关于带跳BSDE的单调稳定性方法：扩展，

2022-5-25 11:19:38

带跳跃的盲源分离系统的单调稳定性方法：推广、具体准则和实例*Dirk Becher+Martin B¨uttner Klebert Kentia2019年11月21日抽象均匀补偿器。BSDE生成函数可以是非凸的，并且不需要易于验证的标准，以获得关于带跳跃的SDES有界解的存在性和唯一性的结果，以及关于比较和a-prioriL的结果∞-边界。本文讨论了几个例子和反例，以阐明不同假设的范围和适用性，并概述了金融和最优控制的主要应用。关键词：倒向随机微分方程、随机测度、单调稳定性、L′evyprocess、分步过程、效用最大化、熵风险测度、良好估值边界SC2010:60G57、60H20、93E20、60G51、91G801简介我们研究jumpsYt=ξ+ZTtfs（Ys）的倒向随机微分方程的有界解（Y、Z、U-, Zs，美国）ds-ZTtZsdBs-ZTtZEUs（e）eu（ds，de），由布朗运动带a补偿随机测量共同驱动eu=u- νPu，F，P由补偿的随机测量值eu驱动，并在非布朗过滤上进化。此类JBSDE确实涉及一个关于补偿跳跃被测量者u的额外随机积分，其积分du与z不同，通常取有限维函数空间中的值，而不是欧几里德空间中的值。与布朗情形相比，带跳跃的BSDE的比较定理需要更精细的技术条件，参见[BBP97，Roy06，CE10]。本文的出发点将是对[Roy06]中的开创性（aγ）-比较条件的一个轻微概括。

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2022-5-25 11:19:41

我们对JBSDE有界解的比较、存在性和唯一性结果的第一个贡献是对一个生成元族（2.6）的有限跳跃活动（不需要是Lipschitzumor09）的扩展，在没有布朗运动的纯跳跃情况下可能特别有吸引力，见推论4.12。*有关最终出版物，请参阅《随机分析前沿——BSDE、SPDE及其应用》，Springer，2019，DOI 10.1007/978-3-030-22285-7 1+洪堡大学数学研究所，地址：德国柏林大学林登分校，D-10099德国法兰克福歌德大学数学研究所，法兰克福，D-60054。电子邮件：kentia（at）aims。ac.za，becherer（at）数学。胡柏林。de.arXiv:1607.06644v4【数学公共关系】2019年11月20日，从给定的族（2.6）w.r.t.到基本的欧几里德参数，而不是在第3节中假设比较结果的不平等条件（见定理3.9和命题3.11，与命题3.1或[Roy06]的结果和相应的改进[QS13、KP16、Yao17]），并说明我们的结果的范围和适用性，以及文献中普遍存在的假设（通常是技术性的）的范围和适用性，也可能会对可能的陷阱提出警告。本文中的方法可以更详细地描述如下：比较结果将提供关于THL的基本先验估计∞-JBSDE解决方案的标准组件。这一步骤能够快速得出JBSDE的存在性和唯一性的中间结果，该结果具有确定跳跃序列的生成器，其解确实存在，扩展了[Kob00]和（对于特定JBSDE）[Mor09]的单调稳定性方法。对于本文，补偿器ν（ω，dt，de）uω，t，eλe这应该是自然的，例如。

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2022-5-25 11:19:45

在L'evy过程设置中，但允许不均匀，因为它可以ω，tνλtλσ我们假设eu与b（或单独）共同满足鞅的弱可预测表示的性质，见（2.2）。如例2.1中所述，这种设置允许在ANDEu之间存在一系列随机依赖关系，这似乎对应用程序建模有用，并包含BSDE中跳跃的任何有趣驱动噪声；这包括L'evy过程、泊松随机性以及广泛的文献，例如[CE10、CE15、CFJ16、GL16、GS16a、GS16b、BC17]。关于BSDE的文献始于对平方可积解的经典研究【PP90】，该可积解涉及到非Lipschitz但在Z上具有二次增长的生成器F，对于该生成器，Kob00tev08tl94bbp97ban15pps16kp16kp17efo17在全局Lipschitz条件下关于on（Z，U）的结果。据我们所知，在本文中，[Mor09]首先使用了[BEK13]中AEMN16半鞅方法的单调稳定性方法，以及[LS14]或[KTPZ15]使用了不同的方法，分别依赖于对偶方法或二次BSDE的[Tev08]的定点思想。ForkP16Yao17为生成器提供了唯一的解决方案，因为它们的组件是单调的，在许多方面都非常通用。例如，他们对过滤或发电机对（Y，Z）的依赖性的假设比我们的假设更一般。但本文件在上述其他方面仍有贡献。例如，[Yao17]假设跳跃活动有限，且Lipschitz连续。该文件，参见第5节中的示例。此外，可以公平地说，JBSDE文献中关于这些假设差异的结果，讨论具体示例和应用似乎很有帮助。本文的组织结构如下。

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大多数88

2022-5-25 11:19:48

第二节介绍了背景和数学背景。在第3-4节中，我们证明了比较结果，并说明了有界2预备阶段的存在性和唯一性。本节介绍了技术框架，设置了符号并讨论了关键条件。首先是关于随机积分w.r.t.随机测度和由布朗运动和补偿随机测度共同驱动的后向SDE有界解的所有基本事实。对于此处未解释的随机分析概念，我们参考[JS03，HWY92]。聚丙烯tT<∞(Ohm, F、（英尺）0≤T≤T、 P）过滤概率空间，过滤f=（Ft）0≤T≤t满足矩阵的usualftfppeepattranspose并简单写入y：=x对于两个向量x的标量积，yofHBEσEH \\{}HRll∈ 新罕布什尔州` RNE，BEB可预测处理ZW。r、相同维数的半鞅，如X=B，是从零开始的标度值半鞅，用（0，t]ZdX=RtZdX=ZoXtfort表示∈[0，T]。可预测的σ字段Ohm×[0，T]（宽r.T.（Ft）0≤T≤T）用pandep表示：=P B（E）是相应的σ-场Ohm := Ohm ×[0，T]×E.uννPPλtσλE，BERE1∧ |e |λ（de）<∞ 具有一些可测量、有界和非负密度ζ，使得ν（dt，de）=ζ（t，e）λ（de）dt=ζtdλdt，（2.1）≤ ζt，e≤ cνP λtcν>LλLζtλ可分Hilbert空间，因为λ（和λt：=ζtdλ）是σ-有限的，并且b（E）是完全生成的。由于密度ζ可以随（ω，t）变化，补偿器ν可以是时间不均匀和随机的。（B，eu）的更丰富依赖结构的许可证；例如，UleuLω，tLλζ的强度和分布≡此类账户。对于随机积分w.r.t。

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2022-5-25 11:19:51

eu和B我们定义了一组R值过程Sp：=Sp（P）：=nY c\'adl\'ag：| Y | P：=sup0≤T≤T | Yt|Lp（P）<∞ofor p∈ [1，∞] ,L（eu）：=nUeP可测量：kUkL（eu）：=eZTZE | Us（e）|ν（ds，de）< ∞o、 Rd值过程集sl（B）：=nθP-可测：kθkL（B）：=EZTkθskds< ∞o、 eueuPu- νuPUE | U |* uTE | U |* νT | U|* u1/2UeuU* euREUteu{t}，etJS03νλtZ公司∈ LBU公司∈ LeuZoBU* euU* eut0≤T≤TU公司* eutRtREUseeus，emartingales by【JS03，Thm.II.1.33】。ForZ，Z∈ L（B）andU，U∈ L（eu）我们可以预测U* eu，U* euTRTRUSEUSEνs，eJS03RZ dB，RZdBit=RtZTsZsds和RZ dB，U* eu[JS03，Thm.I.4.2]中的t=0。我们用k·km表示平方可积鞅的空间，其范数为k·km，其中kmkm=EMT/2hwy92pbmop包含具有一致有界跳跃和有界条件的平方可积鞅对二次变分过程增量的期望：sup0≤T≤TE（公吨- Mt）|英尺L∞（P） =sup0≤T≤TEhMiT公司- hMit |英尺L∞（P）≤ 常数<∞.Beueub具有弱可预测表示特性（弱PRP）w.r.t。过滤（Ft）0≤T≤T、因为每个平方可积鞅M都有一个（唯一）表示，即对于所有M∈ M存在Z，U，使得M=M+ZZ dB+U* eu，（2.2）Z∈ LBU公司∈ LeuJS03§HWY92§。MZUMin这样的分解两个被积函数都必须至少是局部平方可积的，并且HMI=R | Z | dt+| U|* 利用随机积分的强正交性。ThenE【hMiT】<∞在相应的空间中表示thatz，Uare。我们举例说明（2.2）如何与广泛的文献联系在一起。示例2.1。弱可预测表示属性（2.2）适用于以下情况。案例1-4、从经典理论[HWY92]可知，详见[Bec06，例2.1]。1.LetXbe a L'evy过程，x=0，可预测特征（α，β，ν）（undp）。然后是连续鞅partXc（如果β6=0，则重新标度为布朗运动，或者是平凡的βeuXuX- νx通常的过滤fx由x生成。

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mingdashike22

2022-5-25 11:19:56

有限活动的L'evy过程的一个例子是JS03随机连续性。2、假设Bandeu满足（2.2）Untp。让我们用密度过程z来表示一个等价的概率测度。然后布朗运动B：=B-R（Z-)-1MHz，Biandeu：=u- νPPto构建W和eu不独立的示例，基于其他示例。3.Lebbe独立于阶跃过程x的布朗运动（在[HWY92，Ch.11]的意义上）。跳变测度uXofX的补偿测度ThenBandeu具有弱xb多变量（非爆炸性）点过程，如【CFJ16】所示。X（2.2）适用于布朗运动和独立马尔可夫链生成的过滤，即各纯跳（半）马尔可夫过程的CE10CF14BC17随机测度。马尔可夫链X可数状态空间可以选择[CE10]来获取单位向量集合{ei:i]中的值∈ N} 序列空间的` RN，带跳跃X取值ei- ej，i，j∈ N、 5。U* euU∈ Leu正交鞅。更准确地说，假设补偿器与乘积λ一致tζunn∈NHilbert空间L（λ），标量乘积为hu，vi：=REu（e）v（e）λ（de）。LEUT=Pn∈NhUt，uniunbe Utfor U的基础扩展∈ L（eu），t≤ T然后它保持（M）U* eu=Xn∈NZ·hUt，uniZEun（e）eu（dt，de）=：Xn∈NZ·αntdLnt=Xn∈NαNoLn，（2.3）αnthUt，uniLnun* euFntPnk=1 hut，ukiukPnk=1αktukone看到了那kp∞k=1 |αk | kL（Pdt）≤ kUkL（eu）<∞. 由支配收敛得到→ ∞肯德基- UkL（eu）=e中兴通讯| Fnt（e）- Ut（e）|λ（de）dt= EZT公司∞Xk=n+1 |αkt | dt→ 等距意味着随机积分fn* euconverge toU* euinM，证明（2.3）。特别是，我们看到了PRP（2.2）w.r.t.一个随机测度如何被重写为一系列普通随机积分w.r.t.标量值强正交鞅，这实际上是具有确定性特征（0，Run（e）λ（de））的L'evy过程。

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2022-5-25 11:19:59

从这个意义上讲，一般条件（2.2）与[NS00，NS01满足指数矩条件的L'evy过程中的L'evy过程的PRP和BSDE结果有很好的联系。有关包含一般L'evy过程的相关PRP结果的系统分析，请参见[DTE15b，DTE15a]。之前的论点可以扩展到ζ6的一般情况≡1英寸（2.1）。为此，假设Unleut≤ TUntn公司∈NLλtλtζtλhu，vitREueveζt，eλeabove，αnt：=hUt，Untitand Ln：=Un* euone得到鞅的等式（单位：M）U* eu=Xn∈NZ·hUt，unitzeunt（e）eu（dt，de）=：Xn∈NαNoLn。为了继续，我们现在定义了一个后向SDE的解决方案，其跳跃为空间Sp×L（B）×L（eu）中过程的三重（Y，Z，U），对于适当的p∈ （1，∞] 满足度t=ξ+ZTtfs（Ys-, Zs，美国）ds-ZTtZsdBs-ZTtZEUs（e）eu（ds，de），0≤ T≤ T、（2.4）ξ，fFTξfty，z，ufω，T，y，z，upp∞ν在（2.1）中具有有界但可能非恒定密度ζ的时间不均匀，它不保持λU∈ LeuffuLin一般（需要大于l（λ）），因为u=Ut（ω，·）的可积性超过∈ Emay varywith（ω，t）。在合适的更大领域，通常必须承认才能获得非单位价值。为此，让我们用byL（B（E），λ）表示所有B（E）-可测函数的空间，其拓扑在度量和定义上收敛| u- u | t：=ZE | u（e）- u（e）|ζ（t，e）λ（de）, （2.5）u，uLBE，λξξ∈ LFTξ∈ L∞（FT）f×，T×R×Rd×LBE，λ→ 卢比 BRd+1BLBE，λ。。公式为ft（y，z，u）：=bft（y，z）+ZAgt（y，z，u（e），e）ζ（t，e）λ（de）（其中定义明确）（2.6）和ft（y，z，u）：=∞ 其他地方，或更具体地说（对于不依赖于y，z的g分量）ft（y，z，u）：=bft（y，z）+ZAgt（u（e），e）ζ（t，e）λ（de）（如有明确定义）（2.7）和ft（y，z，u）：=∞在其他地方，对于aB（E）-可测量设置A和组件功能BF，G其中BF：Ohm ×【0，T】×R1+d→ 卢比 BRd+1g：Ohm ×【0，T】×R1+d×R×E→ 卢比 B（Rd+2） B（E）-可测量。

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2022-5-25 11:20:04

很明显，表（2.6）的生成器的声明也适用于（更具体的）表（2.7）。（In）有限活动与λ（A）<∞（分别为λ（A）=∞). 一个简单但有用的技术引理阐明了我们如何（并且始终）在有界Y的BSDE解决方案（Y，Z，U）中为U选择有界代表。引理2.2。Let（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）是某些JBSDE（2.4）的溶液，数据为（ξ，f）。然后存在一个代表性Uof u，按点方向以2 | Y为界|∞, 使得u=Uin L（eu）和P dt-a-e.，and（Y，Z，U）求解BSDE（ξ，f）。证据Mor09Bec06uω，t，ePs≥0Dω，sδ（s，βs（ω））t，eEβDuJS03§YtωYt- 年初至今-ωREUtω，euω{t}，eDω，tUtω，βtω| Y|∞Utω，eUtω，eDω，t{βt}eUt（ω，βt（ω））=Ut（ω，βt（ω））onD和ps≥0D（ω，s）| Us- Us |（ω，βs（ω））=0简单[| U-U型|*νTE | U- U型|* uTUULeuUtUtLBE，λ由（Y，Z，U）求解。在这些条件下，我们可以并且将采取两倍于y范数的约束；定义| U|∞:=ess sup（ω，t，e）| Ut（e）| forU∈ L（eu）产率| U|∞≤|Y型|∞对于任何有界BSDE解（Y、Z、U）。下一个引理指出，当某个截断生成函数从上（下）有界时，有界JBSDE解的随机积分是BMOmartingales+(-)HMI对于BMO鞅；此外，他们的BMO规范仅取决于| Y|∞, 《地平线》的BMO标准。有关证明的详细信息，请参见[Ken15，Lem.1.3]，并注意Mc14Lemma 2.3的BMO属性。Let（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）是BSDE（ξ，f）的有界解。假设∈ BMOPRTtfs（Ys-, Zs，美国）ds≤ 嗯iT- hMit公司-RTtfsYs公司-, Zs，Uss≤ hMiT公司- hMit。特恩尔兹班杜* eu是BMO鞅，它们的BMO范数（分别为Lnorms）由一个依赖于| Y的常数限定|∞和kMkBMO（P）（分别为。

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2022-5-25 11:20:10

在| Y|∞, 3比较定理和先验估计主要比较定理3.9和先验估计的阶段∞-命题3.11ROY06的估计度量变元的阐述略有不同，随机γ特定条件对生成器的可测量依赖性意味着存在解，我们只坚持我们有解，并施加一个广义（aγ）-条件，如例3.8.1所述。提案3.1。Let（一、子、Ui）∈ s∞×L（B）×L（eu）是BSDE（2.4）的数据（ξi，fi）的解，i=1,2。假设fis-Lipschitz连续w.r.t.yandz。设γ：Ohm×【0，T】×Rd+3×E→[-, ∞) （ω，t，y，z，u，u，e）7→ γy，z，u，ut（e）be aP B（Rd+3） B（E）-可测函数，如γ：=γY-,Z、 U，Uit保持SF（t，Yt-, Zt、Ut）- f（t，Yt-, Zt、Ut）≤ZEγt（e）（Ut（e）- Ut（e））ζ（t，e）λ（de），P dt-a.e.和随机指数e（RβdB+γ* eu）是（3.2）中β的鞅。（3.1）ξ≤ ξft，Yt-, Zt，Ut≤f（t，Yt-, Zt，Ut），P dt-a.e.，一起表示Yt≤ Ytfor all t公司≤ TRoy06QS13KP16Yao17γ有效比较标准，可通过检查混凝土相关性更容易验证。r、 t.对于类型（2.6）的生成器函数，基本上是欧几里德参数。在E=R \\{0}和ζ上具有L'evy类型跳转度量的设置中，也可参见[GS17]以获得更简单的版本≡ 1.证据我们定义ξ：=ξ- ξ、发件人：=Y- Y、 bZ：=Z- ZandbU：=U- U、过程αs：=1{Ys-6=Ys-}f（s，Ys）-, Zs，美国）- f（s，Ys）-, Zs，美国）（Ys-- Ys公司-),βs：=1{Zs6=Zs}f（s，Ys-, Zs，美国）- f（s，Ys）-, Zs，美国）kZs- Zsk（Zs- Zs）（3.2）和Rt：=exp（Rtαsds）由于Lipschitz假设onf而有界。如【Roy06】中所述，将It^o公式应用于τ之间的RbY∧ t和τ∧ T对于某些停止时间τ产生（RbY）τ∧t=（RbY）τ∧T+Zτ∧Tτ∧tRs公司f（s，Ys）-, Zs，美国）- f（s，Ys）-, Zs，美国）ds公司-Zτ∧Tτ∧tRsbZsdBs-Zτ∧Tτ∧tZERsbUs（e）eu（ds，de）-Zτ∧Tτ∧tRsαsbYs-ds。SetM：=RRbZdB+（RbU）* eu和N：=RβdB+γ* eu。

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2022-5-25 11:20:15

那么dQ：=E（N）TdPde定义了一个绝对值≥[HWY92，Lem.9.40]。作者：Girsanov L：=M- hM，Ni是局部Q-鞅，且不等式f（s，Ys-, Zs，美国）- f（s，Ys）-, Zs，美国）≤ αsbYs-+ βsbZs+ZEγs（e）总线（e）ζs（e）λ（de）P ds-a.e.暗示（RbY）τ∧T≤ （RbY）τ∧T- （LτT- Lτt）。（3.3）定位停车时间τn序列↑ ∞并采取有条件的期望，我们获得（RbY）t∧τn英尺≤ 均衡器（RbY）τn∧T英尺对于每个∈ N、支配收敛产生估计RtbYt≤ 均衡器RTbξ英尺≤ 0，因此为Yt≤ 年初至今。备注3.2。1、将角色转换为f，我们得到的是iffis Lipschitz iny，zand satis（3.1），而不是f，然后是ξ≤ ξ和f（t，Yt-, Zt、Ut）≤ f（t，Yt-, Zt，Ut）暗示Yt≤ 年初至今。2.YSS∞指数（βoB+γ* eu）为inS。然而，正如所述，命题3.1正是我们在后继推导中需要应用的内容，例如命题4.3和定理4.13。示例3.3。E（γ）的充分条件* eu）是鞅，例如为1。γ* eu>-Eexphγ* euiTE经验值RTRE |γse |νs，e< ∞PS08Thm。9] 。这保持i.p.ifRE |γs（e）|ζ（s，e）λ（de）<常数<∞ P ds-a.e.和γ>-1.2。（γ* eu）≥ -δ>0和γ时为1+δ* eu是Kazamaki[Kaz79]给出的BMO（P）-鞅。γ* eu≥ -γ* eueexphγ* euiT< ∞参见【LM78，Thm.I.8】。当γ有界且|γ|时，满足该条件≤ ψ、 Pdt公司λ-a.e.ψ∈ Lλζ≡比较Thm。【QS13】第4.2条。注意，在上述条件下，随机指数（RβdB+γ* eu）对于β有界且可预测的是一个鞅，正如Novikov的标准很容易看到的那样。CE15生成器，用于通过更改度量参数进行JBSDE比较。γγ关于生成元和鞅性质（3.1）的估计成立。

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2022-5-25 11:20:20

根据以下定义3.4的要求，续集需要进一步的功能依赖性。Rf（Aγ）P BRd+3 BEγ×T×Rd+3×E→-, ∞ω、 t、y、z、u、u、e7→ γy，z，u，uteY，z，u，u∈ s∞×LB×Leu| U|∞< ∞, |U型|∞< ∞ 它适用于γ：=γY-,Z、 U，Uft（Yt-, Zt、Ut）-英尺（Yt-, Zt、Ut）≤ZEγt（e）（Ut（e）- Ut（e））ζ（t，e）λ（de），P dt-a.e.和e（RβdB+γ* eu）是每个有界和可预测β的鞅。（3.4）fAγuU* eu和U* euin BMO（P）。Lipschitz w.r.t.y和z满足（Aγ）或（Aγ），我们得到这样的解是唯一的。示例3.5。形式（2.6）的生成器f的自然候选γ由γy，z，u，us（e）=gs（y，z，u，e）给出- gs（y，z，u，e）u- uA（e）1{u6=u}，（3.5）P BRd+3 BEggucan表达式γy，z，u，us（e）=Rugs（y、z、tu+（1- t） u，e）dt 1A（e），注意（u- u） Zugs（y、z、tu+（1- t） u，e）dt 1A（e）=Zt[（gs（y，z，tu+（1- t） u，e））]dt 1A（e）。对于（2.7）型发电机，γ仅为γy，z，u，us（e）=Rugs（tu+（1- t） u，e）dt 1A（e）。定义3.6。我们说，生成器f满足条件（a fin）或（Ain fi）（在集合D上）if1。（A fin）：具有λ（A）<∞, Lipschitz连续w.r.t.yandzuniformlyin（t，ω，u）和mapu 7→ g（t，y，z，u，e）对于所有（ω，t，y，z，e）（inD）是绝对连续的（inu）Ohm×【0，T】×R×Rd×E），即（T，y，z，u，E）=g（0）+地毯（T，y，z，x，E）dx，密度为g-Duniformly in（ω，t，y，z，e）。Ain fif.yzt、ω、u和mapu 7→ gt（u，e）对于所有（ω，t，e）（inD）是绝对连续的（inu），即（t，u，e）=g（0）+Rug（t，x，e）dx，密度函数为∈（0，∞) 存在SK（c）∈ 兰德δ（c）∈（0,1）带-1+δ（c）≤ g（x）和| g（x）|≤ K（c）| x |对于所有x，带| x |≤ c、备注3.7。Ain fig | gx |≤ Kcc？Kc<∞十、∈-c、条件不要求函数为凸函数，而且不要求函数在u中连续可区分。

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2022-5-25 11:20:24

这两种方法都有助于应用程序示例，请参见第5.1.2节。示例3.8。条件（Aγ）和（Aγ）的有效条件为1。γ是P B（Rd+3）满足（3.4）和C（1）中不等式的B（E）-可测函数∧ |e |）≤ γy，z，u，ut（e）≤ C（1∧ |e |）onE=Rl \\{}（l∈ N），对于someC∈(-,0]和C>0。在这种情况下，exp（hRβdB+γ* euiT）有明确的界限，rβdB+γ的跳跃* eu大于-1、亨西RβdB+γ* eu[Roy06]为泊松随机测度引入的PS08Aγ条件。2.（A fin）对（Aγ）有效。这源自示例3.3.1、（3.5）和λ（A）<∞.3、Ain fiaγu，ucγ|γy，z，u，use |≤Ruu | gx | x/u- U≤ Kc | u | u | RβBγ* euU* euU* eu-δERβBγ* eu示例3.3.4。如果满足上述条件（A fin），例如，具有λ（A）<∞, 是Lipschitzyzu 7→ gt，y，z，u，eω，t，y，z，eD-DOhm ×[0，T]×R×Rd×E）和局部有界（在u中），一致地在（ω，T，y，z，E）中。Ain fif.yzu 7→ gtu，eω，t，ethe导数在（ω，t，e）中一致局部有界，第一个导数（局部）有界于-1具有下限-对于某些δ>0，为1+δ，以及Gu（t，0，e）≡ 0.但存在合适函数γ的抽象条件，如命题3.1或GeneralCE10ZU中所述。稍后将应用该结果来证明JBSDE解的存在性和唯一性。定理3.9（比较定理）。命题3.1意义上的有界BSDE解之间的比较结果适用于以下每种情况：1。（最终活动）财务状况（A FIN）。2。（内部活动）财务状况（Ain）和* euandU* eu是对应JBSDE解（Y，Z，U）和（Y，Z，U）的BMO（P）-鞅。证据这直接来自命题3.1和示例3.8，注意到与条件（A fin）相关的表示（3.5）分别为。

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2022-5-25 11:20:28

（Ain）满足例3.3中的充分条件。与经典的先验估计不同，经典的先验估计对数据的BSDE解提供了一些范数估计，下一个结果给出了一个简单的∞-估计解决方案的组成部分。这将有助于推导BSDE解的边界和截断参数。提案3.10。Y、 Z，U∈ s∞×LB×Leuξ，fξ∈ L∞FTfy、zKy、zf（Aγ）和f。（0，0）有界。然后| Yt |≤ 经验值Ky，zf（T- t）|ξ|∞+ （T- t） | f.（0，0）|∞要塞≤ T、证明。Y、 Z，UY，Z，Uξ，fξ，fY，Z，U，，ξ，f，f在证明命题3.1之后，方程（3.3）变成（RY）τ∧T≤ （RY）τ∧T+Zτ∧Tτ∧tRsfs（0，0，0）ds- （LτT- Lτt），t∈ [0，T]，τLM- 嗯，Nimlocqmrzbru* euM，N：=RβdB+γ* eu，γ：=γ0,0，U，0，概率测量值为≈ dQ给出的PI：=E（N）TdP。局部zinglalong某些序列τn↑ ∞停车次数yieldsEQ（RY）τn∧T英尺≤均衡器（RY）τn∧T+Rτ∧Tτ∧tRsfs（0，0，0）ds英尺. 通过支配收敛，我们得出结论，P-a.eYt≤ 均衡器RTRtξ+ZTtRsRtfs（0，0，0）ds英尺≤ eKy，zf（T-t）|ξ|∞+ （T- t） | f·（0，0，0）|∞.NRβBeγ* eueγγ0,0,0，UQPdQ：=e（N）TdP，我们推断L：=M- hM，Ni在Mloc（Q）和（RY）τ中∧T≥ （RY）τ∧T+Zτ∧Tτ∧tRsfs（0，0，0）ds- （LτT- Lτt），t∈ [0，T]，对于所有停止时间τ。这将产生所需的下限。同样，我们可以在生成函数上指定显式条件，这些条件有助于确保前面结果的更抽象假设。提案3.11。Let（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）是含ξinL的BSDE（ξ，f）的溶液∞（FT），fbeing Lipschitz continuous w.r.t.（y，z）with Lipschitz constantKy，zf等thatf。（0，0）是有界的。假设以下条件之一成立：1。（有限活动）满足度（A fin）。2。

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2022-5-25 11:20:33

（固定活动）f满意度（Ain）和U* eu是BMO（P）-鞅|Yt |≤ 经验值Ky，zfT- T|ξ|∞T- t | fs|∞T≤ T | Y|∞≤ 经验值Ky，zfT|ξ|∞+ T | fs（0，0，0）|∞.证据这直接来自命题3.10和示例3.8，因为满足条件（Aγ）（分别为Aγ））使用方程（3.5）。在本节的最后一部分，我们将比较定理应用于更具体的生成器。为此，我们考虑在边界a<b（仅取决于时间）aseft（y，z，u）：=ft处截断生成器Fκ（t，y），z，κ（t，y+u）- κ（t，y）, （3.6）κt，y在∨ Y∧ btAγ截断边界，则截断的生成器处处满足（Aγ）。引理3.12。财政年度，Uat≤ 年初至今-, 年初至今-Ute，Yt-Ute公司≤ btt公司∈, TγE（γ*eu）。不足之处（3.4）。尤其是集合where（t）上的iffsaties（A fin）≤ y、 y+u≤ b（t）thenef是（y，z）中的Lipschitz，局部是u中的Lipschitz，满足（Aγ）。证据使用x 7的单调性→ κ（t，x），我们得到thateft（Yt-, Zt、Ut）-eft（Yt-, Zt、Ut）等κ（t，Yt-), Zt，κ（t，Yt-+ Ut）- κ（t，Yt-)- 英尺κ（t，Yt-), Zt，κ（t，Yt-+ Ut）- κ（t，Yt-)≤ZEγt（e）κ（t，Yt-+ Ut（e））- κ（t，Yt-+ Ut（e））ζ（t，e）λ（de）≤ZEγt（e）{γ≥0，U≥U} +1{γ<0，U<U}Ut（e）- Ut（e）ζ（t，e）λ（de）。设置γ*:=γ{γ≥0，U≥U} +{γ<0，U<U}我们看到随机指数RβdB+γ**eu是所有有界和可预测过程β和f满足的鞅（3.4）。后一种说法很可能源于这样一个事实，即Iffsaties（A fin）ona（t）≤ y、 y+u≤ b（t）Thenfsaties（3.4）ona（t）≤ 年初至今-, 年初至今-+Ut（e），Yt-+Ut（e）≤ b（t）使用示例3.8.2。f的Lipschitz性质来自于κ是一个收缩，f是截断界内的Lipschitz。混凝土∞-命题3.13给出了具有合适BF部分的BSDE（ξ，f）有界解的界。Fbfty，z≤ KK | y | K，K≥gty、z、e≡ξ∈ L∞联邦贸易委员会≤ ξ≤ cc，c∈ RabytKK | yt | yTcy（t）=-（K+K | y（t）|），y（t）=相关，因此≤ 苯教[0，T]。

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2022-5-25 11:20:36

如果截断的generatorefin（3.6）满足（Aγ）且为（y，z）中的Lipschitz，则任何解（eY，eZ，eU）∈ s∞×L（B）×L（eu）到JBSDE（ξ，ef）也可以求解JBSDE（ξ，f）和满足a（t）≤eYt公司≤ b（t），t∈ [0，T]。证据我们设置Yt：=κ（t，eYt），Zt：=eZt，Ut（e）：=κ（t，eYt-+eUt（e））- κ（t，eYt-) andfit（y，z，u）：=bfitκ（t，y），z+ZEgt公司κ（t，y），z，κ（t，y+u）- κ（t，y），eζ（t，e）λ（de），带bft（y，z）：=-（K+K | y |），bft（y，z）：=bft（y，z）和bft（y，z）：=K+K | y |。根据假设SAT、c、fbt、c、fef≤ef公司≤efc公司≤ ξ≤ cefAγat≤eYt公司≤ btYeYUeUL（eu）和（eY，eZ，eU）求解BSDE（ξ，f）。在下一节中，我们将这些结果应用于两种情况：使用推论4.4，我们在第5.2.4节有界解的存在性和唯一性中通过JBSDE方法给出了BEC06最大化问题。本节使用单调稳定性方法研究带跳跃的BSDE。在有限活动（straighforward）结果的基础上，采用单调近似法处理有限活动情况。4.1有限活动定义4.1。发电机功能满足条件（Bγ），如果是Lipschitz连续iny，zuu 7→ fty，z，-C∨ U∧ c对于任何c连续∈ （0，∞)), f、（0,0,0）是有界的，f满足条件（Aγ）。下一个结果很容易得出命题4.3，对于λ（A）<∞.提案4.2。ξ∈ L∞FTfBγ（Y，Z，U）英寸∞×L（B）×L（eu）至BSDE（ξ，f）。此外，对于allt∈[0，T]，| Yt |以exp为界Ky，zf（T- t）|ξ|∞+ （T- t） | f.（0，0，0）|∞.证据考虑Lipschitz生成器fct（y，z，u）：=fty、 z，（u∨(-c）（）∧CC>0且LipschitzKfcBec06Yc、Zc、Uc∈ S×LB×Leuξ，fc | Yct |≤ CE公司|ξ|+ZTt | fcs（0，0，0）| ds英尺≤ C|ξ|∞+ T | f.（0，0，0）|∞< ∞,CCT、肯德基|Yct扩展Ky，zfT- T|ξ|∞T- t | f|∞c>c≥经验值Ky，zfT|ξ|∞T | f.（0，0）|∞我们用Yc得到（Yc，Zc，Uc）∈ s∞求解BSDE（ξ，f），因为UCIS由c限定。

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2022-5-25 11:20:39

唯一性在于比较。如果跳跃是有限活动的，这将导致关于有界解的初步结果。提案4.3。Letξ∈ L∞（FT）和Letfsatify（A fin）（召回定义3.6）with f。（0，0）Y，Z，US∞×LB×Leuξ，F所有t∈ [0，T]，| Yt |以exp为界Ky，zf（T- t）|ξ|∞+ （T- t） | f.（0，0，0）|∞.证据对于局部有界密度函数，命题3.11和4.2给出了该主张。推论4.4。ξ∈ L∞自由贸易区，z，，e≡和| bft（y，z）|≤ K+K | y |对于某些K，K≥ 0.Setb（t）=（（|ξ）|∞+KK）exp（K（T- t）（）-KK，K6=0 |ξ|∞+ K（T- t），K=0。然后存在唯一的解决方案（Y、Z、U）∈ s∞×L（B）×L（eu）至BSDE（ξ，f），且| Yt |≤ btfor t∈ [0，T]。最终RZ dB和U* eu是BMO（P）-鞅。证据Y、 Z，美国∞×LB×Leuξ，efξ，f-b（t）≤ 年初至今≤ b（t），T∈[0，T]。唯一性源于这样一个事实，即可以将comparisonTheorem 3.9应用于满足（A fin）要求的生成器。BMO性质源自引理2.3。备注4.5。推论4.4与Thm相似。[Bec06]中的3.5，但其证明有所不同：它依赖于JBSDE之前的比较结果，而不是停止参数。[Bec06，Thm.3.6]推论4.6条件下的随机积分。ξ∈ L∞FTξ≥ CC>K≥atC扩展-千吨级- tbtξ|∞expKT公司- TT∈, TfA公司≤ y、于≤ dc，d∈ R<c<dbfty，z≤ K | y | gty，z，，eThen存在唯一的解决方案（y，z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）至BSDE（ξ，f），带y≥ 对一些人来说 >0。此外，它保持SA（t）≤ 年初至今≤ b（t）和Rzdbandu* eu是BMO（P）-鞅。证据Y、 Z，Uξ，fY≥ >fA fina（t）∧ ≤ y、 y+u≤ b（t）∨ |Y型|∞; 因此，通过比较，这些解决方案是一致的。示例4.7。Kγ|Д|∞/2（1- γ）对于某些γ∈ （0，1）和一些可预测且有界的过程Дwe defineft（y，z，u）：=bft（y，z）+ZEgt（y，u，e）ζ（t，e）λ（de）：=γ2（1- γ） |Дt | y+ZE1.- γ（（u（e）+y）1-γyγ- y）- u（e）ζ（t，e）λ（de）。Gyt，y，u，eu+yy1.-γγ1-γu+yy-γ-1.-γ、 fytruncation界限。

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2022-5-25 11:20:44

此外，gis与有界导数连续可微，我们有Gu（t，y，u，e）=u+yy-γ- 1>-1，对于c≤ y、 y+u≤ d、 4.2在有限活性fty、z、uαtαtyβtzREγteueζt、eλe、可预测系数α、α、β和γ的情况下，JBSDE解可以用伴随过程表示。在有界解的背景下，伴随过程需要相当弱的条件。这将在后面的第5节中使用。证明的思想是标准的，请参阅[Ken15，Lem.1.23]了解详细信息。引理4.8。设f是上述形式的线性生成器，ξ在L中∞（英尺）1。假设（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）求解BSDE（ξ，f）。假设伴随词∈[t，t]expRstαuuERβBγ* eusts∈[t，t]St≤ Tα有界。然后Y表示为Yt=EΓtTξ+RTtΓtsαsds | Ft.2、设α、α、β和γt：=RE |γt（e）|ζ（t，e）λ（de），t∈[0，T]，有界且γ≥ -1、那么S中有一个独特的解决方案∞×L（B）×L（eu）至BSDE（ξ，f）和第1部分。适用。λA。。Kob00f。A取λ（A）=∞) 按顺序（fn）n∈Nof形式（2.7）（λ（An）<∞)在保证解存在的情况下，得到这些解的极限存在，并用原始数据求解BSDE。正如在[Kob00]中一样，单调近似方法被认为不容易执行，一个主要问题通常是证明强收敛ξξ，fnn∈N/nmor10smor10kob00或10正在考虑的设置中的近似步骤。与[EMN16，Mor10，Yao17]，UZfrom[KTPZ15，Thm.5.4]等不同，无论是在证明方法上还是在范围上：他们通过遵循[Tev08]的定点方法证明了小终端条件的存在，而我们展示了小终端条件的稳定性（命题4.9），并应用了不同的粘贴程序，近似我们能够在近似序列的统一先验界内进行论证。

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2022-5-25 11:20:47

第5节中的例子表明，我们的结果范围也是不同的。更详细地说，下一个定理4.11的任务是构造生成器（fk，n）1≤K≤N、 N个∈NYk，n，Zk，n，Uk，nξ/n，fk，nNthat（Yk，n，Zk，n，Uk，n）收敛于ifn→ ∞和（Yn，Zn，Un）：=PNk=1（Yk，n，Zk，n，Uk，n）求解ξ，fnYn，Zn，UnBSDE（ξ，f）。对于这个程序，我们接下来将显示JBSDE的稳定性结果。提案4.9。ξn L∞FTξn→ ξLFTfnn∈Nfn。，，，nBγnKy，zfsupn∈NKy，zfn<∞用（Yn，Zn，Un）表示∈ s∞×L（B）×L（eu）BSDE（ξ，fn）的解，其中以ξ为界|∞expKy，zfnT | c |ξ|∞expKy、zfTYnZn、Un→（Z，U）弱收敛于L（B）×L（eu）和| fnt（0，U）|≤bK | u | t+BLT用于所有带| u |的NanduW≤c，bK∈ R+bL∈ 有限合伙人tZn、UnZ、ULB×Leu|ξ|∞≡ c exp(-Ky，zfT）≤ 经验值(-Ky，zfT）/（80最大值{Ky，zf，bK}）。证据我们注意到（Yn、Zn、Un）由命题4.2唯一定义。

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2022-5-25 11:20:52

证明（Zn）n的强收敛性∈Nand（Un）n∈Nwe考虑δY：=Yn- Ym，δZ：=Zn- Zm，δU：=Un- 将一般半鞅的It^o公式应用于（δY），得到（δY）=（δYT）+ZT2δYs-（fns（Yns-, Zns，Uns）- fms（Yms-, Zms、Ums）ds-ZTkδZskds- 2ZTδYs-δZsdBs-ZTZE（δYs-+ δUs（e））- （δYs-)eu（ds，de）-ZTZE（δYs-+ δUs（e））- （δYs-)- 2δYs-δUs（e）ν（ds，de）。注意到随机积分是鞅，我们得出的结论是ZT2δYs-（fns（Yns-, Zns，Uns）- fms（Yms-, Zms、Ums）ds= EZTZEδUs（e）ν（ds，de）+ EZTkδZskds- E（δYT））+E（（δY）.（4.1）使用不等式a≤ a+/4，（a+b）≤2（a+b），（a+b+c）≤3（a+b+c），fnin y和z的lipschitz性质以及fnt（0，0，u）的估计，我们有| fns（Yns-, Zns，Uns）- fms（Yms-, Zms，Ums）|≤ Ky，zfn（| Yns-| + kZnsk）+Ky，zfm（| Yms-| + kZmsk）+bK | Uns | s+bLs+bK | Ums | s+bLs≤ K+2bLs+K（KδZsk+kZns- Zsk+kZsk+|δUs | s+| Uns- Us | s+| Us | s），（4.2）KKy，zf | c/2∈ RKmax{Ky，zf，bK}|·| tinequalities（4.1）和（4.2）yieldsEZTkδZsk+|δUs | sds≤ 2E类ZT |δYs-|（K+2bLs+K（KδZsk+kZns- Zsk+kZsk+|δUs | s+| Uns- Us | s+| Us | s））ds+ E（ξn- ξm）.让我们回顾一下，y的可预测投影，用yp表示，定义为唯一的可预测xxτEYτ| Fτ-{τ<∞}τynpyn-JS03YNLEET连续，asYτ=U* 在{τ<∞}由于补偿器ν的绝对连续性，保持所有可预测时间τ。

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2022-5-25 11:20:56

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2022-5-25 11:21:01

序列（fn）n∈nConverge逐点单调收敛到生成器f，4。BMOPMfn、^cty、z、ufntY∨-^c∧ ^c，z，u∨-^c∧^c^c |由|∞|bU公司|∞/expKy，zfT |ξ|∞RTtfn，^csYs-, Zs，Uss≤ hMiT公司- hMit公司-RTtfn，^csYs-, Zs，Uss≤ hMiT公司- hMitn公司∈ N、（Y、Z、U）∈ s∞×L（B）×L（eu），和5。适用于所有（Y、Z、U）∈ s∞×L（B）×L（eu）和（Un）n∈N∈ L（eu）带UN→ UinL（eu）它保持Fn（Y-, Z、联合国）-→ f（Y-, Z、 U）在L（P）中 dt）。然后，Z，U∈ s∞×LB×Leuξ，fRZBand U* eu是BMO（P）-鞅，andii）如果另外满足条件（Aγ），则该解是唯一的。证据（fk，n）1≤K≤N、 N个∈Nand解决方案（Yk，n，Zk，n，Uk，n）到BSDE（ξ/n，fk，n），用于大范围的Yk，n，Zk，n，Uk，nn∈NYn，Zn，UnPNk=1Yk，n，Zk，n，Uk，nξ，fnk<n≤ L≤ 千牛∈ Nfl，n1≤L≤k、 n个∈NYl，n，Zl，n，Ul，nn∈Nξ/N，fl，nn→ ∞|Yl，n|∞≤ expKy，zfT |ξ|∞/NcYk，nbYPkl=1Yl，nZk，nUk，nanalogouly和fk+1，nt（y，z，u）：=fnty+Yk，nt-, z+Zk、nt、u+Uk、nt- fnt公司Yk，nt-, Zk，nt，英国，nt（4.3）Yk+1，n，Zk+1，n，Uk+1，n∈ s∞×LB×Leuξ/N，fk+1，N闭合（inn），满足| Yk+1，N|∞≤ ~c.最初从三元组（Y0，n，Z0，n，U0，n）Y0，n，Z0，n，U0，nbY，bZ，bU开始。生成器FK、nand三元组（Yk、n、Zk、n、Uk、n）∈ s∞×L（B）×L（eu）求解BSDE（ξ/N，fk，N）并收敛于N→ ∞ 带| Yk，n|∞≤ 每n的c∈ N和1≤ K≤ N、请注意，Fk+1，nis Lipschitz continuous in yandz with Lipschitz constantKy，zfn，locally Lipschitz u，and saties condition（Aγk+1，N），withγk+1，ns（y，z，u，u，e）：=γnsy+Yk，ns-, z+Zk、ns、u+Uk、ns（e）、u+Uk、ns（e）、eandfk+1，nt（0，0）≡因此，根据有限活动情况（见第4.2节）的存在性和唯一性结果，BSDE（ξ/n，fk+1，n）存在唯一解（Yk+1，n，Zk+1，n），使得Yk+1，nis以▄c.Yk+1，nn为界∈NZk+1，n，英国+1，nn∈NLB×Leufk+1，n，，u | u |。Yl，n，Zl，n，Ul，nbYTlξ/n，fn序列（Yk，n）n∈Nand（Yk+1，n）n∈Nare单调（且有界）innso有限limitslimn→∞Yk+1，n=limn→∞Yk+1，n- 画→∞Yk，Nexist，Pdt-a.e。。

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2022-5-25 11:21:05

根据引理2.3，序列（Zk，n，Uk，n）n∈Nand（Zk+1，n，Uk+1，n）n∈鼻孔有界inL（B）×L（eu）；因此，（Zk+1，n，Uk+1，n）isLB×LeunDue符合fnand假设2的Lipschitz连续性。，我们得到所有| u |≤ 2c即fk+1，nt（0，0，u）≤fnt公司Yk，nt-, Zk，nt，u+英国，nt- fnt公司Yk，nt-, Zk，nt，英国，nt≤ 2Ky，zfn|Yk，nt-| + kZk，ntk+黑色|u+英国，nt | t+|英国，nt | t+ 2磅≤ 2bK | u | t+eLt，其中eLt=2Ky，zf（^c+supn∈NkZk、ntk+/4）+3bK supn∈N |英国，nt | t+2磅。在这里，我们使用的是感应ZK，n，Uk，nnsupn∈NkZk，ntk |英国，nt | tPtLemma 4.10沿着一个子序列，为了简单起见，我们仍然索引byn。这意味着∈ L（P因此，根据命题4.9，序列（Zn，Un）：=（Zn，n，Un，n）收敛于Lb×LeuZ，ULB×LeuYnYN，nYfnYn-, 锌，Un- fnY公司-, Z、 UnLPt、 fnYn公司-, 锌，Un→ 财政年度-, Z、 ULP公司tZn公司- ZmoB（联合国- Um）* eu属于toS Sby Doob不等式，范数以kZn的倍数为界- ZmkL（B）和kUn- UmkL（eu）。自| Yn起- Ym | Sis由KFN（Yn）主导-, 锌，Un）- fm（Ym-, Zm，Um）kL（Pdt）+C（kZn- ZmkL（B）+kUn- UmkL（eu））C>n，m→YSS的完整性；参见[DM82，VII.3,64]。Y、 Z，Uξ，fYn，Zn，Unn∈Nξ，fnn∈纽约、Z、U∈ s∞×LB×LeufnYn-, Zn，未端tof（Y-, Z、 U）inL（Pdt）。因此，我们有RTFNS（Yns-, Zns，Uns）ds→Rtfs（Ys-, Zs，美国）ds，RtZnsdBs→RTZSDBS和Un* eut→ U* eutP-a.s.（沿子序列）对于所有0≤ T≤ TZCFJ16eu布朗运动。很明显，对于仅由随机被测物u驱动的JBSDE，如果生成器没有az参数，那么现在可以通过放大zBut来添加独立的布朗运动，如第5.1.2节所示。推论4.12。uXXeufxbdxffb、Xf、fnn、ξbZfAγξL∞FXTf、fnPFX BRd+1 BLBEξ，fY，Z，US∞×LB×Leu表示Y是FX自适应的，Z=0，U可以作为相对于toeP（FX）的可测量值。证据LetBbe是一个独立于（B，X）的（1维）布朗运动。那么B：=（B，B）是（d+1）维布朗运动，与x无关。

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2022-5-25 11:21:09

LetF：=FB，X和'F：=F'B，X忽略（B，X）和（'B，X）的常规过滤。如例2.1.3所示。，（B，eu），（B，eu）和（\'B，eu）分别表示弱PRP w.r.t.F，Fand。现在考虑发电机函数fzefty，ufty，，ubZefnfn·，，·efAγfSinceξis fxt measured and fisp（FX） B（R） B（L（B（E））-可测，然后根据定理4.11ξ，efY，Z，UY，Z，U'Y，'Z，'Uthe∞×L（·）×L（eu）-每个过滤SF、Fand和‘‘F’的空间。注意到‘‘F’的两个分数次过滤，我们通过‘‘Y、’Z、’U’的唯一性得到ZoB=ZoB=’Zo’Bandyfxzzbbs特殊半鞅，并在FX中使用弱可预测鞅表示。用λ（A）=∞ 取fnt（y，z，u）：=bft（y，z）+ZAngt（u（e），e）ζ（t，e）λ（de），（4.4）表示递增序列（an）n∈N↑ λ（An）<∞ （因为λ是σ-定义）。定理4.13。fξL∞FTbfy，zω，t，uu 7→ gt，u，euω，t，Edenity函数g（t，u，e）严格大于-1和局部边界（u）。假设1。存在（bY、bZ、bU）∈ s∞×L（B）×L（eu），带| bU|∞< ∞,bft（bYt、bZt）≡0，gt（但（e），e）≡0,2。函数G局部有界于| u |一致于（ω，t，e），即局部inu（对于0的任何有界邻域N），存在K>0，使得| gt（u，e）|≤ K | u |（适用于所有u∈ N），3。DR 7→ Rg公司≥bfty，z≥ Dy | y |≤ ^c：=|由|∞+ （| bU）|∞/2） +|ξ|∞exp（Ky、zbfT）或g≤ 0和BFT（y，z）≤ D（y）表示| y |≤ ^c.Theni）存在一个解（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）到JBSDE，对于每个解，将随机积分rz dB和U增加三倍* eu是BMO鞅，如果函数g满足条件（Ain），则此解是唯一的。最后，如果条件1，则相同的语句成立。替换为假设fis不依赖于ony，即ft（y，z，u）=ft（z，u），且bf有界。证据我们检查是否满足定理4.11的假设。

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2022-5-25 11:21:12

明确条件1。和2。a满足假设1。和2。在定理4.11中。fngiven by（4.4）满足条件（Bγn）λAn<∞fn单调递减，取决于g的符号。对于下一个假设4。，fn，^cis从SUP | y界定|≤^cDyinf | y|≤^cDy。gtUnte、eAnegtUte、eLP νasn→ ∞福伦→ UinL（eu），回顾（2.1）。我们挫折：=gt（Unt（e），e）- gt（Ut（e），e）An（e）和cn：=gt（Ut（e），e）Acn（e）。两个序列（Bn）n∈Nand（Cn）n∈Nconverge到0P ν-a.e.sinceUn→ ULP公司 νguAcn↓ BnbK公司supn公司∈N | Unte | Ute|bK>支配收敛定理得到了期望的结果。。fty、z、uftz、ubfeftz、uftz、u- ft，eξRTft（0,0）dt，存在唯一解（eY，Z，U）inS∞×L（B）×L（eu）至BSDE（eξ，ef）RZBU* eugt，e≡英尺，bftYteYt-Rtfs、sY、Z、Uξ、ffAin fithenfsaties（Aγ）（参见示例3.8.3。）因此，命题3.1中比较论证的适用性具有唯一性。示例4.14。在条件2的意义下，函数G局部有界于| u |。在定理4.13if中，例如，u 7→ gt（u，e）对于任何（ω，t，e）都是二次可微的，二阶导数inu在（ω，t，e）和gt（0，e）中是局部一致有界的≡ gt（0，e）≡ 0消失。示例4.15。满足定理4.13假设但具有超指数增长的生成器示例为（2.7）形式的bf≡0和gt（u）=exp（| u+|）-1、这里一般不存在γ∈（0，∞) 因此-γ（e-u/γ+u/γ-（1）≤ gt（u）≤γ（eu/γ- u/γ-1） alluandt持有。因此，该示例似乎不满足所述的指数增长假设，例如，在[AM16][假设（H），Thm.1]、[EMN16][2.条件，定义5.6]或[KTPZ15][假设3.1]中。注意，我们关于JBSDE的比较、存在性和唯一性的定理不需要凸性。

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2022-5-25 11:21:15

许多相关应用在本质上是凸的，但并非所有应用都是凸的，请参见第5.1.2.5节示例和应用：文献中JBSDE的最佳财务控制结果通常依赖于几个（通常是非常技术性的）数学财务的组合，并通过具体示例说明了与相关文献不同的适用性和范围。反例可能会提醒人们注意潜在的陷阱。衡量和（指数）效用差异估值；这确实是许多（二次、非Lipschitz）JBSDE理论的标准动机，参见[Bec06、BEK09、Mor09、Bec10、LS14、KTPZ15Mor10u坐标可以通过使用鞅最优性原理来转换JBSDE，这是由JBSDE解决方案的电力利用最优控制问题产生的，如[HIM05、HLT17]。据我们所知，考虑过的带有跳跃和乘法责任的电力效用问题首次以这种精神得到解决。最后，第5.3节推导了不完全市场中非良好解除估价问题的JBSDE解决方案，该问题是在乘法稳定的子族上提出的。命题3.1对经典比较结果的轻微推广是有用的；事实上，（5.17）中的过程γ使得命题3.1的鞅条件（3.1）可以轻易验证，而[Roy06，Thm.2.3]中的条件（Aγ）似乎不清楚。kassets（k≤ d），其折扣价格根据随机微分方程Dst=diag（Sit）1变化≤我≤kσt（Дtdt+dBt）=：诊断（St）dRt，t∈ [0，T]，（5.1）S∈, ∞kИRdДt∈ ImσTtKerσt⊥T≤ TσRk×dσkdetσTσTtPtbBBR·Дtt。风险的市场价格^1有界Pdt-a.e。。市场是没有套利的，因为等价的局部鞅测度集是非空的。

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kedemingshi

2022-5-25 11:21:19

特别地，Mecontainstheminimal鞅measuredbP：=E(-^1oB）TdP=exp- 英国电信-ZT |Иt | dtdP，（5.2），其中BB是布朗运动，根据Girsanov定理是局部鞅。显然，kdσ测度并非微不足道，过滤则是非布朗的），参见示例2.1.5.1指数效用最大化对于股票价格如（5.1）所示的市场，考虑预期效用最大化问题vt（x）=ess supθ∈ΘEUXθ，t，xT- ξ|英尺, T≤ T、 x个∈ R、（5.3）用户体验- 经验值-αxα>0，具有一些附加责任ξ，对于财富过程xθ，t，xof容许交易策略θ，定义如下。我们将展示价值如何处理和最优交易策略θ*对于问题（5.3），JBSDE解决方案可以对两种不同的问题案例进行充分描述。5.1.1风险资产连续价格过程的情况可用交易策略集由所有rd值、可预测、S-可积过程θERT |θt | t组成经验值-αRτθtbBtτ停止时间，τ≤ TPx∈ Rt≤ 投资策略θ∈ Θ由Xθs=Xθ，t，xs=X+RstθudbBu，s给出∈ [t，t]。kdfzY，Z，美国∞bP×LbPbB×LbPeuYtξRTtfsYs-, Zs，Uss-RTTZSDBS-生成函数Ft（y，z，u）的最小局部鞅测度下的RTtREUs（e）eu（ds，de）：=-|^1t | 2α+ZEexp（αu（e））- αu（e）- 1αζ（t，e）λ（de）（5.4），这在定理4.13中确实存在。在P下，BSDE的形式为Yt=ξ+ZTtfs（Ys-, Zs，美国）- ^1sZsds-ZTtZsdBs-ZTtZEUs（e）eu（ds，de）。HIM05Vθ∈θ上的ΘVθtvtft随机变量不变量∈Θ，（ii）VθT=- 经验值(-α（XθT-ξ）（）=- 经验值-αx+RTtθsdbBs-ξ,（iii）Vθ是所有θ的上鞅∈存在θ*∈Θ使得Vθ*s（s）∈[t，t]）Pθ*Vθ*不锈钢∈[t，t]EVθT英尺≤ VθtVθ*tE公司Vθ*T英尺θ∈vt（x）=ess supθ∈ΘEVθT英尺= Vθ*T

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2022-5-25 11:21:23

ansatz Vθ=u（Xθ- Y）yieldsVθs=VθtexpαZstθr- 锆-^1rα博士所有s的E（M）ST∈ [t，t]，带MT=-αZtθr- ZrdbBr+ZtZEexp（αUr（e））- 1） eu（dr，de）和e（M）st：=e（M）sE（M）t。因此，Vθ是所有θ的上鞅∈和θ的鞅*=由于E（M）是形式为E（M）s=exp的（局部）鞅，Z+Д/α-αZs |θu- 祖- ^1u/α| du经验值- αY+ZsθudbBu- Ys公司.利用y的有界性，我们很容易通过[HIM05，Mor10]中的参数得到e（M）是一致可积的，因此是鞅（参见[Bec06]中的等式（4.19））。本屈服强度示例5.1。kdλE≤ ∞Y、 Z，U∈ s∞bP×LbPbB×LbPeuξ，fbPfθ*ZИ/αt≤ t综合效用vt（x）=- 经验值(-α（x- Yt））=Vθ*t、风险度量，我们将在示例5.3中进一步说明。此外，指数效用偏好下不完全市场中未定权益ξ的效用价格或经济补偿变化的解，参见【Bec10】。实际上，表示byYξ=JBSDEξYξ的解- Y估值过程，见【MS05，Bec06】。5.1.2不连续风险资产价格过程的情况我们进一步说明了【Mor09，Mor10】的结果的范围，他率先提出了稳定性，并通过具体示例证明了与互补CGMY02在范围上的一些显著差异，即U参数中的“二次”，而不是Z参数，不同于，例如。，【Mor10、KTPZ15、LS14、AM16、Yao17】。设u=uLbe与纯跳跃L'evy过程相关联的随机测度，其中L'evy测度λeER \\{}FFLLrandom measureeu=euL：=uL- ν、当ν（dt，de）=λ（de）时，dtoflone具有弱PRP w.r.t.FμλE≤ ∞Gamma进程的实例。

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