具有固定名义利率的ASR合同的最优执行

2022-5-7 00:26:25

作者想感谢Nicolas Grandchamp des Raux（汇丰法国）、Charles Albert Lehalle（CFM）、Jiang Pu（欧洲金融研究所）和Mathieu Rosenbaum（UPMC）就这个话题进行的讨论。+巴黎狄德罗大学、数学研究院、雅克·路易斯·利昂斯实验室、，gueant@ljll.univparis-狄德罗。FRP私下协商回购和自行投标仅占回购总额的百分之几——见[7]。回购合同有几种类型，我们传统上区分固定股数的ASR和固定名义ASR。对于固定股数（Q）的ASR，合同如下：1。在时间t=0时，银行从s股东（通常是机构）处借入Q股，并将该股交给该公司，以交换固定金额的Q股，其中Q股为时间t=0时股票的市值（MtM）价格。然后，银行必须在市场上逐步回购Q股，将Q股返还给初始股东，并从空头仓位转换为流动仓位；2.银行是一个多头期权，有支付Q（Aτ）-S）（该公司缺少该选项），其中ATI是0到t之间的平均价格（实际上是收盘价的平均值或每日VWAP的平均值），其中τ由银行在一组特定日期τ中选择，τk。因此，公司最终平均支付已回购Q股的价格Aτ。在固定的名义ASR和名义F的情况下，合同如下：1。在t=0时，银行从股东处借入Q股——通常Q=αFS，其中α∈ [0,1]通常在80%左右，并将固定金额F交换给企业；2.合同中嵌入了一项期权：当银行在日期τ行使该期权时（该日期由银行在一组指定日期τ中选择。

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nandehutu2022

2022-5-7 00:26:28

，τk），有一个转移因子τ- Q银行和公司之间的股份，因此公司获得的实际股份数量为FAτ。因此，该公司支付F，并最终获得SFAτ股份。如上所述，本行还将逐步在市场上购买股票，将Q股返还给初始股东。这些合约的定价和对冲都是数学问题，用经典的衍生品定价理论无法令人满意地解决。当t=0时，银行持有该股票的空头头寸，并将在几周到几个月的时间内在市场上购买野兔。因此，公共关系问题同时也存在于预付ASR和固定股数的情况下。在许多情况下，尤其是在欧洲，股份不是在合同开始时交付的，而是在合同结束时交付的。虽然在这种情况下股份回购不会加速，但如果我们忽略融资和利率问题，合同的定价和对冲是相同的。在t=0后，通常有几周的潜伏期，在此期间不能行使期权。如上所述，我们只讨论p前援助合同。后付费合同也存在。α的选择很小，因此转移几乎总是从银行转移到企业，即FAτ≥ 问：在下文中，我们隐含地假设结算是从银行到企业的。最优执行问题和期权定价问题：对于固定股份数量的ASR，现金结算的具有Bermudean行权日期的奇异期权；对于固定名义ALAR，物理结算的具有Bermudean行权日期的奇异期权。忽视GYA和次优GYA之间的相互作用会导致错误定价。

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2022-5-7 00:26:31

此外，由于这些期权的名义/名义价值较大，因此必须考虑执行成本，我们根据文献提出了一个关于最优执行的框架，以最优地定价和执行这些合同。文献中已经使用最优执行工具解决了名义价值较大的衍生产品的定价问题。罗杰斯和辛格[19]认为，执行成本在执行量上不是线性的（与执行量成比例），而是严格凸的，以考虑流动性影响（与交易成本定价的文献相反，例如参见[17]）。他们考虑了一个目标函数，该函数将执行成本和到期时的均方套期保值误差均化。在这个接近平均方差的框架中，他们得到了当非流动性成本很小时，普通期权最优套期保值策略的一个封闭形式近似值。此外，Li和Almgren[18]受到最近在几只美国股票上观察到的锯齿模式（见[15,16]）的激励，认为这是一种既有永久性影响又有暂时性影响的模型。在他们的模型中，他们假设执行成本是二次的，并考虑了常数Γ近似。利用另一个目标函数，他们得到了看涨期权套期保值策略的封闭形式表达式。最后，盖恩特和普在[11]中提出了一种方法，在基于效用的框架下，在对市场影响的一般假设下，对普通期权进行定价和对冲。

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kedemingshi

2022-5-7 00:26:35

他们特别考虑了实物结算和现金结算两种情况。然而，ASR合同的情况比普通期权的情况要复杂得多，因为支付不是典型的欧洲支付，而是一种具有亚洲和伯穆德特征的奇异支付，而且因为要解决的问题既是期权定价/对冲问题，也是最佳执行问题。经济学家们已经讨论了ASR合同在不同的回购方式中的作用（例如参见[4,7]）。然而，有关加速股份回购合同的数学文献相当有限，而且是最近才出现的。关于这个主题的第一篇论文是Jaimungal、Kinzebulatov和Rubisov[14]的一篇有趣的论文。作者关注的是固定股数的ASR合同。为了找到最优购买策略，他们提出了一个连续时间模型，该模型具有以下特点：股票价格采用扰动几何布朗运动建模（扰动考虑了永久市场影响），执行成本与原始Almgren-Chriss模型相同[1,2]，可能的锻炼日期范围为[0，T]（因此该产品是美国的，而不是伯穆丹）。对于风险中性的代理人，最优策略见[14]，尽管作者在[5,6]中增加了库存惩罚。[14]的主要兴趣在于，作者设法将问题简化为三变量偏微分方程，而初始问题是在维度5中。特别是，它们表明，行权边界仅取决于到期时间以及股票价格与其自成立以来的平均价值之间的比率。Guéant、Pu和Royer也在不同的模型中考虑了固定股数的ASR合同（见[12]）。在这个离散时间模型中，在预期效用框架中考虑了一个风险规避主体。

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2022-5-7 00:26:38

如[14]所述，永久性市场影响被认为是正常的，但股票价格被认为是正常的，而不是对数正常的。此外，如[9]所示，执行成本的一般形式是允许的，执行日期是一组固定的日期之一。与[14]一样，[12]中的模型可以归结为一组包含三个变量的方程：时间、要购买的股票数量，以及当前股票价格与时间t=0后的平均价格之间的差异。文献[12]提出了一种基于快速树的数值方法。我们在本文中提出的模型受[12]的启发。特别是，我们使用了相同的预期实用程序框架。然而，由于我们关注的是固定概念ALSAR合同的具体情况，因此不可能再将问题简化为三维问题。特别是，无法使用[12]中提出的原始基于树的方法来数值逼近最优策略。在第2节中，我们介绍了无永久市场影响的模型框架。如[12]中所述，该模型是离散时间的，我们最终用递归Bellman方程对最优购买/对冲策略进行了表征。在第3节中，我们将介绍这些贝尔曼方程，以及变量的变化，以降低问题的维数（从5降到4）。我们还介绍了ASR合同的不同之处。在第4节中，我们提出了一种涉及树和样条线的数值方法来近似问题的解，并给出了一些例子。

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2022-5-7 00:26:40

永久市场影响的介绍见附录A.2模型和贝尔曼方程的设置。我们从投资银行为客户回购股份的角度考虑固定名义ASR的定价和定价。在本文中，ASR合同的概念A将用F表示，合同的到期日将用T表示。我们考虑的模型是一个离散时间模型，其中每个时间段（长度δt）对应一天。换句话说，如果间隔[0，T]对应于N天，我们假设在T=0<…<tn=nδt<…<tN=Nδt=t。为了引入随机变量，我们引入了概率空间Ohm, （Fn）0≤N≤N、 P,如果过滤满足通常的假设。所有随机变量都将在此概率空间中定义。就价格而言，我们从初始价格开始，我们认为价格的动态由以下公式给出：N∈ {0，…，N- 1} ，Sn+1=Sn+σ√δtn+1，其中n+1是Fn+1-可测的，其中随机变量（n）被假定为i.i.d.，平均值为0，方差为1。我们还假设这些变量有一个定义在R+上的矩生成函数。树不是重组的，但节点数是时间段数的三次函数。合同的机制在上一节解释。模型中可以引入[8]中所述的线性永久市场影响——见附录A。

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nandehutu2022

2022-5-7 00:26:44

然而，我们相信，在ASR合同的情况下，交易中几乎没有信息，因此几乎没有永久性的市场影响，因为回购计划通常在实际发生之前宣布。根据所考虑的加速Sh are回购合同的确切支付，SNAP可被视为该期间的每日VWAP[tn-1.tn.（n）≥ 1），或第n天的收盘价。进入ASR合同中支付定义的平均价格过程由（An）n表示≥1:An=nnXk=1Sk。为了购买股票，我们假设银行每天都会发送一份当天执行的订单。在时间tn时，银行发送的订单的大小由vnδt确定，其中流程（vn）被认为是适应的。因此，在市场上回购给初始股东的股份数量由以下公式得出：（q=0qn+1=qn+vnδt）。银行为回购股份支付的价格[tn，tn+1]被假定为Sn+1plus执行成本；执行成本由函数L建模∈ C（R，R+）满足以下假设：oL（0）=0，oL严格凸，偶且在R+上增加，oL渐近超线性，即：limρ→+∞L（ρ）ρ=+∞.银行持有的现金由p过程（Xn）0建模≤N≤定义人：X=0Xn+1=Xn+vnSn+1δt+LVN+1Vn+1δt，其中Vn+1δt是该时期的市场容量[tn，tn+1]。我们假设过程（Vn）是F-可测的。备注1。在应用中，L通常是一个幂函数，即L（ρ）=η|ρ| 1+φ，φ>0，或形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，φ，ψ>0的函数。换句话说，每股执行成本的形式为η|ρ|φ+ψ，其中ρ是参与率。

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2022-5-7 00:26:47

Almgren等人在[3]中估算了这种形式的临时市场影响函数的系数。σdep的值以S代表的值结束。如果S为VWAP建模，我们隐含地假设银行已发送VWAP订单。如果S模型关闭价格，我们隐含地假设银行已发送目标关闭订单。为了使该模型切合实际，我们还假设，与可用流动性相比，银行不能买卖太多股份。换句话说，我们施加ρVn+1≤ 越南≤ ρVn+1，其中ρ可以是任意一个符号。然后我们引入一个非空集N {1，…，N- 1} 对应于银行可以选择行使该选项的时间（以骰子为单位）/∈ N因为银行在时间T没有选择：如果事先没有进行结算，则在时间T进行结算）。实际上，这个集合的形式通常是{n，…，n- 1} 其中n>1。当银行决定行使期权时，或在到期时，如果期权尚未行使，则进行合同结算。我们用n表示∈ N∪{N} 这一次与和解相对应。在时间tn, 银行送货员-Q向公司出售股份，然后银行必须恢复流动头寸。总的来说，银行将不得不购买风扇- qn时间过后的股份.

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kedemingshi

2022-5-7 00:26:50

因为这个问题是一个纯粹的最优执行问题，只依赖于过去（qn）, 一), 我们可以假设购买这些股票的成本是迷- qn锡+ l迷- qn,功能在哪里l 代表一种风险流动性溢价，用于说明执行成本和时间之后执行过程中的风险（见下面的备注2和[9,10,13]）。银行面临的优化问题由sup（v，n）给出)∈AE-经验-γF- Xn-迷- qn锡- l迷-qn,其中A是一组可接受的策略，定义为：A=n（v，n)v=（vn）0≤N≤N-1is（F）-自适应，ρVn+1≤ 越南≤ ρVn+1，n是a（F）-停止时间取N值∪ {N} o，其中γ是银行的绝对风险规避参数。备注2。为了与预期效用框架保持一致，惩罚函数l 应该与q股的不同价格联系起来（实际上是qS的形式）+l（q））。表达l 已在[9]中的连续时间模型中给出。如果我们假设在tn之后执行如果参与率不变，我们也可以考虑l 与参与率ρ（见[10]）清算相关的风险：l（q） =L（ρ）ρ| q |+γσ6ρV | q |，其中V是市场交易量过程的平均值。这是我们在本文中考虑的功能——另请参见[13]。合同中有时会施加此类约束。3.定价和最优策略3。1贝尔曼方程解决这个问题需要确定银行的最佳执行策略和最佳停止时间。为此，我们使用动态规划。

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mingdashike22

2022-5-7 00:26:54

我们介绍了值函数（un）0≤N≤定义人：un（x，q，S，A）=sup（v，n)∈阿内“-经验-γF- Xn，x，vn-范，A，Sn- qn，q，vn!Sn，Sn- l范，A，Sn- qn，q，vn!!!#,式中，Anis是时间tN的容许策略集，定义为：An=n（v，n)v=（vk）n≤K≤N-1is（F）-自适应，ρVk+1≤ vk≤ ρVk+1，na（F）-停止时间取（N）中的值∪ {N} )∩{n，…，n}o，其中状态变量定义为0≤ N≤ K≤ N和k>0，通过：Xn，x，vk=x+k-1Xj=nvjSn，Sj+1δt+LvjVj+1！Vj+1δtqn，q，vk=q+k-1Xj=nvjδtSn，Sk=S+σ√δtk-1Xj=nj+1An，A，Sk=nkA+kk-1Xj=nSn，Sj+1。备注3。事实上，当n=0时，函数unis独立于A。然后可以直接证明值函数由命题1：命题1的递归方程表征。富国家族（un）0≤N≤上面定义的是贝尔曼方程的唯一解：un（x，q，S，A）=-经验-γF- 十、-FA- Qs- lFA- Q如果n=n，则为最大值联合国，n+1（x，q，S，A），-经验-γF- 十、-FA- Qs- lFA-Q如果n∈ N、 ■un，N+1（x，q，S，A）否则，其中■un，N+1（x，q，S，A）=supρVn+1≤五、≤ρVn+1Ehun+1Xn，x，vn+1，qn，q，vn+1，Sn，Sn+1，An，A，Sn+1i、我们现在的目标是简化这个问题，以便用数值计算出一个解。“解决方案”指的是两种不同的东西：（i）最优执行和最优停止的最优策略；（ii）ASR合同的价格。对于第二个问题，我们使用了差异价格的概念（见下文）。3.2为了建立一个更简单的方程组，我们引入了变量的变化：un（x，q，S，a）=-经验(-γ (-x+qS- θn（q，S，A）））然后，函数（θn）用命题2：命题2的递推方程表征。

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2022-5-7 00:26:57

（θn）nsatis fies：θn（q，S，A）=F沙特阿拉伯- 1.+ lFA- Q如果n=n，最小值θn，n+1（q，S，A），F沙特阿拉伯- 1.+ lFA- Q如果n∈ N、 θN，N+1（q，S，A）否则，式中θN，N+1（q，S，A）=infρVn+1≤五、≤ρVn+1γlogE“exp-γqσ√δtn+1- LvVn+1Vn+1δt-θn+1q+vδt，S+σ√δtn+1，nn+1A+n+1S+n+1σ√δtn+1!!#!.备注4。如上f或u所述，θ独立于A，我们写θ（q，S）而不是θ（q，S，A）。变量的这种变化以及相关的递归方程表明，问题的维数可以从5降到4。事实上，变量x不再出现在函数（θn）n中。在[14]中，同样在[12]中，作者设法将问题的维数从5降到3，对于股份数固定的ASR合同。他们确实分别考虑了推理和推理- S而不是这对夫妇（A，S）。在固定的概念ASR的情况下，由于Payoff（术语fa）中的额外凸性，这种降维不再可能，需要解决的问题是维度4。为了找到最优策略，该方法首先递归求解（θn）n的方程∈ N、如果θN，N+1（q，S，A）>F，则执行该选项沙特阿拉伯- 1.+ lFA- Q. 在不行使期权的情况下，最优策略是按v的大小排序*δt，其中v*是θn，n+1.3.3价格和策略定义中的最小值：stakeIn的影响除了问题维度的降低，前面介绍的变量变化的主要利益在于函数（θn）和ASR合同的差异之间的联系。根据定义，ASR合同的差异是提供给银行的现金（正或负）金额，以区分接受和不接受ASR合同。

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2022-5-7 00:27:00

从数学上讲，它由∏：=infnp定义sup（v，n）)∈啊-经验-γp+F- X0,0，vn-FA0，S，Sn- q0,0，vn!S0，Sn- lFA0，S，Sn-q0,0，vn!!!#≥ -1o。价格和函数（θn）之间的联系由以下命题给出：命题3。π=θ（0，S）。当∏为正时，这意味着执行成本和银行承担的风险成本大于银行与合同中嵌入的期权相关的潜在收益。相反，如果∏为负值，银行会对期权进行充分估值，以补偿执行成本和与执行策略相关的风险。备注5。实际上，当一家公司想要回购股票时，愿意参与交易的银行之间会发生竞争（银行为∏≤ 0). 然而，与其提出最多相当于-第二，银行建议对平均价格进行折扣。优化问题是：sup（v，n)∈AE“-经验-γF- X0,0，vn-F（1）- β） A0，S，Sn-q0,0，vn!S0，Sn-lF（1）- β） A0，S，Sn- q0,0，vn!!!#.从数学角度来看，这个问题与原来的问题非常相似。然而，最大回扣是β*定义为β*:= sup（β≤ 1 | sup（v，n)∈AE“-经验-γF- X0,0，vn-F（1）- β） A0，S，Sn- q0,0，vn!S0，Sn-lF（1）-β） A0，S，Sn- q0,0，vn!!!#≥ -1），无法直接计算。nalso函数（θn）能够理解执行策略和停止时间选择的不同影响。为此，让我们扩展θn的表达式（为了简单起见，我们省略了上标）。

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2022-5-7 00:27:03

正如附录B所证明的，我们有：θn（q，S，A）=inf（v，n）)∈γlogE“exp-γσ√δtn-1Xj=nqj-jn迷j+1 |{z}风险项I+nn（A）- S）扇子|{z}传播术语！-N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt |{z}流动性项I- l迷-qn|{z}运动后风险流动性术语！！#！。为了理解不同的影响，我们必须区分期权行使前和行使后的情况。时间之前, 银行在市场上回购股票。至于所有执行问题，有一个执行成本部分和一个风险部分：（i）银行根据其对市场的参与率支付执行成本（这是“流动性条款i”），以及（ii）银行面临价格波动。然而，由于支付的形式，风险部分被边缘化。当股价上涨时，银行以更高的价格购买股票，但可购买的股票数量（FA）减少。同样，反过来说，当股价下跌时，银行会以更低的价格购买股票，但购买的股票数量会增加。与固定数量的ASR合同的情况相反，在固定名义ASR的情况下，套期保值只是部分的：“风险期限I”不能使用适当的策略设置为0。时间过后, 执行成本类似，但风险不再部分对冲：这是“行权后风险流动性术语”（需要选择l 请参阅备注2）。上述分析与回购股份的执行过程有关。就期权而言，当S低于A时，银行有行使期权的动机，因为随着A向S移动，A会机械地上升。现在不行使期权的成本不知何故由“利差条款”决定。因此，我们看到，当S低于a时行使，以最终交付更少的股份，与不过早执行，以（部分）对冲与执行过程相关的风险之间存在权衡。

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2022-5-7 00:27:07

这意味着，当股价下跌时，为了减少对冲而加快购买过程，当股价上涨时，则会减慢购买过程（甚至是出售股票）。4.数值方法和实例4。1.基于树的方法为了数值求解这个问题，我们引入了基于树的方法。该方法使用atree对价格差异进行建模。对于树中的每个节点，通过时间索引和价格S进行索引，我们将计算网格上函数θn（·，S，·）的值。树的结构我们认为创新（n）n≥1具有以下分布：n=+2有概率+1有概率0有概率，-1.概率，-2.概率。我们为n介绍∈ {0，…，N}，对于ζ∈ {0，…，4n}函数Θζn定义为：Θζn（q，A）=θnq、 S+σ√δt（ζ）- 2n），A.根据命题2，函数族Θζn满意度：ζn（q，A）=FS+σ√δt（ζ）- 2n）A- 1!+ lFA- Q如果n=n，最小值ζn，n+1（q，A），FS+σ√δt（ζ）- 2n）A- 1!+ lFA- Q如果n∈ N、 ΘζN，N+1（q，A）否则，其中ΘζN，N+1（q，A）=infv∈[ρVn+1，ρVn+1]γlogE“exp-γqσ√δtn+1- LvVn+1Vn+1δt-Θζ+（n+1+2）nq+vδt，nn+1A+n+1S+σ√δt（ζ）- 2n）+n+1σ√δtn+1!!#!.这种方法不同于[12]中使用的方法，在[12]中，节点由排列索引- A.选择的分布与标准正态分布的前四个矩相匹配：E[n]=0En= 1En= 0En= 3.功能Θζnn、 ζ在网格上递归计算。每个索引（n，ζ）对应于五项树的一个节点。（q，A）-grid的结构在树的每个节点上，我们计算（q，A）的Θζn（q，A）的值∈ Gq×GA，其中Gq是formnknq的网格-1qmax | k∈ {0，…，nq- 1} 这里是f-ormnS+ξ的网格克纳-1.-σ√Nδt | k∈ {0, . . .

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2022-5-7 00:27:10

，不- 1} o.对于每个网格，我们需要选择网格中的点数（nqand nA）和网格的宽度（链接到qmax和ξ）。交付的股份数量与比率有关。因此，它不是有界的，我们需要为a选择一个最小值Nσδt，考虑A的值在一系列形式中是很自然的-ω√σ√Nδt，S+ω√σ√Nδt其中ω是我们想要保持的标准偏差数。实际上，我们选择ξ=√ω=3，即大约2.6个标准差。然后，qmax考虑一个值qmax是很自然的，这与A的下界一致财政司司长-ξσ√Nδt.在我们的数值方法中，我们考虑了网格上执行策略的优化，即：△ζN，N+1（q，A）=minqtarget∈[q+ρVn+1δt，q+ρVn+1δt]∩GqγlogE“exp-γqσ√δtn+1- L目标- qVn+1δtVn+1δt- Θζ+（n+1+2）nqtarget，nn+1A+n+1S+σ√δt（ζ）- 2n）+n+1σ√δtn+1!!#!.备注6。实际上，如果（Vn）是一个常数过程，最好在q网格上有ρVδt和ρVδt。为了计算上一个等式中的最小值，因此为了计算Θζn，n+1（q，A），我们需要Θζ+（n+1+2）n的值qtarget，A′forA′=nn+1A+n+1S+σ√δt（ζ）- 2n）+n+1σ√δtn+1。由于A′不必位于网格GA上，我们使用自然三次样条插值，如果必要，我们在域外线性外推f函数（对于A）。确定最优策略使用上述递归方程，我们可以近似函数（θn）n的值。此外，在时间的每一步，对于我们计算其值的元组（q，S，A）的每一个组合，我们可以很容易地计算出最优策略。我们得到q*目标来自允许计算Θζn，n+1（q，A）的最小化程序。如果Θζn，n+1（q，A）>FS+σ√δt（ζ）- 2n）A- 1!+ lFA- Q,如果我们被允许运动，那么我们就行使选择权。

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mingdashike22

2022-5-7 00:27:15

否则，我们将发送一份大小为q的订单*目标- 向市场提问。4.2示例4。2.1参考场景我们现在转向数值方法在示例中的实际应用。我们考虑以下参考案例，它对应于CAC 40指数的主要或股票的四舍五入值。本案例将在本文其余部分使用。股票参数oS=45EURσ=0.6EUR·天-1/2，相当于大约等于21%的年波动率V=4000万股·天-1.oL（ρ）=η|ρ| 1+φ，η=0.1欧元·存量-1·天-1和φ=0.75。ASR合同参数oT=63天提前行使期权的一组可能日期为N=[22,62]∩ N.oF=90万欧元。银行参数o参与率受ρ=-25%，ρ=25%。o风险规避率γ=2.5×10-7EUR-1.o l 如备注2所述。换句话说，在期权被行使后，我们假设执行以25%的恒定参与率进行。数值方法的参数oqmax=2500000支股票。onq=201.oξ=3，对应于ω 2.6标准偏差nA=21。我们首先从三个例子开始，对应于价格的三条轨迹。图1中的第一个例子对应于一个增长趋势，因此股价高于平均水平。如前一节所述，在这种情况下，没有理由提前行使期权（点对应于行使期权的日期）。0 10 20 30 40 600 5 10 15 20时间库存q（百万股）30 40 50 60价格最优策略图1：价格主要上涨时的最优策略。第二个例子，如图2所示，对应于股票价格围绕其平均值振荡。我们看到，正如预期的那样，当股价下跌时，购买过程会加速，当股价上涨时，购买过程会减速。

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能者818

2022-5-7 00:27:18

我们甚至看到，随着价格上涨，购买过程可能会变成销售过程。其基本原理是套期保值，可以在我们称为“风险期限I”的术语中看到：Pn-1j=nqj-jn迷j+1。随着价格的上涨，我们预计最终将购买的股票数量会增加（也就是说) 减少行使日期（即tn) 比最初想象的要晚。因此迷为了达到相同的风险水平，q必须下降。在第二个例子中，我们还看到期权在接近到期时行使。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格最优策略图2：价格主要波动时的最优策略。由于最优策略会导致买卖股票，了解当我们迫使银行使用只买策略时会发生什么是很有趣的。如果我们施加ρ=0，我们将得到图3中的最佳策略，该策略在本质上是不同的。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格购买-仅策略无约束策略图3：价格主要波动时的最优策略（ρ=0）。我们考虑的第三个轨迹对应于价格下降（见图4）。在这种情况下，银行相当迅速地购买股票，并尽快行使期权，尽管它尚未购买所需数量的股票。通过行使期权，该行希望实际上避免A股的自然减少，从而导致其必须购买的sh股数量增加。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格最优策略图4：价格主要下跌时的最优策略。除了最优策略外，我们还可以在参考案例中计算已执行的ASR合同的价格∏。

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2022-5-7 00:27:22

这里，这个价格是负的，因为我们发现∏=-10669023 -1.185%F.这意味着，在效用方面，与ASR合同的期权性部分相关的收益足够重要，足以补偿（在效用方面）合同的执行成本和风险。在我们强制使用只购买策略的情况下，我们得到∏=-10330135 -1.148%F.4.2.2比较静力学为了了解主要参数的作用，我们进行了比较静力学。我们通过参数η关注股票的流动性，通过σ关注股票价格的波动性，以及风险规避参数γ。执行成本的影响考虑到执行成本，我们考虑我们的参考案例，参数η有3个值：0.01、0.1和0.2。我们关注第二个价格轨迹（图5），因为它很好地展示了η的作用：股票的流动性越高，出于对冲目的，股票的往返次数就越多。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格ETA=0.01eta=0.1eta=0.2F/A图5：价格主要波动时的最佳策略，不同的η值。价格差异如下：η0.01 0.1 0.2∏F-1.254% -1.185% -1.117%正如预期的那样，股票的流动性越高，差异性就越低：购买过程本身的成本确实更低，往返股票对冲风险的成本也更低。让我们来看看波动的影响。我们考虑参考案例中的三个参数σ值：0.3、0.6和1.2。这关系到两个方面。一方面，股票的波动性越大，我们称之为“风险期限I”和“行权后风险流动性期限”的期限的大小就越重要。

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nandehutu2022

2022-5-7 00:27:25

另一方面，σ越大，银行的期权越有价值。在价格方面，我们看到第一个影响占主导地位，因为∏是σ的一个增加的作用。我们还发现σ是ASR合同价格的一个非常重要的驱动因素。σ0.3 0.6 1.2∏F-2.163% -1.185% -0.605%的风险规避效果我们继续进行风险规避。我们考虑我们的参考情况，参数γ有4个值：0,2.5×10-9, 2.5 × 10-7和2.5×10-图6显示了γ对价格主要波动的第二条股价轨迹的最优策略的复杂影响。我们看到的第一件事是，当γ=0时，银行每天购买几乎相同数量的股份，这些变化是由于拟购买的目标股份数量的变化（asA振荡）。同样重要的是要理解，银行bu的股份代替等待的原因是，我们考虑在执行日期后以25%的参与率执行。在风险规避代理人的情况下，我们看到不同的行为取决于风险规避的水平，因为有几种不同的影响。这种随机性确实存在于执行过程和购买股票的数量中。一方面，风险规避鼓励在S低于A时行使期权，以降低后一种风险。然而，在一定程度上减少了前一种风险被部分对冲的时间。对冲更重要的风险类型取决于γ的价值。这就是为什么我们在最优策略中观察到如此多的差异。

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2022-5-7 00:27:28

因此，选择与银行想要承担的风险相对应的γ值非常重要。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格伽马=0伽马=2.5E-9gamma=2.5E-7gamma=2.5E-6F/a图6：在不同的γ值下，当价格主要振荡时的最佳策略。我们可以把结果推广到γ=0的情况。这是涉及预期效用的模型中的一个经典问题。在优化执行（例如在Almgren-Chriss模型中）和资产管理（例如在Markowitz方法中，或在Merton模型中）中经常遇到这种情况。然而，非常清楚的是γ对ASR合同价格的影响：银行越厌恶风险，就越不重视与企业签订ASR合同。γ 0 2.5 × 10-92.5 × 10-72.5 × 10-6∏F-1.499% -1.490% -1.185% -0.468%结论本文是对一篇关于定价的新文献的贡献，该文献的灵感来自于非最优执行的文献。具体而言，我们在本文中提出了一个模型，用于描述和计算银行与企业签订固定名义ASR合同的最佳策略。我们的离散时间模型能够模拟与ASR相关的执行问题与作为合同一部分的亚洲/伯穆德安期权之间的相互作用，而经典方法将这两个问题分开。除了提供非最佳策略外，我们还为合同确定了一个不同的价格。

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2022-5-7 00:27:32

我们开发的用于近似解的数值方法在实践中运行良好，提供了优化策略和价格。附录A：引入永久性市场影响在上述设置中，市场影响只是暂时的，归结为执行成本。在这里，我们简要介绍了如何推广之前的模型，以便引入线性形式的永久市场影响（参见[8]了解线性形式市场影响的基本原理）。在本附录中，我们假设Sn+1是第n天的收盘价，ASR合同支付的平均价格是收盘价的平均值。投资组合的动态是相同的：（q=0qn+1=qn+vnδt）。然而，价格的动态受银行策略的影响：N∈ {0，…，N- 1} ，Sn+1=Sn+σ√δtn+1+kvnδt，其中附加术语意味着当银行购买股票时价格上涨，当银行出售股票时价格下跌，如经典的Almgren Chriss fr amework中所述。我们确实认为，在ASR合同的情况下，交易几乎没有永久性影响，因为回购合同通常是提前宣布的。平均价格仍然是N=nnXk=1Sk。如果我们假设大小vnδt的顺序在区间[tn，tn+1]上均匀执行（在连续时间Almgren-Chriss模型中），这将导致现金账户的以下动态：Xn+1=Xn+Sn+1vnδt- LVN+1Vn+1δt-k（qn+1）- qn）-σvnδt√′n+1，其中（（k，′k））kare i.i.d.随机变量，矩母函数定义在R+，E[（k，k）]=0和V[（k，k）]=√√.备注7。术语k（qn+1）-qn）来自这样一个事实，即为股票支付的价格的预期值是Sn和Sn+k（qn+1）之间的平均值-qn）。

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2022-5-7 00:27:35

噪声项σvnδt√′n+1对应于这样一个事实，即当价格n+1为收盘价时，我们在一天内逐步且均匀地执行。永久性的市场影响也必须考虑在股票上市后支付的价格. 为此，我们更换l（q）由l（q） +kq。因此，银行面临的优化问题变成了：sup（v，n)∈AE“-expF- Xn-迷- qn锡-K迷- qn- l迷- qn!#.这个问题可以用Bellman方程递归求解：un（x，q，S，A）=-经验-γF- 十、-FA-Qs-KFA- Q- lFA- Q如果n=n，则为最大值联合国，n+1（x，q，S，A），-经验-γF- 十、-FA-Qs-KFA- Q- lFA- Q, 如果n∈ N、 ■un，N+1（x，q，S，A）否则，其中■un，N+1（x，q，S，A）=supv∈热润+1Xn+1，qn+1，Sn+1，An+1i、如果我们定义（x，q，S，A）=-经验(-γ (-x+qS- θn（q，S，A）），命题2中θn的递推方程变成：θn（q，S，A）=F沙特阿拉伯- 1.+KFA- Q+ lFA- Q如果n=n，最小值θn，n+1（q，S，A），F沙特阿拉伯- 1.+KFA- Q+ lFA- Q如果n∈ N、 θN，N+1（q，S，A）否则，式中θN，N+1（q，S，A）=infρVn+1≤五、≤ρVn+1γlogE“exp-γqσ√δtn+1+kvqδt+σvδt√′n+1+kvδt- LvVn+1Vn+1δt- θn+1q+vδt，S+kvδt+σ√δtn+1，nn+1A+n+1S+n+1kvδt+n+1σ√δtn+1！！！#！。在这种情况下，S和A需要使用样条曲线近似。

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2022-5-7 00:27:39

因此，从数值的角度来看，这个问题稍微复杂一些，但我们的框架甚至可以用于建立永久性市场影响模型的情况。附录B：命题2的证明：n=n的情况很简单。当n<n和n/∈ N、我们有：θN（q，S，A）=γ对数- supρVn+1≤五、≤ρVn+1E联合国+1Xn，x，vn+1，qn，q，vn+1，Sn，Sn+1，An，A，Sn+1!- x+qS=infρVn+1≤五、≤ρVn+1γlogE“exp-γ-Xn，x，vn+1+x+qn，q，vn+1Sn，Sn+1- qS- θn+1qn，q，vn+1，Sn，Sn+1，An，A，Sn+1!!#!= infρVn+1≤五、≤ρVn+1γlogE“exp-γ-v（S+n+1）√δt）δt- LvVn+1Vn+1δt+（q+vδt）（S+σn+1）√δt）- qS- θn+1q+vδt，S+σ√δtn+1，nn+1A+n+1S+n+1σ√δtn+1!!#!=θn，n+1（q，S，A）。对于最后一个案例，我们以同样的方式进行。命题3的证明：根据定义，我们-exp（γ∏）=u（0，0，S）=-exp（γθ（0，S））。结果就是这样。θn表达式的证明：我们有：un（x，q，S，A）=-经验(-γ (-x+qS- θn（q，S，A））=sup（v，n)∈阿内-经验-γ-Xn，x，vn-范，A，Sn- qn，q，vnSn，Sn- l范，A，Sn- qn，q，vn= sup（v，n）)∈阿内-经验-γ-Xn，x，vn+ qn，q，vnSn，Sn+范，A，Sn安，A，Sn- Sn，Sn- l范，A，Sn- qn，q，vn.现在，根据定义：-Xn，x，vn+ qn，q，vnSn，Sn= -十、-N-1Xj=nvjSn，Sj+1δt-N-1Xj=nLvjVj+1Vj+1δt+qn，q，vnSn，Sn= -x+qS+σ√δtn-1Xj=nqn，q，vjj+1-N-1Xj=nLvjVj+1Vj+1δt.因此：θn（q，S，A）=inf（v，n）)∈γlogE“exp-γσ√δtn-1Xj=nqn，q，vjj+1+扇，A，Sn安，A，Sn- Sn，Sn-N-1Xj=nLvjVj+1Vj+1δt- l范，A，Sn- qn，q，vn!!#!.现在，简单的计算结果是：An，A，Sn- Sn，Sn=nn（A）-（S）- σ√δtn-1Xj=njnj+1。因此，我们得到：θn（q，S，A）=inf（v，n）)∈γlogE“exp-γσ√δtn-1Xj=nqn，q，vj-jn范，A，Snj+1+nn（A）- S）范，A，Sn!-N-1Xj=nLvjVj+1Vj+1δt- l范，A，Sn- qn，q，vn!!#!.参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss。清算中的价值。风险，12（12）：61-631999。[2] R.Almgren，N.Chriss，投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3月5日至40日。[3] 阿尔姆格伦，C。图姆，E。

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