在本小节的设置中，该JBSDE包含在【Mor10】的应用研究中，也包含在我们的比较和适定性定理中，对纯跳跃L'evy过程没有任何进一步的条件。相比之下，让我们证明同样的范围还没有被开创性的比较所影响。由于她的关键条件（Aγ）未得到满足，这也被认为是[KTPZ15]中的结果，如第6.3（i）条中的适定性假设6.1和第6.4条中的比较（并进一步用于[KTPZ16]中的应用））：实际上，对于α：=1，只需考虑具有均匀分布跳跃高度的复合泊松过程（具有有限活性），取λ（dx）：=（0,1）dx（x∈ E=R \\{}）。显然，发电机F（u）=REexp（u（x））- u（x）-λ（dx）=：REg（u（x））λ（dx）不是Lipschitz inu∈ L（λ）。带u±（x）：=（±x-3/2+nx）（1/n，1]（x）inL（λ）for n∈ N、 we getR（欧盟+-欧盟-- u++u-)dλ→ ∞forn公司→ ∞whileR（u+- U-)（x） ·（1）∧ |x |）dx≤接收-1/2倍<∞如新大学+-U-- u+u-≥ nx公司-1/2（1/n，1]c∈-,c<∞傅- fv公司≤雷乌- vxγu，vxλxu，vc（1∧ |x |）≤ γu，v（x）≤ c（1∧ |x |）；这表明，[Roy06]中的条件（Aγ）或假设6.1KTPZ15AγRoy06Lipschitz连续性在u.AM16Yao17λE中的发电机<∞ηλROY06前面的章节）。但在本例中，不可能存在constantsc∈(-,0]，c<∞这样F（u）- f（u）≤RE（u- u） （x）γu，u（x）λ（dx）适用于allu，u∈ L（λ），具有合适的函数C≤ γu，ux≤ cfLipschitz inunl（λ），什么是不正确的。因此，【AM16】appearu，u）中定理1的假设意味着JBSDE生成器必须是Lipschitz连续inu∈ L（λ）。请注意，L∞u型参数，例如，由一个外来的a-prioriL∞-估计boundedJBSDE解决方案的U组件（如第3节所述）。

我们注意到，[AM16]对无界JBSDEsolutions的结果有所影响（也可参见[HLT17]，了解连续情况下无跳跃的指数效用）。示例5.4。λeδ{1}eThenL（λ）同构于toR，且f（u）=g（u）=exp（u）- U-1个foru∈ R、 显然是指数增长（inu）的Ganggare，并且不能在inu全局有界∈ 根据[KTPZ15，Thms.4.3、5.4和6.3（ii）]的有效函数ORKTPZ15假设4.3（iii），注意其Lem。5.4，由于（取u=0）不存在ψ，c，因此明显违反∈ R使得| g（u）- ψu |≤ c | u |适用于所有u∈ R、 u，θ7→ fθ·u-θβ·REgαue公司- θψ·eλefinfθ∈Cfθ·，uucc通常是非凸的。发电机的类似结构在此应用环境中是典型的，请参见。g、 【LS14，方程式（15）】。文献中关于JBSDE的一些结果使用了generatorfunction的凸性，但这可能会限制应用。对于本文中的结果，不假设凸性。接下来，我们给出了一个具体的应用示例，其中（原始）控制问题的fin（5.6）实际上是非凸inu。该示例显示了非凸约束如何生成非凸inu的JBSDE生成器。为此，让我们考虑简单的tradingconstraints，这些tradingconstraints是非凸的，取c：={θ，…，θm} Ras有限集，包括0θ：=0。这里，JBSDE（5.5）的f变为SF（t，u）=infk∈{0，…，m}- θkβt+ZEgαu（e）- θkψt（e）λ（de）.示例5.5。（生成元不是凸的且不可连续微分的应用）继续上述生成元F，现在让我们考虑λ（de）=δ{1}（de）的特殊情况，即Lis是一个具有恒定跳跃高度1的标准泊松过程，且α=1，β=0。

观察到L（λ）在这个简单例子中与R同构，我们可以看到F（t，u）=mink∈{0，…，m}e（u-θkψt）- （u）- θkψt）- 1., （5.7）u∈ Rψ≡C{}u 7→ 英尺，uu∈ 密度函数严格大于-1，可通过定理4.13获得相应JBSDE（5.5）解的局部有界唯一性。与之前类似，我们可以检查在本示例中，[Roy06，第2.5条]和[KTPZ15，第5.4条，第6.3（i）-（ii）条，第6.4条]对JBSDE的比较和适用性的假设未得到满足；该示例清楚地显示了非凸约束如何确实导致非凸xf，该非凸xf不满足[LS14，Thm.A28，Cor.A29，Prop.A30]的JBSDE结果的条件，进一步用于Thms的证明。4.3，4.5，均涉及凸性假设“（c）”。接下来，我们继续讨论指数效用以外的例子，这是[Mor09，Mor10]中的主题。5.2电力效用最大化再次对于具有股价动态的市场（5.1），我们考虑效用最大化问题vt（x）=ess supθ∈ΘEUXθ，t，xTξ英尺=γess supθ∈ΘEUXθ，t，xTξ英尺, T≤ T、 x>0，（5.8）对于电力利用率u（x）=xγ/γ，相对风险规避1- γ>0表示γ∈（0,1），具有乘法性ξ（或者，ξ：=（γξ）1/γ可以解释为未知的未来税率）。策略θ（表示投资财富的比例）的财富过程是Xθs=Xθ，t，xs=X+RstXθuθudbBu=xE（RθdbB）stfors∈[t，t]，对于θ∈Θ，由所有rd值、可预测、S-可积过程给出的策略集，使得θoB是BMO（P）-鞅，参见[HWY92]。提案5.6。Letk=d。假设有一个解（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）到BSDE（ξ，f），ft（y，z，u）：=（γ/（2-γ） ）y |Дt+y/z | andRZdB∈ BMO（P），其中ξisinL∞（FT）带ξ≥ C对于某些C>0。

ThenY公司≥ cholds和Vθ：=u（Xθ）是所有θinΘ和Vθ的上乘函数*是θ的鞅*:= （1）- γ）-1（И+Z/Y）-) ∈ Θ。证据很明显，Vθ是适应的。Kazamaki的判据（R.γθudbBu）是一些R＞1的R可积鞅。因此支持≤s≤TE（R.γθudbBu）仍然可以通过Doob不等式进行积分。ByE（θobB）γ=E（γθobB）exp-γ（1- γ） Z.|θu | du≤ E（γθobB），我们得出结论，vθ由upt控制≤s≤TU（Xθs）| Y|∞∈ L（P）。根据It^o公式，dVθsequalsa局部鞅加上有限变差部分u（Xθs）-fs（Ys-, Zs，Us）+γYs公司-θsДs+（γ- 1） |θs|+ θsZsds。θ∈θθ*VθVθvtxess supθ∈ΘEuXθTξ1/γ| FtVθ*tγ-1xγYt，θ≡γ-1xγEξ| Ft≤ γ-1xγY Y≥ 注意θ*是inΘ，因为Θ有界，Yis有界远离0，zis是BMO被积函数。设（Y，Z，U）为具有上述数据的BSDE（ξ，f）的解。由于没有适用于带跳跃的二次BSDE的合适解理论，我们通过lettingeYt变换坐标：=Y1-γt，eZt：=1- γYγ1-γt-Z输出：=（Yt-+ Ut）1-γ- Y1级-γt-, （5.9）使得（eY，eZ，eU）用eξ=ξ1/（1）求解数据（eξ，ef）的BSDE-γ） andeft（y，z，u）由γ|νt | 2（1）给出- γ） y+γ1- γИtz+ZE1.- γ（u（e）+y）1-γyγ- Y- u（e）ζ（t，e）λ（de）。看看引理2.2的证明，我们可以假设u+Y-点方向与Y重合-或者上述转变是由于玩具≥ c、 事实上，（5.9）给出了具有正Y分量的解与S中的BSDEs（ξ，f）和（eξ，ef）之间的双射∞×L（B）×L（eu）。接下来，我们证明了具有ξ的数据（ξ，f）的JBSDE解的存在性≥ C对于某些C>0。在概率测量下，p：=Eγ（1- γ）-1хoBTDP过程B=B-R、 γ（1- γ）-1хtdtis aBrownian运动和JBSDEeYt=eξ+ZTtefs（eYs-,eZs、eUs）ds-ZttezDBS-P下的ZTtZEeUs（e）eu（ds，de）在epeyt=eξ+ZTt下为以下形式efs（eYs-,eZs、eUs）-γИs1- γeZsds公司-ZttezDebs公司-ZTtZEeUs（e）eu（ds，de），（5.10）注意到ν也是P和P下u的补偿器。

事实上，我们有引理5.7。λE<∞eY、eZ、eU∈ s∞×LB×Leueξ，ef使得rezdbis inBMO（P）当且仅当（eY，eZ，eU）∈ s∞eP×LeP（eB）×LeP（eu）求解BSDEeξ，ef（y，z，u）- γ（1- γ）-1хz因此，Rez deB在BMO（eP）中。证据佩佩∈ s∞eY公司∈ s∞ePλE<∞欧盟∈ 当且仅当ifeU时，L（eu）成立∈ LeP（eu）是由于u的有界性。根据[Kaz94，Thm.3.6]，Girsanov变换Φ的限制：Mloc，0c（P）-→ Mloc，0c（eP），带M 7→ M- hM，R.γД1-γdBsi，BMOPPePReZdBis inBMO（P）当且仅当z=（1- γ） eYγ-eZsinceΦReZdB公司=ReZ数据库-Rγ（1- γ）-1хeZsds=ReZ deB。特别是eZ∈ L（B）i ff eZ∈ LeP（eB）。PePB，euPeB，euePHWY92eY、eZ、eU∈ s∞eP×LeP（B）×LeP（eu），带正Y分量，带C1的BSDE（5.10）-γexp-γ|Д|∞2（1- γ） （T- t）≤eYt公司≤ |ξ|∞经验值γ|Д|∞2（1- γ） （T- t）雷泽布* euePePProposition 5.6：BSDE（ξ，f）的每个有界解从下到下从零inY有界≥ c>0，存在唯一的解决方案（Y、Z、U）inS∞带RZDB的×L（B）×L（eu）∈ BMO（P），由坐标变换（5.9）给出。我们注意到，Y（分别为eY）可以解释为（双重）机会过程，请参见[螺母10，第4节]。总的来说，我们得到了下一个定理。定理5.8。假设λ（E）<∞andd=k。Letfs（y，z，u）=γ（2-γ）-1年^1s+z/y让ξ∈ L∞（FT）带ξ≥ C对于某些C>0。然后存在唯一的解决方案（Y、Z、U）∈ s∞带RZDB的×L（B）×L（eu）∈ BMO（P）至BSDE（ξ，f）。然后是策略θ*s=（1- γ）-1.^1s+Zs/年-对于控制问题（5.8）是最优的，实现vt（x）=γ-1xγYt=Vθ*t、 5.3良好交易边界估价在没有套利的不完整金融市场中，存在着很多定价措施，仅根据无套利原则对估价施加的边界通常太宽，无法在实践中应用。

金融文献中引入了好交易界限[CSR00]，以获得更严格的界限，不仅排除了套利，还排除了风险回报率过高的交易机会，即所谓的好交易。参见[BK17b，BK17a]以获取持续扩散过程中过于有利的瞬时夏普比率（单位波动率的超额收益率）的广泛参考CSR00BS06。[BS06]将其推广到了跳跃扩散设置，JBSDEs对其进行了描述。有关度量λ具有有限支持的情况的研究，请参见【DP15】。在我们的设置中，以下对鞅测度集Me的描述是常规的。提案5.9。墨西哥当量≈ PdQ/PE（βoB+γ* eu）γ>-ePeuβRT |βs | ds<∞, 满足β=-Д+η，使得η∈ Kerσ，P dt-a.e。。我们将这种密度dQ/dP的元组（γ，β）称为Q relativetoP的Girsanov核。显然，我们的市场总体上是不完整的，因为在Meifeuis non-琐碎的ork中存在很多度量。Bj¨ork和Slinko采用了扩展的Hansen-Jagannathan不等式[BS06，见第2节]，通过对市场风险价格施加一个界限来限制瞬时夏普比率。更准确地说，Thm。[BS06]的第2.3条表明，通过其他衍生资产（即通过任何localQ鞅）在任何市场扩展中的瞬时夏普比率满足SRt≤ kγt，βtkL（λt）×RdtLGirsanov核（γ，β），其中λt（ω）（de）：=ζt（ω，e）λ（de）。由于没有良好的交易限制，因此它们对定价度量k（γt，βt）kL（λt）×Rd=kγtkL（λt）+βt | Rd的核施加了一个界≤ K、 t型≤ T、 （5.11）某些给定的常数大于0。

为了补充对[BS06]提出的问题的分析，我们将用JBSDEs严格地描述动态好交易边界，更一般地说，k=（Kt）可能是一个正的可预测有界过程，而不是常数。为此，对于上述K，让对应（集值）过程C由ct给出：=n（γ，η）∈ L（λt）×Rdγ>-1，η∈ kσt和kγkL（λt）+η| Rd+|Дt | Rd≤ Kto。（5.12）γ，η∈ CηγePγtω，ηtω∈ Ctωt，ω∈, T×γ，η∈ C示例3.3.1）即(-Д+η）oB+γ* eu>0是一个鞅，定义了一个概率测度Qγ，η的密度过程，它等价于P。这类概率测度的集合qngd：={Qγ，η|（γ，η）∈ C} Me，（5.13）Д|Дt | Rd < 千吨级 >T≤ TbP=Qbγ，bη为inQngd=, 带（bγ，bη）≡（0,0）∈ C、 或有索赔x∈ L∞（P） ，进程πut（X）：=ess supQ∈QngdEQ（X | Ft）和πlt（X）：=ess infQ∈QngdEQ（X | Ft），t≤ T、 确定好交易的上限和下限。注πl·（X）=-πu(-十） ，我们关注πu(-十） 。我们可以检查良好的交易约束过程是否满足良好的动态特性，例如时间一致性ybk17bπuXYX∈ L∞Pt公司·⊥t·ImσTtKerσt有以下引理（详见[Ken15，引理2.14，2.22]）。引理5.10。福兹∈ L（B）安度∈ L（eu）存在“η=”η（Z，U）可预测和“γ=”γ（Z，U）eP可测量，因此对于P dt几乎全部（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]保持“ηT∏”⊥t（Zt）+ZEUt（e）(R)γt（e）ζt（e）λ（de）=max（γ，η）∈\'\'Cηt∏⊥t（Zt）+ZEUt（e）γt（e）ζt（e）λ（de）, （5.14）(R)Ctn（γ，η）∈ L（λt）×Rdγ≥ -1，η∈ kσt，kγkL（λt）+η| Rd≤ 千吨级- |νt | rD任何t的Ctin L（λt）×rD的闭合≤ T\'γ，\'η∈“C”Q Pd？QE((-Д+(R)η）oB+(R)γ* eu）dP，它可能不等于toPas？γ-1在不可忽视的“QQngdLPQngdLemma 5.11”上。福兹∈ L（B）安度∈ L（eu），设（\'γ，\'η）如引理5.10所示。

确定措施\'Q Pd？QE-И？η？B？γ* eudPQn/nbP-/n'Qn∈ 序列的密度dQn/dp（Qn）n∈NinQngdconverge到\'QinL（P）forn中的一个→ ∞.因此，πut（X）≥ 对于所有的t，E|Q（X|Ft）保持不变≤ T证据N∈ NQn公司≈ PdQn/dPZn/nbZ-/n'ZbZ：=dbQ/dP=E(-ДoB）和'Z：=d'Q/dP。It^o公式然后yieldsZn=E(-Д+ηn）oB+γn* euηnα′ηγnα′γePα（1- 1/n）（(R)Z/Zn∈,bZ>ηn∈ Kerσγn>-\'γ≥ -ηn，γn∈ CQnQγn，ηnQngdQn'QLPn→ ∞qn的定义，这意味着πut（X）≥ 所有t的E'Q（X'Ft）≤ TX的动态良界πu（X）∈ L∞（P） 由JBSDE的解决方案给出-dYt公司=(-Дt+(R)ηt）Zt+ZEUt（e）(R)γt（e）ζt（e）λ（de）dt公司-ZtdBt公司-ZEUt（e）eu（dt，de），t∈ [0，T]，（5.15）对于终端条件yt=X，根据OREM 5.12，引理5.10给出的“γ=”γ（Z，U），“η=”η（Z，U）。福尔克斯∈ L∞（P） ，上述JBSDE和（5.14）中的（‘γ，’η）具有唯一的溶解度y，Z，US∞×LB×Leu’Q PLQngdLemma 5.11），密度d'Q/dP=E((-Д+(R)η）oB+(R)γ* eu）使得好交易边界满足πut（X）=ess supQ∈QngdEQ（X | Ft）=对于t，Yt=E'Q（X | Ft）≤ T、 （5.16）证明。z、 u型∈ Rd×Lζ·λf（γ，η）（·，z，u）：=(-η·+η·）z+REu（e）γ·（e）ζ·（e）λ（de）和f（γ，η）（·，z，u）：=0，对于（γ，η）∈\'C，（γt（ω），-Дt（ω）+ηt（ω））f（γ，η）Lλtω×RdKfkKk∞∈, ∞γ、 ηt，ωfPtf·，z，uess sup（γ，η）∈\'Cf（γ，η）·，z，uz，u∈ Rd×Lζ·λfz，u∈ Rd×Lλtω，KffPtz，uz∈ Qdu∈ {un，n∈ N} Lλ和，注意到uζt（ω）1/2是inL（λ）foruinL（λt（ω）），通过对allz的Lipschitz连续扩展，u∈ Rd×Lλtωft，z，uu∈ LBE，λ\\Lλtω可以将f定义为Lipschitz连续，即使对于（z，u）∈ Rd×L（B（E），λ）。根据Lipschitz JBSDE的经典理论，方程（5.15）因此具有唯一的解（Y，Z，U）inS×LB×LeuY∈ s∞Bec06γ，η∈\'\'Cβ-ДηRE |γte |ζteλeuniformly int≤ T、 因此，根据引理4.8，具有生成器fγ，η的BSDE也有唯一的解（Yγ，η，Zγ，η，Uγ，η）∈ s∞×L（B）×L（eu），满足yyγ，ηt=等式γ，η（X | Ft），Qγ，η-a.s.，t≤ T

Sinceff'γ，'ηYtE'QX'Ft'Q-a.s.πutX≥ E'QX'Ft'Q-a.s.t≤ TπutX≤ Ytγ，η∈ CQγ，η∈ QngdftZt，Utf′γ，’ηtZt，Utfγ，ηtZt，Utt≤ t fγ，η是（z，u）中的Lipschitz，具有（均匀）Lipschitz常数Kfandfγ，ηt（zγ，ηt，Ut）- fγ，ηt（Zγ，ηt，Uγ，ηt）=ZEγt（e）（Ut（e）- Uγ，ηt（e））ζt（e）λ（de），t≤ T，（5.17）带E((-Д+η）oB+γ* eu）作为鞅（参见示例3.3），可以将比较作为第3.1条应用于getYt≥ Yγ，ηt，P-a.s.，t≤ T、 （γ，η）∈ C、 亨塞伊特≥ ess sup（γ，η）Yγ，ηt=πut（X），t≤ T，对于（γ，-ν+η）在所有Girsanov度量核上的范围∈ Qngd。参考文献【AM16】F.Antonelli和C.Mancini。带跳跃和二次/局部lipschitzgenerator的BSDE解。随机过程。应用程序。，126（10）：3124–31442016。班迪尼。由一个可能非拟左连续的随机测度驱动的倒向随机微分方程的存在性和唯一性。电子公社。概率。，20： 2015年第13页。【BBP97】随机，60:57–831997。【BC17】随机微分方程方法。数学《控制信号系统》，29（1）：12017年。【Bec06】差异对冲。安。应用程序。概率。，16： 2027-20542006年。【Bec10】D.Becher。效用差异估值。在R.Cont，《量化金融百科全书》编辑处。约翰·威利父子有限公司，奇切斯特，2010年。【BEK09】P.Barrieu和N.El Karoui。定价、对冲和设计具有风险度量的衍生品。印度卢比。Carmona，《差异定价、理论与应用》编辑，第77-146页。普林斯顿四世。出版社，2009年。【BEK13】P.Barrieu和N.El Karoui。二次半鞅的单调稳定性及其对无界一般二次BSDE的应用。安。概率。，41（3B）：1831–18632013年。[BK17a]关于漂移和波动性。概率。无把握数量。风险，2（1）：2017年12月13日。[BK17b]D.Becherer和K.Kentia。广义好交易边界和模型不确定性下的套期保值。数学冰毒。操作。第86（1）号决议：171–2142017年8月。[BS06]T.比约克和I.斯林科。

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