这意味着经验-Diuτα+u*τ（k）)τ还有E-d（u）*τ（k））τ都等于OE-d（u）+-δ)τ尽管如此，k∈ A.利用Zτ，k，α的定义，测量值的变化（7.5）和引理7.2和B.2，我们可以写出gΦτ，k，α（u）=log EQk，τeiuZτ，k，α= 日志E经验U*τXτ- τ∧（t）τ（u）*τ） +iuτα（Xτ）- kτ）= -iukτ1-α+ τ∧（t）τ（iu/τα+u）*τ) -∧（t）τ（u）*τ)= -iukτα-1+ τ五、iuτα+u*τ- V（u）*τ)+ Hiuτα+u*τ- H（u）*τ） +Ohe-d（iuτ）-α+u*τ） τi- OE-d（u）*τ)τ= -iukτ1-α+τ（V（iu/τα+u）*τ) -V（u）*τ） ）+H（iu/τα+u*τ) - H（u）*τ） +OE-d（u）+-δ)τ.自从d（u）+- δ） 大于0时，余数趋向于以指数的速度ze ro，就像τ趋向于完整性一样。余数的一致性来自繁琐但非技术性的联合计算，计算结果表明，对数Φτ，k，α（u）与其近似值之间的差值的绝对值受一个独立于u的常数的限制，因为τ趋于一致。7.4. 极限力矩爆炸情况下的渐近性。我们现在考虑情况H±、eH±和H，对应于极限lmgf V为线性。引理7.8。假设7.5在以下情况下得到验证：（i）R的A=[V′（u*+), ∞) 你呢*∞= U*+;（ii）R3a和R3B，其中A=(-∞, V′（u）*-)] 你呢*∞= U*-.18 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK Room（iii）R3band R，其中A=（V′（1），∞] 你呢*∞= 1.证据。考虑案例（i）并将（7.6）改写为H′（u*τ（k））/τ=k-V′（u）*τ（k））。让k≥ V′（u）*+); 因为V严格意义上是x（u）-, u+，我们有H′（u*τ（k））/τ=k- V′（u）*τ（k））≥ V′（u）*+) - V′（u）*τ（k））>0。现在我们证明了H′具有证明引理的必要性质。

以下陈述可以在冗长的yetstraightforward手册中得到证实（图8提供了视觉帮助）：（i）关于（0，u）*+) 存在一个独特的“u”∈ （0，1）使得H′（\'u）=0；（ii）H′：（\'u，u*+) → R严格地递增，并且在u处趋于一致*+.因此（i）和（ii）意味着（7.6）存在满足引理条件的唯一解*τ（k）∈ （\'u，u*+). 函数H′在（\'u，u）上是严格正的*+), 因此对于足够大的τ，u*τ（k）严格递增，并以u为界*+, 从而收敛到极限L∈ [u，u*+]. 如果我∈ [u，u*+), 那么V′和H′的连续性以及V的严格凸性意味着limτ↑∞V′（u）*τ（k））+H′（u*τ（k））/τ=V′（L）<V′（u）*+) ≤ k、 这是一个矛盾。因此L=u*+, 这证明了案例（一）。案例（ii）和（iii）是相互关联的，引理如下。23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ìì。20.40.60.60.81.01.20.20.20.20.20.20.20.81.01.10.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01.20.01.01.01.01.01.01.01.01.20.20.20.20.20.20.01.20.01.01.20.20.01.01.20.01.20.20 00.00150.0020Hprime（b）图8。u 7的情节→ 不同τ值的H′（u）/τ。圆、正方形和钻石呈现τ=2,5,10。在（a）u中∈ (-1.05,9.72）和in（b）u∈ (0, 1). 赫斯顿参数v=0.07，θ=0.07，ρ=-0.8，ξ=0.65，κ=1.5。t=1，ρ-= -0.56美元*+= 9.72美元-= -1.05.在下面的引理中，我们导出了u的渐近展开式*τ（k）。这一关键结果将使我们能够推导出特征函数Φτ，k，α以及分析中所需的其他辅助量的同态。引理7.9。

以下例子适用于美国*τ（k）随着τ趋于一致：（i）在R、R3a和R3b状态下，（a）在H±：u下*τ（k）=u*±+a±（k）τ-1/2+a±（k）τ-1+Oτ-3/2;（b） undereH±：u*τ（k）=u*±+ea±-1/3+ea±τ-2/3+Oτ-1.;（ii）在R带中，（a）对于k>V′（1）：u*τ（k）=1-u（k）-V′（1））τ-1+O（τ）-2);（b） 对于k=V′（1）：u*τ（k）=1- τ-1/2quV′（1）+Oτ-1.,在（3.1）和u中定义了±、a±和a±*±in（2.4）。赫斯顿的大型成熟制度证明了这一点。考虑H+生效时的制度R，即k>V′（u*+), 在引理7.8中证明了这样一个k的存在性和唯一性，因此我们假设结果为ansatz。当τ趋于一致时，这意味着以下渐近性：（7.11）V（u）*τ（k））=V（u*+) +aV′（u）*+)√τ+aV′（u）*+)+ aV′（u）*+)τ+Oτ3/2,V′（u）*τ（k））=V′（u*+) +aV′（u）*+)√τ+aV′（u）*+)+ aV′（u）*+)τ+Oτ3/2,γ（u）*τ（k））=γ（u*+) +aγ′（u）*+)√τ+aγ′（u）*+)+ aγ′（u）*+)τ+Oτ3/2,γ′（u）*τ（k））=γ′（u*+) +aγ′（u）*+)√τ+aγ′′（u）*+)+ aγ′（u）*+)τ+Oτ3/2.我们将其代入（7.6）并在每个订单上求解。在τ-1/2我们得到a+（k）=±e的顺序-κt/22βtqκθvV′（u*+)（k）-V′（u）*+)),自k- V′（u）*+) > 0和V′（u）*+) > 0.我们选择负根，因为我们需要*τ∈ （0，u）*+)  做∞对于足够大的τ。我们以一种单调而直接的方式继续这个过程，并在每个阶上迭代求解（下一个方程在a中是线性的），以导出该方程的渐近展开式。其他案例来自类似的论证。现在我们推导出Φτ，k，α的渐近展开式。下一节将使用展开式推导（7.8）中函数F的通感。引理7.10。

当τ趋于完整时，以下展开式成立：（i）在R、R3a和R3b状态下，（a）在H±：Φτ，k，3/4（u）=e下-ζ±（k）u/21+最大值（1，美国）Oτ-1/4;（b） 在eh±：Φτ，k，1/2（u）=e下-3V′（u）*±）u/21+最大值（1，美国）Oτ-1/6;（ii）在R带中，（a）对于k>V′（1）：Φτ，k，1（u）=exp-iu（k）- V′（1））-uV′′（1）2τ1.- iu（k）-V′（1））u-u（1+max（1，us）O（τ）-1));（b） 对于k=V′（1）：Φτ，k，1/2（u）=exp-iupuV′（1）-uV′（1）1.- iuqV′（1）u-u（1+max（1，us）O（τ）-1/2），对于一些不同于一行的整数。回想一下，（7.7）和（3.2）中定义了Φτ，k，α。此外，由于τ趋于一致，对于|u |<τ1/6，（i）和（ii）（b）中的余数在u中是一致的，而对于|u |<τ2/3，（ii）（a）中的余数在u中是一致的。备注7.11。（i） 在（i）（a）的情况下，当H±保持不变时，Zτ，k，3/4弱地收敛到中心高斯n，方差ζ±k。（ii）在第（i）（b）种情况下，Zτ，k，1/2压缩为弱中心高斯分布，方差为3V′（u+），当h±成立时。（iii）在情况（ii）（a）中，Zτ，k，1弱地与零均值随机变量Ξ有关-γ、 式中γ：=k-V′（1）和Ξ是一个伽马随机数m变量，形状参数u和比例参数β：=（k-V′（1））/u。限制功能意味着esR满足∞-∞(1 - iuβ）-ue-对于任意j，V′′（1）u/（2τ）ujdu=O（1）∈ N∪{0}.（iv）在第（ii）（b）种情况下，Zτ，k，1/2弱地与零均值随机变量ψ+Ξ有关，其中ψ是具有均值的高斯分布-puV′（1）和方差V′（1）和Ξ是伽马分布的形状eu和sca lepV′（1）/u。20安托万·J·阿奎尔和帕特里克·罗姆韦现在证明了区域R中的Cas e（i）（a），因为所有其他情况下的概率都是相似的。在forthcominganalysis中，我们将对由（7.12）eτ（k）定义的函数eτ的渐近性感兴趣≡√τ (κθ - 2β电视（u*τ（k）））。在R下，如果（i）（a），（κθ- 2β电视（u*τ） ）趋向于零，因为τ趋向于完整，所以对于大τ，eτ发生的变化并不直接相关。

但是V（u）的渐近行为*τ） 在（7.11）和定义（7.12）中得出以下结果：引理7.12。假设兰德H+。然后展开式eτ（k）=e+（k）+e+（k）τ-1/2+Oτ-1.当τ趋于一致时保持不变，在（3.3）和u中定义了EAN和ede*±in（2.4）。引理7.10的证明。考虑H+生效时的制度R，即k>V′（u*+), 加上这样一个k，为了便于记谱，去掉上标和k相关。引理7.7收益率（7.13）对数Φτ，k（u）=-iukτ1/4+τ五、iuτ3/4+u*τ- V（u）*τ)+ Hiuτ3/4+u*τ- H（u）*τ） +O（τ）-1/4).利用引理7.9，我们得到了泰勒展开式（类似于（7.11））VU*τ+iu/τ3/4=κθ2βt+aV′√τ+iuV′τ3/4+V′a+V′aτ+iuaV′τ5/4+Oτ3/2,（7.14）随着τ趋于一致，其中V、V′和V′在u处进行评估*+. 使用（7.11）我们进一步U*τ+iu/τ3/4- V（u）*τ） =iuV′（u）*+)τ3/4+iuaV′（u*+)τ5/4+Oτ3/2,(7.15)γU*τ+iu/τ3/4= γ（u）*+) +aγ′（u）*+)√τ+iuγ′（u*+)τ3/4+Oτ.（7.16）我们现在研究H的行为iu/τ3/4+u*τ, 其中6.2（定义为H）。使用引理7.12和大τ的展开式（7.15），我们首先注意到Eτ- 2βt√τV（u）*τ+iuτ3/4）- V（u）*τ)= E-2βtiuV′τ1/4+e√τ-2βtiuaV′τ3/4+Oτ,（7.17）中定义了eτ。加上（7.14），这意味着-κ电视（u）*τ+iu/τ3/4）κθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）=√τve-κ电视（u）*τ+iu/τ3/4）eτ- 2βt√τV（u）*τ+iu/τ3/4）-V（u）*τ)=κθve-κt√τ2eβt+iκθuve-κtV′τ1/4e+ve-κtaV\'e-eκθ2eβt-ζ+u+Oτ1/4,（7.18），其中ζ+定义见（3.2）。将ein（3.3）代入（7.18）中的第二项，我们发现（7.19）iκθuve-κtV′e=iu（k- V′）。按照使用eτ的类似程序，我们建立了大τthatve-κ电视（u）*τ)κθ - 2β电视（u*τ） =κθve-κt√τ2eβt+ve-κtaV\'e-eκθ2eβt+ O√τ,（7.20）并结合（7.18）、（7.19）和（7.20），我们发现（7.21）V（u*τ+iu/τ3/4）ve-κtκθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）-V（u）*τ） ve-κtκθ- 2β电视（u*τ） =iu（k）- V′）τ1/4-ζ+u+Oτ1/4.赫斯顿正演方程的大成熟度区我们现在分析exp（H（iu/τ3/4+u）的第二项*τ) - H（u）*τ)).

本学期我们将重新编写-ulogκθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）κθ1.- γU*τ+iu/τ3/4!+ ulogκθ - 2β电视（u*τ)κθ (1 - γ（u）*τ))!(7.22)=κθ - 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）κθ- 2β电视（u*τ)1.- γU*τ+iu/τ3/41.- γ（u）*τ)!-1.-u，并分别处理每个乘法项。对于第一项，我们将其称为κθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）κθ- 2β电视（u*τ） =eτ- 2βt√τV（u）*τ+iu/τ3/4）- V（u）*τ)eτ，（7.23），然后我们使用7.12中eτ的渐近性和方程（7.17）来发现，随着τ趋于一致，κθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）κθ- 2β电视（u*τ） =1+Oτ1/4.（7.24）对于第二项，我们使用（7.11）和（7.16）中的渐近性来确定大τ1的渐近性- γU*τ+iu/τ3/41.- γ（u）*τ)!-1=1 -γ+aγ′/√τ+iuγ′/τ3/4+O（1/τ）1.- （γ+aγ′）/√τ+O（1/τ））！-1=1+O（1/τ3/4）。然后，对于第二项exp（H）（iu/τ3/4+u*τ) -H（u）*τ） 对于大τ，我们有（7.25）exp-ulogκθ - 2β电视（u*τ+iu/ψτ）κθ（1）- γ（u）*τ+iu/ψτ）+ ulogκθ - 2β电视（u*τ)κθ (1 - γ（u）*τ))= 1+Oτ1/4.此外，由于τ趋于一致，等式（7.15）表示τV（u）*τ+iu/τ3/4）- V（u）*τ)= iuV′（u*)τ1/4+O（τ-1/4).（7.26）将（7.21）、（7.25）和（7.26）组合成（7.13）完成证明。余数的一致性和整数s的存在性的证明与[1，Le mmas 7.1，7.2]的证明是一样的。为了得到完整的渐近展开式，我们仍然需要导出（7.8）中D和F的展开式。这就是本节的目的。我们必须对D进行一个扩展，它给出了货币期权的大到期日的前导阶衰减：引理7.13。

当τ趋于完整时，以下展开式成立：（i）在R、R3a和R3b状态下，（a）在H±：D（τ，k）=exp-τ（V）*（k）- （k）+√τc±（k）+c±（k）τu/2c±（k）（1+O（τ）-1/2));（b） undereH±：D（τ，k）=exp-τ（V）*（k）- k） +τ1/3c±+c±τu/3c±（1+O）τ-1/3));（ii）在R带中，（a）对于k>V′（1）：D（τ，k）=exp(-τ（V）*（k）- k） +u+g）2（k）-V′（1））（κ-ρξ)(κθ-2V（1）βt）μτu（1+O（τ）-1));（b） 对于k=V′（1）：D（τ，k）=exp(-τ（V）*（k）- k） +u/2+g）2(κ-ρξ)√V′′（1）u（κθ）-2V（1）βt）μτu/2（1+O（τ-1/2)).其中c、c和c（3.4）、杜松子酒（3.5）和V*在引理2.1.22安托万J阿奎尔和帕特里克ROOMEProof中有明确的特征。考虑情况（i）（a）（即当H+保持不变时），为了便于记谱，再次删除up-erscript和k-dependence。我们现在使用引理7.9和（7.11）来写大τ：e-τ（ku）*τ-V（u）*τ） ）=exph-τ（ku）*+- V（u）*+)) -√τa（k）- V′+r- ak+O（τ）-1/2）i（7.27）=e-τV*（k）-√τa（k）-V′+r-akh1+O（τ）-1/2）i，其中r:=V′\'a+V′a，其中我们使用了V的字符化*引理2.1给出。我们现在研究H（u）的渐近性*τ). 利用（7.12）中eτ的定义，我们写出（7.28）eH（u）*τ） =expV（u）*τ） ve-κtκθ- 2β电视（u*τ)κθ - 2β电视（u*τ)κθ (1 - γ（u）*τ))-u=τuexpV（u）*τ） ve-κtκθ- 2β电视（u*τ)eτκθ（1）- γ（u）*τ))-u，然后依次处理这些术语。现在到（7.20）时，正如τ趋于完整，我们有了ve-κ电视（u）*τ)κθ - 2β电视（u*τ） =κθve-κt√τ2eβt+ve-κtaV\'e-eκθ2eβt+ O√τ.（7.29）利用引理7.12中给出的eτ的渐近性和（7.11）中给出的γ的渐近性，我们发现eτκθ（1）- γ（u）*τ))-u=e+e/√τ+O（1/τ）κθ（1）- γ） +κθaγ′/√τ+O（1/τ）-u=κθ (1 - γ） eu1+O√τ.（7.30）使用ein（3.3）的定义，注意简化-a（k）- V′）+κθve-κt2eβt=-2a（k）- V′）。结合（7.27），（7.28），（7.29）和（7.30），我们发现d（τ，k）：=e-τ（k（u）*τ-1)-∧（t）τ（u）*τ） ）=exp-τ（V）*（k）- （k）+√τc++c+τu/2c+（1+O（τ-1/2），其中c+、c+和c+在（3.4）中。

所有其他情况都以类似的方式出现，这就完成了证明。在下面的引理7.15中，我们给出了（7.8）中函数F的渐近展开式。然而，我们首先需要以下技术结果，其证明可在[11，L emma 7.3]中找到。设p表示形状为λ、标度为ν的伽马随机变量的密度，bp表示相应的特征函数：（7.31）p（x）≡Γ（λ）νλxλ-1e-x/ν{x>0}，bp（u）≡ (1 - iνu）-λ.引理7.14。随着τ趋于完整，以下展开式成立：ZRexp-我爱你-σu2τuβbp（γu）du=qXr=02πσ2riβγ2r+β+1rr！τrp（2r+β）（1）+Oτq+1,带γ，ν，λ∈ R*+, β ∈ N∪ {0}，q∈ N和p（N）表示伽马密度p引理7.15的第N阶导数。随着τ趋于一致（ζ±in（3.2）和u*±in（2.4））：（i）在R、r3a和R3b状态下，（a）在H±：F（τ，k，3/4）=τ下-3/4ζ±（k）u*+（u）*±-1)√2π（1+O）τ-1/2));（b） 在eh±：F（τ，k，1/2）=τ-1/2u*±（u）*±-1)√6πV′（u）*±）（1+O（τ）-1/3));（ii）在R带中，（a）对于k>V′（1）：F（τ，k，1）=-E-Γ（1+u）（1+O（τ）-1));（b） 对于k=V′（1）：F（τ，k，1/2）=-E-u/2（u/2）u/22Γ（1+u/2）（1+O（τ）-1/2)).赫斯顿的大成熟制度证明了这一点。同样，我们在这里只考虑在（i）（a）情况下的制度Runder H+。利用u的渐近性*在引理7.9中，我们可以对大的τ进行泰勒展开，得到c（τ，k，3/4）=τ-3/4（美国）*+-1） u*+（1+O（τ）-1/2），其中余数O（τ-只要u=O（τ3/4），1/2）在u中是均匀的。结合引理7.10中的特征函数渐近性，我们发现对于大τ，F（τ，k，3/4）=τ3/4（u*+-1） u*+RRexp-ζ+（k）u（1+O（τ）-1/4）杜。

使用引理B.1，存在β>0，因此当τ趋于完整时，我们可以将该积分写成asZ∞-∞经验-ζ+（k）u1+O（τ）-1/4)du=Zτ3/4-τ3/4exp-ζ+（k）u1+O（τ）-1/4)du+O（e）-βτ）=Zτ3/4-τ3/4exp-ζ+（k）u杜1+O（τ）-1/4)+ O（e）-βτ）=ZRexp-ζ+（k）u杜1+O（τ）-1/4)=√2π|ζ（k）|1+O（τ）-1/4).第二行来自引理7.10，在第三行中，我们使用高斯积分的尾部估计是指数小的，并将其吸收到余数O（τ）中-1/4). 通过将分析扩展到高阶O（τ-1/4）项实际上是零，下一个非永久项是O（τ）-1/2). 为简洁起见，我们省略了分析，并将r=表示为O（τ）-1/2）在引理中。案例（i）（b）从类似的论点发展到上文，我们现在进入案例（ii）（a）。利用u的渐近性*引理7.9中的τwehaveC（τ，k，1）=-ν（k）- iu-1+O（τ）-1) =-ν（k）u1.-iuν（k）u-1+O（τ）-1） ，我们在这里设置ν（k）：=k-V′（1）和余数O（τ）-1） 只要u=O（τ），在u中是均匀的。利用引理7.10和引理B.1中的特征函数渐近性，存在β>0，例如τ趋于完整：F（τ，k，1）=-ν2πuZτ-τexp-iuν-uV′′（1）2τ1.-iuνu-u\"1.-iuνu-1+Oτ-1.#du+O（e）-βτ)=-ν2πuZτ-τexp-iuν-uV′′（1）2τ1.-iuνu-1.-udu1+Oτ-1.+ O（e）-βτ).（7.32）第二行来自引理7.10和备注7.11（iii）。此外，我们注意到Z | u |>τexp-iuν-uV′′（1）2τ1.-iuνu-1.-udu≤ τZ | Z |>1e-τzV′（1）1+zτνu-1.-udz≤ τZ | Z |>1e-τzV′（1）dz=OE-τ,对一些人来说 > 0，因为τ趋于完整。结合（7.32）我们可以写出（τ，k，1）=-ν2πuZ∞-∞经验-iuν-uV′′（1）2τ1.-iuνu-1.-udu1+Oτ-1.,=-E-Γ（1+u）+Oτ-1.1+Oτ-1.,这里我们将指数余数吸收到O（τ）中-1） 第二行接引理7.14。我们现在证明（ii）（b）。

用u的a-交感子*对于引理7.9中的大τ，我们得到c（τ，k，1/2）=a（1+iu/a）+O（τ）-1/2），其中a=-quV′（1），其中余数O（τ-当u=O（τ1/2）时，1/2）在u中是均匀的。利用L e mma 7.10中的特征函数渐近性和上述类似参数，我们对大τ进行了如下展开：F（τ，k，1/2）=2πaZRexpiuaV′（1）-uV′（1）（1+iu/a）1+udu1+Oτ-1/2.24 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK ROOMELet n和bn表示均值和方差为零的高斯密度和特征函数V′（1）。使用（7.31），我们得到了-iωubn（u）bp（u）du=2πF-1（bn（u）bp（u））（ω）=2πF-1（F（n）* p） ）=2πZ∞n（ω）- y） p（y）dy，所以2πaZRexpiuaV′（1）-uV′（1）（1+iu/a）1+udu=aZ∞n(-aV′（1）- y） p（y）dy。现在可以用闭合形式计算该积分，并使用A的定义和伽马函数的复制公式简化后得出结果。7.5. 极限傅里叶变换不存在时的渐近性。在本节中，我们感兴趣的是k∈ {V′（0），V′（1）}当His有效时，它对应于除V′（1）之外的所有机制。在这些情况下，极限傅里叶变换在这些点是不确定的。然而，我们在这里表明，第7.3节的方法仍然可以应用，我们通过验证假设7.5开始t。以下数量将是最重要的：（7.33）Υ（a）：=1+aρξκ- ρξeκt，对于a∈ {0，1}，只要他有效，就可以直接检查Υ是否定义良好。引理7.16。让我们∈ {0，1}并假设v6=θΥ（a）。然后，无论何时，假设7.5满足A={V′（A）}和u*∞= a、 此外，如果v<θΥ（a），则存在τ*> 0使你*τ（k）<0 ifa=0和u*如果所有τ>τ的a=1，τ（k）>1*, 如果v>θΥ（a），则存在τ*> 0使你*τ（k）∈ （0,1）对于所有τ>τ*;证据回想一下，函数H在（2.6）中定义。

在a=0的情况下，我们无法证明引理，在这种情况下，Υ（0）=1。注意H′（0）>0（<0）当且仅当v/θ<1（>1）且H′（0）=0当且仅当v=θ。Nowlet k=V′（0）和V<θ，考虑方程H′（u）/τ=V′（0）- V′（u）。因为H′是连续的，所以H′在零的某个邻域上是严格正的。为了让右翼积极起来，我们需要我们的解决方案(-δ、 0）对于某些δ>0，因为V是严格凸x，所以让δ∈ (-δ, 0). 右手侧锁定在V′（0）- V′（δ）>0，然后我们相应地调整τ，使th′（δ）/τ=V′（0）- V′（δ）。然后我们设置uτ=δ。很明显，对于τ>τ，这个方程总是存在唯一的解，而且*τ是三次递增的，且在零以上有界。极限必须为零，否则V′和H′的连续性意味着limτ↑∞V′（u）*τ） +H′（u）*τ） /τ=V′（limτ）↑∞U*τ） <V′（0），一种共偏移。类似的分析适用于v>θ，在这种情况下，u*τ从上面收敛到零。当v=θ时，u*τ=0表示所有τ>0（即，它是一个固定点）。类似的论点适用于k=V′（1）：H′（1）>0（<0）当且仅当V/θ>Υ（1）（<Υ（1））和H′（1）=0当且仅当V/θ=Υ（1）。如果v/θ>Υ（1）（<Υ（1）），那么u*τ从下方（上方）收敛到1，当v/θ=Υ（1），u*对于所有τ>0的情况，τ=1。我们现在为美国提供扩展服务*τ和特征函数Φτ，k，1/2。确定以下数量：（7.34）α：=2e-κt（v- θ)κθ((2 κ - ξ)+ 4κξ(1 - ρ） ），α：=2e-κt（κ- ρξ)κθ((2κ - ξ)+ 4κξ(1 - ρ))(θΥ(1) - v） 。这些证明类似于引理7.9和7.10，省略了。注意，a交感子与u的性质是一致的*引理7.16中的τ（k）。赫斯顿前沿引理7.17的大成熟区。让我们∈ {0，1}并假设v6=θΥ（a）。

当k=V′（a）时，随着τ趋于完整（对于某些整数s），下列展开式成立：u*τ（k）=a+αaτ-1+Oτ-2., D（τ，k）=eτV′（a）（1）-（a）1+Oτ-1.,Φτ，k，1/2（u）=e-uV′（a）1 +iαauV′（a）-iuV′（a）+iuH′（a）τ-1/2+max（1，us）O（τ）-1).我们现在从R定义以下功能*×{0，1}到R，然后在（7.8）中提供F的表达式：（7.35）（q，a）：=eqV′（a）/2πh2N（qpV′（a））- 1.- sgn（q）i，（问题a）：=-q2πV′′（a）+eqV′（a）/2πqh1+sgn（q）- 2NqpV′（a）我（问题a）：=√2π（qV′）（a）-1） （V′′（a））3/2- 2πq | q | expqV′（a）N-|q|pV′（a）,（问题a）：=（q） 2π+2π√τ（aV′（a）+H′（a））（q，a）+V′（a）（问题a）.引理7.18。让我们∈ {0，1}并假设v6=θΥ（a）。当τ趋于一致时，下列展开式成立（agiven in（7.34））：F（τ，V′（a），1/2）={a=1}sgn（α）- 11{a=0}sgn（α）-p2πτV′（a）1+sgn（a）V′′（a）6V′（a）- H′（a）1+Oτ.证据考虑a=0的情况。集合P（u）：=iαuV′（0）-iuV′′（0）/6+iuH′（0），注意c（u，τ，1/2）：=(-iu-U*τ√τ)-(-iu-U*τ√τ+√τ). 利用引理7.17和（7.8）中F的定义：（7.36）F（τ，V′（0），1/2）=2πZRe-V′′（0）u/2C（u，τ）（1+P（u）τ）-1/2+O（τ）-1） ）杜。我们现在不能简单地将C（u，τ，1/2）泰勒展开为小τ，并逐项积分，因为在极限中C（u，τ，1/2）不是TL。这就是引入时间相关项u的原因*τ（V′（0）），因此对于任何τ>0的情况，都存在傅里叶变换。事实上，我们很容易看到C（u，τ，1/2）=-i/u+O（τ）-1/2). 因此，当τ趋于一致时，我们直接积分这些项，然后计算渐近性。注意：由于| C（u，τ，1/2）|=O（1），那么C（u，τ，1/2）（1+P（u）τ-1/2+O（τ）-1） ）=C（u，τ，1/2）（1+P（u）τ-1/2）+O（τ）-1). 对于任何q6=0，RRe-V′′（0）u/2-iu-qdu=（q，0），RRe-V′′（0）u/2iu-iu-qdu=（q，0）安德烈-V′′（0）u/2iu-iu-qdu=（q，0）。

现在使用 在（7.35）中交换积分和（7.36）中的渐近性（类似于引理7.15（i）的证明），我们得到f（τ，V′（0），1/2）=U*τ√τ, 0- （u）*τ- 1)√τ, 0+ Oτ-1..利用引理7.17和累积正态分布函数的渐近性，我们计算：U*τ√τ, 0= ατ-1/2+Oτ-3/2, 0= -sgn（α）-6H′（0）V′（0）- V′（0）√2π（V′′（0））3/2√τ+Oτ-1.,（（u）*τ- 1)√τ, 0) = -√τ + ατ-1/2+Oτ-3/2, 0=p2πV′（0）τ+Oτ-1..a=1的情况类似于使用（·，1）引理如下。备注7.19。考虑第7.4节中k=V′（1）的R3R带。这里还有你*τ（k）趋向于1，我们自然想知道为什么我们在极限傅里叶变换中没有遇到与本节相同的问题。这不值得关注的原因是收敛速度（τ-1/2）美国*τ到1与随机变量Zτ，k，1/2的极限值相同。直觉上，限制性的安托万·J·阿奎尔和帕特里克·鲁姆尔姆夫缺乏陡度比限制性傅里叶变换的任何问题都更重要。在本节中，陡度不是一个问题，但在极限情况下，傅里叶变换也没有定义。这成为自美国*τ（k）以τ的速率收敛到1-当重新缩放的随机变量Zτ，k，1/2以τ的速率变化到极限时-1/2.7.6. 正向微笑渐近线：定理4.1。Gao和Lee已经充分开发了将期权价格渐近性转化为隐含波动率渐近性的通用机制[32]。我们在此简单概述主要步骤。确定前向微笑渐近性有两个主要步骤：（i）为零阶项选择正确的根，以便排列定理4.1和推论3.3中的doma in（以及函数形式）；（ii）匹配渐近线。我们用定理4.1中的几个例子来说明这一点。

考虑k>V′（1）的r3带。在定理4.1中，我们得到了k>V′（1）的远期启动看涨期权价格的渐近性。滚动3.3中唯一适用的BSM机制是k∈ (-Σ/2, Σ/2). 现在我们用∑代替我们的渐近线，在前导阶我们有一个要求：k>V′（1）意味着k∈ (-v（k）/2，v（k）/2）。然后我们需要检查，这只适用于定理中正确的根。注意，我们在这里只使用leadingorder条件，因为如果k∈ (-v（k）/2，v（k）/2）则始终存在τ>0，使得k∈(-v（k）/2+o（1），v（k）/2+o（1）），对于τ>τ。假设我们选择的根不是定理4.1中给出的根。然后对于上界，我们得到条件kV（1）>0。既然V（1）<0，我们需要V′（1）<0，那么这只适用于V′（1）<k<0。这已经与k>V′（1）相矛盾，但让我们继续，因为它可能适用于更有限的k范围。下限给出了条件（k）- V（1））k>0。但上界意味着我们需要d V′（1）<k<0，因此k<V′（1）。因此V′（1）<k<V（1），但这永远不可能，因为简单的计算表明V′（1）>V（1）。现在让我们根据定理选择根。对于上界，我们得到了条件-p（V）*- k） +k（V）*（k）- k） <V*（k）- k=-V（1）>0，这是事实。对于下限，我们得到了条件-p（V）*- k） +k（V）*（k）- k） <V*（k） =k- 因为V′（1）>V（1），所以对于k>V′（1）这总是正确的。这表明我们已经为零阶项选择了正确的根，然后简单地匹配高阶项的渐近性。作为第二个例子，考虑Rand k>V′（u*+) 在定理4.1中。

替换ansatzσt，τ（kτ）=v∞（k） +v∞（k，t）τ-1/2+v∞（k，t）τ-1+O（τ）-3/2）进入滚动3.3中的前向启动看涨期权的BSM渐近，我们发现eX（t）τ- ekτ+= 经验-α∞τ + α∞√τ + α∞4v3/2√2πτ（4k）- v）1+Oτ-1/2,α在哪里∞:=k2v∞-k+v∞, 和α∞:= 五、∞4k-v8vandα∞是一个常数，这里的精确值无关紧要。我们现在用定理3.1来表示阶数。在零阶，我们得到两个解，因为V′（u*+) > V（1），我们选择负根，以便匹配推论3.3和定理3.1中关于大τ的域（使用与上述类似的参数）。在第一阶，我们求解v∞. 但是现在在第二阶，由于τu/2项，我们只能解出u=1/2的高阶项-3/4= τ-1/2在OREM 3.1中的正向启动选项渐近。所有其他案例都是类似的。HESTON向前微笑27的大成熟区附录A引理的证明7.6定义了函数Cτ，k，α：R→ 由（A.1）Cτ，k，α（u）：=τα（u+iτα（u*τ- 1） （u+iταu）*τ） ，其共轭物在（7.9）中给出。引理A.1。存在τ*> 0 s uch thatRR|Φτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）|du<∞ 对于所有τ>τ*, K∈ A、 u*τ（k）6∈ {0, 1}.证据我们计算：ZRΦτ，k（u）Cτ，k，α（u）u=124z|≤ταΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du+Z | u |>ταΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）杜≤2τ-α| u*τ（k）（u）*τ（k）- 1） |Z|u|≤τα|Φτ，k，α（u）| du+Z | u |>1duu，（A.2），其中不等式遵循简单界Cτ，k，α（u）≤τ-2α| u*τ（k）（u）*τ（k）- 1） |，对于一个ll | u |≤ τα,Cτ，k，α（u）≤ταuand |Φτ，k，α|≤ 1.最后（A.2）是FINITE s inc e u*τ（k）6=1，u*τ（k）6=0。我们表示两个函数f，h的协解∈ L（R）乘（f）* g） （x）：=RRf（x）- y） g（y）dy，回想一下（f）* g）∈ L（R）。为了f∈ L（R），我们用（Ff）（u）表示它的傅里叶变换：=RReiuxf（x）dx，用（F）表示它的逆傅里叶变换-1h）（x）：=2πRRe-iuxh（u）du。

对于j=1、2、3，定义函数gj:R+→ R+bygj（x，y）：=（十）- y） +，如果j=1，（y- x） +，如果j=2，最小值（x，y），如果j=3。定义egj:R→ R+由egj（z）：=exp(-U*τ（k）zτα）gj（ezτα，1）。回想一下（7.5）中定义的Qk，τ-度量和第16页定义的随机变量Zk，τ，α。现在我们得到了以下结果：引理A.2。存在τ*> 0这样所有的k∈ A和τ>τ*:EQk，τ[egj（Zk，τ，α）]=2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du，如果j=1，u*τ（k）>1,2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du，如果j=2，u*τ（k）<0，-2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du，如果j=3，0<u*τ（k）<1。（A.3）证据。假设（目前）egj∈ L（R），我们为任何u∈ R、 （Fegj）（u）：=RRegj（z）eiuzdz，对于j=1,2,3。对于j=1，我们可以写∞E-U*τzταezτα- 1.Eiuzz=ez（iu）-U*τα+τα（iu）- U*ττα+ τα)∞-ez（iu）-U*τα（iu）- U*ττα)∞= Cτ，k，α（u），这是u的va lid*τ（k）>1，Cτ，k，α在（A.1）中。对于j=2，我们可以写-∞E-U*τzτα1.- ezταEiuzz=ez（iu）-U*τα（iu）- U*ττα)-∞-ez（iu）-U*τα+τα（iu）- U*ττα+ τα)-∞= Cτ，k，α（u），28 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK RoomeU的va lid*τ（k）<0。最后，对于j=3，我们有-U*τzταezτα∧ 1.eiuzdz=Z-∞E-U*τzταezταeiuzdz+z∞E-U*τzταeiuzdz=ez（iu）-U*ττα+τα）（iu- U*ττα+ τα)-∞+ez（iu）-U*τα（iu）- U*ττα)∞= -Cτ，k，α（u），对0<u有效*τ（k）<1。根据（7.5）中的Qk，τ-度量和第16页的随机变量zk，τ，α的定义，我们得到了eqk，τ[egj（Zτ，k，α）]=ZRqj（kτ1-α- y） p（y）dy=（qj* p） （kτ1）-α） ，带qj（z）≡ egj(-z） p表示X（t）τ的密度-α. 在上面导出的正则条上，我们知道存在τ>0，因此qj∈ L（R）表示τ>τ。因为p是密度，p∈ L（R），因此（A.4）F（qj* p） （u）=Fqj（u）Fp（u）。我们注意到Fqj（u）≡ 费吉(-u）≡Fegj（u）因此（A.5）Fqj（u）Fp（u）≡ eiukτ1-αΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）。因此，引理A.1存在τ>0，使得FqjFp∈ L（R）表示τ>τ。

根据反演定理[63，定理9.11]，这意味着对于τ>max（τ，τ）：EQk，ε[egj（Zτ，k，α）]=（qj* p） （kτ1）-α） =F-1（Fqj（u）Fp（u））（kτ1-α） =2πZRe-iukτ1-αFqj（u）Fp（u）du=2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du。现在我们进入引理7.6的证明。我们使用（7.5）中定义的随时间变化的度量值，为j=1、2、3写下远期启动期权价格gj（eX（t）τ，ekτ）= E-τ[ku*τ（k）-∧（t）τ（u）*τ（k））]ekτEQk，τ[egj（Zτ，k，α）]，第16页定义了Zτ，k，α。我们现在应用引理A.2，然后使用看跌期权平价和赫斯顿模型（eXt）t中的看跌期权平价转换为远期开始看涨期权价格≥0是真鞅[3，命题2.5]。最后是exp的扩展-τk（u）*τ（k）- 1) - ∧（t）τ（u）*τ（k））遵循引理7.2。附录B.尾部估计MMA B.1。存在β>0，因此以下尾部估计适用于所有k∈ A和u*τ（k）6∈ {0，1}因为τ趋于完整：R | u |>ταΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du= O（e）-βτ).证据通过（7.7）中Φτ，k，α的定义，我们得到了|Φτ，k，α（zτα）|=ex pτ(R[λ（t）τ（iz+u*τ)] - ∧（t）τ（u）*τ)). 对于| z |>1，我们有简单的估计Cτ，k，α（zτα）≤ τ-α/z，因此Z | u |>ταΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du≤ ταZ | Z |>1 |Φτ（Zτα）|Cτ，k，α（zτα）dz≤Z | Z |>1eτ(R[λ（t）τ（iz+u*τ)]-∧（t）τ（u）*τ） ）dzz，所有τ>0的HESTON向前曲线的大成熟度区域。我们处理z>1的情况。类似的论点也适用于z<-引理B.2（i）意味着存在τ，因此对于τ>τ：Zz>1eτ(R[λ（t）τ（iz+u*τ)]-∧（t）τ（u）*τ） ）dzz≤ eτ(R[V（i+u]*τ)]-V（u）*τ） ）+O（1）Zz>1dzz。使用引理B.2（ii）我们计算R∧（t）τ（i+u）*τ) -∧（t）τ（u）*τ) = RV（i+u）*τ) -V（u）*τ) + (RH（i+u）*τ) -H（u）*τ） ）/τ+O（τ-n） ，对于任何n>0。

现在使用V和H是连续的，假设7.5，我们得到了RV（i+u）*τ)-V（u）*τ) =RV（i+u）∞) - V（u）∞) + o（1）及RH（i+u）*τ) - H（u）*τ) = RH（i+u）∞) - H（u）∞) + o（1），asτ趋于一致。引理B.2（iii）暗示RV（i+u）∞) -V（u）∞) < 0，引理如下。引理B.2。（i） exp∧（t）τ（iz+u）的展开式*τ） ）=exp（V（iz+u）*τ） +H（iz+u）*τ)τ-1） R（τ）保持不变，因为τ在R（τ）=eO（e）中趋于完整-βτ）对于某些β>0且R在z中是一致的。（ii）存在sτ*以至于R∧（t）τ（iz+u）*τ) ≤ R∧（t）τ（isgn（z）+u*τ） 对于所有z>|1 |和τ>τ*.（iii）所有∈ 做∞函数R z 7→ RV（iz+a）在0处有唯一的最大值。证据（i） 展开式的证明遵循假设7.5和类似的步骤，以及引理7.2和引理7.7的证明。余数一致性的证明∧（t）τ（iz+a）- V（iz+a）- H（iz+a）τ-1.在z中，涉及繁琐而直接的c计算，为方便起见，省略了它。请参见图9（a）中的航空示意图。（ii）假设7.5意味着存在τ*以至于你*τ∈ 做∞对于所有τ>τ*. 所以我们只需要证明对于所有τ>0和a∈ 点τ：R∧（t）τ（iz+a）≤ Rλ（t）τ（isgn（z）+a）表示所有z>|1 |。这一结果的证明涉及繁琐而直接的计算，为简洁起见，省略了它。请参见图9（b）中的视觉说明。（iii）对（iii）的证明是严格的，并遵循与[47，附录C]相同的步骤。

为了简洁起见，我们省略了它。aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììì-10-5z0。51.01.5剩余（a）aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììì-10-5z-6-5-4-3-2-1RealPartLambda（b）图9。在左边，我们绘制了MAPZ7→经验∧（t）τ（iz+a）- V（iz+a）- H（iz+a）τ-1.在右边我们绘制了地图Z7→ R∧（t）τ（iz+a）。这里a=-3（循环），a=0.5（平方）和a=3（直径），参数与图2相同，t=1，τ=5.30安托万·J·阿奎尔和帕特里克·罗默参考[1]E.阿尔奥斯、J.勒昂和J.维维斯。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11:571-5892007。[2] L.B.G.安德森和A.利普顿。指数L’evy过程的渐近性及其波动性：调查和新结果。《国际理论与应用金融杂志》，16（1）：1-982013。[3] 安徒生和皮特堡。随机波动模型中的矩爆炸。《金融与随机》，11（1）：29-502007。[4] R.Bahadur和R.Rao。样本平均值的偏差。《数理统计年鉴》，31:1015-1027，1960年。[5] P.巴拉德。向前微笑。

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