海斯顿向前微笑的大成熟度

nandehutu2022

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《Large-Maturity Regimes of the Heston Forward Smile》
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作者：
Antoine Jacquier and Patrick Roome
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We provide a full characterisation of the large-maturity forward implied volatility smile in the Heston model. Although the leading decay is provided by a fairly classical large deviations behaviour, the algebraic expansion providing the higher-order terms highly depends on the parameters, and different powers of the maturity come into play. As a by-product of the analysis we provide new implied volatility asymptotics, both in the forward case and in the spot case, as well as extended SVI-type formulae. The proofs are based on extensions and refinements of sharp large deviations theory, in particular in cases where standard convexity arguments fail.
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中文摘要：
我们提供了赫斯顿模型中大到期远期隐含波动率微笑的完整特征。虽然领先衰变是由一个相当经典的大偏差行为提供的，但提供高阶项的代数展开在很大程度上取决于参数，不同的成熟度幂起作用。作为分析的副产品，我们在远期和即期情况下提供了新的隐含波动率渐近性，以及扩展的SVI型公式。这些证明基于大偏差理论的扩展和完善，尤其是在标准凸性参数失效的情况下。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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nandehutu2022

2022-5-7 02:15:15

赫斯顿前锋斯米莱安托妮·贾奎尔和帕特里克·罗姆埃布拉特的大成熟期制度。我们提供了Heston模型中大到期远期隐含波动率微笑的完整特征。虽然领先的衰变是由一个相当经典的大偏差行为提供的，但提供高阶项的代数展开在很大程度上取决于参数，并且成熟度的不同力量发挥作用。作为分析的副产品，我们在远期和即期情况下提供了新的隐含波动率渐近性，以及扩展的SVI型公式。这些证明基于shar p大偏差理论的扩展和局限性，尤其是在标准凸性方程失效的情况下。1.介绍考虑资产价格过程提取T≥0，X=0，不支付股息，定义在一个完整的过滤概率空间上(Ohm, F、（Ft）t≥0，P），并假设利率为零。在Black-Scholes-Merton（BSM）模型中，资产价格对数的动力学由DXT=-σdt+σdWt，其中σ>0表示瞬时波动率，W表示标准布朗运动。然后通过著名的BSM公式[14,58]：CBS（τ，k，σ）：=E给出了零时刻看涨期权的无套利价格eXτ- 埃克+= N（d+）-ekN（d）-), 带d±=-kσ√τ±σ√τ、其中N是标准正态分布函数。对于给定的市场价格Cobs（τ，k）和到期日τ，隐含波动率στ（k）是方程Cobs（τ，k）=CBS（τ，k，στ（k））的唯一解。对于任何t，τ>0和k∈ R、我们在[13,56]中定义了一个具有远期开始日期t、到期日τ的远期开始期权，并将其定义为一个具有支付能力的欧洲期权eX（t）τ- 埃克+其中X（t）τ：=Xt+τ- 这是明智的。根据平稳增量特性，其值在BSM模型中仅为CBS（τ，k，σ）。

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mingdashike22

2022-5-7 02:15:19

对于行使ek、远期开始日期t和到期日τ时期权的给定市场价格Cobs（t，τ，k），则将远期隐含波动率σt，τ（k）定义为Cobs（t，τ，k）=CBS（τ，k，σt，τ（k））的唯一解（另见[13]）。正向微笑是现货隐含波动率微笑的基因表达，当t=0时，两者相等。关于隐含波动率渐近性的研究是广泛的，并借鉴了广泛的数学技术。利用热核展开结果，小成熟度渐近性得到了广泛关注[8]。最近，使用偏微分方程方法[12,42,61]、大偏差[23,26]、鞍点法[28]、Malliavin-ca-lculus[9,53]和微分几何[35,43]对其进行了研究。Roger Lee[55]是第一个研究极端走向渐近性的人，Benaim和Friz[6,7]和andin[39,40,41,31,23,19]对此进行了进一步的研究。只有[67,27,46,45,29]使用大偏差和鞍点方法研究了大成熟度渐近性。Fouque等人[30]也成功地引入了d扰动日期：2018年6月26日。2010年数学科目分类。60F10，91G99，91G60。关键词和短语。随机波动率，赫斯顿，远期隐含波动率，渐近展开，大偏差。AJ感谢EPSRC第一批拨款EP/M008436/1的财政支持。作者还想感谢一位不诚实的裁判的有用评论。2 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK ROOMEtechniques旨在研究缓慢和快速均值回复随机波动率模型。

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大多数88

2022-5-7 02:15:23

上述参考文献中研究的具有跳跃（包括L’evy过程）的大成熟度和极端冲击的模型在短时间内“爆炸”，在[1,2,66,60,59,24]中进行了精确的研究。另一方面，关于前向启动选项和前向微笑的症状的文献很少。Glasserman和Wu[37]使用不同的远期波动率概念来评估其在确定未来期权价格和未来隐含波动率时的预测值。Keller Res sel[52]研究了当正向开始日期t变大（τ固定）时的正向微笑渐近性。Bompis[15]对具有有限差分系数的局部波动率模型中的前向微笑进行了扩展。在[47]中，作者计算了一类模式ls（包括随机波动率和时变指数L’evy模型）中向前微笑的所有和大成熟度渐近性，其中正向特征函数满足某些性质（特别是重新缩放极限的基本一致性）。在[48]中，作者证明，对于固定的t>0，Hestonforward微笑随着τ趋于0而爆发。最后，Balland[5]、Bergomi[13]、B¨uhler[17]和Gatheral[34]的实践者们对向前微笑进行了实证研究。在某些参数条件下，如[47]所示，点极限limτ的光滑行为↑∞τ-1 log E（euX（t）τ）表示向前微笑的渐近行为为σt，τ（kτ）=v∞（k） +v∞（k，t）τ-1+O（τ）-2），其中v∞（·）和v∞（·，t）是R上的连续函数。尤其是对于t=0（spotsmiles），它们恢复了[27]中的结果（也受到一些参数限制）。有趣的是，有限的大成熟度∞不取决于提前开始日期。许多从业者（参见。

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大多数88

2022-5-7 02:15:26

Balland[5]）自然而然地推测，大成熟的向前微笑应该与大成熟点微笑相同。上面的结果严格地告诉我们，当且仅当Heston相关性足够接近于零时，这一点才成立。很自然地会问，当参数限制被违反时会发生什么。我们根据相关性确定了一些规则，并推导了each区域的渐近性。主要结果（定理3.1和4.1）表明，a sτ趋于完整：EeX（t）τ- ekτ+= 我k、 τ，V′（0），V′（1），11{κ<ρξ}+φ（k，t）ταe-τ（V）*（k）-k） +ψ（k，t）τγ1+Oτ-β,σt，τ（kτ）=v∞（k，t）+v∞（k，t）τ-λ+R（τ，λ），对于任何k∈ R、式中，I是与期权价格的内在价值相关的指标函数，以及α、γ、λ严格正常数，取决于相关程度。剩余的R随着τ趋于完整而衰减为z e ro。如果t=0（斑点微笑），我们恢复并扩展[27]中的结果。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了赫斯顿模式l的不同大期限制度，这将推动远期期权价格和远期隐含波动率的渐近行为。在第3节中，我们推导了每种方案中的大成熟期前向启动期权渐近性，在第4节中，我们将这些结果转化为前向微笑渐近性，包括扩展的SVI型公式（第4.1节）。第6节提供了支持本文发展的渐近性的数字，第7节收集了主要结果的证明。注：E应始终表示先验给定的风险中性度量P下的预期。我们将标准（相对于远期）隐含波动率称为即期微笑，并将其表示为στ。前向隐含波动率将表示为σt，τ为ab ove，我们让R*:= R\\{0}和R*+:= (0, ∞).

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何人来此

2022-5-7 02:15:29

对于R中的集合序列（Dε）ε>0，为了方便起见，我们可以使用符号limε↓0Dε，我们的意思是（当两边相等时）：lim infε↓εS>0t≤εDs=Tε>0Ss≤εDs=：lim supε↓0Dε。最后，对于赫斯顿的一个巨大的成熟体制，我们给出了一套 R、我们让AOA和A表示它的内部和闭包（在R中），R（z）及I（z）复数z的实部和虚部，如果x，则sgn（x）=1≥ 0和-1否则。2.大额到期制度在本节中，我们将介绍本文将使用的大额到期制度。每个区域都由Heston相关性确定，并产生极为不同的前向星t选项和相应的前向微笑的渐近行为。这是由于远期价格过程ss（X（t）τ）τ>0在每种情况下的瞬间爆炸行为不同。在赫斯顿模型中，（对数）股价过程是以下SDE的唯一强解：（2.1）dXt=-Vtdt+pVtdWt，X=0，dVt=κ（θ- Vt）dt+ξ√VtdZt，V=V>0，dhw，Zit=ρdt，其中κ>0，ξ>0，θ>0和|ρ<1和（Wt）t≥0和（Zt）t≥0是两个标准的布朗运动。我们还提出了符号u：=2κθ/ξ。方差过程的Feller SDE具有山田渡边条件下的唯一强解[50，命题2.13，第e 291页]）。X过程是Vand的随机积分，因此定义良好。Feller条件，2κθ≥ ξ（或u）≥ 1），确保无法获得原点。否则，起源是规则的（因此可以实现）和强烈的反映（见[51，第15章]）。然而，我们在分析中不需要Feller条件，因为我们使用X的前向矩母函数（mgf）。定义实数ρ-ρ+乘以（2.2）ρ±：=e-2κtξ（e2κt）- 1） ±（eκt+1）p16κe2κt+ξ（1）- eκt）8κ，注意-1.≤ ρ-< 当且仅当t=0时，0<ρ+且ρ±=±1。

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nandehutu2022

2022-5-7 02:15:33

我们现在定义了大期限制度：（2.3）R：良好相关性制度：ρ-≤ ρ ≤ min（ρ+，κ/ξ）；R：不对称负相关制度：-1 < ρ < ρ-t>0；R：不对称正相关区：ρ+<ρ<1，t>0；R3a：ρ≤ κ/ξ;R3b：ρ>κ/ξ；R：大相关区：κ/ξ<ρ≤ 最小值（ρ+，1）。在标准情况下，t=0时，Rcorres与κ成正比≥ ρξ和Ris是它的补充。我们现在定义以下数量：（2.4）u±：=ξ- 2κρ ±η2ξ(1 - ρ）你呢*±：=ψ±ν2ξ（eκt）- 1），其中（2.5）η：=pξ（1- ρ) + (2κ - ρξ），ν：=pψ- 16κeκtandψ：=ξ（eκt- 1) - 4κρeκt，以及间隔D∞ R BYRR3AR3BRD∞[u]-, u+]u-, U*+) （u）*-, u+]（u*-, 1] （u）-, 1] 4 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK ROOMENote对于t>0，u+>u*+> 1如果ρ≤ ρ-你呢-< U*-< 如果ρ为0≥ ρ+也就是（2.5）中定义的ν是所有ρ的一个完全定义的实数∈ [-1, ρ-] ∪ [ρ+, 1]. 而且我们一直都有你-< 0和u+≥ 当且仅当ρ=κ/ξ时，u+=1。我们从d中定义了实值d函数V和H∞对R乘以（2.6）V（u）：=u（κ）-ρξu- d（u）和H（u）：=V（u）ve-κtκθ- 2β电视（u）- ulogκθ - 2βtV（u）κθ（1）- γ（u））,（7.3）中定义了d、β和γ。很明显（另见[27]和[45]）函数V在op en区间（u）上是完全可微分、严格凸且基本光滑的-, V（0）=0。此外，V（1）=0if且仅当ρ≤ κ/ξ. 对于任何k∈ R（鞍点）方程V′（u*（k））=k有唯一的解决方案u*（k）∈（u）-, u+：u*（k）：=ξ- 2κρ+（κθρ+kξ）ηkξ+2kκθρξ+κθ-1/22ξ (1 -ρ).（2.7）进一步让V*: R→ R+表示V:（2.8）V的芬切尔-勒让德变换*（k）：=supu∈D∞{英国- V（u）}，为了所有的k∈ R.以下引理表示V*并且可以用正演演算来证明。正如我们将在第3.1节中看到的，函数V*可以解释为我们问题的一个大偏差率函数。引理2.1。定义函数W（k，u）≡ 英国- V（u）表示任何（k，u）∈ R×[u-, u+]。

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可人4

2022-5-7 02:15:36

然后oR:V*（k）≡ W（k，u）*（k））在R上；oR:V*（k）≡ W（k，u）*（k））开(-∞, V′（u）*+)] 和V*（k）≡ W（k，u）*+) 关于（V′（u）*+), +∞);o R3a:V*（k）≡ W（k，u）*-) 在(-∞, V′（u）*-)) 和V*（k）≡ W（k，u）*（k）在[V′（u）上*-), +∞);o R3b:V*（k）≡W（k，u）*-), 在(-∞, V′（u）*-)),W（k，u）*（k），在[V′（u）上*-), V′（1）]，W（k，1），on（V′（1）+∞);o R:V*（k）≡ W（k，u）*（k））开(-∞, V′（1）]和V*（k）≡ （V′（1）上的W（k，1）+∞).3.我们需要引入一些向前的渐近常数。如定理3.1所述，每一个都定义在一个特定的政权和打击地区，并且都有明确的定义和实际价值。

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能者818

2022-5-7 02:15:40

在下面的公式中，γ、β皮重定义在（7.3）中，u*±英寸（2.4）和V英寸（2.6）。(3.1)a±（k）：=2 | k- V′（u）*±）|ζ±（k），a±（k）：=ue-κt16βtξvV′（u*±) -8βteκtV′（u*±)K- V′（u）*±)V′（u）*±)K- V′（u）*±),ea±=E-κtκθv4V′（u*±）V′（u）*±）βt1/3，ea±=-（κθe）-κt）2/312ξv1/3β4/3t16V′（u*±）V′（u）*±）βteκt+ξvV′（u*±）1/3|V′（u*±）2/3V′（u*±）5/3，其中（3.2）ζ±（k）：=4βtV′（u）*±（k）- V′（u）*±）κθve-κt1/2;（3.3）（e±（k）：=-2βta±（k）V′（u）*±），e±（k）：=-βtV′（u）*±）a±（k）+2V′（u）*±）a±（k）,ee±=-2βtea±V′（u*±），ee:=-βtV′（u）*±）（ea±）+2V′（u）*±）ea±,赫斯顿前沿微笑5（3.4）的大成熟期制度c±（k）：=-2a±（k）K- V′（u）*±), c±（k）：=κθ1.- γ（u）*±)e±（k）！u，c±（k）：=ve-κta±（k）V′（u）*±）e±（k）-κθe±（k）2e±（k）βt- a±（k）K- V′（u）*±)+a±（k）V′（u）*±),(3.5)ec±：=（ea±）V′（u）*±），ec±：=κθ1.- γ（u）*±)ee±！u，g:=ve-κtV（1）κθ- 2βtV（1），ec±：=ve-κtea±V′（u*±）ee±-κθee±2（ee±）βt+ ea±ea±V′（u*±）+（ea±）V′（u）*±，（3.6）φ（k）：=p2πV′（u）*（k） )exp（H（u）*（k））你*（k）（u）*（k）- 1），如果k∈ R\\{V′（0），V′（1）}，-1.- sgn（k）V′（u）*（k） 6V′（u）*（k） )- H′（u）*（k） ), 如果k∈ {V′（0），V′（1）}。(3.7)φ±（k）：=c±（k）ec±（k）ζ±（k）u*±（u）*±- 1)√2π，eφ±：＝c±ec±u*±（u）*±- 1） p6πV′（u*±），φ（k）：=-egΓ（1+u）2u(κ - ρξ）（k）- V′（1））κθ- 2β电视（1）u, φ:=-eg2Γ（1+u/2）u（κ-ρξ）p2V′（1）κθ- 2βtV（1）！自从你*-< 0和u*+> 我们总是有V′（u*+) > 0和V′（u）*-) < 0.更进一步，V′（u）*±）>0，可以表示γ（u*±) 6= 1; 因此，（3.1），（3.2），（3.3），（3.4）和（3.5）中的所有函数和常数都得到了很好的定义和实值。φ定义得很好，因为V′（u*（k））>0和φ以及常数φ都很好地定义为κθ- 2βtV（1）>0。

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大多数88

2022-5-7 02:15:44

最后确定以下组合和函数I:R×R*+×R→ R：（3.8）H：α=，β=1，γ=0，φ≡ φ, ψ ≡ 0，eH±：α=u-, β =, γ =, φ ≡eφ±，ψ≡ ~c±，H±：α=u-, β =, γ =, φ ≡ φ±, ψ ≡ c±，H:α=-u, β =, γ = 0, φ ≡ φ, ψ ≡ 0，H：α=-u, β = 1, γ = 0, φ ≡ φ, ψ ≡ 0，（3.9）I（k，τ，a，b，c）：=1.- ekτ{k<a}+11{a<k<b}+c11{b≤k} +1-c{k=b}+1.-ekτ{k=a}。我们现在可以在本文的结果中陈述ma，即在实线上所有（对数）罢工的所有制度下，远期启动期权价格的渐近展开。该证明是由引理7.6与引理7.13、7.15、7.18和7.17中的渐近性结合得到的。定理3.1。以下扩展适用于所有k的远期启动看涨期权∈ R asτ趋于完整：EeX（t）τ- ekτ+= 我k、 τ，V′（0），V′（1），11{κ<ρξ}+φ（k，t）ταe-τ（V）*（k）-k） +ψ（k，t）τγ1+Oτ-β,其中，φ、ψ和常数α、β和γ由以下组合给出：oR:Hfor k∈ R、 oR:Hfor k∈ (-∞, V′（u）*+));k=V′（u）时的eH+*+); H+代表k∈ （V′（u）*+), +∞);o R3a:H-为了k∈ (-∞, V′（u）*-));嗯-对于k=V′（u*-); Hfor k∈ （V′（u）*-), +∞);当His有效时，如果V=θΥ（a），则排除情况k=V′（a），对于a，Υ定义在（7.33）中∈ {0,1}.6安托万·J·阿奎尔和帕特里克·罗姆oR3b:H-为了k∈ (-∞, V′（u）*-));嗯-对于k=V′（u*-); Hfor k∈ （V′（u）*-), V′（1））；Hat k=V′（1）；Hfor k∈ （V′（1）+∞);o R:Hfor k∈ (-∞, V′（1））；h对于k=V′（1）；Hfor k∈ （V′（1）+∞);为了强调渐近曲线中出现的对称性，我们有时会确定一个间隔，以及相应的有效时间和组合。

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mingdashike22

2022-5-7 02:15:47

然而，这种对符号的轻微滥用不应影响理解。备注3.2。（i）在R下，大成熟向前微笑的渐近性（对于k∈ R \\{V′（0），V′（1）}）已在[47，命题3.8]中推导。（ii）对于t=0，在[28]中，在Rand下导出了大成熟度渐近解，在[45]中，在R下部分导出了大成熟度渐近解。（iii）所有渐近展开式均以闭合形式给出，原则上可推广到任意阶。（iv）当H±和Hare有效时，则V*（k）- k在k中是线性的，而在H.（v）中是严格凸的，如果ρ≤ κ/ξ然后V*（k）-K≥ 当且仅当k=V′（1）时，等于0。如果ρ>κ/ξ，那么V*（k）-K≥ -V（1）>0。自从γ∈ [0,1]，前导顺序dec-ay项由e给出-τ（V）*（k）-k）。（vi）在H下（仅当ρ>κ/ξf r r log严格大于V′（1）时才会发生），对于沃德-开始看涨期权价格，随着τ趋于完整，衰减为1。这与其他制度和BSM模式l中的大规模罢工行为根本不同，后者的看涨期权价格衰减为零。这种显著的非对称行为解释如下：随着到期日的增加，期权时间价值的增加对价格产生正面影响，而远期启动看涨期权的行使增加对价格产生负面影响。在标准制度下，对于足够大的罢工，罢工的影响比大到期期限内的时间价值影响更为显著。在这里，由于存在较大的相关性，这种影响是相反的：随着资产价格的上涨，波动性倾向于将资产价格提高到可能更高的水平。这个伽马或时间价值的影响超过了期权打击的增量。（vii）在R中，衰变率V*（k）-k有一个非常不同的行为：在V′（1）处达到的最小值不是零和V*（k）-k是k的常数≥ V′（1）。

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能者818

2022-5-7 02:15:50

前导阶行为中的信息有限，因此重要的区别必须以高阶术语出现。这在图5和图6中得到了说明，其中一阶对称性远远优于领先阶。（viii）需要注意的是*±和V*取决于提前开始日期t至（2.4）和地区机制。然而，在不相关的情况下ρ=0，Ralways适用，V*不依赖于t。向前微笑的非平稳性（在前导顺序）取决于相关性离零的距离。为了将这些结果转化为正向微笑渐近（在下一节中），我们需要对Bla-ck-Scholes模型进行类似的扩展，其中对数股价过程满足dXt=-∑dt+∑dWt，其中∑>0。定义功能V*BS:R×R*+→ R和φBS:R×R*+×R→ R比V*BS（k，a）：=（k+a/2）/（2a）和φBS（k，a，b）≡4a3/2（4k）- （a）√2πexpBk2a-{k6=±a/2}+b- 2.√2aπ{k=±a/2}，因此以下情况成立（见[47，推论2.11]）：HESTON向前微笑引理的大成熟度区域3.3。让a>0，b∈ R并设置∑：=a+b/τ，τ足够大，以至于a+b/τ>0。在BSM模型中，以下扩展适用于任何k∈ R asτ趋于一致（函数I在（3.9）中定义）：EeX（t）τ- ekτ+= 我k、 τ，-a、 a，0+φBS（k，a，b）τ1/2e-τ（V）*BS（k，a）-（k）1+O（τ）-1).3.1. 与大偏差的连接。虽然从定理3.1中可以清楚地看到，但到目前为止，我们根本没有提到大型开发的概念。

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大多数88

2022-5-7 02:15:53

随着期限趋于成熟，期权价格的前导阶衰减，在很大的时间概率下，期权价格上升到估计值；更准确地说，通过就原木走向正式区分双方，可以证明，在[48，推论3.3]的完全类似证明之后- limτ↑∞τ-1log PX（t）τ∈ B= infz∈BV*（z），对于实线的任何Bo-rel子集B，即（X（t）τ/τ）τ>0满足P下的大偏差原则，速度τ和良好的速率函数V*asτ趋于一致。关于大偏差的更多细节，我们参考了e Excellent专著[20]。该定理实际上在这里说明了一个更强大的结果，因为它提供了更高阶的估计，在[11]中创造了“急剧大偏差”（另见[10，定义1.1]）。现在，当矩母函数已知时，克服大偏差的经典方法依赖于伽特纳-埃利斯定理。在数学金融领域，人们可以参考[26]、[27]或[46]来了解随机波动率模型的小时间和大时间行为，以及[62]来获得有见地的概述。尤其是，G–artner-Ellis定理要求极限对数矩生成函数V在其有效域的边界处陡峭。在R政权中确实如此，但在其他政权中却未能成立。该定理的标准证明（详见[20，第2章，定理2.3.6]）明确地适用于实线的开放区间，其中函数V是严格凸的，基本上包含H的所有出现*变为线性，转向点V′（0）和V′（1），但必须使用car e进行处理，并逐个解决。

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能者818

2022-5-7 02:15:57

证明剧烈的大偏差基本上依赖于找到一个新的概率测度，在这个概率测度下，原始过程的重新缩放版本弱收敛到某个随机变量（通常是高斯的，但并不总是）；在外行术语中，在这种新的概率度量下，标度变量的罕见事件/大偏差不再是随机的。更准确地说，fix一些log moneyness k∈ R我们确定一个过程（Zτ，k）τ>0:=（（X（t）τ，k）- kτ）/τα）τ>0，概率测度Qk，τ，αviadQk，τ，αdP:=expU*τ（k）X（t）τ- τ∧（t）τ（u）*τ（k））,你在哪里*τ（k）是方程的唯一解u∧（t）τ（u）*τ（k））=k，其中∧（t）τ表示X（t）τ的（重标度）对数矩母函数（见第7.1节）。特征函数Φτ，k，α（u）：=EQk，τ，α（eiuZτ，k）随着τ趋于完整，具有一定的扩展性。一旦找到了这一对，证明的最后一部分是将买入价格（或概率）表示为特征函数乘以某个核的四个ie r逆变换，并对Φτ，k，α（u）进行展开以确定所需的渐近性。主要的技术问题，以及不同的机制在哪里发挥作用，出现在Φτ，k，α（u）和u的渐近行为的性质中*τ（k）随着τ趋于一致（必须选择α值）。第7节开头和第7.3节提供了有关证明主要步骤的详细信息。急剧的大偏差，或更普遍的峰值概率渐近展开式，`a la Bahadur Rao[4]，也可以通过其他途径证明。特别是，Benarous[8]开发的框架（并在[22,23]中应用于金融环境）是处理维纳空间和热核展开的拉普拉斯方法的一个极其强大的工具。

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nandehutu2022

2022-5-7 02:16:00

然而，8 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK ROOMEorigin的平方根差异（在SDE（2.1）中表示方差）的奇异性超出了该理论的范围。顺便说一句，Conforti、Deuschel和De Marco[18]最近证明了平方根偏差的大偏差原理，为我们提供了另一种证明方法。如[48,49]所述，耦合（Xτ，Vτ）τ上的前向启动框架≥0，解（2.1），从（0，v）开始，可以看作是一个标准的期权定价问题≥0，同一个随机微分方程（2.1）的解，尽管从点（0，Vt）开始，即随机初始方差。在随机起点启动SDE所产生的额外复杂性，使得Benarous框架以及Conforti Deuschel De Marco结果的应用成为一个值得考虑的迷人的挑战。4.远期微笑渐近我们现在将上述获得的远期启动期权渐近转化为远期隐含波动率英里的渐近。让我们首先定义函数v∞: R×R+→ R乘以（4.1）v∞（k，t）：=22V*（k）- k+2Z（k）pV*（k）（五）*（k）- （k）, 尽管如此，k∈ R、 t∈ R+和Z:R→ {-1，1}由Z（k）定义≡ 11{k∈[V′（0），V′（1）]}+sgn（ρξ）- κ） 11{k>V′（1）}- 11{k<V′（0）}和V*见附录2.1。确定以下组合：P:χ≡ χ, η ≡ 1，λ=1，R（τ，λ）=O（τ）-2λ），eP±：χ≡ ec±，η≡ 1，λ=，R（τ，λ）=o（τ）-λ），P±：χ≡ c±，η≡ 1，λ=，R（τ，λ）=（oτ-λ, 如果u6=1/2，Oτ-2λ, 如果u=1/2，P:χ≡ 0, η ≡ 0，λ=0，R（τ，λ）=o（1）。（3.4）和（3.5）以及χ：R\\{V′（0），V′（1）中给出了c±和ec±→ R由（4.2）χ（k，t）定义≡ H（u）*（k））+log4k- 五、∞（k，t）4（u）*（k）- 1） u*（k）五∞（k，t）3/2pV′（u）*（k））！，V和H在（2.6）和u中给出*在（2.7）中。

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可人4

2022-5-7 02:16:03

我们现在陈述这一部分的主要结果，即在所有政权中向前微笑的扩展和（原木）实线打击。第7.6节给出了证明。定理4.1。当τ趋于完整时，以下展开式适用于正向微笑：σt，τ（kτ）=v∞（k，t）+v∞（k，t）τ-λ+R（τ，λ），对于任何k∈ R、 v在哪里∞: R×R+→ R由V定义∞（k，t）：=8v∞（k，t）4k- 五、∞（k，t）χ（k，t），如果k∈ R\\{V′（0），V′（1）}，2η（k）“1-sv∞（k，t）V′（u）*（k） )1+sgn（k）V′（u）*（k） 6V′（u）*（k） )- H′（u）*（k） )#, 如果k∈ {V′（0），V′（1）}，其中函数χ，η，余数R和常数λ由以下组合给出：oR:Pfor k∈ R、 oR:Pfor k∈ (-∞, V′（u）*+));k=V′（u）时的eP+*+); P+代表k∈ （V′（u）*+), +∞);o R3a:P-为了k∈ (-∞, V′（u）*-));eP-对于k=V′（u*-); P或k∈ （V′（u）*-), +∞);当Pis生效时，如果V=θΥ（a），则k=V′（a）的情况不包括在（7.33）中定义的a中∈ {0, 1}.赫斯顿向前微笑9oR3b:P的大成熟度制度-为了k∈ (-∞, V′（u）*-));eP-对于k=V′（u*-); P或k∈ （V′（u）*-), V′（1））；P或k∈ [V′（1）+∞);o R:Pfor k∈ (-∞, V′（1））；P或k∈ [V′（1）+∞).备注4.2。（i）在s标准现货情况下，t=0，Ronly的隐含波动率微笑的大成熟度渐近在[29]中推导（即假设κ>ρξ）。在互补的情况下，R，大罢工的微笑行为变得更加退化，并且不能指定k的高阶渐近性≥ V′（1）。（ii）零阶项v∞在R上是连续的（另见第4.1节），这对于高阶项不一定成立。在R，r3a和R3b，v中∞在临界打击V′（u）时趋于完整或零*+)和V′（u*-) （这将在第6节中进一步讨论）。

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可人4

2022-5-7 02:16:07

在R，v∞在整个实线上是连续的。（iii）直接计算表明，0<v∞（k） <2 | k |代表k∈ R\\[V′（0），V′（1）]，和V∞（k） >2 | k |代表k∈ （V′（0），V′（1）），所以∞在R\\{V′（0），V′（1）上有很好的定义。在(-∞, V′（u）*-)) ∪ （V′（u）*+), ∞),c±>0，所以在区域Ron（V′（u*+), ∞) 在R3b中，R3bon(-∞, V′（u）*-)), 五、∞对零阶项v总是一个正的调整吗∞; 有关这种“凸性效应”的示例，请参见图1。定理4.1显示了高阶正向微笑渐近的不同程度的退化。在Rone-canin原理中，获得任意高阶渐近解。在R中，如果u=1/2，则R3a和R3bone只能将前向微笑设定为任意顺序。如果不是这样，那么我们只能指定第一个订单的正向微笑。现在，Hesto n波动率σt的动态：=√vt由dσt给出=2u-18σtξ-κσtdt+ξdWt，带σ=√v、如果u=1/2，则波动率为高斯分布，这与Sch–obel随机波动率模型的特定情况相对应。因此，Heston波动率动力学偏离了高斯波动率动力学，出现了某种简并，因此无法指定高阶前向微笑渐近。有趣的是，在[48]和[23]研究股票价格的尾部概率时，在[48]和[23]中都出现了类似的简并。如[23]所证明的，方差过程的平方根行为会导致一些奇异性，因此当u6=1/2时，会产生根本不同的行为。在R中，r3a和R3bat是边界点V′（u*±）对于任何参数配置，都不能指定超出第一顺序的正向微笑。这可能是因为这些渐近机制是极端的，因为它们是标准行为和退化行为之间的过渡点，因此很难与BSM正向波动相匹配。

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可人4

2022-5-7 02:16:09

最后，在R3R波段中，对于k>V′（1），我们获得了最大的行为，从某种意义上说，我们不能指定超过零阶的正向微笑。然而，这并不令人惊讶，因为大相关性机制的行为与BSM模型有根本不同（另见备注3.2（iii））。4.1。SVI类型限制。[33]中提出了所谓的“随机波动性激励”（SVI）参数化，即spot隐含的波动性微笑。正如[36]中所证明的，在假设κ>ρξ的情况下，SVI参数化结果是Heston（spot）微笑的真正成熟极限。现在，我们将这些结果推广到大期限远期隐含波动率。定义以下扩展SVI参数化σSVI（k，a，b，r，m，s，i，i，i）：=a+br（k）- m） +ipi（k）- m） +i（k）-m） +是,尽管如此，k∈ R和常数ω:=2u1 - ρq（2κ+ξ）- ρξ)+ ξ(1 - ρ) -2κ + ξ- ρξ, ω：=ξκθ，a±：=κθU*±- 1.U*±βt，b±=4qU*±- 1.U*±，r±：=2（2u*±- 1） b±，m±：=U*±-a±，ea:=-2 em，eb:=4√-呃，嗯：=√-em，em:=u（κ）- ρξ），10 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK RoomeU*±定义在（2.4）和β锡（7.3）中。定义以下组合：（4.3）S:a=ω（1）-ρ），b=ω，r=ρ，m=-ρω，s=√1.-ρω，i=1，i=1，i=0，S±：a=a±，b=b±，r=r±，m=m±，S=a±，i=-1，i=1，i=0，S:a=ea，b=eb，r=er，m=em，S=0，i=1，i=0，i=1。以下结果的证明来自定理4.1中使用V的特征对z-eroth阶正向微笑的简单操作*引理2.1。推论4.3。

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大多数88

2022-5-7 02:16:13

点态连续极限limτ↑∞σt，τ（kτ）=σSVI（k，a，b，r，m，s，i，i，i）存在于k中∈ r具有常数a、b、r、m、s、i、i和igiven by:or:Sfor k∈ R、 oR:稳定部队k∈ (-∞, V′（u）*+)); S+代表k∈ [V′（u）*+), +∞);o R3a:S-为了k∈ (-∞, V′（u）*-)]; 稳定部队k∈ （V′（u）*-), +∞);o R3b:S-为了k∈ (-∞, V′（u）*-)]; 稳定部队k∈ （V′（u）*-), V′（1））；稳定部队k∈ [V′（1）+∞);o R:稳定部队k∈ (-∞, V′（1））；稳定部队k∈ [V′（1）+∞).5.大到期区的财务解释（2.3）中的大到期区与极限远期对数矩生成函数的特定属性相一致。每种机制都揭示了大成熟向前微笑的基本属性，其中一些已经被从业者实证观察到。这些机制不仅仅是数学上的高深莫测，他们的研究揭示了模型的特定行为和古怪之处。一个直观的问题是，大幅度的向前微笑和大幅度的成熟点微笑有多大区别。这是一个商人应该了解的指标，可以使用历史数据进行分析。由于方差过程的遍历性，在第一个信号处，似乎可以自然地推测，大成熟点和向前微笑在前导顺序上应该是相同的。更具体地说，如果σ（t）τ（k）表示在时间t观察到的Black-Scholes隐含波动率，即方程e的唯一正解（eXt+τ）-Xt- ek）+英尺= CBS（τ，k，σ（t）τ（k）），然后通过定义远期隐含波动率，解出方程CBS（τ，k，σt，τ（k））=E[CBS（τ，k，σ（t）τ（k））]。如果我们提高limτ↑∞σ（t）τ（τk）=σ∞（k），函数σ∞独立于t（赫斯顿的情况是这样的——它不依赖于Vt），那么假设CBS（τ，k，σt，τ（kτ））似乎是合理的≈ CBS（τ，k，σ）∞（k）因此σt，τ（kτ）≈ σ∞（k）≈ στ（kτ）。

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何人来此

2022-5-7 02:16:16

因此，很自然地可以推测（参见示例[5]）限制前向微笑limτ↑∞σt，τ（kτ）与极限点limτ相同↑∞στ（kτ）。orem 4.1表明，这仅适用于良好的相关制度R，即“接近”零的相关性。因此，相关性与零的偏差会影响大成熟点微笑与大成熟点微笑之间的差异。现在考虑一下（在股票市场上）大负相关（R）的实际相关情况。在图1中，当ρ<ρ时，我们使用协滚动4.3中的零阶渐近曲线比较了两个极限微笑-. 在临界击V′（u*+), 向前的微笑比相应的点微笑更凸。有趣的是，从业者[13]在经验上观察到了这种不对称特征，这是模型的一个基本特征，不仅适用于大型到期日。引用Bergomi[13]的一项实证分析：“。。。相对于今天的英里数，k>0时（向前微笑的）增加的凸度比k<0时大。。。这是赫斯顿模型的特例。”当Sis生效时，如果V=θΥ（a），则排除k=V′（a）的情况，对于a，定义见（7.33）∈ {0, 1}.3月23日日日日日日日日日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方1.01.52.02.53.0删除。10.20.30.4FWDSMILE图1。这里t=0.5，τ=2，v=θ=0.1，κ=2，ξ=1，ρ=-0.9，所以拉普拉斯。Circlescorres池塘到现场微笑K 7→ στ（对数K）与前方微笑k7的平方→ σt，τ（logk）使用推论4.3中的零阶渐近性。这里是ρ-≈ -0.63和e2V′（u*+)≈ 1.41.人们自然会怀疑这种影响的起因。考虑一个标准的欧洲选项，其大罢工>0。

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nandehutu2022

2022-5-7 02:16:19

股票价格接近ek的大量样本路径，但由于负相关，相应的方差往往较低（所谓的“杠杆效应”）。对于三角洲对冲多头头寸，这正是我们希望方差最高的地方（最大ga mma和织女星）。因此，（即期）隐含波动率在高冲击时有向下倾斜的趋势。另一方面，考虑大前锋k>0的向前启动选项。假设在远期开始日期t的方差较大。由于负相关，这里的股价将趋于较低。但这是无关紧要的，因为此时股票价格总是被重新标准化为1。因此，将有更多的路径存在标准化库存Su/STT≤ U≤ t+τ接近EK，且相对于上述（现场）情况，方差较高。这种效应的相对性质导致了这种“凸性效应”。当存在较大的正相关系数ρ>ρ+>0（R）时，对于低打击，大成熟度向前微笑比大成熟度点微笑更凸，k<0。这是兰德的“镜像”效应，其直觉与上述类似。当ρ>κ/ξ（R3波段R）时，在微笑向上倾斜且可能为凹形的大打击中存在一个过渡点（见图5和图6）。重要的是要注意，这种影响对大到期点和远期微笑都是重要的，这是因为股票价格高的路径往往伴随着非常高的变化期，因为正相关。上述关于每种制度的直观论据并不适用于赫斯顿。一个自然的猜想是，方差过程具有平稳分布的所有随机波动率模型都会表现出类似的大成熟度状态。

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大多数88

2022-5-7 02:16:23

然而，过渡点的位置和“凸度校正”的大小可能会有很大的不同，且模型具体。数值计算我们首先比较了真实的赫斯顿向前微笑和论文中发展的渐近线。我们使用[54，定理5.1]中的逆傅里叶变换表示和全局自适应高斯-克朗罗德四元格式计算向前启动期权价格。然后，我们使用简单的寻根算法计算正向微笑σt，τ。在图2中，我们比较了使用傅里叶逆变换的真实向前微笑和[47]中推导的良好相关制度的渐近性Theo-rem 4.1（i）。在图3中，我们比较了非对称负相关区域中使用傅里叶反演的真实正向微笑和定理4.1（ii）中的渐近微笑。利用上述理论结果计算高阶项；这些可以在原则12、安托托万J、阿阿托万J、阿阿奎尔和帕特里克9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7这些可以在原则12、安托万J、阿托万J、阿托万J、阿阿托万J、阿托万J、阿托托万J、阿托托万J、阿托托托维维维维10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 20.01.81.01。2500.2550.2600.2650.2700.2750.280FwdSmile（a）渐近与傅里叶反演。23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方ìììììì0.81.01.21.41.61.82.0Strike-0.006-0.004-0.002Error（b）错误图2。良好的相关性区域R。在（a）循环中，正方形和菱形分别代表零阶、一阶和二阶渐近性，三角形代表真实的前向微笑。在（b）中，我们描绘了真正的前脸微笑和有符号微笑之间的区别。其中t=1，τ=5，v=0.07，θ=0.07，κ=1.5，ξ=0.34，ρ=-0.25.可以扩展到更高的阶，但公式变得相当繁琐；从数值上看，这些高阶计算似乎对精度几乎没有任何价值。

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kedemingshi

2022-5-7 02:16:26

在图4中，我们比较了图4.1（ii）中过渡走向k=V′（u）的渐近解*+). 结果都符合预期。在大相关性区域R中，我们发现使用定理3.1，然后对价格进行数值反转，得到相应的正向微笑（图5和图6），比使用正向微笑渐近定理4.1更准确。如备注3.2（iv）所述，该制度中期权价格的领先顺序准确性是指优先顺序和更高顺序的条款包含了需要排除的重要区别。这也解释了定理4.1中关于大相关区域的正向微笑渐近的较低精度。如证明（第7.6节）所示，期权价格的前序行为用于在BSM和Heston模型中排列罢工域，然后在模型之间匹配前向微笑渐近。如果le adingorder的行为很差，那么不管前向微笑是一种交感的，渐近形式和前向微笑的渐近形式之间总会有不匹配。使用上述方法可以绕过这种影响，并且在一开始就非常准确（图5和图6）。在除R外的所有情况下，随着s trike接近临界值（V′（u）），高阶项可能接近零或完整*+) 或V′（1）），将a共形区域和前向微笑（和前向启动期权价格）渐近a分离，并在那里不连续（除零阶项外），另见备注4.2（i）。这意味着渐近公式可能会在临界打击附近的区域内破裂。[48]中也观察到了类似的特征，当我们推导出爆炸式微笑的退化渐近线时。7.

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何人来此

2022-5-7 02:16:31

定理3.1和4.1的证明本节致力于定理3.1和4.1中期权价格和隐含波动率扩展的证明。我们首先（第7.1节）给出一些关于正向过程（X（t）τ）τ>0的矩生成函数行为的初步结果，证明将依赖这些结果。本节的其余部分将针对不同的情况，如下所示：o第7.2节是简单的情况，即当函数V*in（2.8）是严格凸的，对应于行为H，除了在点V′（0）和V′（1）处。3月23日日日日日日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方3.03.54.04.55.0罢工。140.160.180.20FwdSmile（a）渐近与傅立叶反演。本周三方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方3.54.04.55.0Strike-0.010-0.0050.0050.0100.0150.020错误。图3。不对称相关区R。这里t=1，τ=5，v=θ=0.07，ρ=-0.8，ξ=0.65，κ=1.5，这意味着eV′（u*+)τ≈ 2.39. 在（a）圆圈中，s方形、菱形和三角形分别代表零阶、一阶、二阶和三阶渐近线，向后三角形代表真正的向前微笑。在（b）中，我们绘制了错误。到期日。140.160.180.20FwdVol（a）渐近与傅立叶反演。到期日。0020.0040.0060.0080.0100.012错误（b）错误。图4。不对称相关区R。此处t=1，赫斯顿参数与图3相同。圆圈和正方形代表零阶和一阶渐近性，三角形代表真实的沃德微笑。横轴是成熟度，打击等于eV′（u*+)τ.

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kedemingshi

2022-5-7 02:16:35

在（b）中，我们绘制了错误。23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方2.02.53.03.54.04.55.0罢工。（fwile.30）渐近傅里叶反演。23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方（b）错误。图5。大相关区R。这里t=0，τ=10，v=θ=0.07，ρ=0.5，ξ=0.6，κ=0.1。圆圈和正方形代表零阶和一阶渐近，三角形代表真正的向前微笑。进一步的eV′（1）τ≈ 1.06.14.1.14安托万·安托万·阿阿维维·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万和阿托万·安托万·安托万·安托万·阿维维和阿托万·安托万·安托万·安托万·阿托万和帕特里克·阿托万·安托万·安托万·安托万·安托托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托托万·维维维维维维维维维维维维·安安托万·安安安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安安托万·2.02.53.03.54.04.55.0罢工。050.100.150.200.250.30FwdSmile（a）渐近与傅里叶反演。04年2月5日。020.040.060.08错误（b）错误。图6。大相关区R。此处t=0，τ=20，赫斯顿参数与图5中相同。圆圈和正方形代表第零阶渐近曲线，三角形代表真正的向前微笑在第7.3节中，我们概述了我们将在所有其他情况下使用的一般方法：–第7.4节讨论了与函数V相对应的情况H±、eH±和H*线性；——第7.5节专门分析了V′（0）和V′（1）点。第7.6节将期权价格的扩展转化为隐含波动率的扩展。7.1. 正对数矩母函数（lmgf）展开和极限域。

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mingdashike22

2022-5-7 02:16:38

对于任何t≥ 0，τ>0，通过（7.1）∧（t）τ（u）：=τ定义X（t）τ及其有效域Dt的重新归一化lmgf-1日志EeuX（t）τ, 为了所有的你∈ Dt，τ：={u∈ R:|∧（t）τ（u）|<∞}.塔特性对期望值的直接应用产生了：（7.2）τ∧（t）τ（u）=A（u，τ）+B（u，τ）ve-κt1- 2βtB（u，τ）- ulog（1- 2βtB（u，τ）），对于所有u∈ Dt，τ，式中（u，τ）：=u(κ - ρξu- d（u））τ- 2原木1.- γ（u）exp(-d（u）τ）1- γ（u）,B（u，τ）：=κ- ρξu- d（u）ξ1- 经验(-d（u）τ）1- γ（u）exp(-d（u）τ），d（u）：=(κ -ρξu）+u（1）- u） ξ1/2，γ（u）：=κ- ρξu- d（u）κ- ρξu+d（u），βt:=ξ4κ1.- E-κt.（7.3）第一步是描述固定t的有效域Dt，τ的特征≥ 0，因为τ趋于完整。回想一下，在（2.3）中定义了大到期制度，其中有u±和u*（2.4）中给出的±1。引理7.1。固定时间≥ 0，Dt，τ（在集合意义上）收敛到D∞如表2所示，τ趋于完整。证据回想一下[47，引理5.11和命题5.12]和[45，命题2.3]中的下列事实，按照美国*±= ±∞ 当t=0时：（i）[0,1] [u]-, u+]∩ (-∞, U*+) 如果ρ<0，则所有τ>0的Dt，τ；（ii）[0,1] [u]-, u+]∩ （u）*-, ∞) 如果0<ρ，则所有τ>0的Dt，τ≤ κ/ξ;（iii）[0,1] [u]-, u+] 如果ρ=0，则所有τ>0的Dt，τ；（iv）[0,1] [u]-, 1] ∩ （u）*-, ∞) 如果ρ>κ/ξ，则所有τ>0的Dt，τ；HESTON向前微笑15（v）1<u的大成熟区*+< u+当且仅当ρ∈ (-1, ρ-) 你呢-< U*-< 0当且仅当ρ∈ (ρ+, 1). 我们总是有ρ-∈ (-1,0）和ρ+>1/2。在后一种情况下，ρ+≥ 1在这种情况下，你*-≤ U-.然后固定的≥ 0，引理直接从（i）-（iv）与性质（v）结合而来。以下引理提供了∧（t）τ在τ趋于一致时的渐近行为。证明遵循与[47，引理5.13]相同的步骤，使用资产价格过程（eXt）t>0是真鞅[3，命题2.5]这一事实，并且在前面被省略。引理7.2。

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kedemingshi

2022-5-7 02:16:41

以下展开式适用于（7.1）中定义的正向lmgf∧（t）τ（2.6）中给出的V和H）∧（t）τ（u）=V（u）+τ-1H（u）1+OE-d（u）τ, 为了所有的你∈ 做∞\\ {1} ，当τt结束时，u=1且所有τ均大于0时，为0。备注7.3。（i）当ρ>κ/ξ（r3r）时，我们有limu↑1∧（t）τ（u）=V（1）6=0，因此极限在右边界u=1处不是连续的。对于ρ≤ κ/ξ我们总是有V（1）=H（1）=0和1∈ 做∞.（二）为所有美国公民∈ 做∞, d（u）>0，因此余数在τ趋于完整时以指数速度变为零。7.2. 严格凸的情况。Letk:=supa∈D∞V′（a）和k:=infa∈D∞V′（a）。当k∈ （k，k）{V′（0），V′（1）}，对[47，定理2.4，命题2.12和3.5]的一个类似分析，基本上基于V在（k，k）上的严格凸性，我们可以进行，并立即得到关于远期启动期权价格和远期隐含波动率的以下结果（因此当Hholds时证明定理3.1和4.1）：引理7.4。以下扩展适用于所有k∈ （k，k）\\{V′（0），V′（1）}asτ趋于完整：EeX（t）τ- ekτ+= I（k，τ，V′（0），V′（1），0）+φ（k，t）τ1/2e-τ（V）*（k）-（k）1+Oτ-1.,σt，τ（kτ）=v∞（k，t）+8v∞（k，t）4k- 五、∞（k，t）χ（k，t）τ-1+O（τ）-2），带V*引理2.1给出了（3.9）和（3.6）中的I和φ，v∞在（4.1），χ在（4.2）和（7.4）（k，k）=R、在R(-∞, V′（u）*+)), 在R中，（V′（u）*-), +∞), 在R3a中，（V′（u*-), V′（1）），在R3b中(-∞, V′（1）），在R.证明中。我们在这里简要介绍一下证据。为了一个纽约k∈ （k，k），方程V′（u*（k））=k有唯一的解决方案u*（k）通过严格的凸性论证。

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mingdashike22

2022-5-7 02:16:45

定义随机数m变量Zk，τ：=（X（t）τ-kτ）/√τ; 使用类似于[47，定理2.4，命题2.12]的Fourier变换方法，期权价格读取足够大的τ，EheX（t）τ- ekτi+=i（k，τ，V′（0），V′（1），0）+e-τ（k（u）*（k）-1)-V（u）*（k））呃*（k））2πZRΦτ，k（u）√τdu[u- 我√τ（u）*（k）- 1） [u]- 我√τu*（k） ]式中，Φτ，k（u）≡ EeQk，τ（eiuZk，τ）是新测量下Zk，τ的特征函数EeQk，τ由Deqk定义，τdP:=expU*（k） X（t）τ- τ∧（t）τ（u）*（k）. 使用引理7.2，期权价格和远期SmileExpansion的证明类似于[47，定理2.4和命题2.12]和[47，命题3.5]的证明。集合（k，k）的精确表示源自D的定义∞表2和V的性质。16安托万·J·阿奎尔和帕特里克·罗梅7。3.其他情况：一般方法。假设k（在第7.2节中定义）与V′（u）=k是有限的。我们不能通过简单地重新放置u来定义度量的变化（如引理7.4的证明）*（k）≡u代表k≥ k由于正向lmgf∧（t）τ在这些点上爆炸，τ趋于完整（见图7）。其中一个目标是有一个目标的一方的目标，其中一方的目标是一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的目标，方方的一方的一方的一方的一方的一方的一方方的目标是方的方方方的方方方方方方的方方方方方方的方方方方方方的方方方方方方方的方方方方方的方方方方方方方的方方方方的方方方方方方方方的方方的方方方方方方方方方方方的方的方方方的方方方方方方方方方方方方的方的方方方方方方方方的方方方方方方方方方的方的方方的方方方方方方方方方方方方方方方方的方方方方方方方方方方方方òòòòòòòòòòòòòu0。51.01.52.02.53.0mgf图7。政权R：圆图u 7→ V（u）。正方形、菱形和三角形绘制u 7→V（u）+H（u）/τ，t=1，τ=2,5,10。Hes-ton模型参数为v=0.07，θ=0.07，ρ=-0.8，ξ=0.65，κ=1.5。也ρ-≈ -0.56美元*+≈ 9.72和美国+≈ 14.12.分析的目的是了解在这些基准点前向lmgf的爆炸率。关键的观察结果是，就在确定之前，正向lmgf∧（t）τ在点τ上仍然陡峭，并且可以构建一个与上述测量值变化的分析。

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可人4

2022-5-7 02:16:48

因此，我们引入了测度（7.5）dQk，τdP:=exp的随时间变化U*τ（k）X（t）τ- τ∧（t）τ（u）*τ（k））,你在哪里*τ（k）是方程的唯一解u∧（t）τ（u）*τ（k））=k代表k≥k、我们还将要求τ>0的存在使得u*τ（k）∈ 做∞对于所有τ>τ和u*τ↑U因此引理7.2成立，我们可以忽略所有u的指数re mainder（d（u）>0∈ 做∞) 所以方程u∧（t）τ（u）*τ（k））=k降低到（7.6）V′（u*τ（k））+τ-1H′（u）*τ（k））=k。在下面的分析中，我们还需要u*τ（k）解（7.6）a并收敛到域中的其他点（不仅仅是边界点）。在打击V′（0）和V′（1）的情况下，这将被要求作为符号推导，其中不存在瞬间爆炸问题，而是存在极限Fourier变换不存在的问题（详情见第7.5节）。因此，我们做出以下假设：假设7.5。存在τ>0和一个集合a R使得对于所有τ>τ和k∈ A、方程（7.6）允许一个唯一的解u*Do上的τ（k）∞满足limτ↑∞U*τ（k）=u*∞∈D∞∩ （u）-, u+。在这个假设下∧（t）τ（u）*τ（k））|是τ>τ和D的定义∞= limτ↑∞{u∈ R:|∧（t）τ（u）|<∞}. AlsodQk，τ/dP几乎肯定是严格正的，根据定义E[dQk，τ/dP]=1。因此（7.5）对于足够大的τ和所有k是有效的测量变化∈ A.我们的下一个目标是证明在这个新测度下，远期价格过程（X（t）τ）τ>0的重标度版本的弱收敛性。

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mingdashike22

2022-5-7 02:16:51

为此，定义随机变量Zτ，k，α：=（X（t）τ- kτ）/τα∈ A和meα>0，特征函数为Φτ，k，α：R→ C在Qk下，τ：（7.7）Φτ，k，α（u）：=EQk，τeiuZτ，k，α.即使美国*τ（k）最终不在极限域的内部，但需要使用（7.6）中的完整lmgf（不仅仅是扩展）。HESTON FORWARD SMILE 17的大型成熟机制现在定义了功能D:R*+×A→ R和F:R*+×A×R*+→ R乘以（7.8）D（τ，k）：=exph-τk（u）*τ（k）- 1) - V（u）*τ（k））+ H（u）*τ（k））i，F（τ，k，α）：=2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du，其中Cτ，k，α（u）表示Cτ，k，α在（A.1）中的复共轭，即：（7.9）Cτ，k，α（u）=τα（u）- iτα（u）*τ- 1）（u）- 我爱你*τ).这里的主要结果（见附录A）是远期启动期权价格的渐近表示：引理7.6。在假设7.5下，存在β>0，因此对于所有k∈ A、 asτ↑ ∞:EeX（t）τ- ekτ+=D（τ，k）F（τ，k，α）1+O（e）-βτ), 如果你*τ（k）>1，（1- ekτ）+D（τ，k）F（τ，k，α）1+O（e）-βτ), 如果你*τ（k）<0,1+D（τ，k）F（τ，k，α）1+O（e）-βτ), 如果0<u*τ（k）<1。（7.10）我们还需要关于Zτ，k，α引理7.7的特征函数行为的以下结果。在假设7.5下，存在β>0，因此对于任何k∈ A asτ↑ ∞:Φτ，k，α（u）=exp- iukτ1-α+ τ五、iuτ-α+u*τ- V（u）*τ)+ Hiuτ-α+u*τ- H（u）*τ)1+O（e）-βτ),剩余部分在u.Proof中是一致的。修理k∈ A.类比引理B.2（iii）得出Rd（iuτ）-α+a）>d（a）对于任何a∈ 做∞.假设7.5意味着对于所有τ>τ，Rd（iuτ）-α+u*τ（k））>d（u*τ（k））。这也意味着美国*∞< u+，因此存在δ>0和τ>0，使得u*τ（k）<u+- δ表示所有τ>τ。现在，由于d在（u）上是严格位置且凹的-, u+）和d（u-) = d（u+）=0，我们得到d（u*τ（k））>d（u+- δ) > 0.

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