小效用和大效用下的风险规避

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收藏 2022-05-09

英文标题：
《Risk Aversion in the Small and in the Large under Rank-Dependent Utility》
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作者：
Louis R. Eeckhoudt and Roger J. A. Laeven
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
Under expected utility the local index of absolute risk aversion has played a central role in many applications. Besides, its link with the \"global\" concepts of the risk and probability premia has reinforced its attractiveness. This paper shows that, with an appropriate approach, similar developments can be achieved in the framework of Yaari\'s dual theory and, more generally, under rank-dependent utility.
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中文摘要：
在预期效用下，局部绝对风险厌恶指数在许多应用中发挥了核心作用。此外，它和“全球”风险和概率溢价概念的联系增强了它的吸引力。本文表明，如果采用适当的方法，在Yaari对偶理论的框架内，以及更普遍的秩依赖效用的框架下，可以实现类似的发展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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Risk_Aversion_in_the_Small_and_in_the_Large_under_Rank-Dependent_Utility.pdf
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kedemingshi

2022-5-9 17:52:23

小公司和大公司的风险规避依赖于低级别的效用路易·R·埃克豪德蒂塞格管理学院利兰和科雷路易天主教大学。Eeckhoudt@fucam.ac.beRogerJ·A·拉平*阿姆斯特丹大学阿姆斯特丹经济学院。J.A。Laeven@uva.nlThis版本：2015年12月30日摘要在预期效用下，局部绝对风险规避指数在许多应用中发挥了核心作用。此外，它和“全球”风险和概率溢价概念的联系增强了它的吸引力。本文表明，如果采用适当的方法，在Yaari对偶理论的框架内，以及更一般地，在秩相关效用下，可以实现类似的发展。关键词：风险溢价；概率溢价；预期效用；对偶理论；RankDependent效用；风险规避。AMS 2010分类：初级：91B06、91B16、91B30；中学：60E15，62P05。OR/MS分类：决策分析：风险。JEL分类：D81、G10、G20。1简介在预期效用（EU）下，有各种等效的方法来评估决策者（DM）的风险规避程度。这些措施是阿罗[1,2]和普拉特[10]在50多年前独立制定的。自那以后，他们在欧盟框架下的风险选择分析中发挥了众所周知的重要作用。风险规避的概念也受到了欧盟以外的关注。例如，在对偶理论（Yaari[17]）或秩依赖效用（Quiggin[11]）中，Yaari[16]、Chew、Karniand Safra[4]、Ro¨ell[12]、Chateauneuf、Cohen和Meiligson[3]以及Ryan[13]提出了*通讯作者。通讯地址：阿姆斯特丹大学阿姆斯特丹经济学院，邮政信箱15867，1001新泽西州阿姆斯特丹，荷兰。电话：+3120525219/4252。另见B。

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kedemingshi

2022-5-9 17:52:26

德费内蒂[6]。各种风险规避措施，但它们的方法与欧盟模型中的阿罗和普拉特（Arrow and Pratt，以下简称AP）的局部风险规避方法截然不同。2,3本文的目的是证明“alaap”分析可以在对偶理论（DT）和秩依赖效用（RDU）中发展。这就定义了“小风险”的恰当概念，即在欧盟下，小风险的回报很小，但在DT下，小风险的概率很小，在RDU下，两者都很小。它表明，对于RDU下的小风险，风险溢价和概率溢价只是EU和DT下适当缩放的等价物的总和。因此，事实证明，AP的方法适用于测量欧盟模型之外的风险规避强度。在本文中，我们提到了三个衡量风险规避程度的指标：风险溢价、概率溢价和绝对风险规避的局部指数。在这些概念中，概率溢价长期以来最不受欢迎。然而，由于它的吸引力，它现在开始在文献中被讨论（Jindapon[7]、Liu and Meyer[8]、Liu and Neilson[9]、Eeckhoudt and Laeven[5]）。最初，Pratt[10]讨论了二元零均值和对称风险的概率溢价。在这里，我们将坚持这种方法，尽管它是最近才扩展的（Liu和Neilson[9]）。我们的分析表明，DT下的概率（风险）溢价，通过定义AP方法的适当对应物获得，完全模仿欧盟下的风险（概率）溢价。

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能者818

2022-5-9 17:52:29

我们的结果还表明，DT概率加权函数的二阶导数和一阶导数的比率在局部决定风险和概率溢价方面起着核心作用，并且该比率与欧盟绝对风险规避的局部指数之间的相互作用决定了RDU下的这些溢价。我们进一步证明了在DT和RDU下不仅可以得到AP方法的局部性质，而且相应的全局性质也是有效的。我们的发展是通过在简单的语言对之间进行适当的比较来实现的，就像在欧盟下一样。尤其是，EU下的AP局部风险规避方法通过将特定情况与相应的风险情况进行比较来确定风险和概率溢价。为了确定DT和RDU下的风险和概率溢价，我们考虑涉及DT小概率、联合小收益和RDU小概率的情况变化。我们的论文组织如下。在第2节中，我们回顾了APP的局部风险规避方法，以及欧盟模型下的风险和概率溢价定义。在第3节中，我们开发了DT模型下的相应副本，并提供了相应的例外情况，Yaari[16]在一篇相对较少使用的论文中提出了绝对风险规避局部指数的双重模拟。然而，他的分析侧重于通过对概率加权函数的修正，全球对均值保持利差的厌恶。众所周知，秩相关效用包括预期效用和作为特殊情况的对偶理论，并且是（累积）前景理论的基础（Tversky和Kahneman[15]）。有关前景理论下的风险规避措施，请参见Schmidt和Zank[14]。第4节中的全局属性。在第5节和第6节中，我们将我们的开发扩展到RDUmodel。

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nandehutu2022

2022-5-9 17:52:33

我们在第7节中总结。证据被归入附录。2 EUConsider下的预备工作被赋予一定初始财富X的欧盟DM，其承担二元对称风险，并以概率支付±ε。他的事前和事后情况可以用图1来表示。（在本文的所有图表中，箭头旁边的参数和值代表概率，箭头末尾的参数和值代表支付。）图1：EUT下的事前和事后情况该图表绘制了EU下的初始情况和添加小风险后的情况。1x0（a.）事前+小风险=1/2x0-ε11/2x0+ε1（b.）对于该个人，风险溢价π的定义如下：-π肯定相当于事后情况。由γ表示的概率溢价是获得x+ε的概率的增加，这使得DM在随后产生的情况和确定发生x的初始情况之间不同。请参见图2中的插图。（在所有图中，符号~ 表示差异。）图2：EUT下的风险和概率溢价该图显示了EU下风险和概率溢价的构造。1x0- π ~ 事后风险溢价1/2- γx0-ε11/2+γx0+ε1~ 事前概率通常，在EU下，对于给定的初始财富水平x和给定的彩票支付±ε（ε>0），风险溢价π作为解toU（x）得到- π） =U（x）- ε） +U（x+ε），（2.1）与决策者（DM）的主观效用函数。为了便于解释，假设U在U>0时连续两次可微分。众所周知，U<0意味着π>0。与Pratt[10]和Arrow[1,2]的局部风险规避方法一样，我们使用泰勒级数近似将解近似为（2.1）。

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mingdashike22

2022-5-9 17:52:36

调用U（x）的一阶泰勒级数展开- π）我们得到了著名的结果π=-εU（x）U（x），（2.2）省略o（π）和o（ε）阶项。接下来，在EU下，概率溢价γ作为解toU（x）得到=- γU（x）- ε) ++ γU（x+ε）。（2.3）通过调用关于xyieldsγ=-εU（x）U（x），（2.4）省略o（ε）阶项。因此，通过比较（2.2）和（2.4），我们发现（泰勒级数近似值）原始风险和概率溢价π和γ通过π=2εγ联系起来。（2.5）根据AP的局部风险规避方法，ε被认为是小且-出现在（2.2）和（2.4）中的UU被称为欧盟绝对风险厌恶的本地指数。3.风险和概率溢价下的DT我们现在转向DT。在EU下，我们不再考虑二元对称风险和小概率ε，而是考虑二元对称风险和小概率ε。如图3所示。图3：小风险该图绘制了EU和DT的小二元对称风险。1/2- ε11/2+ε1（a.）EUε2-1/2ε2+1/2（b.）dt将总概率质量为2ε的二元对称风险添加到由三个状态组成的初始状态。初始情况等于（中间）概率2ε，并将剩余的概率质量分为财富水平0（低）和1（高），如下所示：0概率p- ε和概率为1的1- P- ε(0 < ε≤ {p，1- p} <1）。

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mingdashike22

2022-5-9 17:52:39

二元对称风险附属于初始情况的中间状态，因此，事后财富水平0以概率出现，财富水平1以概率1出现- p、在总概率质量为2ε的状态下，附加小风险会导致±的支付发生同样可能的变化。参见图4。图4:DT下的事前和事后情况该图绘制了初始情况和DT下附加小风险后的情况。p0- ε202ε21/21 - p0- ε21（a.）事前+小风险=p001- p01（b.）事后我们然后定义双重风险溢价，现在用ρ表示，以区别于欧盟下的风险溢价，这样一来，事后情况与初始情况中间状态下的财富水平下降（等于双重风险溢价）之间会出现差异，总概率质量为2ε。双概率溢价λ回答了一个问题，即不利支付的概率应减少多少，并向有利支付转移，以恢复与初始情况的等价性。

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何人来此

2022-5-9 17:52:42

请参见图5中的插图。有人可能会说，这构成了财富的2ε肯定减少，而不是欧盟下的财富肯定减少。图5:DT下的风险和概率溢价该图显示了DT下风险和概率溢价的构造。p0- ε202ε21/2-ρ ~ 邮递员1- p0- ε21（a.）风险溢价0- λ01 - p0+λ1~ 事前概率通常，在DT下，我们将风险溢价ρ定义为（h（p+ε）的解- h（p- ε))- ρ= （h（p）- h（p- ε))-+ （h（p+ε）- h（p））+, （3.1）使用h，将单位间隔映射到自身上，h（0）=0和h（1）=1，并假设当h>0时，单位间隔连续两次可微分，即DM的主观概率加权（失真）函数。观察到，如果EU下的AP局部风险规避方法通过将特定情况与相应的风险进行比较来确定风险和概率溢价，那么（3.1）通过将小概率2ε的恒定情况与等概率风险情况进行比较来确定DT风险溢价。因此，我们得到了显式解ρ=（h（p）- h（p- ε)) - （h（p+ε）- h（p））h（p+ε）- h（p- ε). （3.2）在DT下，n状态风险的收益为0≤ 十、≤ · · · ≤ 根据tonXi=1hiXj=1pj评估X和相关概率p，··，Pn！- 你好-1Xj=1pj！！xi，按照惯例，Pj=1pj=0。等效地，n状态风险可通过扭曲累积概率而非累积概率来评估，如下所示：nXi=1¨h1-我-1Xj=1pj！-\'h1-iXj=1pj！！xi，h（p）=1- h（1- p）。请注意，\'h（0）=0，\'h（1）=1，\'h>0，\'h>0相当于h<0。条件h<0，称为“强烈风险厌恶”，意味着DM厌恶任何平均风险增加（Chew、Karni和Safra[4]和Ro–ell[12]）。

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可人4

2022-5-9 17:52:48

观察（3.1）左侧和右侧与低和高财富水平状态相关的术语部分取消。对于双重概率溢价以及RDU下的风险和概率溢价也是如此。通过调用h（p±ε）在p附近的二阶泰勒级数展开式，近似（3.2）的右侧，得到ρ=-εh（p）h（p），（3.3）省略o（ε）阶项。通过比较（2.4）和（3.3），我们发现双重风险溢价与原始概率溢价完全相似。我们还发现，风险溢价由概率加权函数的二阶和一阶导数的比率决定，-啊。这种风险规避的双局部指数首次出现在Yaari[16]中，在对DM的概率加权函数进行解释的背景下，当分析对任何均值保持差价的厌恶感的全球比较风险规避时，一致较大的双局部指数被证明是等效的。接下来，在DT下，我们将概率溢价λ定义为（h（p+ε）的解- h（p- ε））=（h（p- λ) - h（p- ε))-+ （h（p+ε）- h（p- λ))+,它减少到0=（h（p- ε) - 2h（p- λ） +h（p+ε））。（3.4）从（3.4）开始，h（p）的一阶泰勒级数展开式- λ）在p附近，以及h（p±ε）在p附近的二阶泰勒级数展开，得到0=εh（p）+2λh（p）, 因此λ=-εh（p）h（p），（3.5）省略o（λ）和o（ε）阶项。因此，通过比较（3.3）和（3.5），我们发现（泰勒级数近似值）双重风险溢价ρ和双重概率溢价λ通过λ=2ερ（3.6）和局部指数联系起来-HH是这两个premia的核心。特别是，ρ和λ都随着绝对风险厌恶的双重局部指数和ε代表的风险“大小”而增加。

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nandehutu2022

2022-5-9 17:52:54

同时观察（2.5）中显示的EU下的概率和风险溢价之间的（反向）联系。4 DTA下的比较风险规避将h<0的初始概率加权函数Hw压缩为hvia转换h（p）=T（h（p）），其中T是一个两次连续可微分函数，将单位区间映射到自身，T>0，T<0，T（0）=0，T（1）=1，收益率-hh>-啊。上一节中的分析表明，如果绝对风险规避的双重局部指数在p点增加，那么“小风险”对应的风险和概率溢价也会增加，即二元对称风险，每个风险的赔付为±0，概率ε较小；见（3.3）和（3.5）。在本节中，我们将证明，不仅上一节的局部属性成立，而且相应的全局属性也是有效的。也就是说，我们得到了与普拉特[10]第127-129页的DT分析平行的DT分析结果。具体来说：定理4.1假设hi，ρi（p，ε）和λi（p，ε）是概率加权函数，风险溢价（3.2）和概率溢价解（3.4）为DT DM i=1，2。那么下列条件是等价的：（i）-h（p）h（p）≥ -h（p）h（p）代表所有p∈ (0, 1).（ii）ρ（p，ε）≥ ρ（p，ε）表示所有0<ε≤ {p，1- p} <1。（iii）λ（p，ε）≥ λ（p，ε）表示所有0<ε≤ {p，1- p} <1（iv）h（h）-1（t））是t对所有t的凹函数∈ (0, 1).（v） h（s）-h（r）h（q）-h（p）≤h（s）-h（r）h（q）-h（p）均为0<p<q≤ r<s<1。（i）和（iv）之间的等价性可以在Yaari[16]中找到。5 RDUW下的风险和概率溢价最终转向RDU，当效用函数或概率权重分别为身份函数时，RDU将EU和DT作为特例包含在内。在RDU下，我们考虑一个二元对称风险，其收益（±ε）和发生概率（ε）都很小。

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可人4

2022-5-9 17:53:00

如图6所示。图6：小风险该图绘制了三种风险决策模型的小二元对称风险：EU、DT和RDU。1/2- ε11/2+ε1（a.）EUε2-1/2ε2+1/2（b.）DTε2- ε1ε2+ε1（c.）R将小风险添加到由三种状态组成的初始状态中：财富水平x的中间状态，总发生概率质量等于2ε，以及两种状态，一种处于低财富水平，另一种处于高财富水平（只要它们与x的距离至少为ε，就可以不确定），将剩余的概率质量细分为p-ε和1-P-ε(0 < ε≤ {p，1- p} 分别<1）。小的二元对称风险附加到初始情况的中间状态，并产生x±ε（ε>0）的收益，每个收益都具有概率ε，其他所有收益都相等。参见图7。图7：RDU下的事前和事后情况。该图描绘了初始情况和RDU下附加小风险后的情况。p0- ε2low2ε2x01- p0- ε2事前高风险+小风险=p0- ε2lowε2x0- ε1ε2x0+ε11- p0- ε2高（b.）事后RDU风险溢价σ然后实现事后情况（增加小风险）与初始情况中间状态下财富减少（等于RDU风险溢价）之间的差异，发生概率等于2ε。RDU probabilitypremiumu通过将概率质量从不利的支付转移到有利的支付，恢复了与事前情况的等价性。

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nandehutu2022

2022-5-9 17:53:06

请参见图8中的插图。图8：RDU下的风险和概率溢价图显示了RDU下风险和概率溢价的构造。p0- ε2low2ε2x0- σ ~ 邮递员1- p0- ε2高风险溢价0- ε2低ε2- ux0- ε1ε2+ux0+ε1~ 事前的- p0- ε2高（b.）概率通常，在RDU下，我们将风险溢价σ定义为（h（p+ε）的解- h（p- ε））U（x- σ） =（h（p）- h（p- ε））U（x- ε） +（h（p+ε）- h（p））U（x+ε）。（5.1）我们把解近似为（5.1）。首先，调用U（x）的一阶泰勒级数展开式- σ）在x附近，以及U（x±ε）在x附近的二阶泰勒级数展开，我们得到σ=ε（h（p）- h（p- ε)) - （h（p+ε）- h（p））h（p+ε）- h（p- ε)-εU（x）U（x），省略o（σ）和o（ε）阶项。接下来，回顾（3.2）（并有效地利用h（p±ε）在p附近的二阶泰勒级数展开）我们得到σ=-εh（p）h（p）-εU（x）U（x），（5.2）省略o（ε）阶项。因此，我们发现（泰勒级数近似）theRDU风险溢价σ可以简单地作为原始风险溢价π和双重风险溢价ρ的适当比例之和得到：σ=π+2ερ。（5.3）也从（5.2）局部指数之间的相互作用中观察-和-UUin直接计入RDU风险溢价。最后，我们考虑RDU下的概率溢价，用u表示，并定义为RDU下的概率溢价，这是一种n状态风险，收益为0≤ 十、≤ · · · ≤ 根据tonXi=1hiXj=1pj评估X和相关概率p，···，Pn！- 你好-1Xj=1pj！！U（xi）；参见脚注5。（h（p+ε）的解- h（p- ε） U（x）=（h（p- u) - h（p- ε））U（x- ε） +（h（p+ε）- h（p- u）U（x+ε）。（5.4）我们首先调用U（x±ε）在xto附近的二阶泰勒级数展开式，将解近似为（5.4）（p- u）=h（p- ε） +h（p+ε）+（h（p+ε）- h（p- ε） εU（x）U（x），省略o（ε）阶项。

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kedemingshi

2022-5-9 17:53:10

接下来是h（p）的一阶泰勒级数展开式- μ）和h（p±ε）在p附近的二阶泰勒级数展开，得到μ=-εh（p）h（p）-εU（x）U（x），（5.5）省略了o（u）和o（ε）阶项。因此，我们发现（泰勒级数近似）RDU概率溢价u通过u=2εγ+λ与（泰勒级数近似）EU和DT概率溢价γ和λ相连。（5.6）也可以从（5.2）和（5.5）中观察到，RDU风险和概率溢价通过σ=εu联系在一起。（5.7）6 RDU下的比较风险规避与EU和DT下一样，不仅上一节中的局部属性在RDU下有效，而且相应的全局属性也是正确的。然而，由于效用函数和概率加权函数的同时参与，RDU下全局性质的证明比EU和DT下类似性质的证明更复杂。我们的证据基于RDU评估的总体差异，以及风险和概率溢价对结果和概率变化的敏感性。定理6.1假设Ui，hi，σi（x，p，ε，ε）和ui（x，p，ε，ε）是效用函数，概率加权函数，风险溢价解（5.1）和概率溢价解（5.4），对于RDU DM i=1，2。

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kedemingshi

2022-5-9 17:53:14

那么下列条件是等价的：（i）-U（x）U（x）≥ -U（x）U（x）和-h（p）h（p）≥ -h（p）h（p）对于所有x和所有p∈ (0, 1).（ii）σ（x，p，ε，ε）≥ σ（x，p，ε，ε），对于所有x，所有ε>0，以及所有0<ε≤ {p，1-p} <1。（iii）u（x，p，ε，ε）≥ u（x，p，ε，ε），对于所有x，所有ε>0，以及所有0<ε≤ {p，1-p} <1。（iv）U（U）-1（t）和h（h-1（u））是t和u对所有t和所有u的凹函数∈ (0, 1).（v） U（y）-U（x）U（w）-U（v）≤U（y）-U（x）U（w）-U（v）和H（s）-h（r）h（q）-h（p）≤h（s）-h（r）h（q）-所有v<w的h（p）≤ x<y和all0<p<q≤ r<s<1.7结论我们将著名的Arrow-Pratt分析的风险和概率溢价低于预期效用（EU）扩展到双重理论（DT）和秩相关效用（RDU）模型，用于风险决策。通过采用“小”二元对称风险的适当概念，即在EU下收益小，但在DT下概率小，在bothunder RDU下概率小，我们开发了DT和RDU风险和概率溢价的泰勒级数近似。我们的分析表明，双重概率（风险）溢价的发展与原始风险（概率）溢价的发展完全相似。此外，对于小风险，RDU风险和概率溢价似乎只是在适当的比例下，将各自的EU和DT溢价相加。我们的分析还说明了概率加权函数凹度指数的中心作用-HH及其与众所周知的效用函数凹度指数的相互作用-UUin在本地指定DT和RDU风险和概率溢价。最后，我们还得到了在dt和RDU下相应的全局性质。在欧盟模型中，绝对风险厌恶的局部指数对于分析个人或群体做出的风险选择非常有用。

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mingdashike22

2022-5-9 17:53:17

由于类似的方法似乎也适用于风险下选择的替代模型，本文应该为它们在许多应用中的使用开辟道路，例如投资组合组合、保险范围或自我保护活动。定理4.1的证明。调用二元对称风险的适当概念，在DT下，每个风险的发生概率为ε（0<ε≤ {p，1- p} <1），这不一定很小，在用DT概率溢价（3.4）替换EU风险溢价（2.1）的等式，以及用DT风险溢价（3.2）的表达式替换EU概率溢价（2.3）的等式后，证明基本上遵循普拉特[10]中定理1的证明。为了节省空间，我们省略了细节。2定理6.1的证明。（i）、（iv）和（v）的等价性与普拉特[10]定理1中（a）、（d）和（e）的等价性以及上述定理4.1中（i）、（iv）和（v）的等价性非常相似。我们将首先证明（等价物）（i）、（iv）和（v）意味着（ii）和（iii）。重新考虑（5.1）。固定（可行的）ε>0（满足0<ε≤ {p，1- p} <1）。注意，如果我们让ε→ 0英寸（5.1），则σi→ 0.定义（σi，ε）=（hi（p+ε）- 你好（p- ε））用户界面（x- σi）- （（你好（p）- 你好（p- ε））用户界面（x- ε） +（hi（p+ε）- hi（p））Ui（x+ε）。我们计算总差分dVi=六、σidσi+六、εdε。它由- （hi（p+ε）- 你好（p- ε））用户界面（x- σi）dσi+（你好（p）- 你好（p- ε））用户界面（x- ε) - （hi（p+ε）- hi（p））Ui（x+ε）dε。将总差异等于零产量dσidε=hi（p）- 你好（p- ε） hi（p+ε）- 你好（p- ε）用户界面（x）- ε）用户界面（x）- σi）-hi（p+ε）- hi（p）hi（p+ε）- 你好（p- ε） Ui（x+ε）Ui（x）- σi）。（A.1）来自（i），如普拉特[10]中的等式。

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大多数88

2022-5-9 17:53:20

（20），U（x）U（w）≤U（x）U（w），对于w<x和U（x）U（y）≥U（x）U（y），对于x<y。此外，从（v），U（y）- U（x）U（w）- U（v）+U（w）- U（v）U（w）- U（v）≤U（y）- U（x）U（w）- U（v）+U（w）- U（v）U（w）- U（v），对于v<w≤ x<y.取w=x yieldsU（y）- U（v）U（w）- U（v）≤U（y）- U（v）U（w）- U（v），对于v<w<y，henceU（w）- U（v）U（y）- U（v）≥U（w）- U（v）U（y）- U（v）和alsoU（y）- U（w）U（y）- U（v）≤U（y）- U（w）U（y）- U（v），表示v<w<y。在本段中的所有不等式中，ui可以替换为hi，v，w，x限制为（0，1）。因此，根据（A.1）和上述不等式，dσdε≥dσdε，（A.2）因此（ii）。接下来，重新考虑（5.4）。固定ε>0。如果我们让ε→ 0英寸（5.4），然后是ui→ 0.definewi（ui，ε）=（hi（p+ε）- 你好（p- ε））用户界面（x）- （（嗨（p- ui）- 你好（p- ε））用户界面（x- ε） +（hi（p+ε）- 你好（p- ui）Ui（x+ε）。我们计算总的差异dWi=Wiuidui+Wiεdε。它由-你好（p- ui）（Ui（x+ε）- 用户界面（x）- ε））dui+你好（p- ε）（Ui（x）- 用户界面（x）- ε)) - hi（p+ε）（Ui（x+ε）- 用户界面（x））dε。将总差异等于零产量duidε=Ui（x）- 用户界面（x）- ε） Ui（x+ε）- 用户界面（x）- ε）你好（p- ε）你好（p- ui）-Ui（x+ε）- Ui（x）Ui（x+ε）- 用户界面（x）- ε） hi（p+ε）hi（p- ui）。（A.3）调用与Ui（·）Ui相关的不等式(o)安杜伊（·）-用户界面(o)用户界面(*)-Ui（？）如上所述，其中Ui可能由hi代替（将相应的域限制为（0,1）），我们从（A.3）中发现dudε≥dudε，（A.4）因此（iii）。我们现在已经证明（ii）和（iii）是由（等价物）（i）、（iv）和（v）隐含的。我们最终证明（ii）暗示（i）和（iii）暗示（i），或者更确切地说，不（i）暗示不（ii）和不（iii）。这是通过认识到，通过x，p，ε>0和ε随0<ε的任意性≤ {p，1- p} <1，如果（i）不保持某个区间（x或p），人们总是可以找到可行的x、p、ε和ε，这样（A.2）和（A.4），因此（ii）和（iii）保持某个区间，但不等式符号严格且受限制。2.致谢。

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nandehutu2022

2022-5-9 17:53:23

我们非常感谢哈里斯·施莱辛格的讨论。这项研究部分由荷兰科学研究组织（LAEEN）在NWO VIDI 2009资助。感谢安德烈·拉鲁的研究协助。参考文献[1]Arrow，K.J.（1965）。风险承担理论的几个方面。赫尔辛基Yrj–o Jahnsson基金会。[2] 阿罗，K.J.（1971）。关于风险承担理论的论文。北荷兰，阿姆斯特丹。[3] Chateauneuf，A.，M.Cohen和I.Meilijson（2004年）。保留均值的四个概念风险增加、风险态度和秩相关期望模型的应用。《数学经济学杂志》40547-571。[4] Chew，S.H.，E.Karni和Z.Safra（1987年）。具有秩相关概率的预期性理论中的风险规避。《经济理论杂志》42370-381。[5] Eeckhoudt，L.R.和R.J.A.Laeen（2015）。概率溢价：一种图形表示法。《经济学快报》136，39-41。[6] 德费内蒂，B.（1952年）。苏拉更喜欢。乔尔纳尔·德格利经济研究院和安娜利经济研究院，685-709。[7] 金达邦，P.（2010）。谨慎概率溢价。《经济学快报》109，34-37。[8] Liu，L.和J.Meyer（2013）。用一种风险增加代替另一种：一种测量风险厌恶的方法。经济理论杂志1482706-2718。[9] Liu，L.和W.S.Neilson（2015）。比较风险规避的概率溢价方法，Mimeo，德克萨斯农工大学和田纳西大学。[10] 普拉特，J.W.（1964年）。小规模和大规模的风险规避。《计量经济学》3222136。[11] 奎金，J.（1982）。预期效用理论。《经济行为与组织杂志》3323-343。[12] 罗厄尔，A.（1987）。不确定性下Quiggin和Yaari的排序选择模型中的风险规避。《经济杂志》97143-159。[13] Ryan，M.J.（2006）。RDEU中的风险规避。

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kedemingshi

2022-5-9 17:53:26

《数学经济学杂志》42675697。[14] 施密特，U.和H.赞克（2008）。累积前景理论中的风险规避。管理科学54208-216。[15] 特沃斯基，A.和D.卡尼曼（1992年）。前景理论的进展：不确定性的累积表示。《风险与不确定性杂志》5297-323。[16] Yaari，M.E.（1986年）。风险规避的单变量和多变量比较：一种新方法。作者：Heller，W.P.，R.M.Starr和D.A.Starrett（编辑）。不确定性、信息和沟通。《纪念肯尼斯·J·阿罗的散文》，第三卷，第173-188页，第1学期。，剑桥大学出版社，剑桥。[17] Yaari，M.E.（1987年）。风险下的双重选择理论。计量经济学55，95-115。

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