使用当前提款的风险规避部分交易

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《Risk averse fractional trading using the current drawdown》
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作者：
Stanislaus Maier-Paape
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
In this paper the fractional trading ansatz of money management is reconsidered with special attention to chance and risk parts in the goal function of the related optimization problem. By changing the goal function with due regards to other risk measures like current drawdowns, the optimal fraction solutions reflect the needs of risk averse investors better than the original optimal f solution of Ralph Vince. Keywords: fractional trading, optimal f, current drawdown, terminal wealth relative, risk aversion
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中文摘要：
本文重新考虑了货币管理的分式交易策略，特别关注了相关优化问题目标函数中的机会和风险部分。通过改变目标函数，适当考虑其他风险度量，如当前提款，最优分数解决方案比拉尔夫·文斯的原始最优f解决方案更好地反映了风险厌恶投资者的需求。关键词：分数交易、最优f、当前提款、终端财富相对、风险规避
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Risk_averse_fractional_trading_using_the_current_drawdown.pdf
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nandehutu2022

2022-5-31 18:17:18

使用currentdrawdownStanislaus Maier PaapeInstitut f¨ur Mathematik，RWTH亚琛，Templergraben 55，D-52062亚琛的风险规避部分交易，Germanymaier@instmath.rwth-亚琛。2016年12月12日摘要本文考虑了货币管理的分式交易策略，特别关注相关优化问题目标函数中的机会和风险部分。通过改变目标函数，适当考虑其他风险指标，如当前提款，最优分数解决方案比Vince的原始最优f解决方案更好地反映了风险厌恶投资者的需求【8】。关键词分式交易、最优f、当前提款、终端财富相关、风险规避1简介货币和风险管理方面为投资策略提供了核心范围。除了马科维茨（Markowitz）的“现代投资组合理论”（modern portfolio theory），尤其是分式交易的方法是众所周知的。50年代，凯利（Kelly）[3]已经建立了一个渐近最优投资策略的标准。Kelly以及Vince[8]和[9]使用分数交易法来确定投资组合的头寸大小。在“固定部分交易”策略中，投资者总是希望在其交易策略的历史交易分布一定的情况下，将其当前资本的固定百分比用于未来投资。在第2节中，我们更详细地介绍了Kelly和Vince的方法，并介绍了这两种模型的常见推广。这两种方法都有一个共同点，即它们的目标函数（例如，TWR=“终端财富相对”）仅在长期内优化财富增长，而忽略了风险方面，如权益曲线的下降。在这一点上，我们的研究开始了。根据我们的一个结果（定理4.6和4.7），可以将文斯的目标函数分为“机会”和“风险”两部分，这两部分很容易通过简单的表示进行计算。

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nandehutu2022

2022-5-31 18:17:21

简单来说，通常的TWR目标函数现在采用对数机会-风险关系的期望形式日志chancerisk公司= E日志（机会）- E日志（风险）. （1.1）2 S.MAIER Paape此外，进一步的研究（见第5节）揭示了新风险度量预期的明确可计算代表性，即当前部分交易框架中的提取。话虽如此，现在似乎很自然地将（1.1）中的风险部分替换为当前支取的新风险度量，以获得分馏交易的新目标函数，从而更好地满足风险厌恶投资者的需求。该策略在第6节中进行了研究，包括这个新的风险厌恶最优分数问题的存在性和唯一性结果。正如Maier Paape[6]中的经验模拟所示（另见第6节中的模拟），这种风险规避策略之所以被迫切需要，是因为通常最优的f策略不仅会产生长期的最佳财富增长，而且还会产生不断减少的资金。显然，这个问题在贸易共同体中也得到了承认，在那里，最优f策略往往被视为“风险太大”（参见van Tharp[12]）。对这一问题的认识也引发了其他研究，以克服“过于冒险”的策略。例如，MaierPaape[5]证明了破产风险约束下最优分数的存在唯一性。de Prado、Vince和Zhu【4】也讨论了分数交易框架中的风险意识策略，Vince和Zhu【11】建议使用反映点来降低风险。

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大多数88

2022-5-31 18:17:24

此外，迈尔·帕佩（MaierPaape）[6]针对凯利（Kelly）的情况确定的一个克服巨大下降的共同策略是多元化。2结合Kelly博彩和最优f理论在这仍然是介绍性的一节中，我们重新考虑了两种著名的资金管理策略，即Kelly博彩系统[1]、[3]和Vince的最优f模型[8]、[9]。我们在这里的目的不仅是介绍分拆交易的一般概念和符号，还想找到一个将两者都概括起来的超级模型（这并不明显）。所有分数交易概念都假设给定的交易系统提供一系列可复制的可盈利交易，并提出以下问题：哪种（固定的）分数∈ [0，1）流动资本的投资应确保从长远来看，相对于给定的目标函数，财富增长是最优的。这通常会在变量f中产生一个优化问题，其最优解将被搜索。Kellybetting和Vince的最优f理论都是这样表述的。设置2.1。（Kelly下注变体）假设交易系统Y有两个可能的交易结果：一个赢B>0，概率p，或者一个输-1，概率q=1- p、交易系统应为可预测的，即预期收益应为正Y：=p·B- q>0。Kelly引入的目标函数是所谓的log–效用函数h（f）：=p·log（1+Bf）+q·log（1- f）！=最大值，f∈ [0，1）（2.1）使用当前提款3的风险规避分数交易，必须最大化。著名的凯利公式fKellyV=p-QB提供（2.1）的唯一解决方案。设置2.2。（文斯最优f模型）假设交易系统具有绝对交易结果t，田纳西州∈ R、 X至少给出一个负交易结果。

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能者818

2022-5-31 18:17:27

同样，交易系统应该是可配置的，即“X：=PNi=1ti>0”。作为目标函数，文斯引入了所谓的“终端财富相对”TWR（f）：=NYi=11+fti^t!= 最大值，f∈ [0，1），（2.2）其中，^t=max{| ti |：ti<0}>0是最大损失。当N个交易结果中的每一个都准确出现，并且每次都有一小部分流动资本面临新交易的风险时，TWR是中间财富和起始财富之间的因素。如何组合这些模型？以下设置是对这两个设置的概括：设置2.3。（通用TWR模型）假设交易系统Z具有绝对交易t，田纳西州∈ 给出了R，每个交易都是Ni∈ N次。同样，我们需要至少一个负交易和盈利能力，即NXi=1Niti>0。终端财富目标函数很容易适用于TWR（f）=QNi=11+fti^tNiwith^N：=Pi=1Ni。因为所有f的TWR（f）>0∈ [0，1）以下等价物向前延伸：TWR（f）！=最大值<=> 对数TWR（f）！=最大值<=>NXi=1Ni·log1+fti^t!= 最大值<=>NXi=1Ni^N·log1+fti^t!= 最大值<=> logΓ（f）！=最大值，其中Γ（f）=QNi=11+fti^tpi是加权几何平均值，对于i=1，…，pi=Ni^，N是相对频率。从这个意义上说，交易系统Z确实概括了交易系统Y和X。特别是，除了设置2.3之外，似乎很自然地在概率设置中使用概率pi假设的交易Ti来制定交易系统。这将在下一节（参见设置3.1）中完成，我们将给出相关优化问题的存在性和唯一性结果。4 S.MAIER-PAAPE3唯一最优fSetup的存在性3.1。假设交易系统Z的交易结果为t，田纳西州∈ R{0}，maximalloss^t=max{ti |：ti<0}>0，相对频率pi=Ni^N>0，其中Ni∈ Nand^N=PNi=1Ni。此外，Z应具有正期望值“Z：=E（Z）：=PNi=1 pIti>0”。定理3.2。假设设置3.1保持不变。

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mingdashike22

2022-5-31 18:17:31

然后优化终端财富相对值br（f）=NYi=11+fti^tNi！=f最大值∈ [0，1]（3.1）具有唯一的解决方案f=fopt∈ （0，1），称为最优f.Proof。证明是沿着[5]中的“最优f引理”进行的：TWR（f）！=最大值<==> h（f）：=NXi=1pi·log1+fti^t!= 最大值<==> 0!= h（f）=NXi=1piti^t1+fti^t=NXi=1pibi+f=：g（f），其中ai：=ti^t∈ [-1.∞)\\{0}和bi：=ai∈ (-∞, -1]∪ （0，∞). 假设w.l.o.g订购了bi，bi=-1、然后bi+1>0。f 6的Sincepibi+fis严格单调递减=-bi，f 6的g（f）也是如此={-bi：i=1，N} 。这就产生了精确零f的存在性*共g英寸(-bi+1，1），并且由于g（0）=h（0）=^tPNi=1piti>0，我们有f*> 因此fopt=f*∈ （0，1）是（3.1）的唯一解决方案（见图1）。备注3.3。即使pi>0是概率，PNi=1pi=1且Γ（f）=NYi=1，定理3.2仍然成立1+fti^tpi！=f最大值∈ [0，1]。（3.2）即优化问题（3.2）也有一个最优f解。值得注意的是，到目前为止，结果根本没有使用概率论。使用当前提取的风险规避分数交易5图1：g的零产生fopt4随机提取交易的存在图4.1。假设交易系统的交易结果为t，田纳西州∈ R \\{0}，最大损失^t=最大{ti |：ti<0}>0。每个交易Ti的概率pi>0，Pni=1pi=1。随机独立绘制M∈ 此分布的N次结果为概率空间Ohm（M）：={ω=（ω，…，ωM）：ωi∈ {1，…，N}}}和最终相对财富（对于分数f的分数交易）TWRM（f，ω）：=MYj=11+ftωj^t, f∈ （4.1）定理4.2。对于所有f，随机变量Z（M）（f，ω）：=log（TWRM（f，ω））具有期望值e（Z（M）（f，·））=M·logΓ（f）∈ [0，1），（4.2），其中Γ（f）=QNi=11+fti^tPi是持有期的加权几何平均数，所有f的回报HPRi：=1+fti^t>0∈ [0，1）。6秒。

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kedemingshi

2022-5-31 18:17:34

MAIER PAAPEProof。情况M=1：这里Z（1）（f，ω）=log1+ftω^tandE（Z（1）（f，·））=NXi=1 pilog1+fti^t= 日志“NYi=11+fti^tpi#=logΓ（f）。感应步骤M- 1.→ M：使用P（{ω}）=P（M）（{ω}）=QMi=1pωiforω∈ Ohm（M）和ω（M-1）：=（ω，…，ωM-1）我们得到（Z（M）（f，·））=Xω∈Ohm（M） P（{ω}）logMYj=11+ftωj^t!=Xω（M-1)∈Ohm（M）-1） NXωM=1P（M-1）（{ω（M-1） }）·pωM·“logM-1Yj=11+ftωj^t!+ 日志1+ftωM^t#=Xω（M-1)∈Ohm（M）-1） P（M-1）（{ω（M-1） }）·记录TWRM-1（f，ω（M-1））+NXωM=1pωMlog1+ftωM^t情况1=E（Z（M-1）（f，·））+logΓ（f）=通过归纳法得出的M·logΓ（f）。下一步，我们要将随机变量Z（M）（f，·）分解为机会和风险部分。由于TWRM（f，ω）>1对应于获胜的贸易系列tω，tωMandTWRM（f，ω）<1类似地对应于一个松散的贸易序列，我们定义了随机变量：定义4.3。Up-trade log系列：U（M）（f，ω）：=log（max{1，TWRM（f，ω）}）≥ 0。（4.3）向下交易对数系列：D（M）（f，ω）：=对数（min{1，TWRM（f，ω）}）≤ 0。（4.4）显然U（M）（f，ω）+D（M）（f，ω）=Z（M）（f，ω）。因此，通过定理4.2，我们得到推论4.4。对于f∈ [0，1）E（U（M）（f，·））+E（D（M）（f，·））=M logΓ（f）（4.5）持有。使用当前提取的风险规避分数交易7本节其余部分致力于为E（U（M）（f，·））和E（D（M）（f，·））。通过定义（U（M）（f，·））=Xω：TWRM（f，ω）>1P（{ω}）·log（TWRM（f，ω））。（4.6）假设ωω=（ω，…，ωM）∈ Ohm（M）：={1，…，N}此时错误固定，随机变量x计算ωjare等于1的数量。即X（ω）=xif xofω中的ωj等于1。使用类似的计数随机变量X，XNweobtain计数xi≥ 0和thusX（ω）=x，x（ω）=x，XN（ω）=XN（4.7），显然lypni=1xi=M。因此，对于这个固定ω，我们得到了wrm（f，ω）=MYj=11+ftωj^t=NYi=11+fti^txi（4.8）因此，和（4.6）中ω的条件等于WRM（f，ω）>1<==> 对数TWRM（f，ω）>0<==>NXi=1xilog1+fti^t> 0

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nandehutu2022

2022-5-31 18:17:38

（4.9）为了更好地理解最后一个和，我们使用泰勒展开得到引理4.5。设实数^t>0，xi≥ 0，Pni=1xi=M>0，ti6=0，对于i=1，N应给出。那么以下情况成立：（a）PNi=1xiti>0<==> h（f）：=PNi=1xilog1+fti^t> 0表示所有足够小的F>0，（b）PNi=1xiti≤ 0<==> h（f）=PNi=1xilog1+fti^t< 0表示所有足够小的F>0。“证明。”=>“：一个简单的计算表明h（0）=^tPNi=1xitian和h（0）=-1^tPNi=1xiti<0，产生（a）和（b）的该方向，因为h（0）=0。”<=“：从上面我们可以得出结论，无论whatPNi=1xitiis，alwaysPNi=1xilog1+fti^t6=0，对于f>0非常小的保持。后向的主张现在随之而来的是矛盾。因此，使用引理4.5，我们可以将（4.9）TWRM（f，ω）>1重新表示为f>0足够小<==>NXi=1xiti>0。（4.10）在所有这些准备工作之后，我们现在可以陈述第一个主要结果。8 S.MAIER Paape定理4.6。让交易系统如设置4.1所示，具有固定的N，M∈ N应给出。那么，对于所有非常小的f>0，以下情况成立：EU（M）（f，·）= u（M）（f）：=NXn=1U（M，N）N·log1+ftn^t, （4.11）其中u（M，N）N：=X（X，…，xN）∈NNNPi=1xi=M，NPi=1xiti>0px··pxNN·Mxx···xN· xn公司≥ 0（4.12）和Mxx···xN=Mx！x！·····xN！是多项式系数。证据从（4.6）开始，使用（4.7）和（4.10），我们得到非常小的f>0E（U（M）（f，·））=X（X，…，xN）∈NNNPi=1xi=MXω：X（ω）=X，。。。，XN（ω）=xNNPi=1xiti>0P（{ω}）·logTWRM（f，ω）.因为有Mxx···xN=Mx！x···xN！许多ω∈ Ohm（M）其中X（ω）=X，XN（ω）=XN我们进一步得到（4.8）E（U（M）（f，·））=X（X，…，XN）∈NNNPi=1xi=M，NPi=1xiti>0px··pxNN·Mxx···xNNXn=1xn·log1+ftn^t=NXn=1U（M，N）N·log1+ftn^t如所述。类似的结果适用于E（D（M）（f，·））。定理4.7。

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nandehutu2022

2022-5-31 18:17:41

在定理4.6的情况下，对于非常小的f>0E（D（M）（f，·））=D（M）（f）：=NXn=1D（M，N）N·log1+ftn^t, （4.13）保持，其中（M，N）N：=X（X，…，xN）∈NNNPi=1xi=M，NPi=1xiti≤0px··pxNN·Mxx···xN· xn公司≥ 0。（4.14）使用当前提款证明的风险规避分数交易。通过定义（D（M）（f，·））=Xω：TWRM（f，ω）<1P（{ω}）·logTWRM（f，ω）.定理4.6的证明中给出的参数同样适用，其中，我们使用引理4.5（b）代替（4.10），以获得所有f>0非常小时的wrm（f，ω）<1<==>NXi=1xiti≤ 0。（4.15）备注4.8。使用多项式分布x（x，…，xN）中的已知事实∈NNNPi=1xi=Mpx···pxNN·Mxx···xN= （p+…+pN）M=1紧随其后的是x（x，…，xN）∈NNNPi=1xi=Mpx···pxNN·Mxx···xNxn=pn·M，对于所有n=1，Nyielding（再次）与定理4.6和4.7E（U（M）（f，·））+E（D（M）（f，·））=NXn=1pn·M·log1+ftn^t= M·logΓ（f）。接下来，我们想把我们的理论应用到2:1掷硬币游戏中，在这个游戏中掷硬币。如果硬币露出头部，则赌注加倍，而如果硬币露出尾部，则赌注丢失。示例4.9。（2：1掷骰子游戏；M=3）这里N=2，pi=，t=-1，t=2和^t=1。在这种情况下（4.12），简单的toU（M，2）=MMXk=0k·t+（M-k） t>0Mk公司· k和U（M，2）=MMXk=0k·t+（M-k） t>0Mk公司· （M）- k）。因此，对于f>0的情况，使用（4.11）表示，非常小（U（M）（f，·））=MMXk=0k·t+（M-k） t>0Mk公司[k对数（1+ft）+（M- k） log（1+f t）]10 S.MAIER Paapand analogouslyE（D（M）（f，·））=MMXk=0k·t+（M-k） t型≤0Mk公司[k对数（1+ft）+（M- k） log（1+f t）]从t=2和t=-1我们得到kt+（M- k）仅当k=0和k=1时，t>0。因此（U（3）（f，·））=3个日志（1+2f）+（日志（1- f） +2对数（1+2f））=[3日志（1- f）+9 log（1+2f）]（4.16）和类似的（D（3）（f，·））=[9 log（1- f）+3对数（1+2f）]。（4.17）对于f>0，非常小。

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何人来此

2022-5-31 18:17:44

在图2中可以看到，这些近似值在f=0.85时非常精确。图2:E（U（3）（f，·））和E（D（3）（f，·））及其近似值（4.11）和（4.13）风险规避分数交易使用当前提取115当前提取我们继续与交易t，田纳西州∈ R \\{0}和概率P，pNfrom Setup 4.1，随机独立抽取M∈ 该分布的N倍。接下来，我们要研究分数交易Wrm（f，ω）=MYj=1的最终财富相对值1+ftωj^t, f∈ [0, 1), ω ∈ Ohm（M） ={1，…，N}Mfrom（4.1），关于第M次提款后实现的当前提款。更一般地，在下面我们将使用twrnm（f，ω）：=nYj=m1+ftωj^t.这里的想法是，TWRn（f，ω）被视为时间n的离散“权益曲线”（f和ω固定）。当前水位下降对数系列是该权益曲线从曲线最大值到结束（时间M）的水位下降的对数。正如我们将在下面看到的，该系列是上升的计数器部分（参见图3）。图3：在左图中，绘制了TWR“权益”曲线实例的上升和当前下降，右侧是其对数系列。定义5.1。当前水位下降对数系列设置为toD（M）cur（f，ω）：=log最小1≤ ` ≤ Mmin{1，TWRM`（f，ω）}≤ 0，启动对数系列定义为asR（M）（f，ω）：=对数最大值1≤ ` ≤ Mmax{1，TWR`（f，ω）}≥ 0。12 S.MAIER Paape相应的贸易系列以这样的方式连接，即当前的提款在增长停止后开始。为了更准确地说明这一点，我们确定了therun的最佳位置。定义5.2。对于固定ω∈ Ohm（M），f∈ [0，1）定义`*= `*（f，ω）∈ {0，…，M}带（a）`*= 最大值为1时为0≤ ` ≤ MTWR`（f，ω）≤ 1（b）和其他选择`*∈ {1。

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何人来此

2022-5-31 18:17:46

，M}这样TWR`*（f，ω）=max1≤`≤MTWR`（f，ω）>1，（5.1），其中`*该属性应为最小值。根据定义，很容易看到SD（M）cur（f，ω）=（log TWRM`*+1（f，ω），如果`*< M、 0，以防`*= M、（5.2）andR（M）（f，ω）=（log TWR`*（f，ω），如果`*≥ 1,0，如果`*= 0。（5.3）正如在第4节中，我们立即得到D（M）cur（f，ω）+R（M）（f，ω）=Z（M）（f，ω），因此定理4.2：推论5.3。对于f∈ [0，1）E（D（M）cur（f，·））+E（R（M）（f，·））=M logΓ（f）（5.4）成立。同样，关于D（M）curand R（M）的期望值的显式公式也很有趣。通过定义和（5.2）E（D（M）cur（f，·））=M-1X`=0Xω∈Ohm（M）`*（f，ω）=` P（{ω}）·log TWRM`+1（f，ω）（5.5）在继续计算之前，我们需要讨论`*= `*（f，ω）对于某些固定ω。根据定义5.2，如果`*≥ 1、我们有TWR`*k（f，ω）>1，对于k=1`*（5.6）自2013年以来使用当前提款的风险规避部分交易`*是第一次加满，如果`*< MTWRk`*+1（f，ω）≤ 1表示￠k=`*+ 1.M、（5.7）例如，对于所有非常小的f>0，最后一个不等式可以重新表述为asTWRk`*+1（f，ω）≤ 1.<==> 对数TWRk`*+1（f，ω）≤ 0<==>kXj=`*+1日志1+ftωj^t≤ 0<==>kXj=`*+1tωj≤ 0（5.8），类似于引理4.5。类似的一个终点WR`*k（f，ω）>1，对于所有f>0非常小的值<==>`*Xj=ktωj>0。（5.9）我们现在可以说明当前缩编预期的主要结果。定理5.4。让交易系统如设置4.1所示，具有固定的N，M∈ N应给出。然后，对于所有非常小的f>0，以下情况适用：E（D（M）cur（f，·））=D（M）cur（f）：=NXn=1MX`=0∧（`，M，N）N！·日志1+ftn^t（5.10）其中∧（M，M，N）N：=0，对于`∈ {0，1，…，M- 1} 常数∧（`，M，N）N≥ 0由∧（`，M，N）N定义：=Xω∈Ohm（M）对于k=1，…，Pj=ktωj>0`kPj=`+1tωj≤0表示▄k=`+1，MP（{ω}）·#{ωi=n|i≥ ` + 1} 。（5.11）证明。

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kedemingshi

2022-5-31 18:17:49

从（5.5）开始，我们得到（D（M）cur（f，·））=M-1X`=0Xω∈Ohm（M）`*（f，ω）=` P（{ω}）·MXi=`+1log1+ftωi^t14 S.MAIER PAAPEand by（5.8）和（5.9），对于所有f>0的充分小（D（M）cur（f，·））=M-1X`=0Xω∈Ohm（M）对于k=1，…，Pj=ktωj>0`kPj=`+1tωj≤0表示▄k=`+1，MP（{ω}）·MXi=`+1log1+ftωi^t=M-1X`=0Xω∈Ohm（M）对于k=1，…，Pj=ktωj>0`kPj=`+1tωj≤0表示▄k=`+1，MP（{ω}）·NXn=1#{ωi=n | i≥ ` + 1} 日志1+ftn^t=NXn=1M-1X`=0∧（`，M，N）N·log1+ftn^t和（5.10），因为∧（M，M，N）N=0。同样的推理产生：定理5.5。在定理5.4的情况下，对于所有非常小的f>0E（R（M）（f，·））=R（M）（f）：=NXn=1MX`=0R（`，M，N）N！·日志1+ftn^t（5.12）保持，其中R（0，M，N）N：=0，表示`∈ {1，…，M}常数R（`，M，N）N≥ 0是给定值（`，M，N）N：=Xω∈Ohm（M）对于k=1，…，Pj=ktωj>0`kPj=`+1tωj≤ 0表示▄k=`+1，MP（{ω}）·#{ωi=n|i≤ `}. （5.13）我们再次讨论例4.9中的掷骰子游戏。示例5.6。（2：1掷骰子游戏；M=3）与之前一样，N=2，pi=，t=-1，t=2和^t=1。损失t=-如果圆心显示尾部（T），且T=2对应头部（H），则会出现1。取决于`*= `*（f，ω）当f>0足够小时，我们得到以下贸易系列，利用`*第次投掷。（参见定义5.2）使用当前提款的风险规避部分交易15`*= 3：（H，H，H）；（H，T，H）；（T，H，H）。HenceR（3）n=R（3，M=3，n=2）n=（，对于n=1，对于n=2，始终∧（3）n=0）`*= 2：（H，H，T）；（T，H，T）。HenceR（2）n=（，对于n=1，，对于n=2，∧（2）n=（，对于n=1,0，对于n=2）`*= 1：（H、T、T）。HenceR（1）n=（0，对于n=1，，对于n=2，∧（1）n=（，对于n=1,0，对于n=2）`*= 0：（T，T，T）；（T，T，H）。HenceR（0）n=0和∧（0）n=（，对于n=1，对于n=2。因此pm=3`=0∧（`）=和pm=3`=0∧（`）=和定理5.4 yieldsE（D（M=3）cur（f，·））=log（1- f） +对数（1+2f）（5.14），对于所有f>0的小值。

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nandehutu2022

2022-5-31 18:17:54

类似地，从pm=3`=0R（`）=和pm=3`=0R（`）=和定理5.5我们得到了（R（M=3）（f，·））=log（1- f） +对数（1+2f）（5.15），对于所有f>0的小值。备注5.7。定理5.4和5.5中的E（D（M）cur（f，·））和E（R（M）（f，·））的表示显然只适用于非常小的f>0。对于f>0不再小，这些期望值的公式自顶部位置起更改`*= `*（f，ω）变化。要了解这一点，请考虑ω=（H，T，H）对于上面的2:1掷骰游戏，但现在假设f∈ （0，1）如此之大，以至于最后一次H掷的增益不能补偿第二次掷的T掷的损失，即日志（1- f）> 日志（1+2f）。对于我们得到的f`*（f，ω）=1，这会立即产生不同的上升和当前下降期望值公式。同样，当前水位下降和上升的近似值非常精确，tof=0.6（见图4）。16 S.MAIER Paape图4:E（D（3）cur（f，·））和E（R（3）（f，·））的近似值（5.10）和（5.12）6使用当前提取的风险规避分数交易的最佳f现在我们将前面各节的结果汇总在一起。我们在定理4.2中看到，通常的最优f问题是最大化终端财富相对值Twr（f）=NYi=11+fti^t!= f最大值∈ [0，1）等于最大化e（Z（M）（f，·））=M logΓ（f）=M logNYi=11+fti^t1/N！=f最大值∈ [0，1），其中Z（M）（f，ω）=log（TWRM（f，ω）），t，…，tN∈ R{0}是所有以相同概率pi=N发生的交易。根据推论4.4，这等于最大化（U（M）（f，·））+E（D（M）（f，·））！=f最大值∈ [0，1）。该优化问题明显区分了机会（U（M）（f，ω）≥ 0）和风险（D（M）（f，ω）≤ 0）零件。

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mingdashike22

2022-5-31 18:17:57

然而，厌恶提款的投资者可能不仅会关注下行日志序列D（M）（f，ω），还可能会关注当前的提款D（M）cur（f，ω），因为当前的提款在某种程度上是风险资产投资过程的一部分，每天都会“伤害”风险资产。正弦（M）cur（f，ω）≤ D（M）（f，ω）≤ 0（6.1）使用当前支取的风险规避分数交易17we提议对象（U（M）（f，·））+E（D（M）cur（f，·））！=f最大值∈ [0，1）（6.2）作为一个更具风险规避性的优化问题。从前面几节的讨论中，可以清楚地看到∈ Ohm（M），它为上述两个期望值的计算提供了非平凡的值，它确实依赖于f。因此（6.2）通常可能太难求解，至少对于M大。尽管如此，定理4.6和5.4给出了E（U（M）（f，·））和E（D（M）cur（f，·））的显式计算公式，这些公式适用于所有非常小的f>0。因此，我们建议作为maximizeNXn=1“U（M，N）N+MX`=0∧（`，M，N）N |{z}=：q（M，N）N=：qn的替代方案≥0·log1+ftn^t!= f最大值∈ [0，1）（6.3）希望f的qnyield不再小，仍然是（6.2）的良好近似值。幸运的是，问题（6.3）已经在第3节“解决”。推论6.1。对于设置4.1中的交易系统，N，M∈ 用qn=q（M，N）nNXn=1qn·log修复优化问题（6.3）1+ftn^t!= f最大值∈ [0，1）（6.4）具有唯一的解决方案f=fopt，D（M）cur∈ （0，1）如果PNN=1qntn>0，并且在PNN=1qntn的情况下，fopt，D（M）cur=0≤ 0.证明。设置q：=PNn=1qn>0和▄pn：=qnq。该主张源自定理3.2和andRemark 3.3。备注6.2。由于优化问题（6.3）是作为优化问题（6.2）的近似值导出的，对于f>0 small，小解fopt，D（M）cur可能是（6.2）解的很好近似值，因此我们希望通过掷骰子游戏明确区别：例6.3。

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大多数88

2022-5-31 18:18:00

（2：1掷骰子游戏；M=3）使用N=2，pi=，t=-1，t=2和^t=1通常的最优f解wr（f）=（1- f）（1+2层）！=f最大值∈ [0，1）。由于这也是凯利公式的情况，凯利夫=p-qB（6.5）18 S.MAIER Paape对于赢B发生概率为p而输的游戏-概率q=1时出现1- p、我们使用B=2和p=q=来获得fopt=fopt，KellyV==25%。从例4.9、（4.16）和例5.6、（5.14）我们已经知道（U（3）（f，·））=log（1- f） +对数（1+2f）和（D（3）cur（f，·））=对数（1- f） +日志（1+2f）。因此（6.3）相当于（1- f） +日志（1+2f）！=最大值<=>日志（1- f） +日志（1+2f）！=maxand再次使用Kelly公式（6.5），p=和q=得到fopt，D（3）cur=≈18%。图5:M=3和M=100的E（U（M）（f，·））+E（D（M）cur（f，·）），包括它们的近似。在图5中，我们可以看到M=3的优化问题（6.2）和（6.3）是完全等效的，甚至对于M=100，近似问题也是非常相似的。因此，（6.2）和（6.3）的解也应该接近。使用当前支取的风险规避分数交易19M 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 FOPT，D（M）CUR01667 01818 01739 01613 01839 01758 01685 01870 01802 01926M 20 25 30 40 60 70 80 90 100fopt，D（M）CUR01898 01980 02043 02094 02145 02197 02229 02258 02283 02302表1：示例6.3中2:1 tossgame中风险感知优化问题（6.3）的最佳分数。在表1中，我们看到了2:1掷骰游戏和一组选定的M值的最优解fopt，D（M）curof（6.3）。似乎随着M的增加，最优解接近最优方钻杆分数fopt，KellyV=25%。

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大多数88

2022-5-31 18:18:03

因此，为了更好地规避风险，可以使用表1中的最小最优解，即接近16%=：fopt，cur DD。在本节的其余部分中，我们将模拟2:1 tossgame，以查看上述两个分数的差异。以下每个模拟都使用1000的起始资本，并独立绘制了10000个2:1投掷游戏的实例。在图6中，我们可以看到n=1，…，的对数权益曲线，10.000黑色，作为参考，预期的对数-权益线如图6所示：与fopt的2:1掷骰游戏的对数-权益曲线，KellyV=25%，与fopt相比，cur DD=16%，20 S。MAIER Paape显然，根据fopt，cur DD=16%，财富增长低于fopt，KellyV=25%，但减少是合理的。问题仍然是，风险意识战略的风险方面有多好。在图7中，我们看到当前相对下降（负值）的曲线图，显示为所谓的“血液曲线”。图7：fopt 2:1掷骰游戏的当前相对下降（负值），KellyV=25%vs fopt，cur DD=16%。可以看到fopt的最大相对下降，KellyV大约在-99%，而对于fopt，cur DDit接近-此模拟为95%。更重要的是-80%成为风险规避策略的罕见事件，而Kelly最优f策略的情况并非如此。查看相对下降的分布（见图8），这将变得明确。图8：采用fopt的2:1掷骰游戏的当前相对支取（正）分布，KellyV=25%vs fopt，cur DD=16%使用当前支取的风险规避分式交易217结论将分式交易的目标函数拆分为“风险”和“机会”部分，有可能引入新的更具风险意识的目标函数。

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kedemingshi

2022-5-31 18:18:06

这是利用当前的支取进行的，并导致更具防御性的资金管理策略。然而，正如第6节中的模拟所示，即使是新的风险规避策略，对于用实际资金进行投资来说，也可能风险太大。另一种选择可能是在风险规避优化问题（6.2）中使用maximaldrawdown（在M笔交易中），而不是当前的提款。因此，对于最大水位下降，也需要与定理5.4类似的结果。这是否可能仍然是一个悬而未决的问题。到目前为止，这些策略只适用于单一资产组合。Vince[10]在其杠杆空间交易模型中引入了投资组合分馏交易理论。此外，Hermes[2]将分数交易的投资组合理论扩展到具有连续分布的交易结果。尽管如此，如何将风险规避策略用于同时交易许多不同资产的投资组合的问题仍然悬而未决。参考文献[1]T.Ferguson，加州大学洛杉矶分校统计部凯利有利比赛博彩系统。[2] A.Hermes，《分数交易的数学方法》，博士论文，亚琛RWTH马蒂克研究所（2016）。[3] J.L.Kelly，Jr.《信息速率的新解释》，《贝尔系统技术》。35:917-926, (1956).[4] Marcos Lopez de Prado、Ralph Vince和Qiji Jim Zhu，《有限投资期下的最优风险预算》，SSRN 2364092，（2013年）。[5] S.Maier–Paape，《最优分式交易的存在定理》，乌尔马蒂克研究所，亚琛RWTH，第67号报告（2013年）。[6] S.Maier–Paape，《最佳f和多元化》，国际技术分析联合会杂志，15:4-7，（2015年）。[7] Henry M.Markowitz，《投资组合选择》，FinanzBuch Verlag，（1991年）。[8] R。

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能者818

2022-5-31 18:18:09

Vince，《投资组合管理公式：未来、期权和股票市场的数学交易方法》，John Wiley&Sons，Inc.（1990）。[9] R.Vince，《货币管理数学，交易员风险分析技术》，威利金融版，约翰·威利父子公司（1992）。22 S.MAIER-PAAPE【10】R.Vince，《杠杆空间交易模型：协调投资组合管理策略和经济理论》，Wiley Trading，（2009）。[11] 拉尔夫·文斯（Ralph Vince）和齐吉·吉姆·朱（Qiji Jim Zhu），《投资规模的重要影响因素》，可查阅SSRN 2230874，（2013年）。[12] K.van Tharp，《van Tharp关于头寸规模的定义指南》，国际交易大师学会（2008年）。

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