χ = -(Θ）形式Nis中的搜索非零跳(N） s=G（x+yχ，y，θ）- χ、（s）- G（x，y，θ，s）+χ[Gθ（x，y，θ，s）- yGx（x，y，θ，s）]。但是，通过引理17，G（x+yχ，y，θ）- χ、 s）在χ中是凹的，因此(N）≤ 对于R<1，其余的证明与定理13完全相同。附录C中涵盖了R>1的情况。4.4. 第二种非退化情况下的验证引理，没有确定的临界精度比。在本节中，我们假设≥ δR，如果R<1，那么0<<δR+1-R.由此得出q*= 1和z*= ∞, n（1）=m（1）>0。回想一下（3.6）中n的定义，以及随后n（q）=n（q）对n的定义-R（1）-q） R-1和W=N-1.假设R<1，用γ（v）=1定义（3.18）中的γ- Rln v+R1- Rln m（1）-1.- R^∞v1- W（s）sW（s）ds。在R>1的情况下，通过（3.19）定义γ，使γ（v）=-R- 1ln v-RR- 1ln米（1）-R- 1^v1- W（s）sW（s）ds。对于所有的定义，也可以用γ乘以γ（v）=ln v1- R- γ（v）。设h与γ成反比，设g（z）=（R/β）Rh（lnz）。引理21。（1）假设R<1。

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2022-5-6 22:12:19

然后γ：（1，∞) 7.→ (-∞, ∞) 定义明确、不断增加、持续且持续。此外，limv↑∞γ（v）=-R1- Rln m（1）和limv↑∞(1 - W（v））eγ（v）=1。假设R>1。然后γ：（0，1）7→ (-∞, ∞) 定义明确、递减、连续且持续。此外，limv↓0~γ（v）=RR- 1ln m（1）和limv↓0(1 - W（v））eγ（v）=1。（2） h解h′=（1）- R） hW（h）和h(-∞) = 1.风险规避代理人的最佳消费和销售策略。假设R<1，R>1的证明是相似的。首先，我们要证明^∞1.- W（s）sW（s）ds<∞, ^1+1- W（s）sW（s）ds=∞,考虑到Lim↑∞W（s）=1和lims↓1W（s）=0相当于^∞1.- W（s）sds<∞;^1+W（s）ds=∞.但是（1）- q） N（q）1/（1）-R） q↑1.-→ n（1）-R/（1）-R）因此（1）- W（s））~ n（1）-R/（1）-R） s-1/(1-R）对于larges，第一个积分是有限的。相反，因为对于某些κ，N′（0+）=κ∈ (0, ∞) 我们有w′（1+）=κ-1及W（s）~ （s）- 1)κ-1靠近1的地方。自1/（s）- 1）在1附近不可积，第二个积分爆炸。因此，γ是对的；γ增加的事实伴随着分化。实际上γ′（v）=1/（（1- R） vW（v）），因此h′=（1- R） hW（h）。还有h(-∞) := 利木↓-∞h（u）=1。γ的第一极限结果紧随定义之后。第二个，limv↑∞eγ（v）（1）- W（v））=limv↑∞E-γ（v）v1/（1）-R）（1）- W（v））=limv↑∞E-γ（v）limq↑1N（q）1/（1）-R）（1）- q） =m（1）R/（1）-R）林克↑1n（q）-R/（1）-R） =1。通过（4.21）G（x，y，θ，t）=e定义候选值函数-βtx1-R1- Rgyθx, x>0，θ>0，并将定义扩展到θ=0，以及-θy<x≤ 0 byG（x，y，θ，t）=e-βt（x+yθ）1-R1- RRβRm（1）-R- θy<x≤ 0, θ > 0;（4.22）G（x，y，0，t）=e-βtx1-R1- RRβRx≥ 0, θ = 0.（4.23）在这里，G在x=0时的连续性来自恒等式（4.24）limz↑∞锆-1g（z）=limu↑∞E-(1-R）嗯（u）=limve-(1-R） γ（v）v=limve-(1-R） △γ（v）=m（1）-R.引理22。固定y和t，然后G=G（x，θ）在x上是凹的，θ在[0]上，∞)× [0, ∞).

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2022-5-6 22:12:23

特别地，如果ψ（χ）=G（x- χy，y，θ+χ，t），那么ψ在χ中是凹的。证据这个证明类似于引理17的证明，并且利用了事实dh/du=（1）- R） hW（h）在引理21中得到了证明。引理23。考虑（4.21）-（4.23）中构造的候选函数。然后对于x>0，θ>0，LG=0，和MG≥ 此外，在（x=0，θ>0）时MG=0，在x=0和θ=0时LG=0。证据大多数引理都跟引理18一样。对于MG | x=0，注意Gθ|x=0=yG（1- R） /（x+yθ）|x=0=（1）- R） G/θ。那么，yGx | x=0-=yG（1）- R） /（x+yθ）|x=0-= (1 - R） G/θ，而当x>0时，yGx=y（1- R） Gx-g′gyθxG=（1）- R） GθZ-zg′（z）（1）- R） g（z）,然后是固定（y，θ）limx↓0Z-zg′（z）（1）- R） g（z）= 利木↑∞欧盟1.-h′（u）（1）- R） h（u）= limveγ（v）（1）- W（v））=1。风险规避代理的最优消费和销售策略19定理9的证明。对于容许策略（C，Θ）=（Ct，Θt）t≥0定义过程M（C，Θ）=（Mt）t≥0via（4.25）Mt=^te-βsC1-Rs1- Rds+G（Xt，Yt，0，t）。式中，G如（4.21）-（4.23）所示。案例1：θ=0和x>0：我们显示V=G。对于这些初始值，代理人不拥有任何可供出售的资产单位，消费只能从流动（现金）财富中融资。然后（Θt）t≥0=0，dXt=-Ctdt和问题是非s-tochastic。候选最优消费函数为C（x，y，0）=βx/R，相关消费过程为C*t=βRxe-βRTX与由此产生的财富过程X*t=xe-βRt.然后值函数是“^”∞E-βtC*t1-R1- Rdt#=^∞E-βtβR1.-RE-β-Rtx1.-R1- Rdt=RβRx1-R1- R=G（x，y，0，0），其中第一个等式从m（4.23）开始。因此，我们有V≥ G.现在考虑一般可接受的策略。设Mbe由Mt=Mt（Ct，0）给出。把它应用到M，我们得到mt- M=^tE-βsC1-Rs1- R- CsGx+αYsGy+ηYsGy+Gsds+^tηYsGydBs=Nt+Nt。引理23表示LG=0，因此Nt=0。假设R<1。

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2022-5-6 22:12:26

然后我们有0≤ Mt≤ M+Nt，局部鞅NTI现在从下有界，因此是一个上鞅。根据我们得出的预期E（Mt）≤M=G（x，y，0，0），因此为（4.26）G（x，y，0，0）≥ E^te-βsCs1-R1- Rds+EG（Xt，Yt，0，t）≥ E^te-βsCs1-R1- Rds，让t→ ∞, （4.26）我们得出deg（x，y，0，0）≥ E^∞E-βtCt1-R1- Rdt。在可容许策略上取上确界，我们有G≥ V，因此G=V。对于R>1，对定理13证明的修改也适用于此处，且G=V。情况2:x=0，θ>0:V≥ G.在定理9中定义的候选最优策略下，消费和销售利润根据Ctdt=-YtdΘt，这意味着投资者仅通过出售捐赠资产为消费融资，财富保持不变且为零。在这种情况下，（3.23）中的建议策略变为Θ*t=θe-βRφt，C*t=βRφYtΘ*t=βRφyθexpnβ（- δ/2 - φ/R）t+δpβBto。这里我们暂时写φ=m（1）=δR（1）- R） /2- (1 - R） +1>0。风险规避者的最优消费和销售策略*= E“^∞E-βtC*t1-R1- Rdt#=βR1.-R（φyθ）1-R1- 重新^∞E-βte（1-R） β（）-δ-φR）t+δ√β(1-R） Btdt=βR1.-R（φyθ）1-R1- R^∞e{（）1-R）-δR（1）-R）-1)-(1-R） Rφ}βtdt=Rβ1.-R（φyθ）1-R1- R^∞E-（βφ/R）tdt=RβR（yθ）1-R1- Rφ-R=G（0，y，θ，0）。然后，在候选最优策略下，G（0，y，θ，0）=E^∞E-βt（C）*t）一,-R1- Rdt,我们有G（0，y，θ，0）≤ V（0，y，θ，0）。案例3:x>0和θ>0：我们展示了V≥ G.让M*= M（C）*, Θ*) 对于定理9中的候选优化策略。从候补值函数的形式我们知道G是C1,2,1,1。然后将它的公式应用到M*, 我们有*T- M*=^tE-βs（C）*s）一,-R1- R- C*sGx+αYsGy+ηYsGy+Gtds+^（0，t）（Gθ）- YsGx）dΘs（4.27）+^tηYsGydBs=：Nt+Nt+Nt。自从C*s=G-1/Rxeβs/Ris最优，通过引理23，LG=0，我们得到Nt=0。

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