圆柱鞅驱动的BSDE及其在逼近中的应用

2022-6-10 03:30:10

圆柱鞅驱动的BSDE及其在债券市场近似套期保值中的应用*摘要研究了连续f函数空间上由柱鞅驱动的Lipschitz型倒向随机微分方程。我们证明了这种有限维盲分离方程解的存在性和唯一性，并证明了相应的有限维盲分离方程解的序列与原解近似。我们还考虑了债券市场中的套期保值问题，证明了对于近似可实现的或有权益，基于小市场的局部风险最小化策略序列收敛于广义套期保值策略。1引言在数学金融中，反向随机微分方程（BSDE）已被研究并应用于有限资产交易的股票市场中的期权对冲和投资组合优化问题的理论。El Karoui、Peng和Quenez【14】研究了套期保值问题、递归效用和基于有限维BSDE的控制问题。另一方面，还对有限维（正向）SDE进行了深入研究，并将其应用于数学金融；参见Da Prato和Zabczyk【6】，了解有限维SDEs和Carmona和Tehranchi【5】在债券市场的应用总结。在本文中，受债券市场套期保值问题的激励，我们研究了一些有限维BSDE。正如比约克（Bj¨ork）等人[1]所述，在连续时间债券市场中，与股票市场不同的是，存在可交易资产的连续统一体（零息票债券由其到期日参数化），价格曲线的时间演化由内维随机过程描述。

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2022-6-10 03:30:13

为了在这个模型中描述投资组合理论，我们必须考虑交易策略，其中可能有各种性质的零息票债券的连续体。因此，在债券市场中，关于有限维（半）鞅的随机积分自然产生，术语“交易策略”必须在有限维环境中推广。DeDonno和Pratelli【9】以及Mikulevicius和*日本京都大学数学系，京都606–8502，hamaguchi@math.kyoto-u、 ac.jpRozovskii【15，16】。他们引入了广义被积函数空间，并定义了关于有限维鞅的广义随机积分。更一般地，DeDonno和Pratelli【11，10】研究了有限维半鞅的随机积分（另见DeDonno【7】）。在市场模型的背景下，广义被积函数被视为广义交易策略，它不一定代表真正的交易策略。广义策略被定义为债券市场中现实交易策略的限制，如简单交易策略和度量值策略。从数学金融应用的角度来看，构建广义整数的“合理”近似序列f非常重要。本文的主要目的是对上述问题做出贡献。我们在连续函数空间上研究了圆柱鞅驱动的Ylipschitz型BSDE。我们将证明这种有限维BSDE的解的存在性和唯一性，并证明相应的有限维BSDE的解序列近似于原始解。

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2022-6-10 03:30:16

我们可以说，这个近似值正好符合债券市场在有限维BSDE方面的公式。作为应用，还讨论了期货市场中的套期保值问题。我们考虑满足所谓“结构条件”的债券市场模型，如在有限维环境中。我们引入了广义交易策略和近似可实现未定权益的概念，并构建了由数量有限的零息票债券组成的子市场，我们称之为小型市场。我们考虑基于小市场的局部风险最小化策略，Schweizer[17、19、20]定义了这些策略，Buckdahn[2]根据（一维）鞅驱动的BSDE研究了这些策略。我们证明，对于债券市场中近似可实现的未定权益，广义对冲策略近似为一系列基于小型市场的局部风险最小化策略。这一结果进一步发展了通过相应的有限维价值函数来近似有限维市场中的价值函数的方法，这是由DeDonno、Guasoni、Pratelli【8】和Campi【3】研究的。本文的组织结构如下。在第2节中，我们回顾了在[9]和[15，16]中发展的关于连续函数空间上圆柱鞅的随机积分。第三节研究圆柱鞅驱动的盲源微分方程；我们证明了它的存在性、唯一性和一个近似结果。

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2022-6-10 03:30:19

在第4节中，我们研究了套期保值问题在债券市场中的应用，并给出了一般化策略的近似结果。2关于圆柱鞅的随机积分在本节中，我们将简要回顾关于圆柱鞅的有限维随机积分理论，继Mikulevicius和Rozovskii【15，16】以及De Donno和Pratelli【9】之后。让(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]，P）是满足通常条件的过滤概率空间，P是Ohm ×[0，T]。在整个过程中，我们假设∈ (0, ∞) 是一个常量。我们用H（P）表示所有右连续平方可积鞅的空间。设X是紧度量空间，B（X）是X上的Borelσ-场。在我们对债券市场的应用中，X将被视为一个紧区间[0，T*]代表零息票债券的到期日。设C=C（X）是X上具有一致收敛拓扑的所有连续f函数的空间，M=M（X）是拓扑对偶，即X上的Radon测度空间。众所周知，M相对于弱*-拓扑σ（M，C）。我们用h·、·iM、C表示正则配对。用K+（X）表示X×X上所有对称和非负有限函数的空间，即函数F:X×X→ R使得对于所有x，y，F（x，y）=F（y，x）∈ XandPdi，j=1F（xi，xj）cicj≥ 0表示所有d∈ N、 x，除息的∈ 十、和c，cd光盘∈ R、 allF的集合∈ 在X×X上连续的K+（X）用K+c（X）表示。考虑一类平方可积鞅M=（（Mxt）t）∈[0，T]）x∈十、也就是说，对于allx∈ 十、 Mx公司∈ H（P）。我们强加以下假设。假设1。

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2022-6-10 03:30:23

存在严格递增且有界的可预测过程a和aP B（X） B（X）-可测函数Q开启Ohm ×【0，T】×X×X，满足以下条件。（i）对于所有（ω，s）∈ Ohm ×[0，T]，Qs，ω在K+c（X）中。（ii）对于所有（ω，s）∈ Ohm ×[0，T]，RtQs，ωdAs（ω）在K+c（X）中。（iii）对于每个x，y∈ X和t∈ [0，T]，hMx，Myit=ZtQs（x，y）dAsP-a.s.备注2.1。在一些文献中，过程A被假定为仅是非减量且可预测的。在这种情况下，在不丧失一般性的情况下，我们可以进一步假设a是通过用r cta n（t+At）替换At而严格增加和有界的。对于Q∈ K+c（X），我们可以通过设置（Qu）（X）=ZXQ（X，y）u（dy）=hu，Q（X，·）iM，c，u，从m到c定义相应的线性映射（也用Q表示）∈ M、那么Q是对称的非负定义，即hu，QνiM，C=hν，QuiM，Cand hu，QuiM，C≥0表示所有u，ν∈ MQ也是（弱）连续的。设D表示X上狄拉克测度的所有线性组合的集合。对于元素u=Pni=1ciδxi∈ D、其中，每个Ci是一个实常数，δxi是xi处的Dirac测度∈ 十、我们设定m（u）=nXi=1ciMxi。那么，M（u）是一个平方可积鞅。线性映射u7→ M（u）从Dinto H（P）唯一扩展到连续线性映射M:M→ H（P）。对于每个u，ν∈ M、 M（u）和M（ν）之间的交叉变化由hm（u），M（ν）it=Zthu，QsνiM，CdAs给出。函数Qs，ω被称为协方差算子函数，而Qs，ωdAs（ω）被称为圆柱鞅M的可预测二次变化。简单被积函数H是形式为H=nXi=1hiδxi的过程，其中每个hi是实值有界可预测过程和xi∈ 十、 H可以看作一个M值过程。

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2022-6-10 03:30:26

定义H相对于M的随机积分byHoM=Z·HsdMs=nXi=1Z·hisdMxis。注意HoM∈ H（P）andE“ZTHsdMs#= E“ZTnXi，j=1HISHJSHDHMXI，Mxjis#=E”ZTnXi，j=1hishjsQs（xi，xj）dAs#=EZThHs、QsHsiM、CdAs.如果实值过程hHs、fiM、Care对所有f都是可预测的，则称M值过程H为（弱）可预测的∈ C、请注意，对于M值可预测过程H、hHs、QsHsiM、Cis，它是实值可预测过程。设L（M，M）表示所有M值可预测过程H的集合，使得ZThHs、QsHsiM、CdAs1/2< ∞. （2.1）定理2.2。所有简单被积函数的集合在L（M，M）中相对于norm（2.1）是稠密的。因此，地图H 7→ HoM可以唯一地从L（M，M）连续扩展到H（P）。该扩展是线性的，所有H，K的hhoM，KoMit=ZthHs，QsKsiM，CdAsholds∈ L（M，M）。备注2.3。在财务方面，每小时∈ L（M，M）被认为是债券市场中的一种度量值交易策略；符号测度Ht，ω表示X=[0，T]中所有到期日的零息票债券的持有量*] 事件ω的时间t。空间L（M，M）不完整，如【9】所述。我们需要进一步扩展积分，如下所示。对于对称、非负定义和连续线性映射Q:M→ C、用（Qu，Qν）UQ=hu，QνiM，C，u，ν定义Q（M）上的标量积∈ M、（2.2）那么Q（M）承认一个关于（2.2）导出的范数的唯一完成UQin C。这个完成式UQis是一个可分离的Hilbert空间，并连续嵌入到C中。映射Q:M→ C可以从U′Qto UQ连续扩展到正则同构，其中U′qi是UQ的拓扑对偶。此外，U′Q是相对于标量积（u，ν）U′Q=hu，QνiM，C，u，ν诱导的范数的M/KerQ的完成∈ M、因此，我们可以构造一系列希尔伯特空间Ut，ω=UQt，ω和U′t，ω=U′Qt，ω参数化为（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.

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2022-6-10 03:30:29

我们称之为（Ut，ω）（t，ω）∈[0，T]×OhmM.definition 2.4的协方差空间族。U′值过程H是Ohm×[0，T]使得Ht（ω）∈ U′t，ω表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 我们说，如果过程（ω，t）7→ （Ht（ω），u）U′t，ω可预测任何u∈ M、备注2.5。设{x，x，…}是X的一个可数稠密子集。通过标准或thogonalization过程，我们可以构造一个过程序列{em}m∈Nof the formems=Pmk=1αm，ksδxkf for each m∈ N、其中αm，kar是实值可预测过程，因此ems，ωm级∈ 带ems的N，ω6=0是U′s，ω对于任意（s，ω）的完全正交系统∈ [0，T]×Ohm. 然后每个U′值可预测过程H可以展开为U′，ωasHs，ω=Xm∈N（Hs，ω，ems，ω）U′，ωems，ω。注意，对于每m∈ N、过程（Hs，ems）U′s=Pmk=1αm，ks（Hs，δxk）U′s是实值且可预测的，因此过程| Hs | U′s=Pm∈N |（Hs，ems）U’s |。有关更多详细信息，请参见[1 5]。确定setL（M，U′）=HH是U′值可预测过程s.t.EZT | Hs | U’sdAs< ∞.L（M，U′）是一个Hilbert空间，其标量积（H，K）M=EZT（Hs，Ks）U′sdAs, H、 K级∈ L（M，U′）。设k·Km表示相应的nor m。定理2.6（D e Donno和Pratelli[9]，De Donno[7]）。对于任何H∈ L（M，U′），存在一个简单被积函数序列（Hn）n∈n确保Hnt，ω收敛于Ht，ωin U′t，ωfor all（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和（HnoM）n∈Nis是H（P）中的Cauchy序列。因此，我们可以将随机积分HoM=Rohsdms定义为序列的极限（HnoM）n∈N、映射L（M，U′） H 7→ 高o米∈ H（P）是线性的。对于任何H，K，我认为hhoM，KoMit=Zt（Hs，Ks）U′sda和hencekHoMkH（P）=khkm∈ L（M，U′）。推论2.7。

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2022-6-10 03:30:33

由M=（Mx）x生成的稳定子空间∈Xin平方可积鞅集与随机积分集{HoM | H一致∈ L（M，U′）}。因此，对于任何ξ∈ L（FT，P），存在唯一的H∈ L（M，U′）和N∈ H（P），使得N=0，N与M强正交，ξ=E[ξ]+ZTHsdMs+NT。3连续函数空间上圆柱鞅驱动的倒向随机微分方程（BSDE）在本节中，我们考虑了C上平方可积圆柱鞅驱动的倒向随机微分方程（BSDE）。我们保留第2节中的符号，并进一步施加以下假设。假设2。假设1中的可预测过程A是连续的。对于下面指定的给定数据（f，ξ），我们考虑的BSDE形式为：yT=ξ+ZTtf（s，Ys，Hs）dAs-ZTTHSDM-ZTtdNs，t∈ [0，T]。（3.1）为了参考此BSDE，我们使用符号BSDE（f，ξ）。这里，数据（f，ξ）由驱动程序f和满足以下假设的终端条件ξ组成。假设3。（i）驱动器f是{（ω，s，y，h）|ω上的实值函数∈ Ohm, s∈[0，T]，y∈ R、 h类∈ U′，ω}这样；o对于任何U′值可预测过程K，函数（ω，s，y）7→ f（ω，s，y，Ks，ω）isP B（R）-可测，并且o存在正的可预测过程η和θ，使得| f（t，y，Kt）- f（t，y，Kt）|≤ ηt | y- y |+θt | Kt- Kt | U′tdAt dP-a.e.（3.2）适用于任何y，y∈ R和U′值过程K，K.（ii）终端条件ξ是一个实值且FT可测的随机变量。我们定义了αt=pηt+θt>0和Kt=RtαsdAs。请注意，α和K都是可预测的，K是连续的，没有递减。

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2022-6-10 03:30:36

对于每个β≥ 0，定义以下空格；Lβ=ζ ∈ L（英尺，P）kζkβ=EeβKT |ζ|< ∞,LT，β=φφ是一个实值且c\'adl\'ag适应的过程s.t.kφkT，β=E中兴通讯βKt |φt | dAt< ∞,Lβ（M，U′）=K∈ L（M，U′）kKkM，β=E中兴通讯βKt | Kt | U′tdAt< ∞,Hβ（P）=L∈ H（P）kLkHβ（P）=E中兴通讯βKtd[L]t< ∞,Sβ=（φ，K，L）αφ ∈ LT，β，K∈ Lβ（M，U′）和L∈ Hβ（P）.备注3.1。（i）如果过程K=R·αs是一致有界的，则所有空间slβ（分别为LT，β，Lβ（M，U′），Hβ（P））与L（分别为LT=LT，0，L（M，U′），H（P））重合，所有范数都是等价的。（ii）对于任何β≥ 0，我们可以定义随机积分KoM∈ K的H（P）∈ Lβ（M，U′）。此外，可以表明KoM∈ Hβ（P）。（iii）对于任何L∈ Hβ（P），自【L】- hLi是鞅，K是可预测的，我们有中兴通讯βKtd[L]t= E中兴βKtdhLit< ∞.（iv）集合Sβ是一个Hilbert空间，其normk（φ，K，L）kSβ=KαφkT，β+kKkM，β+kLkHβ（P）。定义3.2。固定任意β≥ 满足假设3的数据（f，ξ）称为β-标准ifα-1f（·，0，0）∈ LT、β和ξ∈ Lβ。定义3.3。对于aβ-标准数据（f，ξ），β≥ 如果N=0，hN，Mxi，则Sβ中的三元（Y，H，N）称为BSDE（f，ξ）的解≡ 0表示所有x∈ 十、（3.1）持有P-a.s。以下定理是我们关于有限维BSDE（3.1）解的存在唯一性的第一个主要结果。定理3.4。让β>3。对于aβ标准d数据（f，ξ），Sβ中存在唯一的BSDE（f，ξ）解（Y，H，N）。定理3.4通过对Carbone、Ferrario和Santacrosse【4】以及El Karoui和Huang【13】中的论点进行轻微修改得到证明。为了完整性，我们通过在我们的设置中应用[4]，给出了第3.4条的证明。首先，考虑驱动因子f既不依赖于Y也不依赖于K的情况。引理3.5。固定任何β>0，并让ξ∈ Lβ和f（ω，t，·，·）≡ g（ω，t）带α-1克∈ LT，β。因此，在Sβ中存在BSDE（f，ξ）的唯一解。证据

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2022-6-10 03:30:39

唯一性：必须证明三元（0，0，0）是SDE（0，0）的唯一解。Let（Y，H，N）∈ Sβ是BSDE（0，0）的解。然后Yt=-RTtHsdMs-RTtdNtP-a.s.适用于所有t∈ [0，T]。由于右侧的随机积分是后向鞅，并且过程Y是自适应的，因此，对于每个t∈ [0，T]产生Y≡ 0 . 然后我们得到了NT=-由于Nis与M强正交，我们在L（M，U′）和N中看到H=0≡ 存在性：首先，对于任何过程h，常数p>0，t∈ [0，T]，它认为ZTthsdAs公司=中兴通讯-pKs/2αsepKs/2α-1HSDAS≤中兴通讯-pKsαsdAsZTtepKsα-2shsdAs=pe-pKt公司- e-pKT公司ZTtepKsα-2shsdAs。（3.3）特别是，由于α-1克∈ LT，β根据假设，在上述估计中设置h=g，p=β，t=0，得出RTGSDAS∈ L（英尺，P）。SeteLt=Eξ+ZTgsdAs英尺, t型∈ [0，T]并用L表示L的右连续版本。那么L在H（P）中。因此，存在∈ L（M，U′）与鞅N∈ H（P）使得N=0，N是强正交的toM，L=L+Z·HsdMs+N。设置Yt=Lt-RtgsdAs。那么Y是右连续的和自适应的。此外，Y可以写成asYt=ξ+ZTtgsdAs-ZTTHSDM-ZTtdNs，t∈ [0，T]。我们证明了三重（Y，H，N）在Sβ中。注意YT=Eξ+ZTtgsdAs英尺≤ E“ξ+ZTtgsdAs英尺#≤ 2E类ξ英尺+ 2E“ZTtgsdAs公司英尺#≤ 2E类ξ英尺+βe-βKt/2EZTteβKs/2α-2sgsdAs英尺, t型∈ [0，T]，其中我们在第一个不等式中使用了Jensen不等式，在第三个不等式中使用了p=β/2的估计值（3.3）。我们看到tkαY kT，β=E中兴通讯βKtαtYtdAt≤ 2E类ZT公司eβKtαtξ+βeβKt/2αtZTteβKs/2α-2sgsdAsdAt公司= 2E类ξ中兴通讯βKtdKt+βE中兴通讯βKs/2α-2sgsZseβKt/2dKtdAs公司≤βkξkβ+βkα-1gkT，β<∞,因此αY∈ LT，β。接下来，让我们证明H∈ Lβ（M，U′）和N∈ Hβ（P）。Setn=R·HsdMs+N∈ H（P）。由于N与M强正交，它认为hni=R·| Hs | U′sdAs+hni。

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可人4

2022-6-10 03:30:42

注意到增加过程K在假设2下是连续的，It^o的公式得出thatd（eβKt（hniT- hnit））=βeβKt（hnit- hnit）dKt- eβKtdhnit和hencekHkM，β+kNkHβ（P）=e中兴βKtdhnit= E[hniT]+βE中兴通讯βKt（hniT- hnit）dKt（3.4）=kHkM+kNkH（P）+βE中兴通讯βKtE[hniT- hnit | Ft]dKt. （3.5）此外，我们还有- hnit | Ft]=E（nT- nt）英尺= E“ξ - Yt+ZTtgsdAsFt#=E“ξ+ZTtgsdAs英尺#- Eξ+ZTtgsdAs英尺≤ 2 E“ξ+ZTtgsdAs公司Ft#，（3.6），其中我们使用了等式Yt=E[ξ+RTtgsdAs | Ft]。因此，与上述估计相同，我们可以证明（3.4）中的第三项是有限的。因此，kHkM，β+kNkHβ（P）<∞所有的断言都得到了证明。引理3.6。固定β>0且let（Y，H，N）的β标准研发数据∈ Sβ是SDE（f，ξ）的溶液。然后，支持∈[0，T]| eβKtYt |在L（P）中。因此，对于任何L∈ Hβ（P），t弹性积分r·eβKsYs-这是一个鞅。证据通过使用hs=f（s，Ys，hs）和p=β的估计（3.3），我们可以显示eβKtYt=EheβKtξFti+EeβKtZTtf（s、Ys、Hs）dAs英尺≤ 2HeβKtξFti+2EeβKtZTtf（s、Ys、Hs）dAs英尺≤ 2HeβKTξFti+βE“中兴通讯βKsα-2sf（s、Ys、Hs）dAs1/2英尺#。因此，E“supt∈[0，T]eβKtYt#≤ 2E“支持∈[0，T]EeβKT/2ξ英尺#+βE支持∈[0，T]E“中兴通讯βKsα-2sf（s、Ys、Hs）dAs1/2英尺#≤ 8EeβKTξ+βE中兴通讯βKsα-2sf（s、Ys、Hs）dAs≤ 8kξkβ+βkα-1f（·，0，0）kT，β+kαY kT，β+kHkM，β< ∞,我们在第二个不等式中使用了Doob不等式，在第三个不等式中使用了Lipschitz条件（3.2）。让我∈ 给出Hβ（P）。注意到备注3.1（iii）和K是连续的，我们得到了e“ZTe2βKtYt-d[L]t1/2#≤ E“中兴通讯βKtd[L]t1/2中断∈[0，T]eβKt/2 | Yt|#≤ kLkHβ（P）·支持∈[0，T]eβKt/2 | Yt|L（P）<∞,因此，随机积分r·eβKsYs-这是一个鞅。定理3.4的证明。

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2022-6-10 03:30:46

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2022-6-10 03:30:49

现在，由于β>3，我们可以选择一个常数u>0，以便β- 2u=1，然后u=β-1.∈ (0, 1). 取该u>0得到k（δbY，δbH，δbN）kSβ≤β-1k（δY，δH，δN）kSβ，因此映射Φ是Sβ上的收缩映射。接下来，我们给出唯一解（Y，H，N）的近似结果∈ BSDE（f，ξ）的Sβ通过相应的有限维BSDE的一系列解。设{x，x，…}是X的可数稠密子集。对于每个n∈ N、设Mn为N维平方可积鞅Mn=（Mx，…，Mxn）tr。此处，（·）tr表示（有限维）向量的转置，因此Mn为列向量。修复任意n∈ N、 N维被积函数的空间由l（Mn，Rn）定义=HH为Rn值可预测，kHkMn=EZTHtrtdhMnitHt公司< ∞.那么L（Mn，Rn）是希尔伯特空间。此外，对于任何H∈ L（Mn，Rn），我们有∈ H（P）和kHoMnkH（P）=kHkMn。平方e可积鞅集合中mn生成的稳定子空间与n维向量随机积分集合{HoM | H一致∈ L（Mn，Rn）}。因此，对于任何r和om变量ξ∈ L（FT，P），存在唯一的H∈ L（Mn，Rn）和N∈ H（P）使得N=0，Nis与Mn强正交，ξ=E[ξ]+ZTHsdMns+NT。（3.8）注意，mn的可预测二次变化可以写成ashMnit=Zt∑nsdAs，t∈ [0，T]，其中∑ns，ω=（∑n，（i，j）s，ω）i，j=1，。。。，n为∑n，（i，j）s，ω=Qs，ω（xi，xj）。我们可以确定每个元素H=（H，…，Hn）tr∈ 通过设置H=Pni=1Hiδxi，L（Mn，Rn）具有M值可预测过程（也用H表示）。

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2022-6-10 03:30:51

然后我们得到了thatkHkMn=EZTHtrtdhMnitHt公司= EZTHtrt∑ntHtdAt= E“ZTnXi，j=1HitQt（xi，xj）HjtdAt#=EZThHt、QtHtiM、CdAt= EZT | Ht | U′tdAt= kHkM<∞.因此，我们看到测度值过程H在L（M，U′）中，空间L（Mn，Rn）与L（M，U′）的子空间等距。对于每个n∈ N和aβ-标准数据（f，ξ），考虑有限维BSDEYnt=ξ+ZTtf（s，Yns，Hns）dAs-ZTtHnsdMns-ZTTDNS，t∈ [0，T]。（3.9）我们将此BSDE称为BSDEn（f，ξ）。设Lβ（Mn，Rn）和Snβ是对应的有限维解空间，即Lβ（Mn，Rn）=H∈ L（Mn，Rn）kHkMn，β=E中兴通讯βKtHtrtdhMnitHt< ∞andSnβ=（φ，K，L）αφ ∈ LT，β，K∈ Lβ（Mn，Rn）和L∈ Hβ（P）.我们可以看到Lβ（Mn，Rn） L（M，U′）和Snβ Sβ通过识别每个有限维积分H和相应的度量值被积函数，对于任何n∈ N和β≥ 定义3.7。对于n∈ N和aβ-带β的标准数据（f，ξ）≥ 0，一个三元组（Yn，Hn，Nn）∈如果Nn=0，hNn，Mxii，则Snβ称为BSDEn（f，ξ）的解≡ 0表示i=1，n和（3.9）保持P-a.s。用mn替换M，并注意表示公式（3.8），我们可以用与定理3.4相同的方式显示以下命题。定理3.8。让β>3。对于n∈ N和aβ-标准dat a（f，ξ），在Snβ中存在BSDEn（f，ξ）的唯一溶液（Yn，Hn，Nn）。下面的定理是关于有限维BSDE（f，ξ）唯一解的近似方法的第二个主要结果。定理3.9。设（f，ξ）为β>3的β-标准数据。Let（Y，H，N）∈ Sβ是BSDE（f，ξ）和（Yn，Hn，Nn）的唯一解∈ Snβ是每个n的BSDEn（f，ξ）的唯一解∈ N、然后我们得到了k（Y，H，N）- （Yn，Hn，Nn）kSβ→ 0作为n→ ∞.此外，存在一个仅依赖于β的常数γ>0，使得kα（Y- Yn）kT，β+kH- HnkM，β≤ γkN- NnkHβ（P）（3.10）适用于所有n∈ N、证明。对于每个n∈ N、定义δnY=Y- Yn，δnH=H- Hn，δnN=N- Nn。

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2022-6-10 03:30:55

然后δnH∈ Lβ（M，U′），δnN∈ Hβ（P）和δnY满足度δnYt=ZTt（f（s，Ys，Hs）- f（s，Yns，Hns））dAs-ZTtδnHsdMs-所有t的ZTtdδnns∈ [0，T]，P-a.s.通过注意到K=R·αsdAsas以及a在假设2下是连续的，它^o的公式意味着d |δnYt |=-2δnYt（f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt））日期+日期Z·δnHsdMst+d[δnN]t+2dZ·δnHsdMs，δnNt+2δnYt-δnHsdMt+2δnYt-dδnNtand thatd（eβKt |δnYt |）=eβKt（βαt |δnYt | dAt+d |δnYt |）。（3.11）注意过程2R·eβKtδnYt-δnHtdMtand 2R·eβKtδnYt-dδnNtare鞅。因此，通过对[0，T]积分（3.11）并计算期望值，我们得到eβKT |δnYT|- E|δnY|= E中兴通讯βKt（βαt |δnYt|- 2δnYt（f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt）））dAt+ E中兴通讯βKtdZ·δnHsdMst+dhδnNit+2dZ·δnHsdMs，δnNt型= E中兴通讯βKt（βαt |δnYt|- 2δnYt（f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt）））dAt+ E中兴通讯βKt|δnHt | U′tdAt+dhδnNit+2dZ·δnHsdMs，δnNt型,其中，我们使用了关系hR·△nHsdMsit=Rt |δnHs | U′sdAs，t∈ [0，T]，在第二个等式中。因为δnYT=0，所以我们有βkαδnykt，β+kδnHkM，β+kδnNkHβ（P）≤ E中兴通讯βKt2 |δnYt |·| f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt）| dAt+ 2E类中兴通讯βKtdZ·δnHsdMs，δnNt型. （3.12）由于驾驶员满足Lipschitz条件（3.2），因此它保持t仇恨中兴通讯βKt2 |δnYt |·| f（t，Yt，Ht）- f（t，Ynt，Hnt）| dAt≤ E中兴通讯βKt2 |δnYt |·（ηt |δnYt |+θt |δnHt | U′t）dAt≤ （2+u）E中兴通讯βKtαt |δnYt | dAt+uE中兴通讯βKt |δnHt | U′tdAt（3.13）对于所有u>0，我们在第二个不等式中使用了平凡不等式（3.7）。对于不等式（3.12）右侧第二项的估计，考虑过程hR·δnHsdMs，δnNi。每个Hs，ω可以在协方差空间U′，ωasHs，ω中展开=∞Xm=1（Hs，ω，ems，ω）U′，ωems，ω，其中{em}m∈Nis是一系列测度值可预测过程，对于每个过程（s，ω）∈ [0，T]×Ohm, ems，ω∈ 所有m的跨度{δx，…，δxm}∈ N与序列{ems，ω}m∈Nis是U′s的完全正交系，ω；见备注2.5。

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2022-6-10 03:30:58

定义Hnbybhns，ω=∞Xm=n+1（Hs，ω，ems，ω）U′，ωems，ω，（s，ω）∈ [0，T]×Ohm.显然，过程bhnis在L（M，U′）中。此外，由于H-bhni是过程{e，…，en}的线性组合，因此是狄拉克测度{δx，…，δxn}，我们可以看到它在L（Mn，Rn）中。由于鞅δnN=N- Nnis强正交toMn=（Mx，…，Mxn）tr，我们有Z·δnHsdMs，δnN=Z·bHnsdMs，δnN+Z·（Hs-bHns公司- Hns）dMns，δnN=Z·bHnsdMs，δnN.因此，不等式（3.12）右侧的第二项可以估计为2e中兴通讯βKtdZ·δnHsdMs，δnNt型= 2E类中兴通讯βKtdZ·bHnsdMs，δnNt型≤ 2E类中兴通讯βKt | bHnt | U′tdAt1/2E中兴通讯βKtdhδnNit1/2≤ 2E类中兴通讯βKt | bHnt | U′tdAt+E中兴通讯βKtdhδnNit, （3.14）我们在第一个不等式中使用了Kunita–Watanabe不等式。结合（3.12），（3.13）和（3.14），我们得到β - 2.- ukαδnY kT，β+1.-ukδnHkM，β+kδnNkHβ（P）≤ 2E类中兴通讯βKt | bHnt | U′tdAt,（3.15）对于所有n∈ N和任何常数u>0。由于假设β>3，我们可以选择常数u>0，以便β- 2.- u>0和1-u> 0.现在，因为βKt | bHnt | U′t≤ eβKt | Ht | U′t∈ L（dAt dP）适用于所有n∈ N和| bHnt，ω| U′t，ω=∞Xm=n+1 |（Ht，ω，emt，ω）U′t，ω| n→∞-→ 0表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 支配收敛定理得出，当n趋于完整时，不等式的右侧（3.15）收敛到0，因此我们得到了该极限→∞k（δnY，δnH，δnN）kSβ=0。为了证明不等式（3.10），再次考虑不等式（3.12）右侧的第二项。通过使用Kunita–Watanabe不等式和不等式（3.7），我们得到了t2E中兴通讯βKtdZ·δnHsdMs，δnNt型≤ 2E类中兴通讯βKt |δnHt | U′tdAt1/2E中兴通讯βKtdhδnNit1/2≤ λE中兴通讯βKtdhδnNit+λE中兴通讯βKt |δnHt | U′tdAt（3.16）对于所有λ>0。结合（3.12），（3.13）和（3.16），我们得到β - 2.- ukαδnY kT，β+1.-u-λkδnHkM，β≤ (λ- 1） kδnNkHβ（P）（3.17）对于所有n∈ N和任何常数u，λ>0。

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2022-6-10 03:31:02

由于β>3，我们可以选择常数u，λ>0，以便β- 2.- u> 0, 1 - 1/u- 1/λ>0和λ- 1 > 0. 然后，（3.10）保持γ=（λ- 1）最大{（β- 2.- u)-1, (1 - 1/u- 1/λ)-1}.假设过程K=R·αs是一致有界的。在这种情况下，将α替换为eα=α+1和K byeK=R·eαsdAs（由于我们假设递增过程a是有界的，因此nek是有界的），我们得到以下推论。推论3.10。设（f，ξ）为满足假设3的数据。假设过程Kis一致有界，f（·，0，0）∈ LT和ξ∈ 五十、那么下面的断言就成立了。（i）存在唯一的三元组（Y、H、N）∈ LT×L（M，U′）×H（P），使得鞅N在零处为零，与M=（Mx）x强正交∈X且三重（Y、H、N）满足有限维BSDE（3.1）。（ii）对于每个n∈ N、存在唯一的三元组（Yn、Hn、Nn）∈ LT×L（Mn，Rn）×H（P），使得鞅nni在零处为零，与Mn=（Mx，…，Mxn）强正交，并且t r iple（Yn，Hn，Nn）满足有限维BSDE（3.9）。（iii）对于上述（Y，H，N）和（Yn，Hn，Nn），N∈ N、它坚持认为→∞Yn=Y，在LT，limn中→∞Hn=H in L（M，U′），limn→∞Nn=N，单位为H（P）。（iv）存在一个常数γ>0，仅取决于kATkL∞和kKTkL∞真讨厌- YnkT+kH- HnkM公司≤ γkN- NnkH（P）（3.18）适用于所有n∈ N、备注3.11。注意，（3.10）和（3.18）中出现的常数γ>0不取决于可数密集子集{x，x，…}的选择在债券市场的X.4应用程序中，我们认为债券市场是由贴现价格曲线的时间演化建模的‘‘P=（’PTt）t∈[0，T*])T∈[0，T*]在过滤概率空间中定义的零耦合债券(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T*], P）满足通常条件。我们假设T*> 0是有限且恒定的。

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2022-6-10 03:31:05

对于每个0≤ t型≤ T≤ T*, 随机变量“ptt”表示在时间t到期的零息票债券在时间t的贴现价格。对于t>t，通常假设贴现价格为“PTt=”PTt；这一假设代表了债券到期后自动转入银行账户的惯例。我们假设市场是无摩擦的，所有零息票债券在时间T到期∈ [0，T*] 可继续交易。注意，在本节中，将在区间[0，t]中考虑时间演化*]每个T∈ [0，T*] 将代表零息票债券的到期日。用第2节和第3节的符号，我们取X=[0，T*] 作为一系列进程的参数集。我们对市场模型施加以下假设。假设4.o折扣价格曲线'P=（'PTt）t∈[0，T*])T∈[0，T*]零耦合键的数量可以表示为“P=M+Z·bs（·）dAs，即对于每个T∈ [0，T*],(R)PTt=MTt+ZTB（T）dAs，T∈ [0，T*];o M=（（MTt）t∈[0，T*])T∈[0，T*]是C=C（[0，T]上的平方可积圆柱鞅*])定义过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T*], P）满足假设1和2，T替换为T*;o b=（bs（·））s∈[0，T*]是一个C值过程，其中存在一个U′值可预测过程λ，使得（Qs，ωλs，ω）（T）=bs，ω（T）（4.1），对于所有T∈ [0，T*] 和（s，ω）∈ [0，T*] × Ohm 非退化过程Kt=Rt |λs | U′s是一致有界的。备注4.1。（i）假设4是对所谓“结构条件”的有限维设置的自然概括，通常在数学金融中施加有限维半鞅。该条件与无套利条件（至少在有限维市场模型中）相关；参见【12】和【18】。

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2022-6-10 03:31:08

在有限维情况下，我们将非减损过程K=R·|λs | U′sdas称为均值方差权衡过程。（ii）对于任何t>t的“PTt=”PTt的约定，我们应假设所有t>t的MTt=MTTandbt（t）=0。然而，对于我们的结果来说，这个假设是不必要的。注意，由于质量（4.1），C值过程b实际上是U值可预测过程。此外，由于平均方差tradeo off过程K是有界的，因此对于任何H∈ L（M，U′），E“ZT公司*|Hs（bs）| dAs#= E“ZT公司*|（Hs，λs）U′s | dAs#≤ E“ZT公司*|Hs | U′s |λs | U′sdAs#≤ E千吨级*ZT公司*|Hs | U’sdAs≤ kKT公司*吉隆坡∞kHkM<∞, （4.2）其中，在第一个等式中，我们使用等式（4.1）和以下事实：映射Qs，ω从U′，ω到Us，ω为all（s，ω）∈ [0，T*] × Ohm, 在第三个不等式中，我们使用了Cauchy–Schwarz不等式。因此，对于任何H∈ L（M，U′），我们可以定义随机积分Ho\'P=R·Hsd'Ps，对于有限维半鞅P，我们可以将其定义为平方可积半鞅，即ZtHsd'Ps=ZtHsdMs+ZtHs（bs）dAs，t∈ [0，T*].有关有限维半鞅的广义随机积分的更详细讨论，请参见De Donno[7]。设{T，T，…}是区间[0，T]的可数稠密子集*]. 对于每个n∈ N、考虑N维过程“Pn=（“PT，…，”PTn）trand Mn=（MT，…，MTn）tr。然后对于任何H∈ L（Mn，Rn）n维随机积分al Ho(R)Pn=R·Hsd'Pnsiswell定义，是一个平方可积半鞅，其正则分解为zthsd'Pns=ZtHsdMns+nXi=1ZtHisbs（Ti）dAs。在第3节中，我们通常将Rn值过程H=（H，…，Hn）tr与度量值过程H=Pni=1HiδTias进行识别。我们把n维半鞅称为第n个小市场。让我们介绍一下交易策略的概念。

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2022-6-10 03:31:11

在小型市场中，我们采用Schweizer[19，20]中定义的（有限维）策略。定义4.2。修复n∈ N、第N个小市场中的L策略是一对φ=（H，η），其中H∈ L（Mn，Rn）和η是实值适应过程，因此（贴现）值过程Vt（φ）=ηt+Ht（\'Pnt）=ηt+nXi=1Hit'ptis右连续且平方可积，即Vt（φ）∈ L（P）表示所有t∈ [0，T*].设φ=（H，η）为第n个小市场的L策略。φisCt（φ）=Vt（φ）的（累计）成本过程-ZtHsd？Pns。如果成本过程满足Ct（φ），则φ称为自我融资≡ 对于一些F-可测的随机变量c∈ 如果C（φ）是martinga le（然后是平方可积的），则L（F，P），a和平均自融资。φisRt（φ）=E的风险过程（CT*(φ) - Ct（φ））英尺, t型∈ [0，T*].设R（φ）=E[（CT*(φ) - C（φ））]并称之为φ的总风险。对于小市场中的L-策略φ=（H，η），有限维被积函数HRE表示持有期限固定（有限数量）的零息票债券的数量，实际调整过程η表示银行账户中的头寸。然后，Stocastic integrator r·Hsd表示与投资相对应的累积收益。提案4.3。（i）对于给定的右连续、自适应、平方可积过程∈ L（Mn，Rn），存在唯一的实值适应过程η，使得φ=（H，η）是第n个小市场中的L-策略，具有给定ξ的成本过程C.（ii）∈ L（英尺*, P） a和H∈ L（Mn，Rn），存在唯一的平方可积函数C和唯一的实值适应过程η，使得φ=（H，η）是具有成本过程C且满足VT的第n个小市场中的一种策略*（φ） =ξP-a.s.这里，“唯一”一词是指“唯一到不可区分”。证据

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2022-6-10 03:31:14

（i）：通过ηt=ZtHsd？Pns确定φ=（H，η）- Ht（Pnt）+Ct，t∈ [0，T*].然后，价值过程可以写为V（φ）=R·Hsd'Pns+C。通过假设过程V（φ）是右连续且平方可积的，因此φ是当时小市场中的L-策略。φ的成本过程C（φ）与C一致。设φ′=（H，η′）为第n个小市场中的策略，成本过程C。然后，价值过程V（φ）和V（φ′的正确连续性得出这两个过程是不可区分的，因此η和η′也是不可区分的。（ii）：设置=Eξ -ZT公司*Hsd？Pns英尺, t型∈ [0，T*],让C是C的正确连续版本。那么过程C是一个右连续平方可积鞅。对于这对（C，H），定义一个实值适应过程ηasin（i）。那么φ=（H，η）是第n个小市场的L策略，具有成本过程c和满意度VT*(φ) = ξ. 设（C′，η′）是满足（ii）中断言的一对。然后，C′的马丁格尔性质得到C′t=E[C′t*| 英尺]=E及物动词*(φ′) -ZT公司*Hsd？Pns英尺= Eξ -ZT公司*Hsd？Pns英尺= CtP-a.s.适用于所有t∈ [0，T*] 然后C和C′的右连续性得出这两个鞅是不可区分的。现在，过程η和η′的不可区分性来自（i）。因此，在小型市场中，L-策略的特征可以是有限维整数H和成本过程C。此外，对于任何索赔ξ∈ L（英尺*, P），在小市场中存在一种平均自我融资L-策略，该策略通过成本过程C实现了索赔ξ，而该martinga le C完全由有限维积分决定（当然也由索赔ξ决定）。考虑到这一事实，让我们在整个市场中定义一个通用战略。定义4.4。我们称一对Φ=（H，C）为广义L-策略，如果H∈ L（M，U′）和ifC是一个实值、右连续的平方可积过程。

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2022-6-10 03:31:17

对应于Φ的广义值过程由vt（Φ）=ZtHsd'Ps+Ct，t定义∈ [0，T*]. （4.3）如果成本过程满足Ct（φ），Φ称为自我融资≡ 对于某些F-可测Rando mva变量c∈ 如果C是（平方可积）鞅，则为L（F，P）和平均自融资。备注4.5。如果H在L（M，M）中，那么它可以被视为持有的零耦合债券，可能有很多到期日。然而，一般而言，广义L-策略Φ=（H，C）并不代表经典意义上的交易者投资组合。由于每个“Pt”不一定在Ut中，零息票债券中的“Ht”（“Pt”）位置通常没有定义，因此银行账户中的“η”位置无法通过广义策略Φ识别。广义策略是可行的，但在小市场中可以用一系列现实策略来近似，因此我们应该采用其合理的近似顺序。在为广义策略构造合理的近似之前，让我们先介绍一下索赔的近似可达到性的概念。定义4.6。未定权益是一个随机变量ξ∈ L（英尺*, P）。如果存在一个自我融资的广义L-策略Φ=（H，c），使得ξ=VT，则断言ξ是近似可实现的*（Φ）=c+ZT*Hsd“PsP-a.s.如果所有未定权益都是近似可附的，则市场”P被认为是近似完整的。备注4.7。值得注意的是，我们对未定权益集和近似完整性的定义是基于主观测度P。下面的命题4.8描述了根据相应BSDE的解，索赔的近似可赔性。

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2022-6-10 03:31:21

集合f（ω，t，y，Ht，ω）=-Ht，ω（bt，ω），αt=1+|λt | U′t，a ndKt=RtαsdAs=Kt+at，使用第3节中的符号，并回顾平均方差权衡过程K=R·|λt | U′t有界以及递增过程a是连续且有界的假设。那么，对于任何索赔ξ∈ L（英尺*, P），数据（f，ξ）满足推论3.10中的所有假设。因此，存在唯一的解（Y，H，N）∈书信电报*BSDEYt的×L（M，U′）×H（P）=ξ-ZT公司*tHs（bs）dAs-ZT公司*tHsdMs-ZT公司*tdNs，t∈ [0，T*]. （4.4）提案4.8。对于索赔ξ∈ L（英尺*, P），以下条件是等效的。（i） ξ近似可达到。（ii）唯一溶液（Y、H、N）∈ 书信电报*带f（ω，t，y，Ht，ω）的BSD E（f，ξ）的×L（M，U′）×H（P）=-Ht，ω（bt，ω）满足≡ 此外，在这种情况下，实现索赔ξ的自融资广义L-策略是Φ=（H，Y），相应的值过程是V（Φ）=Y。证据假设索赔ξ∈ L（英尺*, P）大约可以实现。然后存在自融资广义L-策略Φ=（H，c），使得ξ=VT*(Φ). 现在让Y=V（Φ）。根据值过程的定义，Y是右连续的、自适应的和平方可积的。此外，进程Y在LT中*. 事实上，我们有那个该死的kT*= EZT公司*YtdAt公司≤ T*凯特*吉隆坡∞E“支持∈[0，T*]Yt#。对于每个t∈ [0，T*], 我们有≤ 2c+2ZtHsd？Ps≤ 2c+4ZtHsdMs+ 4.ZtHs（bs）dAs≤ 2c+4ZtHsdMs+ 4.ZT公司*|Hs（bs）| dAs.自c起∈ L（F，P），H∈ L（M，U′）和递增过程A是有界的，通过使用Burkholder-Davis-Gundy不等式和估计（4.2），我们可以看到kY kT*< ∞ 因此Y∈ 书信电报*. 因为ξ=VT*（Φ）=YT*= Yt+ZT*tHsd？Ps=Yt+ZT*tHs（bs）dAs+ZT*每个t的THSDMs∈ [0，T*], 我们看到三重（Y，H，0）∈ 书信电报*×L（M，U′）×H（P）是BSDE（f，ξ）的（唯一）解，其中f（ω，t，y，Ht，ω）=-Ht，ω（bt，ω）。相反，假设断言（ii）成立。

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nandehutu2022

2022-6-10 03:31:24

ThenYt=ξ-ZT公司*tHs（bs）dAs-ZT公司*tHsdMs=ξ-ZT公司*tHsd？Ps，t∈ [0，T*],特别是ξ=Y+RT*Hsd'PsP-a.s.自索赔ξ和随机积分RT起*Hsd’Psis在L（P）中，随机变量Yis在L（F，P）中。因此，对Φ=（H，Y）是一种自我融资的广义L-策略，满足VT*（Φ）=ξP-a.s。剩余的评估是微不足道的。对于一个近似可实现的索赔ξ，存在一个自我融资的广义L战略Φ，它正式复制了该索赔。然而，这种策略Φ是切实可行的，我们应该为Φ构建一个合理的近似序列，这在财务上是有意义的。为此，我们将重点放在局部风险最小化策略和Schweizer引入的所有市场中未定权益的F¨ollmer–Schweizer分解上【19，20】。我们将回顾模型中的定义和相应结果。定义4.9。修复n∈ N并考虑第N个小型市场。（i）一双 = （δ，）由一个Rn值可预测过程δ和一个实值适应过程δ组成，如果hR··δsdMnsi=R····δs | U′sdAs（因此alsoR··| Pni=1δisbs（Ti）| dAs）一致有界，则称为第n个小市场中的小扰动() = +Pni=1δi？pTis平方可积，a和VT*() = 0 P-a.s.（ii）对于每个小扰动 = [0，t]的（δ，）和子区间（s，t）*], 我们定义了小扰动|（s，t）=（（δ1l]]s，t]]，如果t<t*,（δ1l]]s，t]]，1l[[s，t]*]]) 如果t=t*.对于L策略φ和小扰动, 在第n个小市场中，和分区τ={t，t。

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可人4

2022-6-10 03:31:27

，tk} [0，T*] 0=t<t<···<tk=t*, 我们设置τ[φ，] =k-1Xi=0Rti（φ+|（ti，ti+1]）- Rti（φ）E[Ati+1- Ati | Fti]1l]]ti，ti+1]]。（请注意，过程A严格递增，并受我们的假设限制。）（iii）对于Everymall扰动，第n个小市场中的L策略φ称为局部风险最小化在第n个小市场和每个递增序列（τk）k中∈对于倾向于同一性的分区，我们有→∞rτk[φ，] ≥ 0日期 dP-a.s.在我们的模型中，由于过程a和均值-方差权衡过程K是连续的，小市场中的局部风险最小化策略具有以下定理的特征。定理4.10（Schweizer【20】）。假设一个索赔ξ∈ L（英尺*, P）已激活。修复n∈ N、然后，对于满足VT的第N个小市场中的L策略φ*（φ） =ξP-a.s.，以下断言是等效的。（i） φ是第n个小市场的局部风险最小化。（ii）φ是平均自融资，成本函数C（φ）与Mn强正交。由于定理4.10，局部风险最小化策略与下面定义的索赔的F¨ollmer–Schweizer分解相关。定义4.11。对于每个n∈ N、我们说这是一项索赔ξ∈ L（英尺*, P）如果表示为ξ=ξ0，n+ZT，则允许第n个小市场中的F¨ollmer–Schweizer分解*Hξ，nsd'Pns+Nξ，nT*P-a.s.，其中ξ0，n∈ L（F，P），Hξ，n∈ L（Mn，Rn），过程Nξ，N=（Nξ，nt）t∈[0，T*]是一个（rig htcontinuous）平方可积鞅，它在零处为零，与Mn强正交。修正任何索赔ξ∈ L（英尺*, P）和n∈ N、考虑有限维BSDE（f，ξ），其中f（ω，t，y，h）=-h（bt，ω）=-Pni=1hibt，ω（Ti），对于h∈ 注册护士；Ynt=ξ-ZT公司*tHns（bs）dAs-ZT公司*tHnsdMns公司-ZT公司*tdNns，t∈ [0，T*]. （4.5）根据推论3.10，存在唯一解（Yn，Hn，Nn）∈ 书信电报*BSDE（4.5）的×L（Mn，Rn）×H（P）。

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2022-6-10 03:31:30

特别地，权利要求ξ可以写成ξ=Yn+ZT*Hns（bs）dAs+ZT*HnsdMns+NnT*= Yn+ZT*Hnsd？Pns+NnT*P-a.s.由于平方可积marting-ale-nni在零处为零，且与Mn强正交，因此该定理ξ在第n个小市场中允许唯一的F¨ollmer–Schweizer分解。定义一个完全连续的平方可积鞅Cnby Cnt=Yn+Nnt，t∈ [0，T*],并考虑命题4.3中关于有限维被积函数Hn的相应过程ηnas∈ L（Mn，Rn）和马丁酒Cn。那么，对φn=（Hn，ηn）是第n个小市场中的平均自我融资L策略，成本过程满足VT*（φn）=ξP-a.s。由于cns是一个平方可积鞅，强正交于toMn，根据定理4.1 0，φnis在n-t h小市场上局部风险最小化。现在我们可以说明关于广义策略的合理近似序列的结果。定理4.12。Letξ∈ L（英尺*, P）是一个近似可实现的断言，Φ=（H，c）是满足VT的自融资广义L-策略*（Φ）=ξP-a.s.，φn=（Hn，ηn）是第n个小市场满足VT的局部风险最小化L策略*（φn）=ξ，对于每个n∈ N、然后它保持着→∞V（φn）=LT中的V（Φ）*,画→∞Hn=H in L（M，U′），limn→∞R（φn）=0，其中每个R（φn）是定义4.2中定义的φ的总风险。此外，存在一个常数γ>0，这仅取决于过程K的均值-方差权衡和递增过程A，使得kv（Φ）- V（φn）kT*+ kH公司- HnkM公司≤ γR（φn）表示所有n∈ N、证明。根据命题4.8，（V（Φ），H，0）∈ 书信电报*×L（M，U′）×H（P）是有限维BSDE（4.4）的唯一解。另一方面，对于每个n∈ N、（V（φN），Hn，Nn）∈书信电报*×L（Mn，Rn）×H（P），Nn=C（φn）- V（φn）=C（φn）- C（φn）是有限维BSDE（4.5）的唯一解。注意，对于每个n∈ N、我们有knnkh（P）=kNnT*kL（P）=E（CT*（φn）- C（φn））= R（φn）。

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2022-6-10 03:31:33

（4.6）因此，Coro llary 3.10持有的主张。备注4.13。如Schweizer【19】所述，对于第n个小市场的局部风险最小化策略φ，过程V（φn）可以解释为基于第n个小市场的索赔ξ的内在估值过程，该过程与局部风险最小化的主观标准有关。定理4.12指出，对于近似可实现的索赔，内在估值过程序列和基于小市场的最优策略序列分别在L意义上收敛于广义估值过程和广义套期保值策略。此外，相应的总风险趋于零。在这种意义上，我们可以为债券市场中的广义结构构造一个“合理”的近似序列。请注意，如De Donno、Guasoni和Pratelli[8]所示，在一个完整的大型金融市场中，基于小型市场的持续债权的超级应用价格不一定会收敛于基于大型市场的超级应用价格。另一方面，定理4.12在风险方面调整了估价过程的近似程序，并为有限维市场模型中的未定权益定价理论提供了新的视角。致谢我要感谢我的导师Masanori Hino教授和IchiroShigekawa教授进行了有益的讨论。我还要感谢JunSekine fo教授就BSDE和债券市场的研究给了我很多宝贵的意见。参考文献【1】T.Bj¨ork、G.Di Masi、Y.Kabanov和W.Runggaldier。托瓦是债券市场的一般理论。财务Stoch。，1(2):141 –174, 1997.[2] R.Buckdahn。倒向随机微分方程。额外成本下的期权对冲。《随机分析、随机场与应用》（Ascona，1993），Progr第36卷。

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概率。，第307-318页。Birkhauser，巴塞尔，1995年。[3] L.坎皮。大型金融市场中的平均变量套期保值。Stoc h.肛门。Appl，27（6）：1129–1147，2009年。[4] R.Carbone、B.Ferrario和M.Santacroce。c\'adl\'ag martinga les提出的反向随机微分方程。Teor公司。Veroyatn。Primen。，52(2):375–385, 2007.[5] R.A.Carmona和M.R.Tehranchi。利率模型：一个有限维度到仓促分析视角。斯普林格财务公司。Springer-Verlag，柏林，2006年。[6] G.Da Prato和J.Zabczyk。《有限维随机方程》，《数学年表》第152卷及其应用。剑桥大学出版社，剑桥，第二版，2014年。[7] 德多诺先生。关于一类广义被积函数。斯托赫。肛门。应用程序。，25(6):1167–1188,2007.[8] M.De Donno、P.Guasoni和M.Pratelli。大型金融市场的超级复制和效用最大化。随机过程。应用程序。，115(12 ):2006–2022, 2005.[9] 德多诺先生和普拉特利先生。债券市场中度量值策略的使用。财务Stoch。，8(1):87–109, 2004.[10] 德多诺先生和普拉特利先生。Bond市场的随机积分理论。安。应用程序。概率。，15(4):2773–2791, 2005.[11] 德多诺先生和普拉特·埃利先生。关于半鞅序列的随机积分。在《数学课堂讲稿》第18卷第74节的备忘录《保罗·安德烈·梅耶：概率论》第三十九章中。，第119-135页。柏林斯普林格，2006年。[12] F.Delbaen和W.Schachermayer。绝对连续局部鞅测度的存在性。安。应用程序。概率。，5(4):926–945, 1995.[13] N.El Karoui和S.J.Huang。后向随机微分方程存在唯一性的一般结果。在《Backward随机微分方程》（Pa ri s，1995–1996）中，Pitman Res.第364卷记录了数学。序列号：。，第27-36页。朗曼，哈洛，1997年。[14] N。

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