然而，由于本文的参数化和方法与Gombani和Runggaldier（2013）的不同，这种差异不应比Gombani和Runggaldier（2013年，方程（2.4）-（2.6））中项结构PDE代入的Riccati方程与Gombani和Runggaldier（2013年，方程（3.12））中LQC方法得出的Riccati方程之间的差异更令人担忧。接下来，我们考虑R（t）的相关微分方程的解，其特例出现在定理3.3、4.3和4.7中，以及它们对债券、期货和远期价格的推论。推论A.4设R（t）为0=ddtR（t）+R（t）的解A+σ∑′[R（t）]′+R（t）+ B′[R（t）]′+R（t）-ψ（98）R（T）=θ。（99）那么R（t）可以写成R（t）=θ-ZTt[2B′Y（s）+ψX（s）]ds[X（t）]-1.（100）证明：结果可以通过简单的微分来验证，但是，我们提供了结构。取方程（98）的转置，应用U（t）=-（R（t）+[R（t）]我们可以写成t[R（t）]\'=（2U（t）σ′-A′[R（t）]′+K（t）（101），其中K（t）=（2U（t）B+ψ′）。设ψ（t）为（n×n）-矩阵，其列为构成基本解集todp（t）dt=（2U（t）σ′的向量-A′）p（t）（102），注意等式（102）是对应于等式（93）的伴随等式。然后，通过改变参数，在终端条件（99）下（101）的解是[R（t）]′=ψ（t）[ψ（T）]-1θ′-ZTt[ψ（s）]-1K（s）ds.C.B.Hyndman&X.Zhou 2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的显式解定义ψ（t，s）=ψ（t）ψ-注意ψ（t，s）是（102）的转移矩阵。我们还有，因为Φ（t，s）是（93）的转移矩阵，（102）是伴随矩阵，所以ψ（t，s）=[Φ（t，s）]-1.′= [Φ（s，t）]。因此，从（101）中，我们可以写出（t）=θ[ψ（t，t）]\'-ZTt[K（s）]′[ψ（t，s）]′ds=θΦ（t，t）-ZTt[2B′U（s）+ψ]′Φ（s，t）ds。

（103）根据定理A.1，我们有U（s）=Y（s）[X（s）]-1，Φ（s，t）=X（s）[X（t）]-1，X（T）=I，因此结果来自等式（103）。备注A.5由于如备注A.2所述，X（t）和Y（t）有明确的表示，因此可以明确计算积分（100）。致谢。Hyndman感谢加拿大自然科学与工程研究委员会（NSERC）和金融数学研究所（IFM2）的财政支持。参考资料。Abou Kandil、G.Freiling、V.Ionescu和G.Jank。矩阵Riccati方程：在控制和系统理论中。Birkh–Ausergrag，巴塞尔，2003年。D-H.安和B.高。期限结构动力学的参数非线性模型。牧师。财务部。螺柱。，12(4):721–762, 1999.D-H.Ahn、R.F.Dittmar和A.R.Gallant。二次项结构模型：理论与证据。牧师。财务部。螺柱。，15(1):243–288, 2002.B.D.O.安德森和J.B.摩尔。线性最优控制。普伦蒂斯·霍尔公司，新泽西州恩格尔伍德悬崖，1971年。巴内特。控制理论中的矩阵：线性规划的应用。Van Nostrand Reinhold Co.，伦敦，安大略省纽约市多伦多市。，1971年，J.-M.铋。鞅、Malliavin演算和H–ormander定理。在《随机积分》（Proc.Sympos.，Durham大学，Durham，1980）中，数学课堂讲稿第851卷。，第85-109页。柏林斯普林格，1981年。J.-M.铋。《数学课堂讲稿》第866卷。施普林格·维拉格，柏林，纽约，1981年b。附有英文摘要。N.博亚琴科和S.列文多斯基。多因子二次项结构模型的特征函数展开法。数学《金融》，17（4）：503–5392007。L.Chen、D.Filipovic和H.V.Poor。无风险和可违约利率的二次项结构模型。数学《金融》，14（4）：515-5362004。J·C·考克斯、J·英格索尔、乔纳森·E和S·A·罗斯。

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