带默认跳转的BSDE

2022-5-31 18:18:37

带默认jumpRoxana Dumitr escu的BSDE*Marie Claire Quenez+Agn\'es Sulem2017年9月4日摘要我们研究了由布朗运动和鞅测度驱动的非线性倒向随机微分方程（BSDE）的性质，该鞅测度与强度过程（λt）的adefault跳跃相关。我们给出了这些方程的先验估计，并证明了比较定理和严格比较定理。这些结果推广到涉及奇异过程的驱动因素。研究了λ-线性驱动的特例，给出了相关BSDE解的条件期望和伴随指数半鞅表示。然后，我们将这些结果应用于具有完全违约风险资产的非完美金融市场中欧洲未定权益的非线性定价。还通过一个奇异过程研究了支付股息的债权的情况。关键词：倒向随机微分方程、非线性定价、股息、违约跳跃、财务缺陷1简介本论文的目的是研究布朗运动驱动的BSDE，以及与强度过程λ=（λt）的违约跳跃过程相关的阿马丁格尔测度。我们考虑的应用是在有违约的不完善金融市场中或有索赔的定价和对冲问题。由布朗运动和泊松-随机m测度驱动的BSDE理论已经被一些作者广泛研究（werefer，例如to Barles、Buckdahn和Par-doux【3】、Royer【21】、Quenez和Sulem【20】）。目前的研究依赖于本文献中使用的许多论点。然而，处理默认跳转需要一些特定的参数，这些参数不是直接的，我们在这里对这些具有默认跳转的BSDE进行了严格的分析。据我们所知，对于具有默认跳变的非线性盲源分离系统，几乎没有结果。

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nandehutu2022

2022-5-31 18:18:40

文献[7]和[1]只关注在不同假设下建立的解的存在性和唯一性（更多细节见备注2.7）。在本文中，我们首先提供了一些有用的*伦敦国王学院数学系，United Kingdo m，电子邮箱：roxana。dumitrescu@kcl.ac.uk+LPMA，巴黎大学7 Denis Didero t，Boite courrier 7012，75251 Paris cedex 05，France，电子邮件：quenez@math.univ-巴黎狄德罗。frINRIA Paris，France，and Universit'e Paris Est，电子邮件：agnes。sulem@inria.fra先验估计的存在性和唯一性直接由先验估计得到。我们还给出了当驱动器为λ-线性时解的一个表示性质，以及一般情况下的比较定理和严格比较定理。此外，我们还允许这些方程的驱动程序具有一些奇异分量，因为驱动程序可能是广义形式g（t，ω，y，z，k）dt+dDt（ω），其中D是具有平方可积条件的有限变分c\'adl\'agprocess。这使我们能够在财务应用中处理股息的情况。本文的结构如下：在第二节中，我们介绍了带缺省跳的盲源分离系统的理论。更准确地说，在第2.1节中，我们介绍了数学设置。在第2.2节中，我们陈述了一些先验估计，从中我们导出了解的存在性和唯一性。在第2.3节中，我们介绍了λ-线性驱动的定义，其中λ是指跳跃过程的强度，它将BSDE文献中给出的线性驱动的概念推广到默认跳跃的情况。当驱动因子为λ-l i近于时，我们给出了关联BSDE的条件期望和伴随指数半鞅ale的显式解。在第2.4节中，我们建立了一个比较定理，该定理在驾驶员的适当假设下成立。

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2022-5-31 18:18:43

我们还证明了一个严格的比较定理，这需要一个额外的假设。当违背这些定理的假设时，给出了比较定理的一些有趣的反例。然后，我们将在第3节讨论数学金融中的应用。我们考虑了一个具有可违约风险资产的金融市场，并研究了在到期日T支付ξ的欧式期权的定价和套期保值问题，以及通过奇异过程D建模的中间股息。首先通过λ-线性BSDE理论研究了完美市场模型的情况，而不完美市场模型的情况，通过财富动态的非线性表示，然后用第2节开发的具有广义驱动力的非线性BSDE理论进行处理。在此设置中，定价系统表示为非线性期望/评估，例如：·：（ξ，D）7→ 例如，D（ξ），由具有默认跳跃的非线性BSDE（在原始概率测度P下求解）和g广义驱动rg（t，·）dt+dDt引起。该定价体系的一致性、单调性、凸性、无n-套利性依赖于相关BSD E的属性。作为市场缺陷的一个示例，我们考虑期权卖方是大型ge投资者的情况，其交易策略可能会影响市场资产价格和违约强度。2个带默认跳线的BSDE 2.1概率设置let(Ohm, G、 P）b e具有两个随机过程的完全概率空间：二维标准布朗运动W和由Nt=1θ定义的跳跃过程≤t对于任何t∈ [0，T]，其中θ是对默认时间建模的随机变量。我们假设该默认值可以在P（θ）的任何时间出现≥ t） >0表示任何t≥ 我们用G={Gt，t表示≥ 0}W和N的完全自然过滤。

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2022-5-31 18:18:46

我们假设W是aG布朗运动。设（∧t）为非递减过程（Nt）的可预测补偿器。注意（∧t∧则是（Nt）的可预测补偿器∧θ）=（Nt）。通过可预测补偿器的唯一性∧t∧θ=∧t，t≥ 我们假设∧是绝对连续的w.r.t.Lebesgue测度，因此存在一个非负过程λ，称为强度过程，因此∧t=Rtλsds，t≥ 0.自∧t起∧θ=∧t，λ在θ之后消失。我们用M表示满足T=Nt的补偿martinga le-Ztλsds。（2.1）设T>0为最终层位。我们生产了以下几组：oSis一组G适应的RCLL过程，以便E[sup0≤t型≤T |ДT |]<+∞.o Ais是实值非递减RCLL a自适应过程a的集合，a=0，E（AT）<∞.o His是一组G-可预测过程，使得k Zk：=EhRT | Zt | dti<∞.o Hλ是G-可预测过程的集合，使得k Ukλ：=EhRT | Ut |λtdti<∞.下面，P表示G-pr可预测的σ-代数Ohm ×[0，T]。请注意，对于每个U∈ Hλ，我们有kUkλ=EhRT∧θUt |λtdtib因为G-强度λ在θ之后消失。此外，我们可以假设对于Hλ中的每个U（=L(Ohm×[0，T]，P，dPλtdt）），其代表，仍由U表示，在θ之后消失。此外，T是停止时间τ的集合，使得τ∈ [0，T]a.s.对于T中的每个s，Ts是一组停止时间τ，使得s≤ τ≤ T a.s.我们回顾了这个框架中的鞅表示定理（参见例[16]）：引理2.1。任意G-局部鞅m=（mt）0≤t型≤代表MT=m+ZtzsdWs+ZtlsdMs，t型∈ [0，T]a.s.，（2.2），其中z=（zt）0≤t型≤串联l=（lt）0≤t型≤皮重是可预测的过程，因此上述两个随机积分都得到了很好的定义。如果m是平方可积鞅，则z∈ 汉德尔∈ Hλ。我们现在介绍以下定义。定义2.2（驱动因素，λ-可接受驱动因素）。

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2022-5-31 18:18:50

函数g称为驱动程序ifg：Ohm ×【0，T】×R→ R（ω，t，y，z，k）7→ g（ω，t，y，z，k）是PB（R）- 可测量，例如g（，0，0，0）∈ H、如果存在一个常数C，则称d ri v er g为λ-容许驱动器≥ 0个这样的dP dt-a.s.，对于每个（y，z，k），（y，z，k），（y，z，k），| g（t，y，z，k）- g（t，y，z，k）|≤ C（| y- y |+| z- z |+√λt | k- k |）。（2.3）正实C被称为与驱动器g相关的λ-常数。注意，条件n（2.3）意味着对于每个t>θ，因为λt=0，g确实依赖于k。换句话说，对于每个（y，z，k），我们有：g（t，y，z，k）=g（t，y，z，0），t>θdP dt公司- a、 s.De定义2.3（带默认跳转的BSDE）。设g为λ-容许驱动，设ξ∈ L（GT）。如果满足以下条件，则S×H×Hλ中的p过程（Y、Z、K）被称为BSDE的解决方案，其中默认跳线与终端时间T、驱动器g和终端条件ξ相关：- dYt=g（t，Yt，Zt，Kt）dt- ZtdWt公司- KtdMt；YT=ξ。（2.4）2.2默认跳变为β>0，φ的B SDE的第一属性∈ IH和l∈ IHλ，我们引入范数kφkβ：=E[RTeβsφsds]，和kkkλ，β：=E[RTeβsksλsds]。我们首先给出了带defaultjump的BSDE的一些先验估计，从中我们得出了解的存在性和唯一性。2.2.1具有默认jumpProposition 2.4的B SDE的先验估计。设ξ，ξ∈ L（GT）。设gand-gbe为两个λ-容许驱动。对于i=1，2，le t（Yi，Zi，Ki）是与终端时间t、驱动器和终端条件ξi相关的BSDE的解。设ξ：=ξ-ξ和？g（s）：=g（s，Ys，Zs，Ks）-g（s、Ys、Zs、Ks）。对于[0，T]中的s，den ote'Ys：=Ys- Ys，(R)Zs：=Zs- Zs，(R)Ks：=Ks- 堪萨斯州。设η，β>0，使得β≥η+2C和η≤C、对于每个t∈ [0，T]，然后是eβT（(R)Yt）≤ E【EβT’ξ| Gt】+ηE【ZTteβs’g（s）ds | Gt】a。s、（2.5）此外，k’Y kβ≤ T[eβTE[(R)ξ]+ηk'gkβ]。（2.6）如果η<C，我们有k'Zkβ+k'Kkλ，β≤1.- ηC[eβTE[(R)ξ]+ηk'gkβ]。（2.7）证明。

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2022-5-31 18:18:53

通过将It^o公式应用于t与t之间的半鞅eβs'yst，我们得到了eβt'Yt+βZTteβs'Ysds+ZTteβs'Zsds+ZTteβs'Ksλsds=eβt'Yt+2ZTteβs'Ys（g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s，Ys，Zs，Ks））ds- 2ZTteβs’Ys’ZsdWs-ZTteβs（2英寸）-“Ks+”Ks）dMs。（2.8）取给定的条件期望Gt，我们得到βt'Yt+EβZTteβs'Ysds+ZTteβs（'Zs+'Ksλs）ds'Gt≤ EeβT'YT'Gt+ 2E类ZTteβs'Ys（g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s、Ys、Zs、Ks））ds | Gt. （2.9）现在，g（s、Ys、Zs、Ks）- g（s，Ys，Zs，Ks）=g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s、Ys、Zs、Ks）+gs。由于gsatis条件（2.3），我们得出| g（s、Ys、Zs、Ks）- g（s、Ys、Zs、Ks）|≤ C | Ys |+C | Zs |+C | Ks|√λs+| gs |。注意，对于所有非负数λ、y、z、k、g和ε>0，我们有2y（Cz+Ck√λ+g）≤yε+ε（Cz+Ck√λ+g）≤yε+3ε（Cy+Ckλ+g）。因此，eβt'Yt+eβZTteβs'Ysds+ZTteβs（'Zs+'Ksλs）ds'Gt≤ EeβT'YT'Gt+E（2C+ε）ZTteβs'Ysds+3CεZTteβs（'Zs+'Ksλs）ds+3εZTteβs'gsds'Gt. （2.10）让我们改变变量η=3。然后，对于按比例选择的每个β，η>0，这些不等式导致（2.5）。通过积分（2.5），我们得到（2.6）。使用InEngineQuality（2.10），我们导出（2.7）。备注2.5。通过半鞅范数的i类ca l结果，一个类似的结果显示k'Y kS≤ KE[(R)ξ]+k'gkIH, 其中K是一个正常数，仅取决于T和c。2.2.2具有默认jumpProposition 2.6的BSDE的存在性和唯一性结果。设g为λ-容许驱动，设ξ∈ L（GT）。BSDE（2.4）的S×H×Hλ存在唯一解（Y，Z，K）。备注2.7。该结果推广了文献[7]在更强假设下的存在唯一性结果。

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2022-5-31 18:18:56

的确，假设ξ是Gθ∨T-可测量（如[7]中所示），且thatg由g1t代替≤τ（是λ-容许的驱动因素），则关联BSDE（2.4）的解（Y，Z，K）等于BSDE的解，其中包含随机终端时间θ、驱动因素g和终端条件ξ，如【7】所述。注意，[7]中的默认强度过程（λt）的有界性a s sumptionmade对于确保该结果是不必要的。证据我们使用命题2中给出的先验估计来证明这个结果。这些论点是经典的，并给出了完整性的简短证明。让我们首先考虑驱动程序g（t）不依赖于解决方案的情况。利用G-鞅（引理2.1）的表示性质和经典计算，可以证明存在与终端条件ξ相关的BSDE（2.4）a的唯一解∈ L（FT）和驱动程序进程g（t）∈ IH。让我们转向具有一般λ容许驱动器g（t，y，z，k）的情况。用IHβ表示空间IH×IH×IHλ，带有形式kY，Z，Kkβ：=kY kβ+kZkβ+kKkλ，β。我们定义了从IHβ到其自身的映射Φ。给定（U、V、L）∈ IHβ，设（Y，Z，K）=Φ（U，V，L）是与驱动程序g（s）相关联的BSD的解：=g（s，Us，Vs，Ls）。让我们证明映射Φ是从IHβ到IHβ的收缩。设（U′，V′，L′）是IHβ的另一个元素，设（Y′，Z′，k′）：=Φ（U′，V′，L′），即与驱动过程g（s，U′，V′，L′）相关的theRBSDE的解。设置“U=U”- U′，V=V- V′，L=L- L′，Y=Y- Y′，Z=Z- Z′，K=K- K′。允许g·：=g（·，U，V，L）-g（·，U′，V′，L′）。

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2022-5-31 18:18:59

使用λ-常量t为0的估计值（2.6）和（2.7）（因为驱动程序gdoes不依赖于解），我们得出对于所有η，β>0，β≥η、我们有k'Y kβ+k'Zkβ+k'Kkλ，β≤ η（T+1）kgkβ。由于驱动器g与λ-常数Cλ-可容许，我们得到k'Y kβ+k'Zkβ+k'Kkλ，β≤ η（T+1）3C（k'Ukβ+k'V kβ+k'Lkλ，β），对于所有η，β>0且β≥η。选择η=（T+1）6Candβ=η，我们导出k（Y，Z，k）kβ≤k（U，V，k）kβ。因此，对于β=18（T+1）C，Φ是从IHβ到IHβ的收缩，因此在Banach空间IHβ中有一个唯一的固定点（Y，Z，K），这是SDE（2.4）的解。通过类似的论证，我们得到了以下广义结果。提案2.8。[带默认跳转和“广义驱动程序”的B SDEs]设g为λ-可容许驱动程序，设ξ∈ L（GT），设D为有限变分RCLL适应过程，具有平方可积全变分过程。BSDE的S×H×Hλ中存在一个唯一解（Y，Z，K）（也表示为（YD（T，ξ），ZD（T，ξ），KD（T，ξ）），与“广义DDriver”g（T，·）dt+dd和终端条件ξ相关，即- dYt=g（t，Yt，Zt，Kt）dt+滴滴涕- ZtdWt公司- KtdMt；YT=ξ。（2.11）备注2.9。设D为有限变分RCLL适应过程。其关联的全变分过程是平方可积的，当且仅当D可以分解如下：D=a- A′，带A，A′∈ A、 2.3带默认跳线的λ-线性BSDE我们在带默认跳线的f框架中引入了λ-线性BSDE的概念。定义2.10（λ-线性驱动器）。如果驱动器g的形式为：g（t，y，z，k）=Дt+δty+βtz+γtkλt，（2.12），则称其为edλ-线性，其中（Дt）∈ H、其中（δt），（βt）和（γt）是R-v值的可预测过程，例如（δt），（βt）和（γt√λt）有界。备注2.11。

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2022-5-31 18:19:02

请注意，如果驱动器g的形式为：g（t，y，z，k）=Дt+δty+βtz+νtkpλt，（2.13），则驱动器g为λ-线性，其中（Дt）∈ H、其中（δt），（βt）和（νt）是有界的R-v值可预测过程。根据这一观察，可以得出λ-线性驱动器是λ-容许的。我们现在将证明λ-线性BSDE的解，即与λ-线性驱动程序相关联的BSDE（2.4）的解，可以通过一个经验一元半鞅写成条件期望。我们首先展示了初步结果。提案2.12。设（βs）和（γs）是两个实值G-可预测过程，使得随机变量rt（βr+γrλr）dr有界。设（ζs）为满足正向的过程：dζs=ζs-（βsdWs+γsdMs），ζ=1。过程（ζs）满足所谓的Dol'eans-Dade公式，即ζs=exp{ZsβrdWr-Zsβrdr}exp{-Zsγrλrdr}（1+γθ{s≥θ}）。对于每个T>0，过程（ζs）0≤s≤这是一个马丁格尔和萨提斯≤s≤Tζps]<+∞,对于所有p≥ 2、此外，如果γθ≥ -1（分别>-1） a.s.，然后是ζs≥ 每秒钟0（响应>0）a.s∈ [0，T]。证据根据定义，过程（ζs）是一个局部鞅。让T>0。让我们展示一下≤s≤Tζs]<+∞. 通过It^o公式应用于ζs，我们得到dζs=2ζs-dζs+d[ζ，ζ]s。我们得到[ζ，ζ]s=ζs-βsds+ζs-γSDN。使用（2.1），我们由此得出thatdζs=ζs-[2βsdWs+（2γs+γs）dMs+（βs+γsλs）ds]。因此，ζ是一个经验半鞅，可以写成：ζs=ηsexp{Zs（βr+γrλr）dr}，（2.14），其中η是满足ηs=ηs的指数局部鞅-[2βsdWs+（2γs+γs）dMs]，η=1。通过等式（2.14），局部鞅aleη为非负。因此，它是asupermartingale，它产生E[ηT]≤ 现在，根据假设，RT（βr+γrλr）dr是有界的。由（2.14）可知，e[ζT]≤ E[ηT]K≤ K、其中K是一个正常数。利用鞅不等式，我们导出了≤s≤Tζs]<+∞. 因此，过程（ζs）0≤s≤这是一个鞅。

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大多数88

2022-5-31 18:19:06

通过[20]中命题A.1的证明中的归纳论证，可以证明ζ的可积性性质适用于allinteger p≥ 最后一个断言来自Dol\'eans-Dade公式。备注2.13。不等式γθ≥ -1 a.s.等于不等式γt≥ -1，dt dP a.s。。实际上，我们有E[1γθ<-1] =E【R】+∞γr<-1dNr）=E[R+∞γr<-1λrdr]，因为过程（Rtλrdr）是默认跳跃过程N的G-可预测补偿器。定理2.14（λ-线性BSDE解的表示）。Letξ∈ L（GT）。Letg是形式（2.12）的λ-线性驱动器。设（Y，Z，K）为与驱动器g和终端条件ξ相关的BSD E a S的解i n S×IH×IHλ，即-dYt=（Дt+δtYt+βtZt+γtKtλt）dt- ZtdWt公司- KtdMt；YT=ξ。（2.15）对于每个t∈ [0，T]，let（ΓT，s）s∈[t，t]（称为伴随过程）是下列正向S DEdΓt，S=Γt，S的唯一解-[δsds+βsdWs+γsdMs]；Γt，t=1。（2.16）过程（Yt）满足度Yt=E[Γt，tξ+ZTt，sΓsds | Gt]，0≤ t型≤ T、 a.s.（2.17）备注2.15。过程（Γt，s）∈[t，t]，由（2.16）定义，满足，s=eRstδsdsexp{ZstβrdWr-Zstβrdr}exp{-Zstγrλrdr}（1+γθ{s≥θ>t}）。注意，过程（eRstδsds）t≤s≤因为δ是有界的，所以它是有界的。使用命题2.12，因为β和γ√λ是有界的，我们推导出E[supt≤s≤TΓT，s]<+∞.此外，如果γθ≥ -1（分别>-1） a.s.，然后是Γt，s≥ 每秒钟0（响应>0）a.s∈ [t，t]。证据修复t∈ [0，T]。通过将It^o乘积公式应用于YsΓt，s，我们得到-d（YsΓs）=-Ys公司-dΓs- Γs-dYs公司- d【Y，Γ】s=-YsΓsδsds+Γs[Дs+δsYs+βsZs+γsKsλs]ds- βsZsΓsds- ΓsγsKsλsds- Γs（Ysβs+Zs）dWs- Γs-[Ks（1+γs）+Ys-γs]dMs，（其中Γt，sis由Γs表示）。设置DMS=-Γt，s（Ysβs+Zs）dWs- Γt，s-[Ks（1+γs）+Ys-γs]dMs，我们得到-d（YsΓs）=ΓsΓsds- dms。通过t和t之间的积分，我们得到y=ξΓt，t+ZTtΓt，sΓsds- （公吨- mt）a.s.（2.18）在备注2.15中，我们有（Γt，s）t≤s≤T∈ S

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2022-5-31 18:19:10

此外，Y∈ S、 Z∈ IH，K∈ IHλ、β和γ是有界的。因此，局部鞅m=（ms）t≤s≤这是一个鞅。因此，通过取等式（2.1 8）中的条件期望，我们得到等式（2.17）。通过类似的论证，我们得到了广义表示的结果。提案2.16。Letξ∈ L（GT），设D为有限变分RCLL适应过程，具有平方可积全变分过程。设（δt），（βt）和（γt）为R值可预测过程，使得（δt），（βt）和（γt√λt）有界。设（Y，Z，K）为B SDE的解：-dYt=（δtYt+βtZt+γtKtλt）dt+dDt- ZtdWt公司- KtdMt；YT=ξ。对于每个t∈ [0，T]，我们有y=E[ΓT，Tξ+ZTtΓT，sdDs | Gt]a.s.，（2.19），其中（ΓT，s）s∈[t，t]是（2.16）定义的伴随过程。2.4带默认跳变的BSDE的比较定理我们在这里给出了一个比较定理和一个在驾驶员附加假设下带默认跳变的BSDE的严格比较结果。定理2.17（带默认跳转的BSDE的比较定理）。设ξ和ξ∈L（GT）。设gand-gbe为两个λ-容许驱动。对于i=1，2，设（Yi，Zi，Ki）为BSDE的S×IH×IHλ的解- dYit=gi（t，Yit，Zit，Kit）dt- ZitdWt公司- KitdMt；YiT=ξi.（2.20）（i）（比较定理）。假设存在一个可预测过程（γt），其中（γtpλt）有界且γt≥ -1，dt d P a.s.（2.21），使G（t，Yt，Zt，Kt）- g（t、Yt、Zt、Kt）≥ γt（Kt- Kt）λt，t∈ [0，T]，dt dP a.s.（2.22）还假设ξ≥ ξa.s.和g（t，Yt，Zt，Kt）≥ g（t，Yt，Zt，Kt），t∈ [0，T]，dt dP a.s.（2.23）然后是Yt≥ Ytfor all t公司∈ [0，T]。（二）（Str-ict比较定理）。此外，假设（2.21）中的secon d不等式是strict，即γt>-1、如果Yt=0，对于某些t∈ [0，T]，那么（2.23）中的不等式就是等式。证据

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2022-5-31 18:19:14

设置“Ys=Ys”- Ys；\'\'Zs=Zs- Zs；(R)Ks=Ks- Ks，我们有-d？Ys=hsds-(R)ZsdWs-(R)KSDM；\'Ys=ξ- ξ、其中hs：=g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s、Ys、Zs、Ks）。设置δs：=（g（s，Ys-, Zs、Ks）- g（s，Ys）-, Zs，Ks））/“Ysif”Ys6=0，否则为0。设置βs：=（g（s，Ys-, Zs、Ks）- g（s，Ys）-, Zs，Ks））/“Zsif”Zs6=0，否则为0。通过经典线性化技术，我们得到hs=δs'Ys+βs'Zs+g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s，Ys，Zs，Ks）+Дs，其中Дs：=g（s，Ys-, Zs、Ks）- g（s，Ys）-, Zs，Ks）。使用假设（2.22），我们得到≥ δs'Ys+βs'Zs+γs'Ksλs+Дsds 数据处理- a、 s.（2.24）由于满足条件（2.3），可预测过程δ和βar有界。修复t∈[0，T]。让我来看看，。流程由（2.16）定义。因为δ、β和γ√λ有界，根据备注2.15，Γt，。∈ S、同样，由于γS≥ -1、我们有，。≥ 根据It^o公式和定理2.1 4证明中的类似计算，我们得出-d（\'YsΓt，s）=Γt，s（hs- δs？Ys- βs？Zs- γs'Ksλs）ds- dms，其中m是鞅（因为Γt，。∈ S、是的∈ S、 \'\'Z∈ IH，(R)K∈ IHλ和β，γ√λ有界）。利用不等式（2.24）得到Γ的非负性，从而得到-d（\'YsΓt，s）≥ Γt，sΓsds-d ms.通过对t和t进行积分，并采用条件预测，我们得到了“Yt”≥ E[Γt，t（ξ- ξ） +ZTtΓt，s|sds | Gt），0≤ t型≤ T、 a.s.（2.25）根据假设（2.23），Дs≥ 0和ξ- ξ≥ 0，这与t的非负性Y，t一起表示Y=Y- Y≥ 因此，断言（i）如下。假设γt>-通过注释2.15，Γt，t>0 a.s.因此，断言（ii）来自（2.2 5）。我们在这里给出了一些反例，这些反例与带有缺省j ump的BSDE的比较定理有关。备注2.18。

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2022-5-31 18:19:17

让我们给出一个例子，表明在违反假设（2.21）的情况下，即γ取<-如果使用正测度，则即使终端条件为非负，具有默认跳变的线性BSDE的解Y也可能采用严格的负值。因此，在这种情况下，比较定理并不成立。假设过程λ是有界的。设g为λ-线性驱动器，其特定形式为g（t，ω，k）=γkλt（ω），（2.26），其中γ为实常数（这对应于δs=βs=νs=0和γs=γ的λ-线性BS DE（2.15）的驱动器）。在结束时间T，相关伴随过程Γ0，ssatis fies（见（2.16）和备注2.15）：Γ0，T=exp{-ZTγλrdr}（1+γ1{T≥θ}）=exp{-ZTγλrdr}（1+γNT），（2.27），其中第二个等式来自默认跳跃过程N的定义。设Y为与驱动和终端条件ξ=NT相关的BSDE的解。具有缺省跳变的线性盲源数据集的表示性质（见（2.17））给定sy=E[Γ0，Tξ]=E[Γ0，TNT]。因此，在（2.27）中，我们getY=E[Γ0，TNT]=E[E-γRTλsds（1+γNT）NT]=（1+γ）E[E]-γRTλsdsNT]，（2.28），其中对于最后一个等式，我们使用了NT=NT的fac t。方程式（2.28）表明，当γ<-1，Y<0，尽管ξ≥ 0 a.s。该示例还通过取γ=-实际上，在这种情况下，时间0的关系式（2.28）得出Y=0。现在，我们有E[ξ]=E[NT]=1- P（θ>T）。（2.29）因此，在附加假设P（ξ>T）<1下，我们将T E[ξ]>0，这表示P（ξ>0）>0，尽管Y=0。命题2.19（BSDE与“广义驱动程序”的比较定理）。设ξ和ξ∈ L（GT）。设gand-gbe为两个λ-容许驱动器。让Dand定义具有平方可积总变差的变量RCLL适应过程。

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2022-5-31 18:19:20

设（Yi，Zi，Ki）为BSDE的S×IH×IHλ中的解-dYit=gi（t，Yit，Zit，Kit）dt+dDit- ZitdWt公司- KitdMt；YiT=ξi.（i）（比较理论）。假设存在一个满足（2.22）和（2.21）且（2.23）成立的可预测过程（γt）。此外，假设过程D：=D- Dis不递减。然后我们就有了≥ Ytfor all t公司∈ [0，T]。（ii）（严格比较定理）。假设γt>-1、如果Yt=0，对于某些∈ [0，T]，则（2.23）中的不等式为等式和D-时间间隔上的常数[t，t]。证据使用与上述相同的参数和符号，我们得到：(R)Yt≥ E[Γt，t（ξ- ξ） +ZTtΓt，s（Дsds+d'Ds）| Gt），0≤ t型≤ T、 a.s.因此，年初至今≥ 0 a.s.（ii）此外，假设t:Yt=0 a.s.，γt>-1、自γt>-1，我们有Γt，t>0。因此，我们得到ξ=ξa.s.和Дt=0，t∈ [t，t]dtdP-a.s.Set▄Dt：=Rt，tΓt，sd'Ds，对于每个t∈ [t，t]。根据假设，~DT≥ 0 a.s.和E[| DT | Gt]=0 a.s.因此| DT=0a。s、现在，由于Γt，s>0，s≥ 助教。s、，我们可以写\'DT-\'Dt=Rt，TΓ-1t，sdDs。因此，我们得到“DT=”Dta。s3违约金融市场中的非线性定价3.1可违约风险资产的金融市场我们考虑一个由一项无风险资产组成的国家市场，其价格过程为dSt=Strtdt，以及两项价格过程为S的风险资产，根据以下等式进行求解：dSt=St[utdt+σtdWt]dSt=St-[utdt+σtdWt- dMt]，其中过程（Mt）由（2.1）给出。请注意，第二项风险资产是可违约的，完全违约。我们有St=0，t≥ θa.s.所有过程σ、σ、r、u、u都是可预测的（即P-可测量的）。我们设置σ=（σ，σ）′。我们假设σ，σ>0，r，σ，σ，（σ）-1, (σ)-1有界。让我们考虑一位可以投资这三种可交易资产的投资者。在时间0时，Heinvest的金额为x≥ 三个资产中的0。对于i=1，2，我们用νit表示投资于其风险资产的金额。

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2022-5-31 18:19:23

由于timeθ之后，投资者无法将其财富投资于可违约的资产组合（因为其价格等于0），因此我们对每一个资产组合都有θt=0≥ θ. 属于H×Hλ的过程Д=（Д，Д）′称为arisky资产策略。设CT是在时间0和时间t之间从市场投资组合中提取的累计现金金额。过程C属于A，即，C是一个RCLL适应的非递减过程，满足C=0和E[CT]<+∞.t时间t内相关投资组合（或财富）的价值用Vx、Д、Ct表示。然后，Vx、ν、Ct给出在时间t投资于非风险资产的金额- （Дt+Дt）。3.2完美市场模型中具有独立投资者的欧式期权定价在本节中，我们假设市场模型是完美的。在这种情况下，根据自我融资条件，财富过程Vx，Д，C（简单地用V表示）遵循动态：dVt=rtVt+Дt（ut- rt）+Дt（ut- rt））dt- dCt+（Дtσt+Дtσt）dWt- ^1tdMt=rtVt+（Дtσt+Дtσt）θt- Дtθtλtdt公司- dCt+Д′tσtdWt- |tdMt，其中θt：=ut- rtσt，θt：=-ut- σtθt- rtλt{t≤θ}.粗略地说，DCT表示在时间段内从投资组合中提取的金额【t，t+dt】。假设过程θ和θ√λ有界。让T>0。设ξ是属于L的GT可测随机变量，设D是属于a的一个非递减过程。我们考虑一个具有到期日T、支付ξ和累积股息过程D的欧式期权∈ [0，T]，ddt表示在时间T和时间T+dt之间支付给期权持有人的分割金额。目的是为该或有债权定价。让我们考虑一个卖家，他想在t时间0出售期权。

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2022-5-31 18:19:26

利用他在时间0从买方收到的金额，他希望能够构建一个投资组合，允许他在时间向买方支付金额ξ和中间股息。根据命题2.8，存在一个独特的过程（X，Z，K）∈ 以下λ-线性BSDE的S×H×Hλ解：- dXt=-（rtXt+Ztθt+Ktθtλt）dt+dDt- ZtdWt公司- KtdMt；XT=ξ。（3.1）请注意，此BSDE的驱动程序由g（ω，t，y，z，k）=-rt（ω）y- zθt（ω）- θt（ω）λt（ω）k.（3.2）因为根据假设，系数r，σ，θ，θ√λ是可预测且有界的，因此g是λ-线性驱动因素（见定义2.10）。解决方案（X、Z、K）对应于复制端口对开。更准确地说，对冲风险资产策略是这样的：Дt′σt=Zt；-Дt=Kt，（3.3），其中Дt′σt=Дtσt+Дtσt。请注意，这定义了变量Φ的变化，定义为：Φ：H×Hλ→ H×Hλ；（Z，K）7→ Φ（Z，K）：=Д，其中Д=（Д，Д）由（3.3）给出，相当于Дt=-Kt；^1t=Zt- ^1tσtσt=Zt+σtKtσt。（3.4）过程D对应于累计现金提取。过程X与VX，ν，D一致，与初始财富X=X，投资组合策略Д和累计（股息）现金提取D相关的投资组合的价值。从卖方的角度来看，该投资组合是一个对冲投资组合，因为通过投资初始金额Xin，参考值集沿着策略Д，它允许他在时间T向买方支付ξ金额和中间股息。我们推导出Xis是期权的初始价格，称为h ed gingprice，用XD（ξ）表示。

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nandehutu2022

2022-5-31 18:19:29

类似地，每次t∈ [0，T]，x是期权的套期保值价格，用XDt（ξ）表示。由于（3.2）给出的驱动器g是λ-线性的，因此在BSDE附近aλ-li的解的表示性质（见定理2.14）yieldsXDt（ξ）=E[E-RTtrsdsζt，tξ+ZTte-Rstruduζt，sdDs | Gt），（3.5），其中ζ满足ζt，s=ζt，s-[-θsdWs- θsdMs]；ζt，t=1。（3.6）这定义了线性价格系统X：（ξ，D）7→ XD（ξ）。假设θt<1，0≤ t型≤ θdt dP-a.s.Moroever，按Pro位置2.12，过程ζ0，。是平方可积正鞅。根据经典结果，密度为ζ0的概率测度是唯一的鞅概率测度，X对应于经典的自由套利价格体系（参见[16]中的命题7.9.11）。3.3违约完美市场中带红利欧式期权的非线性定价从现在起，我们假设市场中存在缺陷，这些缺陷是通过财富动态的非线性考虑的。更准确地说，我们假设，与初始财富x、策略Д=（Д，Д）在H×Hλ中以及累积提款过程C相关的财富过程Vx、Д、Ct（或简单地说Vt）满足以下动态：- dVt=g（t，Vt，Дt′σt，-^1t）dt- Дt′σtdWt+dCt+ДtdMt；V=x，（3.7），其中g是非线性λ-容许驱动器（见定义2.2）。等效地，设置Zt=Дt′σtand Kt=-^1t，- dVt=g（t，Vt，Zt，Kt）dt- ZtdWt+dCt- KtdMt；V=x.（3.8）注意，在完美市场的特殊情况下，g由（3.2）给出。让我们考虑一个到期日为T的欧式期权，最终支付额为ξ∈ L（GT）和股息过程D∈ 这是一种市场模式。

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2022-5-31 18:19:32

设（XD（T，ξ），ZD（T，ξ），KD（T，ξ）），也可由（X，Z，K）表示，是与终端时间T相关的BSDE的解，“广义DDriver”g（·）dt+dd和终端条件ξ，满足-dXt=g（t，Xt，Zt，Kt）dt+滴滴涕- ZtdWt公司- KtdMt；XT=ξ。过程X=XD（T，ξ）等于与初始值X=X，策略Д=Φ（Z，K）（见（3.4））和现金提取的累计金额D（即X=VX，Д，D）相关的财富过程。因此，其初始值X=XD（T，ξ）是卖方期权的合理价格（在时间0），因为该金额允许他/她构建一个交易策略Д，称为对冲策略，这样关联的po r tfolio的值在时间t等于ξ。此外，现金提取完美地复制了期权的股息。类似地，Xt=XDt（T，ξ）是卖方在时间T时的合理价格∈ [0，T]和每对“派息”（ξ，D）∈ L（GS）×A，我们通过Eg，Dt，S（ξ）：=XDt（S，ξ），t定义g值过程∈ [0，S]。请注意，通过设置Eg，Dt，S（ξ）：=EgS，DSt，T（ξ），可以在整个间隔[0，T]上定义Eg，Dt，S（ξ），用于T≥ S、式中，g（t，）：=g（t，.）1吨≤砂DSt：=Dt∧S、这导致了一个非线性定价系统，如：·：（S，ξ，D）7→ 例如，D·，S（ξ）。当没有股息时，它会退化为非线性定价系统，例如，0（通常由Eg指出），首先由El Karoui-Quenez（[15]）在布朗框架中引入。我们现在给出了这个非线性定价系统的一些性质，例如，它将[15]中的观点推广到了带有默认跳跃和股息的情况一致性根据BSDE的流量特性，例如，·是一致的。

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2022-5-31 18:19:35

更准确地说，让我们∈ [0，T]，ξ∈ L（GT），D∈ A、设停车时间小于S′。然后，对于每一次t小于S，与payoffξ（累积）股息过程D和到期日S′相关的期权的g值与与与到期日S、payoffeg、DS、t（ξ）和股息过程D相关的期权的g值一致，即isEg、Dt、S′（ξ）=Eg、Dt、S（Eg、DS、S′（ξ））a.S.o零一定律。如果g（t，0，0，0）=0，则支付为空且无股息的欧式期权的价格等于0。更准确地说，例如，满足了Zero-onelaw属性：适用于所有到期日∈ [0，T]，对于所有付款ξ∈ L（GS）和累积股息过程D∈ A、 Eg，DAt，S（1Aξ）=1AEg，Dt，S（ξ）A.S代表t≤ 美国∈ Gt和ξ∈ L（GS），其中DAis由DAs定义的过程：=（Ds- Dt）1As≥t、由于违约跳跃的存在，非线性定价系统Eg，·不一定是关于（ξ，D）单调的。我们引入以下假设。假设3.1。假设存在映射γ：[0，T]×Ohm ×R→ R（ω，t，y，z，k，k）7→ γy，z，k，kt（ω）P B（R）-可测量，满足dP dt-a.s.，每个（y、z、k、k）∈ R、（γy，z，k，ktpλt）有界且γy，z，k，kt≥ -1和G（t、y、z、k）- g（t，y，z，k）≥ γy，z，k，kt（k- k） λt，（3.9）回想一下，λ在θ之后消失，g（t，·）不依赖于{t>θ}上的k。因此，在{t>θ}上，质量指数（3.9）总是令人满意的。注意，上述假设成立，例如，如果g（t，·）相对于tok不递减，或者如果g是cink，则千克（吨，·）≥ -λton{t≤ θ}.在完美市场的情况下，当θt≤ 1、在给出一些附加属性（在此假设下成立）之前，我们引入以下偏序关系，为每个固定时间S定义∈ [0，T]，在成对“派息”集合上，通过：对于每个（ξ，D），（ξ，D）∈ L（GS）×Aby（ξ，D）（ξ，D）如果ξ≥ ξa.s。

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2022-5-31 18:19:38

和D- Dis非递减。粗略地说，D的非递减性质-d对应于以下事实，即在s a和s+d s之间支付的瞬时股息与d对应的股息大于或等于d，即dDs≥ dDs.o单调性。在假设3.1下，非线性定价系统（例如：）相对于支付和股息而言是非递减的。更准确地说，对于所有成熟度∈ [0，T]，f或所有付款ξ，ξ∈ L（GS）和累计股息处理D、D∈ A、以下性质成立：请注意，当市场完美时，g由（3.2）决定，因此满足g（t，0，0，0）=0。If（ξ，D）（ξ，D），那么我们有Eg，Dt，S（ξ）≥ Eg，Dt，S（ξ），t∈ [0，S]a.S.这一性质允许BSDE的比较定理，其中“广义驱动”（命题2.19（i））适用于g=g和ξ，ξ，D，D（实际上，在这种情况下，根据假设3.1，假设（2.22）适用于γt：=γYt-,Zt、Kt、Ktt）。利用这个比较定理，我们还导出了以下性质：o凸性。在假设3.1下，如果g对于（y，z，k）是凸的，那么非线性定价系统，例如，非凸的，即对于任何α∈ [0，1]，S∈ [0，T]，ξ，ξ∈ L（GS），D，D∈ AEg，αD+（1-α） Dt，S（αξ+（1- α)ξ) ≤ αEg，Dt，S（ξ）+（1-α）例如，Dt，S（ξ），对于所有t∈ [0，S]。o非负性。在假设3.1下，当g（t，0，0，0）≥ 0，非线性定价系统Eg，·不是负的，也就是说，对于每个S∈ [0，T]，对于所有非负ξ∈ L（GS）和所有D∈ A、我们有Eg，D·，S（ξ）≥ 此外，在附加假设γy，z，k，kt>-1在假设3.1中，利用严格比较定理（命题2.19（ii）），我们得出以下无套利性质：o无套利。

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2022-5-31 18:19:41

假设3.1下，γy，z，k，kt>-非线性定价系统，例如，满足无套利性质：对于所有成熟度∈ [0，T]，对于所有付款ξ，ξ∈ L（GS）和累积分割过程D，D∈ A、 t型∈ [0，S]和∈ Gt，假设（ξ，D）（ξ，D）和Eg，Dt，S（ξ）=a上的Eg，Dt，S（ξ）a.S∈ 燃气轮机。那么，ξ=ξa.s.在a和（Dt-Dt）t≤t型≤Sis a.s.常数，即DS-Dt=DS-Dta。s、换言之，在A上，T与s之间的支付和即时股息等于A.s.在A上，无套利性质还确保当γy，z，k，kt>-非线性定价系统是严格单调的。注意，当市场完善时，条件γy，z，k，kt>-当θt<1时，满足1。备注3.2。几位作者研究了定义为B SDE解决方案的动态风险度量（参见[19，4，20]）。在我们的默认跳跃框架中，给定λ-容许驱动因素，可以定义风险ρgas的动态度量如下：对于each S∈ [0，T]和ξ∈ L（GS），设ρg·（ξ，S）=-例如·，S（ξ），其中，Eg·，S（ξ）表示与终端条件ξ、终端时间T和驱动因素g相关的BSDE的解。然后，根据本节的结果，动态ris k-度量ρg与非线性定价系统的性质类似，例如·，S=Eg，0·，S（对应于没有分割ds的cas e）。我们现在介绍Eg，D-超鞅的定义，它概括了Eg-超鞅的经典概念。定义3.3。让D∈ A和Y∈ S、如果Eg，Dσ，τ（Yτ），则过程Y称为Eg，D-超鞅（分别为Eg，D-鞅）≤ Yσ（resp=Yσ）a.s.onσ≤ τ、对于所有σ，τ∈ T、提案3.4。

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2022-5-31 18:19:44

对于所有S∈ [0，T]，payoffξ∈ L（GS）和股息过程D∈ A、关联g值过程Eg，D·，S（ξ）是Eg，D-鞅。此外，对于所有x∈ R、投资组合策略∈ H×Hλ和现金提取程序sD∈ A、相关的财富过程Vx，ν，Dis an-Eg，D-鞅。证据第一个断言来自Eg，D的一致性属性。第二个断言是通过注意到Vx，Д，Dis是BSDE的解，其中“广义驱动因素”g（·）dt+dDt，终端时间t和终端条件Vx，Д，dt。示例（大型投资者卖方）当卖方是大型交易员时，其对冲组合可能会影响风险资产的价格和违约概率。他可以在其市场模型中考虑这些反馈效应，如下所示。为了简化陈述，我们考虑了卖方策略仅影响违约强度的情况。我们给出了一系列由V和ν参数化的概率测度。更准确地说，对于每个V∈ 砂土^1∈ H、设QV，Д是与P等价的概率度量，它允许LV，Д作为相对于P的密度，其中（LV，Д）是以下SDE的解：dLV，Дt=Lt-γ（t，Vt-, ^1t）dMt；LV，Д=1。这里，γ：（ω，t，y，Д，Д）7→ γ（ω，t，y，Д，Д）是P B（R）/B（R）-可测量的功能定义Ohm×【0，T】×r，γ（T，·）>-1，这样（γ（t，·））√λt）一致有界。注意，根据命题2.1 2，我们有L∈ S、根据Girsanov定理，过程W是一个QV，Д-布朗运动，过程MV，Д定义为asMV，Дt：=Nt-Ztλs（1+γ（s，Vs，νs））ds=Mt-Ztλsγ（s，Vs，νs）ds（3.10）是QV，ν-鞅。因此，在QV，Д下，G-defa ult int-ensity过程等于λt（1+γ（t，Vt，Дt））。

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2022-5-31 18:19:47

过程γ（t，Vt，νt）表示卖方策略对违约强度的影响。与初始财富x和风险资产战略相关的财富过程动态=rtVt+（Дtσt+Дtσt）θt- Дtθtλtdt公司- d Ct+Д′tσtdWt- ИtdMV，Дt，（3.11）让我们证明，该模型可以被视为上述模型的一部分，与适当的映射λ-容许驱动因素g相关。首先，请注意，财富的动态（3.11）可以被写为vt=rtVt+（Дtσt+Дtσt）θt- Дtθtλt+γ（t，Vt，Дt）λtДtdt公司- dCt+Д′tσtdWt- |tdMt，等效地，设置Zt=|t′σtand Kt=-^1t，- dVt=g（t，Vt，Zt，Kt）dt- ZtdWt+dCt- KtdMt，（3.12），其中g（t，y，z，k）=-rty公司-zθt- θtλtk+γt、 y，（σt）-1（z+σtk），-kλtk。因此，我们得到了上述与此驱动程序相关的通用模型。该模型可以很容易地推广到系数u、σ、u、σ也依赖于对冲成本V（等于期权价格）和对冲策略Д的情况。p的附录≥ 2，我们介绍了定义如下的空间Sp、Hp和Hpλ。设Spbe为G适应RCLL过程的集合，使得E[sup0≤t型≤T |ДT | p]<+∞.设Hp为G-可预测过程集，使得kZkpp：=Eh（RT | Zt | dt）p/2i<∞.设Hpλ为G-可预测过程集，使得kUkpp，λ：=Eh（RT | Ut |λtdt）p/2i<∞.LpProposition a.1中具有默认跳转的BSDE。让p≥ 2并让T>0。设g为λ-容许驱动，使得g（t，0，0，0）∈ IHp。Letξ∈ Lp（GT）。在默认情况下（2.4），BSDE的Sp×Hp×Hpλ中存在唯一的解（Y，Z，K）。备注A.2。当W和M有G-鞅表示定理时，即使G不是由W和M证明生成的，上述结果仍然成立。该证明依赖于与[20]中命题A.2证明中相同的论点，以及命题2.6证明中使用的论点。

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2022-5-31 18:19:51

具有缺省跳跃和概率测度变化的BSDEs（βs）和（γs）是两个实值G-可预测过程，使得rt（βr+γrλr）dris有界。设（ζs）为满足正向SDE的过程：dζs=ζs-（βsdWs+γsdMs），ζ=1。根据命题2.12，ζ是一个p-可积鞅，即ζT∈ Lpfor allp≥ 1、我们假设γ>-1，这意味着ζs>0，s∈ [0，T]a.s.L et Q是概率测度，相当于P，它允许相对于GT上P的ζTas密度。根据Girsanov定理（见【16】第9.4章推论4.5），过程Wβt：=Wt-Rtβsds是Q-布朗运动，过程Mγ定义为asMγt：=Mt-Ztλsγsds=Nt-Ztλs（1+γs）ds（A.1）系数也可能取决于Д=（Д，Д），但在这种情况下，我们必须假设映射ψ：（ω，t，y，Д）7→ （z，k），z=Д′σt（ω，t，y，Д），k=-Д是相对于Д的一对一，并且其逆ψ-1х为P B（R）-可测量。是一个Q-鞅。我们现在给出了（Q，G）-局部鞅关于Wβ和Mγ的一个表示定理。提案A.3。设m=（mt）0≤t型≤Tbe a（Q，G）-局部martinga l e。存在一对唯一的可预测过程s（zt，kt），使得mt=m+ZtzsdWβs+ZtksdMγs0≤ s≤ T a.s.（a.2）证明。因为m是一个Q-局部鞅，所以过程mt：=ζtmtis是一个P-局部鞅。根据鞅r表示定理（引理2.1），存在一对唯一的可预测过程（Z，K），使得“mt=”m+ZtZsdWs+ZtKsdMs0≤ t型≤ 然后，通过将It^o公式应用于mt=(R)mt（ζT）-通过经典计算，我们可以证明（z，k）满足（A.2）的存在性。从这个结果以及命题A.1和备注A.2，我们得出以下推论。推论A.4。让p≥ 2，让T>0。设g为λ-容许驱动，使得g（t，0，0，0）∈ IHpQ。Letξ∈ LpQ（GT）。

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2022-5-31 18:19:54

此处，e x在BSDE的SpQ×HpQ×HpQ，λ中显示唯一解（Y，Z，K），默认值为：-dYt=g（t，Yt，Zt，Kt）dt- ZtWβt- KtdMγt；YT=ξ。参考文献[1]Ankirchner，S.、Blanchet Scalliet，C.、Eyraud Loisel，A.：信贷风险溢价和单跳二次BSD Es。内景：理论杂志。和应用程序。鳍2010,13（7），第1103-1129页。[2] Bank，P.和Baum D.（2004）：金融市场中的对冲和投资组合优化与大型交易员，数学。财务1 4（1），1-18。[3] Barles G.、R.Buckdahn和E.Pardoux（1995）：反向随机微分方程和积分偏微分方程，随机和随机报告。[4] Barrieu P.和N.El K aroui：《动态风险度量下的最优衍生品设计》，《金融数学》，《当代数学》（A.M.S.Proceedings），（2004），第13-26页。[5] Bielecki，T.、Crepey，S.、Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.，《危险过程模型中的可违约g ame选项》，国际随机分析杂志，2009年。[6] Bielecki，T.、Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.，《可违约债权的对冲》，《巴黎普林斯顿数学金融讲座》，《数学讲稿1847》，第1-132页，斯普林格。2004年，ISBN:3-54 0-22266-9 DOI:1 0.1007/b98353[7]Blanchet-Scalliet，C.，Eyraud Loisel，A.，Royer Carenzi，M.：使用时间范围不确定的BSDE对冲可违约或有债权。《法国精算师公报》，2010年，20（10）。[8] Cvitani\'c J.和Karatzas，I.，《限制投资组合对冲未定权益》，《应用概率年鉴》。199 3.[9] Cvitani\'c J.和Ma，J.，《大型投资者的对冲期权和远期期权》，《应用概率年鉴》。1996年6月，n.2 370-398。[10] Dumitrescu R.、M.-C.Quenez和A。

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2022-5-31 18:19:57

Sulem（20-16），《广义Dynkin对策和带跳跃的双重反射BSDE》，《概率电子杂志》，21（64），32p。[11] Dumitrescu，R.，Quenez M.C.，Sulem A.，混合广义Dynkin对策和马尔可夫框架下的随机控制，随机（2017），89400-429。[12] Dumitrescu，R.、Quenez M.C.和A.Sulem，《有违约的不完美市场中的游戏期权》，《暹罗金融数学杂志》，第8卷，第532-5592017页。[13] Dumitrescu，R.、Quenez M.C.和A.Sulem，《违约不完美市场中的美国期权》，arXiv:1708.086752017。[14] El Karoui N.、Peng S.和M.C.Quenez（1997），“金融中的倒向随机微分方程”，数学金融，7，1（1997年1月），1-71。[15] El Karo ui N.a和M.C.Quenez（1996），“非线性定价理论和Ba-ckward随机微分方程”，数学讲义1656，Bressanone，1996年，编辑：W.J.Rungga ldier，Springer收藏，1997年。[16] Jeanblanc，M.、Yor M.和Chesney M.（2009）：金融市场的数学方法，Springer Finance。[17] Karatzas I.和Kou S.，用受限投资组合对冲美国未定权益，金融与随机2（3）215-25 8，1998年。[18] Lim T.和M.-C.Quenez，《违约不完全市场中的指数效用最大化》，《概率论电子杂志》第16卷（2011年），论文编号5 3，第1434-1464页。[19] Peng，S.（2004），《非线性预期、非线性评估和风险度量》，165253，数学课堂讲稿。，柏林斯普林格。[20] Quenez M.-C.和Sulem A.，带跳跃的BSDE，动态风险度量的优化和应用，随机过程和应用1 23（2013）3328-3357。【21】M.Royer：《带跳跃的倒向随机微分方程及相关非线性预测、随机过程及其应用》116（2006），1358–1376。[22]S.H.Tang和X。

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