由二次项产生的二次FBSDE的显式解

2022-5-7 00:19:36

基于二次项结构模型的二次FBSDE的显式解*+和周兴华——2014年12月11日摘要我们提供了某些具有二次增长的正倒向随机微分方程（FBSDE）的显式解。这些特殊的FBSDE与利率的二次期限结构模型相关联，并以零耦合债券价格为特征。由于高斯过程的二次泛函和非线性过程的线性泛函之间的关系，本文的结果自然与Hyndman（Math.Financ.Econ.2（2）：107-1282009）的短期结构模型的类似结果相关。与有限情形类似，显式解成立的充分条件是Riccati型常微分方程在固定区间内的可解性。然而，与具体情况相反，这些Riccati方程很容易与线性二次控制问题中出现的方程相关联。我们还考虑了风险资产价格的二次模型，并根据类似的FBSDE描述了资产的期货价格和远期价格。考虑一个例子，使用与FBSDE方法相关的基于随机流的方法，进一步强调af fi和二次模型之间的相似性。

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kedemingshi

2022-5-7 00:19:39

附录讨论了Riccati方程的可解性和显式解。关键词：二次项结构模型；正倒向随机微分方程；零息债券价格；二次价格模型；期货价格；远期价格；里卡蒂方程。JEL分类：E43、G12、G13数学学科分类（2000）：60G35、60H20、60H30、91B28、91B70*通讯作者：电子邮件：科迪。hyndman@concordia.ca+康科迪亚大学数学与统计系，加拿大魁北克蒙特勒伊州迈松纽韦大道1455号，H3G 1M8加拿大安大略省伦敦西部大学应用数学系，N6A 5B7C。B.Hyndman&X.Zhou QTSMs中二次FBSDE的显式解20141年12月11日引言一类重要的期限结构模型是期限结构模型（ATSMs）。ATSMI的定义特征是时间t的价格∈ 单位面值T的[0，T]到期零息债券，用P（T，T）表示，是一个n维因子过程的指数函数。也就是说，乘以0≤T≤ TP（t，t，Xt）=expB（t，t）′Xt+C（t，t）其中B（t，t）是n×1向量，C（t，t）是标量。因此，债券收益率是因子过程的一个明确函数。ATSMs的类别包括Vaˇsiˇcek（1977年）、Cox、Ingersoll和Ross（1985年）、Duf fie和Kan（1996年）、Duf fie等人（2003年）和许多其他模型。尽管ATSMs有一些吸引人的特性，但已经证明它有一些经验上的局限性。例如，Dai和Singleton（2000）表明，ATSM无法捕捉掉期收益率分布的某些方面，这表明ATSM可能忽略了经验观察到的非线性。

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2022-5-7 00:19:42

此外，Ahn和Gao（1999）通过实证证明，非固定期限结构模型优于单因素固定期限模型。为了解决ATSMs的局限性，几位作者提出使用二次项结构模型（QTSMs）。在QTSM中，零息票债券价格是因子过程Xt乘以0的指数二次函数≤T≤TP（t，t，Xt）=expXt′A（t，t）Xt+B（t，t）′Xt+C（t，t）其中A（t，t）是非奇异n×n矩阵，B（t，t）是n×1向量，C（t，t）是标量。Ahn等人（2002年）介绍了全面的QTSM，并研究了这些模型的特征。Chen等人（2004年）和Leippold and Wu（2000年）研究了与QTSMs相关的定价问题。关于QTSM的其他相关研究包括Levendorskii（2005）和Boyarchenko及Levendorskii（2007），这些研究进一步证明，与ATSM相比，QTSM可以捕捉经济因素之间的非线性，并在构建模型时提供更大的灵活性。此外，如Chen等人（2004年）和Leippold and Wu（2000年、2002年）所示，由于欧式期权的价格可以通过类似于ATSMs的傅里叶变换方法计算，因此QTSM在分析上是可处理的。Gaspar（2004）还考虑了债券、期货和远期价格的二次期限结构。在本文中，我们使用两种非传统但相关的定价方法来考虑QTSM。第一种方法，也是我们的主要关注点，是基于前向-后向随机微分方程（FBSDE），我们将其称为FBSDE方法，之前在Hyndman（2005、2007a、2009）的ATSMs中介绍过。通过首先用耦合非线性FBSDE的解描述因子过程和债券价格，然后证明FBSDE的存在性、唯一性和显式解，定价问题得以解决。

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2022-5-7 00:19:45

FBSDE方法的关键结果是Yong（1999）提出的一种方法的扩展，该方法用于证明特定耦合线性FBSDE到非线性FBSDE的存在性、唯一性和显式解，非线性FBSDE是ATSMs中债券定价问题的特征。Hyndman（2009年）的最终价格模型（APM）采用了相同的技术来描述期货价格和远期价格。在本文中，我们将FBSDE方法推广到风险资产的QTSMs和二次价格模型（QPM）的期货和远期价格背景下的债券定价问题。我们得到了表征这些价格的结果，这些结果与TSM情况类似，特别是提供了具有显式解的二次FBSDE的新例子。我们简要考虑的第二种方法基于Elliott和van der Hoek（2001）、Grasselli和Tebaldi（2007）以及Hyndman（2007b，2009）研究的随机流方法。该方法给出了某些ATSMs定价问题的封闭形式解。Geman和Yor（1993）和Yor（2010）已经证明，在某些限制条件下，CIR过程是贝塞尔过程，这意味着CIR过程和QTSM在某些情况下是等效的。基于这一事实，我们将随机流量法和FBSDE法的技术推广到QTSMs。论文的结构如下。第2节简要介绍了建模框架和符号。第3节回顾了零息票债券价格的FBSDE方法，并将Hyndman（2009）的结果从ATSMs扩展到了QTSMs。第4节考虑了风险资产价格是因子过程（QPM）的指数二次函数（包括零息票债券价格）的模型，并将FBSDE方法应用于期货价格和远期价格。第5节简要介绍了QTSMs的随机流量方法。

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2022-5-7 00:19:49

在一维情形下，我们给出了基于流方法的零息票债券价格的显式解。第6节总结并在附录中考虑了某些矩阵Riccati型微分方程的可解性，这为本文的主要结果提供了充分条件。C.B.Hyndman&X.Zhou在2014年12月11日的QTSMs中给出了二次FBSDE的显式解42预备知识和符号我们将开始分析风险中性过滤概率空间(Ohm, F，{Ft，t≥ 0}，Q）表示0≤T≤ T*T在哪里*是固定的、有限的投资期限，{Ft}是一个正确的、连续的、完全的、满足通常条件的过滤，Q是风险中性（鞅）测度。在这些假设下，如Shreve（2004，第411页）所述，到期日t时零息债券的价格为t≤T*由p（t，t）=EQ经验-ZTtrudu英尺（1）其中RTI是瞬时无风险利率。在指定无风险利率的动态后，可以用几种不同的方法计算条件预期（1）。关于风险中性概率空间(Ohm, F，{Ft，t≥ 0，Q）假设无风险利率是一个Rn值的{Ft}适应状态过程的函数，作为高斯随机微分方程（SDE）dXt=（AXt+B）dt+σdWt，X=X（2）的解给出，其中a=[ai，j]是一个（n×n）矩阵，B=[~bi]\'是一个（n×1）列向量，σ=[σi，j]是一个（n×n）矩阵，Wt=[W（1）t，·，W（n）t]′关于（Ft，Q）的标准布朗运动。

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2022-5-7 00:19:52

我们假设无风险利率RTI由因子过程的二次函数给出。假设2.1瞬时无风险利率过程由rt=r（Xt）给出，其中Xt是方程（2）的强解，对于x∈ Rn，r（x）=x′Γx+Rx+k，（3）其中Γ=[γi，j]是一个正半定义（n×n）-矩阵，r=[r，…，Rn]是一个（1×n）-行向量，k是一个标量，使得k≥RΓ-1R′。（4）对高斯短期利率模型（如Vaˇsiˇcek（1977）模型）的一个常见批评是产生负利率的可能性。然而，在这种情况下，由于Γ是正半定义，等式（3）中r（x）的下界是（k）-RΓ-当x=-Γ-1R′。因此，假设2.1给出的模型，在等式（4）的限制下，产生了t的非负瞬时利率过程rt=r（Xt）≥ 0.假设2.1和方程（1）现在可用于将前向-后向随机微分方程（FBSDE）方法扩展到Hyndman（2009）的ATSMs的期限结构建模，以适用于QTSMs。与Hyndman（2009）的主要区别在于，在本文中，因子过程的动力学由高斯（而非af fi fine）过程给出，而无风险最低利率是因子过程的二次（而非af fi fine）函数。这种扩展的动机是，n维Ornstein-Uhlenbeck过程的平方分量之和可以与CIR过程相识别，如Elliott和Kopp（2005，pp。

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2022-5-7 00:19:56

271-273），更一般地说，由Geman和Yor（1993）和Yor（2010）描述的布朗运动和平方贝塞尔（BESQ）过程之间的关系。3 QTSMs和FBS之间的联系我们简要回顾了前向-后向随机微分方程的推导，该方程通过考虑过程Shs=exp来表征因子过程和债券价格-Zsr（徐）杜andVs=EQ经验-中兴（徐）都财政司司长（5） C.B.Hyndman&X.Zhou在2014年12月11日的QTSMs中给出了二次FBSDE的显式解∈ [0，T]。假设2.1始终有效，但是，如果等式（5）定义的过程V是（Ft，Q）鞅，则无论因素过程的动力学或无风险率对因素的函数依赖性如何，表征更普遍有效。由于Hsis Fs可从方程（1）中测量，因此P（s，T）=（Vs/Hs）是显而易见的。根据鞅表示定理emshreve（2004，定理5.4.2），存在一个Fs适应过程Js=[J（1）s，···，J（n）s]，表示为一个（1×n）向量过程，例如vs=V+ZsJudWu。（6）由于恒生指数变化有限，因此满足了动态性，恒生指数=-r（Xs）Hsds。It^o的公式给出了Ys=（Vs/Hs）satifiesys=Y+Zsr（Xu）Yudu+ZsZudWuwhere Zu=（Ju/Hu）。从（3）中减去y的动力学，我们得到y=y-ZTsr（徐玉都）-ZTsZudWu。由于YT是T时的T到期零息票债券价格，我们从方程（1）中得出YT=P（T，T）=1。因此，在风险中性概率空间上(Ohm,F，{Ft，t≥ 0}，Q），我们对s有这个∈ [0，T]过程（Xs，Ys，Zs）满足系统Xs=X+Zs（AXu+B）du+ZsσdWu（7）Ys=1-ZTsr（徐玉都）-ZTsZudWu。（8）方程（7）-（8）构成正倒向随机微分方程（FBSDE）。

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kedemingshi

2022-5-7 00:19:59

呈现的特征说明了FBSDE（7）-（8）的适应解（Xs、Ys、Zs）的存在性和唯一性，如Pardoux和Peng（1992）所述（关于FBSDE的讨论，参见alsoEl Karoui等人（1997）和Ma and Yong（1999）。然而，由于z·是由鞅表示定理的应用而产生的，所以解的封闭形式是未知的。为了得到一个封闭形式的解，我们接下来应用一个测度变化，并考虑新测度下FBSDE的动力学。然后，将Yong（1999）的方法用于线性FBSDE的情况，以得到非线性FBSDE，我们能够证明存在唯一性，并提供显式解。回想一下远期措施的定义：定义3.1以零息债券为基准。定义∧T=P（0，T）-1exp-中兴（徐）都. （9）然后用qt（A）定义T向前测量qt:=ZA∧TdQ，A.∈ FT.定义∧t=E[∧t | FT]并注意∧t=EP（0，T）-1exp-徐都英尺= 五、-1E经验-徐都英尺= 五、-vt。（10） C.B.Hyndman&X.Zhou 2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的显式解将方程（10）替换为方程（6），以确定V∧s=V∧+sZJudWu。（11）（11）的两边除以vt∧的动力学由∧s=∧+sZJuVdWu=1+szjuvhuvuvudwu=1+sZY给出-1祖∧乌德乌。然后，根据Girsanov定理，过程{WTt}0≤T≤定义为WTT的Tde=Wt-tZZu′yudu是前向测度QT下的标准布朗运动。因此，在正向测量QT下，FBSDE（7）-（8）变为X=X+sZ（AXu+B+σZu′Yu）du+sZσdWTuYs=1-TZs余（许）+祖祖余杜-TZsZudWTufor s∈ [0，T]。特别是对于QTSM，r（Xt）由（2.1）给出，我们有s∈ [0，T]Xs=X+sZ（AXu+B+σZu′Yu）du+sZσdWTu（12）Ys=1-TZsYu[Xu′ΓXu+RXu+k]+ZuZu′Yu杜-TZsZudWTu。（13） FBSDE（12）-（13）是非线性的，包括BSDE驱动器中的两个二次项，并且完全耦合。

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2022-5-7 00:20:02

此外，鉴于BSDE驱动程序中的二次项（Xu′ΓXu），它不属于Hyndman（2009）中考虑的类别。根据里克特（2012）的说法，很少有二次BSDE的显式解可用的例子。显然，Hyndman（2005、2007a、2009）的研究结果提供了一些例子。Weshall证明，独立于已经介绍的构造，FBSDE（12）-（13）提供了另一个例子。与Hyndman（2005、2007a、2009）的结果类似，该解被解释为Riccati型ODE的解。Riccati方程和可解性的充分条件如下。引理3.2如果Γ∈ Rn×nis正半定义Riccati型微分方程0=ddtR（t）+（R′（t）+R（t））A-Γ+（R（t）+R′（t））σ′（R（t）+R′（t）），R（t）=0n×n（14）0=ddtR（t）+R（t）A+B′（R（t）+R′（t））-R+R（t）σ′（R（t）+R′（t）），R（t）=01×n（15）允许唯一解R（·）∈ Rn×n，R（·）∈ R1×t∈ [0，T]。证明：如果我们设置定理a.1的方程（86）-（87），则非对称矩阵Riccati方程（14）是附录中考虑的更一般方程的特例。因此，由于Γ是正半定义，我们拥有（Υ+Υ′）是正半定义，（Θ+Θ′）是负半定义。也就是说，定理A.1的条件是满足的，所以（14）给出的R（t）在区间[0，t]上有唯一解。然后，方程式（15）的解来自推论A.4，θ=0，ψ=R.C.B.Hyndman&X。2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解考虑到BSDE（13）的对数，简化了主要结果的证明。根据s到T的^o公式，我们得到logys=-TZs{ZuZu\'Yu+Xu\'Xu+RXu+k}du-Tzzzuyudwtu。

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2022-5-7 00:20:05

（16）定理3.3IfΓ∈ Rn×nis正半限定FBSDE（12）-（13）为allt提供了一种独特的适应性解决方案（Xt、Yt、Zt）∈ [0，T]由xt=X+tZ{[A+σ′（R（u）+R′（u））]Xu+B+σ′R′（u）}du+tZσdWTu（17）Yt=expXt′R（t）Xt+R（t）Xt+R（t）, （18） Zt=[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σYt（19），其中R（t）是方程（14）的解，R（t）是方程（15）的解，R（t）由R（t）给出-ZTtK-R（s）B-R（s）σ′[R（s）]\'-Trσ′R（s）σds。（20）证明：首先，我们必须证明（17）-（19）给出的（X，Y，Z）满足FBSDE（12）-（13）。用（19）除以（18），我们得到ztyt=[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σ。（21）将（21）代入（17），我们得到了由方程（12）给出的Xt的动力学。因此，由（17）给出的X满足SDE（12）。考虑函数f（t，x）=expx′R（t）x+R（t）x+R（t）. 利用Xtin（17）的动力学，将其^o公式应用于f（t，x），我们发现由（18）和（19）定义的Yt=f（t，Xt）和Zt满足{Xt′R（t）Xt+˙R（t）Xt+˙R（t）Xt+˙R（t）+Xt′（R（t）+R′（t）AXt+B′（R（t）+R′（t）Xt+[Xt′（R（t）+R′（t）+R′（t）+t）AXt+tσ′R（t）σ+[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σ′[（R′（t）+R（t））Xt+R′（t）]Ytdt+Yt[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σdWTt（22），其中˙Rk（t）=ddtRk（t），k=0,1,2。将（22）中的（21）替换为[Xt][R（t）+R′（t）A+（R（t）+R′（t））σ′（R′（t）+R（t））]Xt+[˙R（t）+B′（R（t）+R′（t）+R（t）A+R（t）σ′（R′（t）+R（t））]Xt+ztztzt+Ytσ′R（s）σ+R（t）σ′R′（t）}Ytdt+ztdwt。（23）将等式（14）-（15）和（20）代入等式（23），得到由（17）-（19）确定的YT=YT-TZt{Yu[Xu′ΓXu+RXu+k]+ZuZu′Yu}du-Tzudwtu。根据（14）-（15）和（20）在t=t时的边界条件，我们从方程（18）中得出，t=exp（XT′R（t）XT+R（t）XT+R（t））=exp（XT′n×nXT+01×nXT+0）=1。C.B.海德曼和X。

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能者818

2022-5-7 00:20:09

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解（X，Y，Z）由（17）-（19）给出，满足FBSDE（12）-（13）。其次，我们证明了解的唯一性。设（X，Y，Z）为FBSDE（12）-（13）的任意适配解。定义“Yt=Xt′R（t）Xt+R（t）Xt+R（t），“Zt=[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σ′Yt，然后“Zt”Yt=[Xt′（R（t）+R′（t））+R（t）]σ。（24）将It^o公式应用于f（t，x）=x′R（t）x+R（t）x+R（t）。式中，X由（12）给出，以确定f（t，Xt）=d log\'Yt={Xt′˙R（t）Xt+˙R（t）Xt+˙R（t）+X′t（R′（t）+R（t）AXt+R（t）AXt+B′（R（t）+R′（t）Xt+R（t）B+[Xt′（R′（t）+R（t）+R（t））+R（t）]σ′R（s）σ} dt+[Xt′（R′（t）+R（t））+R（t）]σdWTt。（25）将等式（14）、（15）、（20）和（24）代入等式（25）中，以确定log`Yt={Xt′ΓXt+RXt+k-\'Zt\'Zt\'Yt+\'Zt\'YtZt\'Yt}dt+\'Zt\'ytdwt和log\'Yt=0。Solog’Yt=-TZt{Xu′ΓXu+RXu+k-“祖祖瑜”+“祖祖瑜”都-TZt“Zu”YudWTu。（26）从方程式（16）中减去方程式（26）得到最终结果-日志“Yt=-祖祖瑜-“祖祖语”于语+“祖祖语”于语”都-TZt{ZuYu-“祖”于}dWTu=-TZt{（祖语）-祖语-\"祖语\"}du-TZt（祖语）-\"祖语\"dWTu。（27）定义^Yt=logYt-对数“Yt^Zt=ZtYt-“Zt”Yt。然后方程（27）变成^Yt=-TZt^Zu^Zu\'du-TZt^ZudWTu。（28）根据Kobylanski（2000，定理2.3）的结果，BSDE（28）允许唯一的适应解（^Yt，^Zt）=（0,01×n）。所以我们有Yt=\'Yt和Zt=\'Zt。这意味着FBSDE（12）-（13）的任何适配解（X，Y，Z）必须满足（17）、（18）和（19）。由于Yt=P（t，t），定理3.3的一个简单推论给出了零息票债券价格是因子过程的指数二次函数。推论3.4如果因子过程由（2）给出，短期利率过程由假设2.1表示，则零息债券价格具有指数二次型，P（t，t）=exp{Xt′R（t）Xt+R（t）Xt+R（t）}，其中R（t）、R（t）和R（t）分别解方程（14）、（15）和（20）。C.B.海德曼和X。

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2022-5-7 00:20:12

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解备注3.5 Riccati型微分方程（14）-（15）和（20）的解的存在性和唯一性与Gombani和Runggaldier（2013）的解类似，其中QTSM的特征是线性二次控制（LQC）问题。事实上，关于与LQC问题相关的Riccati方程的可解性，人们知道的要多得多，而在ATSMs中则是如此。我们将QTSM问题中出现的Riccati方程的显式可解性的详细讨论推迟到附录中，在附录中，我们考虑更一般的方程，包括（14）-（15），以及期货和远期价格结果中出现的方程，作为特例。接下来，我们考虑一个风险资产价格模型，该模型允许我们应用类似的技术来描述资产的期货价格和远期价格。4二次价格模型将风险资产视为因素过程的指数二次函数（2）。这类定价过程允许考虑零息债券的期货和远期合约，其中债券价格在推论3.4中给出。假设4.1假设因子过程的风险中性动态由等式（2）给出，且时间t时的资产S价格∈ [0，T]由S（T，Xt）给出，其中（T，x）=expx′a（t）x+b（t）x+c（t）（29）其中a（t）∈ Rn×n，b（t）∈ R1×n和c（t）∈ R在区间[0，T]上是连续的，a（T）是负半定义。等式（29）定义了二次价格模型（QPM）。接下来，我们扩展上一节和Hyndman（2009）的结果，以考虑与QPM相关的期货价格和远期价格。4.1期货价格考虑T——风险资产S在T时的期货价格∈ [0，T]定义为g（T，T）=等式[S（T，XT）|Ft]，其中S（T，x）由等式（29）给出。

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kedemingshi

2022-5-7 00:20:15

与上一节的结果和Hyndman（2009）的结果类似，我们可以将因子过程和期货价格描述为FBSDE的解。定义Yt=G（t，t），这样，根据鞅表示定理，存在一个Ft自适应过程Zt=[Zt，…，Znt]，使得Yt=Y+ZtZudWu。（30）注意，Zu是一个（1×n）向量值过程。因此，Yt-YT=-ZTtZudWu。由于YT=G（T，T）=S（T，XT），我们对期货价格YT=S（T，XT）有如下BSDE-ZTtZudWu。取N（·）=exp（R·R（Xu）du）G（·，T）作为数值，通过氡-尼科德姆导数∧T=dPGdQ确定测量值pgFT=e-RTr（Xu）duN（T）N（0）=G（T，T）G（0，T）=S（T，XT）G（0，T）。（31）C.B.Hyndman&X.Zhou在2014年12月11日的QTSMs中给出了二次FBSDE的显式解，并从方程（30）和（31）中注意到∧t=EQS（T，XT）G（0，T）英尺=G（t，t）G（0，t）=YtY。将方程（30）除以Ygives，得出∧皮重∧t=1+ZtZuYdWu=1+ZtYuYZuYudWu=1+Zt∧uZuYudWu的动力学。然后，Girsanov定理给出了过程{WGt}0≤T≤Tde定义byWGt=Wt-ZtZu′yudu是一个标准的（Ft，PG）-布朗运动。将XT和YT的动态写入PGwe，类似于Hyndman（2009），我们获得了期货价格XT=X+Zt的以下二次FBSDEAXu+B+σZu′Yudu+ZtσdWGu（32）Yt=S（T，XT）-Ztzuzu’Yudu-ZTtZudWGu。（33）虽然X的动力学是高斯的，因此是Hyndman（2007b，2009）中考虑的一个特例，但由于终端条件的指数二次型，Y的动力学不同。然而，根据yndman（2009）和上一节的方法，我们能够证明以下结果，它给出了耦合二次FBSDE（32）-（33）的显式解。

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能者818

2022-5-7 00:20:18

该证明独立于FBSDE的构造，类似于定理3.3的证明和Hyndman（2009）的结果，因此被省略。我们首先给出了Riccati方程可解的充分条件。引理4.2如果a（T）∈ Rn×nis负半限定Riccati型微分方程0=ddtRG（t）+[RG（t）]′+RG（t）A+[RG（t）]′+RG（t）σσ′[RG（t）]′+RG（t）, RG（T）=a（T）（34）0=ddtRG（T）+RG（T）nA+σ′[RG（t）]′+RG（t）o+B′[RG（t）]′+RG（t）, RG（T）=b（T）（35）允许唯一解RG（T）∈ Rn×nand RG（t）∈ R1×t∈ [0，T]。证明：结果如下，类似于引理3.2的证明，如果我们在方程（86）-（87）中设置了定理a.1的Υ=0和Θ=a（T），在推论a.4中设置了ψ=0和θ=b（T）。定理4.3如果a（T）∈ Rn×nis负半定义和S（t，x）由等式（29）给出。FBSDE（32）-（33）有一个唯一的解（x，Y，Z），由xt=x+Ztn给出A+σ∑′[RG（u）]\'+RG（u）徐+B+σ′[RG（u）]nodu+ZtσdWGuYt=expXt′RG（t）Xt+RG（t）Xt+RG（t）Zt=hXt′[RG（t）]′+RGt（t）+ 其中，RG（t）是方程（34）的解，RG（t）是方程（35）的解，RG（t）=c（t）+ZTtRG（u）B+RG（u）σ′[RG（u）]′+Trσ′RG（u）σ杜。（36）C.B.Hyndman&X.Zhou在假设4.1条件下，期货价格具有指数二次形式g（t，t）=expXt′RG（t）Xt+RG（t）Xt+RG（t）其中RG（t）和RG（t）是方程（34）-（35）的解，RG（t）由（36）给出。备注4.5请注意，Riccati方程（34）-（35）与债券价格相关的方程类似。

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2022-5-7 00:20:21

我们把（34）-（35）作为特例的更一般方程的存在性、唯一性和显式解的讨论推迟到附录中。接下来我们考虑风险资产的远期价格。4.2远期价格指T时间点风险资产的远期价格∈ [0，T]isF（T，T）=EQ[exp-RTtr（徐）杜S（T，XT）|Ft]P（T，T）（37），其中P（T，T）是在T时到期的零息债券在T时的价格。在无风险利率是确定性的情况下，期货和远期价格是相同的。因此，我们假设利率如第3节所示，风险资产价格S如等式（29）所示。此外，我们假设风险资产支付股息收益率（或便利收益率），因此贴现资产价格不是将等式（37）的分子减少为风险资产价格的Q鞅。与第3节中债券价格和Hyndman（2009）中APM中远期价格的情况类似，我们描述了公式（37）的因子过程和分子，即在时间T交付一单位风险资产的远期承诺的风险中性现值，即FBSDE。defi neVs=EQ[exp-中兴（徐）都S（T，XT）|Fs]和hs=exp-Zsr（徐）杜.让Ys=Vs/hs，注意Ys=F（s，T）P（s，T）。由于VS是一个鞅，根据鞅表示定理，存在一个适应过程Jt=[Jt，…，Jnt]，表示为一个（1×n）向量值过程，例如VS=V+ZsJudWu。

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2022-5-7 00:20:25

（38）应用It^o公式确定Yt满足BSDEYt=s（T，XT）-ZTtr（徐玉都）-ZTtZudWu（39），其中Zu=Ju/Hu。定义N（·）=F（·，T）P（·，T）的风险中性度量，用QF表示，用Radon-Nikodym导数ΓT=dQFdQ表示FT=F（T，T）P（T，T）F（0，T）P（0，T）exp-中兴（徐）都=S（T，XT）F（0，T）P（0，T）exp-中兴（徐）都.然后，利用Γt=EQ[Γt|Ft]，我们得到了Γt=Vt/Vand，通过等式（38），Γt=1+ZtΓuZuYudWu。C.B.Hyndman&X.Zhou在2014年12月11日的QTSMs中通过Girsanov定理给出了二次FBSDE的显式解，WFt=Wt-ZtZu′Yudu（40）是一个（Ft，QF）-布朗运动。使用方程（40）写出方程（7）和（39）给出的（X，Y）的动力学，在量度qf下，我们得到以下耦合二次FBSDEXt=X+ZtAXu+B+σZu′Yudu+ZtσdWFu（41）Yt=S（T，XT）-ZTtr（许）余+祖祖余杜-ZTtZudWFu。（42）请注意，FBSDE（41）-（42）与Hyndman（2009）中针对APM提出的FBSDE类似，不同之处在于X的挥发性动力学更简单，而函数r和S作为Xt的函数，分别是二次函数和指数二次函数，而非函数和指数二次函数。

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2022-5-7 00:20:28

与第3节中针对APMs的bondand Hyndman（2009）案例的结果类似，以下结果给出了二次FBSDE（41）-（42）的显式解，该解与给出的构造无关，因此我们省略了证明。引理4.6如果Γ∈ Rn×nis正半定义和a（T）∈ Rn×nis负半限定，然后Riccati型微分方程0=ddtRF（t）+[RF（t）]′+RF（t）A+[RF（t）]′+RF（t）σσ′[RF（t）]′+RF（t）-Γ，RF（T）=a（T）（43）0=ddtRF（T）+RF（T）a+B′[RF（t）]′+RF（t）+ RF（t）σ′[RF（t）]′+RF（t）-R、 RF（T）=b（T）（44）承认独特的解决方案RF（T）∈ Rn×nand射频（t）∈ R1×t∈ [0，T]。证明：结果如下，类似于引理3.2的证明，如果我们在方程（86）-（87）中设置定理a.1的Υ=Γ和Θ=a（T），在推论a.4中设置ψ=R和θ=b（T）。定理4.7如果Γ∈ Rn×nis正半定义，a（T）∈ Rn×nis负半定义，r（x）由方程（2）给出，and（t，x）由方程（29）给出，然后FBSDE（41）-（42）有一个唯一的自适应解（x，Y，Z），由xt=x+ZtnhA+σ′给出[RF（u）]′+RF（u）伊苏+B+σ′[RF（u）]\'odu+ZtσdWFu（45）Yt=expXtRF（t）Xt+RF（t）Xt+RF（t）（46）Zt=hXt′[RF（t）]′+RF（t）Xt+[RF（t）]iσYt（47），其中RF（t）是方程（43）的解，RF（t）是方程（44）的解，RF（t）=c（t）-ZTtK-RF（u）B-RF（u）σ′[RF（u）]′+Trσ′[RF（u）]σ杜。（48）推论4.8在假设2.1和4.1的条件下，远期价格是因子F（t，t）=exp的指数二次函数Xt′RF（t）Xt+RF（t）Xt+RF（t）P（t，t）=expXt′RF（t）Xt+RF（t）Xt+RF（t）exp（Xt′R（t）Xt+R（t）Xt+R（t）），其中RF（t）和RF（t）是方程（43）-（44）的解；RF（t）由等式（48）给出；R（t）、R（t）和R（t）是方程（14）、（15）和（20）的解。C.B.海德曼和X。

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2022-5-7 00:20:31

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解备注4.9比较定理3.3、4.3和4.7，我们看到，RF（t）和RF（t）的Riccati型方程（43）-（44）以及RF（t）的积分，如果我们进行某些参数限制，作为特例包括债券和期货价格的相应项。这种一般形式类似于线性二次控制（LQC）的Riccati型微分方程。此外，这些结果表明，我们的结果与Gombani和Runggaldier（2013）基于LQC的结果相符。我们讨论了一般Riccati型方程的显式可解性，其中（43）-（44）作为特殊情况，以及与附录中LQC的对应关系。在下一节中，我们简要介绍了toElliott和van der Hoek（2001）提出的随机流方法在QTSMs中的应用示例，该方法最初是在ATSMs的背景下开发的。与Hyndman（2009）第4节中针对ATSMs提出的方法类似，QTSMs随机流量的一般公式可针对QTSMs开发，并扩展至类似于Hyndman（2009）第5.2节和第5.4节中针对APMs提出的扩展的QPM。然而，与Elliott和van der Hoek（2001）和Hyndman（2007b）中考虑的由高斯因子驱动的非线性模型相比，我们在高斯因子驱动的二次模型的背景下考虑FLOWS方法的主要动机是为了表明，为了使该方法有效，必须改变度量。

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2022-5-7 00:20:34

这个目标可以通过考虑一维情况下的一个例子来实现。5随机流动Hyndman（2009）引入的描述ATSM中债券价格的FBSDE方法，并在本文中扩展到QTSM，其动机是Elliott和van der Hoek（2001）引入的随机流动方法。随机流动法将t到期零息债券在t时的价格表示为因子过程时间t时x值的函数，这种依赖关系表示为P（t，t，x）。通过取P（t，t，x）对初始条件的导数，然后利用随机流及其雅可比矩阵的性质，可以将P（t，t，x）表示为一个序数微分方程（ODE），它阐明了债券价格对因子过程函数依赖的性质。在Elliott和van der Hoek（2001）中，当因子过程是高斯的，利率是因子过程的一个函数时，因子过程对x的导数是确定性的，这一事实导致P（t，t，x）的线性常微分方程。在这种情况下，债券价格立即成为因素过程的指数函数。这些结果被扩展用于描述Hyndman（2007b）中高斯因子过程的指数函数资产的期货和远期价格。然而，在Elliott和van der Hoek（2001）中，当因子的动力学由一个非线性过程给出，且利率是因子的一个非线性函数时，因子过程中x的导数不是确定性的，这一事实需要改变度量，以获得债券价格满足的线性常微分方程。该线性常微分方程的系数是因子过程导数函数的条件期望。

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2022-5-7 00:20:38

在与CIR模型相对应的一维情况下，随机流的半群性质可以用来表明该系数是确定性的。不幸的是，在因子过程是多维的情况下，Elliott和van der Hoek（2001）的keyapproximation引理的证明存在差距，该引理用于声称线性ODE的系数是确定的（见Hyndman（2009，2011））。Hyndman（2009）的FBSDE方法证明，作为主要结果的推论，随机流动方法中债券价格的线性常微分方程系数实际上是确定性的。在高斯因子过程的情况下，利率是因子过程的二次函数，可以考虑一维情况下的随机流动方法。我们发现，尽管因子过程是高斯过程，且流量的导数是确定性的，但为了获得债券价格的ODE，仍然需要改变度量。假设在风险中性概率空间上给出了因子过程的动力学Xt(Ohm,F，{Ft，t≥ 通过一维模型dxt=β（α-Xt）dt+σdWt（49）C.B.Hyndman&X.Zhou 2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的显式解，以及由因子过程的二次函数r（Xt）=cXt+bXt+a（50）给出的无风险利率rtis（49）的解从X开始∈ 时间t的R≥ 也就是说，Xt，xssatis fiesxt，xs=x+sZtβ（α-xu，xu）du+σsZtdWu，s∈ [t，t]。我们将Xt、XS称为与因素过程相关的随机流。包括Elworth（1978）、Bisit（1981a，b）和Kunita（1984，1990）在内的许多作者对随机流动进行了广泛研究。地图x→ Xt，xsis Q-几乎可微及导数满足性Xt，xsx=1-βZst徐先生xdu，s≥ t（51）Protter（1990，定理39，p 250）。

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2022-5-7 00:20:41

方程（51）可以独立于x求解。如果Dtssatis fiesDTS=1-βsZtDtudu（52）那么（52）的唯一解是指数=e-β（s）-t）。（53）即Dts=Xt，xsx不依赖于所有0的x≤T≤ s≤ T根据Xt的Markov性质，P（t，t）=P（t，t，Xt），其中P（t，t，x）=E经验-TZtr（文，徐）杜. （54）继Elliott和van der Hoek（2001）和Hyndman（2007a，b，2009）之后，采用（54）对x的导数，我们发现P（t，t，x）x=E-TZtr′（Xt，xu）徐先生xdu经验-TZtr（文，徐）杜= EL（t，t，x）exp-TZtr（文，徐）杜, （55）其中l（t，t，x）=-TZt（2cXt，xu+b）Dtudu。由于b（x，t）：=β（α），我们可以交换期望和微分的顺序-x） σ（x，t）：=σ满足x中的线性增长条件和全局Lipschitz条件，b（x，t）和σ（x，t）的偏导数是连续的，满足多项式增长条件，函数-RTtr（x）du具有满足多项式增长条件的两个连续导数（见Friedman（1975年，第117-123页））。与Elliott、van der Hoek（2001）和Hyndman（2007b）的工作不同，在高斯因子驱动的ATSMs的情况下，我们可能不会从方程（55）中的期望中考虑L（t，t，x），因为该函数依赖于xu。因此，尽管假设2.1给出的瞬时利率模型是由高斯因素驱动的，但我们在Elliott和van der Hoek（2001）和Hyndman（2007a，2009）中引入了概率测度的变化。也就是说，为了将公式化方程（55）作为一个常微分方程，我们表达了前向测度下的条件期望。这种选择的动机是平方高斯过程和前面提到的CIR过程之间的关系。C.B.海德曼和X。

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能者818

2022-5-7 00:20:45

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的显式解回顾了正向测量的定义3.1，并注意到，对于任何FT可测量的随机变量，ET |~n|∞ Bayes定理的一般版本（见Karatzas和Shreve（1991年，引理3.5.3））给出了thatET[~n| Ft]=∧-式（9）给出∧T，从式（10）我们可以写出∧T=exp-tRr（徐）杜P（t，t）P（0，t）。（57）将等式（9）和（57）代入等式（56），注意expRtr（徐）杜英尺是可测量的，到英尺P（t，t）=Eexp-TZtr（Xt，Xtu）du英尺. （58）因此，在等式（58）中，我们发现P（t，t，x）十、x=Xt=P（t，t，Xt）ETL（t，t，Xt）英尺（59）类似于债券价格的线性颂歌。为了解方程（59），我们必须首先考虑条件期望对Xt的依赖性。为了推导正测度下XuXt的动力学，我们必须使用Girsanov定理刻画QT下的布朗运动。正如inElliott和van der Hoek（2001）所说，我们可以证明∧t=∧-tZΘu∧udWu，其中Θu=-σETL（u、T、Xu）傅. （60）因此，根据Girsanov定理，由wtt=Wt+tZΘudu（61）定义的过程wtt是关于前向测度QT的标准布朗运动。使用方程（60）-（61）在正向测量下，Xt，xs的动力学为Xt，xs=x+sZt{β（α-Xt，xv）-σΘv}dv+σsZtdWTv。（62）将It^o的乘积规则应用于（52）给出的dts和（62）给出的Xt，xs的动力学。然后，由于Dts（x）是有限变化的，我们有xt，xsDts=x+sztdtvdx，xv+sZtXt，xvdDtv=x+αβsZtDtvdv-2βsZtXt，xvDtvdv+σsZtDtvdWTv-σsZtDtvETTZv（2cXv，xv+b）Dvvx=XvdvFvdv。（63）C.B.Hyndman&X。

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2022-5-7 00:20:49

2014年12月11日，QTSMs中二次FBSDE的周显式解在x=Xt时评估方程（63），并在正向测量QTto FINDET[Xt，XtsDts | Ft]=Xt+sZt下采用Ft条件期望αβ数字电视-2βET[Xt，XtvDtv | Ft]-σTZvET[DtvET[（2cXv，Xvv+b）Dvvdv | Fv]| Ft]dv。（64）根据条件期望的塔性质，自t≤ 五、≤ s≤ T，方程（64）二重积分中的条件期望变成[DtvET[（2cXv，Xvv+b）Dvv | Fv]| Ft]=ET[Dtv（2cXv，Xvv+b）Dvv | Ft]=2cET[dtvdvvvvvvvxv，Xvv | Ft]+bdtvdv，（65），其中我们使用了Dvvis≤ 五、≤ 五、≤ T根据我们的流动特性，对于t≤ 五、≤ 五、≤ T，Xv，Xvv=Xv，Xt，Xtvv=Xt，Xtv（66），根据等式（53）或链式法则，我们得到了dtvdvv=e-β（v）-t） e-β（v）-v） =e-β（v）-t） =数字电视。（67）然后，将方程（65）和（67）代入方程（64）以确定[Xt，XtsDts | Ft]=Xt+αβsZtDtvdv-2βsZtET[Xt，XtvDtv | Ft]dv-bσszttzvdvdv-2cσsZtTZvET[Xt，XtvDtv | Ft]dvdvv。（68）对于t≤ 五、≤ 定义g（T，v，x）=ET[Xt，xvDtv]。然后，根据Xt的马尔可夫性质，~g（t，v，Xt）=ET[Xt，XtvDtv | Ft]和等式（68），我们得到了~g（t，s，Xt）=Xt+αβsZte-β（v）-t） dv-2βsZt~g（t，v，Xt）dv-bσsZtTZve-β（v）-t） dvdv-2cσsZtTZv＠g（t，v，Xt）dvdv。（69）方程（69）可通过考虑x来求解∈ R、非线性积分方程g（t，s，x）=x+αβsZte-β（v）-t） dv-2βsZtg（t，v，x）dv-bσsZtTZve-β（v）-t） dvdv-2cσsZtTZvg（t，v，x）dvdvv。（70）对方程（70）进行两次关于s的微分，我们得到以下等价ODEg′（t，s，x）=-αβe-β（s）-（t）-2βg′（t，s，x）+bσe-β（s）-t）带边界条件的+2cσg（t，s，x）（71）sg（t，t，x）=x（72）g′（t，t，x）=αβ-2βx-bσTZte-β（v）-t） dv-2cσTZtg（t，v，x）dv。（73）常微分方程（71）有一般解g（t，s，x）=c（x）e(-β+√β+2cσ）s+c（x）e(-β-√β+2cσ）s+bσ-αβ-β-2cσ·e-β（s）-t） C.B.海德曼和X。

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2022-5-7 00:20:54

Zhou在2014年12月11日的QTSMs中给出了函数c（x）和c（x）仅依赖于x的二次FBSDE的显式解。应用边界条件（72）-（73），我们发现c（x）=αβ+σbη-2cσ（bσ）-αβ）βη·（e）-β（T-（t）-1） +x(-β+η）e(-β-η）（T）-t） +（bσ）-αβ）βη+（bσ）-αβ)(-β+η）η·e(-β-η）（T）-t） e(-β+η）Thβ+η+(-β+η）e2η（t-T）i，c（x）=αβ+σbη-2cσ（bσ）-αβ）βη·（e）-β（T-（t）-1） +x(-β-η） e(-β+η（T）-t） +（bσ）-αβ）βη+（bσ）-αβ)(-β-η） η·e(-β+η（T）-t） e(-β-η） Thβ-η+ (-β-η） e2η（T）-t） i，其中η=pβ+2cσ。因此，由于在x=Xt时，g（t，s，Xt）满足方程（69），我们通过边值问题（71）-（73）的唯一性得到了0的thatET[Xt，XtsDts | Ft]=g（t，s，Xt）（74）≤ T≤ s≤ T也就是说，ET[Xt，XtsDts | Ft]是Xt的确定函数。考虑等式（59）中的条件期望。根据富比尼定理和方程（74），我们得到了L（t，t，Xt）英尺= -TZtET（2cXt，Xtu+b）Dtu英尺du=-bTZtDtudu-2cTZtg（t，u，Xt）du=c（Xt）(-β-η） σ·（e）(-β+η）T-e(-β+η）t）+c（Xt）(-β+η）σ·（e）(-β-η） T-e(-β-η） t）+bη-2c（bσ）-αβ）βη·（e）-β（T-（t）-1).（75）在（59）中替换（75）并写出P（t，t，x）十、x=Xt=P（t，t，Xt）（A（τ）Xt+B（τ））（76）式中（τ）=2c（e2ητ）-1)β-η+ (-β-η） e2ητ，（77）B（τ）=hαβ+（Bσ）-αβ）βηih(-β-η）（e2ητ）-1) -2ηi+（bσ）-αβ)(β-η） η·（e2ητ）-1） +2ηeητ·bση-2cσ（bσ）-αβ）βησh（β+η）（e2ητ）-1） +2ηi（78），其中τ=T-t、常微分方程（76）的解P（t，t，Xt）=expn·A（τ）Xt+B（τ）Xt+C（t，t）o，（79）其中C（t，t）是Rto R的一个可微函数。根据费曼-卡克定理卡拉茨和什里夫（1991），P（t，t，x）在（54）中定义了柯西问题0=P（t，t，x）t+β（α）-十）P（t，t，x）x+σP（t，t，x）(十）-（cx+bx+a）P（t，t，x），（80）1=P（t，t，x）。（81）在PDE（80）中替换（79）并除以P（t，t，Xt），我们有XtA（τ）t+Xt·B（τ）t+C（T，T）t+（βα）-βXt）[A（τ）Xt+B（τ）]+σh（A（τ）Xt+B（τ））+A（τ）i=cXt+bXt+A（82）C.B.海德曼&X。

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2022-5-7 00:20:57

2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的周显式解比较方程（82）两侧的系数，得到C（T，T）0的常微分方程=C（T，T）t+βαB（τ）+σB（τ）+σA（τ）-a（83）0=C（T，T）。（84）求解常微分方程（83）-（84），并表示C（τ）=C（T，T），我们有C（τ）=bσ-2αβb-2αβc2ητ+对数2ηe（η+β）τ（β+η）e2ητ+η-β+2c（bσ）-αβ）+2β（b+2cα）（bσ）-αβ）（β+η）eητ-βσ（b+2cα）η（β+η）h（β+η）e2ητ+η-βi+βσ（b+2cα）-2c（bσ）-αβ)-2β（b+2cα）（bσ-αβ)(β+ η)2η(β+ η)-aτ。（85）总结本节的材料，我们得到以下结果，表明P（t，t，Xt）是因子过程的指数二次函数。t的定理5.1∈ [0，T]对于所有x∈ R、 P（t，t，Xt）=exp·A（τ）Xt+B（τ）Xt+C（τ）,其中A（τ）、B（τ）和C（τ）分别由（77）、（78）和（85）给出。马尔可夫性质P（t，t）=P（t，t，Xt）给出了零息票债券价格的以下特征。推论5.2如果因子过程由（49）给出，短期利率由函数（50）表示，则零息债券价格isP（t，t）=expn·A（τ）Xt+B（τ）Xt+C（t，t）o，其中A（τ）、B（τ）和C（τ）分别由（77）、（78）和（85）给出。推论5.2与Nawalkha等人（2007年，第487-488页）的结果一致。在高维情况下，随机流动方法需要在模型中添加一些参数限制，类似于格拉塞利和特巴尔迪（2007）研究的ATSM情况。

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2022-5-7 00:21:01

尽管如此，本节中考虑的示例说明了具有高斯因子过程的一维QTSM中的随机流动方法与一维ATSM模型的相似性，并为改变度量的必要性提供了进一步的动机。6结论在本文中，我们将Hyndman（2009）在有限期结构模型背景下引入的FBSDE方法扩展到二次期结构模型（QTSM），其中因子过程是高斯的，无风险利率是因子过程的水龙函数。在刻画了因子过程和债券价格在前向测度下的耦合二次FBSDE之后，我们证明了FBSDE的存在性和唯一性，并给出了一个显式解。该方法提供了具有显式解的二次FBSDE的新示例。我们将FBSDE方法推广到考虑风险资产的期货价格和远期价格，现货价格由因子过程的指数二次函数给出，我们称之为二次价格模型。我们的结果受到Elliott和van der Hoek（2001）的随机流方法的推动，就像ATSM的情况一样，我们简要考虑了一维QTSM，以说明为什么测量技术的改变是必要的，即使这些因素是高斯的。本文的结果可以很容易地推广到考虑系数随时间变化的高斯因子模型。C.B.Hyndman&X.Zhou在QTSMs 2014A年12月11日附录中给出了二次FBSDE的显式解。我们考虑了一个非对称Riccati型矩阵微分方程的可解性，其中包括定理3.3、4.3和4.7中给出的FBSDE可解性的必要条件，以及它们的推论，这些推论刻画了债券、期货和远期价格。

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2022-5-7 00:21:04

虽然本附录中给出的结果比我们的目的所需的结果更一般，但我们认为它作为可解非对称Riccati型方程的一个例子具有独立的意义。证明方法包括将非对称Riccati型微分方程分解为Gombani和Runggaldier（2013）采用的线性二次型最优控制（LQC）的经典对称矩阵Riccati方程和一个斜对称矩阵的和。有关LQC的Riccati方程的更多详细信息，请参见Anderson and Moore（1971）和Barnett（1971）。关于Riccati方程的全面信息可在Lancaster和Rodman（1995年）和Abou Kandil等人（2003年）中找到。我们将我们的结果与Gombani和Runggaldier（2013）中提出的QTSM债券价格相关。然而，我们的方法和模型参数化与Gombani和Runggaldier（2013）不同，因此我们得到的结果略有不同。然而，正如下一个结果所显示的那样，两者之间存在着密切的关系。定理A.1考虑R（t）dR（t）dt+（[R（t）]′+R（t））A+（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））的一般（n×n）矩阵Riccati型微分方程-Υ=0（86）R（T）=Θ（87），其中（Υ+Υ′）为正半定义，（Θ+Θ′）为负半定义。然后（i）在整个区间[0，t]上始终存在（86）-（87）的解R（t），并且可以表示为R（t）=-（U（t）+V（t））（88）其中U（t）满足dDTU（t）+U（t）A+A′U（t）-2U（t）σ′U（t）+Q=0（89）U（t）=C（90），其中Q=（Υ+Υ′）和C=-（Θ+Θ′）和V（t）由V（t）=C+ZTt[U（s）A给出-A′U（s）+Q]ds（91）式中Q=（Υ-Υ′）和<<C=-(Θ-Θ′).（ii）（89）-（90）的解总是存在于区间[0，T]中，它可以表示为U（T）=Y（T）X（T）-其中X和y满足线性微分方程ddtX（t）Y（t）=A.-2σσ′-Q-A′X（t）Y（t）X（T）Y（T）=IC.

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2022-5-7 00:21:07

（92）此外，如果Φ（t，s）表示与ddtx（t）=[A]相关的基本解（转移矩阵）-2σσ′U（t）]x（t）（93）然后x和Y接受以下解释x（t）=Φ（t，t）andY（t）=U（t）Φ（t，t）。C.B.Hyndman&X.Zhou 2014年12月11日QTSMs中二次FBSDE的显式解证明：作为Gombani和Runggaldier的特例（2013，定理B.1）（ii）的证明紧随其后。证明（i）首先假设R（t）是区间[0，t]上（86）-（87）的解，并定义对称矩阵xu（t）=-（R（t）+[R（t）]′。（94）关于t的微分方程（94）我们通过（86）得出，U（t）满足ddtu（t）=-ddtR（t）+ddt[R（t）]\'=（[R（t）]′+R（t））A+（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））-Υ+A′（[R（t）]′+R（t））+（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））-Υ′= -U（t）A-A′U（t）+2U（t）σ′U（t）-（Υ+Υ′）给出（89）。在t=t时评估（94）并应用（87）givesU（t）=-（R（T）+[R（T）]′=-[Θ+Θ′=Cwhich为（90）。接下来，定义斜对称矩阵V（t）byV（t）=-（R（t）-[R（t）]\'（95）并根据t进行区分，以发现V（t）满足DDTV（t）=-ddtR（t）-滴滴涕[R（t）]\'= --（[R（t）]′+R（t））A-（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））+Υ+A′（[R（t）]′+R（t））+（[R（t）]′+R（t））σ′（[R（t）]′+R（t））-Υ′= -U（t）A-A′U（t）+Q. （96）在t=t时评估（95），并将（87）应用于FINV（t）=-（R（T）-[R（T）]′=-(Θ-因此，解（96）-（97）给出V（t）满足（91）。相反，假设R（t）由（88）-（91）定义。注意，（89）-（90）的任何解都是对称的，（91）给出的V（t）是斜对称的。因此，通过平方矩阵分解为对称矩阵和反对称矩阵之和的唯一性，我们必须有U（t）=-（R（t）+[R（t）]和V（t）=-（R（t）-[R（t）]′。

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